Сложная динамика простых радиофизических систем с кусочно-линейными элементами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

* #

<4 V

^ V

На прапад рукописи

■

КОРОНОВСКИЙ Алексей Александрович

СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА ПРОСТЫХ РАДИОФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ С КУСОЧИО-ЛИНЕЙПЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ (Модели, вычислительный и натурный эксперимент)

01.04.03 — радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Саратои — 1997

Работа выполнена на кафедре электроники и волновых процессов Саратовского государственного университета и в Государственном учебно-научном центре "Колледж" СГУ.

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН, профессор Т^убецков Д.И. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Шалфеев В.Д. кандидат физико-математических наук, доцент Вадивасова Т.Е.

Ведущая организация:

СФ IIРЭ РАН (Саратов).

Защита состоится 12 ноября 1997г. в 1530 часов на заседании диссертационного Совета Д 063.74.01 в Саратовском государственном университете (410026, Саратов, Астраханская, 83).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СГУ.

Автореферат разослан

1997г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, кандидат физико-математических наук, доцен'

Аникии В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследуемой проблемы

В последнее Бремя нелинейная динамика получает псе большее распространение и проникает в самые различные области естествознания. Давно уже стал привычным (и даже само-собой разумеющимся) подход к радиофизическим системам как к типичным представителям "нелинейнодинамнческого" мира. Идеи нелинейной динамики с успехом применяются при исследовании сложных физических систем, таких как лазеры, "электронный поток — электромагнитное поле" н т.д. Более того, в последнее время совершенно отчетливо прослеживается тенденция использования идей и методов нелинейной динамики для исследования и описания нефизических объектов, таких как биологические, экономические и социальные. В то же самое время среди исследователей (Анищенко B.C., Кузнецов С.II., Кузнецов А.П., Рабинович М.И., Ланда U.C., Трубецков Д.И., Безручко Б.П., Каиеко К., Cliua L.O., Komuro M., Matsumoto T.) не угасает интерес к простым нелинейным системам, которые, несмотря на их простоту, демонстрируют сложную динамику, являясь как бы ключом к пониманию общих закономерностей, характерных для нелинейного мира. Среди лих выделяется группа систем с кусочно-линейными характеристиками.

Аироксимация нелинейных элементов динамических систем кусочно-линейными функциями используется довольно часто и широко. Стоит однако отметить, что этим далеко не исчерпывается роль кусочно-линейных систем: они представляют немалый интерес для исследователей сами по себе, а их поведение, как показывают результаты многочисленных исследовании, несмотря на внешнюю простоту, оказывается подчас чрезвычайно сложным. В этом отношении кусочно-линейные схемы нисколько не уступают своим нелинейным "собратьям". Пожалуй, для кусочно-линейных систем характерны те же особенности, что и для чисто нелинейных объектов.

Неудивительно поэтому, что относительно простые кусочно-линейные системы стали объектом пристального внимания со стороны нс-

следователей: в них активно исследуются явления стохастического резонанса (работы Анищенко B.C. и его научной группы), гиперхаотического поведения, управляемого хаоса (Nakagava S., Saito Т., Tsubone Т., Aguirre L.A.), сосуществования нескольких хаотических и/или периодических аттракторов (Sanada N., Saito Т, Lozi R., Ushiki S), перемежаемости т.д.

Следует отметить, что среди систем с кусочно-линейными характеристиками особое центральное место ¡занимают так называемые "схемы Чуа", которые стали классическими радиотехническими кусочно-линейными схемами со сложным поведением. Несмотря на то, что эти схемы относительно просты, и, казалось бы, уже весьма хорошо изучены, число публикаций, посвященных исследованиям схем Чуа не уменьшается: эти схемы стали как бы "зеркалом", в котором отражаются все современные идеи и методы нелинейной динамики (Анищенко B.C., Кузнецов С.П., Кузнецов А.П., Chua L.O., Komuro М., Sanada N., Saito T, Matsumoto Т.). Помимо изучения вышеописанных явлений для сегодняшнего дня характерно исследование нескольких схем Чуа, соединенных друг с другом, цепочек из этих схем, и даже массивов. Активно исследуются вопросы прохождения (и последующего восстановления) сигнала через цепочку схем Чуа, модуляции и демодуляции сигналов, которые могут иметь важное практическое применение (Itoh М., Murakami Н., Chua L.O., Savaci F.A.).

Кусочно-линейные системы, в том числе (а может быть и прежде всего) схемы Чуа стали своеобразным "полигоном", на котором отрабатываются и апробируются новые идеи и методы, ведь с одной стороны, они являются типично нелинейными объектами, со всеми характерными особенностями, а с другой стороны, за счет кусочно-линейного характера систем, когда на каждом отдельном участке характеристики система может рассматриваться как линейная (а значит, к ней может быть с успехом применен математический аппарат линейной теории), возможно аналитическое рассмотрение динамики изучаемой системы, что почти никогда не удается сделать для обычных нелинейных систем. Безусловно, возникают серьезные проблемы при сшивании решений линейных областей друг с другом, когда система переходит с одной ветви

характеристики на другую, но иногда эти трудности удается преодолеть и получить весьма интересные результаты.

----Результаты, полученные при исследовании динамики систем- с-------------

кусочно-линейными характеристиками имеют как важное практическое, так и теоретическое значение: поскольку, как уже было неоднократно сказано выше, для таких систем характерны все те же особенности поведения, что и для нелинейных систем, то получаемые результаты имеют большое значение для развития теории динамических систем, теории колебаний и волн, нелинейной динамики. Все это позволяет утверждать, что исследование систем с кусочно-линейными характеристиками на сегодняшний день представляет собой значительный интерес (как практический, так и, прежде всего, теоретический) и обуславливает актуальность и важность темы настоящей диссертационной работы.

Цель работы

В настоящей диссертационной работе ставится целыо исследовать сложную динамику отдельных систем с кусочно-линейными характеристиками. Стоит подчеркнуть, что данная работа направлена не только (а, точнее говоря, даже не столько) на изучение поведения классических схем т1уа (хотя конечно же полностью их проигнорировать нельзя, и одна из таких схем будет рассмотрена в диссертации), но и других систем с кусочно-линейными элементами. Проведенные исследования не ограничиваются изучением динамики только одних лишь потоковых систем, т.е. систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями: в работе уделено также внимание системам с дискретным временем — отображениям. Более подробно цели настоящей работы можно сформулировать следующим образом:

1. Изучение вопроса, насколько влияет замена нелинейного элемента его кусочно-линейным аналогом на динамику системы на примере конкретного радиофизического генератора.

2. Исследование возможности описания динамики потоковой системы с помощью дискретного отображения. Речь здесь прежде

всего идет о построении дискретной модели потоковой системы, динамика которой качественно повторяет динамику объекта, описываемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Исследование систем (как с непрерывным, так и с дискретным временем) с кусочно-линейными характеристиками на плоскости управляющих параметров. Такое исследование дает наиболее полную и целостную информацию о поведении поучаемых объектов, закономерностях смены различных колебательных режимов и переходов от периодических колебаний к хаотическим.

4. Исследование сложного поведения одной из схем Чуа на плоскости управляющих параметров в окрестности линии бифуркации рождения двумерного тора.

5. Изучение сложного поведения классических систем с дискретным временем - логистических отображений - связанных друг с другом принципиально новым типом связи ("пороговая связь"), существенную роль в которой играют кусочно-линейные характеристики.

Научная новнона

В настоящей диссертационной работе впервые предложен новый тип дискретных отображений, позволяющий качественно описывать динамику определенного круга систем с непрерывным временем. На примере конкретной радиофизической системы показано, что подобный подход оказывается весьма эффективным с точки зрения совпадения поведения потоковой и дискретной систем.

Также впервые исследован самоподобный характер поведения потоковой кусочно-линейной системы (генератора "TORUS") в окрестности линии бифуркации рождения двумерного тора из предельного цикла.

Впервые рассмотрена динамика классических логистических отображений с принципиально новым — пороговым типом связи (были исследованы как два отображения со взаимной двунаправленной связью,

так и одномерная цепочка таких логистических отображений с однонаправленной связью). В частности, было показано, что в одномерной цепочке таких отображений возможно распространение уединенного импульса.

Обоснопашге и достоверность получешгых результатов

Хорошее совпадение результатов натурных н численных экспериментов, соответствие результатов численного моделирования и аналитических выкладок, воспроизводимость результатов, их соответствие результатам, описанным в литературе позволяет говорить об их достоверности и обоснованности.

Практическая значимость

Представленные в настоящей диссертационной работе результаты могут найти практическое применение при создании (и исследовании) определенных радиофизических систем: с помощью предложенного нового типа отображения возможно быстро "конструировать" дискретную модель-аналог исходной системы, с тем чтобы за короткое время получить полную качественную картину поведения создаваемой системы в зависимости от значений управляющих параметров, определить основные наиболее характерные режимы работы. Хотя, безусловно, предлагаемый новый тип отображения не является панацеей и, конечно же, не подойдет для всех без исключения радиофизических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, простота анализа дискретной системы на плоскости управляющих параметров по сравнению с таким же исследованием потоковых систем делает использование подобных отображений весьма привлекательным.

Полученные результаты исследования одномерной цепочки логистических отображений с однонаправленной пороговой связью могут найти практическое применение при создании искусственных сред, обеспечивающих трансляцию импульса или последовательности импульсов.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения (111 стр. основного текста), 39 иллюстраций, 15. стр. списка литературы, включающего в себя 131 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ И ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цели, научная новизна полученных результатов, а также основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава содержит результаты экспериментального и численного исследования радиофизического генератора с кусочно-линейным аналогом туннельного диода, который описывается системой трех обыкновенных безразмерных дифференциальных уравнений, полученных на основе законов Кирхгофа:

dx

— = -2 Ьх + у — gz, ат

dy _ _ _ У_ dr Х 2А'

где г — безразмерное время, х, у, z — безразмерные переменные. Безразмерный параметр д определяет степень влияния туннельного диода (или его кусочно-линейного аналога) на процессы, протекающие в контуре, е — параметр, пропорциональный паразитной емкости кусочно-линейного аналога туннельного диода (и дополнительной емкости), б и А — параметры, определяющие диссипацию и подкачку энергии соответственно. Безразмерная характеристика кусочно-линейного аналога туннельного диода выбирается в виде

11.675z г < 0.085;

f(z)=i l-2.108(z-0.085), 0.085 < х < 0.5; 0.125 + 1.75(z — 0.5), г > 0.5.

Описана методика исследования, экспериментально и численно получены карты режимов на плоскости управляющих параме тров (6, е), показано качественное подобие динамики генератора с туннельным диодом1 н его кусочно-линейного аналога: карта режимов разбивается на повторяющиеся зоны колебаний, рожденные на основе к-тактных циклов. Эти зоны разграничены линиями добавления периода, пересечение которых приводит к изменению базового периода зоны на единицу. Показано также, что переход от периодических колебаний к хаотическим внутри зон добавления периода происходит по сценарию Фейгенбаума через каскад бифуркаций удвоення периода.

Предложено одномерное двупараметрическое отображение нового типа, являющееся дискретным аналогом рассматриваемой системы. Следует отметить, что это отображение не выводится из системы дифференциальных уравнений, а "конструируется". В качестве базового было выбрано отображение, предложенное ранее2, затем оно было аппроксимировано явно заданной непрерывной функцией, зависящей от двух параметров таким образом, чтобы при изменении значений этих параметров построенное отображение демонстрировало динамику, аналогичную динамике генератора с кусочно-линейным аналогом туннельного диода.

Сущность данного типа отображений заключается в том, что одним из параметров, от которых зависит отображение, является угол поворота ip графика отображения относительно какой-либо опорпой точки (например (0;0), как в рассматриваемом случае). Для того, чтобы получить одномерное отображение при определенном значении параметра tp, пёобходимо осуществить поворот графика отображения для нулевого угла поворота, заданного аналитически, на этот угол !р относительно начала координат. Подобная операция приближенно соответствует изменению параметра диссипации в исходной потоковой системе.

1 Андрушкеинч A.B., Кинчатов A.A. Хаос и периодичность п генераторе на туннельном диоде.// Иов. ВУЗов. Радиофизика. 1990. Т. 33. N. 4. С. 431-431.

2Кияшко C.B., Пиковский A.C., Рабинович М.И. Автогенератор раднодиапа-оона со стохастическим поведением.// Радиотехш1ка н олектроника. 1980. Т. 25. С. 336-343.

Для предложенного отображения полумена карта динамических режимов на плоскости управляющих параметров и показано очень хорошее соответствие поведения предложенного отображения динамике генератора с кусочно-линейным аналогом туннельного диода.

Вторая глава посвящена экспериментальному и численному исследованию генератора с кусочно-линейным элементом "TORUS"3. Отличительной особенностью этой классической схемы Чуа является возможность возникновения в ней двухчастотной динамики без внешнего периодического воздействия при минимальном необходимом для отого числе степенен свободы. При этом, несмотря на предельную простоту самой системы, ее поведение в пространстве управляющих параметров оказывается довольно сложным. Нетривиальным свойством этого генератора является жесткий характер рождения второй частоты в системе, влекущий за собой гистерезис вблизи линии бифуркации рождения двумерного тора и значительно искажающий привычную картину расположения клювов синхронизации.

Динамика генератора "TORUS" описывается системой безразмерных дифференциальных уравнений

dz

где х, у, г — безразмерные переменные, а, */ — безразмерные параметры, /(£) — безразмерная функция, характеризующая кусочно-линейный элемент, которая имеет вид

Экспериментально и численно получены карты режимов на плоскости управляющих параметров (а, 7), которые находятся в хорошем соответствии друг с другом. Показано, что система, в которой возможны

3Matsumoto T., Chua L.O., Tokunaga R. Chaos via torus breakdown.// IEEE TVans. Circuits and Syst. 1987. Vol. 34. N. 3. PP. 240-253.

10

периодические, квазнпернодические и хаотические колебания, явля-------------

ется мультнстабплыюн, что отражается на плоскости управляющих параметров сосуществованием нескольких листов (которые соответствуют различным колебательным режимам), наложенных друг на друга.

Подробно научена динамика системы вблизи линии бифуркации рождения двумерного тора из предельного цикла. Показано, что поведение генератора "TORUS" в этом диапазоне управляющих параметров весьма сложно и носит мультистабильный характер: листы синхронизации (языки Арнольда) стягиваясь к линии бифуркации, перекрывают как области квазипериодических движений, так и друг друга.

Выявлен самоподобный характер поведения языков Арнольда вблизи этой линии бифуркации: на листе синхронизации происходит бифуркация рождения двумерного тора из предельного цикла "второго порядка" (пара комплексно-сопряженных мультипликаторов периодического режима, существующего на листе синхронизации выходит за единичную окружность на комплексной плоскости), затем на двумерном торе "второго порядка" при изменении управляющих параметров происходит синхронизация, на базе которой затем вновь рождается двумерный тор "третьего порядка" и так далее. Данное поведение системы подтверждается как с помощью непосредственного численного моделирования системы безразмерных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих генератор "TORUS", так и с помощью аналитического метода, изложенного в приложении. Дополнительный контроль (интегрирование с различным шагом по времени, использование различного внутреннего представления данных прн численном моделировании, длительное время счета для того, чтобы выбрать переходный процесс, использование различных программ, обеспечивающих численное интегрирование, соответствие данным, полученным аналитически) позволяет с уверенностью говорить о достоверности полученных результатов. Существование аналогичной последовательности бифуркаций рождения двумерных торов для

генератора с инерционной нелинейностью под внешним воздействием4 позволяет говорить об универсальности описываемого сценария.

В третьей главе содержатся результаты исследования логистических отображений, связанных друг с другом пороговой связью, в которой принципиальную роль играют кусочно-линейные характеристики. Исследовано поведение двух логистических отображений с двунаправленной пороговой связью

?п+1 = х„ [а - xn - s х sgn(yn - у»)],

Уп+i = Уп [а - уп + s х sgn{x„ - я,)],

как численно, так и с помощью радиотехнической модели. Выбор параметров ans осуществлялся таким образом, чтобы каждое из этих логистических отображений по отдельности в отсутствии связи s = 0 не демонстрировало никакой колебательной динамики. Система же из двух связанных отображений s ф 0, в зависимости от выбора управляющих параметров, может демонстрировать как периодические, так и хаотические колебания.

Получено семейство карт режимов на плоскости управляющих параметров х,, у, при различных значениях параметров aas, раскрыт механизм существования колебаний в системе отображений, показано, что при определенных значениях управляющих параметров система становится мультистабилыюй, когда при одних и тех же значениях параметров в системе, в зависимости от начальных условий, реализуются несколько различных режимов колебаний. Более того, увеличение значений параметров ans приводит к тому, что на плоскости управляющих параметров хг, у, появляются области, в которых последовательность значений {хп\уп} неограниченно возрастает по модулю.

Отмечено также, что квадратичный член в системе отображений играет существенную роль и попытка сконструировать лннеиные отображения с пороговой связью по тому же принципу оказывается неу-

4Аиищеико B.C., Летчфорд Т.Е., Сафонова М.А. Эффекты симхрошкзации и бифуркации синхронных и кваоипериоднческих колебаний в неавтономном генераторе.// Иов. вуоов. Радиофиоика. 1985. Т. XXVIII, N 9. С. 1112-1125.

12

дачной: решения нарастают неограниченно и ни о каких колебательных-------

режимах говорить не приходится.

Рассмотрена также одномерная цепочка логистических отображений (полубесконечная или замкнутая в кольцо) с однонаправленной обобщенной пороговой связью (вместо вдп^х) используется функция И1(кх), которая при к —+ оо ведет себя также как зуп(х))

где г — пространственная координата элемента цепочки, а — момент дискретного времени. Если система состоит из N элементов и замнута в кольцо, дополнительно накладывается условие замкнутости

= XI¿[а 1Н[к{хщ - Я*)]]-

Фактически, описанная цепочка представляет собой последовательное однонаправленное соединение бистабильных элементов, у которых переход из одного состояния равновесия в другой происходит за конечный промежуток дискретного времени.

Показано, что в зависимости от значений управляющих параметров внесенное в цепочку внешнее воздействие в виде прямоугольного импульса может начать распространяться почти без искажений с постоянной скоростью в направлении, обусловленном связью (однонаправленной) предыдущего элемента с последующим и в этом случае длительность распространяющегося по цепочке импульса полностью определяется длительностью внесенного возмущения, а амплитуда определяется параметрами цепочки а и е. Подобная ситуация возможна, если передний и задний фронты импульса распространяются с одинаковой скоростью, что, в свою очередь, определяется временем, необходимым для перехода любого элемента цепочки из одного состояния в другое и, в конечном счете, параметрами среды.

Возможно также, что передний фронт импульса распространяется с большей скоростью, чем задний; тогда передний фронт импульса "убегает" от заднего и по цепочке распространяется прямоугольный расширяющийся импульс.

Кроме того, передний фронт импульса может распространяться медленнее, чем задний, и тогда длительность распространяющегося им-

13

пульса будет непрерывно уменьшаться до тех пор, пока оадний фронт импульса не достигнет переднего фронта, что приводит к схлопыванию импульса.

Показано также, что при определенных значениях управляющих параметров существует еще один возможный сценарий распространения внесенного в цепочку возмущения: задний фронт прямоугольного импульса распространяется быстрее, чем передний, однако, когда задний фронт "настигает" передний, окончательного схлопывания импульса не происходит и далее по цепочке распространяется уединенный импульс. Этот импульс является устойчивым в том смысле, что любое начальное возмущение, внесенное в цепочку, через определенный интервал времени (определяемый длительностью начального возмущения) превращается в этот уединенный импульс. Заметим, что уединенный импульс нельзя назвать стационарным (по аналогии со стационарными волнами в непрерывных средах5), т.к. его профили в различные моменты дискретного времени различны.

Показано, что в зависимости от значений управляющих параметров профиль уединенного импульса может изменяться как сложнопериоди-ческим, так и хаотическим образом.

В приложении содержатся необходимые пояснения и математические выкладки, на основе которых проводилось исследование генератора "TORUS". Автор счел необходимым разделить непосредственные результаты исследования, приведенные во второй главе диссертации, и соответствующий математический аппарат.

В {заключении приведены основные результаты проделанной работы.

Основные реоультаты и положения, выносимые на защиту

1. Поведение радиофизического генератора, в котором нелинейный элемент (туннельный диод) заменен его кусочно-линейным аналогом не претерпевает качественных изменений по сравнению с поведением генератора с настоящим туннельным диодом. Карты

5Скотт Э. Волны в активных нелинейных средах в приложении к олектроннке. М.: Сов. радио, 1977.

режимов на плоскости управляющих параметров для двух генераторов оказываются качественно подобными.

2. Предложено отображение нового типа, поведение которого с хорошей степенью точности качественно повторяет динамику радиофизического генератора с кусочно-линейным аналогом туннельного диода на плоскости управляющих параметров.

3. Поведение генератора с кусочно-линейной характеристикой "TORUS" в окрестности линии бифуркации рождения двумерного тора из предельного цикла носит сложный самоподобный характер. Показано, что в системе возможна следующая последовательность смены динамических режимов: квазипериодические колебания —► синхронизация на торе -+ рождение двумерного тора из периодического режима синхронизации -+ очередная синхронизация —► очередное рождение двумерного тора и т.д.

4. Два логистических отображения с двунаправленной пороговой связью демонстрируют поведение, отличное от поведения логистических отображений с "традиционными" типами связей. В зависимости от значений управляющих параметров в системе возможны периодические и хаотические колебания, а также муль-тистабильность.

5. В цепочке логистических отображении с однонаправленной пороговой связью возможно существование уединенного импульса (или последовательности таких импульсов), распространяющегося по цепочке со скоростью, определяемой параметрами дискретной среды-цепочки.

Апробация работы и публикации

Материалы диссертационной работы докладывались на научных семинарах кафедры электроники и волновых процессов СГУ, а также на 3 и 4 Международных школах по стохастическим колебаниям в радиофизике и электронике (Саратов, 1991 и 1994), конференциях "Фундаментальные проблемы физики" (Саратов, 1996), "Современные

15

проблемы электроники и радиофизики СВЧ" (Саратов, 1997). По результатам диссертации опубликованы работы

1. Trubetskov D.I., Koronovskiy A.A., Ponomarenko V.l. Dynamics of the model oscillator with the vacuum microtriode and its piecewise-li-near analogues.// Proc. of the 5th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, NDES'97. Moscow, Russia, 26-27 June. 1997. PP. 252-257.

2. Андрушкевич A.B., Киичатов A.A., Красичков JI.В., Короиовский A.A. Путь к хаосу в кусочио-линеГшой модели генератора на туннельном диоде.// Изв. ВУЗов. ПНД. 1993. Т. 1. N. 1, N. 2. С. 93-103.

3. Короиовский A.A. Дискретное отображение — аналог радиофизического генератора.// Материалы Всероссийской межвузовской конференции "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ". Саратов, 4-8 сентября 1997 г. Изд-во ГосУНЦ "Колледж". С.122.

4. Андрушкевич A.B., Кипчатов A.A., Красичков Л.В., Короиовский A.A. Экспериментальное двупараметрнческое исследование неоднозначных режимов колебаний.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1995. Т. XXXVIII. No 11. СС 1195-1203.

5. Короиовский A.A. Мультипликаторы периодических решений для генератора с кусочно-линейным элементом.// Изв. вузов. ПНД. 1997. Т. 5. N. 2,3. С. 24-34.

6. Кипчатов A.A., Короиовский A.A. Тонкие эффекты самоподобного поведения кусочно-линейной системы вблизи линии бифуркации рождения тора.// Известия вузов. ПНД. 1997. Т. 5. N. 2,3. С. 17-23.

7. Короиовский A.A., Пономаренко В.И., Т^убецков Д.И. Исследование систем с квадратичной нелинейностью и пороговой связью.// Тезисы конференции "Проблемы фундаментальной физики". Саратов. 1996. Изд-во ГосУНЦ "Колледж", с. 126-127.

16

8. Пономаренко В.И.. Короновский A.A. О радиотехническом моделировании социальных уравнении Вайдлнха.// IV Конференция "Нелинейные колебания механических систем" Н.Новгород. 1996. с. 122-123.

9. Короновский A.A., Пономаренко В.П., Т^убецков Д.И. Динамика систем с квадратичной нелинейностью и пороговой свяоыо.// Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22. Вып. 19. с. 60-64.

10. Короновский A.A., Пономаренко В.И., Т^убецков Д.И. Динамика отображений с пороговым типом связи.// Иов. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т. 5. No 2. с. 63-71.

11. Короновский A.A. Одномерная цепочка отображений с однонаправленной пороговой связью.// Письма в ЖТФ. 1997. Т. 23. N 6. с. 61-66.

12. Короновский A.A. Динамика одномерной цепочки логистических отображений с однонаправленной пороговой связью.// Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1996. Т. 4. No 4,5. с. 122-129.

13. Короновский A.A., Т^эубецков Д.И. Нелинейная динамика в действии: Как идеи нелинейной динамики проникают в экологию, экономику и социальные науки. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 1995.

14. Короновский A.A., Т^убецков Д.И. Использование модифицированных уравнений Вайдлиха для моделирования социальных процессов.// Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1996. Т. 4. No 3. с. 31-41.

Личный вклад соискателя

Опубликованные работы написаны либо без соавторов, либо в соавторстве с проф. Т^убецковым Д.И., под руководством которого выполнена диссертация, либо в соавторстве с коллективом исполнителей, в котором Короновскому A.A. принадлежат обоснование и интерпретация полученных результатов.