Структурные и геометрические характеристики множеств сходимости и расходимости кратных разложений Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.5

ОО'^^0"---

Лифанцева Ольга Валерьевна

СТРУКТУРНЫЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ КРАТНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ФУРЬЕ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕК 2009

Москва - 2009

003486036

Работа выполнена на кафедре математического анализа физико-математического факультета Московского государственного областного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Блошанский Игорь Леонидович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Дьяченко Михаил Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Холщевникова Наталья Николаевна

Ведущая организация:

Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ"

Защита диссертации состоится 11 декабря 2009 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 10 ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного Л

совета Д.501.001.85 при МГУ, /1^4—~Т\

доктор физико - математических

наук, профессор Сергеев И.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа относится к важной и активно развивающейся области гармонического анализа - к теории кратных разложений Фурье. Бурное развитие теории кратных разложений Фурье, имеющей широкое примеиение в различных отраслях современной науки и техники, началось с середины 60-х годов прошлого столетия. Если до этого (20-е годы XX века) был обнаружен ряд закономерностей, резко отличающих однократные разложения Фурье от кратных (./V > 2), и исследования были в основном направлены на получение ответа на вопрос: переносятся или нет "одномерные результаты" на кратный случай, - то во второй половине XX века появились результаты, показывающие некоторую особенность двумерного случая, и принципиально новые результаты, показывающие "специфику кратного случая" при N > 2 (т.е. результаты, практически "не проявляющиеся" в одномерном и достаточно тривиальные в двумерном случае).

Так, несправедливость даже в классе Ни (где ш(5) — некоторый модуль непрерывности) принципа локализации в его классическом понимании для прямоугольных частичных сумм кратных рядов Фурье (Л. В. Жижиашвили) заставила ввести другое понятие локализации — понятие "обобщенной локализации почти всюду" для кратных рядов Фурье, т.е. фактически перейти от понятия "локализация в точке" к понятию "локализация на множестве". Обобщенная локализация почти всюду в классах Ьр, р > 1 , оказалась справедлива только на произвольных открытых (с точностью до множества меры нуль) множествах и только для двойных тригонометрических рядов Фурье (рядов Фурье-Уолша), суммируемых по прямоугольникам, и не справедлива даже на столь простых множествах, как открытые кубы, в случае б&льшей размерности пространства (ДГ > 2) даже в классах Нш (И. Л. Блошанский).

В таком случае, оставаясь в рамках классов Ьр, р > 1, возникла необходимость перейти к более тонкому аппарату исследования ряда Фурье функции / на множествах, где / равна нулю, а именно к понятию "слабая обобщенная локализация почти всюду" (введенному в работах И. Л. Блошанского). Исследованию в этой области и посвящена настоящая диссертация.

1. Рассмотрим Л'-мерное евклидово пространство элементы которого будем обозначать х = (хь ... ,хц), и положим (пх) = щхг Н-----Ь пцхц, |г| = (х1 Н-----Ух^,)1!2.

Введем множество Zлr, Ъм с Кл', — множество всех векторов с целочисленными координатами, определим множество Ъ^ = {(«1,..., п дг) 6 : п^ > 1, j = 1,..., М}.

Пусть 27г-периодическая (по каждому аргументу) функция } 6 /^(Т"), где Т^ = {х£

R" : —7г <Xj < 7г, j = 1,..., N}. разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье:

rix) ~ c*e'(fcI)-

k<¿ Z"

Рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда

&(*;/)= Е - Е *e<(fa)> «

|tl|<ni |tN|<nw

где n = (m,...,nN) e Zf.

Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С /í2t > 0 (ß = ßN — JV-мерная мера Лебега), и пусть /(х) = 0 на 2t.

В диссертации изучается поведение на 21 частичной суммы (1) при п —> оо (т.е. ^mm^nj оо) в зависимости от гладкости функции /(х), от структурных и геометрических характеристик множества 21, а также от ограничений, накладываемых на компоненты П1,...,пц вектора п — "номера" частичной суммы Sn(x\ /). Точнее, нас будет интересовать поведение частичной суммы (1) в случае, когда некоторые из компонент вектора п € Zf являются элементами (однократных) лакунарных1 последовательностей.

2. Как известно, в одномерном случае А.Н.Колмогоровым еще в 1922 г. в работе (1] было установлено: для любой функции / € L2(T') последовательность частичных сумм S„«(x; /), где {п^}, 6 Х\, к = 1, 2,..., — лакунарная последовательность, сходится почти всюду (п.в.) на Т1. Указанный результат А.Н.Колмогорова был распространен в 1931 г. Дж.Литтлвудом и Р.Пэли [2] на классы ^(Т1),? > I.2 Позже Р.Госселином [5] и В.Тотиком [6] было установлено, что в L¡ (Т1) этот результат неверен.

В свою очередь, первый результат для кратных рядов (т.е. для N > 2), касающийся "лакунарных последовательностей частичных сумм" был получен П. Шёлиным в 1971 г. в работе [7], где было доказано, что если / € Lp(Т2), р > 1, {п^1'}, п^1' е Z\, vx = 1,2,..., — лакунарная последовательность, то

lim Sn(„,) (х; /) = f{x) п.в. на Т2.

»'i,па—юо ni

В 1977 г. М. Кожима в работе [8] обобщил результат П. Шёлина, доказав, что если функция / 6 LP(TN), р > 1, N > 2, и {п^}, п(р] 6 Z}, v¡ = 1,2,..., j = 1,..., N - 1, -лакунарные последовательности, то

lim Ä w >.,)„ (i¡/) = /(i)n.B.HaTlv.

1 Последовательность {пМ},п'*' € называется лакунарной, если "п'(.) > <? > 1,з = 1,2,... .

2 Здесь, естественно, надо отметить результаты 1966 г. Л.Карлесона [3] и 1967 г. Р.Ханта [4] о том,

что одномерный ряд Фурье любой функции из класса ^(Т1),? > 1, сходится п.в. на Т1.

В той же работе М. Кожима доказал (используя результат Ч. Феффермана [9]), что сформулированный выше результат не может быть усилен в следующем смысле: для любой последовательности п = (щ, П4,..., пц) е Zf"2 3 существует непрерывная функция, / £ ССТ"), такая, что

11ш |£п1,!ц,й(х;/)| =+оо п.в. на TN.

,nj,п—юо

3. Далее, перейдем к вопросам слабой обобщенной локализации п.в. для (суммируемых по прямоугольникам) рядов Фурье функций из р > 1. В работе [10] И. JI. Влошанским было дано следующее определение.

Определение 1. Пусть Я, 21 С Т", — произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из класса LP(TN), р > 1, справедлива на множестве 21 слабая обобщенная локализация почти всюду (СОЛ), если для любой функции / £ Lp(TN), fix) =0 на 21, существует такое подмножество Щ С 21, ц2li > 0, что

lim Sn(x\f) = 0 почти всюду на QCj.

ГС-ЮО

Для формулировки результатов по СОЛ (в классах LP(TN), р > 1, N > 2), а также для формулировки полученнных в настоящей работе результатов, введем следующие обозначения.

Пусть М — множество чисел {1,..., Дг} и k е М. Обозначим: Л = {ii, •■■,л}, Л < ji при s < I, и (в случае к < N) М \ Jk = (mlr..,гпя-к}, тп, < mi при s < I, — непустые подмножества множества М. Будем считать также, что 70 = 0 и М \ Jn = 0- Разложим пространство R" на сумму двух подпространств К[Л] и ЩМ \ Jk], где H[J(] = {х = (xi,...,xy) е : Xj = 0 при j е М \ Jk}, a R[JW\ Jk] = {х € KN : xj = 0 при j 6 Jk}. Обозначим также T[Jt] = {х € К[Л] : -п < х, < % при j G Jk} и Т[М \ Л] = {i£ ЩМ \ Jk] :-ir<xj<n при j е М \ Jk}- Очевидно, что R[JN] = Rw, а Т[М\ = Тя.

Пусть П, П С TiV, N > 2, — произвольное (непустое) открытое множество, и пусть ЭДЛ] = — ортогональная проекция множества П на плоскость К[/г]| J2 С М.

Положим

W[J2\ = n[J2] х Т[М \ Л], J2 С М.4 (2)

3 В частности, каждая компонента rij вектора п может быть элементом лакунарной последовательности.

4 При этом любой вектор z = (zx,..., Z2n) € А х В, где Л С R[J*]i а В С Л[ЖГ \ Л], мы отождествляем с вектором х = (xi,... € по формуле: х, — z, при $ € У*, хв = -Z/v+i при s € М \ J*.

Множества будем называть "ЛГ-мерными брусками". Далее для любого О < к < N — 2, рассмотрим следующие множества: множество

= = и щм (3)

(которое будем называть "полным ЛГ-мерным крестом", если Л = 0, и "неполным Лг-мерным крестом", если Л ф 0) и множество

ТУ° = Ж°(Л) = И'0(П,Л)= П Х¥Щ (4)

(которое будем называть "центром" соответствующего "Л'-мерного креста").5

В работе [10] (см. также [11,12]) И. Л. Влошанским была доказана следующая теорема. Теорема А. Для любой функции / е ЬР(ТК), р > 1, N > 2, /(я) = 0 на XV = XVЩ,

Цт 5„(1;/) = 0 почти всюду на XV0 = У/^^а).

П-+00

Как следует из теоремы А, СОЛ для кратных рядов Фурье, суммируемых по прямоугольникам, в классах ¿Р(Т^), р > 1, справедлива на "полном кресте" XV = XV (За) вида (3) с числом брусков (2), равным В той же работе была доказана неусиляемость

этого результата в следующих смыслах: во-первых, были приведены примеры множества XV = вида (3) и функции / 6 Д»(Т^), равной нулю на IV, таких, что

11т |5„(а:; Л | = +оо п.в. на Т" \ XV0-,

п-юо

во-вторых, было показано, что на кресте с меньшим, чем С%, числом брусков или на кресте с другой геометрией брусков СОЛ, вообще говоря, не справедлива даже в классе непрерывных функций.

Таким образом, "полные ^-мерные кресты" XV = Х¥(^) представляют собой "самые простые" множества, на которых справедлива СОЛ для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье функций из класса ЬР(ТЛГ), р > 1.

Приведенные выше результаты поставили вопрос о поиске критерия справедливости СОЛ на произвольных измеримых подмножествах Т" положительной меры (для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье функций из класса Ьр{Т"), р > 1). В [12] И. Л. Влошанским такой критерий был сформулирован и доказан для широкого класса измеримых множеств {21}, 21 С Тл', N > 2, /х21 > 0 (с некоторыми ограничениями на

5 Очевидно, что для каждого к, 0 < к < N — 2, мы можем построить С% различных "//-мерных крестов1'.

границу множества Я), в терминах структурно-геометрических характеристик множества 21, описываемых свойством В2. Чтобы сформулировать этот критерий, дадим следующие определения.

Определение 2. Будем говорить, что множество А вписывается почти всюду (iвписывается с точностью до множества меры нуль) в множество В, если fi(A\B) = 0.

Определение 3. 1. Будем говорить, что множество 2t, 21 С Т", N > 2, обладает свойством В2, если существует множество W = W(Jo) вида (3), которое вписывается п.в. в 21, причем, свойство Вг есть свойство M2(W°), если W = W{Wa).6

2. Свойство M2(W°) множества 2t будем называть максимальным свойством В2 множества 2t, если для любого множества W° = Wa(Jo) вида (4) такого, что ß(W°\W°) > 0, множество 2t не обладает свойством B2(W°).

Обозначим через intP множество внутренних точек Р, через Р — замыкание множества Р и через FrP — границу множества Р.

Пусть 2t — произвольное измеримое множество, 2t С Т", N > 2, 0 < ^21 < (2тг)Л, В = Т" \ а. Рассмотрим следующие условия на границу множества 2t:

\ ггШ) = 0, 7 (5)

ß2Frp4j2){int<S} = 0, J2CM, (6)

где /12 — мера на плоскости.

И.Л.Блошанский доказал (см., в частности, [12]), что на произвольном измеримом множестве 2t, 2t С TJV, N > 2, 0 < /¿21 < (2Tr)w, удовлетворяющем условиям (5), (6), в классах > 1, СОЛ для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье

справедлива тогда и только тогда, когда множество 2t обладает свойством В2. Заметим, что в части достаточности данное утверждение справедливо без ограничений (5), (6).

Подчеркнем, что критерий справедливости СОЛ был доказан в расширенной формулировке с указанием подмножества Qti множества 2t, на котором существует предел последовательности частичных сумм Sn(x\f), а именно

Теорема В. Пусть 2t — произвольное измеримое множество, 2t С Т", N > 2, 0 < /¿21 < (271-)".

6 Множество И с Т2, обладающее свойством Щ, — это множество, для которого существует (непустое) открытое множество П, П С Т2, такое, что p(il \ Я) = 0 (см. [10,12]).

7 В частности, этому условию удовлетворяют множества 23 такие, что ¡¿(int'.В) = в свою очередь последнее условие справедливо, например, для множеств 33 таких, что 23 = Т" \ Я, где 21 — произвольное замкнутое множество.

1. Если для некоторого W° = Jo) вида (4) множество Я обладает свойством B2(W°), то для любой функции f € LP(TN), р> 1, такой, что f(x) = 0 на Ш,

lim Sn(x;f) = 0 почти всюду на W°.

п-+оо

Пусть дополнительно множество 21 удовлетворяет условиям (5), (6), тогда

2. Если свойство I^W) множества 21 является максимальным свойством В2, то существует функция Д е £00(ТЛ') такая, что fi(x) = О на 2t, но

Йт |5„(i;/i)| = +оо почти всюду на TN \ IV0.

п—юо

3. В частности, если множество 2t вообще не обладает свойством В2, то существует функция /2 € Ьоо(Т^) такая, что /2(х) = 0 «о 2t, но

lim |S„(i; /г)| = +00 почти всюду на TN.

п-юо

Полученные результаты о справедливости СОЛ для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье поставили новый вопрос: пусть 21 — произвольное измеримое множество, 2t с Т"; каким (с точки зрения геометрии и структуры) должно быть "максимальное" множество, на котором сходится п.в. тригонометрический ряд Фурье функции / 6 £Р(Т;'), р > 1, равной нулю на 2t?

В [13] (см, также [14]) И. Л. Блошанским были введены понятия максимального множества неограниченной расходимости п.в. и максимального множества сходимости п.в. для указанных рядов.

Определение 4. Максимальным множеством неограниченной расходимости (ММНР) почти всюду кратных рядов Фурье функций из класса Lp(T*v), р > 1, /(х) = О на 2t, будем называть множество Elt Ei С Т", fiEi > 0, которое

во-первых, является множеством неограниченной расходимости (МНР) почти всюду указанных рядов, т.е. существует функция /1 € LP(TW), f\(x) = 0 на 21, такая, что

lim |S„(x; /i)| = +00 почти всюду на Ей

п—юо

во-вторых, множество Е\ является максимальным, т.е. для любой функции f € Ьр(Т^), f(x) = 0 на 2t,

lim ISnfc/)! < +00 почти всюду на СЕХ = ТN \ЕХ.

п-юо

Определение 5. Максимальным множеством сходимости (ММС) почти всюду кратных рядов Фурье функций из класса LP(TN), р > 1, f(x) = 0 на 2t, будем называть множество Е-2, Е2 С Тл', ¡iE? > 0, которое

б

во-первых, является множеством сходимости (MC) почти всюду указанных рядов, т.е. для любой функции f 6 LP(TN), f(x) = 0 на 2t, существует предел

lim Sn(x', f) = fix) почти всюду на Е2\

п~*оо

во-вторых, множество Е2 является максимальным, т.е. существует функция f2 £ Lp(TN), /2(2:) = О на 21, такая, что S„(x-,f2) расходится при п —► оо почти всюду на

ce2 = tn\e2.

В работе [14] для N > 2 и р > 1 было доказано следующее утверждение о структуре и геометрии ММНР и ММС.

Пусть П, П С Т", — произвольное (непустое) открытое множество. Для любого Jk, О < k < N — 2, обозначим

V = V(Jk) = V(Q,Jk) = (J V[J2] = (J (il[J2]xT[M\J2]), (7)

JlCM\Jk J2CM\Jk

где = рг(^){П} — ортогональная проекция множества О на плоскость R[J2]-Справедлива следующая теорема.

Теорема С. Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С Т", N > 2, 0 < ¿i2t</xTw, ®=T*\2t. Тогда

1. Если pV{inm, Jo) = рТ", то

X) множество V(int^B, Ja) (7) является максимальным множеством неограниченной расходимости почти всюду для кратных рядов Фурье функций f 6 Lp(Т"), р > 1, f(x) = 0 на 21, при суммировании по прямоугольникам-, 2) множеств сходимости указанных рядов нет.

2. Если pV(int<B, J0) < pTN и множество 25 удовлетворяет условиям (5), (6), то

1) множество V(mt®, Jo) — максимальное множество неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье функций f € L00(T'V)J f(x) = 0 на 21, при суммировании по прямоугольникам;

2) множество 2tx = Tw \ V(int*B, Jo) — максимальное множество сходимости почти всюду указанных рядов, при этом

а) 2t1= П («л х Т [М \J2]), где Qj2 =Г\ рг(Л){т<®};

Лс м

б) существует множество

W(KltJa) = (J (Qj2 х Т[М \ J2j) JlCM

такое, что /¿(И^Яь \Я) = 0, т.е. множество 21 обладает максимальным свойством »2(8*1).

4. В связи с приведенными выше результатами возникают следующие вопросы.

1) Какова должна быть структура и геометрия "самого простого" множества 21 С Т", на котором в классах ¿Р(ТЛГ), р > 1, была бы справедлива СОЛ для кратных рядов Фурье в случае, когда (прямоугольные) частичные суммы этих рядов 5п(г; /) имеют "номер" п = (щ,...,пн) 6 в котором некоторые компоненты щ,...,пц являются элементами лакунарных последовательностей?

2) Какими должны быть структурно-геометрические характеристики произвольного измеримого множества 21С Тл' (на котором разлагаемая в ряд Фурье функция /(х) равна нулю), чтобы на этом множестве в классах Ьр(Т"), р > 1, была справедлива СОЛ для кратных рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм"?

3) Какими (с точки зрения геометрии и структуры) для произвольного измеримого множества 21 с Т7" должны быть ММНР и ММС п.в. указанных выше рядов функций го класса ЬР(Т"), р > 1, равных нулю на 21?

Цель работы. Основной целью работы является изучение вопросов справедливости слабой обобщенной локализации почти всюду для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из классов ЬР(ТК), р > 1, в случае, когда прямоугольные частичные суммы 5„(э;; /) рассматриваемых рядов имеют "номер" п = (щ,..., плг) Е в котором некоторые компоненты являются элементами (однократных) лакунарных последовательностей.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Найдены структурно-геометрические характеристики "самых простых" подмножеств Т" (положительной меры), на которых в классах Ьр(Т'ч),р > 1, при N > 3 справедлива слабая обобщенная локализация почти всюду для кратных тригонометрических рядов Фурье в случае, когда прямоугольные частичные суммы 5П(1; /) этих рядов имеют "номер" п = (пь... ,пц) € Ъ^ , в котором некоторые компоненты являются элементами лакунарных последовательностей.

2. Для широкого класса измеримых множеств (положительной меры) {21}, 21 С Т^, N > 3, получен критерий справедливости (в терминах структуры и геометрии множества 21) слабой обобщенной локализации почти всюду в классах Ьр(Тм),р > 1, для кратных тригонометрических рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм".

3. Для широкого класса измеримых множеств (положительной меры) {21}, 21 С Т", N > 3, описаны структурно-геометрические характеристики максимальных множеств схо-

димости почти всюду и максимальных множеств неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" функций из классов р > 1, равных нулю на 21.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории функций и функционального анализа.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученный в диссертации результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения поведения частичных сумм тригонометрических рядов Фурье, а также рядов Фурье по другим ортогональным системам.

Апробация диссертации. Полученные в диссертации результаты докладывались автором на научно-исследовательском семинаре под руководством член-корр. РАН В.С.Кашина, проф. Б.И.Голубова, проф. М.И.Дьяченко, проф. С.В.Конягина (МГУ им. Ломоносова, 2008); на научно-исследовательском семинаре под руководством проф. М.К.Потапова, проф. В.А.Скворцова, проф. Т.П.Лукашенко, проф. М.И.Дьяченко (МГУ им. Ломоносова, 2009); неоднократно на научно-исследовательском семинаре под руководством проф. И. Л. Блошанского (МГОУ, 2006-2009); на Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2008); на V международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" (Ростов-на-Дону, 2008); на международной научной конференции "Моделирование нелинейных процессов и систем" (Москва, МГТУ "Станкин", 2008); на Воронежской зимней школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2009); на III международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2009); на XXIII Воронежской весенней школе "Современные методы теории краевых задач" (Воронеж, 2009); на девятой международной Казанской летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2009).

Тематика работы поддержана грантом РФФИ 08-01-00669.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 112 страниц, список литературы содержит 47 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор результатов, связанных с вопросами сходимости рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм", а также вопросами справедливости различных локализаций для кратных рядов Фурье (суммируемых по прямоугольникам) , и приводятся формулировки результатов, полученных в диссертации.

Глава I диссертации посвящена изучению структурно-геометрических характеристик "самых простых" подмножеств TN, TV > 3, на которых справедлива СОЛ в классах Lv(TN), р > 1, для кратных рядов Фурье, чьи прямоугольные частичные суммы Sn(x;f) имеют "номер" п = (щ,..., nN) 6 Zf, в котором некоторые компоненты являются элементами лакунарных последовательностей.

Введем следующие обозначения. Пусть а = a(Jk) = (ал,... ,a;t) 6 Ъ\, j, е Jk, s = 1,..., к, 1 < к < N - 2. Символом л(а) = п(а'[Л] = (пь..., nN) € Zf обозначим TV-мерный вектор, у которого компоненты «у с номерами j = j,, s = 1,..., к, являются элементами некоторых (однократных бесконечно больших) последовательностей натуральных чисел (при j 6 Jk: rtj = ri~p' и rij"J' -> oo при aj —> oo). В частности, символом п'л' = п'л'[>4] 6 Zf (где Л = \{Jk) = (Ал,..., Ал) е j, е Jk, s = 1,..., к) будем обозначать TV-мерный вектор, у которого компоненты ny, j 6 Jk, являются элементами некоторых (однократных) лакунарных последовательностей.

В § 1 главы I мы доказываем теорему, результат которой показывает, что для кратных рядов Фурье с "Л-лакунарвой последовательностью частичных сумм" f) СОЛ

в классах £Р(Т"), р > 1, при N > 3 будет справедлива на "неполном кресте из TV-мерных брусков" — множестве W = W(Jk) вида (3).

Теорема I.I. Для любого Jk С М, 1 < k < TV - 2, TV > 3, и для любой функции / 6 1„(Т"), р > 1, f(x) =0hoW = W{Jk),

lim Sn(x)u.,(x; /) = 0 для почти всех х е W° = W°{Jk). (8)

Aj —too je '

nj -*oa,j£M\Jk

Отметим, что "TV-мерные бруски" W[J?\, образующие указанный "крест" W, имеют "основания" n[J2] в тех плоскостях it[J2], J2 = {s, ¿} С М, для которых соответствующие компоненты "номера" п*л'[J*] 6 — компонентып,яп(-являются "свободными" (т.е., в частности, не являются элементами никаких лакунарных последовательностей), и число таких "брусков" будет равно C2N_k.

Естественно, встает вопрос о том, можно ли усилить результат теоремы I.I, установив при JV>3Hl<fc<N — 2 равенство (8) на всем множестве W(Jk) вида (3)?

Ответ на поставленный вопрос зависит от размерности пространства N и числа к компонент "номера" частичной суммы 5n(i;/), которые являются элементами лакунарных последовательностей. Если при N > 3 величина к = N — 2, то такое усиление теоремы I.I оказывается возможным, а именно, справедливо следующее утверждение.

Следствие (теоремы I.I). При N > 3 для любого Jn-2 С М, и для любой функции f е £р(Т»), Р> 1, f(x) = 0mW = W(JN_2),

lim Snn)¡j a(x] /) = 0 для почти всех х € W.

nj-íao jeW\Jw_2

Если же при N > 4 величина к меньше N — 2, то усилить теорему I.I, установив равенство (8) на всем W(J¡t), нельзя, что показывает следующая теорема.

Теорема I.II. Пусть N > А и Jk С М, 1 < к < N — 3, тогда существуют множество W = W(Jk) вида (3) и функция f £ L00(T'V) такие, что f(x) = 0 на W и для любых к последовательностей натуральных чисел {n^'}, j £ J*> ' 00 при a¡ —> оо,8 справедлива оценка

lim |5„(а)1Л1(2;;/)| =+оо почти всюду на TN \W°,

aj-*ao¿eJk, I *J

где множество W° = Wa{Jk) определено формулой (4).

В § 2 главы I нами исследуется вопрос о необходимых условиях справедливости COJI для кратных рядов Фурье с nJk-лакунарной последовательностью частичных сумм" на множествах W(J¡¡) вида (3). Доказанные теоремы (теоремы I.III — I.V) показывают, что найденные структурно-геометрические характеристики "неполных iV-мерных крестов" W(Jk) являются точными в смысле числа образующих множества "JV-мерных брусков", а также их ("брусков") геометрии и структуры, точнее, для рассматриваемых нами рядов Фурье СОЛ не будет справедлива на "крестах" W{Jk) вида (3) в следующих случаях:

1) если указанный "крест" И7(Л) (при N > 3) имеет меньшее, чем С%_к, число "брусков" W[J2];

2) если "крест" W(Jk) (при N > 4) составлен из "брусков" W[Jz\ = fi[J3] х T[Af \ Уз], где П[7з] — ортогональная проекция (непустого) открытого множества ÍÍ С Т" на пространство R[Js];

3) если хотя бы для одного из "брусков" W[J-¡\ (при N > 3 образующих "крест" W(Jk)) множество fí[J2] является, например, замкнутым множеством, с не равной нулю

8 В частности, все последовательности {tij"''}, j 6 Jt, могут быть лакунарными или, например (если N > 4 и к > 2), почленно равными между собой (т.е. п^*"^ =:••• = = по).

мерой Лебега границы.

Наконец, в §3 главы I нами доказана теорема (теорема 1.У1), которая показывает, что СОЛ для рассматриваемых нами рядов в классе ЬДТ") на множествах ТУ (Л) вида (3) справедлива не будет.

В главе II диссертации нами доказан критерий справедливости в классах //р(ТЛ'), р > 1, СОЛ для кратных рядов Фурье с "Л-лакунарной последовательностью частичных сумм" на произвольных подмножествах Т" положительной меры (удовлетворяющих некоторым ограничениям на границу множества) в терминах свойства В^*'.

Введем следующие понятия.

Определение 6. Пусть Я С Т", N > 3, и пусть Зк С М, 1 < к < N - 2, или Зк = 0, к = 0.

1. Будем говорить, что множество 21 обладает свойством В^*', если найдется множество V/ = вида (3), которое вписывается п.в. в 21, причем свойство В^*' есть свойство В^Ж0), если УУ = IV(Ж0).

2. Свойство В^'^И^0) множества 21 будем называть максимальным свойством В2 множества 21, если для любого множества IV0 = вида (4) такого, что //(И/0 \ \¥°) > 0, множество 21 не обладает свойством в£,')(И/'0).

Заметим, что при к = 0 свойство В^0' = В® и максимальное свойство в^7о'(1у°(/0)) совпадают, соответственно, со свойством В2 и максимальным свойством В2(ИЛ°) (см. определение 3).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 11.1. Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С Т", N > 3, 0 < (М < (2ж)м, 93 = Т" \ й, и пусть Л - произвольная "выборка" из М, 1 < к < N-2. Если множество 21 удовлетворяет условиям (5), (6'), где

Чг-Ргрт№){гп<!8} = 0, Л С М \ Л, (6')

то на множестве 21 в классе ЬР(Т'4), р > 1, для кратных рядов Фурье, чьи прямоугольные частичные суммы 5п(х;/) имеют "номер" п = п'Л'[Л]> справедлива слабая обобщенная локализация почти всюду тогда и только тогда, когда множество 21 обладает свойством В^.

Заметим, что в части достаточности теорема 11.1 справедлива без ограничений (5), (6').

Критерий справедливости СОЛ в диссертации доказан в расширенной формулировке с указанием подмножества С 21, на котором существует предел ".4 -лакунарной

последовательности частичных сумм"

5я(л,[л!(Х;/) = 0

»,-.r>oJSAf\Jk

при условии j{x) =0 на 2t.

Теорема II.I'. Пусть 2t — произвольное измеримое множество, 21 С Т", N > 3, 0 < ¡i% < {2ж)ы, и пусть JkcM,l<k<N-2.

1. Если существует множество W° = W°(Jk) вида (4) такое, что множество 21 обладает свойством В^''^0), то для любой функции / 6 LP(TN), р > 1, такой, что f{x) = 0 на 21,

lim Snwu /) = 0 почти всюду на W0.

ojeJfc, 1 *J

Пусть дополнительно множество 2t удовлетворяет условиям (5), (6'), тогда

2. Если свойство B^'^VK0) множества 21 является максимальным свойством В^*', то существует функция ¡\ € ¿„(Т^) такая, что fi{x) = 0 на 21 и для любых к последовательностей натуральных чисел {га^'}, j G J к, nj"1' —> ос при ctj —>• оо,9 справедлива оценка

lim ^„(»»^¡(х;/i)] = +оо почти всюду на 1N \ W0.

nj-*oo¿eM\Jk

3. В частности, если множество 21 вообще не обладает свойством В^*', то существует функция ¡2 6 Loo (Т^) такая, что /2(х) = 0 на 21 и для любых к последовательностей натуральных чисел j 6 Jk, ' оо при atj —> оо, справедлива оценка

lim ^„мг.щО^/г)! = +оо почти всюду на TN.

nj-.oojeMVi

Таким образом, для любого k, 1 < к < N — 2, справедливость или несправедливость COJI для рассматриваемых нами кратных рядов Фурье в классах LP(TN), р > 1, на произвольном измеримом множестве 2t С T;V, N > 3, определяется структурой и геометрией множества 21, которые, в свою очередь, описываются свойством В^7*', где величина к — это число "лакунарных компонент" вектора п = (щ,... ,пц) € Zf ("номера" частичной суммы S„Or;/)).10

9 Еще раз отметим (см. сноску к теореме I.II), что все последовательности {п^"''}, j 6 J», могут быть, в частности, лакунарными или, например (если N > 4 и к > 2), почленно равными между собой (т.е.

10 Подчеркнем, что "ЛГ-мерные бруски" IV[J2], С Af \ Л, образующие "неполный крест" W[Jk) (3)

Сравнивая теорему В и теорему 11.1', мы видим, что для справедливости на измеримом множестве Я С Т", N > 3, СОЛ (для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье функций / е Ьр, р > 1, f(x) = 0 на 21) в случае, когда все компоненты вектора п е Ъ^ — номера частичной суммы Бп{х\ /) — "свободны", на множество 21 должны быть наложены "более жесткие" условия, описываемые свойством Вг, чем условия на это же множество в случае, когда часть компонент вектора п — лакунарны.

Далее заметим, что чем "более мягкими" при возрастании к (1 < к < N — 2) становятся условия на структурно-геометрические характеристики множества 21 (описываемые в теореме П.Г свойством В^*' множества 21), тем "более жесткими" становятся условия на последовательности частичных сумм 5п(л>[д](1;/), оставляя "свободными" (не лакунар-ными) все меньше и меньше компонент в векторе п = — номере частичной суммы

кратного ряда Фурье рассматриваемой функции, и, наконец, "в пределе" (т.е. когда только две переменные в векторе п остаются свободными) от структурно-геометрических свойств множества 21 требуется "только лишь" выполнение условия: должен существовать такой "^-мерный брусок" который вписывается п.в. в множество 21.

Глава II диссертации состоит из двух параграфов. В §1 главы II нами получены вспомогательные оценки, которые позволяют в §2 доказать теорему 11.1'. В параграфе §2 главы II на основе доказательства теоремы И.1' мы доказываем также некоторое обобщение теоремы Н.1 (теорема II.II), ослабляющее ограничения на множество 21.

Глава III диссертации посвящена исследованию вопросов о структуре и геометрии максимальных множеств неограниченной расходимости п.в. и максимальных множеств сходимости п.в. для рассматриваемых в настоящей работе кратных рядов Фурье.

Мы даем определения ММНР и ММС п.в. для кратных рядов Фурье с "Л-лакунарной последовательностью частичных сумм", аналогичные определениям 4 и 5 (определениям ММНР и ММС п.в. для кратных рядов Фурье), заменяя в формулировках этих определений частичные суммы 5„(х; ■) на частичные суммы 5„(л)щ(х; •).

Используя вспомогательные оценки, полученные в §1 главы II, мы устанавливаем справедливость теоремы (теорема П1.1) о том, что для любого замкнутого множества 21, 21 С Т", N > 3, и для любого Л с М, 1 < к < N - 2, множество ^(В, Л) (7), где В = Т^\21, является МНР п.в. кратных рядов Фурье с "^-лакунарной последовательно-

(который удовлетворяет условию /¿(И^Л) \ Я) = 0), имеют "основания" П[Л] в тех плоскостях для которых соответствующие компоненты "номера" п € — компоненты п<, ] С .*•/ \ ^, являются "свободными" (т.е., в частности, не являются компонентами никаких лакунарных последовательностей).

стью частичных сумм" 5„(;>)[д](г; /) функций / е LP(TN), р > 1, /(х) — 0 на 21.

В свою очередь, результаты теорем III.I и II.I' позволяют нам описать структурно-геометрические характеристик ММНР п.в. и ММС п.в. в рассматриваемом нами случае для широкого класса измеримых множеств 21 С TN, N > 3 (с некоторыми ограничениями на границу множества 21), и для любого Jk С M, 1 < к < N — 2.

Теорема III.II. Пусть 2t — произвольное измеримое множество, 21 С N > 3, О < /i2t < р.TN, <В = TN \ % и пусть Jk С M, 1 < к < N - 2. Тогда

1. Если ßV(int<2, Л) = ß1N, то

1) множество V(ini®, Jk) является максимальным множеством неограниченной расходимости почти всюду для кратных рядов Фурье с "Jk-лакунарной последовательностью частичных сумм" функций f 6 LP(TN), р > 1, /(х) = 0 на 2t;

2) множеств сходимости указанных рядов нет.

2. Если pV(int<B, Jk) < /¿Tw и множество 33 удовлетворяет условиям (5), (6'), то

1) множество V(inP.b,Jk) — максимальное множество неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье с "Jk-лакунарной последовательностью частичных сумм" функций f € Lx,(TN), f(x) = 0 на % при суммировании по прямоугольникам;

2) множество 2ti = T'v \ V(ini53, Jk) — максимальное множество сходимости почти всюду указанных рядов, при этом

а) 2ti = П х Т[M \J2}), где ПЛ = Т2 \ргш{Ш<В};

JiCM\Jk

б) существует множество

W(%uJk)= U («Л х Т[М \ Jb])

JlCM\Jk

такое, что ß(lV(2ti, Л) \2t) = 0, т.е. множество 2t обладает максимальным свойством 8^(21,).

В заключение хотелось бы выразить глубокую благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Блошанскому Игорю Леонидовичу за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1) Колмогоров А.Н. Une contribution à l'étude de la convergence des séries de Fourier // Fund. Math. 1924. V. 5. P. 96-97.

[2] Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier series and power series // J. Lond. Math. Soc. 1931. V. 6. P. 230-233.

[3] Carleson L. On convergence and growth of partial sums of Fourier series // Acta Math. 1966. V. 116. P. 135-157.

[4] Hunt R. On the convergence of Fourier series // Proc. Conf. Edwardsville 111. 1967, Southern Illinouis Univ. Press. Carbondale 111. 1968. P. 235-255.

[5] Gosselin R. P. On the divergence of Fourier series // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V. 9. P. 278-282.

[6] Totik V. On the divergence of Fourier series. // Publ. math., Debrecen. 1982. V. 29. №3-4. P. 251-264.

[7] Sjolin P. Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series // Arkiv Matem. 1971. V. 9. № 1. P. 65-90.

[8] Kojima M. On the almost everywhere convergence of rectangular partial sums of multiple Fourier series // Sci. Repts. Kanazava Univ. 1977. V. 22. №2. P. 163-177.

[9] Fefferman C. On the divergence of multiple Fourier series 11 Bull. Amer. Math. Soc. 1971. V. 77. № 2. P. 191-195.

[10] Блошанский И. JI. О критериях слабой обобщенной локализации в N-мерном пространстве // ДАН СССР. 1983. Т. 271. № 6. С. 1294-1298.

[11] Блошанский И. Л. О геометрии измеримых множеств в N-мерном пространстве, на которых справедлива обобщенная локализация для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из Lp, р> 1 // Матем. сборник. 1983. Т. 121. № 1. С. 87-110.

[12] Блошанский И. Л. Два критерия слабой обобщенной локализации для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из LT, р > 1 // Изв. АН СССР. Серия матем. 1985. Т. 49. № 2. С. 243-282.

[13] Блошанский И. Л. О максимальных множествах сходимости и неограниченной расходимости кратных рядов Фурье функций из Li, равных нулю на данном множестве И Докл. АН СССР. 1985. Т. 283. №5. С. 1040-1044.

[14) Блошанский И. Л. Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Дисс. ... докт. физ.-мат. наук. М.: МИАН, 1991.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

[1] Лифанцева О.В., Блошанский И.Л. Слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности // Матем. заметки. 2008. Т. 84. № 3. С. 334-347.

[2] Лифанцева О.В., Блошанский И.Л. Критерий слабой обобщенной локализации для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности // ДАН России. 2008. Т. 423. Л> 4. С. 439442.

[3] Лифанцева О.В. Необходимые условия справедливости слабой обобщенной локализации для рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" // Матем. заметки. 2009. Т. 86. № 3. С. 408-420.

[4] Лифанцева О.В., Блошанский И.Л. Слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" // Современные проблемы теории функций и их приложения: тезисы докладов 14-ой Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2008. С. 29-30.

[5] Лифанцева О.В., Блошанский И.Л. О локализации для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности // XVI междунар. конференция "Математика. Экономика. Образование". V междунар. симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Тезисы докладов. Ростов-на-Дону: Изд-во "ЦВВР". 2008. С. 12.

[6] Лифанцева О.В., Блошанский И.Л. Критерий слабой обобщенной локализации для кратных разложений Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимией матем. школы. Воронеж: Изд.-полиграф. центр ВГУ. 2009. С. 26-27.

[7] Лифанцева О.В. Обобщенная локализация для кратных рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" // Современные методы теории функций

и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней матем. школы. Воронеж: Изд.-полиграф. центр ВГУ. 2009. С. 105-107.

[8] Лифанцева О.В., Блошанский И.Л. О максимальных множествах сходимости и расходимости кратных рядов Фурье с "Jf лаку парной последовательностью частичных сумм" // Современные проблемы прикладной математики и матем. моделирования: материалы III междунар. научной конференции. Часть I. Воронеж: "Научная книга". 2009. С. 20-21.

[9] Лифанцева О.В. О сходимости почти всюду кратных рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней матем. школы "Понтрягинские чтения -XX". Воронеж: ВГУ. 2009. С. 111-112.

[10] Лифанцева О.В., Блошанский И.Л. Локальные условия гладкости, обеспечивающие сходимость кратных рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" Ц Теория функции, ее приложения и смежные вопросы: материалы Девятой междунар. Казанской летней научной школы-конференции. Казань: Изд-во Казанского матем. общ-ва, Изд-во КГУ. 2009. Т. 38. С. 48-50.

В совместных работах Блошанскому И.Л. принадлежат постановка задачи и методика исследования. Детальное доказательство проведено Лифанцевой О-В. самостоятельно.

Подписано в печать 06 Л, 09 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. Тираж {00 экз. Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СТРУКТУРНЫЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ, ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ЧАСТИЧНЫЕ СУММЫ КОТОРЫХ РАССМАТРИВАЮТСЯ ПО НЕКОТОРОЙ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Введение.

§ 1. Слабая обобщенная локализация почти всюду для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности.

§ 2. О необходимых условиях справедливости слабой обобщенной локализации почти всюду для кратных рядов Фурье функций из Lp, р > 1.

§ 3. Слабая обобщенная локализация почти всюду для кратных рядов

Фурье функций из Li.

ГЛАВА И. КРИТЕРИЙ СПРАВЕДЛИВОСТИ СЛАБОЙ ОБОБЩЕННОЙ ЛОКАЛИЗАЦИИ ПОЧТИ ВСЮДУ ДЛЯ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ С " Jfc-ЛАКУНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ЧАСТИЧНЫХ

СУММ".

Введение.

§ 1. Поведение подпоследовательностей частичных сумм кратных рядов

Фурье некоторых функций.

§ 2. Критерий справедливости слабой обобщенной локализации почти всюду для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности

ГЛАВА III. СТРУКТУРА И ГЕОМЕТРИЯ МАКСИМАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ СХОДИМОСТИ И НЕОГРАНИЧЕННОЙ РАСХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ С "Л-ЛАКУНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ЧАСТИЧНЫХ СУММ"

Введение.

§ 1. Максимальные множества сходимости и неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье с " Jfc-лакунарной последовательностью частичных сумм"

1. Рассмотрим N-мерное евклидово пространство Жм, элементы которого будем обозначать х = (жх,. ,xjy), и положим (пх) = niX\ + ■ • • + пдтх^, \Х\ = (xj + ---+x%)1/2.

Введем множество ZN, С — множество всех векторов с целочисленными координатами, определим множество Ъ^ = {(ni,пдг) Е Z^ : nj > 1, j = l,.,7V}.

Пусть 27г-периодическая (по каждому аргументу) функция / Е L\ где Т^ = {х G М.^ : — тг < Xj < тт= 1 ,.,iV}, разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье: f(x) ~ ске^К kezN

Рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда где п = (пь . £ Zf.

Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С Т^, //21 > 0 (ц — Цы — iV-мерная мера Лебега), и пусть f(x) = 0 на 21.

В диссертации изучается поведение на 21 частичной суммы (0.1) при п оо (т.е. ^min^nj —> оо) в зависимости от гладкости функции f(x), от структурных и геометрических характеристик множества 21, а также от ограничений, накладываемых на компоненты ni,.,njv вектора п — "номера" частичной суммы Sn(x; /). Точнее, нас будет интересовать поведение частичной суммы (0.1) в случае, когда некоторые из компонент вектора п Е являются элементами (однократных) лакунарных последовательностей.

2. Дадим определение лакунарной последовательности и остановимся на некоторых результатах о сходимости тригонометрических рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм".

Определение 1. Последовательность п^ Е называется лакунарной, если > q > 1, s = 1, 2,. .

В одномерном случае А. Н. Колмогоровым еще в 1922 г. в работе [1] было установлено: для любой функции / Е -^(Т1) последовательность частичных сумм Sn(k)(x;f), где {n^}, п^ Е к = 1, 2,., — лакунарная последовательность, сходится почти всюду (п.в.) на Т1. Указанный результат А. Н. Колмогорова был распространен в 1931 г. Дж. Литтлвудом и Р. Пэли [2] на классы Lp(Т1),^ > 1.1 Позже Р. Госселином [5] и В. Тотиком [6] было установлено, что в Li(T1) этот результат неверен (подробный обзор результатов такого плана в одномерном случае см. в работе П.Л.Ульянова [7]).

В свою очередь, первый результат для кратных рядов (т.е. для N > 2), касающийся "лакунарных последовательностей частичных сумм" был получен П. Шёлиным в 1971 г. в работе [8], где было доказано, что если / Е Lp{Т2), р > 1, {n^}, п^ Е v\ = 1, 2,., — однократная лакунарная последовательность, то lim S („г) (х; f) = fix) п.в. на Т2.2 Vl, Tl2->°° "1 ,П2

В 1977 г. М. Кожима в работе [11] обобщил результат П. Шёлина, доказав, что если функция / е р > 1, N > 2, и {n^}, п{р] Е Z},i/j =

1,21. = 1,. ,N — 1, — однократные лаку парные последовательности, то lim S („,) (x]f) = fix) п.в. на TN. их, .,1/лг-1,плг-)-оо п-у ,.,плг1 ,плгч

1 Здесь, естественно, надо отметить результаты 1966 г. Л.Карлесона [3] и 1967 г. Р. Ханта [4] о том, что одномерный ряд Фурье любой функции из класса Lp(T1), р > 1, сходится п.в. на Т1.

2 В 1977 г. вышла работа Д. К. Санадзе, Ш. В. Хеладзе [9], где указанный результат П. Шёлина [8] был распространен на классы Орлича L(log+ L)4(T2) (см. также работу Л.В.Жижиашвили [10] 1975 г.).

В той же работе М. Кожима доказал (используя результат Ч. Феффермана [12]), что сформулированный выше результат не может быть усилен в следующем смысле: для любой последовательности п = (пз, гц,., nj\r) £ 3 существует непрерывная функция, / € С(Т^), такая, что snun2,n(x'^ f)\ = п-в- на тДГ

П1,П2,Т1—ЮО

Что касается дальнейших (после 1977 г.) исследований вопросов сходимости кратных рядов Фурье, чьи прямоугольные частичные суммы Sn(x-, /) - (0.1) имеют "номер" п = (ni, ., njv) £ в котором компоненты пх,., f^N "в том или ином смысле лакунарны", то подробный обзор результатов такого плана можно найти, например, в работе JT. В. Жижиашвили [13].

3. Далее, перейдем к вопросам локализации для (суммируемых по прямоугольникам) рядов Фурье функций из Lp, р > 1, т.е. к вопросу о поведении ряда Фурье на множествах, где разлагаемая в ряд функция f(x) равна нулю.

Для одномерных рядов Фурье функций / G Li(T1) классический принцип локализации Римана (1853 г.) утверждает, что ряд Фурье функции / 6 Li(T1), равной нулю на интервале I С Т1, сходится к нулю равномерно на каждом сегменте, целиком содержащемся в I.

Для кратных рядов, т.е. при N >2, такая локализация справедлива только для крестообразных окрестностей (см. [14, с. 458]), для сферических окрестностей эта локализация, как отметила JI. Тонелли еще в 1928 г. в работе [15], неверна даже для непрерывных функций. Более того, как следует из работ JI. В. Жижиашвили [16,17], классическая локализация отсутствует и в классе функций с некоторым модулем непрерывности.

Поисками окончательных условий справедливости классической локализации в различных функциональных пространствах, начиная с 1970 г., занима

3 В частности, каждая компонента tij вектора п может быть элементом лакунарной последовательности. лись В. А. Ильин [18], JI. В. Жижиашвили [16], К. Гофман и Д. Ватерман [19], Р. Р. Ашуров [20], А. Й. Бастис [21], И. Р. Лифлянд и М. А. Скопина [22,23] (см. также обзорные статьи [24-26]). Оставаясь же классах Lp естественно было (с учетом существовавших к 1975 - 1978 годам результатов о классической локализации) ввести другое понятие локализации.

В работах [27,28] И. Л. Блошанский дал определение обобщенной локализации почти всюду.

Определение 2. Пусть 21, 21 С TN, — произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из класса Lp(TN), р > 1, справедлива на мноо/сестве 21 обобщенная локализация почти всюду (ОЛ), если для любой функции / Е Lp(TN), f{x) = 0 на % lim Sn(x\ f) = 0 почти всюду на 21. п-> оо

При N = 1 ОЛ для рядов Фурье справедлива на любых измеримых множествах 21 С Т1 в классах ^(Т1),^ > 1. Это следует из уже упомянутых работ Л. Карлесона [3] и Р. Ханта [4]. Если р = 1, то ОЛ в одномерном случае справедлива в классе Li(T1) на измеримом множестве 21 С Т1,/^ > 0, тогда и только тогда, когда это множество является открытым почти всюду.4 Достаточность этого факта следует из классического принципа локализации Римана, необходимость доказана И. Л. Блошанским в [29].

В кратном случае исследования, касающиеся ОЛ, были проведены И. Л. Блошанским в работах [27-31]. Так в случае N = 2 в работе [27] было доказано, что если функция / Е Lp(T2),p > 1, то для двойных рядов Фурье на открытых почти всюду множествах справедлива ОЛ. Заметим, что усилить данный результат, доказав его в случае N = 2 и р > 1 для произ

4 Множество И будем называть (см. [29]) открытым почти всюду, если существует открытое множество fii такое, что /x(fi Д fii) = 0. вольного измеримого множества, оказалось невозможным, т.к. в работе [30] было построено измеримое множество 21 С Т2 (с мерой, сколь угодно мало отличающейся от меры квадрата Т2), на котором OJT не справедлива в классе Lоо(Т2) (при суммировании по прямоугольникам). 5

Если же рассматривать класс Li(TN), то (см. [31]) уже начиная с двумерного случая OJI не справедлива вообще ни на каком измеримом множестве 21 С TN,0 < /^21 < (271-)-^, даже при суммировании кратного ряда Фурье по кубам.

Что касается случая iV > 3, то, как было установлено в работе [31], OJI в этом случае уже не справедлива ни на каком измеримом множестве 21 С TN, не являющемся плотным в Т^ (т.е. 21 ^ TN, где 21 — замыкание множества 21) при суммировании кратного ряда Фурье по прямоугольникам даже в классе CCJT^).6

Таким образом, т.к. OJI справедлива на произвольном открытом множестве только в случае N = 2, р > 1, то появилась необходимость перейти к более тонкому аппарату исследования поведения ряда Фурье функций / на множествах, где / равна нулю, а именно, к понятию "слабая обобщенная локализация почти всюду", введенному и исследованному И. JI. Блошанским в работах [35-39].

Определение 3. Пусть 01, 21 С TN, — произвольное множество поло-окительной меры. Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из класса LP(TN), р > 1, справедлива на множестве 21 слабая обобщенная локализация почти всюду (COJl); если для любой функции f Е LP(TN),

5 Справедливость ОЛ на открытых п.в. множествах П С Т2 была также доказана в классе

Lln+Lln+ln+L (см. [32,33]).

6 В работе [34] были проведены исследования справедливости OJT на любых открытых множествах

21 с ТГ3 для функций / е II"(Т3). В частности, установлено, что OJI (для таких функций) справедлива на открытом множестве 21 С Т3, если модуль непрерывности ui(S, f) этой функции удовлетворяет условию = o{[log\logloglog±]~l). f(x) = 0 на 21; существует такое подмножество 2li С 2l; yu2li > 0, что lim Sn(x) f) = О почти всюду на 2li.

71—>00

Заметим, что так как из справедливости на множестве 21 OJI следует справедливость на этом же множестве СОЛ, то СОЛ справедлива при N = 1, р > 1 на произвольных измеримых множествах 21 С Т1, а при N = 1, р = 1 и N = 2, р > 1 — на открытых п.в. множествах 21 С Т^, /л21 > 0. Однако, понятия ОЛ и СОЛ не совпадают (см. [37, теорема 1]).

Для формулировки результатов по СОЛ в классах Lp(TN),p > 1, введем следующие обозначения. 7

Пусть М — множество чисел {1,., N} и k G М. Обозначим: J& = {Зъ ■~,jk}, js < ji при s < I, и (в случае к < N) М \ Jk = {тгц,. ms < mi при s < — непустые подмножества множества М. Будем считать также, что Jo = 0 и М \ Jn = 0. Разложим пространство на сумму двух подпространств Е[Jk] и М[М \ «/&], где R[Jfe] = {х = (aji,., ж/v) £ ^^ : Xj = 0 при j G М \ Jfc}, а М[М \ Jk] = {х Е RN : Xj = 0 при j G Jk}-Обозначим также T[Jfc] = {ж £ M[J&] : — 7г < xj < 7г при j G J^} и Т[М \ JJ = {ж G К[М \ JJ : -7г < Xj < тг при j G М \ Jfc}. Очевидно, что R[Jn] = М^, а Т[М] = Т*.

Пусть С Т^, N > 2, — произвольное (непустое) открытое множество, и пусть Q[J2] — pr(j2){fi} — ортогональная проекция множества Q, на плоскость M[J2], J2 С М.

Положим и^й = ОД X Т[М \ J2], J2 С М.8 (0.2)

7 Для удобства дальнейшего изложения формулировать основные результаты работ [35-38] мы будем в терминах, которые появились уже позже при исследовании вопросов справедливости СОЛ в других функциональных пространствах (см., например, [39,40]).

8 При этом любой вектор z — (zi,., z2n) £ л x в , где а с М[J*], а в с К[М \ J*], мы отождествляем

Множества W[J2] будем называть "iV-мерными брусками". Далее для любого Jk, 0 < к < N — 2, рассмотрим следующие множества: множество

W = W(Jk) = Jk) = (J W[J2] (0.3) j2cm\j* которое будем называть "полным N-мерным крестом", если Jk = 0, и "неполным iV-мерным крестом", если Jk ф 0) и множество

W° = W0(Jk) = W°(n}Jk)= р| W[J2] (0.4) j2cm\jk которое будем называть "центром" соответствующего "iV-мерного креста").

Замечание 1. Очевидно, что, во-первых, для каждого к, 0 < к < iV — 2, мы можем построить Сдг = щи-ку. различных "iV-мерных крестов". А во-вторых, если Jk С JSi 0 < к < s < N — 2, то W(Q, Jk) D Js) (при этом

W0(n,Jk)CW°(n,Js)).

В работе [35] (см. также [36,37]) И. JL Блошанским была доказана следующая теорема.

Теорема А. Для любой функции f Е LP(TN), р > 1, N > 2; /(ж) = 0 на w = W(Jq), lim Sn(x; /) = 0 почти всюду на W° = W°(Jq). п—^оо

Таким образом, СОЛ для кратных рядов Фурье, суммируемых по прямоугольникам, в классах LP(TN), р > 1, справедлива на "полном кресте" W = W(JQ) вида (0.3) с числом брусков W[J2] (0.2), равным = M^i) g той же работе была доказана неусиляемость этого результата в следующих с вектором х = (жх,., хм) 6 Ш-1* по формуле

Ха zs при s € Jk, ZN+s при SEM\Jk. смыслах: во-первых, были приведены примеры множества W = W(Jq) вида (0.3) и функции / 6 Ьоо(Т^), равной нулю на W, таких, что lim |5„(а;; /)| = +оо п.в. на TN \ W0; п—too во-вторых, было показано, что на кресте с меньшим, чем Сдг, числом брусков или на кресте с другой геометрией брусков СОЛ, вообще говоря, не справедлива даже в классе непрерывных функций.

Итак, "полные А^-мериые кресты" W = W(Jq) представляют собой "самые простые" множества, на которых справедлива СОЛ для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье функций из класса Lp(TN), р > 1. Отметим, что для справедливости СОЛ в других функциональных пространствах, например, в классе Li, или в классах Орлича L(log+ 0 < е < или в классах Нш непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности, как показано в [37-43], требуется другая геометрия "iV-мерных крестов". Так в классе L\ "самыми простыми" (см. [37]) являются ("полные iV-мерные плоскостные" ) кресты вида

Е = Е(П) = [J ЕЩ,

JjCM где "iV-мерными плоскостями" , образующими "плоскостной крест" Е, являются множества вида здесь £l[J\] = — ортогональная проекция (непустого) открытого множества Q на прямую R[Ji], J\ С М.

Приведенные выше результаты поставили вопрос о поиске критерия справедливости СОЛ на произвольных измеримых подмножествах TN положительной меры (для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье функций из класса LP(TN), р > 1). В [37] И. JI. Блошанским такой критерий был сформулирован и доказан для широкого класса измеримых множеств {21}, 21 С TN, N >2, //21 > 0 (с некоторыми ограничениями на границу множества 21), в терминах структурно-геометрических характеристик множества 21, описываемых свойством В2. Чтобы сформулировать этот критерий, дадим следующие определения.

Определение 4. Будем говорить, что множество Л вписывается почти всюду (вписывается с точностью до множества меры нуль) в множество В, если fi(A \ В) = 0.

Определение 5.1. Будем говорить, что множество 21, 21 С TN, N >2, обладает свойством В2, если существует мнооюество W = W(Jq) вида (0.3), которое вписывается п. в. в 21, причем, свойство В2 есть свойство B2(W°), если W = W(W°).

2. Свойство В2(И^°) мноэюества 21 будем называть максимальным свойством В2 множества 21, если для любого множества W0 = W°(Jq) вида (0.4) такого, что fi(W° \ W0) > 0, мнооюество 21 не обладает свойством В2(Й?°).

Замечание 2. Множество 21 С Т2, обладающее свойством В2, — это множество, для которого существует (непустое) открытое множество ST2, Q С Т2, такое, что fi(Q \ 21) == 0 (см. [35,37]).

Обозначим через intP множество внутренних точек Р, через Р — замыкание множества Р и через FrP — границу множества Р.

Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С TN: N > 2, 0 < //21 < (27г)^, = TN \ 21. Рассмотрим следующие условия на границу множества 21: ipВ \ in№) = 0, 9 (0.5)

H2Frpr{j2){in№} = 0, J2 С M, (0.6) где fi2 — мера на плоскости.

И. Jl. Блошанский доказал (см., в частности, [37]), что на произвольном измеримом множестве 21, 21 С TN, N > 2, 0 < /i2l < (2^)^, удовлетворяющем условиям (0.5), (0.6), в классах Lp(TN),p > 1, СОЛ для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье справедлива тогда и только тогда, когда множество 21 обладает свойством В2. Подчеркнем, что в части достаточности данное утверждение справедливо без ограничений (0.5), (0.6).

Заметим, что критерий справедливости СОЛ был доказан в расширенной формулировке с указанием подмножества 2li множества 21, па котором существует предел последовательности частичных сумм 5п(ж;/), а именно

Теорема В. Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С TN, N > 2, 0 < /х21 < (2tt)n.

1. Если для некоторого И^0 = W°(Jo) вида (0.4) множество 21 обладает свойством В2(ТУ°), то для любой функции f £ LpCT-^), р > 1, такой, что f(x) = 0 на 21, lim Sn(x; f) = 0 почти всюду на W0.

Пусть дополнительно мнооюество 21 удовлетворяет условиям (0.5), (0.6), тогда

2. Если свойство ffi>2(W°) множества 21 является максимальным свойством Ш>2, то существует функция /1 6 Loo(TN) такая, что fi(x) = 0 на

9 В частности, этому условию удовлетворяют множества ® такие, что fi(int*B) = /х25; в свою очередь последнее условие справедливо, например, для множеств 05 таких, что 53 = T'v \ 21, где 21 — произвольное замкнутое множество.

21, но lim l^frc; /i)| = +00 почти всюду на Т^ \ W0. п—^ оо

3. В частности, если множество 21 вообще не обладает свойством ®2, то существует функция /2 Lqq такая, что f2(x) = 0 на 21, но lim \Sn(x] f2)\ = +00 почти всюду на Т^.

71—ЮО

Полученные результаты о справедливости СОЛ для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье поставили новый вопрос: пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 с TN; каким (с точки зрения геометрии и структуры) должно быть "максимальное" множество, на котором сходится п.в. тригонометрический ряд Фурье функции / Е LP(TN), р > 1, равной нулю на 21?

В [29] (см. также [31]) И. Л. Блошанским были введены понятия максимального множества неограниченной расходимости п.в. и максимального множества сходимости п.в. для указанных рядов.

Определение 6. Максимальным множеством неограниченной расходимости (ММНР) почти всюду кратных рядов Фурье функций из класса Lp(TN), р > 1, f(x) = 0 на 21, будем называть множество Е\, Е\ С Т^, fiEi > 0, которое во-первых, является множеством неограниченной расходимости (МНР) почти всюду указанных рядов, т.е. существует функция f\ Е LP(TN), fi(x) = 0 на 21, такая, что lim \Sn(x] fi)\ = +00 почти всюду на Е\\ п-> оо во-вторых, множество Е\ является максимальным, т.е. для любой функции f Е Lp(Tn), f(x) = 0 на 21, lim \Sn(x] f)\ < +00 почти всюду па СЕ\ = Т^ \ Е\. п-+оо

Определение 7. Максимальным множеством сходимости (ММС) почти всюду кратных рядов Фурье функций из класса Lp(TN), р > 1, f(x) = О на 21, будем называть мноэ/сество Е2, Е2 С TN, рьЕч > 0, которое во-первых, является множеством сходимости (МС) почти всюду указанных рядов, т.е. для любой функции f е ^(Т^), f(x) = 0 на 21, существует предел lim Sn{x\ f) = f(x) почти всюду на Е2; п—>оо во-вторых, множество Е2 является максимальным, т.е. существует функция /2 6 LP(TN), /2(ж) = 0 на 21, такая, что Sn(x]/2) расходится при tl —У оо почти всюду на СЕ2 = Т^ \ Е2.

В работе [31] было дано исчерпывающее решение вопроса о структуре и геометрии ММНР и ММС п.в. для любого измеримого множества 21 С Т^ в классе L\{TN), N > 1, и для широкого класса измеримых множеств {21}, 21 С TN, в классах LP(TN), если р > 1. В частности, для N > 2 и р > 1 было доказано следующее утверждение о структуре и геометрии ММНР и ММС.

Пусть С Т^, — произвольное (непустое) открытое множество. Для любого Jk, 0 < k < N — 2, обозначим

V = V(Jk) = V(n,Jk)= U V{J2}= U (fi[J2]xT[M\J2]), (0.7) j2cm\jk .t2cm\jk где 0[J2] = ргщ{0,} — ортогональная проекция множества О, на плоскость

M[J2].

Справедлива следующая теорема.

Теорема С. Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С N>2,0<iM< nYN, «В = TN \ 21. Тогда

1. Если nV(in№, J0) = p,TN, то

1) мноэ/сество V(int%$, Jo) (0.7) является максимальным мноэ/се-ством неограниченной расходимости почти всюду для кратных рядов Фурье функций f Е LP(TN), р > 1, f(x) = 0 на 21, при суммировании по прямоугольникам;

2) мнооюеств сходимости указанных рядов нет.

2. Если fiV(intiВ, Jo) < //Т^ и мноо/сество удовлетворяет условиям, (0.5), (0.6), то

1) множество У(т£*В, Jo) — максимальное множество неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье функций f Е L00(T7V), f{x) = 0 на 21, при суммировании по прямоугольникам;

2) множество 2li = Т^ \ V(int%5, Jo) — максимальное множество сходимости почти всюду указанных рядов, при этом а) 2li - П х Т[М \ J2]), где - Т2 \ ргш{т№}; j2cm б) существует мнооюество

WCSti, Jb) = U (^xT[M\J2]) j2cm такое, что ^(^(211, Jo) \ 2t) — 0, т.е. множество 21 обладает максимальным свойством IH>2(21i).

4. В связи с приведенными выше результатами возникают следующие вопросы.

1) Какова должна быть структура и геометрия "самого простого" множества 21 С TN, на котором в классах LP(TN), р > 1, была бы справедлива СОЛ для кратных рядов Фурье в случае, когда (прямоугольные) частичные суммы этих рядов Sn(x; /) имеют "номер" п = (ni,., пдг) Е Zf, в котором некоторые компоненты ni,., пдг являются элементами лакунарных последовательностей?

2) Какими должны быть структурно-геометрические характеристики произвольного измеримого множества 21 С TN (на котором разлагаемая в ряд Фурье функция f(x) равна нулю), чтобы на этом множестве в классах

Lp(TiV), p > 1, была справедлива COJI для кратных рядов Фурье с "лаку-нарной последовательностью частичных сумм" ?

3) Какими (с точки зрения геометрии и структуры) для произвольного измеримого множества 21 С TN должны быть ММНР и ММС п.в. указанных выше рядов функций из класса LP(TN), р > 1, равных нулю на 21?

В настоящей диссертации показано, что "самыми простыми" множествами, на которых справедлива СОЛ для указанных кратных рядов Фурье, являются "неполные iV-мерные кресты" W(Jk) и что для широкого класса измеримых множеств 21 С Т^ (с некоторыми ограничениями на границу 21) интересующие нас структурно-геометрические характеристики описываются так называемым свойством В^ (см. далее определение 8). Перейдем к изложению полученных результатов.

Диссертация состоит из трех глав. Глава I посвящена изучению структурно-геометрических характеристик "самых простых" множеств, на которых справедлива СОЛ в классах Lp(TN),p > l,iV > 3, для кратных рядов Фурье, чьи прямоугольные частичные суммы Sn(x] /) имеют "номер" п = (ni,., n/v) £ , в котором некоторые компоненты являются элементами лакунарных последовательностей. Глава состоит из трех параграфов.

В § 1 главы I мы описываем класс таких ("самых простых") множеств.

Введем следующие обозначения. Пусть а = a(Jk) = (а^,. ,ajk) Е Zj, js 6 Jk, s = 1 Символом n(a) = n^[Jk] = (nb . .,nN) E обозначим TV-мерный вектор, у которого компоненты rij с номерами j = js, s = 1,. ,к, являются элементами некоторых (однократных бесконечно больших) последовательностей натуральных чисел (при j Е Jk '• nj = п^ и п?3>> —Ь сю при a>j —> оо). В частности, символом п^ = n^[Jk] Е Zf (где Л = Л(Jk) = (A., Xjk) Е Z{, js Е Jk, s = 1,., k) будем обозначать /V-мерный вектор, у которого компоненты nj, j Е Jk, являются элементами некоторых (однократных) лакунарных последовательностей.

Справедлива следующая теорема.

Теорема I.I. Для любого J& С М, 1 < к < N — 2, N > 2>, и для любой функции f Е LP(TN), р>1, f(x) = 0naW — W{Jk), lim^ 5n(A)[jfc](a;; /) = 0 для почти всех х Е W° = W°(Jk). (0.8)

Tij —> оо, j € М \ Jj.

Результат теоремы показывает, что для кратных рядов Фурье с " Jj:-лакунарной последовательностью частичных сумм" Sn(\)[Jk](x] f) СОЛ в классах LP(TN), р > 1, при N > 3 будет справедлива на "неполном кресте из TV-мерных брусков" — множестве W = W(Jk) вида (0.3). При этом "TV-мерные бруски" W[J2], образующие указанный "крест" W, имеют "основания" Q[J2] в тех плоскостях M[J2], J2 — с М, для которых соответствующие компоненты "номера" Е Ъ^ — компоненты ns и nt — являются "свободными" (т.е., в частности, не являются элементами никаких лакунарных последовательностей), и число таких "брусков" будет равно

П2 (N-k)(N-k-1) — 2 •

Естественно, встает вопрос о том, можно ли усилить результат теоремы I.I, установив при iV>3nl<fc<iV — 2 равенство (0.8) на всем множестве W(Jk) вида (0.3), т.е. (см. определение 2) будет ли при N>3nl<k<N — 2 справедлива ОЛ на множестве W(Jk)?

Ответ на поставленный вопрос зависит от размерности пространства N и числа к компонент "номера" частичной суммы Sn(x;f), которые являются элементами лакунарных последовательностей. Если при N > 3 величина к = N — 2, то такое усиление теоремы I.I оказывается возможным, а именно, справедливо следующее утверждение.

Следствие (теоремы I.I). При N > 3 для любого Jn-2 С М, и для любой функции f Е Lp{TN), p > 1, f(x) = 0^1^ = W(Jn-2), lim Sn(x)!j ](x] f) = 0 для почти всех x E W. nj-*oo,jeM\JN2

Если же при N > 4 величина к меньше N — 2, то усилить теорему I.I, установив равенство (0.8) на всем W(Jk), нельзя, что показывает следующая теорема.

Теорема I.II. Пусть N > 4 и J& С М, 1 < k < N—3, тогда существуют множество W = W(Jk) вида (0.3) и функция f Е L00(TiV) такие, что /(ж) = 0 на W и для любых к последовательностей натуральных чисел {rij*3^}, j 6 Jk, rijоо при aj oo,10 справедлива оценка lim |5n(a)fj.i(a:;/)| — +oo почти всюду на TN \ W°, aj-лоо, jeJ/., rij —>oo,j£M\J/, где множество W° = W°(Jk) определено формулой (0.4).

В § 2 главы I нами исследуется вопрос о необходимых условиях справедливости СОЛ для кратных рядов Фурье с " Jfc-лакунарной последовательностью частичных сумм" на множествах W(Jk) вида (0.3).

Следующая теорема, например, покажет нам, что мы не можем "существенно изменить" геометрию множества W(Jk). Фиксируем произвольное ^ СМ и обозначим

72 = 72Ш = max j, 71 = 7i(Jfc) = max j. (0.9) j£M\jk jeM\{Jk Ш72})

Далее выберем произвольное a, — 7Г < a < 7г, и положим

Wfru 72](а) = fi[7i, 72] х [-7Г, тг]^3 X [-тг, а], (0.10) где сегмент [—7Г, а] может принадлежать любой из осей Ох\, I Е М\ Jfc, I Ф 71,

10 В частности, все последовательности {п^*'^}, j & Jk, могут быть лакунарными или, например (если N > 4 и к > 2), почленно равными между собой (т.е. п^"3^ = ■ • • = ^ = щ)

I ф 72. Положим

Wa = [J W[J2]{JW[llll2](a), (0.11)

J2CM\Jk, где W[J2], J2 С M \ Jk, J2 Ф {71,72}, определены в (0.2).

Теорема I.III. Пусть N>3uJkcM,l<k<N — 2. Для любого а, —7г < а < 7Г, существуют функция f = fa £ C(T^) и множество Wa вида (0.10) - (0.11) такие, что f(x) = 0 на Wa и для любых к последовательностей натуральных чисел {n^}, j G Jk, п^ —> оо при aj оо, справедлива оценка lim |5n(«)rj i(х] /)| = +оо почти всюду на TN. aj-^ooj&jf., Irij —>00 ,j£M\J/.

Таким образом, на "кресте" с меньшим, чем числом "брусков" (как следует из теоремы I.III) СОЛ для рассматриваемых нами рядов Фурье справедлива не будет. В таком случае возникает следующий вопрос: нельзя ли изменить геометрию самих "брусков" (т.е. можно ли установить равенство (0.8) на "кресте из iV-мерных брусков", основаниями которых будут трехмерные множества)?

Для N > 4 и любого JkcM,l<k<N — 3, рассмотрим по аналогии с (0.2) и (0.3) множества

W[J3] = ОД х Т [М \ Js], JzCM\Jk (0.12) где Г^[«7з] = pr(j3){£7} — ортогональная проекция (непустого) открытого множества £7 С TN на пространство Ж[7з]), и пусть

W(jk)= (J W[h}. (0.13) j3cm\jk

Теорема I.IV. Пусть N > 4 и Jk С М, 1 < k < N — 3. Существуют функция f £ ССГ^), и множество W(Jk) вида (0.12) - (0.13) такие, что f(x) = 0 на W(Jk) и для любых к последовательностей натуральных чисел {nf3)}, j £ Jk, rij*^ —> оо при aj —> оо, справедлива оценка lim^ \Sn(a)[jk}(x] f)\ = +00 при всех х внутри TN.

Tij—»oo,j"6M\ Jf.

Сформулированные выше теоремы ставят новый вопрос: если нельзя изменить геометрию множества W(Jk) (т.е. нельзя отказаться от "неполного креста из брусков" с числом "брусков" Cfjk) и нельзя изменить геометрию самих "брусков" при N > 4,1 < k < N — 3, то нельзя ли усилить данный результат при N>3, l<k<N — 2ир> 1 уже в смысле "структуры" множеств f2[J2], входящих в множества (0.2) - (0.4), т.е. будет ли СОЛ справедлива на "неполном кресте из брусков", в сечении хотя бы одного из которых лежит произвольное измеримое множество (т.е. если множество Q С TN таково, что хотя бы одно из множеств n[J2], J2 С М \ Jk, является произвольным измеримым множеством)? В настоящей работе на этот вопрос дается отрицательный ответ.

Пусть W[J2], J2 С M\Jk, J2 ф {7ь 72}, — множества вида (0.2), где £}[J2] — открытые множества, a W[7i,72] — измеримое множество также вида (0.2) (71,72 определены в (0.9)). Составим из них "крест" W(Jk) вида (0.3), т.е.

W(Jk)= U WlJ2\\JWbin2\. (0.14)

J2CM\Jk, ^2^(71,72}

Теорема I.V. Пусть N > 3 и Jk С М, 1 < к < N — 2, тогда для любого £ > 0 существуют функция f = f£ £ L^iТ^) и измеримое множество W£(Jk) вида (0.14) такие, что 1. f(x) = 0HaWe{Jk)-, 2- VW£( Jk) > (2k)n

3. для любых к последовательностей натуральных чисел {п^*^}, j 6 Jk, oo при aj —> oo, справедлива оценка lim^ f)\ = +00 почти всюду на TN. nj->oo,j£M\Jk

Таким образом, найденные структурно-геометрические характеристики "неполных TV-мерных крестов" W = W(Jk) вида (0.3) являются точными в смысле числа образующих множества "TV-мерных брусков" , а также их ("брусков") геометрии и структуры.

Наконец, в § 3 главы I нами доказана теорема, которая показывает, что СОЛ для рассматриваемых нами рядов в классе Li(Tn) на множествах W{ Jk) вида (0.3) справедлива не будет.

Теорема I.VI. Пусть N > 3 и Jk С М, 1 < k < N — 2, тогда существуют множество W = W(Jk) вида (0.3) и функция / Е Li(TN) такие, что fix) = 0 на W, но "Jk-лакупарная последовательность частичных сумм" SnW[jk}{x'i f) расходится почти всюду на Т^ при Aj —»• 00, j Е Jk, nj оо,j е M\Jk.

В главе II диссертации нами доказан критерий справедливости в классах LP(TN), р > 1, СОЛ для кратных рядов Фурье с " J^-лакунарной последовательностью частичных сумм" на произвольных подмножествах TN положительной меры (удовлетворяющих некоторым ограничениям на границу множества) в терминах свойства В^ •

Введем следующие понятия.

Определение 8. Пусть 21 С TN, TV > 3, и пусть Jk С М, 1 < k < TV-2, или Jk = 0, к = 0.

1. Будем говорить, что множество 21 обладает свойством В^, если найдется мноэюество W = W(Jk) вида (0.3), которое .вписывается п.в. в 21, причем свойство В^ есть свойство В^k\w0), если W = WiW®).

2. Свойство B^fe)(iy°) • множества 21 будем называть максимальным свойством В^ множества 21, если для любого множества W0 = W°(Jk) вида (0.4) такого, что /j,(W° \ W®) > 0, мноэ\сество 21 не обладает свойством В {2Jk)(W°).

Заметим, что при к = 0 свойство В^ = В^ и максимальное свойство B2J°^(VF°(Jo)) = B®(Wo(0)) совпадают, соответственно, со свойством В2 и максимальным свойством B2(W°) (см. определение 5).

Далее, учитывая замечание 1, отметим, что если множество 21 обладает свойством Bg^W^Q, Jfc)), 0 < к < N — 3, то для любого Js такого, что Js D J&, к < s < N — 2, множество 21 обладает свойством В2 s Js)) при этом Js) 2 Jk)).

Справедлива следующая теорема.

Теорема II.I. Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С TN, N >3,0 < д21 < (27r)^, = Т^ \21, и пусть Jk — произвольная "выборка" из М, 1 < k < N — 2. Если множество 21 удовлетворяет условиям (0.5), (0.6'), где lL2Frprm{inVB} = 0, J2CM\Jk, (0.6') то на мнооюестве 21 в классе Lp(TN), р > 1, для кратных рядов Фурье, чьи прямоугольные частичные суммы Sn(x] f) имеют "номер" п — n^[Jk] (в котором к компонент nj:j G Jk, являются элементами лакунарных последовательностей, а остальные N — к компонент nj,j € М \ Jk, — "свободны"), справедлива слабая обобщенная локализация почти всюду тогда и только тогда, когда множество 21 обладает свойством в!^.

Замечание 3. В части достаточности теорема II.I справедлива без ограничений (0.5), (0.6').

Так как теорема II.I не дает информации о том, на каких же подмножествах 2li С 21 существует предел "J^ -лакунарной последовательности частичных сумм" lim Sn(x)[Jk](x; f) = О при условии /(ж) — 0 на 21, а на каких нет, то целесообразно дать развернутую формулировку этой теоремы.

Теорема II.I'. Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С TN, N > 3, 0 < д21 < (271-)N, и пусть Зк С М, 1 < к < N - 2.

1. Если существует множество WQ = W°(Jk) вида (0.4) такое, что множество 21 обладает свойством B^^W0), то для любой функции f £ LP(TN), р > 1, такой, что /(ж) = 0 на 21, lim Sn(\)\ja{x\ f) = 0 почти всюду на W nj—too,j£M\Jf.

Пусть дополнительно множество 21 удовлетворяет условиям (0.5), (0.6'), тогда

2. Если свойство B^'^W0) множества 21 является максимальным свойством В^, то существует функция fi £ L00(TiV) такая, что fi(x) = 0 на 21 и для любых к последовательностей натуральных чисел {nf^}, j £ Jk, оо при aj —У оо, 11 справедлива оценка lim |5n(a)rj,](a:; Ml = +оо почти всюду на TN \ W0. п j —> со, j € M \ Jfc

3. В частности, если множество 21 вообще Tie обладает свойством В^, то существует функция /2 £ L00(TiV) такая, что /2(ж) — 0 на 21 и для любых к последовательностей натуральных чисел {п^}, j £ Jk, п^ —У оо при aj —> 00, справедлива оценка lim |5n(a)rj ](ж;/2)| = +оо почти всюду на TN.

11 Еще раз отметим (см. сноску к теореме I.II), что все последовательности {nj-™3^}, j £ Jk, могут быть, в частности, лакунарными или, например (если n > 4 и к > 2), почленно равными между собой (т.е.

Замечание 4. Итак, мы видим, что для любого к, 1 < к < N — 2, справедливость или несправедливость СОЛ для кратных рядов Фурье (суммируемых по прямоугольникам) в классах LP(TN), р > 1, на произвольном измеримом множестве 21 С TN, N > 3, определяется структурой и геометрией множества 21, которые, в свою очередь, описываются свойством В^, гДе величина к — это число "лакунарных компонент" вектора п = (ni,., njv) Е Z^ ("номера" частичной суммы Sn(x\ /)).12

Замечание 5. Сравнивая теорему В и теорему II.I', мы видим, что для справедливости на измеримом множестве 21 С , N > 3, СОЛ (для суммируемых по прямоугольникам кратных рядов Фурье функций / Е Lp, р > 1, f(x) = 0 на 21) в случае, когда все компоненты вектора n Е Ъ® — номера частичной суммы Sn(x] /) — "свободны", на множество 21 должны быть наложены "более жесткие" условия, описываемые свойством В2 (= В^), чем условия на это же множество в случае, когда часть компонент вектора п — лакунарны. Поясним сказанное на "достаточно хорошем" множестве

210 С Т*, О < [Mq < (2tt)n (скажем, 21о — открытое п.в., т.е. //(21оД^) — О, где Г2 — открытое): для сходимости п.в. к нулю кратного ряда Фурье (суммируемого по прямоугольникам) функции / Е Lp, р > 1, на 21о необходимо и достаточно равенство нулю функции f(x) на "полном брусочном кресте" W( Jo) = W(Q, Jo), если все компоненты вектора п Е Zf — "свободны", и равенство нулю той же функции f(x) только на "неполном брусочном кресте" W(Jk) = Jfc), Jk = {jl, • • •, jk} С M, если вектор n = (nb ., nN) £ Zf имеет к "лакунарных компонент" на местах с номерами ji,.

Далее заметим, что чем "более мягкими" при возрастании к (1 < к <

12 Подчеркнем, что "iV-мерные бруски" W[J2], J2 С М \ J к, образующие "неполный крест" W(Jk) (0.3) (который удовлетворяет условию fi(W(Jk)\21) = 0), имеют "основания" fi[J2] в тех плоскостях Е[./2], для которых соответствующие компоненты "номера" п € Ъу — компоненты tij, j £ М \ Jk, — являются "свободными" (т.е., в частности, не являются компонентами никаких лакунарных последовательностей).

N — 2) становятся условия на структурно-геометрические характеристики множества 21 (описываемые в теореме II.Г свойством Bg7^ множества 21), тем "более жесткими" становятся условия на последовательности частичных сумм 5п(а)[^л](ж; /), оставляя "свободными" (не лакунарными) все меньше и меньше компонент в векторе п — n^[Jk] — номере частичной суммы кратного ряда Фурье рассматриваемой функции, и, наконец, "в пределе" (т.е. когда только две переменные в векторе п остаются свободными) от структурно-геометрических свойств множества 21 требуется "только лишь" выполнение условия: должен существовать такой "TV-мерный брусок" Wfjy, который вписывается п.в. в множество 21.

Подчеркнем, что если мы еще уменьшим число "свободных" компонент в векторе п = n^[Jk] (сведя их количество до единицы, а остальные компоненты естественно оставив лакунарными), то, как следует из уже упоминавшихся результатов П. Шёлина [8] и М.Кожимы [11], для справедливости па множестве 21 СОЛ в классах Lp, р > 1, от множества 21 уже не требуется никаких ограничений (в плане структурно-геометрических характеристик), кроме измеримости.

Таким образом, если мы фиксируем некоторое множество 21о С Т^, О < //2lo < (2tt)n (например, как и выше, открытое п.в.), и перед нами встает вопрос о сходимости п.в. на этом множестве кратного ряда Фурье (суммируемого по прямоугольникам) функций из ^(Т^), р > 1, то одно из возможных решений поставленной задачи13 — рассматривать прямоугольные частичные суммы Sn(x; /) с номером п (п £ Zf), имеющим N — 1 "лакунарную компоненту" (т.е. не более одной "свободной" переменной). При этом заметим, что сходимость (п.в.) указанного ряда Фурье будет не только на (выбранном

13 Еще одним решением могут быть некоторые "локальные условия гладкости" разлагаемой в ряд функции на множествах, в которые 21о вписывается и.в. (см., например, работы [44-4С]). нами) множестве 21о, но и на всем TN. Если же мы (добиваясь сходимости рассматриваемых в настоящей работе рядов Фурье, вообще говоря, только на 21о, где = 0, а Г2 — открытое) хотим увеличить число "свободных" компонент, то нам придется рассматривать класс функций (из Lp, р > 1), равных нулю на некотором множестве 21, содержащем Q в качестве подмножества, и требовать уже "жесткие условия" (а именно, В^О^"0^ Jk))) Iia структурно-геометрические характеристики множества 21 (напрямую зависящие от числа "свободных" переменных rijk+1,., njN, 0 < к < N — 2, в номере п).

Укажем также на некоторое обобщение теоремы IIЛ в плане ослабления ограничений на множество 21.

Теорема II.II. Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С TN, N > 3, 0 < //21 < {2ir)N, 03 = Т^ \ 21, и пусть Jk - произвольная "выборка" из М, 1 < k < N — 2. Если существуют подмнооюество 031 с 93 и открытое множество такие, что

1. ju(©iA П) = 0; (0.15)

2. fi2Frpr{j2){Q} = 0, J2cM\Jfc; (0.16)

3. = 112ргШ{Я}, J2cM\Jk (0.17) где ц2 — мера на плоскости), то на множестве 21 в классе Lp(TN), р > 1, для кратных рядов Фурье, чьи прямоугольные частичные суммы Sn(x; /) имеют "номер" п = n^[Jk], справедлива слабая обобщенная локализация почти всюду тогда и только тогда, когда множество 21 обладает свойством Ш>2к\

Замечание 6. Ограничения на множество 03 в виде условий (0.15) - (0.17) впервые появились (для Л^>2и^ = 0)в работе [37], и этим условиям удовлетворяют, например, множества 03, представимые в виде 03 = 03^ [J 03^2\

93«П®(2) = 0, где ©W = ¥>(50, ®<2> С ¥>(S2), Si = {ж <= : 0 < п < ж| < г2 < 7г}, S2 — {х £ Т^ : |ж| < ri}, a tp — произвольный гомеоморфизм <р : TN —> Т^; при этом произвольное множество ^ может иметь сколь угодно "плохую" геометрию и структуру.

1. Колмогоров А. Н. Une contribution а Vetude de la convergence des series de Fourier 1.j Fund. Math. 1924. V. 5. P. 96-97.

2. Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier series and power series // J. Lond. Math. Soc. 1931. V. 6. P. 230-233.

3. Carleson L. On convergence and growth of partial sums of Fourier series // Acta Math. 1966. V. 116. P. 135-157.

4. Hunt R. On the convergence of Fourier series // Proc. Conf. Edwardsville 111. 1967, Southern Illinouis Univ. Press. Carbondale 111. 1968. P. 235-255.

5. Gosselin R. P. On the divergence of Fourier series // Proc. Amcr. Math. Soc. 1958. V. 9. P. 278-282.

6. Totik V. On the divergence of Fourier series. // Publ. math., Debrecen. 1982. V. 29. № 3-4. P. 251-264.

7. Ульянов П. JI. A. H. Колмогоров и расходящиеся ряды Фурье j j Успехи мат. наук. 1983. Т. 38. №4 (232).

8. Sjolin P. Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series // Arkiv Matem. 1971. V. 9. № 1. P. 65-90.

9. Санадзе Д. К., Хеладзе Ш.В. О сходимости и расходимости кратных рядов Фурье-Уолша // Тр. Тбилисск. мат. ин-та АН Груз. ССР. 1977. Т. 55. С. 93-106.

10. Жижиашвили Л. В. О сходимости и расходимости тригонометрических рядов Фурье // ДАН СССР. 1975. Т. 225. № 3. С. 495-496.

11. Kojima M. On the almost everywhere convergence of rectangular partial sums of multiple Fourier series // Sci. Repts. Kanazava Univ. 1977. V. 22. №2. R 163-177.

12. Fefferman C. On the divergence of multiple Fourier series // Bull. Amor. Math. Soc. 1971. V. 77. № 2. R 191-195.

13. Жижиашвили Jl. В. Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. 3 изд. Изд. Тбилисск. университ., 2005.

14. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир, 1965.

15. Tonelli L. Serie trgonometriche. Bologna, 1928.

16. Жижиашвили Л. В. О некоторых вопросах из теории простых и крат-пых тригонометрических и ортогональных рядов // УМН. 1973. Т. 28. № 2. С. 65-119.

17. Жижиашвили Л. В. Сопряэ/сенные функции и тригонометрические ряды Тбилиси, 1969.

18. Ильин В. А. Условия локализации прямоугольных частичных сумм кратного тригонометрического ряда Фурье в классах С. М. Никольского1.j Матем. заметки. 1970. Т. 8. № 5. С. 595-606.

19. Goffman С., Waterman D. The localization principle for double Fourier series

20. Stud. Math. 1980. V. 69. № 1. R 41-57.

21. Ашуров P. P. Условия локализации квадратных частичных сумм кратного тригонометрического ряда Фурье в классах С. М. Никольского // Матем. заметки. 1989. Т. 46. № 2. С. 3-7.

22. Bastys A.Y. Generalized localization or Fourier series with respect to the eigenfunctions of the Laplace operator in the classes Lp // Lith. Math. 1991. V. 31. № 3. P. 269-282.

23. Liflyand E. R., Skopina M.A. Square linear means with hyperbolic factor // Analysis Math. 1998. V. 9. № 1. P. 65-90.

24. Skopina M.A. Localization principle for wavelet expansions // Self-similar systems. Proceedings of the international workshop. Dubna. Russia. July 30 August 7, Dubna: Joint Institute for Nuclear Research, 1999. P. 125-132.

25. Алимов Ш.А., Ильин В. А., Никишин E.M. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений // УМН. 1976. Т. 31. № 6. С. 28-83.

26. Голубов Б. И. Кратные ряды и интегралы Фурье // В сб. Итоги науки и техники. Серия Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 19. С. 3-54.

27. Дьяченко М. И. Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов // УМН. 1992. Т. 47. № 5. С. 97-158.

28. Блошанский И. JI. Равносходимость разложений в кратный тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье // Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 2. С. 153-168.

29. Блошанский И. JL Обобщенная локализация почти всюду и сходимость двойных рядов Фурье // ДАН СССР. 1978. Т. 242. № 1. С. 11-13.

30. Блошанский И. JI. О максимальных мноэ/сествах сходимости и неограниченной расходимости кратных рядов Фурье функций из L\, равных нулю на данном множестве // ДАН СССР. 1985. Т. 283. № 5. С. 10401044.

31. Bloshanskii I. L. Generalised localization and convergence tests for double trigonometric Fourier series of functions from Lp, p> 1 // Analysis Math. 1981. V. 7. №1. P. 3-36.

32. Блошанский И. JI. Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Дисс. . докт. физ.-мат. наук. М.: МИАН, 1991.

33. Рослова Т. Ю. О справедливости обобщенной локализации для двойных тригонометрических рядов Фурье функций из Lln+Lln+ln+L // ДАН России. 1998. Т. 359. № 6. С. 744-745.

34. Блошанская С. К., Блошанский И. Л., Рослова Т. Ю. Обобщенная локализация для двойных тригонометрических рядов Фурье и рядов Фурье-Уолша функций из Lln+Lln+ln+L // Матем. сборник. 1998. Т. 189. № 5. С. 21-46.

35. Блошанский И. Л. О сходимости и локализации кратных рядов и интегралов Фурье. Дисс. . канд. физ.-мат.наук. М., 1978.

36. Блошанский И. Л. О критериях слабой обобщенной локализации в N-мерном пространстве // ДАН СССР. 1983. Т. 271. № 6. С. 1294-1298.

37. Блошанский И. Л. О геометрии измеримых множеств в N-мерном пространстве, на которых справедлива обобщенная локализация для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из Lp, р > 1 // Матем. сборник. 1983. Т. 121. № 1. С. 87-110.

38. Блошанский И. Л. Два критерия слабой обобщенной локализации для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из Lp, р > 1 // Изв. АН СССР. Серия матем. 1985. Т. 49. № 2. С. 243-282.

39. Блошанский И. JI. Структура и геометрия максимальных множеств сходимости и неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье функций из L\, равных нулю на данном множестве // Изв. АН СССР. Серия матем. 1989. Т. 53. № 4. С. 675-707.

40. Блошанский И. JI., Мацеевич Т. А. Слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. Сб. статей. М.: АФЦ. 1999. С. 37-56.

41. Блошанский И.Л., Иванова O.K. Слабая обобщенная локализация для тригонометрических рядов Фурье функций из классов Орлича // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тез. докл. 12-ой Саратовской зимн. шк. Саратов. 2004. С. 28-29.

42. Иванова О. К. Мажорантные оценки для частичных сумм кратных рядов Фурье функций из пространств Орлича, равных нулю на некотором множестве // Матем. заметки. 1999. Т. 65. № 6. С. 821-830.

43. Блошанский И.Л. Локальные условия гладкости, обеспечивающие сходимость кратного тригонометрического ряда Фурье // Теория функций и приближений. Труды 5-ой Сарат. зимней шк. Саратов. 1992. С. 150155.

44. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

45. Лифанцева О.В., Блошанский И.Л. Слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности // Матем. заметки. 2008. Т. 84. Ш 3. С. 334-347.

46. Лифанцева О.В., Блошанский И.Л. Критерий слабой обобщенной локализации для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности // ДАН России. 2008. Т. 423. № 4. С. 439-442.