Слабая обобщенная локализация для кратных тригонометрических рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

IMXL^W

Мацеевич Татьяна Анатольевна

СЛАБАЯ ОБОБЩЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ ДЛЯ КРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ С НЕКОТОРЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ

Специальность 01 01 01 - математический анализ

АВ7 ОРЕФЕРЛ1

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

UUJU53088

Москва - 2007

003059088

Диссертация выполнена на кафедре математического анализа Московского государственного областного университета

Научный руководитель.

доктор физико-математических наук, профессор И.Л.Блошанский

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Т.П Лукашенко (МГУ им Ломоносова)

кандидат физико-математических наук, доцент О К Иванова (МГТУ "Станкин")

Ведущая организация.

Московский инженерно-физический институт (технический университет)

Защита состоится 31 мая 2007г. в 15 часов 3d минут на заседании Диссертационного Совета К 212 203 04 при Российском университете дружбы народов по адресу. 115419, г Москва, ул Орджоникидзе, д 3, ауд 495 (Х-

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу 117198, г Москва, ул Миклухо-Маклая, д 6

Автореферат разослан CUbjb&MfL 2007г

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 212 203 04, кандидат физико-математических наук, доцент ' ■ ^ И.Л Куценко

Актуальность темы и прикладное значение Работа посвящена важной и бурно развивающейся с середины 60-х годов прошлого века области многомерного гармонического анализа - теории кратных тригонометрических рядов Фурье Исследования в этой области дают обоснования решений методом Фурье эволюционных уравнений математической физики и позволяют исследовать граничные свойства аналитических функций многих переменных,

Научная новизна и публикации Все доказанные в диссертации теоремы являются новыми Основные результаты опубликованы в 15 работах

Апробация работы Полученные в диссертации результаты докладывались на научно-исследовательских семинарах чл -корр РАН, проф Ульянова ПЛ, проф Потапова М К, проф Дьяченко М И (Мехмат МГУ), проф Хавинсона С.Я, проф Гар-кави A JI (МГСУ (МИСИ)), проф Блошанского И JI (МГОУ), на Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", посвященной 75-летию чл -корр РАН, проф Кудрявцева ЛД (Москва, 1998г), на Международной конференции "Математика Образование. Экономика" (Чебоксары, 1998г), на Международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998г), на Международной конференции "Математика Экономика. Экология. Образование" (Ростов-на-Дону, 1999 г), на Воронежских зимних математических школах (Воронеж, 1997, 1999 и 2005 гг ), на 9-й и 11-ой Саратовских зимних школах (Саратов, 1998 и 2002 гг)

Содержание работы

1 Рассмотрим Л^-мерное евклидово пространство ЖЛ', элементы которого будем обозначать х = (х|,. ,xN), и положим кх = кхх t + . + kNxN , |x|2=xf+ . +х% .

Рассмотрим множество всех векторов с целочисленными координа-

тами и для любого X е 2Z1 определим множество = {х е USW х}>\,

1 á j <. N } Положим также = %N f|üS^

Пусть 2л - периодическая (по каждому аргументу) функция /(*) eLp(TN), р Z 1, TV £ 1, где TN = {х е ES* : -я x¡ < п, j = 1, ,N} разложена

Л ■ \

-2в кратный фигонометрический ряд Фурье

Для любого вектора п - (Л|,«2,. , п^) е zZq' рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда

S„(x,f)= Z ■■ "fcke,(k>X<+ +к»Х»\ (2)

*|=-Л| kN =-п N

частным случаем которой, является квадратная частичная сумма S„Q(x,f), когда Я| = «2 = ••• = nN ~п0 При этом под сходимостью ряда в (1) по прямоугольникам будем понимать существование предела частичных сумм S„(x\f) - (2) при <я (те min п. —> оо), а под сходимостью ряда в (1) по квадратам - существование

14JHN J

предела S„0(x,f) при п0 со.

Пусть XI, XI с Г*, - произвольное измеримое множество, |дХ1> 0 (ц = Цд, -//-мерная мера Лебега), и пусть f{x) = 0 на U

В диссертации изучается поведение на И и TN частичных сумм (2) при п оо в зависимости от структуры и геометрии множества XI, а также условий, накладываемых на функцию f{x)

2 Для одномерных рядов Фурье функций f eLy классический принцип локализации Римана утверждает, что ряд Фурье функции / е ¿¡(Г'), /(х) = 0 на интервале / с Т 1, сходится к нулю равномерно на каждом сегменте, целиком содержащемся в I.

Для кратных рядов Фурье (NZ 2) классический принцип локализации Римана перестает быть верным не только для непрерывных функций (это было доказано Л.Тонелли в работе [1]), но и, как следует из работ Л.В.Жижиашвили [2], [3], для функций из класса

Я Ш(Г"Н/6 С(Г")- ю(5,/) = sup|^j<5 \f{x)- f(y)\ = 0(w(5))}, (3)

x,yeTN

r iV"w

где co(5) = w(S) = X.(8) log- , a X(6) - произвольная монотонно стремящаяся к Ч 5 У

( lY'"

+ оо (при 8 + 0) функция такая, что X,(8)l log-J -» 0 при б-> + 0 (см. [4, с 31])"

В работе В А Ильина [5] (см также [4]) были найдены необходимые и достаточные, в терминах уже интегральных модулей непрерывности, условия классической локализации. Обозначим через <ар (5,/) интегральный модуль непрерывности

шр(6./)-«Рi J J\f{x + h)-f{x)\Pdx\P.

Пусть leZо и пусть /(*), Da/eLp, 14р<<х>, |a|i/ 2) и mp(S,Da/)=

=о(6т) при т е[0,1), тогда, как было доказано в работе [5], если

(/ + т)р> Л' -1, то классическая локализация справедлива (т е ряд Фурье функции / равномерно сходится на каждом компакте К с G, где G - область из TN, на которой f(x) обращается в нуль), если же (/ + х)р - N -1 (при т * 0), то классическая локализация не справедлива.

Поисками окончательных условий справедливости классической локализации в различных функциональных пространствах, начиная с 1970 года, занимались В А Ильин [5], JI.B Жижиашвили [2], К.Гофман и Д.Ватерман [б], Р.РАшуров [7], А.Й.Бастис [8], П.Шйлин [9], И.Р.Лифлянд и МА.Скопина [10], [11] и др. (см. также обзорные статьи [4], [12], [13], [14], [15]). Из существовавших к 1975 - 1978 годам результатов о классической локализации стало ясно, что для кратных рядов Фурье, оставаясь в классах Lp, естественно ввести другое понятие локализации.

3 В работе [16] (см также [17]) И Л.Блошанским было введено понятие обобщенной локализации почти всюду.

"Л В Жижиашвили было доказано в [2], [3], что, если «>(8,/) = о I log— I , то ряд Фурье функ-

HI-

ции /(*) равномерно сходится на Г^.т.е. справедлива классическая локализация. 21 Символом а здесь обозначен мультииндекс, т.е. а"(а|,.„, ац)е, |а|»сц+ .+ац,

ха = *?'..* й* , а символом Оа = О?' О?/", где О, = -/-7— (I - мнимая единица) ■ п 1 " ' еЬу

Определение 1. Пусть Н с. TN - произвольное множество положительной меры Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из Lp, р £ 1, справедлива на множестве V. обобщенная локализация почти всюду (ОЛ), если iu условия /(*) eLp(TN ), р~г I, /(*) = О на U, следует, что почти всюду на Н существует предел

lim S„(x ,/) = 0.

И-» СО

При N = 1 OJI справедлива на любых измеримых множествах У сГ1 в классах Lp, р> 1. Это следует из работ Л.Карлесона [18] и Р Ханта [19]. Если р - 1, то

OJI в одномерном случае справедлива в классе Lt на измеримом множестве Нс7"', ц11>0, тогда и только тогда, когда это множество является открытым почти всюду 3). Достаточность этого факта следует из классического принципа локализации Римана, необходимость доказана И Л Блошанским в [20] (см [20, теорема 2 для N = 1]).

В кратном случае исследования, касающиеся ОЛ, были проведены И.Л Блошанским в работах [16,17,20-22] Так в случае N =2 в работе [16] было доказано, что если функция f(x) eLр(Т 2), р> 1, то для двойных рядов Фурье на

открытых почти всюду множествах справедлива ОЛ Заметим, что усилить данный результат, доказав его в случае N = 2 и р > 1 для произвольного измеримого множества оказалось невозможным, т.к. в работе [21] было построено измеримое множество lie Г2 (с мерой сколь угодно мало отличающейся от меры квадрата Г2),

л

на котором обобщенная локализация не справедлива в классе Lm(T ) (при суммировании по прямоугольникам).4'

Если же рассматривать класс L, (Т N), то (см [22]), уже начиная с двумерного случая,

ОЛ не справедлива вообще ни на каком измеримом множестве И с ТN ,0 < [ill < (2п)А', // £ 2, даже при суммировании кратного ряда Фурье по кубам

J) Множество Е будем называть (см [20], [26]) открытым почти всюду (п в ), если существует открытое множество Е, такое, что ц(ЯА ) = 0

41 Справедливость ОЛ на открыiых п в множествах ПсТ1 была также доказана (см [23]) в классе ¿log* /.log* log* L (поэтому поводу см также работу [30])

Что касается случая N > 3, то, как было установлено в работе [22], OJT в этом случае уже не справедлива ни на каком измеримом множестве Ис7"Л , не являющемся плотным в TN ("И ,11 - замыкание множества Н) при суммировании кратного ряда Фурье по прямоугольникам даже в классе (C(7"v)

В [24] были проведены исследования справедливости OJI на любых открытых множествах НсГ3 для функций /бЯш(Г3), /(*) = 0 на И, в частности, установлено, что OJI справедлива на открытом множестве И с Т3, если (см (3))

со(5) = о( со(0) (6)) при 5 + 0, где ю(0) (5) = [log-log log log -

v 8 6

Таким образом, т к обобщенная локализация п в справедлива на произвольном открытом множестве только в случае N = 2, р > 1, то появилась необходимость перейти к более тонкому аппарату исследования поведения ряда Фурье функции / на множествах, где / равна нулю, а именно, к понятию "слабая обобщенная локализация", введенному И Л Блошанским в работе [26]

Определение 2. Пусть И с TN - произвольное множество положительной меры Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из Lp, p~z 1, справедлива на множестве П слабая обобщенная локализация почти всюду (СОЛ), если для любой функции f(x)eLp(TN), р S 1, /(х) = 0 на ХИ, существует подмножество положительной меры U, множества И такое, что lim Sn(x ;/) = 0 почти всюду на И].

п 00

Заметим, что, так как из справедливости на множестве Н ОЛ следует справедливость на этом же множестве и СОЛ, то СОЛ справедлива при N = \, р> 1 на

произвольных измеримых множествах ИсГ1, а при N = 1, р = 1 и N = 2, р > 1 -

на открытых п в множествах Д с. ТN Однако, понятия ОЛ и СОЛ не совпадают (см [26], теорема 1)

4 Введем следующие обозначения Пусть М - множество чисел {l,2, ,iV}, и

31 Заметим, что, как было установлено К И Осколковым в [25], равенство со(8) = о(со'°'(8)) является

достаточным условием сходимости п в на Т2 двойного ряда Фурье функции /

пусть к в , \<,к<Л Обозначим J = Jk - у }, Js < ^| при s<l, и (в

случае к<И) M\J = M\J/C={m ,тм_к}, т3<т/ при к/, - непустые подмножества множества М Разложим пространство Е" на сумму двух подпространств ®4у)иМ"4(М\У), где

Е&* (•/) = {* = (*,, X) =0 при ] еМ\/},

1Е/У"<;(М\У) = {д: = (х1, .¿^бИй" =0 при е./} Обозначим также-

Г5= -л<71 при 7 ,]к) ТМ\>/ = {*6 -■к<Xj<u при ) = тх.....тн_к)

Очевидно, ПК"(М^ПК*, а

Пусть Q.J, J = Jlí а М, • произвольные (непустые) открытые подмножества Т'} Положим

(4)

»1= П^ (5)

Предполагая (при к ^ 2), что

, рассмотрим

= и^у (6)

Множества ^, следуя работам И Л Блошанского (см [26], [27]), в случае А = 1 (те будем называть "крестом из /^-мерных плоскостей" и Ж? его центром, а в случае А >1 (те 1У2 и тп) будем называть "крестом из ^/-мерных брусков" и 1У\ - его центром

Заметим, что в "кресте т N - мерных плоскостей" число "плоскостей" равно размерности пространства, в то время как в "кресте т N - мерных брусков" число "брусков" равно Сдг (в частности, при к = 3 в случае N>4 число "брусков" больше размерности пространства)

5 В работах [26] и [20] И Л Блошанским были введены и изучены ЕВ, и ¡В2

свойства множества llcT,v, указывающие на определенную структуру и геометрию этого множества (связанные соответственно с одномерной или двумерной проекцией определенного подмножества Н) Дадим определение свойства 15>¿ (к = 1,2,3) множества II (по этому поводу см также [36])

Определение 3. Будем говорить, что множество НсГ", N £ 1, обладает свойством ffi>¿, к = 1,2,3, если существует множество Wk вида (6) такое, что

\i(Wk \ 2!) = 0, причем свойство ЕВ* есть свойство Шк(JVk), если Wk = WQVk)

Замечание Если множество il обладает свойством , то оно обладает и свойством Обратное, вообще говоря, не верно (см [27])

6 Пусть П, U cTN, - произвольное измеримое множество, >0 (//21) И Л Блошанский доказал (см [20], [26], [27]), что для такого множества У и любой функции /еLp (р S 1), /(х) = 0на И,

lim S„(x ,f) = 0 для почти всех х е Wk, k = к(р, N), (7)

П -* 00

тогда и только тогда, когда И обладает свойством IB¿ (Wk), к = 1,2, причем

а) если р = 1, N > 1, то в оценке (7) к = 1,

б) если р> 1, N £ 2, то в оценке (7) i = 2

Заметим, что в случае б) оценка (7) была доказана И Л Блошанским в [26] при двух дополнительных ограничениях на множество Ъ - СИ = TN \ ХI.

1) n(2J\int(B)) = 0 6), (8)

2) \ik f/-pr(^){mt(b)} = 0 для всех наборов Jk={j\, ,д}сМ, (9)

где - мера Лебега в пространстве ES*, ргук){Р} - ортогональная проекция множества Р, Р с MN, на пространство (xJ[, ,xJk), int (Р) - множество внутренних точек Р, Fr Р - граница Р, Р - замыкание множества Р

Таким образом, учитывая определение 2, на множестве 1X<zTN (N > \) в

6) В частности этому условию удовлетворяют множества В такие, что |i{int(^)} = , в свою очередь, последнее условие справедливо, например, для множеств В таких, что Ъ =■ Т^ \И, где И -произвольное замкнутое множество

классе Ьр(р > 1) справедлива СОЛ тогда и только тогда, когда множество 11 обладает свойством © к, к = к{р,М) = 1,2; причем, к = 1, если р- 1, N>1 и к = 2, если р > 1, N > 2

Исследования СОЛ в классах Орлича ("лежащих между" Ь, и Ьр, р > 1) на

произвольных измеримых множествах У, ИсГ", N >2 были проведены в работах О К. Ивановой [32], [34] (см также [35]) Исследования СОЛ в некоторых других функциональных пространствах см в работе И.Л Блошанского [36] Перейдем теперь к результатам, полученным в настоящей работе Как было отмечено выше, для случая N 1 в классе Ь , справедливость или

несправедливость на множестве УсГ" СОЛ определяется структурой и геометрией множества Н, описываемыми свойством Ш \ При повышении гладкости

рассматриваемых функций (т е для функций из Ьр, р > 1) в случае N £ 2 свойство © I множества И заменяется свойством ПВ 2, т.е "жесткие" условия на геометрию и структуру множества У (определяемые свойством ЕВ |), заменяются более "мягкими" условиями, накладываемыми на ту же геометрию и структуру множества XI (определяемыми уже свойством ЕВ 2)

Возникает вопрос о еще большем ослаблении условий, накладываемых на геометрию и струюуру множества и (в терминах свойств ЕВ к ), если рассматривать СОЛ

при N £ 3 для более гладких функций, например, в классах Н В диссертации

доказано, что такими "мягкими" условиями (на геометрию и струюуру множества И ) ддя справедливости СОЛ на Н п классах Н N2.3 является свойство ПВ3

Диссертация состоит из двух глав В этих главах мы проводим дальнейшее исследование слабой обобщенной локализации почти всюду - СОЛ (определение которой мы давали выше) Исследование СОЛ проводится в классе непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности. А именно, для функций из классов

ЯВ(Г"). где

са(8) = о(м(0)(б)) = о

(10)

или

со(5) = ш«(5) =

-1+Е

,0 < е < 1 7)

(П)

Исследование СОЛ разбивается на две части в зависимости от того, в каких классах Я'Чг") и(5) = о(со(0)(5))-(Ю) или со(5) = со*0 (8) - (11) оно проводится Дадим точную формулировку полученных результатов Глава 1 посвящена изучению слабой обобщенной локализации почти всюду в классе Н(а{Ти), ю(5) = о (ю(0) (б))-(10), N "¿.Ъ. Глава состоит из 3 параграфов

В § 1 первой главы нами доказывается теорема о представлении частичных сумм кратных (ТУ £ 3) рядов Фурье функций из класса #ш(7,л'), со(5) = о (со(0)(5)) -(10) Введем следующие обозначения Пусть г,\,1 - целые числа, 0 < < N, и пусть к = (£[, ДЛг)е2" Обозначим

А(.г,\>,1) = {ке^: 0 = к0 <кх < <kr¿N> 0 = к0<кг+1<

при л,

Теорема 1.1. Пусть/еНа(Т"),где со(5) = о(ш(0)(5))-(10) Тогда для любо-

0<.г,\,1<,Ы, г + \/ + 1 = И

(12)

го вектора 8 = (5|, , Зд^еГК^, у = 1,

Sn(x,f) = J„(5,x,f) + CL„(8,x,f),

где

Jn{Ъ,x,f) = —

»1 ^Д г Я л

- X 1111 III*

\ir.4N кеЦг.чЬ -„ -Ьк.,.Ък......5Ь ......

"5*1 ~®А г г+1 8*ГЛ-У к в

г+у+7=Лг

7) Не ограничивая общности, будем предполагать, что логарифмы в условиях (10), (11) по основанию 2

8*l -S kr 8*r

8 к * Г

1S/S/V ke&(r,v,0) -n 3Sv£ /V r + v=N

? i • I J i

~7t -8 z. . —5 i. ,

f{x+u)D

множество А(г, V,/) определено в (12), Оп(и)- ядро Дирихле, а а„(8,х,/) имеет следующую оценку существует номер 9 = Э(/) такой, что

\С{р, 5)

sup | а„(5,х,/)|

V7"")

константа С(р,8) не зависит от функции f

В §2 первой главы нами, основываясь на результатах §1, получены достаточные условия (в терминах структуры и геометрии множества 11) сходимости почти

всюду на - (5) кратных рядов Фурье (суммируемых по прямоугольникам) функций из На(Ты), ш(5) = о(со(0)(5)) -(10)

Теорема 1.И. Пусть XI, ИсГ", - произвольное измеримое множество, ц11>0, N2.3. Пусть /(х) = 0 на IX и /еНа(Тн),где <а(5) = о(со(0)(5))-(10) Тогда, если множество XI обладает свойством ), то

Пш 5и(х,/) = 0 почти всюду на (У3° (13)

П~* 00

Замечание Результат теоремы III интересно сравнить с результатом работы [28] СВКонягина, доказавшим существование функции / е.Ь\(Т^) с интегральным модулем непрерывности С0](6,/) = О(со(5)), где модуль непрерывности со(5)

\N-\t

удовлетворяет условию со(5)=Я.(6)| 1гД

Inln^ | —» +оо при 6 -» + 0, с расхо-

дящимся п в по квадратам кратным рядом Фурье

И, наконец, в § 3 первой главы, опираясь на оценки мажорант частичных сумм одномерного ряда Фурье, полученные в работе РХанта [19], и оценки скорости сходимости п в ряда Фурье непрерывной функции через ее модуль непрерывности, полученные в работе К И Осколкова [25], а также, используя факт справедливости

при N = 3 в классе Нт, ш(5) = о(ш(0)(5)) - (10) обобщенной локализации п в (см [24]), получены оценки мажорант частичных сумм кратных рядов Фурье функций из #Ш(Г3), ю(б) = о (ш(0)(8)) - (10), равных нулю на некотором множестве

Пусть а, Ь, с, q б IE ', q> 0 и пусть [а, а + q],[b,b + q], [с,с + q~\c[-n,n] Обозначим через Q куб

Q = [a,a + q]x[b,b + q]x[c,c + q] (14)

Теорема I.III. Пусть Дх) е #Ш(Г3), co(ô) = о (œ(0)(S)) - (10), и пусть f(x) - 0 на Г3 \Q, где куб Q определен в (14), тогда существует номер

9 = $(/) е 7L ¡5 такой, что

sup ISJx,/)!

LptfhQ)

^'/HMU)

, P>\, (15)

где константа С(р) не зависит ни от функции/ ни от куба 2

Заметим, что опираясь на метод доказательства теоремы IIII, нетрудно получить мажорантные оценки типа (15), не только на множестве И = Г3 \ £, где куб <2 определен в (14), но и на множествах 1Л = Т3\П, где П - параллелепипед, П=[a,a + q^]■x[Ь,b + q2]x[c,c-\■q3], оДедбЕ1, <?(>0> 1=1,2,3, [а.а + д,], [Ь, Ь + ]. [с,с + ] с [-л,я]; или П = Г3 \ И(/я), где 11(т) - конечное объединение таких параллелепипедов или кубов вида (14), причем для Н = Г3 \ И(т) константы в (15) будут зависеть соответственно от т • числа параллелепипедов или кубов

Глава 2 диссертации посвящена изучению слабой обобщенной локализации для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из класса НЮ(ТЛ'), ш(8) = ш« (8) - (11), N > 3 Глава состоит из 3 параграфов

В §1 главы 2 мы определяем непрерывную функцию двух аргументов /(х,у),

равную нулю на некотором подмножестве положительной меры множества Т , являющуюся некоторой модификацией функции, рассмотренной ранее в работах Ч Феффермана [29], Е М Никишина и М Бахбуха [31], А Н Бахвалова [33], а также,

доказываем ряд вспомогательных результатов, касающихся поведения частичных сумм двойных тригонометрических рядов Фурье определенной нами функции Ах, у)

В §2 мы, основываясь на результатах, полученных нами в первом параграфе главы 2, строим функцию / трех (независимых) переменных, имеющую модуль непрерывности со(б,/)=0 (а>Р(5)) - (II), и такую, что ее тройной тригонометрический ряд Фурье расходится при суммировании по прямоугольникам почти всюду

о

на Т А именно, мы доказываем следующее утверждение

Утверждение II.I. Для любого е, 0 < е < 1, существует функция Дх)еНа(Т3), со(8) = со ^ (8) - (11), такая, что

hm |S„(x,/)| = +со почти всюду на Г3 (16)

п-»<ю

Далее, в §2 главы 2 мы рассматриваем поведение частичных сумм тройных тригонометрических рядов Фурье функций / еЯса(Г3), со(8) = co^(S)- (11), равных нулю на некотором подмножестве Г3 положительной меры, и устанавливаем справедливость следующей теоремы

Теорема II.II. Существует (непустое) открытое множество Q, Q с Т такое, что для любого е, 0<е<1, существуют функция F(x)=FzCl

(х)е ЯМ(Г3),

а>(8) = ©^ (5) - (11) и множество П(е) cr Q, ¡л(П \ Q(s)) < s такие, что

1) F(x) = 0 на П(е);

2) Tim |5„(x;F)| = +оо для почти всех хе Г3 Ш, (17) «->00

3) существует hmS„(x;F) для почти всех хе£2 (18)

л-*«>

В §3, используя результаты, полученные в § 2 главы 2, нами исследуется слабая обобщенная локализация п в для N - кратных тригонометрических рядов Фурье

(N > 3) функций из Я", со(8) = со^(8) - (11) Из теоремы I И главы 1, в частности, следует, что для любого множества fV3 вида (6) и для любой функции Дх) <=H°(Tn),N> 3, со(8) = о (со(0)(8)) - (10), такой, что /(х) = 0 на W3

Ьт 5„(х,/) = 0 для почти всех х е О^)

Возникает вопрос о том, можно ли усилить результат теоремы III, уиановив равенство (19) на множестве большем, чем й^0, в частности, на всем множестве Ж3 - (6), на котором функция /(х) равна нулю Следующая теорема дает частичный ответ на этот вопрос

Введем следующие обозначения Пусть Пу, У = У3 с Л/, - произвольное (непустое) открытое подмножество Т] Фиксируем произвольное е, 0 < е < 1, и пусть O.J =0^(е) - открытое подмножество т] и \Оу) < е Опреде-

лим аналогично множествам йу - (4) и - (5) при к = 3 следующие множества

) = Й,х7#3, (20)

Щ°=Щ°(е) = П^ (21)

сМ

Теорема П.Ш. Для любого N > 3 существует множество вида (6) такое, что для любого е, 0 < е < I, существуют функция /(х) = /Е(х)еЯм(Г"), <о(5) = со ^(5) - (11 )имножество = Щ°(е) - (21) такие, что /(х) = 0 на 1У2 и

Ьш |£„(х,/)] = +« почти всюду на ТИ \ (22)

П-*оО

К сожалению, на данный момент мы не можем получить оценку (22) на всем множестве Ты \Щ°в классе Я'°(ГЛГ), когда со(8) = со^(б) - (11), тем более, когда со(8) = о (<в(0) (5)) - (10) Тем не менее, из результата теоремы IIIII следует, что равенство (19) нельзя установить на всем множестве 1У3 - (6), на котором функция равна нулю, в классе (г" ), со(5) = со^ (5)

Теоремы III и IIIII ставят новый вопрос насколько существенна геометрия множества ТУ^ Следующие теоремы покажут, что существенно изменить геометрию множества нельзя (т е нельзя отказаться от "креста из Л^-мерных брусков" с числом "брусков" Сдг, N > 3, так же, как нельзя изменить и геометрию самих "Л/ -мерных брусков", оставаясь в классе Нш, со(8) = <¡4^(8)- (11))

Пусть QjO = ^{1,2,3} и J = Jjcz М, * У3, - произвольные (непустые)

о

открытые подмножества множества Tj Фиксируем произвольное d, -iz<d <п и рассмотрим множества

W ,о (d)= Q ,о х [- я, пУ ~4 х (-л.о?) х [- я, (23)

J® = {1,2,3}, интервал (-n,d) принадлежит оси Ох}, 4 S j < N и

J3 = {/),72>Уз>}> 1-Л < J2 < Л - Л', J3 * J3° Как видим, множество Wjoid) является "неполным бруском" Рассмотрим далее множество

U^s^U *>(<*), (25)

У3сЛ/ 3

где Wj. (¿/)-(24), а W 0(d)-(23) Очевидно, что множество W3 (d) - "крест из з У3

мерных брусков", у которого один из "брусков" - неполный

Теорема II.IV. Пусть N > 3 Для любого е, 0 < е < 1, существуют функция /(*) = /ЕМбЯв(Г"), ш(8) = (8) - (11) w множество W3(d) - (25), такие, что Дх) = 0 но Ж3(йО и

hm|iS„(x,/)| = +оо почтивсюдуна TN (26)

Теорема U.V. Пусть N > 3 Для любого е, 0 < е < 1, существуют функция /(*) = /с О) б Ha(TN), ш(8) = ю<1)(3)- (11) и множество W4 - (6), шш, что /(х) = 0 шЖ4 ы

Iim|S„(x,/)| = +oo почтивсюдуна TN (27)

л->оо

Теоремы II IV и II V доказывают существование (непустых) открытых подмножеств множества г", N>3, на которых в классе Ha(TN), <я(8) = со^(8)-(11) несправедлива не только обобщенная локализация, но и, более того, слабая обобщенная локализация (последнее есть следствие того, что указанные подмножества не обладают свойством Ш3)

Сформулированные выше результаты имеют следующую геометрическую интерпретацию Если функция f(x)eHa(TN), N> 3, м(8) = о (сй(0*(8)) -(10) равна нулю на "кресте из N-мерных брусков" - ^з-(б), то в центре его (т е на множестве JV3-(5)) почти всюду частичные суммы Sn(x,f) —»0 при от (это следует из теоремы I И) Таким образом, на "кресте из ЛГ-мерных брусков" - W3 справедлива слабая обобщенная локализация п в При этом оказывается, что "существенно" увеличить множество, на котором Sn(x,f) —> 0 при «—><», (оставаясь в рамках геометрии множеств Щ)в классе когда со(8) = со^(5) - (11), тем более, когда со(8) = о (со^(8)) - (10), - невозможно (теорема II.III) Результат теоремы II IV заключается в том, что если из "креста из N-мерных брусков" - W3 удалить хотя бы часть одного из "брусков", те рассмотреть, например, вместо множества Wxhx2,x3 =¡^xhx2lx^TN'3 множество

^b*2,*3(¿)= Пхих2,х3х {-K,d)xTN~\ -K<d< TT,

то на таком "кресте" COJI в классе Hm(TN), N> 3, co(S) = co^l)(8) - (11), уже не справедлива В свою очередь, результат теоремы II V заключается в том, что если, оставаясь в классе Hm(TN), со(8) = со^ (8), N> 3, изменить геометрию самих этих "брусков" (те рассмотреть вместо множеств fVj3 =Qj3 х множества

Wj4~Qj4 х Г дД4, ), то СОЛ также не справедлива

В заключение хотелось бы выразить глубокую благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Блошанскому И Л

Литература

1 Tonelli L Serie trigonometriche Bologna 1928

2 Жижиашвили Л В О некоторых вопросах из теории простых и кратных тригонометрических и ортогональных рядов // УМН 1973 Т 28,№2 С 65-119

3. ЖижиашвичиЛВ Сопряженные функции и тригонометрические ряды Тбилиси 1969.

4 Алимов Ш А, Ильин В А, Никишин Е М Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений // УМН 1976 Т 31, №6 С 28-83

5 Ильин В А Условия локализации прямоугольных частичных сумм кратного тригонометрического ряда Фурье в классах С М Никольского // Матем заметки 1970 Т 8, №5 С 595-606

6 Goffman С, Waterman D The localization principle for double Fourier series // Stud Math 1980 V 69, №1 P 41-57

7 Ашуров P P. Условия локализации квадратных частичных сумм кратного тригонометрического ряда Фурье в классах С М Никольского // Матем заметки 1989 Т 46, №4 С 3-7

8 Bastys A Y Generalized localization of Fourier series with respect to the eigenfunc-tions of the Laplace operator in the classes Lp II Lith Math J. 1991 V 31, № 3 P 269-282

9 Sjolin P Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series //Arkiv Matem 1971 V9,№1 P 65-90

10 Liflyand E R, Skopina M A Square linear means with hyperbolic factors // Analysis Math 1998 V.18,№4 P. 333-343.

11. Skopina MA Localization principle for wavelet expansions // Self-similar systems Proceedings of the international workshop Dubna Russia July 30-August 7 Dubna Joint Institute for Nuclear Research 1999 P 125-132

12 Голубов Б И Кратные ряды и интегралы Фурье // В сб Итоги науки и техники Серия Матем анализ М ВИНИТИ, 1982 Т. 19. С 3-54

13 Жижиашвили JI В Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа Тбилиси ТГУ 1983.

14. Алимов Ш А, Ашуров Р Р, Пулатов А К Кратные ряды и интегралы Фурье // Итоги науки и техники ВИНИТИ Современные проблемы математики 1989.Т 42 С 7-104

15 Дьяченко М И. Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов//УМН 1992 Т. 47. №5 С 97-158

16 Блошанский И JI Обобщенная локализация почти всюду и сходимость двойных рядов Фурье // ДАН СССР 1978 Т242 №1 С. 11-13

17 Блошанский ИЛ О равносходимости разложений в кратный тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье//Матем заметки 1975 Т 18 №2 С 153-168

18 Carleson L On convergence and growth of partial sums of Fourier series // Acta Math. 1966 V 116 P. 135-157.

19 Hunt R On the convergence of Fourier series, Orthogonal Expansions and their Continuous Analogues // Proc Conf Edwardsville III 1967. Southern Illmouis Univ Press Carbondale 111 1968 P 235-255

20 Блошанский И Л Структура и геометрия максимальных множеств сходимости и неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье функций из L,, равных нулю на заданном множестве // Изв. АН СССР Серия матем 1989 Т 53 №4. С 675-707.

21 Bloshanskii I L Generalised localisation and convergence tests for double trigonometric Fourier series of functions from L p, p> 1 //Analysis Math 1981.V.7, №1. P 3-36

22 Блошанский И Л Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа Дисс доет физ -матем наук М МИАН 1991.

23 Рослова Т Ю О справедливости обобщенной локализации для двойных тригонометрических рядов Фурье функций из L \п* L ln+ In * L II Доклады АН России 1998 Т 359 №6 С. 744-745

24 Блошанский И Л О сходимости и локализации кратных рядов и интегралов Фурье. Дисс .. канд. физ.-матем.наук. М., 1978.

25. Осколков К И. Оценка скорости приближения непрерывной функции и ее сопряженной суммами Фурье на множестве полной меры // Изв АН СССР, сер матем 1974 Т38,№6 С. 1373-1407.

26 Блошанский ИЛ Два критерия слабой обобщенной локализации для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из Lp,p~z 1 // Изв АН СССР. 1985 Т 49 №2 С 243-282

27 Блошанский И Л О геометрии множеств в //-мерном пространстве, на которых справедлива обобщенная локализация для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из Lp,p > 1 // Матем. сб. 1983. Т. 121. № 1. С 87-110.

'.8 Konyagin S V On divergence of trigonometric Fourier series over cubes II Acta Sci Math (Szeged) 1995 V 61 P 305-329

'9 Fefferman С On the divergence of multiple Fourier series // Bull Amer Math Soc 1971 V 77 №2 P 191-195

30 Блошанская С.К., Блошанский И Л, Рослова Т.Ю. Обобщенная локализация для двойных тригонометрических рядов Фурье функций из L In+ L ln+ In+ L II Матем сб 1998 Т. 189 №5 С 21-46

31. Бахбух М., Никишин Е.М. О сходимости двойных рядов Фурье от непрерывных функций // Сибирск матем. ж. 1973. Т. 14. № б. С. 1189-1199.

32. Иванова О К Мажорантные оценки для частичных сумм кратных рядов Фурье функций из пространств Орлича, равных нулю на некотором множестве // Матем. заметки. 1999.Т.65 №6 С 821-830.

33. Бахвалов А.Н. О расходимости всюду рядов Фурье непрерывных функций многих переменных // Матем. сб 1997. Т. 188. № 8. С. 45-62.

34 Иванова O.K. Слабая обобщенная локализация в пространствах Орлича. Дисс .. канд физ -матем наук. М., 1999

35. Блошанский И.Л., Иванова O.K. Слабая обобщенная локализация для тригонометрических рядов Фурье функций из классов Орлича // Тезисы докл 12-й Саратовской зимней шк Саратов. Изд ГосУНЦ «Колледж». 2004. С 28-29

36 Bloshanskn I.L Structural and geometric characteristics of sets of convergence and divergence of multiple Fourier series of functions which equal zero on some set // Intern. J. of Wavelets, Multiresolution and Inform. Processing 2004. V 2 № 2 P.187-195.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Мацеевич Т. А. Слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье функций из На // Тезисы докл. Воронежской зимней матем. шк Воронеж ВГУ 1997. С.113.

2. Мацеевич ТА., Блошанский И Л О справедливости слабой обобщенной локализации для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из классов На II Труды Межд конф "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования". Москва. Изд. РУДН. 1998. Т.1.С. 37-40.

3. Мацеевич Т.А. О справедливости слабой обобщенной локализации для кратных рядов Фурье функций из На II Тезисы докл. 9-й Саратовской зимней шк. Саратов. Изд. СГУ. 1998. С. 113.

4 Мацеевич ТА., Блошанский И Л. Слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье функций из классов Я® II Тезисы докл. Межд, конф. "Функцио-

мальнмс проирансгва Дифференциальные онера юры Проблемы м.паиин'к-ы от образования" Москва Изд 1'УДИ 1998 С 13

5 Мацеевич ТА О слабой обобщенной локализации для крашых рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности // Чеэисы докл Межд конф "Математика Образование Экономика" Чебоксары Изд Чуваш ун-та 1998 С 25

6 Мацеевич Т А , Блошанский И Л Слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье в классах Яш //Тезисы докл Межд конф "Теория приближений и гармонический анализ" Тула ТулГУ 1998 С 50-52

7 Мацеевич ТА О геометрии множеств, на которых справедлива слабая обобщенная локализация для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из классов НшII Тезисы докл Межд конф. "Математика. Экономика. Экология Образование", Межд симп «Ряды Фурье и их приложения». Ростов - на - Дону Изд РГЭА 1999 С 334-335.

8 Мацеевич Т А Мажорантные оценки частичных сумм кратных рядов Фурье функций из классов Я и, равных нулю на некотором множестве // Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве Сб научн трудов Москва. Изд МГСУ 1999 С 26-36

9 Мацеевич Т А , Блошанский И Л. Слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. Сб статей Напечатан по решению Отделения математики Российской академии наук М АФЦ 1999 С 37-56

10. Мацеевич ТА Слабая обобщенная локализация для кратных тригонометрических рядов Фурье // Тезисы докл Воронежской зимней матем шк Воронеж 1999 С 135.

11. Мацеевич ТА О поведении частичных сумм кратных рядов Фурье функций из Я ш, равных нулю на некотором множестве положительной меры // Тезисы докл 11-й Саратовской зимней шк Саратов Изд ГосУНЦ «Колледж» 2002 С 133

12 Мацеевич ТА Геометрия множеств, на которых справедлива слабая обобщенная локализация для кратных тригонометрических рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности // Комплексный анализ и математическая физика Сб научн трудов Москва Изд МГОУ 2003 С. 198-204

13 Мацеевич ТА О поведении частичных сумм кратных рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности // Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве Сб. научн трудов Москва Изд МГСУ. 2003 С 46-50

14 Мацеевич ТА Оценки частичных сумм кратных тригонометрических рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности // Совр проблемы приклад математики и мат моделирования Материалы конференции Воронеж ВГТА 2005, С 149

15 Мацеевич ТА О геометрии множеств, на которых справедлива слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности // Вестник МГСУ 2007 №1 С 27-30

Отпечатано в типо! рафии ФГУП "КНИИМ" Тираж 100 зм Заказ № 343

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. СЛАБАЯ ОБОБЩЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ ДЛЯ КРАТНЫХ РЯДОВ

ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССА Я®, со(8) = о (ю(0) (5)).

Введение

§1. О представлении частичных сумм кратных рядов Фурье функций из класса Я°\ со(5) = о (а)^(б)).

§2. Достаточные условия справедливости на произвольном измеримом множестве слабой обобщенной локализации в H®(TN).

§3. Оценки мажорант частичных сумм трехмерных рядов Фурье функций из Я ®, ю(8) = о (а><°> (5)), равных нулю на некотором множестве.

Глава 2. СЛАБАЯ ОБОБЩЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ ДЛЯ КРАТНЫХ РЯДОВ

ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССА Я " , ©(8) = со*0 (8)

Введение

§1. О поведении частичных сумм двойных тригонометрических рядов Фурье непрерывных функций.

§2. О поведении частичных сумм кратных рядов Фурье суммируемых по Прингсхгейму функций из класса Я 0), со(б) = (8).

§3. О слабой обобщенной локализации для кратных рядов Фурье в классе Я03, ю(8) = 4° (8)

1. Рассмотрим N-мерное евклидово пространство MN, элементы которого будем

I |2 2 2 обозначать х = (х ],., xN ), и положим кх = к^х| +. + kNxN , |х| -Х\ + .+х N .

Рассмотрим множество 7LN aW>N всех векторов с целочисленными координатами и для любого ^еЖ1 определим множество ={xeliV: Xj> X,

1 < j <N}. Положим также = 7LN .

Пусть 2л - периодическая (по каждому аргументу) функция f(x)ebp(TN), р > 1, N > 1, где TN = {х g IS^ : - л < х - <it,j = 1 ,.,N} разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье: fix2 скеЛх. (0.1) ke7LN

Для любого вектора п = (щ,п2,.; nN ) е рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда: Z (0.2) частным случаем которой является квадратная частичная сумма SnQ(x;f), когда п\ ~п2 ~ ••• = nN =по- При этом под сходимостью ряда в (0.1) по прямоугольникам будем понимать существование предела частичных сумм Sn{x\f) - (0.2) при

->оо (т.е. min п ■ оо), а под сходимостью ряда в (0.1) по квадратам - существо-1< у<Л J вание предела SnQ(x;f) при п0 -» со.

Пусть XI, НсГ^, • произвольное измеримое множество, цН>0 (ц = }дЛ -Л^-мерная мера Лебега), и пусть /(х) = 0 на Н.

В диссертации изучается поведение на XI и Г л частичных сумм (0.2) при п -» со в зависимости от структуры и геометрии множества il, а также условий, накладываемых на функцию /(х).

2. Для одномерных рядов Фурье функций / е L, классический принцип локализации Римана утверждает, что ряд Фурье функции / eL}(T]), /(*) = О на интервале / сГ1, сходится к нулю равномерно на каждом сегменте, целиком содержащемся в /.

Для кратных рядов Фурье (N>2) классический принцип локализации Римана перестает быть верным не только для непрерывных функций (это было доказано Л.Тонелли в работе [1]), но и, как следует из работ Л.В.Жижиашвили [2], [3], для функций из класса

Ha(TN) = {feC(TN): со(5,/) = sup^ |/(х)-Ду)\ = 0(ф))}, (0.3) х,у€Г N где со(5) = 5(8) = А,(8)

-N log а Х(8) - произвольная монотонно стремящаяся к

-» 0 при 8 -> + 0 (см. [4, оо (при 8 -> + 0) функция такая, что Ц8) log ч 5. с.31]),).

В работе В.А. Ильина [5] (см. также [4]) были найдены необходимые и достаточные, в терминах уже интегральных модулей непрерывности, условия классической локализации.

Обозначим через со „ (8, /) интегральный модуль непрерывности со (8,/)= sup h\<b

J.„ \\f{x + h)-f{x)\pdx

Пусть и пусть f(x),DafeLp, \<р<оо, |а|</ 2) и co/,(8,Da/) = о(8т) при х е[0,1), |а|</ тогда, как было доказано в работе [5], если (/ + х)р > N -1, то классическая локализация справедлива (т.е. ряд Фурье функции

Л.В.Жижиашвили было доказано в [2], [3], что если со(5;/) = о log— б5 то ряд Фурье функции /(х) равномерно сходится на tn , т.е. справедлива классическая локализация. 2) Символом а здесь обозначен мультииндекс, т.е. a=(ai,., aN)e 7/,'q , \ а \ = а-|+.+ад/, а а, а .Y =.V

I .v/V'v , а символом Da = , где Dу - ' мнимая единица).

-5/ равномерно сходится на каждом компакте К с G, где G - область из TN, на которой /(*) обращается в нуль), если же (1 + т)р = N -1 (при т ф 0), то классическая локализация не справедлива.

Поисками окончательных условий справедливости классической локализации в различных функциональных пространствах, начиная с 1970 года, занимались В.А.Ильин [5], JI.B. Жижиашвили [2], К. Гофман и Д. Ватерман [6], P.P. Ашуров [7], А.Й. Бастис [8], П. Шёлин [9], И.Р. Лифлянд и М.А. Скопина [10], [11], и др. (см. также обзорные статьи [4], [12], [13], [14], [15]). Из существовавших к 1975 - 1978 годам результатов о классической локализации стало ясно, что для кратных рядов Фурье, оставаясь в классах Lp, естественно ввести другое понятие локализации.

3. В работе [16] (см. также [17]) И.Л. Блошанским было введено понятие обобщенной локализации почти всюду.

Определение 1. Пусть XI с TN - произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из Lp, р> 1, справедлива на множестве XI обобщенная локализация почти всюду (ОЛ), если из условия f(x)eL (Т N), р> 1, /(х) = 0 на U, следует, что почти всюду на XI существует предел lim Sn(x-,f) = 0.

00

При N = 1 ОЛ справедлива на любых измеримых множествах XI с Г1 в классах Lp, р > 1. Это следует из работ Л.Карлесона [18] и Р.Ханта [19]. Если р - 1, то

ОЛ в одномерном случае справедлива в классе L | на измеримом множестве

XI с Г1, цХ1>0, тогда и только тогда, когда это множество является открытым почти всюду J). Достаточность этого факта следует из классического принципа локализации Римана, необходимость доказана И.Л.Блошанским в [20] (см. [20, теорема 2 для N =1]).

Перейдем к случаю N >2. Остановимся предварительно на результатах, каса

31 Множество Е будем называть (см. [20], [26]) открытым почти всюду (п.в.), если сущес ч в\ ei открытое множество £, такое, что ц(£Л ) = 0 . ющихся сходимости кратных тригонометрических рядов Фурье суммируемых по Прингсхгейму непрерывных функций. 2

В работе [31] Ч.Фефферман привел пример непрерывной на квадрате Т периодической функции f(x,y), двойной ряд Фурье которой расходится по прямоугольникам всюду внутри Т . Используя функции, построенные Ч.Фефферманом, М.Бахбух и Е.М.Никишин в работе [32] установили, что существует функция х,у) е (С(Г ), модуль непрерывности которой удовлетворяет условию ю(5 ,f) = 0 log 1

0.4) а двойной ряд Фурье этой функции расходится всюду на [- я + 0,2; я - 0,2].4)

М.И.Дьяченко (см.[15]) указал, что на основе примера М.Бахбуха и Е.М.Никишина можно построить функцию /(х)е(С(Г^), N -2т, /ие^ с модулем непрерывности о(5,Я = 0 log 7 о 2

0.5) ряд Фурье которой расходится по прямоугольникам почти всюду. Позже, в работе

42] А.Н.Бахвалов построил функцию f{x) e<B(TN), N-2m, т&Ж^, со(5,/)

0.5), ряд Фурье которой расходится всюду.

В связи с условием (0.4) отметим работу М.Бахбуха [33]. В этой работе М.Бахбух доказал, что если для любого £ > 0 модуль непрерывности функции

•л f(x,y) е(С(Т ) удовлетворяет условию ш(8,/)= О log 7 о

-1-е

0.6) то ряд Фурье этой функции сходится по прямоугольникам п.в. на Г". Доказательство теоремы М.Бахбуха опирается на результат П.Шелина (см.[9]). Для случая

4) Отметим, что каждый контрпример в Т s дает соответствующий контрпример в Г1'1, но точность таких контрпримеров, как правило, теряется. В частности, результат Ч.Феффермана даже с функцией / , удовлетворяющей условию (0.4), справедлив в Т А при любом N > 1.

N >2 аналог теоремы М.Бахбуха отсутствует, т.к. в этом случае нет соответствующего обобщения результата П.Шелина.

Таким образом, из результата М.Бахбуха следует, что условие (0.4) не может быть существенно улучшено (т.е. в условии (0.6) нельзя убрать е). Но, между условиями (0.4) и (0.6) остался "зазор", который был "уменьшен" К.И.Осколковым в работе [25]. К.И.Осколков доказал, что если модуль непрерывности функции х,д>) е (С(Г ) удовлетворяет условию оо(8,/) = о f- j ]Ч-1Л log-log log log-о о

0.7) то ряд Фурье функции / сходится по прямоугольникам п.в. на Т .

Заметим, что вопрос об окончательности условия (0.7) сходимости двойных тригонометрических рядов Фурье в терминах модулей непрерывности остается открытым до сих пор.

Достаточные условия сходимости п.в. кратных рядов Фурье (в случае суммируемости по прямоугольникам) в терминах интегральных модулей непрерывности были получены Л.В.Жижиашвили в работе [40]. А именно, Л.В.Жижиашвили доказал, что если со 2 (8,/) = О log 1 n > ---е £>0, то ряд Фурье функции /(х) сходится по прямоугольникам п.в. на TN.

В кратном случае исследования, касающиеся OJ1, были проведены И.Л.Блошанским в работах [16], [17], [20]-[22]. Так в случае N -2 в работе [17] было доказано, что если функция f(x) eLр(Т2), р> 1, то для двойных рядов Фурье на открытых почти всюду множествах справедлива ОЛ. Заметим, что усилить данный результат, доказав его в случае N = 2 и р > 1 для произвольного измеримого множества оказалось невозможным, т.к. в работе [21] было построено измеримое множество ИсГ* (с мерой сколь угодно мало отличающейся от меры квадрата

-82 2 Т ), на котором обобщенная локализация не справедлива в классе LX{T ) (при суммировании по прямоугольникам).5)

Если же рассматривать класс L;(TN ), то (см. [22]), уже начиная с двумерного случая, OJI не справедлива вообще ни на каком измеримом множестве Uc.TN, О < |ill < (271)* , N >2, даже при суммировании кратного ряда Фурье по кубам.

Что касается случая N >3, то, как было установлено в работе [22], ОЛ в этом случае уже не справедлива ни на каком измеримом множестве XI с , не являющемся плотным в TN (т.е. XI 2 TN, где II - замыкание множества XI) при суммировании кратного ряда Фурье по прямоугольникам даже в классе (D(TN).

В [24] были проведены исследования справедливости OJ1 на любых открытых множествах XI сГ3 для функций /еЯ 03(Г3), f(x) = 0 на XI. В частности установлено, что OJI (для таких функций) справедлива на открытом множестве XI с Т , если модуль непрерывности со(5,/) этой функции удовлетворяет условию (0.7).

Таким образом, т.к. обобщенная локализация п.в. справедлива на произвольном открытом множестве только в случае N = 2, р> 1, то появилась необходимость перейти к более тонкому аппарату исследования поведения ряда Фурье функции / на множествах, где / равна нулю, а именно, к понятию "слабая обобщенная локализация", введенному И.Л.Блошанским в работе [26].

Определение 2. Пусть XI с TN - произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из Lр, р > 1, справедлива на множестве XI слабая обобщенная локализация почти всюду (СОЛ), если для любой функции f(x)ebp(TN), р> 1, /(х) = 0 на XI, существует подмножество положительной меры XI, множества XI такое, что lim Sп{х ;/) = 0 почти всюду на XI]. п СО

51 Справедливость OJI на открытых п.в. множествах ПсГ2 была также доказана (см.[23]) в классе l log+ l log+ log* l (по этому поводу см. также работу [38]).

Заметим, что, так как из справедливости на множестве Н OJI следует справедливость на этом же множестве и СОЛ, то СОЛ справедлива при N = 1, р > 1 на произвольных измеримых множествах II с Г1, а при N = 1, р = 1 и N = 2, р> 1 на открытых п.в. множествах Н с Т N . Однако, понятия ОЛ и СОЛ не совпадают (см. [26], теорема 1).

4. Введем следующие обозначения. Пусть М - множество чисел {1,2,., А^}, и пусть к , 1<А:<4. Обозначим: j = jk = {j\,---,jk Ь js< Jl ПРИ s<^ и (в случае k<N) M\J = M\Jk = {m i,.,mNk}, ms<m[ при s<l, - непустые подмножества множества M. Разложим пространство WN на сумму двух подпространств IS} и где

H&J = {х = (х К*: Xj =0 при j<=M\j}, {* = (*N) xj = 0 при jej}.

Обозначим также:

Т$={х elSj: -n<Xj <n при j = j\,.,jk) T M~\J = ix-Я<Х/ <71 при j = mh.,mNk}.

Очевидно, mNM=mN,a TNM=TN

M ^ ' " 1 M

Пусть Q j, j = jk с. m, - произвольные (непустые) открытые подмножества

Г,*. Положим

Wj-CljxT™, (0.8) wb ПwJ- (°-9)

JkczM

Предполагая (при к >2), что , рассмотрим wk=w{w\)= U wj. (0.10)

JkcM

Множества Wk, следуя работам И.Л.Блошанского (см.[26], [27]), в случае к = 1 (т.е. ffj) будем называть "крестом изЛ^-мерных плоскостей" и W® его центром, а в случае к >1 (т.е. W2 и т.п.) будем называть "крестом из jV-мерных брусков" и w\ -его центром.

Заметим, что в "кресте из N - мерных плоскостей" число "плоскостей" равно размерности пространства, в то время как в "кресте из N - мерных брусков" число брусков" равно Сдг (в частности, при к = 3 в случае N > 4 число "брусков" больше размерности пространства).

5. В работах [26] и [20] И.Л.Блошанским были введены и изучены IBj и ПВ2 свойства множества XI с TN, указывающие на определенную структуру и геометрию этого множества (связанные соответственно с одномерной или двумерной проекцией определенного подмножества II). Дадим определение свойства ПВд (к = 1,2,3) множества XI (по этому поводу см. [45]).

Определение 3. Будем говорить, что множество XI с TN, N > 1, обладает свойством IB к, 1 < к < N, если существует множество Wk вида (0.10) такое, что i{Wk \ И) = 0, причем свойство IB^ есть свойство Mk(W®), если Wk - W(Wk ).

Замечание. Если множество Н обладает свойством ШЗ^, то оно обладает и свойством HB^+j. Обратное, вообще говоря, не верно (см. [27]).

6. Пусть Н, XI с TN, - произвольное измеримое множество, рИ >0 (N > 1). И.Л.Блошанский доказал (см. [20], [26], [27]), что для такого множества XI и любой функции /eLp (р>\), /(х) = 0 на XI, lim Sn(x;/) = 0 для почти всех х е , k = k(p,N), (0.11) п -> оо тогда и только тогда, когда XI обладает свойством Шк(1¥®), к - 1,2, причем а) если р - 1, N > 1, то в оценке (0.11) к = 1, б) если р > 1, N > 2,то в оценке(0.11) к = 2.

Заметим, что в случае б) оценка (0.11) была доказана И.Л.Блошанским в [26] при двух дополнительных ограничениях на множество Ъ = CXI = TN \ XI:

1) n(B\int(B)) = 0 6), (°-12)

2) \ik Fr pryfc){int(B)} = 0 для всех наборов Jk = {j\,.,jk}c. M, (0.13) где j.ik - мера Лебега в пространстве Шк, pry ^{Р} - ортогональная проекция множества Р, Р с , на пространство (xj ,., Xj ), int(P) - множество внутренних точек Р, Fr Р- граница Р, Р- замыкание множества Р.

Таким образом, учитывая определение 2, на множестве UczTN (N> 1) в классе L (р > 1) справедлива СОЛ тогда и только тогда, когда множество XI обладает свойством Шк, к = k(p,N) = 1,2; причем, к = 1, если р = 1, N >1 и к = 2, если р > 1, N >2.

Исследования СОЛ в классах Орлича ("лежащих между" L, и Lp, р> 1) на произвольных измеримых множествах XI, 1X<zTN, N >2 были проведены в работах O.K. Ивановой [41], [43] (см. также [44]). Исследования СОЛ в некоторых других функциональных пространствах см. в работе И.Л.Блошанского [45].

II

Перейдем теперь к результатам, полученным в настоящей работе.

Как было отмечено выше, для случая N > 1 в классе L, справедливость или несправедливость на множестве HczTN СОЛ определяется структурой и геометрией множества XI, описываемыми свойством IB |. Причем основой справедливости СОЛ на таких множествах XI является справедливость обобщенной локализации для N = 1 в классе L]. При повышении гладкости рассматриваемых функций т.е. для функций из Lp, р > 1) в случае N >2 свойство IB, множества XI заменяется свойством IB 2, т.е. "жесткие" условия на геометрию и структуру множества XI (определяемые свойством IB,), заменяются более "мягкими" условиями, накладываемыми на ту же геометрию и структуру множества XI (определяемыми уже

61 В частности, этому условию удовлетворяют множества ъ такие, что ).i{int(b)} = узъ; в свою очередь последнее условие справедливо, например, для множеств В таких, что ъ = т^ \ Н , где И - произвольное замкнутое множество. свойством IB 2). Причем основой справедливости СОЛ на таких множествах XI (в этом случае) является справедливость обобщенной локализации при N - 2 уже в классах Lp, р>\.

Возникает вопрос о еще большем ослаблении условий, накладываемых на геометрию и структуру множества Н (в терминах свойств Ш к), если рассматривать СОЛ при N >3 для более гладких функций, например, в классах H&(TN).1] В диссертации доказано, что такими "мягкими" условиями (на геометрию и структуру множества XI) для справедливости СОЛ на XI в классах Н W(TN), N>2, является свойство 2B3.

Диссертация состоит из двух глав. В этих главах мы проводим дальнейшее исследование слабой обобщенной локализации почти всюду - СОЛ (определение которой мы давали выше). Исследование СОЛ проводится в классе непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности. А именно, для функций из классов я VW со(5) = о (со ^(5)) = о log-log log log-о о у У

0.14) или

N —1+6

5) = <o?)(8)=[log- , 0 < б < 1. 8) (0.15) ч

Исследование СОЛ разбивается на две части в зависимости от того, в каких классах H°\TN), со(5) = о (со^(5))- (0.14) или со(5) = со^(8) -(0.15) оно проводится. Дадим точную формулировку полученных результатов. Глава 1 посвящена изучению слабой обобщенной локализации почти всюду в классе H®(TN), со(5) = о (со(0)(5))- (0.14), N > 3. Глава состоит из трех параграфов.

7) Анализ излагаемых выше результатов по OJI (СОЛ) показывает, что с повышением гладкости рассматриваемых функций увеличивается размерность пространства N, в котором ОЛ (СОЛ) остается справедливой на открытом множестве.

81 Не ограничивая общности, будем предполагать, что логарифмы в условиях (0.14), (0.15) по основанию 2.

-13В §1 первой главы нами доказывается теорема о представлении частичных сумм кратных (N > 3) рядов Фурье функций из класса Hm(TN), ю(8) = о (со(0)(5))

-(0.14).

Введем следующие обозначения. Пусть г,\,1 - целые числа, 0 <r,v,l <N, и пусть к = (k\,.,kN)e 7lN . Обозначим

A(r,v,/) = {к е 7Ln : 0 = к0 < к{ < . < kr < N; 0 = к0 < кг+] <.< kr+v <N; 1 <kr+v+l <.<kr+v+i <N ; kSx ±kS2 при 5, Ф s2},

0<r,v,l<N, r + v + l = N. (0.16)

Теорема I.I. Пусть f e H ю (TN), где co(8) = о (соw (5)) - (0.14). Тогда для лю

0), бого вектора 5 = (5j ,.,bN) е , б <п, j = \,.,N где

Sn (х; f) = J„(b,x,f) + a„(b, х, /),

Jn(5,x,f) = N

8 j 8jV /••• f

-51 -5Л

5ft i 5

I -0*r °*r+| °*f+v л л

I I f I I - J J J

1 <r,/<yv kzA(r,v,l) -n -л -8A . -8A 8k ,5i

3 <V< N * r+v K r+v+l K r+v+l r+v+I=N

5* 1 V я Л

I I f. j J- J+

1</<W AeA(0,v,/)-64l 5 5

3 <v< N v+ v+' v~+l=N

A, -8ir 5tr+,

I I 1 - M •■■ 1

I <r<N AeA(r,v,0) -л -Л -8 3<v< N r + v = N f(x+u)Dn(u)duk .duk множество A(r,v,l) определено в (0.16); a an(S,x,f) имеет следующую оценку существует номер 9 = 9(/) б 7L j5 такой, что sup | a„(S,x,/)|

C(p, 5)

LP(TN)

KiTN) P> 1, константа C(p,5) не зависит от функции f.

В §2 первой главы, используя результат теоремы I.I, нами получены достаточные условия (в терминах структуры и геометрии множества И) сходимости п.в. на fV3° - (0.9) кратных рядов Фурье (суммируемых по прямоугольникам) функций из На(Тм), со(5) = о (ю(0) (5)) -(0.14).

Теорема I.II. Пусть И, 1\aTN, - произвольное измеримое множество, >О, N >3. Пусть f(x) = 0 на U и feHa(TN), где со(5) = о (со(0)(5))

0.14). Тогда, если множество U, обладает свойством ПВ3(^3°), то lim Sn (х; /) = 0 почти всюду на wf.

00

Замечание. Результат теоремы 1.11 интересно сравнить с результатом работы [39] С.В.Конягина, доказавшим существование функции /eL\(TN) с интегральным модулем непрерывности Ш](8,/) = О(со(5)), где модуль непрерывности со(5) удовлетворяет условию со(5)=Ц5) iV^V р in

In In— 5

-» +оо при 5 -> + 0, с расходящимся п.в. по квадратам кратным рядом Фурье.

Рассмотрим сублинейный оператор, заданный на Lp(TN):

S*(x;/)= sup |S„(x;/)|

0.17)

- мажоранту частичных сумм Sn{x\f) функции f.

В работе Р.Ханта [19] для N - р> 1 была получена следующая мажорантная оценка:

S\x-f)

Lp(Tl)

C(p)\\f\\

LP{T ) для любой функции f eLJT ), где константа С(р) не зависит от функции f.

Таким образом, сублинейный оператор (0.17) в случае N = 1 (действующий из

Lp(Г1) в себя) имеет сильный тип (р,р), р> 1. Заметим, что в случаер = 1, N = 1, указанный оператор не является не только оператором сильного типа (1,1), но даже оператором слабого типа (1,1) (см. пример А.Н.Колмогорова [30] - пример суммируемой функции с почти всюду расходящимся рядом Фурье).

В случае N = 2 оператор (0.17) не является не только оператором сильного о типа (р,р), р > 1 (на всем пространстве Lp(T )), но даже оператором слабого типа

9 9 р,р) на подпространстве (С(Г ) пространства Lp(T ). Это следует из работы [31]

Ч.Феффермана, в которой была построена непрерывная функция (/ е(С(Г )), двойной тригонометрический ряд Фурье которой неограниченно расходится всюду л внутри Т (см. Введение п.З).

Однако, в [24] И.Л.Блошанским доказано, что на некоторых подпространствах

О О eLp(T ): /(х[,х2) = 0 на li}<zLp(T ) (зависящих от структуры множеств

XI с Т ) оператор (0.17), если его сузить на эти подпространства, все-таки является оператором сильного типа (р,р), р> 1 из Lp(T2 \U) в Z,p(U]), Xl,cXl, р.Xt j >0 .

А именно, для любого открытого множества XI с Т и для любого б > 0 существуют открытое множество XI j (s) cXl, pli^s) >pXl- e и постоянная C(p,s), такие, что для любой функции / &Lp, р> 1, f(x) = 0 на XI. Возможность получения оценок такого вида обусловлена доказанным И.Л.Блошанским обобщенным принципом локализации п.в. (см. [17] и Введение п.З).

Дальнейшие исследования показали (см. [20], [26]), что для некоторых множеств XI (специального вида) такие мажорантные оценки можно получить «на всем множестве XI», а не только на подмножествах XI] с XI. Так, например, в [26] была получена следующая мажорантная оценка.

Пусть a,b,q е IE , q > 0 и пусть [а, а + q],[b, b + q]c [-я, тс]. Обозначим через G квадрат

G = [a,a + q]x[b,b + q]czT2

0.18) л

Теорема А. (И.Л.Блошанский) Пусть f(x) е Lp(T ), > 1, и пусть f(x) = 0 на Т \G, где квадрат G определен в (0.18). Тогда sW)

Lp(T \G) где константа С{р) не зависит ни от функции f, ни от квадрата G.

В случае N = 3 в [24] И.Л.Блошанский доказал, что для любого (непустого) открытого множества И с Г3 и для любого s > 0 существуют открытое множество U1(s) с XI, ^iXlj(e) >цХ1-8 и постоянная С(р,е), такие, что

I5W) L (Ц,(е)) ^(А8)[ш(1;/)+||/||^(г3)^>1, для любой функции / g Н ° (Г3), со(8) = о (со w (5)) - (0.14), f(x) = 0 на XI.

В §3 первой главы мы покажем, что для некоторых множеств XI с Г3 (специального вида), опираясь на теорему А и метод ее доказательства, а также используя факт сходимости п.в. двойных рядов Фурье функций / еЯС0(Г2), со(8) = о (со^(8)) - (0.14) (см. [25], а также Введение п.З), такие мажорантные оценки можно получить "на всем множестве XI".

Пусть a,b,c,q еШ1, q> 0 и пусть [а,а + q], [b,b + q], [с,с + q]с [-я, л]. Обозначим через Q куб

Q = [a,a + q]x[b,b + q]x[c,c + q]. (0.19)

Теорема I.III. Пусть /(*) е ЯЮ(Г3), со(8) = о (со(0)(5» - (0.14), и пусть л = 0 на TJ\Q, где куб Q определен в (0.19), тогда существует номер

0),

9 = $(/) е 7115 такой, что sup р„(х;/)| neZl

С{р)

0)1 fhlfl

Lp(Q) p> 1, (0.20)

Lp(T\Q) где константа С(р) не зависит ни от функции f, ни от куба Q.

Заметим, что опираясь на метод доказательства теоремы I.III, нетрудно получить мажорантные оценки типа (0.20), не только на множестве U = Т \ Q, где куб

Q определен в (0.19), но и на множествах И = Т \ П, где П - параллелепипед, П = [a,a + ql]x[b,b + q2]x[c,c + q2], a,b,c,q-,eWi\ q,> 0, / = 1,2,3, [a,a + g,], о b,b + q2], [c,c + g3] с [—я,я]; или И = Т \ U(m), где ХЦ/и) - конечное объединение таких параллелепипедов или кубов вида (0.19), причем для Н = Т \ константы в (0.20) будут зависеть соответственно от m - числа параллелепипедов или кубов.

Глава 2 диссертации посвящена изучению слабой обобщенной локализации для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из класса H®{TN), со(8) = ш?) (5) - (0.15), N > 3. Глава состоит из 3 параграфов.

В §1 главы 2 мы определяем непрерывную функцию двух аргументов f(x,y), 2 равную нулю на некотором подмножестве положительной меры множества Т , являющуюся некоторой модификацией функций, рассмотренных ранее в работах Ч.Феффермана [31], Е.М.Никишина и М.Бахбуха [32], А.Н.Бахвалова [42]. Также мы доказываем ряд вспомогательных результатов, касающихся поведения частичных сумм двойных тригонометрических рядов Фурье определенной нами функции fix. У)

В §2 мы, основываясь на результатах, полученных нами в первом параграфе 3 главы 2, строим функцию / е(С(Т ), имеющую модуль непрерывности со(5:/) = = о(с)^(б)| - (0.15), и такую, что ее тройной тригонометрический ряд Фурье расхоз дится при суммировании по прямоугольникам почти всюду на Т . А именно, мы доказываем следующее утверждение

Утверждение II.I. Для любого г, 0 < е < 1, существует функция /(х)е#м(Г3), со(5) = cOg^(8)- (0.15), такая, что lim|5„(x;/)| =+оо почти всюду на Г3. (0.21)

Далее в §2 мы рассматриваем поведение частичных сумм тройных тригонометрических рядов Фурье функций /е НЫ(Т3), со(8) = со^(8)- (0.15), равных нутЗ лю на некотором подмножестве г положительной меры, и устанавливаем справедливость следующей теоремы

Теорема II.II. Существует (непустое) открытое множество Q, Q с Т такое, что для любого 8, 0 < б < 1, существуют функция F(x) -FeQ со(5) = «,?> (5) - (0.15) и множество Q(s) с П, \ fi(e)) < s такие, что

1) F(x) = 0 на ОД;

2) lim|<S,w(x;F)| = +оо для почти всех х е Г3 \Ф; (0.22)

И-» 00

3) существует \imSn(x;F) для почти всех хеО. (0.23)

Я-»00

В §3, используя результаты, полученные в §2 главы 2, нами исследуется слабая обобщенная локализация п.в. для N- кратных тригонометрических рядов Фурье jV > 3) функций из Яш, со(5) = со^(5)-(0.15).

Из теоремы I.II главы 1, в частности, следует, что для любого множества W3 вида (0.10) и для любой функции f(x)eHi0(TN), N>3, со(5) = о (со(0)(5)) -(0.14), такой, что f(x) = 0 на W3 lim S„ (х; /) = 0 для почти всех х eJV3°. (0.24)

Возникает вопрос о том, можно ли усилить результат теоремы I.II, установив равенство (0.24) на множестве большем, чем W3, в частности, на всем множестве W3 - (0.10), на котором функция /(х) равна нулю. Следующая теорема дает частичный ответ на этот вопрос.

Введем некоторые обозначения. Пусть Qj , J = Jka М, - произвольное (непустое) открытое подмножество множества Tj. Фиксируем произвольное б, О<б< 1, и пусть Qj=Qj(e) - (непустое) открытое множество: Q^cQ^ и fi(Q^\Qj)<s. Определим аналогично множествам Wj - (0.8) и Wf - (0.9) следующие множества:

Wj = Wj (e) = Qj X T£;kj , (0.25)

Wk°=Wk°(e)= f| Wj. (0.26)

Jk(zM

Теорема ИЛИ. Для любого N > 3 существует множество W3 вида (0.10) такое, что для любого е, 0 < £ < 1, существуют функция /(*) = /£00 е ЯС0(Г ), со(6) = (5) - (0.15) и множество W3 = W3(e) (см. (0.26) ирм k = 3) такие, что f(x) = 0 на « lim |S„ (х; /)| = +оо лочяш всюду на TN \W3°. (0.27)

К сожалению, на данный момент мы не можем получить оценку (0.27) на всем множестве TN \ W3 в классе H®(TN), когда со(5) = ю^(8) - (0.15), тем более, когда ю(6) = о(со(0)(8)) - (0.14). Тем не менее, из результата теоремы II.III. следует, что равенство (0.24) нельзя установить на всем множестве W3 = W(W3°) - (0.10), на котором функция /(х) равна нулю, в классе Ha(TN), со(8) = со^ (8).

Теоремы 1.11 и II.III ставят новый вопрос: насколько существенна геометрия множества W3 ? Следующие теоремы покажут, что существенно изменить геометрию множества W3 нельзя (т.е. нельзя отказаться от "креста из N-мерных брусков" с числом "брусков" Сдг, N > 3, так же, как нельзя изменить и геометрию самих 'W-мерных брусков", оставаясь в классе Нш, со(8) = со^(8)- (0.15)).

Пусть Q^o =^{1,2,3} и J = J3 М, J3 ф J3, - произвольные (непустые) з открытые подмножества множества Tj . Фиксируем произвольное d, -n<d <п и рассмотрим множества

W ,о id) = Q ,о х [- я, яУ"4 х {-к-d) х [- я, k)N~J , (0.28) J3 J3

J3 = {l,2,3}, интервал (-n;d) принадлежит оси Oxj, 4 < j < N и

Wj3(d)=nj3xT^j3, (0.29)

J3 = {уi,у2' Уз Л' 1 - J\ < h < Ъ-М'^з ВИДИМ> множество й^о(^) является "неполным бруском". Рассмотрим далее множество

WM= [}Wj^d)[jWjQ{d), (0.30)

J3cM 3

J3*J3° где Ж/ - (0.29), а 0(^/)-(0.28). Очевидно, что множество fV3 (d) - "крест из N

J3 мерных брусков", у которого один из "брусков" - неполный.

Теорема II.IV. Пусть N > 3. Для любого s, 0 < 8 < 1, существуют функция fix) = Ш е Ha(TN), оз(8) = o>?)(6) - (0.15) и множество W3 (d) - (0.30), такие, что /(х) = 0 на ^з w lim|5'„(x;/)| =+оо почти всюду на TN. (0.31)

7->Х

Теорема II.V. Пусть N > 3. Для любого е, 0 < 8 < 1, существуют функция /(*) = Л 00 е Ha(TN), со(5) = ю^ (5)- (0.15) и множество W4 - (0.10), /иакне, чаио /(х) = 0 на м lim |5„(х;/)| =+оо почти всюду на TN. (0.32)

Теоремы И.IV и II.V доказывают существование (непустых) открытых подмножеств множества TN ,N> 3, на которых в классе HW{TN), со(8) = со^(5)-(0.15) несправедлива не только обобщенная локализация, но и, более того, слабая обобщенная локализация (последнее есть следствие того, что указанные подмножества не обладают свойством ЕВ3).

Сформулированные выше результаты имеют следующую геометрическую интерпретацию. Если функция f(x)eH(*(TN), N> 3, 00(8) = о (со(0)(5)> -(0.14) равна нулю на "кресте из N-мерных брусков" - ^3-(0.10), то в центре его (т.е. на множестве ff3°-(0.9)) почти всюду частичные суммы Sn(x;f) —► 0 при п -> оо (это следует из теоремы I.II). Таким образом, на "кресте из /У-мерных брусков" - W3 справедлива слабая обобщенная локализация п.в. При этом оказывается, что "существенно" увеличить множество, на котором 5„(х;/)-> 0 при я-» оо, (оставаясь в рамках геометрии множеств в классе H®(TN), когда со(8) = с»^(8) - (0.15), тем более, когда ю(8) = о (о(0)(8)) - (0.14) ,- невозможно (теорема I1.III). Результат теоремы II.IV заключается в том, что если из "креста из N-мерных брусков" - fV3 удалить хотя бы часть одного из "брусков", т.е. рассмотреть, например, вместо множества = ПХ^Х2>Х xTN~3 множество

Wxhx2^d):= Qxhx2,x3x (-K,d)xTN~4, -n<d< 7t, то на таком "кресте" СОЛ в классе HW(TN),N>3, со(8) = ш?)(5) - (0.15), уже не справедлива. В свою очередь, результат теоремы II.V заключается в том, что если, оставаясь в классе НЫ(ТМ), со(8) = со^ (8), N > 3, изменить геометрию самих этих "брусков" (т.е. рассмотреть вместо множеств Wj =Qj хГ^ множества Wj4=Qja х TNM\]), то СОЛ также не справедлива.

В заключение хотелось бы выразить глубокую благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Блошанскому Игорю Леонидовичу.

1. Tonelli L. Serie trigonometriche. Bologna. 1928.

2. Жижиашвили Л.В. О некоторых вопросах из теории простых и кратных тригонометрических и ортогональных рядов // УМН. 1973. Т. 28, № 2. С. 65-119.

3. Жижиашвили Л.В. Сопряженные функции и тригонометрические ряды. Тбилиси. 1969.

4. Алимов Ш.А., Ильин В.А., Никишин Е.М. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений // УМН. 1976. Т. 31, № 6. С. 28-83.

5. Ильин В.А. Условия локализации прямоугольных частичных сумм кратного тригонометрического ряда Фурье в классах С.М.Никольского // Матем. заметки. 1970. Т. 8, №5. С. 595-606.

6. Goffman С., Waterman D. The localization principle for double Fourier series // Stud. Math. 1980. V. 69, № 1. P. 41-57.

7. Ашуров P.P. Условия локализации квадратных частичных сумм кратного тригонометрического ряда Фурье в классах С.М.Никольского // Матем. заметки. 1989. Т. 46, №4. С. 3-7.

8. Bastys A.Y. Generalized localization of Fourier series with respect to the eigenfunc-tions of the Laplace operator in the classes Lp // Lith. Math. J. 1991. V. 31, № 3.P.269-282.

9. Sjolin P. Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series // Arkiv Matem. 1971. V.9, № 1. P. 65-90.

10. Liflyand E.R., Skopina M.A. Square linear means with hyperbolic factors // Analysis Math. 1998. V.18, № 4. P. 333-343.

11. Skopina M.A. Localization principle for wavelet expansions // Self-similar systems. Proceedings of the international workshop. Dubna. Russia. July 30-August 7. Dubna: Joint Institute for Nuclear Research. 1999. P. 125-132.

12. Голубов Б.И. Кратные ряды и интегралы Фурье // В сб. Итоги науки и техники. Серия Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 19. С. 3-54.-10213. Жижиашвили JI.B. Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Тбилиси: ТГУ. 1983.

13. Алимов Ш.А., Ашуров P.P., Пулатов А.К. Кратные ряды и интегралы Фурье // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Современные проблемы математики. 1989. Т. 42.С. 7-104.

14. Дьяченко М.И. Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов// УМН. 1992. Т. 47. № 5. С. 97-158.

15. Блошанский И.Л. Обобщенная локализация почти всюду и сходимость двойных рядов Фурье // ДАН СССР. 1978. Т.242. № 1. С. 11-13.

16. Блошанский И.Л. О равносходимости разложений в кратный тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье // Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 2. С. 153-168.

17. Carleson L. On convergence and growth of partial sums of Fourier series // Acta Math. 1966. V. 116. P. 135-157.

18. Hunt R. On the convergence of Fourier series, Orthogonal Expansions and their Continuous Analogues // Proc. Conf. Edwardsville 111. 1967. Southern Illinouis Univ. Press. Carbondale 111. 1968. P. 235-255.

19. Блошанский И.Л. Структура и геометрия максимальных множеств сходимости и неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье функций из L |, равных нулю на заданном множестве // Изв. АН СССР. Серия матем. 1989.Т.53. № 4. С. 675-707.

20. Bloshanskii I.L. Generalised localisation and convergence tests for double trigonometric Fourier series of functions from L p, p> 1 // Analysis Math. 1981. V.7, № 1.P.3-36.

21. Блошанский И.Л. Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Дисс. докт. физ.-матем. наук. М., МИАН, 1991.

22. Рослова Т.Ю. О справедливости обобщенной локализации для двойных тригонометрических рядов Фурье функций из L ln+ L ln+ ln+ L И Доклады АН России. 1998. Т.359. № 6. С. 744-745.

23. Блошанский И.Л. Два критерия слабой обобщенной локализации для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из L ,р> 1 // Изв. АН СССР. 1985.Т.49. № 2. С. 243-282.

24. Блошанский И.Л. О геометрии множеств в jV-мерном пространстве, на которых справедлива обобщенная локализация для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из Lp,p> 1 //Матем. сб. 1983. Т. 121. № 1. С. 87-110.

25. Блошанский И.Л. О максимальных множествах сходимости и неограниченной расходимости кратных рядов Фурье функций из L,, равных нулю на заданноммножестве//ДАН СССР. 1985.Т.283, №5. С. 1040-1044.

26. Блошанский И.Л. Структура и геометрия максимальных множеств сходимости и неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье функций из L\, равных нулю на заданном множестве // Изв. АН СССР, сер. матем. 1989.Т.53, №4. С. 675-707.

27. Колмогоров А.Н. Une serie de Fourier-Lebesque divergente presquc partout // Found. Math. 1923. V. 4. P. 324-328.

28. Fefferman C. On the divergence of multiple Fourier series // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. V.77.№2. P. 191-195.

29. Бахбух M., Никишин E.M. О сходимости двойных рядов Фурье от непрерывных функций//Сибирск. матем. ж. 1973. Т. 14. №6. С. 1189-1199.

30. Бахбух М. О достаточной сходимости двойных рядов Фурье по прямоугольникам // Матем. заметки. 1974. Т. 15. № 6. С. 836-838.

31. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир. 1965.

32. Блошанский И.Л. Обобщенная локализация для кратных рядов Фурье и геометрия измеримых множеств в //-мерном пространстве // ДАН СССР. 1982. Т.266. №4. С. 780-783.

33. Харди Г., Литтлвуд Д., Полиа Г. Неравенства. М.: Изд. ИЛ. 1948.

34. Konyagin S.V. On divergence of trigonometric Fourier series over cubes // Acta Sci. Math. (Szeged). 1995. V. 61. P.305-329.

35. Жижиашвили Л.В. О сходимости кратных тригонометрических рядов Фурье // Сообщ. АН ГССР. 1975. Т. 80, № 1. С. 17-19.

36. Иванова O.K. Слабая обобщенная локализация в пространствах Орлича. Дисс. . канд. физ.-матем. наук. М., 1999.

37. Бахвалов А.Н. О расходимости всюду рядов Фурье непрерывных функций многих переменных // Матем. сб. 1997. Т. 188. № 8. С. 45-62.

38. Иванова O.K. Мажорантные оценки для частичных сумм кратных рядов Фурье функций из пространств Орлича, равных нулю на некотором множестве // Матем. заметки. 1999. Т. 65. № 6. С. 821-830.

39. Блошанский И.Л., Иванова O.K. Слабая обобщенная локализация для тригонометрических рядов Фурье функций из классов Орлича // Тезисы докл. 12-й Саратовской зимней шк. Саратов. Изд. ГосУНЦ «Колледж». 2004. С. 28-29.

40. Мацеевич Т.А. Слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье функций из Я(0 // Тезисы докл. Воронежской зимней матем. шк. Воронеж. ВГУ. 1997. С. ИЗ.

41. Мацеевич Т.А. О справедливости слабой обобщенной локализации для кратных рядов Фурье функций из Я™ // Тезисы докл. 9-й Саратовской зимней шк. Саратов. Изд. СГУ. 1998. С. 113.

42. Мацеевич Т.А. О слабой обобщенной локализации для кратных рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности // Тезисы докл. Межд. конф. "Математика. Образование. Экономика". Чебоксары. Изд. Чуваш, ун-та. 1998. С. 25.

43. Мацеевич Т.А., Блошанский И.Л. Слабая обобщенная локализация для кратныхрядов Фурье в классах Я'' // Тезисы докл. Межд. конф. "Теория приближений и гармонический анализ". Тула. ТулГУ. 1998. С. 50-52.

44. Мацеевич Т.А. О поведении частичных сумм кратных рядов Фурье функций изш, равных нулю на некотором множестве положительной меры // Тезисы докл. 11-й Саратовской зимней шк. Саратов. Изд. ГосУНЦ «Колледж». 2002. С. 133.

45. Мацеевич 'Г.А. Оценки частичных сумм кратных тригонометрических рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности // Совр. проблемы приклад, математики и мат. моделирования: Материалы конф. Воронеж. ВГТА. 2005. С. 149.

46. Мацеевич Т.А. О геометрии множеств, на которых справедлива слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности // Вестник МГСУ. 2007. № 1. С. 27-30.