Системы тоды, ассоциированные с алгебрами Ли, и W-алгебры в некоторых задачах математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ
Овчинников, Алексей Витальевич
АВТОР
|
||||
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
1996
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.03
КОД ВАК РФ
|
||
|
московский орлена ленина, ордена красного знамени
л ордена Октябрьской революции государственный университет имени М. В. Ломоносова
РГ-Б-оят
, _ .......Физический факультет
I 7 П!'Т V
На правах рукописи УДК 517.958+512.554
Овчинников Алексей Витальевич
СИСТЕМЫ тоды, АССОЦИИРОВАННЫЕ с АЛГЕБРАМИ ЛИ, И И^-АЛГЕБРЫ В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Специальность 01.01.03 — математическая физика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва, 1996
Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук Попов А. Г.
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
профессор ГолубеваВ. А., кандидат физико-математических наук Лексин В. П.
Ведущая организация: Математический институт им. В. А. Стеклова Российской Академии наук
Защита диссертации состоится _ 1996 г. в
1 часов на заседании Диссертационного совета отделения экспериментальной и теоретической физики физического факультета МГУ К 053.05.18
по адресу: 117899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет, ауд. СРД.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.
Автореферат разослав
И)Яв г.
Ученый секретарь Диссертационного совета
доктор физико-математических наук П.А.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Настоящая работа посвящена изучению специального класса нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными— так называемых систем Тоды, ассоциированных с алгебрами Ли. Формально эти системы являются системами уравнений гиперболического типа в двумерном пространстве-времени, а их нелинейность обусловлена наличием экспонент от неизвестных функций.
Одним из основных методов исследования систем такого тина является групповой анализ, восходящий еще к работам С. Ли, который предвосхитил определяющее значение групповых методов как мощного средства интегрирования дифференциальных, в особенности нелинейных, уравнений. Согласно его концепции, группы преобразований дифференциальных уравнений играют ту асе роль, что и группы Галуа для алгебраических. При этом возможность построения решений в том или ином представлении, а также само описание группы внутренней симметрии определяются свойствами алгебры соответствующей группы. После работ Э. Нётер стала ясна важная роль "обобщенных симмет-рий", т.е. групп, инфинитезимальные образующие которых зависят не только от независимых и зависимых переменных системы, но также и от производных от зависимых переменных. Соответствующие групповые преобразования не будут больше геометрически действовать на пространстве независимых и зависимых переменных, поточечно преобразуя график функции; теперь это нелокальные преобразования. Э. Нётер показала, что каждая однопараметрическая группа симметрии вариационной задачи, либо геометрических, либо обобщенных, приводит к за-
кону сохранения и, обратно, каждый закон сохранения может быть получен таким способом.
Уравнения, обладающие решениями, которые могут быть получены в рамках метода обратной задачи рассеяния или эквивалентных ему, называют вполне интегрируемыми-, для систем, решения которых выражаются в квадратурах и определяются набором произвольных функций, необходимым для полного решения задачи Гурса или Коши, используется термин "точная интегрируемость". К настоящему времени существует гипотеза о связи между свойствами группы внутренней симметрии и критериями интегрируемости, именно: система точно интегрируема, если так называемая алгебра Ли—Бэклукда, генерирующая группу внутренних симметрии, конечномерна, и вполне интегрируема, если алгебра бесконечномерна, но обладает конечномерными (вырожденными) представлениями. Такова, например, алгебра Вирасоро, играющая важную роль в конформной теории поля.
Современный интерес к конформной инвариантности в квантовой теории поля обусловлен обнаружением масштабной инвариантности в глубоко неупругих процессах рассеяния лептонов нуклонами и изучением операторных разложений билокальных операторов квантовых полей вблизи светового конуса. Конформная инвариантность является естественным обобщением глобальной масштабной симметрии в статистической физике (теория критических явлений — фазовые переходы второго рода) и квантовой теории поля.
В настоящее время построено большое число моделей теории поля, которые характеризуются тем, что наряду с конформной инвариантностью, связанной с тензором энергии-импульса, обладают дополнительными симметриями, генерируемыми другими сохраняющимися токами. Особое место среди таких моделей занимают модели, алгебры дополнительных симметрий которых ассоциированы с простыми алгебрами Ли и носят название Иг-алгебр. В частности, алгебра Вирасоро
является простейшим примером И'-алгебры, ассоциированной с простой алгеброй Ли А\. Более содержательный пример был впервые построен A.B. Замолодчиковым путем непосредственного решения тождеств Якоби. Это была И7/12-алгсбра, которая наряду с тензором энергии-импульса содержит сохраняющийся ток дополнительной симметрии спина 3, а по структуре является бесконечномерной алгеброй с квадратичными определяющими соотношениями.
В последние годы было установлено, что W-алгебры могут быть получены как алгебры обобщенных симметрий конформно инвариантных систем нелинейных дифференциальных уравнений, к числу которых относятся системы Толы, при помощи различных процедур гамильтоно-вой редукции. При этом основное внимание было уделено квантовым задачам, а результаты в классическом (т.е. неквантовом) случае получались при помощи предельного перехода. В данной работе исследуются непосредственно конформно инвариантные модели классической теории поля, их алгебры симметрий и решения задачи Гурса.
Целью настоящей работы является во-первых, описание систем Тоды на основе лагранжева и гамильтонова формализма и получение решений задачи Гурса для простейших систем такого типа, ассоциированных с простыми конечномерными алгебрами Ли; во-вторых, вычисление образующих и соотношений для простейших классических Ж-алгебр на основе установленной связи между образующими этих алгебр и дифференциальными инвариантами кривых в эквиаффинном пространстве; и в-третьих, исследование одной специальной системы Тоды, ассоциированной с бесконечномерной алгеброй Ли и не являющейся точно интегрируемой.
Научная новизна работы заключается в том, что
1) получены явные формулы, выражающие точное решение задачи Гурса для систем Тоды. ассоциированных с алгебрами Ли типов А\ и Аг, на основе гамильтоновой редукции модели Весса—Зумино к системе Тоды;
2) установлена взаимосвязь между образующими IF-алгебр, являющихся алгебраи.ш обобщенных симметрий систем Тоды, и дифференциальными инвариантами кривых в эквиаффинном пространстве и на основе этой взаимосвязи вычислены образующие и соотношения WA\-и WAi-алгебр;
3) рассмотрена простейшая система Тоды, ассоциированная с бесконечномерной алгеброй Ли — алгеброй Када—Муди типа (которая, по существу, эквивалентна известному уравнению sine-Gordon) и получено асимптотическое разложение решения задачи Гурса для нее по малому параметру, введенному в данные на характеристиках;
4) описана внутреннегеометрическая интерпретация произвольных решений уравнения sine-Gordon.
Практическая ценность. Системы Тоды являются весьма интересными моделями теории поля, и их исследование в классическом случае необходимо для последующего изучения соответствующих квантовых моделей. Кроме того, многие конкретные системы этого типа имеют важные приложения в других областях физики: физике плазмы, нелинейной оптике, физике ферромагнетиков, физике процессов горения и др. Уравнение sine-Gordon играет важную роль в вопросах изометрического погружения областей плоскости Лобачевского в трехмерное евклидово пространство. В силу сказанного результаты настоящей работы представляют несомненный практический интерес.
Апробация работы. Результаты настоящей работы докладывались на Международной конференции "First Non-Orthodox School on Nonlinearity and Geometry" (Варшава, 1995), на семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под рук. В. Ф. Бутузова, семинаре по геометрии "в целом" под рук. И. X. Сабитова и Э. Р. Розен-дорна, семинаре кафедры математического анализа Коломенского педагогического института под рук. Е. Е. Петрова, семинаре "Nonlinearity and Geometry" Института теоретической физики Варшавского университета под рук. проф. А. Сима.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[4].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Объем работы — 96 страниц. Текст диссертации содержит 12 иллюстраций. Список литературы содержит 48 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении выделен круг вопросов, охваченный диссертацией, дал обзор литературы по теме исследований. Кратко излагается основное содержание глав диссертации.
Глава 1 носит обзорный характер. Здесь описаны основные свойства простейшей системы Тоды, ассоциированной с простой алгеброй Ли типа А\, — уравнения Лиувилля, которое имеет вид
дду = е2^, (1)
где д и д — операторы дифференцирования по независимым переменным 2 и 1. В § 1 показано, что уравнение Лиувилля обладает свойством
конформной инвариантности, т.е. не меняет своего вида при заменах переменных
2!-»г(Т(л), (2)
где ги и хП — аналитические функции переменных гиг соответственно. При такой замене переменных решение <р(г, г) уравнения Лиувилля переходит в решение
(р(г,г) = + ^ 1п (дги ■ ди>). (3)
Инфинитезимальная форма данного преобразования получается, если положить
= Щг) = г + ф), (4)
где ((г), ((1) — аналитические функции. В этом случае, разлагая ер (и;,ТО) и 1п (дгидш) в ряды Тейлора в окрестности точки (л, г) и сохраняя только линейные по (, С члены разложения, находим:
(5)
ер (г, г).
Преобразования такого вида играют важную роль в конформно инвариантных теориях поля.
Уравнение Лиувилля обладает двумя сохраняющимися токами, которые получены в главе 1; в дальнейшем этот результат обобщен на случай более сложных систем Тоды. Эти токи имеют вид:
Т(г) = д2ер- (дер)2, Т(2) = Ъ\ - (Вер)2 (6)
и являются сохраняющимися величинами для уравнения Лиувилля в том смысле, что
дТ(г) = 0, дТ(г) = 0. (7)
Преобразование тока T(z) при аналитических подстановках имеет
вид:
T(z)=T{w(z)).(dw)2 + l-{w,z}, (8)
где
f . d3w 3 fd2w\2 -Uy, z }• = —---—-
x ■ s dw 2 V dw
— так называемая производная Шварца; для тока T(J) все соотношения аналогичны.
Инфинитезимальная форма полученного преобразования имеет вид
6cT(z) = (2дС + ф) ■ s) T(z) + (9)
откуда видно, что T(z) является (квази)первичным полем конформного веса (2,0). Последнее преобразование приводит к алгебре Вирасоро для тока T(z), которая является простейшим примером W-алгебры, ассоциированной с простой алгеброй Ли типа А\:
{ВД, T(w)} = (T(z) + T(w))6'(z -w)+ l-8"'{z - w). (10)
Этот вопрос подробно обсуждается в главе 3.
В § 2 рассматривается преобразование Бэклунда, связывающее эллиптическое уравнение Лиувилля и уравнение Лапласа:
Ли = е2" и Av = О,
которое имеет вид
их —vt = еи sin V,
(П)
Ut +vx = е cos v. Это преобразование позволяет найти следующий вид общего решения эллиптического уравнения Лиувилля:
«(*,/) = 2 ln ^tlí, (12)
где v(x, t) — произвольная гармоническая функция.
В главе 2 рассматриваются общие свойства систем Тоды. Классические уравнения движения модели Тоды в двумерном пространстве Минковского записываются в координатах светового конуса z — t + х, ~z = t — х, с дифференциальными операторами д = д — —в сле-
OZ OZ
дующем виде:
г
= (13)
¿=1
Здесь ср : С2 —> i) — функция на "пространстве-времени" С2, принимающая значения в картановской подалгебре f) алгебры Ли д, аг (г = 1, ..., г = rank 5) — простые корни, Hi (г = 1,..., г) — генераторы Вей-ля, образующие базис в f), /3 — положительная константа (константа взаимодействия), которую мы положим равной 1. Разложив (р по базису Вейля,
г
перепишем уравнения (13) в виде
ddipj = exp ^^kjiip^j , j = 1,... , г, (14)
где kji — матрица Картана алгебры Ли д.
Приведены примеры систем Тоды, ассоциированных с простейшими алгебрами Ли классических серий:
Аг : ddip = e2v, (15)
А2 : ddipi = ддрг^е-^2^. (16)
В2 : дд<рг = ddip2 = e~fi+2<P2. (17)
Построено представление нулевой кривизны для системы Тоды:
^ + = О,
ll - <18> + О,
где ф = — вектор-функция от г, г, а Л, Л — квадратные мат-
ип/
рицы соответствующего порядка:
г
7 = 1 г
(19)
= £ (2, г) + (г, г) );
;=1
здесь ну. йу, /у, — функции от г, г, подлежащие определешпо, Ну, Е], Р] — образующие Шевалле алгебры Ли д.
§ 1 содержит также доказательство того факта, что система Тоды является конформно инвариантной; доказательство основано на инфи-китезимальном критерии инвариантности. Одновременно найдены ано-
г __„_
мальные размерности полей Тоды, которые равны А¿=23 где ^
з= 1
— матрица, обратная матрице Каргала соответстБующей алгебры Ли.
В § 2 описан лагранжев формализм для системы Тоды. Уравнения системы Тоды могут быть получены как уравнения Эйлера—Лагранжа вариационной задачи с лагранжианом
£ = У] гД-|2 I £ к^д-р^'Р] + 2 ехр ( V к^щ ) > , (20)
где а-1 — простые корни алгебры Ли д. — матрица Картана. Здесь же найдено выражение для бесследового тензора энергии-импульса системы Тоды:
г++ = V — т— = V
У^ кг]д(ргдр] - 2д2<рг
Показало, что компоненты Т(г) = Т"1"*" и Т(г) = Т являются генераторами конформной симметрии системы Тоды, т.е.
= {?>}. где Г = (22)
Здесь же описаны канонические переменные <-рг и тгг- = У" - ^ | кг,д(рг
г Щоц\
для системы Тоды и вычислены канонические скобки Пуассона:
(23)
В § 3 описана процедура гамильтоновой редукции модели Вес-са—Зумино к системе Тоды. Модель Весса—Зумино задается функционалом действия
Б{9) = ~Ы[(э-1^)^"1^)] + /1г [(¡Г1^)3].
В*
(24)
где у (£) — матри <пгое поле со значениями в полупростой группе СД м = (С0^1); метрический тензор г/00 = — г/1г, к ■ - безразмерная константа. Уравне1шя движения этой модели имеют вид
а/ = 0, 07 = 0, (25)
где .7 = дс) • г/1, д] = г?-1 • <3д. Используя наложение связей вида = /(*;■) = «А г = 1,... , г;
(26)
0, 7(^)=0, /3 £ Ф+ \ А на сохраняющиеся нетеровы токи
/(А) = ЦА«/), 7(А) = ^(Л7), (27)
ассоциированные с произвольным элементом А € д, приводим уравнения движения модели Весса—Зумино к системе, состоящей из уравне-
НИИ
А 1дА = ^ \cti\2v*Ei exp I fcijVi ¿=i V'=i
г / г
ЭС ■ С'1 = ^ ЫУЯ exp J2 i=l \j=l
и системы Тоды. Здесь А, С п В = <Pj — компоненты гауссо-
i=i
ва разложения g = ABC воля Весса—Зумино. Такая редукция позволяет выразить решение системы Тоды через решение модели Весса—Зумино.
В § 4 вычисляются точные решения задач Гурса для систем Тоды, ассоциированных с алгебрами Ли А\ и Ai- Для уравнения Лиувил-ля (15) получено решение
cp(z)<p{z)
е2<р —
г z
О О
что совпадает с известным решением уравнения Лиувилля, проинтегрированного в середине прошлого века, а для системы Тоды (16) — решение вида
е-« = Ыг)^)]-!^,^)^)]-^ х
1- Г рф') <1г' ( <р1{г')(П,+ Jo
+ Г йг' Г ¿г" ^{г")^') Г <& Г с&'р^Щр') ,
Jo ./о -'о ' о
и аналогично для (¿2(2,1), с заменой <ру —952, <—> V2 в последней формуле. Здесь <р, <рх, <р% — функции переменной г, а Тр, Тру, Тр2 —' функции переменной г, заданные на характеристиках г = 0 и г = 0 соответственно.
(29)
В главе 3 устанавливается взаимосвязь между дифференциальными инвариантами кривых в эквиаффинном пространстве 21га+1 и образующими ИМп-алгебры и на основе этой взаимосвязи вычисляются образующие и соотношения: \YA\- и ТУУ^-алхебр.
§ 1 содержит общее рассмотрение проблемы. Установлено, что аффинные аналоги уравнений Френе
дд = дА,
(31)
где д = (гх,... , тп) — матрица, столбцы которой образованы компонентами векторов подвижного репера т\, ..., гп, присоединенного к кривой 7 в эквиаффинном пространстве 21п_|_1; могут быть записаны в таком базисе т^, .... тп. что матрица А имеет вид
А =
(О О 1 о
о о \о о
. О -кх \ .0 -кг
.0 -А:„_1 .1 0
(32)
при этом ¿1, ..., кп-г являются дифференциальными инвариантами кривой 7, полностью определяющими последнюю (с точностью до движений в йп+х).
Показано, что ток 1 = дд-д-1 модели Весса—Зумино, подчиненный связям (26) или (28), необходимо имеет вид
J = I- + Y, а"Е° + £ =
/0 О ... 0 0\
1 о ... о о \о 0 ... 1 о/
• (33)
Поскольку такой го к в матричном представлении может быть приведен к виду, совпадающему с матрицей (32):
г=1
/О О О О
V0 о
о 0\
О 1
г-я строка,
О О/
то коэффициенты являющиеся образующими Р^Лп-алтебры, естественно отождествляются с дифференциальными инвариантами кривой 7 в эквиаффинном пространстве 2ln-|_i. Это позволяет привлечь аппарат аффинной геометрии и инфшштезимальную технику Ли к вычислению образующих и соотношений W Ап-ялгебр. При этом геометрические объекты, связанные с кривой 7, получают естественную теоретико-полевую трактовку, например, касательный вектор т\ интерпретируется как первичное поле.
В § 2 получена WAi-алгебра (алгебра Вирасоро) на основе взаимосвязи ее образующих и дифференциального инварианта плоской аффинной кривой 7. Найден явный вид дифференциального инварианта k(t) кривой 7, заданной параметрическими уравнениями х'1 = x,l{t), ц = 1,2:
k(t)
1(1, IV) 3(11, III)
2 (I, II) 2 (1,11)
3 f(I,IH)\2
4 V (I) И) /
(34)
где (I, II) = det ¿2 и аналогично для (I, III), (II, III), (I, IV). Получен закон преобразования k(t) при репараметризациях вида t t+s(t), который совпадает по форме с законом (8) преобразования тензора энергии-импульса уравнения Лиувилля. Соответствующие инфините-
зимальные преобразования для и т 1(4) имеют вид:
6ек = 2 (де)к + едк + (35)
■6£тг = {-^де+ед^ тх,
откуда ясно, что аффинная кривизна к и касательный вектор т\ с точки зрения теории поля являются полями с аномальными размерностями 2 и соответственно.
Преобразование (35) позволяет записать скобку Пуассона для к(1) и к(1,'), которая, по существу, является соотношением между образующими ШАх-алгебры; результат совпадает с (10).
В § 3 аналогичным образом исследуются ЦГА2 -алгебра и кривые в трехмерном эквиаффинном пространстве 21з. Дифференциальные инварианты кривой 7, заданной уравнениями — ^ = 1,2,3, имеют вид
к = к = 0 (I, III, IV) , (1,Ц,У) 4 / (1,И,1У) \ 2 2 " (1.П.ГТТ) (Г. ИЛИ) 3 имтлт!)) ''
_!/•'- 5 ТУ' _ _ Чинл-р
2 '2 ~ 3 (1.НЛП) 6(1,11,111) 6 (1,11, III) , ч
' о (Зь)
_ Г + 5(1,п,1У)(1,ш,1У)
27 V (1,11, III) / 3 (1,11, III)2
5 (1,11, !¥)(!, II, V)
6 (1,11, III)2.
Найдены инфинитезимальные преобразования инвариантов и вектора г у.
5£1 к = 2(де1)к + ехдк + 2д*еъ 5£1гА1 = 3(Эех)и! £\дио, (37а)
5е1тг = -{д£1)тг + е1дт1;
5е2к = 3(de2)w + 2e2dw,
5С2ю = -Ь5е2 - ^(<Э3е2)«Э* -\(д2Е2)дк~
- \{8ег)д2к - ±е2д3к - ^(¿£2)fc2 - 2-е2кдк, {ЗЩ и отсюда выведены соотношения для W А2-алгебры:
{k2(t),k2(t')} = + "О+2<Г(<-*'),
{k2{t),k1{t/)} = 3kil{t)S{t - t') + 2k[(t)S(t - t')--{kl(t)S(t-t')]" + 5""(t-t'),
{h(t)Mt'))
S(t - f')+
(38)
+ [k22{t) + 2k[(t) - 2k[r{i)]6'(t - t')- 2k't(i)5" - - О + ^""4* -
о j
Из (37), (38) видно, что ri, к(t) и w(f) являются полями аномальных размерностей —1, 2, 3 соответственно.
В главе 4 изучается. система Толы, ассоциированная с бесконечномерной алгеброй Ли тина — так называемое уравнение sine-Gordon. В силу бесконечномерности алгебры А^ уравнение sine-Gordon не является точно интегрируемым, т.е. решение задачи Гурса не удается выписать в квадратурах. В § 1 строится алгоритм асимптотического разложения решения задачи Гурса
= sin и,
д2и дхду и(х, 0) = £<р[х),
. "(0,у) = £ф{у)
по параметру е. Показало, что коэффициенты мп(х, у) асимптотического разложения
°° £к
и{*,у) = Y1 иь(х>у)-ы (40)
fc=0
определяются из линейных дифференциальных уравнений типа телеграфного уравнения; при этом uq = О, иу выписывается в явном виде:
у (41)
+ Г ti>'(ri)W(x,0;y,V)dri, J о
где Jo — модифицированная функция Весселя порядка 0, а W(x, f; г/, г,) = /0 (2х/(г-е)(у-г?)) ;
все коэффициенты с четными номерами тождественно равны нулю, а для коэффициентов U2J4-1 получен рекуррентный алгоритм их вычисления. Доказано следующее утверждение.
Утверждение. Ряд (40) с коэффициентами, определенными согласно приведенному алгоритму, является асимптотическим по е —> 0 для решения задачи Гурса для уравнения sine-Gordon; иными словами, существует ео такое, что при е < £о задача Гурса имеет решение и(х, у; е) и на любом компакте D С R2
sup и(х,у,е)-ип{х,у;е) = О (en+1) , (42)
(x,y)ez>
n £k
где Un(x, У, e) = ттuk(x,y) —частичная сумма ряда (40). fc=o
§ 2 посвящен вопросу внутреннегеометричесхой интерпретации произвольных решений уравнения sine-Gordon. Именно, каждому решению и(х, у) этого уравнения сопоставлен но определенному правилу некоторый клеточный комплекс, двумерные симплексы которого, являющиеся с метрической точки зрения областями плоскости Лобачевско-
го, допускают введение регулярной чебышевской сети; одномерные и нульмерные симплексы суть линии и точки вырождения этих чебышев-ских сетей. Приведены примеры, иллюстрирующие данное геометрическое описание в случае некоторых известных точных решений уравнения sine-Gordon.
По теме диссертации опубликованы следующие работы:
1. Geometry of pseudospherical surfaces. Proc. of the First Non-Orthodox School on Nonlinearity and Geometry, Sept. 21-28, 1995, Warsaw. Bull. Stud. Research Group Nonlin. Geom. № 2 (1996), pp. 96-97.
2. Toda systems and PF-algebras. Proc. of the First Non-Orthodox School on Nonlinearity and Geometry, Sept. 21-28, 1995, Warsaw. Bull. Stud. Research Group Nonlin. Geom. № 2 (1996), pp. 97-98.
3. Внутреннегеометрическая интерпретация решений уравнений синус-Гордона и Чебышева. Дел. в ВИНИТИ, № 1009-В93, 19.04.93.
4. Преобразование Бэклунда для эллиптического уравнения Лиу-вилля. Понтрягинские чтения— У. Тез. докл. Воронеж, 1994. С. 106.