Системы обыкновенных дифференциальных уравнений со специальными интегралами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

И ь ид

1 п ДПР 1993 .

БЗЛ05РУССЖИИ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЖМЕНИ Г0С7ДДРСТЕЕШЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ни. в.И.ЛБН2Н4

Иа яраваз ругпп^

ШЛЗП.0 МШИШ

сяи2я сежеовхя&тщмшв змезеенз со сеезшьвш-з

CI.CX.03 -.де^рэяцквльрна зрййггегаа

десссртипп пз сезскппго' учэпоЯ стгепакп

1 Работа вшс^згза а Грсднзгсгихл гссуд¿рстЕвлй« уЕаверскте'лз шнеш Янаа Купв.ш

Научный руководитель - кандидат фозшсо-математнческвх

наук, доцент Б.Н.Г0РБУ30В

Официальные оппонента: доктор ®£ЗЕк&-ыате;гатягавс1Ш2

наук, профессор .¡".¿.ЧЕРКАС

кандидат фаЕзао-натеыатическпх наук, додан? В.И.Ь31Р0НЕНК0

Ведущая организация - Ешгегсродсзггй государственный

уштарсятат

Зачета диссертации состоится "23" сиу-ге..ся • I9S3 года в 10 часов на заселенна снециализировандаго Совета К 056.03.10 по присухдзкив ученой степени кандидата наук в Белорусском ордена Трудового Красного Знамени государстваа-нш университете имена В.И.Лешна по адресу: 2200030, г. Ызнск, проспект Схорлкы, 4, главный корпус, ауд. 206.

С диссертацией иозно ознаксааться в библиотеке Белорусского государственного университета ем. В.И.Лешша

Автореферат разослан * " 1993 г.

Ученый сгжрэтарь спеца актированного Совета, доцент

в.и.корие

Актуальность тер-ы. Метода качественной тосрни дкфференциаль-ип уравнения бклл созданы А.Пуеккэрэ и А.М.Ляпуновым. В дялытгй-

пзи 152 резвявага И.Бевдиксоп , Д.Дзлак, Ы.врожер, Дз.Д.Епркгоф п Д?.

Одной нз задач качественной теоргш является Езучекпе поаро-соа , связанных с предолькниа цгпслгия. Равно актуальной является проблэна различения центра п фокуса.

По иерэ развития идей н методов качественной теория ди^фграп-цзал&га уравнений возрастает необходимость белее дэтэлт-.кого ззу-ченпя ваннеЭсих классов спстем дифференциальных урЕЕпэннй , среди которых нздкеэ кесто занаивэт сястемн бх.

—1- = Р,(х.,...,хЫ7Ж <I)

а .

в честном случае, спстеки

<3х ей/ "

— = Р(х,у), — = Ч(х,у), (2)

СЙ ей

ГД2 Р1(х1,...,х ), 1=1,11, Р(х,у) п (Цх,у) - ползнсга степеней р.

Несмотря на то, что для система (I) вопроса, связанные с прз-дельшпп цаклагз! ; а для система (2) л гсроблека различения цзхгтрэ п фокуса (являвшаяся лсколыгоЗ згдечей} и глоЗзлькяя проблема следовапия поведеккя траекторий в долей рассыатргветтся угэ кгаго десятилетий; п ва этот период получено ряд суг$йстзепя?х реоуяьта-тоз , вез ста гроблена ецз дслекз ст еззггэ сагзргептп (ск. , ва-щтшр, 16-а проблему Ккьбзртг).

КооледовЕЕпэ дангкх вопросов для состой (I) а (2) со спсгзе-лыааа ютегралскя п посвящена настоящая дкссертсцг.скзэа работа.

Ццл^о работы язляотся Еачгспвккоа йсследовгппэ уксгакгог ся-отга; изучена зевроеоз стевстгегакпя прздзлкйк лехзоз я сиоРктв ?тях 1рпиоа; рггтгпгсе прсблеггз £езггрд-&кфса» з тса случае , когда еж» ^озяг-пгаст; о сп'.э с?гстс;-з кмеот сзаосжзэ теста зггтегрзг»? -гике кселедоэаяпв в цэлса стдельгаг: спстги укозеггего впде»

Мгтсгм Ер: регеея ветауявггпжх зядач .еззовь-

;;:т;'»ся кгтеда алгебра , влгебрзпческсЗ ?гср:п

полг-П, гоергл сергкэ!гяЯ«.г5»ш««3 П5~~сг--

;:пгг:п;5 георл по «фсдвзсгпа ссг.гяегэтз гаактерй 5 стгасстаят сестогхипя рекнозесся, г «сига пзисс-орнз члегпйй ,

тгатшо в позлз^геэ гзргга. ' - ' ■

ИАЬ-чкля В дзгоеврткцзк

1} для ввтонмшых полаксишальних систем с известаыш часпгрги интегралами, используя их частные интегралы .изучены свойства грубости в устойчивости предельных циклов этих систем , рекена проблема различения центра и фокуса;

2)БШОлняется качественное исследование в целой с построением фазовых портретов на круге Пуанкаре автономной квадратичной системы второго порядка, имеющей ось симметрии для своих траекторий.

Приведенные в работе результаты являвтся новыми.

Теоретическая и гностическая значимость. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в общей я качественной теориях дифференциальных уравнений, в теоретической физике.

Алрсвлш^а результатов . Основные результата диссертации догладывались на республиканских конференциях,71II конференции СНГ "Качественная теория дифференциальных уравнений" (г.Самарканд), семинаре по дифференциальный уравнениям Минского радиотехнического института .Гомельского и Грозненского государственных университетов.

Пушждо*!. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 11-121.

Структура и сеьем работы. Диссертация изло=ена на 85 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав, и списка литературы, содержащего 105 наименований.

На злшту вьмосятся следукмие: результаты:

1. Приложения частных интегралов дифференциальных систем к вопросам построения первых интегралов и последних шозетс-лей Якоби.

2. Приложения частных интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнен: Д к определении свойств периодвчес-

• ких реоений.

3. Качественное исследование в цалоц автоноыной квадратичной системы второго порядка с построением фазовых портретов на круге Пуанкаре в случае , когда ее траектория симметричны относительно некоторой пряыой.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Ьо вагкуш дается краткий обзор работ по теьш диссертации, а также излагается основные результаты, псдученныз в дассертацпл.

В первой главе изучаются качественные характеристика п интег-ргруеиость езтоноквых шхЕакйзальшх систеи по иг частнш интегралам. .

В § I первой глагп рассматривается вопрос построения пергиг шггеграяоа в последах нпоягтелей Якоба слоте« (Г). вводятся слй-дуицав понятая.

Оте/елен« I. БуЗел гоборють, чт.о часжкьй импеград э си&пзт (I) , яЗхжа.'цйся полиномом сптосипелъно ил-зга вес еаси су-

щесявухт псштош 7Т и Л^ относительно причел сярлень полиномов Я^ на быта р-?, а 1Х!гЗь;й палихол взаимно прося с о, гшда, что илеел место тождество

У Ari ь ]

¿L ол»1 J

Pj н -Г

1=1

йтЕгк«'! 2. Фунщия £ = е:гр и, еЗе f - политая ояноаихзль-но xi , будед назы£ат.ь услозмьм частклм интегралом слстяы (i),

если ияэет jzerno тохдеяпво

it

I

i->

гдэ S - полином ояносювлъно х{ степени, мены:ай им робкой р-1.

Пусть система (I) хягзет я+r чеотша RjoraOpsmecKSS яягегракся

Л = i ,г»г, зз ess яг О гг.вгг в«са;с! ч , J = J ,гл, a g й О уо-

ловшг . тосяшх интегралов « &zp t>v, v «773. Terrs даа зтс'З система состпзлпется чгголо

'in

Я >= г + q + У *

•П СТКЛРЯ

а* г

"*т ' у ■ 'у ■ -1 \ '

У[ ъ*схр*г+ J —

' - \ l..f - f wi »JГ- 3

__

j.Tf Tj«f Vsl

Дюианзаивя гтеергдася , ястеги ¿сгзгэ ¿¿здаяр

■ТЕ-С35Я57.

•ftcPEm X. йхш tn « JJU) - 1 , no смета . перЗкй tscssspcu ,»ffo nscscGisa \

П ntsamzsa cjjf/a змгг'гы o&ai a '»J^^j) дааагз

(I) имеет либо автономий первый интеграл Р=С , либо автономный последний днохителъ Якоби (3).

В этой ке пара^афе используются ввтоморфизш конечных расширений числовых полей для построения частных интегралов , первых интегралов в последних шояптелей Якоби.

Для этого вводятся понятия алгебраической сопряженности многочленов и дифференциальных систем , доказываются утверздения о построении у алгебраически сопряженных дифференциальных систен частных интегралов, первых интегралов и последних множителей Яко-Си. На основе этих теорем доказываются утверздения (в диссертаций это теоремы 1.4А и 1.5А) на случай самосопряженности дкфференцка-льной системы при рассматриваемом автоморфизме, которые при построении первых интегралов и' последних ¡¡шонителей шеют особое значение.

ТЕСРЕма. 2. Если, правые част системы (I) самосопряжены при автоморфизлю \ и аюяеяа (I) имеет: а)частный алгебраический интеграл ш веса к > о ; б)условный частный икпегрси Е = ехр о , то: а¡алгебраически сопряженный помшом тглгсге ябдяелея чахжння.

интеграда« беса к > О системы (I) ; б)сиетеда (I) имеет условный частный интеграл Ещ^=ехр соответственно.

Полученные в § I результата распространяется на систеш уравнений в полных дифференциалах

т.

ГД9 С = ТЯ. J = Т7ш, суть погашай.

В § 2 гсрвой главы рассматриваются вопроси существования, количество, алгебраичность,взаимное расположение, кратность, устой-тойтавость предельных циклов систем (I) к (2), Для зтого наряду с Функцией (3) вводится функция

Дяя систем (2) ев оскоез алгебраической крзЕсЗ п - С опрадалкатсп линейно связана области С сакзностей з , / - ТТх.

- ? -

Доказывается

Тесремд 3. Если = [п+р_}] " определитель л. # 0, то все возможные периодические решения системы (I) расположеш на шагооб-разии о = 0.

Вводится понятна класса D для систем (2).

Спрея:/xk-íe: 3. Еудеа говорить , что систе.*а (2) принадлежит классу В, если для векторного .поля В(х ,у ) = [? g, Q з], где

п V Ч

т-у) = П юЙ й ехр ) ) V,—:+ ) ßvuv •

дивергенция ^

día В а 4 SJ, 4 = corcat. Далее докззывастся аналог крттарзя Далакз дм кзогоспязшй области.

Tecpíma 4. Sß-tu суцествуея зказхяюаюанная напрерывно-диффе-ренцьруемся в з-сСязкой обласш G функция В(х,у), такая , <ало Зля

ве¡торного поля 3(х ,у ) - дивергенция diu й является

функцией знакопостоянной или поядестденмо равной ну.но в облает G, то в этой облает, систзла

<3х <3у

- = - =

гЗв Kt(x,y) и К2(х,у) - непрэрывко-биффереущируеляю в G фунгяда.,

илзеа кз более з-1 предельных цшиоб.

Па основе теорему 4 доказываются следузгцяе утверждения для с.гстег; класса D.

х

Теорема 5. Система (2) класса D ке хогет иметь бо,tee ^

предельных цшелоб, кэ npxiaösjssczvxc о = О.

Теорема в. Если тгреоелький цши. систелз* (2) класса D не располагай на криЗой о - О, то он простой и устойчивый при. А < О , а aри Л > 0 - простой и неустойчивый.

Тесре?'л 7. Если cionora (2) nptmcßjszun класс у D и .1 = О , го "К1 nr¿>3t" -'ii'a'" V"¡::'_';y KSCHWrCfc" ТЗ. £J = С.

- Б -

S2to:i на оиш seopou 5-G доказаааж-сз угзорздзхкш.

Тесреп.% 9. Если Оля сшянгха (2) «шсло Si - р(р+1)/2-1, определитель л * О, ко она яоягт шг.етъ не 6o.ieэ ^ sj ~ * пргделысьяР

циклов, но принаЭлеясе,ю: л = О.

Теорема 10. Вели для систэлы (2) число Я - р(гя 1 )/2-1, определитель л ¡* О , т всякий -ее предельней ищи, ьа располохентО. ш о = О , я&«г«аса npocazxz, усяойчиЗыл при G > О и неустоСыиЗгьл при &< О.

Teope^a II. Ес.'.и Слг сисяаелы (2) чгхе.'.о SS - р(р+1)/2-1,опреве-лглпель й f о, 6 - 0, то бег ее бозлзгжг пределытэ цшит расположена на а = О.

Тесре?.-а 12. если ¿u?. системы (2) vuelto к - р(р+1 )/2-1, опре-белтелъ л 0, по бее ее Со&шккые крзлныэ предзлысиг грлслы'рас-полохеки ш а = О. " '

Тесреич 13. Если для системы (2) число £3 = р(р*-1 )/2-1 , опре-Оемхгллъ л = о, © * О, ко С се ее предельные цикли будит алгебраические и расположены на п - О. '

Тесре^а 14. Бели для. системы (2.) число г = р(р+1)/2-1, а кривая о = О }i£> шея изолированных почек, и изолированных асшснушх ватвей, ко у нее кел предельных цтио3.

Используете в теорьм 3 , S-I3 спределетиз л £

л строятся на основа извэе^гпз. слгебрезческаг ^есгиа; истегралоз с тчетаа es веса • услоаса вес-лее гетвхрая» £v « еар vv (

дассерищик щасвсдэаа isa с.13 и сЛ4).

В £ 3 первой улввн приводятся необходимые л достаточна:; условия s ¿ягорзпны рзздшагшя центра и фокуса систем (2) по ее ез-взс7кын -частник интеграллу. Оснсшаагз результатам являемся се-

ДУЕ2Р$3..

Теорема 15. £о.ш Оля сиспаеы (2) число S = р(р+1)/2-t(рь1)/2], то особая кечке 0(0;0) егюрой группа ее ура&нвиш прхгтарий, j\o-.яеи бшь «sragxLa лшъ тогда, когда она и&еея ха&згрирчхщиО. калъ » = или оСций. хошгрзл §(2,у) С.

. Тесрекл 1С. Еоли Оля ctus&jzu (2) чи^о й « p(pt1)/2-I(p+1 )/2J, то ее сссъоаниг рзбиобеай 0(0;0) с ¿.-ízuíluzi гххрзихгриони-4eaa¿£u корязяи , кс nsиюОлвгхще ¡сривой в«С, ибл/хксх v/stazpas ыогда и еюлъхо -¿¡агда , itosSa. агл 'сисаглз шжтл w№zpupj>a®}£

¿тедь м = Чз(2,у) ши са^гЛ шсг.еграл Щх,у) = С.

Крсет того, прзщешгегагй подход модифицируется для езстеи (2), «ацах особый тпп для бесконечно удаленных состояний равновесия.

Во втсрсй глава рассматривается система (2) , гдэ Р(х,у) и (х,у) - Ейюгочлепн второй степени, при условия , что еа траакто-ш сгадгзтргшы стЕоснтельно некоторой прямой.

В 5 I второй глава находятся условия , при которых траектории'

зтонсшгоЗ ¡гсвадратпчзсй системы сшиетричны относительно пекото-

за пряной. С поиска линейных певырсздеЕШХ прес£разсза1Г23 шде-

эшшз классы систем приводятся к одеону из двух вядоз

<3х ей/ _ _

— = Ь,у ^ Ь^гу, — = а1 + а^с + а¿Г + , (Л)

— = а1 + a¿z + a¿zr + a4jr, = + (5)

ЗОТВ9ТСТЕ2ПЗО.

В 5 2 второй глава выполпепо качественное ссслэдозанзв спста-и (4) с построашгм! фазовых пертретез па круга Пуанкаре, а з } 3 залопгшыа исследования выполнена для cncTeici (5).

Доказала

Тесрсгла 17. Если пале направлений уравнения траекторий авяо-ояной квадратичной сште.ты второго порядка сшшэтрияно ожоси-елъно некащюй пряхой , r¿o гкзкая систеха не и&еет предельных шелов.

В запзс^ксстл от пэр мэтров , входяпзх о ззд22ео снстал (4) s 5),спрэдэляется одеознзченн образом поведешь траекторий на кру-е Пуанкаре (с точностью до тсаологпчзсксЗ зкзивалзЕтпсстз) а езго псстрсзпо сто фазовых пертрэтев.

СсгоЕггаэ рззультата длсс-зртсгг.я опублпповпг^л в рпбетаг: ■

1. Тк^еео B.D. , Гсрбузоз D.H. Павздавзэ нитегрэяызз хостах истиц с ссззсЗ C32í2Tpa;aü// Доклада Ш БССР. - IS85. - Т.29, I 3. - С.205-203.

2. ?:~a-û:o B.D. , Гсрбузсз B.ÎI. 05 одгеа клгссэ слстем с осз-сЗ саултpseñ// Дсяяада Ш БССР. - IS35. - Т.29, Я 6. - С.4ВЭ-92. '

3. Т^згло З.Э. 1ьзадратзчи2я eners-r. с сгззтрзчЕнья шггггрз-ьажа -rasssT-ca. - теззеа дезяздрз Росятблйказяжоа ЕопЁерэвсзп 'злели утзг'г: п f'-7 т*?я IS33 ro"a,r.!"*r"cr").

ЕГУ, IS39. - с.18.

4. Твденко в.S. Частные штегралы систеи в паяных дифференциалах. -Тезисы докладов республиканской научной конференции "Математическое моделирование и вычислительная математика" (17-22 сентября 1990 года, г.Гродно). - Гродно: ILvi АН БССР, I9S0. - С.129.

5. Горбузов В.Н.,Тнщенко B.C. Частные интегралы систем в полных дифференциалах// Дкффэренц. уравнения. - 1891. - Т.27, й 10.-C.I8I9-I822.

6. Горбузов В.Н., Тьщгкко B.D. Частные интегралы систем обык-ковенкпх дифференциальных уравнений//1!атеы. сборник.-1992.-T.183, й 3. - С.76-94.

7. Горбузоз В.Н., Тшценко В.Ю. Один подход построения первых интегралов и последних шюЕителей Якобы снстезш в полных дифференциалах. - Тезисы докладов VIII конференции СНГ "Качественная теория дифференциальных уравнений" (5-10 сентября 1992 года, г. Самарканд). - Самарканд: СаиГУ, 1992. - С.37.

8. Тысешю В.Ю.С^имзтрячыость траекторий квадратичной спстеьы относительно прямой. -4£шск:Ред. с. "ДисЙерекц. уравнения",1992.-25 с. (Рукопись деп. б ВИНИТИ 27 октября 1992 г., fi 3088-В92).

9. 2ы2цэеко В.Ю. Квадратичные системы с осесимметрическиыи траекториями. - ¡¿шск: Ред. г. пДиффгре1щ. уравнения", 1992. - 28 с. (Рукопись дсп. б ЕйНКГИ 27 октября 1932 г., й 3089-В92).

10. Горбузов В.Н. .Эщанко В.Ю.Скьаштрнчкость траекторий квадратичных систем второго порядка.4.1. - Гродно: ГрГУ,1992. - 95 с.

11. Горбуаов В.Н..Tîejseko B.D.Сишетркчность траекторий квад-' ратичкых систем второго порядка.4.2. - Гродно: ГрГУ,1592. - 85 с.

12. Ты^енко Б.С.К вопросу о различении центра и фокуса. - Тезисы докладов сколь: "Теория функций. Диф0ере1щкалькые уравнения в щатеывтическои моделировании"(25 января - 3 февраля ISS3 года, г. Воронен). - Воронеж ; KV, I93C. - С.132.

Подписана р печать 19.03.93 Формат 60x^4/16. Бумага-тип. !.'•> 3 Печать офсетная. Обг-е:/ 0,Ь п.л. Тирах; ЮО окз. Заке л Л?

Отпечатано на ротапринте Гродненского тосуцарсткеннпго

.университета им.ЯЛхупплн

Р.ЗООкЗ, .г.Гросно, ул.Ожешко, '¿2. ■