Следствия теорий гравитации с поправками второго порядка по кривизне и возможности их экспериментальной проверки тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Объединенный институт ядерных исследований Лаборатория теоретической физики имени Н.Н.Боголюбова

На правах рукописи УДК 524.882

АЛЕКСЕЕВ Станислав Олегович

Следствия теорий гравитации с поправками второго порядка по кривизне и возможности их экспериментальной проверки

Специальность: 01.04-02 — теоретическая физика

Автореферерат диссертации на соискание ученой степени

доктор физико-математических паук

Дубна 2009

003468035

Работа выполнена в отделе релятивистской астрофизики Государственного астрономического института имени П.К.Штернберга Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Научный консультант

доктор физико-математических наук,

профессор

Сажин М.В.

(ГАИШ МГУ)

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН

Кузьмин В.А. (ИЯИ РАН)

доктор физико-математических наук Фурсаев Д.В.

(Университет "Дубна") доктор физико-математических наук Волобуев И.П.

(НИИЯФ МГУ)

Ведущая организация

Московский инженерно-физический институт (Государственный университет)

Защита состоится 3 июня 2009 года в 1500 на заседании диссертационного совета Д720.001.01 Объединенного института ядерных исследований (141980, Московская область, г. Дубна, ул. Жолио Кюри, д.6, ЛТФ ОИЯИ)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Объединенного института ядерных исследований (141980, Московская область, г. Дубна, ул. Жолио Кюри, д.б, ОИЯИ)

Автореферат разослан "_" апреля 2009 года

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук

А.Б.Арбузов

1 Актуальность темы

За последние десятилетия был достигнут значительный прогресс в построении единой теории всех физических взаимодействий. Так как при помощи методов квантовой теории поля построить квантовую теорию гравитации пока не удается, рассматриваются новые концепции связи гравитации и физики высоких энергий, среди которых наиболее перспективной представляется теория струн. Развитие этой теории принято разбивать на этапы, разделенные первой и второй "суперструнными революциями" [1]. "Первая суперструнная революция" относится к 1984 году: был предложен механизм сокращения аномалий, позволивший установить, что суперсимметричные калибровочные теории с супергравитацией могут существовать в десятимерном пространстве-времени с калибровочными группами 50(32) или Е$ X Е$, описывающими гетеро-тические струны. После компактификации в четыре измерения теория описывается низкоэнергетическим эффективным действием, обобщающим классическое действие Эйнштейна-Гильберта [2]. В дополнение к эйнштейновскому члену действие обычно включает в себя безмассовый дилатонный вклад, поля Янга-Милса и поправки высших порядков по кривизне. Следствие такой модификации эффективного действия для моделей гравитации — появление новых типов решений, отсутствующих в теории относительности. Эти решения могут соответствовать физическим объектам макромира, которые необходимо искать в наблюдениях или экспериментах.

В пертурбативном подходе, развитом на этом этапе, уравнения Эйнштейна модифицируются с помощью поправок высших порядков по кривизне в областях, где кривизна приближается к планковским значениям. В настоящее время общая форма этих поправок еще не изучена полностью, поэтому прямое суммирование ряда невозможно. При этом наиболее значимой является поправка второго порядка: произведение члена Гаусса-Бонпэ на дилатонный фактор. Такие поправки (без дилатонного члена) были введены в рассмотрение Д.Лавлоком [3] и получили назва-

нис "гравитации Лавлока".

Исследованию влияния поправок на вид решений в космологии и физике черных дыр было посвящено множество исследований. В частности, было получено решение "черная дыра Гаусса-Боннэ", содержащее новые типы сингулярностей и дающее ограничение снизу на минимально возможное значение массы черной дыры, отсутствующее в теории относительности (Mignemi и Stewart, 1993 [4]; Kanti и др. , 1996 [5]; Алексеев и Помазанов, 1997 [6]; Macda и др., 1997 [7]; Алексеев и Сажин, 1998 [8]). В эти же годы был получен новый класс космологических решений (Kanti и др., 1996 [9]; Easter и Maeda, 1997 [10]). Их отличительная черта — возможность избежать начальной космологической сингулярности для широкого спектра начальных данных. Далее, была показана устойчивость всех этих решений, то есть, возможно, сделан первый шаг к решению проблемы космологической сингулярности в струнной гравитации. В дальнейшем эти результаты были обобщены и уточнены (Алексеев и др., 2000 [11]).

"Вторая суперструнная революция" произошла в 1994 году. Было доказано, что все пять независимых струнных теорий связаны преобразованиями дуальности и являются частными случаями одной общей теории (М-теории), которая в низкоэнергетическом пределе дает одиннадцатимерную супергравитацию.

Одной из самых нетривиальных проблем современной теоретической физики является вопрос о конечной стадии хокинговского испарения черных дыр. Так как законченного описания квантовых микросостояний черной пока не создано, эта проблема широко обсуждается, потому что полное испарение черной дыры может нарушать квантовую когерентность теории, что нежелательно. С другой стороны, не исключена возможность, что черная дыра испаряется не полностью, а лишь до некоторого реликтового остатка [12]. Если эти реликтовые остатки черных дыр существуют, они могут составить часть тёмной материи во Вселенной.

2 Цель исследования и постановка задачи

Целью данной диссертации является поиск следствий моделей гравитации с поправками второго порядка по кривизне, которые существуют в обозримых пространствснно-врсмсгшых масштабах, изучение этих следствий на предмет возможности или невозможности их поиска в экспериментах либо наблюдениях.

Для реализации предложенной цели необходимо в квазиклассическом приближении исследовать как четырехмерные модели с поправками по кривизне, так и модели многомерной гравитации, в том числе с учетом возможной некомпактности дополнительных измерений. Полученные решения необходимо сравнить с существующими (и реализующимися в астрономии) решениями типа "чёрная дыра", уточнив разницу их топологических и термодинамических характеристик для ответа на вопрос о возможной реализуемости объекта в природе и поиска в экспериментах и наблюдениях.

3 Научная новизна и практическая значимость

Все полученные в рамках данной работы результаты являются новыми, оригинальными и достоверными, что подтверждается корректностью используемых аналитических и численных методов. На момент публикации соответствующие результаты были получены впервые в мире.

В диссертации впервые удалось получить полную версию решения "четырехмерная черная дыра Шварцшильда-Гаусса-Боннэ", подробно исследовать его топологическую структуру и лежащий в её основе математический базис, обнаружить даваемое данной моделью ограничение на возможную минимальную массу черной дыры (А1ехеуеу & Ротагапоу, 1997 [6], А1ехеуеу к БагЫп и др., 1997-2002 [И, 12]). В рамках предложенного в диссертации нового подхода (совмещение современных физических и математических методов, таких как изучение сингулярных возмущений, более точные методы интегрирования, широкое использование

апроксимаций, ... ) выявлены поляризационные свойства черной дыры Гаусса-Боннэ, показана общность типов сингулярности в космологических и чернодырных решениях. В ходе исследований было предложено отождествить полученное решение с последней стадией хокинговского испарения черных дыр с небольшой исходной массой (до 1015 г, время жизни которых сравнимо со временем жизни нашей Вселенной). Выявлены отличия в картинах испарения: уточненное описание дает большие значения излучаемой энергии на последних стадиях испарения, показана невозможность экспериментального поиска первичных черных дыр по продуктам их испарения на последних стадиях.

В диссертации также исследованы сценарии испарения черных дыр в многомерных моделях гравитации с некомпактными дополнительными измерениями (Alexeyev & Barrau и др., 2000-2001, [13, 14, 15]). Показано, что в эксперименте на строящихся ускорителях, в случае обнаружения черных дыр как объекта, можно будет различить типы появившихся черных дыр, измерив значение струнной константы связи.

В диссертации впервые, с помощью численных методов, получено решение для вращающейся черной дыры в многомерной гравитации с поправками второго порядка по кривизне при наличии некомпактных дополнительных измерений (Alexeyev & Barrau и др., 2006-2008 [1G, 17]). Для пятимерного случая найдено аналитическое приближение и исследованы термодинамические свойства решения. Показано, что термодинамические свойства мало отличаются от стандартного вращающегося решения, то есть, различие черных дыр в эксперименте сразу после рождения не представляется возможным.

4 Положения, выносимые на защиту

1. На основе ограничения на минимальную массу черной дыры, полученного в моделях гравитации с поправкой в виде члена Гаусса-Боннэ, предложена модель реликтовых остатков (с массой Ю-5 г) первичных черных дыр. На основе анализа допустимых функций

связи предложены ограничения на размер полей-модулей (не более размера самой черной дыры).

2. Предложен новый метод изучения типов пространственно-временных сингулярностей на основе анализа нулей главного детерминанта Пта{п = 0 системы неявных дифференциальных уравнений Гильберта-Эйнштейна. Структура особенностей определяется поведением уравнений вблизи сингулярной поверхности Джип = О в фазовом пространстве. На основе предложенного метода в модели четырехмерной гравитации с поправками второго порядка по кривизне в виде члена Гаусса-Боннэ найден новый тип сингулярности, присутствующий как в космологических решениях, так и в решениях типа "чёрная дыра". Будучи следствием топологической инвариантности члена Гаусса-Боннэ, при которой порядок уравнений Эйнштейна не увеличивается, данный тип сингулярности определяется новым типом нуля ("точка поворота") главного детерминанта усложненной системы неявных дифференциальных уравнений, отсутствующим в уравнениях теории относительности.

3. На основе ограничения на минимальную массу черной дыры, полученного в моделях гравитации с поправкой в виде члена Гаусса-Боннэ, предложена оригинальная модель испарения черных дыр с модификацией закона испарения на последних стадиях. На основе закона сохранения энергии предложен механизм остановки испарения на массах 10 — 103 масс Планка, вычислены (с апробацией на простейшей модели) характерные величины энергий излучаемых частиц в точке максимума спектра испарения (~ Ю20 эВ) и на стадии остановки процесса (~ 10~е эВ). Дана теоретическая оценка (1 событие на 105 лет) частоты событий в экспериментальном поиске первичных черных дыр по продуктам их распада при условии отсутствии противоречий с моделями инфляции.

4. В модели многомерной гравитации с поправками второго порядка

по кривизне в виде члена Гаусса-Боннэ установлен закон испарения черной дыры, которая может родится в экспериментах на ускорителях. С учетом характеристик ускорителя ЬНС показано, что, благодаря 5% различию температуры, в случае обнаружения черных дыр как объекта, возможно различить типы черных дыр по продуктам их испарения и измерить значение фундаментальной константы теории струн: струнной константы связи.

5. В модели многомерной гравитации с поправками второго порядка по кривизне в виде члена Гаусса-Боннэ получено решение типа "вращающаяся черная дыра". Решение с одним моментом вращения получено численно для всех значений размерности пространства-времени. Для более точной оценки верхнего предела отношений температур черных дыр Керра и Керра-Гаусса-Боннэ в пятимерной модели найдено приближенное аналитическое решение. Показано, что максимальная разница в оценке температур обсуждаемых решений составляет менее 5%, то есть, различить типы черных дыр по продуктам распада сразу после рождения в эксперименте, когда необходимо учитывать вращение, не представляется возможным.

5 Публикации по теме диссертации

В работах с соавторами Алексееву С.О. принадлежит лидирующий вклад в постановке задач, обсуждении и интерпретации результатов. Все результаты были получены либо непосредственно Алексеевым С.О., либо под его руководством.

Диссертация основана на следующих публикациях:

1. С.О.Алексеев, М.В.Сажин, О.С.Хованская, Первичные черные дыры и параметры ранней Вселенной // Письма в Астрономический Журнал, (2002), том 28, стр 163-167.

2. С.О.Алекссев, А.Барру, Г.Будул, М.В.Сажин, О.С.Хованская, Простейшим модель испарения черных дыр на последних стадиях //

Письма в Астрономический Журнал, (2002), том 28, стр 489494.

3. С.Алексеев, А.Попов, М.Старцева, А.Баррау, Дж.Грайн, Черные дыры Керра-Гаусса-Боинз: точное аналитическое решение // Журнал экспериментальной и теоретической физики (2008), том 133, стр 710-714.

4. S.O. Alexeyev, M.V. Pomazanov, Black Hole Solutions with Dilatonic Hair in Higher Curvature Gravity // Phys. Rev. D (1997), том 55, стр 2110-2118.

5. S.Alexeyev, A.Barrau, G.Boudoul, O.Khovanskaya, M.Sazhin, Black hole Relics in String Gravity: Last Stages of Hawking Evaporation // Class.Quant.Grav. (2002), том 19, стр. 4431-4443.

G. S. Alexeyev, A.Barrau, K.Rannu, Internal structure of a Maxwell-Gauss-Bonnet black hole // Phys. Rev. D (2009), том 79, стр 067503, препринт 0902.4810 [gr-qc],

7. S. Alexeyev, S. Mignemi, New Types of Naked Singularities in Gauss-Bonnet Extended String Gravity with Moduli Field // Class. Quant. Grav. (2001), том 18, стр. 4165-4177.

8. S.O. Alexeyev, A.V. Toporensky, V.O. Ustiansky, Non-Singular Cosmo-logical Models in String Gravity with Second Order Curvature Corrections // Class. Quant. Grav. (2000), том 17, стр. 2243.

9. A. Barrau, J. Grain, S. Alexeyev Gauss-Bonnet black holes at the LHC: beyond the dimensionality of space // Phys. Lett. B, (2004), том 584, стр.114.

10. S. Alexeyev, A. Toporensky, V. Ustiansky, The Nature of Singularitiy in Bianchi I Cosmological String Gravity Model with Second Order Curvature Corrections // Phys. Lett. B, (2001), том 509, стр. 151.

11. S.O. Alcxcycv, M.V. Sazhin, M.V. Pomazanov, Black Holes of a Minimal Size in String Gravity // Int. J. Mod. Phys. D (2001), том 10, стр. 225.

12. S.O. Alexeyev, M.V. Sazhin, Four-dimensional Black Holes in a Gauss-Bonnet Extended String Gravity // Gen. Relativ. Grav. (1998), том 30, стр.1187.

13. S. Alexeyev, N. Popov, A. Barrau and J. Grain, Black hole solutions in the N > 4 gravity models with higher order curvature corrections and possibilities for experimental search of such objects Journal of Phys.: Conf. Series (200G), том 33, стр.343

14. S.O. Alexeyev, Black Holes in Higher Order Curvature Gravity // глава в книге Black Holes: Properties, Formation and Features, (2009), NovaPublishers, New-York.

15. S.O. Alexeyev, Internal Structure of a Gauss-Bonnet Black Hole // Grav. Cosmol. (1997), том 3, стр. 61.

16. S.O. Alexeyev, M.V. Pomazanov, Gauss-Bonnet Black Holes in Low Energy String Theory // Grav. Cosmol. (1997), том 3, стр. 191.

17. S.O. Alexeyev, O.S. Khovanskaya, Additional Study of the Restriction to the Minimal Black Hole Mass in String Gravity // Grav. Cosmol. (2000), том 6, стр. 121.

18. S.O. Alexeyev, M.V. Pomazanov, Typical Types of Singularities in String Gravity // Grav. Cosmol. (2001), том 7, стр. 130.

19. S.Alexeyev, A.Barrau, J.Grain, Gauss-Bonnet black holes at new colliders: Beyond the dimensionality of space // Grav. Cosmol. (2005), том 11, стр. 34.

20. S.O. Alexeyev and M.V. Sazhin, Some Aspects of Four-dimensional Black Hole Solutions in Gauss-Bonnet Extended String Gravity //J. Astrophys. Astr. (1999), том 20, стр. 1.

21. S.O. Alexeyev, M.V. Sazhin and M.V. Pomazanov, Труды "19th Texas Symposium on Relativistic Astrophysics", Paris (Франция), декабрь 1998, 10 страниц, на CD-ROM, под редакцией E.Aubourg, T.Montmerle, J.Paul, P.Peter.

22. S.Alexeyev, A.Barrau, Life after death of Black holes: evaporation near Planck Mass j/ труды конференции: <Фундаментальная физика во Франции>, Лион, 31 мая-2 июня 2001 года, под редакцией M.Buenerd.

23. S.Alexeyev, N.Popov, A.Barrau, J.Grain New black hole solutions in the string gravity with noncompact extra dimensions and their experimental search I // Труды 22-го Техасского симпозиума по релятивистской астрофизике (на CD-ROM), Стэнфорд, США, 13-17 декабря 2004 года, под редакцией R.Blanford.

24. S. Alexeyev, A. Barrau, J. Grain Gauss-Bonnet black holes at the LHC: beyond the dimensionality of space // Труды международной конференции "Кварки-2004" под редакцией Д. Г. Левкова, В. А. Матвеева, В. А. Рубакова, http://quarks.inr.ac.ru/

25. S.О.Alexeyev, N.N.Popov, T.S.Strunina, A.Barrau, J.Grain, Black hole solutions in N > 4 Gauss-Bonnet Gravity // Труды международной конференции "Кварки-2006" под редакцией В.А. Матвеева, В.А.Рубакова, http://quarks.inr.ac.ru/

2G. S.O.Alexeyev, N.N.Popov, Black hole solutions in N > 4 Gauss-Bonnet Gravity // Труды международной конференции "11th Mar-cell Grossmann Meeting on General Relativity" под редакцией H.Kleinetr, R.T.Jantzen, R.Ruffini, Part А, стр. 1251, World Scientific (2008)

6 Апробация результатов

Результаты данной работы неоднократно докладывались на семинарах по гравитации и космологии имени А.Л.Зельманова в ГАИШ МГУ, на семинаре теоретического отдела ФЙАН, на семинаре Лаборатории теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова ОИЯИ (Дубна), на семинарах Института субатомной физики и космологии Университета имени Дж.Фурье (Гренобль, Франция), Университета Кальяри (Кальяри, Италия), Университета имени Фредерика II (Неаполь, Италия), а также на международных конференциях:

1. "Dark Matter in the Universe", Roma (Italy), ноябрь 1995;

2. Ульяновская международная школа-семинар <Проблемы теоретической космологии — 1>, Ульяновск, 1-10 сентября 1997 года;

3. "Discussion Meeting on Physics of Black Holes", Bangalore (India), декабрь 1997;

4. "Spinoza Meeting on Quantum Black Hole" Utrecht (Holland), июнь 1998;

5. "19th Texas Symposium on Relativistic Astrophysics", Paris (France), декабрь 1998;

6. Коллоквиум по черным дырам в рамках общемосковского астрофизического семинара, март 1999 года (ГАИШ МГУ);

7. 9th European and 5th Euro-Asian Astronomical Society Conference (JENAM-2000) May 29 - June 3, 2000, Moscow, Russia;

8. MG IX MM - STUDIUM URBIS, The Ninth Marcel Grossmann Meeting on recent developments in theoretical and experimental general relativity, gravitation and relativistic field theories Рим, 2-8 июля 2000, Римский Университет "La Sapienza";

9. Ульяновская международная школа-семинар сПроблемы теоретической космологии — И>, Ульяновск, 10-21 сентября 2000 года;

10. Конференция ЦЕРН: "2nd Alpes Meeting on Fundamental Astrophysics", май 2001 года;

И. "Фундаментальная физика во Франции", Лион, май-июнь 2001 года.

12. Международная конференция: "M-theoty Cosmology", Кембридж (Англия), август 2001 года.

13. Международная Конференция: "5th Conference of Asia and Pasific Region", Москва, август 2001 года.

14. Международная школа-семинар "Темная материя, темная энергия и гравитационное линзирование", Москва, 19-21 июня 2002 года.

15. Международная Конференция: "20th Texas Symposium on Relativists Astrophysics", Florence (Italy), декабрь 2002.

16. Международная Конференция: "21th Texas Symposium on Relativists Astrophysics", Stanford (USA), декабрь 2004.

17. Международная Конференция: "Fourth Meeting on Constrained Dynamics and Quantum Gravity", Cala Gonone (Sardinia, Italy) September 12-16, 2005

18. Международная Конференция: "Eleventh Marcel Grossmann Meeting on General Relativity", Berlin (Germany), July 23-29, 2006

19. Всероссийская астрономическая конференция "Космические рубежи XXI века" (ВАК-2007), 17-22 сентября 2007 года, Казань

20. Международные конференции "Кварки-2004" (Пушкинские горы), "Кварки-2006" (Репино, Санкт-Петербург), "Кварки-2008" (Сергиев Посад).

Материалы данной диссертации уже используются при чтении лекционных курсов по общей теории относительности как для студентов астрономического отделения физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова, так и для студентов физиков и астрономов со всей России на школах "Физика космоса", проводимых в Коуровской астрономической обсерватории Уральского государственного университета, в частности:

• С.О.Алексеев Современные расширения общей теории относительности // Труды 35-й международной студенческой конференции "Физика космоса", стр. 19-30, Екатеринбург, издательство Уральского государственного университета, (2006).

• С.О.Алексеев Общая теория относительности и ее современное развитие // Труды 38-й международной студенческой конференции "Физика космоса", стр. 19-34, Екатеринбург, издательство Уральского государственного университета, (2009).

7 Структура и объем диссертации

Диссертация подразделяется на Введение, пять Глав, Заключение, Благодарностей, Приложения и Библиографию. Общий объем диссертации — 252 страницы, включая 50 рисунков и 305 ссылок.

8 Содержание работы

В Главе 1 дается анализ целей и задач диссертации, приводится список опубликованных работ и апробации результатов.

В Главе 2 дается общий обзор моделей гравитации с поправками второго порядка по кривизне как в четырехмерном, так и в многомерном виде, приведены основные ("базовые") решения, дан краткий анализ основных моделей гравитации с некомпактными дополнительными измерениями и базовых идей по поиску черных дыр в космических и физических

экспериментах.

Глава 3 посвящена исследованию четырехмерного низкоэнергетического эффективного действия с поправками второго порядка по кривизне в форме комбинации члена Гаусса-Боннэ и вклада от скалярного поля — дилатона, поиску решений типа "черная дыра" и "расширяющаяся Вселенная". Рассмотрено действие вида

-R + 2дрф&*ф + Ае-^5СВ],

где R — скалярная кривизна, ф — дилатон, А — струнная константа связи, описывающая вклад члена Гаусса-Боннэ

SGB = RijkiRijkl - 4RijRij + R2

в действие.

В координатах кривизны вида: 2

ds2 = Mt2 - ^dr2 - г2{de2 + sin2 ddip2), (1)

где метрические функции Д и а зависят только от радиальной координаты г, получено решение типа "невращающаяся черная дыра Гаусса-Боннэ" (см Рис. 1). Решение было получено при помощи предложенного и адаптированного нами для задач теории гравитации численного метода интегрирования по независимому параметру (описание метода приведено в Приложении к диссертации). Решение характеризуется набором независимых параметров: масса, дилатонный заряд, асимптотическое значение дилатонной функции на бесконечности. В данном решении появляется новая топологическая структура черной дыры под горизонтом событий: в случае больших (по сравнению с планковскими) значений размера горизонта решение имеет внутреннюю сингулярность на конечном радиусе г5, присутствующую в любых параметризациях метрики. При уменьшении размера горизонта условное "расстояние" до этой сингулярности также уменьшается. В граничном случае все особые точки сливаются и внутренняя структура черной дыры перестает существовать. При дальнейшем уменьшении размера горизонта решения типа "черная дыра" нет

5 = Ш

Л(г)

1

0.8 0.6 0.4 0.2 О -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

10

г/гг

-регулярный горизонт-сингулярный горизонт

-сингулярность г„

_1_

100

1.1

1

0.9 0.8 0.7

о{г) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

регулярный горизонт т/,

сингулярный горизонт Г,;

сингулярность

Г/'ГР1

100

1.4 1.2 1

,,-2ф(г)0.8 0.6 0.4 0.2

сингулярность г..

регулярный горизонт г/, сингулярный горизонт 7'.,.

и-' . . ,

10

г /г/V

100

Рис. 1: Зависимость метрических функций Д (а), а (Ь) и дилатонной экспоненты схр(—2ф) (с) от радиальной координаты г при г/, равном 10.0 единиц.

вообще, как это показано на Рис. 3. Найденная сингулярность га имеет топологию S2 х R1, то есть это бесконечная "труба" радиусом г5. Похожего типа "труба" в метрике Шварцшильда при учете дополнительного условия

RabcdR"bal < ОО

обсуждалась и ранее в работах В.П.Фролова [18]. Из этой "трубы" исходят два решения. Асимптотически плоское решение, являющееся главным, начинается в г., и продолжается до бесконечности без каких-либо ограничений. В случае очень больших (по сравнению с планковскими) значений г/, справедливо соотношение гд rs, то есть значением rs можно пренебречь вообще, и основное решение превращается в метрику Шварцшильда, что согласуется с результатами других авторов. Дополнительная ветвь решения обеспечивает существование внутреннего сингулярного горизонта гх, на котором

lim ПинНт = т-Цт.

г->г, (Г — Гх)а

Какие-либо решения могут существовать и внутри "трубы" rs, но они неустойчивы относительно флуктуаций начальных данных, и невозможно определить, какой ветви решения — физической или нефизической — они соответствуют.

Глобальная структура решения отражена на Рис. 2.

Данный тип сингулярности найден также в космологических решениях, причем, при полной аналогии между асимптотическими рядами метрических функций, имеющих одинаковый порядок старшей производной в окрестности этой особенности. Сами метрические функции в этой области конечны, расходятся только их старшие производные как 1/y/t — ts при (t -» ig), геодезические линии и инвариант кривизны ведут себя также:

lim =

t->t, t -1«

J■

,сингулярный горизонт гх в будущем сингулярность г, в будущем

' сингулярность г, в прошлом сингулярный горизонт гх в прошлом

Рис. 2: Глобальная структура пространства-времени черной дыры Гаусса-Боннэ

Также необходимо отметить, что данный тип сингулярности отсутствует в решениях типа Фридмана и начинает проявляться только при рассмотрении анизотропных метрик, начиная с метрик типа Бьянки I.

минимальное значение горизонта Rhn(

(з) случай достаточно \ баъшиго значенья Л,

Ч 4-^ \ (Ь) изменение поеэЗэмия

Ч ^ \ Д когда гл уменьшается

4 ч \ чч {с/гранич/ый случай, когдзь*/^

регулярный горизонт г„ | \ 4 Мсп^ала)«!™,

сингулярный горизонт г, |

(в) оэиб&кщап положений ■ ■ сьюутркюти/.лриразпичнэо.

значениях размера горизонта

внутренняя сингулярность г,

' радиальная координата г/гР,

Рис. 3: Зависимость метрической функции Д от радиальной координаты г при различных значения величины горизонта г/,. Вычисления велись в координатах кривизны. Кривая (а) случай достаточно большого г^, равного 30.0. Кривая (Ь) показывает изменение характера Д когда rh уменьшается, становясь равным 7.5. Кривая (с) — это граничный случай, когда г/, = r/lmin и все особые точки, а именно п, (регулярной горизонт), г, (сингулярность) and гх (внутренний сингулярной горизонт) сливаются и внутренняя структура черной дыры перестает существовать. Кривая (d)

......случай 2М < rhmin (2Л/=1.5 планковских единиц) и горизонт отсутствует вовсе.

Огибающая (е) показывает положение г., при значениях ги начиная с rhmin.

Представляется важным подчеркнуть, что упомянутые выше особенности проявляются, когда главный детерминант Dmain системы дифференциальных уравнений Гильберта-Эйнштейна становится равным нулю. Структура особенностей определяется поведением уравнений вблизи сингулярной поверхности D,„ш-п = 0 в фазовом пространстве. Структура

Бтат может быть выражена как

/?то<„ = Д (лД2 + £Д + с)

где Д(г) — метрическая функция, равная компоненте доо метрики, а А, В, С — коэффициенты, зависящие от радиальной координаты г и других метрических функций. В моделях с асимптотически плоскими решениями представлены три типа нулей главного детерминанта:

При этом горизонту событий отвечает "пересечение", внутренней сингулярности г3 — "точка поворота", а сингулярному горизонту гх — "полная сингулярность". Данный метод оказался весьма эффективным и успешно применялся, в частности, в задачах космологии, позволив и там выявить структуру сингулярностей.

Важным результатом является найденная в диссертации аналитическая формула для минимального размера черной дыры

где дополнительный параметр модели — значение дилатона на горизонте фи (зависящее от его значения на бесконечности фю), причем это значение всегда больше единицы, что "отодвигает" обсуждаемые значения от планковского предела и, таким образом, делает оправданным применение квазиклассического приближения. Это означает, что пертурбатив-ный подход теории струн сам по себе обеспечивает существование нижнего ограничения на массу черной дыры, который можно интерпретировать как последнюю стадию хокинговского испарения первичных черных дыр (то есть черных дыр, которые появились во время инфляции с начальной массой не более 1015 грамм, чтобы не испариться полностью к

(a): Д = 0, Сф 0 ("пересечение"),

(b): ЛД2 + В А + С = О,

Д ф О, С ф 0 ("точка поворота"), (с): Д = О, С = 0 ("полная сингулярность"),

(2)

настоящему моменту времени). Анализ возможных сценариев и ограничений на них приведен в последующих главах, здесь нужно отметить, что предельные (или, точнее, около предельные) черные дыры могут составлять часть темной материи во Вселенной. Поиск их по поляризации вакуума неэффективен, так как, как показано в диссертации, вакуум вблизи, действительно, сильно поляризован, но интенсивность быстро спадает, не отличаясь от Шварцшильдовских значений.

При рассмотрении дополнительных скалярных полей (модулей), которые, несомненно, присутствуют в реальности, может появляться "голая сингулярность", если размер дополнительных измерений (при компак-тификации в соответствии с моделью Калуцы-Кляйна) больше размера горизонта черной дыры. Поэтому, значение минимальной массы можно увеличить как минимум на два-три порядка (чтобы избежать наличия голой сингулярности и противоречий с "гипотезой космической цензуры"). Это позволяет "отодвинуть" оценки от планковского масштаба, то есть, использование квазиклассического приближения становится оправданным.

Глава 4 посвящена моделированию хокинговского испарения черных дыр Гаусса-Боннэ на последних стадиях. Нами был использован метод, предложенный в работах Париха и Вильчека [19], где процесс испарения представлен как туннеллирование через потенциальный барьер горизонта. С учетом недостижимости последней стадии испарения ("вакуумного состояния"), скорость испарения достигает максимума на массах, в несколько раз больших минимальной, а потом уменьшается асимптотически до нуля, как это отражено на Рис. 4.

При этом на последних стадиях испарения достигаются температуры и количество излучаемых частиц, значительно превышающих соответствующие значения в стандартном сценарии испарения, как видно из Рис. 5. На основании этих данных и подсчета числа возможных событий в диссертации сделан вывод о бесперспективности поиска первичных черных дыр по продуктам их испарения на последних стадиях. Данная работа активно цитируется, а предложенные нами методы вошли в дру-

Классическое «испарение» по закону Хокинга

Испарение чёрной дыры Гаусса-Боннэ

Модели с некомпактными дополнительными измерениями

Простейшая модель (бозоны)

чч

Простейшая .модель (фермионы)

Масса чёрной дыры М/М„

Рис. 4: Скорость испарения в различных моделях: черная дыра Шварцшильда без модификации (прерывистая линия), черная дыра Шварцшильда с модификацией закона испарения ("простейшая модель"), черная дыра Гаусса-Боннэ с модификацией закона испарения.

гие диссертации, учебные пособия и статьи.

Испарашш чёрной дыры Шварцшильда

Испарение чёрной дыры Гаусса-Боннэ

м„

1.0001Мт1п 2Мт!п

масса чёрной дыры М

Рис. 5: Скорость испарения и характерные величины излучаемой энергии для черных дыр Шварцшильда и Гаусса-Боннэ на последних стадиях.

Из дополнительного анализа, приведенного в обсуждаемой Главе, также следует, что, если температура на стадии разогрева начальной Вселенной превосходит « 109 ГэВ, то в настоящее время могут существовать реликтовые остатки первичных черных дыр. Эти объекты, о моделировании которых шла речь ранее, являются одними из кандидатов на роль темной материи во Вселенной.

Глава 5 посвящена проблеме поиска черных дыр в экспериментах на ускорителях. Рассмотрено многомерное решение Шварцшильда-Гаусса-Боннэ, имеющее вид:

„2</

е~2а = 1 +

2Х(П — 3)(£) — 4)

1-1/1 +

32тг5хгСА(£) - 3)(£ - 4)МГ(^)

(.0-2)г°~1

а также процесс испарения черной дыры в данной модели. На основании детального анализа форм-факторов показано, что различие темпера-

тур черных дыр Шварцшильда и Шварцшильда-Гаусса-Боннэ составляет ~ 5%. То есть, если значение фундаментальной Планковской энергии, действительно, лежит в диапазоне 1 ТэВ благодаря наличию некомпактных дополнительных измерений, из наших результатов следует, что при анализе экспериментальных данных следующих поколений ускорителей можно будет не только распознать тип и число дополнительных измерений (в случае их наличия), но и получить значение константы связи поправкок высших порядков по кривизне, как показано на Рис. 6. Это будет ответом на вопрос, реализуется ли в природе ряд по кривизне с членом Гаусса-Бонпэ в гравитационном действии, что даст возможность сделать следующий шаг к пониманию природы квантовой гравитации. Интересно заметить, что это было бы очень красивым примером взаимодействия (и взаимопроникновения) астрофизики и физики высоких энергий в понимании физических процессов, протекающих на планков-ских масштабах.

Фундаментальная космологическая постоянная также может быть добавлена в действие. С теоретической точки зрения, это оправдано огромным интересом к пространству анти-де-Ситтера (и, с недавних пор, де-Ситтера) из-за соответствия Ас13/СГТ (или йБ/СРТ). С экспериментальной точки зрения это является соотношением между многомерной и четырехмерной константами, которое важно измерить независимо в космологии и в физике высоких энергий.

Глава 6 посвящена решению Керра-Гаусса-Боннэ (то есть решению типа черная дыра в многомерной гравитации с поправками второго порядка по кривизне, имеющему момент вращения). В "вырожденной" модели (то есть модели с одним моментом вращения) решение найдено для всех значений размерности пространства-времени (случай И = 6 как для модели с поправками по кривизне, так и без поправок приведен на Рис.

7).

Для пятимерного случая в параметризации Керра-Шильда найдено аналитическое приближение (точное решение было найдено только спу-

ш 1—

о <и ю

Ь

ш |_

2 о

5

т >. о

1.4 1.2 1

0.8 0.6 0.4

0-7 ' -. 0-8 ...0-10 '

Л = 1 ТэВ-2

10

м/мр

Ш 1.4 м

<В ! -> 1=

ш 1

1—

£ о

I-

ш

>, 0.6 и

н- 0.4

0.8

0-6 р.-

Л = 0.01 ТэВ-2

0-8 в-э 0-10 <0-11

10

м/м

Р1

Рис. 6: Отношение температур черных дыр Гаусса-Боннэ и Шварцшильда для О 6,7,8,9,10,11 (снизу — район меньших масс) как функция массы при А = 1 ТэВ (сверху) и А = 0.01 ТэВ"2 (снизу).

Р(Г.в)

Рис. 7: Зависимость функции ¡3(г, в) от радиальной координаты г для черных дыр Керра (струнная константа связи а = 0) и Керра-Гаусса-Боннэ (струнная константа связи а = 1), в случае шести пространственно-временных измерений и при нулевом значении космологической постоянной.

стя год [20]), имеющее вид:

Р2 - \/pí - 4аМ - \akr4p2 - г2)

В =-1---

Р 2а

где

р = г2 + а2 cos2 0 + b2 sin2 9,

а и Ь — моменты вращения черной дыры, М — ее масса, Л — космологическая постоянная, а — струнная константа связи, а 0 = /3(г,9) — метрическая функция в координатах:

da2 = dt2 - dr2 - (г2 + а2) sin2 9d<¡>\ - (г2 + b2) cos2 9d<p22 -p2d92 - 2ár (a, sin2 ed(f>i -f 6 cos2 Qdcj^j

~p(dt - dr - a sin2 9d<j>i - b cos2 9d4>-^ .

В данной Главе показано, что полученное решение "вращающаяся черная дыра Керра-Гаусса-Боннэ" мало отличается от соответствующего решения Керра. Нами численно получено "вырожденное" решение (содержащее только один момент вращения) для всех значений пространственно-временных измерений. Так как при увеличении числа пространственно-временных измерений отличие обсуждаемых типов черных дыр уменьшается (как и в невращающемся случае, обсуждаемом в предыдущей Главе), нами, для оценки разницы температур, было найдено аналитическое приближение для пятимерного случая, когда отличие обсуждаемых решений максимально. Оказалось, что для больших масс отличия в температуре у этих метрик почти незаметны (что и следовало ожидать), а при уменьшении размеров черной дыры различие, конечно, увеличивается, в максимуме не превышая примерно 5% (сравнительные графики поведения температуры для обоих типов решений приведены на Рис. 8). Так как пятимерный случай дает максимальную разницу между черными дырами Керра и Керра-Гаусса-Боннэ, реальное отношение температур будет еще меньше, то есть, на стадии, когда еще черная дыра опи-савается метрикой типа Керровской, различить черные дыры в эксперименте не представляется возможжным. Однако, так как черная дыра при

испарении очень быстро теряет момент и вскоре может рассматриваться как невращающаяся, результаты предыдущей Главы относительно возможности различия этих типов черных дыр становятся актуальными.

0 2 4 6 В 10 12 14 16 13 20

Размер черной дыры при фиксированном значении момента,

Рис. 8: Зависимость температуры Т черной дыры (ось ординат, относительные величины) от размера горизонта черной дыры г = г+ (ось абсцисс, относительные величины) для чисто Керровского случая (нижний график, Л = 0) и случая Керра-Гаусса-Бошга (верхняя кривая, Л = 1).

В Заключении сформулированы основные выводы диссертации (Положения, выносимые на защиту), а также Благодарности.

В Приложениях приведено подробное описание использованного нами метода численного интегрирования по независимому параметру, приведен вид мнимой части эффективного действия из Главы 4, представлены значения коэффициентов в метрике и ее асимптотических разложениях вблизи горизонта из Главы 6.

Список литературы

[1] Schwarz J.H., Seiberg N. String Theory, Supersymmetry, Unification, and All That // Rev.Mod.Phys. том 71, стр. S112-S120, 1999.

[2] Callan С.G., Fricdan D., Martincc E.J., Perry M.J. Strings in background field // Nucl.Phys. В (1985), том 2G2, стр. 593-609.

[3] Lovelock D. The Einstein Tensor and its Generalizations // J. of Math. Phys., (1971) том 12, стр.498.

[4] S.Mignemi, N.R.Stewart, Charged black holes in effective string theory // Phys.Rev. D (1993), том 47, стр. 5259;

[5] P.Kanti, N.E.Mavromatos, J.Rizos, K.Tamvakis and E.Winstanley Dila-tonic Black Holes in Higher Curvature Gravity, // Phys.Rev.D (1996), том 54, стр 5049-5058;

[G] S.О. Alexcyev and M.V. Pomazanov, Phys. Rev. D (1997), том 55, стр. 2110.

[7] T. Torii, H. Yajima and К. Maeda, Dilatonic black holes with Gauss-Bonnet term // Phys. Rev. D (1997), том 55, стр. 739.

[8] S.О. Alexeyev and M.V. Sazhin, Gen. Relativ. Grav. (1998), том 8, стр. 1187.

[9] P.Kanti, J.Rizos and K.Tamvakis, Singularity-free cosmological solutions in quadra,tic gravity // Phys. Rev. D (1999), том 59, стр 083512.

[10] R. Easter and K. Maeda, One-loop superstring cosmology and the nonsingular universe // Phys. Rev. D (1996), том 54, стр 7252.

[11] S.O. Alexeyev, O.S.Khovanskaya, Grav.Cosmol. (2000), том 6, стр 14-18.

[12] S.O. Alexeyev, M.V. Sazhin and M.V.Pomazanov, Int. J. Mod. Phys. D (2001), том 10, стр. 225.

[13] Алексеев С.О., Сажин М.В., Хованская О.С., Письма в Астрономический Журнал, (2002), том 28, стр 489-494.

[14] S.Alexeyev, A.Barrau, G.Boudoul, O.Khovanskaya, M.Sazhin, Class.Quant.Grav. (2002), том 19, стр. 4431-4443.

[15] A. Barrau, J. Grain, S. Alexeyev Phys. Lett. В, том 584, стр.114 (2004).

[16] S. Alexeyev, N. Popov, A. Barrau and J. Grain, Journal of Phys.: Conf. Series (2006), том 33, стр.343

[17] С.Алексеев, А.Попов, М.Старцева, А.Варрау, Дж.Грайн ЖЭТФ

(2008), том 133, стр 710-714.

[18] V.P.Frolov, М.А.Markov and V.F.Mukhanov, Through a Black Hole Into a New Universe? // Phys.Lett. B, (1989), том 216, стр. 272.

[19] M.K.Parikh, F.Wilczek, Hawking Radiation As Tunneling // Phys. Rev. Lett. (2000), том 85, стр 5042.

[20] A.Anabalon, N.Deruelle, Y.Morisawa, J.Oliva, M.Sasaki, D.Tempo, R.Troncoso, Kerr-Schild ansatz in Einstein-Gauss-Bonnet gravity: An exact vacuum solution in five dimensions // Class.Quant.Grav.

(2009), том 26, стр. 065002.

Заказ № 52/04/09 Подписано в печать 10.04.2009 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 1,75

ООО "Цифровичок", тел. (495) 797-75-76; (495) 649-83-30 Д ^ ) ' www.cfr.ru; е-таН:ш/о@с/г.ги

1 Введение

1.1 Актуальность темы.

1.2 Цель исследования и постановка задачи.

1.3 Научная новизна и практическая значимость.

1.4 Положения, выносимые на защиту.

1.5 Публикации по теме диссертации.

1.6 Апробация результатов

1.7 Структура и объем диссертации.

1.8 Содержание работы.

1.9 Принятые обозначения и системы единиц.

2 Теории гравитации с поправками высших порядков по кривизне

2.1 Тестирование современных моделей.

2.2 Первые модели с поправками по кривизне.

2.2.1 Модели П.В.Хиггса.

2.2.2 Гравитация Д.Лавлока.

2.2.3 Космологические модели с членами В?

2.2.4 Модели гравитации с лагранжианами вида /{Я) ■ ■

2.2.5 Квантование гравитационного поля.

2.3 Теория струн / М-теория.

2.3.1 Основные идеи 10-ти мерной теории.

2.3.2 М-теория и 11-ти мерная супергравитация.

2.3.3 Эффективное низкоэнергетическое действие

2.4 "Базовые" решения расширенной гравитации.

2.4.1 Решение ОМ-ОНБ

2.4.2 Решение С.Миньями.

2.4.3 Решение П.Канти.

2.4.4 Испарение черных дыр и подход М.Париха и Ф.Вильчека.

2.4.5 Решения Р.Маерса и Н.Дж.Перри.

2.4.6 Результаты Р.Г.Каи

2.5 Модели с некомпактными дополнительными измерениями

2.5.1 Причины разработки.

2.5.2 Модели АДД и масштаб квантовой гравитации в области "низких энергий"

2.5.3 Модели Л.Рэндал и Р.Сандрума.

2.5.4 Модели БОР и их роль в космологии.

2.5.5 Роль поправок по кривизне.

2.6 Связь физики высоких энергий и гравитации.

2.7 Выводы к Главе

3 Решения с поправками второго порядка по кривизне в четырехмерной теории гравитации

3.1 Решение "черная дыра Гаусса-Боннэ"

3.1.1 Аналитические асимптотики

3.1.2 Результаты численного интегрирования.

3.1.3 Термодинамические свойства решения.

3.1.4 Устойчивость решения.

3.1.5 Замечания к решению.

3.2 Влияние максвелловского поля.

3.2.1 Вводные замечания.

3.2.2 Уравнения поля.

3.2.3 Результаты численного интегрирования.

3.2.4 Замечания к решению.

3.3 Сингулярность rs и ее свойства.

3.3.1 Исследование особых точек по нулям главного детерминанта системы.

3.3.2 Свойства сингулярности rs

3.4 Сингулярность rs в космологии.

3.4.1 Вводные замечания.

3.4.2 Уравнения поля.

3.4.3 Результаты численного счета.

3.4.4 Замечания к решению.

3.5 Ограничение на минимальную массу черной дыры в струнной гравитации.

3.5.1 Численный результат

3.5.2 Аналитический результат и модель темной материи

3.5.3 Поляризация вакуума вблизи мини черных дыр

3.6 Дополнительные ограничения при учете скалярных полей

3.6.1 Численное решение и дополнительные ограничения в черных дырах.

3.6.2 Допустимые формы функций связи модульных полей в космологии.

3.7 Выводы к Главе

4 Модель хокинговского испарения черных дыр Гаусса

Боннэ

4.1 Простейшая модель испарения черной дыры с остановкой

4.1.1 Основное состояние квазиклассической модели

-4.1.2 Простейшая модель замедления испарения.

4.1.3 Замечания к модели.

4.2 Испарение черной дыры Гаусса-Боннэ.

4.2.1 Аналитическое представление метрических функций

4.2.2 Спектр испарения черной дыры Гаусса-Боннэ

4.2.3 Сохранение энергии и скорость испарения.

4.3 Возможности экспериментального поиска черных дыр Гаусса-Боннэ по продуктам их распадов.

4.3.1 Экспериментальный поиск

4.3.2 Первичные черные дыры как кандидаты на роль темной материи.

4.4 Дальнейшее развитие метода.

4.5 Параметры ранней Вселенной и первичные черные дыры

4.5.1 Вводные замечания.

4.5.2 Оценка температуры разогрева.

4.5.3 Учет пылевой стадии.

4.5.4 Следствия для наблюдательной космологии.

4.6 Выводы к Главе

5 Многомерная черная дыра Шварцшильда-Гаусса-Боннэ

5.1 Возможность различить черные дыры Шварцшильда и Шварцшильда-Гаусса-Боннэ в многомерной гравитации. Идея измерения струнной константы связи.

5.1.1 Вводные замечания.

5.1.2 Разница температур многомерных черных дыр Шварцшильда и Шварцшильда-Гаусса-Боннэ. Идея измерения.

5.2 Возможности экспериментального поиска черных дыр Шварцшильда-Гаусса-Боннэ на ускорителях

5.2.1 Вычисление потока частиц от многомерной черной дыры Шварцшильда-Гаусса-Боннэ.

5.2.2 Практическая возможность измерения струнной константы связи.

5.3 Выводы к Главе

6 Многомерная черная дыра Керра-Гаусса-Боннэ

6.1 Вводные замечания

6.2 "Вырожденное" решение "многомерная черная дыра Керра-Гаусса-Боннэ".

6.3 Пятимерное аналитическое приближенное решение "черная дыра Керра-Гаусса-Боннэ".

6.3.1 Метрика в координатах Керра-Шильда.

6.3.2 Переход к координатам Бойера-Линквиста.

6.3.3 Температура черной дыры Керра-Гаусса-Боннэ

6.4 Выводы к Главе

1.1 Актуальность темы

За последние десятилетия был достигнут значительный прогресс в построении единой теории всех физических взаимодействий. Так как при помощи методов квантовой теории поля построить квантовую теорию гравитации пока не удается, рассматриваются новые концепции связи гравитации и физики высоких энергий, среди которых наиболее перспективной представляется теория струн. Развитие этой теории принято разбивать на этапы, разделенные первой и второй "суперструнными революциями". "Первая суперструнная революция" относится к 1984 году: был предложен механизм сокращения аномалий, позволивший установить, что суперсимметричные калибровочные теории с супергравитацией могут существовать в десятимерном пространстве-времени с калибровочными группами 50(32) или х Ев, описывающими гетеротиче-ские струны. После компактификации в четыре измерения теория описывается низкоэнергетическим эффективным действием, обобщающим классическое действие ЭйнштейнагГильберта. В дополнение к эйнштейновскому члену действие обычно включает в себя безмассовый дилатон-ный вклад, поля Янга-Милса и поправки высших порядков по кривизне. Следствие такой модификации эффективного действия для моделей гравитации — появление новых типов решений, отсутствующих в теории относительности. Эти решения могут соответствовать физическим объектам макромира, которые необходимо искать в наблюдениях или экспериментах.

В пертурбативном подходе, развитом на этом этапе, уравнения Эйнштейна модифицируются с помощью поправок высших порядков по кривизне в областях, где кривизна приближается к планковским значениям. В настоящее время общая форма этих поправок еще не изучена полностью, поэтому прямое суммирование ряда невозможно. При этом наиболее значимой является поправка второго порядка: произведение члена Гаусса-Боннэ на дилатонный фактор. Такие поправки (без дилатонного члена) были введены в рассмотрение Д.Лавлоком и получили название "гравитации Лавлока".

Исследованию влияния поправок на вид решений в космологии и физике черных дыр было посвящено множество исследований. В частности, было получено решение "черная дыра Гаусса-Боннэ", содержащее новые типы сингулярностей и дающее ограничение снизу на минимально возможное значение массы черной дыры, отсутствующее в теории относительности (Mignemi и Stewart, 1993; Kanti и др. , 1996; Алексеев и Помазанов, 1997; Maeda и др. 1997; Алексеев и Сажин, 1998). В эти же годы был получен новый класс космологических решений (Kanti и др., 1996; Easter и Maeda, 1997). Их отличительная черта — возможность избежать начальной космологической сингулярности для широкого спектра начальных данных. Далее, была показана устойчивость всех этих решений, то есть, возможно, сделан первый шаг к решению проблемы космологической сингулярности в струнной гравитации. В дальнейшем эти результаты были обобщены и уточнены (Алексеев и др., 2000).

Вторая суперструнная революция" произошла в 1994 году. Было доказано, что все пять независимых струнных теорий связаны преобразованиями дуальности и являются частными случаями одной общей теории (М-теории), которая в низкоэнергетическом пределе дает одиннадцатимерную супергравитацию.

Одной из самых нетривиальных проблем современной теоретической физики является вопрос о конечной стадии хокинговского испарения черных дыр. Так как законченного описания квантовых микросостояний черной пока не создано, эта проблема широко обсуждается, потому что полное испарение черной дыры может нарушать квантовую когерентность теории; что нежелательно. С другой стороны, не исключена возможность, что черная дыра испаряется не полностью, а лишь до некоторого реликтового остатка (А1ехеуеу и др., 2002). Если эти реликтовые остатки черных дыр существуют, они могут составить часть тёмной материи во Вселенной.

Заключение

1. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М., Теоретическая физика, том 2: Теория поля (М.: Мир, 1988).

2. Higgs P.W., Quadratic Lagrangians and General Relativity // Nuovo Cimento (1959), том 11, вып. 10, стр. 816.

3. Lovelock D. The Einstein Tensor and its Generalizations // J. of Math. Phys., (1971) том 12, стр.498.

4. С.Brans, R.H.Dicke, Mach's principle and a relativistic theory of gravitation // Phys. Rev. D (1961), том 124, стр. 925-935.

5. Gottlober S., Muller V., Starobinsky A.A., Analysis of inflation driven by a scalar field and a curvature-squared term,// Phys. Rev. D (1991) том 43, стр. 2510-2520.

6. А.А.Старобинский, Исчезновение космологической константы в гравитации f(R) // Письма в ЖЭТФ, (2007), том 86, стр. 157163.

7. Nojiri S., Odintsov S.D., Modified gravity as an alternative to KCDM cosmology // J.Phys.A: Math. Theor., (2007) том 40, стр. 67256732.

8. Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика черных дыр // (М.: Наука, 1986).

9. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей // (М.: Наука, 1984).

10. Duff M.J. Observation on conformal anomalies // Nucl. Phys. В (1977), том 125, стр 334.1.l B.Zwiebach, Curvature Squared Terms and String Theories // Phys.Lett. В (1985), том 156, стр. 315;

11. E.Poisson, Quadratic gravity as hair tonic for black holes // Class.Quant.Grav. (1991), том 8, стр. 639

12. B.Whitt, Spherically symmetric solutions of general second-order gravity 11 Phys. Rev. D (1988), том 38, стр. 3000;

13. J.T.Wheeler, Symmetric Solutions to the Gauss-Bonnet Extended Einstein Equations // Nucl.Phys. В (1986), том 268, стр. 737.

14. J.T.Wheeler, Symmetric Solutions To The Maximally Gauss-Bonnet Extended Einstein Equations // Nucl.Phys. В (1986), том 273, стр. 732;

15. M. Natsuume, Higher order correction to the GHS string black hole // Phys. Rev. D (1994), том 50, стр. 3945.

16. K.S.Stelle, Renormalization of higher-derivative quantum gravity // Phys. Rev. D (1977), том 16, стр. 953.

17. М.Каку, Введение в теорию суперструн // М.: Мир, 1999.

18. A.Sen, Developments in superstring theory // Опубликовано в трудах 29-ой Международной Конференции по Физике Высоких Энергий, Ванкувер, Канада, 23-29 июля, 1998.

19. T.Banks, Matrix theory 11 Nucl. Phys. Proc. Suppl. (1998), том 67, стр. 180;

20. C.G.Callan, D.Friedan, E.J.Martinec, N.J.Perry, Strings in background field 11 Nucl.Phys. В (1985), том 262, стр. 593-609.

21. S.P. de Alwis, Strings in background fields: (3 functions and vertex operators // Phys.Rev. D (1985), том 34, стр. 3760-3768.

22. D.Orlando, P.M.Petropoulos, Corfu 05 lectures-Part I: Strings on curved backgrounds // J. of Phys. Conf.Ser. (2006), том 53, стр. 551-566.

23. A.M.Polyakov, Quantum Geometry of Bosonic Strings // Phys.Lett.В (1981), том 103, стр. 207-210.

24. J.Scherk, J.H.Schwarz, Dual Models for Nonhadrons // Nucl.Phys.В (1974), том 81, стр.118-144.

25. E.Witten, Nonabelian Bosonization in Two-Dimensions // Com-mun.Math.Phys. (1984), том 92, стр. 455-472.

26. T.L.Curtright, C.K.Zachos, Geometry, Topology, and Supersymmetry in Nonlinear Models // Phys. Rev. Lett. (1984), том 53, стр. 17991801.

27. E.S.Fradkin and A.A.Tseytlin, Effective Field Theory from Quantized Strings // Phys. Lett. В (1985), том 158, стр. 316;

28. E.S.Fradkin and A.A.Tseytlin Quantum String Theory Effective Action 11 Nucl. Phys. В (1985), том 261, стр. 1;

29. A.Sen, Heterotic string in an arbitrary background field // Phys. Rev. D (1985), том 32, стр. 2102;

30. D.J.Gross, J.H.Sloan, The Quartic Effective Action for the Heterotic String ¡I Nucl. Phys. В (1987), том 291, стр. 41.

31. G.W.Gibbons, K.Maeda, Black Holes and Membranes in Higher Dimensional Theories with Dilaton Fields 11 Nucl.Phys. B, (1988), том 298, стр. 741;

32. D.Garfincle, G.Horowitz, A.Strominger, Charged black holes in string theory ¡I Phys.Rev. D (1992), том 45, 3888.

33. S.Mignemi, N.R.Stewart, Charged black holes in effective string theory 11 Phys. Rev. D (1993), том 47, стр. 5259;

34. S. Mignemi, Dyonic black holes in effective string theory // Phys. Rev. D (1995), том 51, стр. 934.

35. M.C.Bento, О. Bertolani, Maximally Symmetric Cosmological Solutions of higher curvature string effective theories with dilatons, // Phys.Lett.В (1996), том 368, стр. 198-201.

36. A.Economou, C.O.Luosto, Charged black holes in quadratic theories // Phys. Rev. D (1994), том 49, стр 5278;

37. M. Campanelli, C.O.Luosto, Perturbative method to solve fourth-order gravity field equations // Phys. Rev. D (1994), том 49, стр 5188,

38. M. Campanelli, C.O.Luosto, Perturbative metric of charged black holes in quadratic gravity // Phys. Rev. D (1995), том 51, стр 6810;

39. M. Campanelli, C.O.Luosto, Exact gravitational shock wave solution of higher order theories // Phys. Rev. D (1996), том 54, стр 3854.

40. P.Kanti, N.E.Mavromatos, J.Rizos, K.Tamvakis, E.Winstanley, Dila-tonic Black Holes in Higher Curvature Gravity, // Phys.Rev.D (1996), том 54, стр 5049-5058;

41. P. Kanti, K. Tamvakis, Coloured Black Holes in Higher Curvature String Gravity, // Phys.Lett.B (1997), том 392, стр. 30-38;

42. P.Kanti, N.E.Mavromatos, J.Rizos, K.Tamvakis, E. Winstanley, Bila-tonic black holes in higher curvature string gravity. 2: Linear stability. // Phys.Rev.D (1998), том 57, стр 6255-6264.

43. Я.Б.Зельдович, Коллапс малой массы в общей теории относительности // ЖЭТФ (1962), том 42, стр 641.

44. Ya.B.Zeldovich, L.P.Pitaevsky, On the possibility of the creation of particles by a classical gravitational field // Comm.Math.Phys. (1971), том 23, стр 185.

45. Я.Б.Зельдович, Зарядовая несимметрия Вселенной как следствие испарения черных дыр и несимметрии слабого взаимодействия // Письма в ЖЭТФ (1976), том 24, стр 29.

46. Я.Б.Зельдович, Тяготение, заряды, космология и когерентность // УФЫ (1977), том 123, стр 487-503.

47. Я.Б.Зельдович, А.А.Старобинский, Роэюдение частиц и поляризация вакуума в гравитационном поле // Ж!ЭТФ (1971), том 61, стр 2161.

48. В.Н.Лукаш, А.А.Старобинский, Изотропизация космологического расширения за счет эффекта рооюдения частиц // 2КЭТФ (1974), том 66, стр 1515.

49. Я.Б.Зельдович, И.Д.Новиков, А.А.Старобинский, Роо/сдеиие частиц и поляризация вакуума в анизотропном гравитационном поле // ЖЭТФ (1971), том 61, стр 2161.

50. И.Д.Новиков, Процесс Хоукинга на границе и внутри черной дыры 11 ЖЭТФ (1976), том 71, стр 393.

51. J.D. Bekenstein, Nonexistence of Baryon Number for Static Black Holes 11 Phys. Rev. D (1972), том 5, стр. 1239;

52. Shankaranarayanan S., Padmanabhan T., and Srinivasan K. Hawking radiation in different coordinate settings: complex paths approach // Class .Quant. Grav. (2000), том 19, стр. 2671-2688.

53. S. Massar &; R. Parentani, How the change in horizon area drives black hole evaporation // Nucl.Phys. В (2000), том 575, стр. 333-356.

54. M.K.Parikh, F.Wilczek, Hawking Radiation As Tunneling // Phys. Rev. Lett. (2000), том 85, стр 5042.

55. К.Srinivasan, T. Padamanabhan, Particle production and complex path analysis // Phys. Rev. D (1999), том 60, стр. 24007.

56. T.Damour, R.Ruffini, Black-hole evaporation in the Klein-Sauter-Heisenberg-Euler formalism 11 Phys. Rev. D (1976), том 14, стр. 332.

57. D.N.Page, Particle emission rates from a black hole: Massless particles from an uncharged, nonrotating hole // Phys.Rev. D (1976), том 13, стр. 198.

58. D.N.Page Particle emission rates from a black hole. II. Massless particles from a rotating hole // Phys.Rev. D (1976), том 14, стр. 3260

59. D.N.Page Particle emission rates from a black hole. III. Charged lep-tons from a nonrotating hole // Phys.Rev. D (1977), том 16, стр. 2402

60. W.A.Hiscock, Models of evaporating black holes. II. Effects of the outgoing created radiation // Phys.Rev. D (1981), том 23, стр. 2823

61. R.C. Myers, M.J. Perry, Black Holes in Higher Dimensional SpaceTimes // Ann. Phys. (N.Y.) (1986), том 172, стр. 304.

62. F.R. Tangherlini, Schwarzschild field in n dimensions and the dimensionality of space problem // Nuovo Cim. (1963), том 27, стр. 636651.

63. Jean-Pierre Luminet, Black Holes // (1992), Cambridge University Press, перевод: http://www.astronet.ru/db/msg/1180462.

64. V.P.Frolov, D.V.Fursaev, D.Stojkovic, Rotating black holes in brane worlds // JHEP (2004), том 0406, стр. 057.

65. V.P.Frolov, D.V.Fursaev, D.Stojkovic, Interaction of higher dimensional rotating black holes with branes // Class. Quant. Grav. (2004), том 21, стр. 3483.

66. D.G. Boulware, S. Deser, String-Generated Gravity Models // Phys. Rev. Lett. (1985), том 55, стр. 2656.

67. R.G.Cai, Gauss-Bonnet black holes in AdS spaces // Phys. Rev. D (2002), том 65, стр. 084014

68. S.W.Hawking, Brane new world // Phys.Rev. D (2000), том 62, стр 043501.

69. E.V.Linder Dark energy, expansion history of the universe, and SNAP // AIP Conf.Proc. (2003), том 655, стр. 193-207

70. A.Linde Inflationary Cosmology // Lect.Notes Phys. (2008), том 738, стр. 1-54.

71. В.А.Рубаков, Большие и бесконечно большие дополнительные измерения: введение // "УФН (2001), том 171, стр. 913-938.

72. K.A.Bronnikov, S.G.Rubin, Self-stabilization of extra dimensions // Phys.Rev.D (2006), том 73, стр. 124019.

73. K.A.Bronnikov, R.V.Konoplich, S.G.Rubin, Diversity of universes created by pure gravity // Class.Quant.Grav. (2007), том 24, стр. 1261.

74. A.D.Linde, M.I.Zelnikov Inflationary Universe With Fluctuating Dimension // Phys.Lett.В (1988), том 215, стр 59.

75. V.A. Rubakov, M.E.Shaposhnikov, Do We Live Inside a Domain Wall? 11 Phys. Lett. В (1983), том 125, стр. 136-138.

76. V.A. Rubakov, M.E.Shaposhnikov, Extra Space-Time Dimensions: Towards a Solution to the Cosmological Constant Problem // Phys.Lett.В (1983), том 125, стр. 139.

77. N. Arkani-Hamed, S.Dimopoulos, G.R. Dvali, The Hierarchy problem and new dimensions at a millimeter // Phys. Lett. В (1998), том 429, стр. 257.

78. I. Antoniadis et al., New dimensions at a millimeter to a Fermi and superstrings at a TeV// Phys. Lett. В (1998), том 436, стр. 257.

79. N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G.R. Dvali, Phenomenology, astrophysics, and cosmology of theories with submillimeter dimensions and TeV scale quantum gravity // Phys.Rev.D (1999), том 59, стр. 086004.

80. G.D.Kribs, TASDI2004 lectures on the phenomenology of extra dimensions // Physics in D > 4, *Boulder (2004), стр. 633-699, препринт hep-ph/0605325.

81. G.F.Giudice, R.Rattazzi, J.D.Wells, Quantum gravity and extra dimensions at high-energy colliders // Nucl.Phys.B, (1999), том 544, стр 3-38.

82. E.A.Mirabelli, M.Perelstein, M.E.Peskin Collider signatures of new large space dimensions // Phys.Rev.Lett. (1999), том 82, стр 22362239.

83. T.Han, J.D.Lykken, R.-J.Zhang On Kaluza-Klein states from large extra dimensions // Phys.Rev.D (1999), том 59, стр 105006.

84. J.-A.L. Hewett Indirect collider signals for extra dimensions // Phys.Rev.Lett. (1999), том 82, стр 4765-4768.

85. G.G.Raffelt Particle physics from stars // Ann.Rev.Nucl.Part.Sci. (1999), том 49, стр 163-216.

86. Е.Н.Алексеев, Л.Н.Алексеева Двадцать лет наблюдений за галактикой в поисках всплесков коллапсных нейтрино на баксанском подземном сцинтилляционном телескопе // ЖЭТФ (2002), том 95, стр. 10-16.

87. S.Cullen, M.Perelstei SN1987A constraints on large compact dimensions // Phys.Rev.Lett. (1999), том 83, стр. 268-271.

88. L.J.Hall, D.R.Smith, Cosmological constraints on theories with large extra dimensions // Phys.Rev.D (1999), том 60, стр. 085008.

89. L. Randall, R. Sundrum, Large Mass Hierarchy from a Small Extra Dimension // Phys. Rev. Lett. (1999), том 83, стр. 3370.

90. L.Randall, R.Sundrum, An Alternative to Compactification // Phys. Rev. Lett. (1999), том 83, стр. 4690.

91. N.J.Nunes, M.Peloso, On the stability of field-theoretical regularizations of negative tension branes // Phys.Lett.В (2005), том 623, стр. 147154.

92. S.B.Giddings, S.Kachru, J.Polchinski, Hierarchies from fluxes in string compactifications // Phys.Rev.D (2002), том 66, стр. 106006.

93. И.П.Волобуев, Ю.С.Михайлов, М.Н.Смоляков, Ньютоновский предел стабилизированной модели Рэндал- Сандрума // ТМФ (2008), том 156(2), стр. 1159-1168.

94. R.Gregory, N.Kaloper, R.C.Myers, A.Padilla, A New perspective on DGP gravity // JHEP(2007), том 10, стр 069.

95. H.Collins, B.Holdom, Brane cosmologies without orbifolds // Phys.Rev.D (2000), том 62, стр. 105009.

96. S.Corley, D.A.Lowe and S.Ramgoolam, Einstein-Hilbert action on the brane for the bulk graviton // JHEP (2001), том 0107, стр. 030.

97. C.Deffayet, G.R.Dvali, G. Gabadadze, Accelerated universe from gravity leaking to extra dimensions // Phys.Rev.D (2002), том 65, стр. 044023.

98. V.Sahni and Y.Shtanov, Braneworld models of dark energy // JCAP (2003), том 11, стр. 014.

99. A.Vilenkin, Gravitational Field Of Vacuum Domain Walls // Phys.Lett.B (1983), том 133, стр.177.

100. J.Ipser, P.Sikivie, The Gravitationally Repulsive Domain Wall // Phys.Rev.D (1984), том 30, стр. 712.

101. K.Atazadch, H.R.Scpangi, Curvature corrections in DGP brane cosmology // JCAP (2007), том 09, стр. 020.

102. S.В. Giddings & S. Thomas, High energy colliders as black hole factories: The end of short distance physics // Phys. Rev. D (2002), том 65,стр. 056010.

103. S.В.Giddings, Е. Katz, Effective theories and black hole production in warped compactifications // J. Math. Phys. (2001), том 42, стр. 3082.

104. D.M. Eardley, S.B. Giddings, Classical black hole production in high-energy collisions II Phys. Rev. D (2002), том 66, стр. 044011.

105. H. Yoshino, Y. Nambu, High-energy head-on collisions of particles and the hoop conjecture 11 Phys. Rev. D (2002), том 66, стр. 065004.

106. S. Dimopoulos & G. Landsberg, Black Holes at the Large Hadron Collider 11 Phys. Rev. Lett. (2001), том 87, стр. 161602.

107. E.Donets and D.V.Gal'tsov, Stringy sphalerons and Gauss-Bonnet term 11 Phys.Lett. В (1995), том 352, стр. 261-268.

108. E.E. Donets, D.V. Gal'tsov, M.Yu. Zotov, Internal Structure of Einstein-Yang-Mills Black Holes, // Phys.Rev.D (1997), том 56, стр. 3459-3465;

109. P. Breitenlohner, G. Lavrelashvili and D. Maison, Mass inflation and chaotic behavior inside hairy black holes, // Nucl.Phys.B (1998), том 524, стр. 427-443.

110. S.O. Alexeyev and M.V. Pomazanov, Black Hole Solutions with Dila-tonic Hair in Higher Curvature Gravity // Phys. Rev. D (1997), том 55, стр. 2110.

111. C.-M.Chen, D.V.Gal'tsov, D.G.Orlov, Extremal dyonic black holes in D—4 Gauss-Bonnet gravity // Phys. Rev. D (2008), том 78, стр. 104013.

112. C.-M.Chen, D.V.Gal'tsov, D.G.Orlov, Extremal black holes in D=4 Gauss-Bonnet gravity // Phys. Rev. D (2007), том 75, стр. 084030.

113. T.Kobayashi, T.Tanaka, Five-dimensional black strings in Einstein-Gauss-Bonnet gravity // Phys. Rev. D (2005), том 71, стр. 084005.

114. V.A. Kazakov, A.A. Tseytlin, On free energy of 2-D black hole in bosonic string theory // JHEP (2001), том 0106, стр. 021.

115. N.E.Mavromatos, String cosmology // Lect.Notes Phys. (2002), том 592, стр. 392.

116. R.C.Myers, Black holes in higher curvature gravity // Black holes, gravitational radiation and the universe под редакцией C.V. Vishveschwara, B.R. Iyer, B. Bhawal, (1998), стр. 121.

117. M.S.Volkov, D.V.Gal'tsov, Gravitating nonAbelian solitons and black holes with Yang-Mills fields // Phys.Rept. (1999), том 319, стр. 1.

118. E.Ellis and B.G.Schmidt, Singular space-times // Gen. Rel. Grav. (1977), том 8, стр. 915.

119. S.W.Hawking and E.Ellis Large-Scale Structure of the Space-time, // Cambridge University Press, Cambridge, England, 1973.

120. R.C. Myers, Black Holes in Higher Curvature Gravity, //в сборнике под редакцией Iyer, B.R.: Black holes, gravitational radiation and the universe, стр. 121-136, препринт gr-qc/9811042.

121. R.C.Myers, J.Z.Simon, Black Hole Thermodynamics in Lovelock Gravity // Phys. Rev. D (1988), том 38, стр 2434.

122. R.C.Myers, J.Z.Simon Black Hole Evaporation And Higher Derivative Gravity // Gen. Rel. Grav. (1989), том 21, стр. 761.

123. T.Jacobson, Black Hole Thermodynamics Today, // в сборнике * Jerusalem 1997, Recent developments in theoretical and experimental general relativity, gravitation, and relativistic field theories, Pt.B*, стр. 959-967, препринт gr-qc/9801015.

124. G.W.Gibbons and S.W.Hawking, Action Integrals and Partition Functions in Quantum Gravity // Phys.Rev. D (1977), том 15, стр. 2752.

125. S.Liberati Problems in Black Hole Entropy Interpretation, // Nuovo Cim.B (1997), том 112, стр. 405-421.

126. V.P.Frolov, M.A.Markov and V.F.Mukhanov, Through a Black Hole Into a New Universe? // Phys.Lett. B, (1989), том 216, стр. 272.

127. G.W.Gibbins and R.E.Kallosh Topology, Entropy and Witten Index of Dilaton Black Holes, // Phys.Rev.D (1995), том 51, стр 2839-2862.

128. D.N.Page Hawking radiation and black hole thermodynamics // New Journal of Physics (2005), том 7, стр. 203.

129. O.Khovanskaya, Dilatonic black hole time stability, // Grav.Cosmol. (2002), том 8, стр. 197-200.

130. P.Breitenlohner, P.Forgas and D.Maison, On Static spherically symmetric solutions of the Einstein Yang-Mills equations j/ Commum. Math. Phys. (1994), том 163, стр. 141.

131. Т. Torii, H. Yajima and К. Maeda, Dilatonic black holes with Gauss-Bonnet term // Phys. Rev. D (1997), том 55, стр. 739.

132. S.O. Alexeyev, Internal structure of a Gauss-Bonnet black hole // Grav. Cosmol. (1997), том 3, стр. 161.

133. S.O. Alexeyev and M.V. Pomazanov, Gauss-Bonnet Black Holes in Low Energy String Theory, // Grav. Cosmol. (1997), том 3, стр 191.

134. S.O. Alexeyev, M.V. Sazhin and M.V. Pomazanov, Труды "19th Texas Symposium on Relativistic Astrophysics", Paris (Франция), декабрь 1998, 10 страниц, на CD-ROM.

135. S.Alexeyev, A.Barrau, K.Rannu, Internal structure of a Maxwell-Gauss-Bonnet black hole // Phys. Rev. D (2009), том 79, стр 067503.

136. S.O. Alexeyev, M.V.Pomazanov, Typical Types of Singularities in String Gravity 11 Grav. Cosmol. (2001), том 7, стр. 130.

137. S.O. Alexeyev and M.V. Sazhin, Some Aspects of Four-dimensional Black Hole Solutions in Gauss-Bonnet Extended String Gravity //J-Astrophys. Astr. (1999), том 20, стр. 1.

138. M.V. Pomazanov, About the Structure of Some Typical Singularities in Implicit Ordinary Differential Equations, // частное сообщение.

139. S.O. Alexeyev and M.V. Sazhin, Four-dimensional Black Holes in a Gauss-Bonnet Extended String Gravity // Gen. Relativ. Grav.1998), том 8, стр 1187.

140. M.V.Pomazanov, On the Structure of Some Typical Singularities for Implicit Ordinary Differential Equations, math-ph/0007008.

141. С.Чандраксекар, Математическая теория черных дыр, // М, Наука, (1986).

142. C.J.S. Clarke, The Analysis of Space-Time Singularities // Cambridge University Press, Cambridge, (1993).

143. W.Puszkarz, Ambiguity In The Evolution Of String Generated Cosmo-logical Models // Phys. Lett. В (1989), том 226, стр 39;

144. M.Demianski, Z.Golda, W.Puszkarz, Dynamics of the D-dimensional FRW cosmological models within the superstring generated gravity model // Gen. Relativ. Grav. (1991), том 23, стр. 917.

145. Т. Kutaura and J.T Wheeler New singularity in anisotropic, time-dependent, maximally Gauss-Bonnet extended gravity // Phys. Rev. D (1993), том 48, стр 667.

146. S. Kawai and J. Soda, Nonsingular Bianchi type I cosmological solutions from the 1-loop superstring effective action // Phys. Rev. D1999), том 59, стр. 063506.

147. H. Yajima, K. Maeda and H. Ohkubo, Generality of singularity avoidance in superstring theory: Anisotropic case // Phys. Rev. D (2000), том 62, стр. 024020.

148. S.O. Alexeyev, O.S.Khovanskaya, Additional study of a restriction on the minimum black hole mass in string gravity // Grav.Cosmol. (2000), том 6, стр 14-18.

149. S. Alexeyev, A. Toporensky, V. Ustiansky, Non-Singular Cosmological Models in String Gravity with Second Order Curvature Corrections // Class. Quant. Grav. (2000), том 17, стр. 2243.

150. S. Alexeyev, A. Toporensky, V. Ustiansky, The Nature of Singularity in Bianchi I Cosmological String Gravity Model with Second Order Curvature Corrections // Phys. Lett. В, том 509, стр. 151.

151. D.L. Wiltshire, Black holes in string-generated gravity models // Phys. Rev. D (1988), том 38, стр. 2445;

152. D.L. Wiltshire, Spherically Symmetric Solutions Of Einstein-Maxwell Theory With A Gauss-Bonnet Term 11 Phys. Lett. В (1986), том 169, стр. 36.

153. V.P.Frolov and A.I.Zel'nikov, Effect of vacuum polarization near black holes, // Moscow, Proceedings, Quantum Gravity*, (1984).

154. P.Candelas, Vacuum polarization in Schwarzschild spacetime // Phys.Rev. D (1980), том 21, стр. 2185.

155. M.Visser, "Gravitational vacuum polarization" // в сборнике * Jerusalem 1997, Recent developments in theoretical and experimental general relativity, gravitation, and relativistic field theories, Pt.A*, стр. 842-844, препринт gr-qc/9710034.

156. M.Visser, Gravitational vacuum polarization. I. Energy conditions in the Hartle-Hawking vacuum // Phys. Rev. D (1996), том 54, стр 5103;

157. M.Visser, Gravitational vacuum polarization. II. Energy conditions in the Boulware vacuum // Phys. Rev. D (1996), том 54, стр 5116;

158. M.Visser, Gravitational vacuum polarization. III. Energy conditions in the (l+l)-dimensional Schwarzschild spacetime // Phys. Rev. D (1996), том 54, стр 5123;

159. P.R.Anderson, W.A.Hiscock and D.J.Loranz, Semiclassical Stability of the Extreme Reissner-Nordstro'm Black Hole // Phys. Rev. Lett. (1995), том 74, стр 4365.

160. P.R.Anderson, B.E.Taylor and W.A.Hiscock, Stress-energy of a quantized scalar field in static wormhole spacetimes // Phys. Rev. D (19997), том 55, стр 6116.

161. R.Herman and W.A.Hiscock, Renormalization of the charged scalar field in curved space // Phys. Rev. D (1996), том 53, стр. 3285.

162. S. Coleman, J. Preskill, and F. Wilczek, Quantum hair on black holes // Nucl. Phys. В (1992), том 380, стр. 447.

163. V. Kaplunovsky, One Loop Threshold Effects in String Unification // Nucl. Phys. В (1988), том 307, стр 145.

164. D. Garfinkle, G.T. Horowitz, and A. Strominger, Charged black holes in string theory // Phys. Rev. D (1991), том 43, стр. 3140.

165. S. Mignemi, Primary scalar hair in dilatonic theories with modulus fields // Phys. Rev. D (2000), том 62, стр 024014.

166. S.Alexeyev, S.Mignemi, New Types of Naked Singularities in Gauss-Bonnet Extended String Gravity with Moduli Field // Class. Quant. Grav. (2001), том 18, стр. 4165.

167. H. Yajima, K. Maeda and H. Ohkubo, Generality of Singularity Avoidance in Superstring Theory: Anisotropic Case, // Phys.Rev.D (2000), том 62, стр 024020.

168. A.Yu.Kamenshchik, I.M.Khalatnikov, A.V.Toporensky, Simplest cos-mological model with the scalar field // Int. J. Mod. Phys. D (1997), том 6, стр. 673.

169. A.Tseytlin, String Solutions with Nonconstant Scalar Fields //в сборнике Ahrenshoop Symp. (1993): 0001-13, препринт hep-th/9402082

170. I.Antoniadis, J.Rizos and K.Tamvakis, Singularity-free cosmological solutions of the superstring effective action // Nucl. Phys. В (1994), том 415, стр. 497.

171. R. Easter and K. Maeda, One-loop superstring cosmology and the nonsingular universe // Phys. Rev. D (1996), том 54, стр 7252.

172. J.Rizos and K.Tamvakis, On the existence of singularity free solutions in quadratic gravity // Phys. Lett. В (1994), том 326, стр 57.

173. P.Kanti, J.Rizos and K.Tamvakis, Singularity-free cosmological solutions in quadratic gravity // Phys. Rev. D (1999), том 59, стр 083512.

174. S.Foster, Scalar Field Cosmological Models With Hard Potential Walls // gr-qc/9806113.

175. T. Torii and K. Maeda Stability of a dilatonic black hole with a Gauss-Bonnet term // Phys. Rev. D (1998), том 58, стр 084004.

176. С.О.Алексеев, А.Баррау, Г.Боудоул, О.С.Хованская, М.В.Сажин, Простейшая модель испарения черных дыр на последних стадиях // Письма в АЖ (2002), том 28, стр 428.

177. P.R. Branoff, D.R. Brill, Instantons for black hole pair production, // препринт gr-qc/9811079

178. Старобинский А.А., Усиление волн при отражении от вращающейся черной дыры" // ЖЭТФ (1973), том 37, стр. 28.

179. Старобинский А.А., Чурилов С.М., Усиление электромагнитных и гравитационных ~волн, рассеянных вращающейся "черной дырой' // ЖЭТФ (1974), том 38, стр. 1.

180. S.Alexeyev, A.Barrau, G.Boudoul, O.Khovanskaya, M.Sazhin, Black hole Relics in String Gravity: Last Stages of Hawking Evaporation // Class.Quant.Grav. (2002), том 19, стр. 4431-4443.

181. S.O. Alexeyev, Black Holes in Higher Order Curvature Gravity // глава в книге Black Holes: Properties, Formation and Features, (2009), NovaPublishers, NewYork.

182. S.Alexeyev, A.Barrau, Life after death of Black holes: evaporation near Planck Mass // труды конференции: <Фундаментальная физика во Франции>, Лион, 31 мая-2 июня 2001 года.

183. В. Kleinhaus and J.Kunz, Static Black Hole Solutions with Axial Symmetry / / Phys.Rev.Lett. (1997), том 79, стр. 1595-1598.

184. S.O. Alexeyev, M.V. Sazhin and M.V.Pomazanov, Black Holes of a Minimal Size in String Gravity // Int. J. Mod. Phys. D (2001), том 10, стр. 225.

185. J.M.Blatt, V.F.Weisskopf, Theoretical Nuclear Physics // Wiley, New York, (1952), p. 520

186. Г.Т.Зацепин, В.А.Кузьмин, Верхний предел на спектр космических лучей // Письма в ЖЭТФ (1966), том 4, стр. 114-119.

187. A. Barrau Primordial black holes as a source of extremely high-energy cosmic rays // Astropart.Phys. (2000), том 12, стр. 269.

188. A.G.Polnarev, M.Yu.Khlopov, Primordial Black Holes As A Cosmo-logical Test Of Grand Unification 11 Phys.Lett.B (1980), том 97, стр 383-387;

189. M.Yu.Khlopov, B.A.Malomed, Ya.B.Zeldovich, Gravitational instability of scalar fields and formation of primordial black holes // Mon.Not.Roy.Astron.Soc. (1985), том 215, стр 575-589;

190. J.H.MacGibbon, Can Planck-mass relics of evaporating black holes close the universe? // Nature (1987), том 329, стр. 308.

191. J.H.MacGibbon, B.Carr, Cosmic rays from primordial black holes 11 Astrophys.J. (1991), том 371, стр 447-469.

192. M.A.Markov, The Problem of dark matter and stable elementary black holes (maximons) 11 Phys.Lett. A (1993), том 172, стр 331.

193. J.D.Barrow, E.J.Copeland, A.R.Liddle, The cosmology of black hole relics // Phys. Rev. D (1992), том 46, стр. 645.

194. R.D. Blanford and K.S. Thorne, Astrophysics of Black Holes //в General Relativity, an Einstein centenary survey edited by S.W. Hawking and W. Israel, Cambridge University Press, Cambridge, (1979).

195. I. Oda, "Cosmic Sensorship in Quantum Gravity" // препринт gr-qc/9704021.

196. R.Penrose, Quantum Nonlocality and Complex Reality, //в ""Trieste 1992 Proceedings, The renaissance of General Relativity and cosmology*, 314 (1992).

197. S.W.Hawking and R.Penrose, The Nature of Space and Time, // Princeton, USA, University Press, 141 p. (1996) (The Isaak Newton Institute series of lectures).

198. E.Poisson, Black hole interiors and strong cosmic censorship, //в *Haifa 1997, Internal structure of black holes and spacetime singularities* 85-100, препринт gr-gc/ 9709022.

199. R.M.Wald, Gravitational Collapse and Cosmic Censorship, //в сборнике под редакцией Iyer, B.R.: Black holes, gravitational radiation and the universe, стр 69-85, препринт gr-gc/9710068.

200. L.M.Burko Structure of the Black Hole's Сauchy-Horizon Singularity // Phys. Rev. Lett. (1997), том 79, стр 4958.

201. I. Novikov, A. Polnarev, A. Starobinsky, Ya.Zeldovich, Primordial black holes I/ Astron. Astrophys. (1979), том 80, стр. 104.

202. С.О.Алексеев, О.С.Хованская, М.В.Сажин, Параметры ранней Вселенной и первичные черные дыры // Письма в А}К (2002), том 28, стр 139

203. С. Renault et al., Metallicity effects on the cepheid extragalactic distance scale from EROS photometry in LMC and SMC// Astronomy & Astrophysics, (1997), том 324, стр. L69.

204. H.I. Kim, Primordial black holes under the double inflationary power spectrum // Phys.Rev. D (2000), том 62, стр. 063504.

205. Т. Bringmann, С. Kiefer, D. Polarski, Primordial black holes from inflationary models with and without broken scale invariance // Phys.Rev. D (2002), том 65, стр. 024008.

206. С.Г.Рубин, А.С.Сахаров, М.Ю.Хлопов, Образование первичных ядер галактик при фазовых переходах в ранней Вселенной // ЖЭТФ (2001), том 119, стр. 1067.

207. S.G.Rubin, A.S.Sakharov, M.Yu.Khlopov, Primordial black holes from non-equilibrum second order phase transition Grav.Cosmol. (2000), том 6, стр. 51.

208. A.J.M. Mcdved, Radiation via tunneling from a de Sitter cosmological horizon // Phys.Rev. D (2002), том 66, стр. 124009.

209. Damien A. Easson Hawking radiation of nonsingular black holes in , two-dimensions // JHEP (2003), том 0302, стр 037.

210. Elias С. Vagenas, Generalization of the KKW analysis for black hole radiation // Phys.Lett.B (2003), том 559, стр 65.

211. G. Basini, S. Capozziello, G. Longo The general conservation principle. Absolute validity of conservation laws and their role as source of entanglement, topology changes, and generation of masses // Phys.Lett.A (2003), том 311, стр 465.

212. S.Hossenfelder, Black holes in extra dimensions // PhD thesis, на немецком языке (2003).

213. S.Hossenfelder, M.Bleicher, S.Hofmann, H.Stoecker, A.V.Kotwal, Black hole relics in large extra dimensions // Phys.Lett.B (2003), том 566, стр. 233.

214. G.Basini, S. Capozziello, Quantum mechanics, relativity and time // ' Gen.Rel.Grav. (2005), том 37, стр. 115.

215. B.Koch, M.Bleicher, S.Hossenfelder, Black hole remnants at the LHC // JHEP (2005), том 0510, стр. 053.

216. R.Punzi, F.P.Schuller, M.N.R.Wohlfarth, Geometric obstruction of black holes // Annals Phys (2007), том 322, стр 1335.

217. H.Stoecker, Mini black holes in the first year of the LHC: Discovery through di-jet suppression, multiple mono-jet emission and ionizing tracks in ALICE // J.Phys.G (2006), том 32, стр S429.

218. H.Stocker, B.Koch, M.Bleicher, An introduction to mini black holes at LHC jj Braz.J.Phys. (2007), том 37, стр. 836.

219. Т. Pilling, Quasi-classical Hawking Temperatures and Black Hole Thermodynamics // Talk given at 15th International Seminar on High Energy Physics: Quarks-2008 Сергиев Посад, 23-29 мая 2008 года, препринт hep-th/0809.2701.

220. V.Akhmedova, Т.Pilling, A.deGill, D.Singleton, Temporal contribution to gravitational WKB-like calculations // Phys.Lett.В (2008), том 666, стр 269.

221. Т. Pilling, Tunneling derived from Black Hole Thermodynamics // Phys.Lett.В (2008), том 660, стр 402.

222. V.B. Braginsky, L.P. Grishchuk, A.G. Doroshkevich, M.B. Mensky, I.D. Novikov, M.V. Sazhin, Ya.B. Zeldovich On The Electromagnetic Detection Of Gravitational Waves // Gen.Rel.Grav. (1979), том 11, стр. 407-409.

223. Долгов А.Д., Зельдович Я.В., Сажин М.В., Космология ранней Вселенной // М.: Московский университет, (1988).

224. A.Dolgov, P.Naselsky, I.Novikov, Gravitational waves, baryogenesis, and dark matter from primordial black holes // препринт astro-ph/0009407.

225. S.Rubin, M. Khlopov, A. Sakharov), Possible origin of antimatter regions in the baryon dominated universe // Phys.Rev.D (2000), том 62, стр. 083505.

226. J.D. Bekensten Entropy bounds and black hole remnants // Phys. Rev. D (1994), том 49, стр. 1912.

227. T.Banks, M. O'Loughlin and A. Strominger, Black hole remnants and the information puzzle // Phys. Rev. D (1993), том 47, стр 4476;

228. L. Susskind, String theory and the principle of black hole complementarity // Phys. Rev. Lett. (1993), том 71, стр 2367;

229. L. Susskind and J. Uglum, Black hole entropy in canonical quantum gravity and superstring theory // Phys. Rev. D (1994), том 50, стр 2700;

230. G. 't Hooft, On the Quantum Structure of a Black Hole // Nucl. Phys. В (1985), том 256, стр 727;

231. G. 't Hooft, The Scattering matrix approach for the quantum black hole: An Overview // Int. J. Mod. Phys. A (1996), том И, стр 4623;

232. R.M.Wald, Gravitation, Thermodynamics and Quantum Theory // С lass. Q uant. Gr av. (1999), том 16, стр A177-A190.

233. V.B. Braginsky, F.Ya. Khalili and M.V. Sazhin, Decoherence in e.m. vacuum // Phys. Lett. A (1995), том 208, стр 177.

234. L. Kofman, A. Linde, A. Starobinsky, Reheating after Inflation // Phys.Rev. Lett. (1994), том 73, стр. 3195.

235. L.Kofman, A.Linde, A.Starobinsky, Towards the theory of reheating after inflation // Phys.Rev. D (1997), том 56, стр. 3258.

236. A.R. Liddle and A.M. Green, Cosmological constraints from primordial black holes // Phys.Rept. (1998), том 307, стр. 125-131;

237. A. Guth, Inflationary universe: A possible solution to the horizon and flatness problems // Phys. Rev. D (1981), том 23, стр. 347.

238. A. Linde, Inflationary cosmology // Phys.Rept, (2000), том 333, стр. 575.

239. R. Durrer, M. Kunz, A. Melchiorri Cosmic microwave background anisotropics from scaling seeds: Global defect models // Phys.Rev.D (1999), том 59, стр. 123005.

240. M.Libanov, V.Rubakov, P.Tinyakov, Cosmology with nonminimal scalar field: Graceful entrance into inflation // Phys.Lett. В (1998), том 442, стр. 63.

241. V.N. Lukash, I.D. Novikov, A.A.Starobinsky, Ya.B. Zeldovich Quantum Effects and Evolution of Cosmological Models // Nuovo Cim. В (1976), том 35, стр. 293-307.

242. А.Г.Дорошкевич, И.Д.Новиков, Пространство-время и физические поля в черных дырах // ЖЭТФ (1978), том 74, стр. 3-12.

243. B.J. Carr, J.H. Gilbert and J.E. Lidsey, Black hole relics and inflation: Limits on blue perturbation spectra // Phys. Rev. D (1994), том 50, стр. 4853.

244. Ландау Л.Д., Лившиц E.M., Статистическая физика // (М.: Мир, 1988).

245. D.V.Deriagin, D.Iu.Grigor'ev, V.A.Rubakov, M.V.Sazhin Generation of gravitational waves by the anisotropic phases in the early universe // Mon. Not. Roy. Ast r on. S о с. (1987) j том 229, стр 357.

246. К. Cheung, Black Hole Production and Large Extra Dimensions // Phys. Rev. Lett. (2002), том 88, стр. 221602.

247. P. Kanti, J. March-Russell, Calculable corrections to brane black hole decay: The scalar case // Phys. Rev. D (2002), том 66, стр. 024023.

248. A.V. Kotwal, C.Hays, Production and decay of spinning black holes at colliders and tests of black hole dynamics // Phys. Rev. D (2002), том 66, стр. 116005.

249. S. Hossenfelder, S. Hofmann, M. Bleicher, H. Stocker, Quasistable black holes at the Large Hadron Collider // Phys. Rev. D (2002), том 66, стр. 101502.

250. A. Chamblin, G.C. Nayak, Black hole production at the CERN LHC: String balls and black holes from pp and lead-lead collisions // Phys. Rev. D (2002), том 66, стр. 091901

251. V. Frolov, D. Stojkovic, Black hole radiation in the brane world and the recoil effect 11 Phys. Rev. D (2002), том 66, стр. 084002

252. M. Cavaglia, Black hole and brane production in TeVgravity: A Review 11 Int.J.Mod.Phys.A (2003), том 18, стр 1843-1882.

253. D.Ida, K.Y.Oda, S.C.Park, Rotating black holes at future colliders: Greybody factors for brane fields // Phys. Rev. D (2003), том 67, стр. 064025.

254. M. Cavaglia, S. Das, R. Maartens, Will we observe black holes at LHC? // Class. Quantum Grav. (2003), том 20, стр. L205

255. R. Casadio, B. Harms, Can black holes and naked singularities be detected in accelerators? // Int. J. Mod. Phys. A (2002), том 17, стр. 4635

256. P. Kanti, J. March-Russell, Calculable corrections to brane black hole decay. II. Greybody factors for spin 1/2 and 1/1 Phys. Rev. D (2003), том 67, стр. 104019.

257. I.P. Neupane, Black hole entropy in string-generated gravity models // Phys. Rev. D (2003), том 67, стр. 061501.

258. A. Ringwald, H. Tu, Collider versus cosmic ray sensitivity to black hole 'production // Phys. Lett. В (2002), том 525, стр. 135.

259. R. Emparan, M. Masip, R. Rattazzi, Cosmic rays as probes of large extra dimensions and TeV gravity // Phys.Rev. D (2002), том 65, стр. 064023.

260. J.L. Feng, A.D. Shapere, Black Hole Production by Cosmic Rays // Phys.Rev.Lett. (2002), том 88, стр. 021303.

261. L.A. Anchordoqui, J.L. Feng, H. Goldberg, A.D. Shapere, Black holes from cosmic rays: Probes of extra dimensions and new limits on TeV-scale gravity // Phys.Rev. D (2002), том 65, стр. 124027.

262. E.-J. Ahn, M. Ave, M. Cavaglia, A.V. Olinto, TeV black hole fragmentation and detectability in extensive air showers // Phys. Rev. D (2003), том 68, стр. 043004.

263. N. Deruelle, J. Madore, The Friedmann Universe As An Attractor Of A Kaluza-Klein Cosmology 11 Mod. Phys. Lett. A (1986), том 1, стр. 237

264. N. Deruelle, L. Farina-Busto, Lovelock gravitational field equations in cosmology // Phys. Rev. D (1990), том 41, стр. 3696.

265. S. Nojiri, S.D. Odintsov, S. Ogushi, Structure formation in the Lemaitre-Tolman model // Phys. Rev. D (2002), том 65, стр. 023521.

266. M.E. Mavrotamos, J. Rizos, String-inspired higher-curvature terms and the Randall-Sundrum scenario 11 Phys. Rev. D (2000), том 62, стр. 124004.

267. Y.M. Cho, I.P. Neupane, P.S. Wesson, No ghost state of Gauss-Bonnet interaction in warped background // Nucl. Phys. В (2002), том 621, стр. 388.

268. B.C. Paul, S. Mukhcrjee, Higher-dimensional cosmology with Gauss-Bonnet terms and the cosmological-constant problem // Phys. Rev. D (1990), том 42, стр. 2595.

269. В. Abdesselam, N. Mohammedi, Brane world cosmology with Gauss-Bonnet interaction // Phys. Rev. D (2002), том 65, стр. 084018.

270. C.Charmousis, J.F. Dufaux, General Gauss-Bonnet brane cosmology 11 Class. Quantum. Grav. (2002), том 19, стр. 4671

271. J.E. Lidscy, N.J. Nunes, Inflation in Gauss-Bonnet brane cosmology // Phys. Rev. D (2003), том 67, стр. 103510.

272. J.H.MacGibbon, B.R.Webber, Quark- and gluon-jet emission from primordial black holes: The instantaneous spectra // Phys. Rev. D (1990), том 41, стр. 3052.

273. M. Banados, С. Teitelboim, J. Zanelli, Black hole entropy and the dimensional continuation of the Gauss-Bonnet theorem // Phys. Rev. Lett. (1994), том 72, стр. 957.

274. A. Padilla, Surface terms and the Gauss-Bonnet Hamiltonian // Class. Quantum Grav. (2003), том 20, стр. 3129.

275. C.M. Harris, P.Kanti, Hawking radiation from a (4+n)-dimensional black hole: Exact results for the Schwarzschild phase // JHEP (2003), том 0310, стр. 014

276. A. Barrau, J. Grain, S. Alexeyev Gauss-Bonnet black holes at the LHC: beyond the dimensionality of space / / Phys. Lett. В, том 584, стр.114 (2004).

277. S.Alexeyev, A.Barrau, J.Grain, Gauss-Bonnet black holes at new colliders: Beyond the dimensionality of space // Grav. Cosmol. (2005), том 11, стр. 34.

278. S. Alexeyev, A. Barrau, J. Grain Gauss-Bonnet black holes at the LHC: beyond the dimensionality of space // Труды международной конференции "Кварки-2004" под редакцией Д. Г. Левкова, В. А. Матвеева, В. А. Рубакова, http://quarks.inr.ac.ru/

279. S.-F.Wu, S.-Y.Yin, G.-H.Yang, Р.-М.Zhang, Energy and entropy radiated by a black hole embedded in de-Sitter braneworld, // Phys.Rev.D (2008), том 78, стр 084010.

280. P.Draggiotis, M. Masip, I. Mastromatteo, Hawking evaporation of cos-mogenic black holes in TeV-gravity models, // JCAP (2008), том 0807, стр 014.

281. S. Creek, 0. Efthimiou, P. Kanti, K. Tamvakis, Scalar Emission in the Bulk in a Rotating Black Hole Background, // Phys.Lett.B (2007), том 656, стр 102.

282. К. Konya, Graviton emission from a Gauss-Bonnet brane, // Phys.Rev.D (2007), том 75, стр 104003.

283. S.K.Chakrabarti, Quasinormal modes of tensor and vector type perturbation of Gauss Bonnet black hole using third order WKB approach, // Gen.Rel.Grav. (2007), том 39, стр 567.

284. A.Barrau, G.Boudoul, F.Donato, D.Maurin, P.Salati, R.Taillet Antiprotons from primordial black holes // Astronom. Astrophys. (2002), том 388, стр. 676.

285. R. Emparan, G. T. Horowitz and R. C. Myers, Black Holes Radiate Mainly on the Brane // Phys.Rev. Lett. (2000), том 85, стр. 499.

286. T.Tjostrand, High-energy physics event generation with PYTHIA 5.7 and JETSET'7.4 // Comput. Phys. Commun., (1994), том 82, стр. 74.

287. ATLAS TDR 14, (1999), том 1, CERN/LHCC/99-14

288. D. Birmingham, Topological black holes in Anti-de Sitter space // Class. Quantum Grav. (1999), том 16, стр. 1197.

289. S. Alexeyev, N. Popov, A. Barrau and J. Grain, Black hole solutions in the N > 4 gravity models with higher order curvature corrections and possibilities for experimental search of such objects Journal of Phys.: Conf. Series (2006), том 33, стр.343

290. S.O.Alexeyev, N.N.Popov, T.S.Strunina, A.Barrau, J.Grain, Black hole solutions in Gauss-Bonnet Gravity // Труды международной конференции "Кварки-2006" под редакцией В.А. Матвеева, В.А.Рубакова, http://quarks.inr.ac.ru/

291. С.Алексеев, А.Попов, М.Старцева, А.Баррау, Дж.Грайн Черные дыры Керра-Гаусса-Боннэ: точное аналитическое решение // ЖЭТФ (2008), том 133, стр 710-714.

292. A.Anabalon, N.Deruelle, Y.Morisawa, J.Oliva, M.Sasaki, D.Tempo, R.Troncoso, Kerr-Schild ansatz in Einstein-Gauss-Bonnet gravity: An exact vacuum solution in five dimensions // Class.Quant.Grav. (2009), том 26, стр. 065002.

293. G.W. Gibbons, H.Lu, Don N. Page, C.N.Pope, Rotating Black Holes in Higher Dimensions with a Cosmological Constant // Phys. Rev. Lett. (2004), том 93, стр.171102.

294. S.W. Hawking, C.J. Hunter, M. Taylor, Rotation and the AdS-CFT correspondence Phys. Rev. D 59, 064005 (1999).

295. Егоров B.A., Сазонов В.В., Егоров М.А., Смирнов В.В. Сравнение оптимального и локально-оптимального геоцентрических разгонов космического аппарата с солнечным парусом, // Космические исследования (1994), том 32/6, стр. 77.

296. Golub G.N. and Reinsch С. Singular Values Decomposition and Least Squares Solutions // Numer. Math. (1970), том 14, стр. 403.