Стохастические переходы в бистабильных системах, описываемых кусочно-параболическими потенциальными профилями. Точное решение проблемы Крамерса тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

?т в

л ?

На правах рукописи

ПАНКРАТОВ Андрей Леонидович

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В БИСТАБИЛЬНЫХ СИСТЕМАХ, ОПИСЫВАЕМЫХ КУСОЧНО-ПАРАБОЛИЧЕСКИМИ

ПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ ПРОФИЛЯМИ. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ КРАМЕРСА

Специальность 01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Нижний Новгород - 1997

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского (ННГУ).

Научный руководитель доктор физико математических наук, профессор Малахов А.Н.

Официальные оппоненты:

доктор физико математических наук, профессор Кляцкин В.И. кандидат физико математических наук, доцент Музычук О.В.

Ведущая организация Саратовский госуниверситет (Саратов)

Защита состоится " 12. " у/кС№ _1997

час.

на заседании диссертационного совета Д 063.77.09 в Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского по адресу: 603600, Н.Новгород, ГСП-20, пр. Гагарина, 23, корп. 4, радиофизический факультет, ауд.2е/.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского университета.

Автореферат разослан "_ 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Черепенников В.В.

1____________________________________

--------------------------ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию временных характеристик броуновского диффузионного движения в потенциальных полях. Эта проблема была впервые рассмотрена Г.А.Крамерсом (Kramers Н., Physica, 1940, v.7, pp.284-304) с точки зрения скоростей реакций и успешно применяется до сих пор как адекватная модель кинетики процессов перехода различных динамических систем из одного устойчивого состояния в другое через соответствующие потенциальные барьеры. Эта модель широко используется во многих задачах физики, химии и биологии прежде всего для определения скоростей переходов, времен релаксации и времен жизни метастабильных состояний динамических систем при учете флуктуаций. Например, в химии необходимо знать за какое среднее время протекает та или иная химическая реакция. В термодинамике и теории кавитации интересны средние времена жизни метастабильных состояний при фазовых переходах (Зельдович Я.Б., ЖЭТФ, 1942, т.12, сс.525-538). При работе с различными генераторами (в т.ч. и с лазерами) важно знать время выхода на стационарный режим, кроме того, в системах фазовой автоподстройки частоты флуктуации могут существенным образом влиять на их функционирование (Малахов А.Н., Флуктуации в автоколебательных системах. - М.: "Наука", 1968. - 660 сс.). Флуктуации также оказывают большое влияние как на статические (вольт-амперные характеристики) так и на динамические (времена переключений) характеристики быстродействующих логических устройств джозефсоновской электроники (Лихарев К.К., Введение в динамику джозефсоновских устройств. - М.: "Наука", 1985. - 320 сс.). В настоящее время необходимость учета тепловых флуктуаций при разработке джозефсоновских устройств ощущается еще больше по причине перехода к высокотемпературным сверхпроводящим образцам, когда интенсивность флуктуаций возрастает в десятки раз (Likharev К.К., Semenov V.K., Zorin A.B., IEEE Trans. Magn., 1989, v.25, pp.1290-1293).

Все эти задачи могут быть адекватно описаны моделью диффузии броуновских частиц в различных потенциальных профилях, т.е. могут быть описаны уравнением Ланжевена:

£(о dt h dx

где x(t) - координата броуновской частицы, Ф(х) - потенциальный профиль, в котором происходит процесс диффузии, h - эквивалентная вязкость, £(t) - белый гауссов шум, <%О>=0, <£(t) £/(t+x)^=DS(т), D=2kT/h - интенсивность флуктуаций.

При определении временных характеристик эволюции состояний динамических систем с шумами, в зависимости от типа рассматриваемой динамической системы, вводят такие понятия как время релаксации к равновесному состоянию 19, время жизни (распада) метастабильного или нестабильного состояний г.

Наряду с временем релаксации и временем жизни известно понятие среднего времени первого достижения (СВПД) броуновской частицей заданной границы, находящейся в точке х=хгр. При этом граница предполагается поглощающей, что соответствует бесконечно глубокой потенциальной яме, расположенной в точке х^, поэтому частицы, достигшие границы, изымаются из рассмотрения.

Использование СВПД удобно тем, что оно может быть точно получено на основании работы (Понтрягин Л.А., Андронов A.A., Витт A.A., ЖЭТФ, 1933, т.З, сс. 165-180) для потенциальных профилей произвольной формы. Однако, замена времени релаксации или времени жизни метастабильного состояния на СВПД может быть сделана только тогда, когда введение поглощающей границы мало сказывается на процессе броуновского движения в рассматриваемой предграничной области, что сужает класс процессов, которые могут быть проанализированы с использованием СВПД.

Начиная с Крамерса основные результаты рассматриваемой проблемы были получены главным образом для высоких потенциальных барьеров, когда интенсивность тепловых флуктуаций, существующих в дина-

3 _______________

мических системах, предполагается много меньшей потенциальной энергии барьера, благодаря чему поток вероятности через потенциальный барьер можно считать малым и потому постоянным и все рассмотрение вести квазистационарным образом.

Отыскание временных характеристик диффузии для случаев средних и низких потенциальных барьеров, или же когда интенсивность тепловых флуктуаций достаточно велика, требует знания нестационарного решения уравнения Фоккера-Планка (УФП), соответствующего уравнению Ланжевена (1):

¿>lV(x,t) _ 1 д dt ~ В дх

(2)

dx дх

(где <p(x)~<lKx)/kT, B-2/D), с начальными и граничными условиями: W(x,0)=ä(x-xo) и W(±ao,t)=0,

являющегося основным дифференциальным уравнением рассматриваемой проблемы.

Наиболее широко используемый подход к отысканию нестационарного решения уравнения Фоккера-Планка - это метод разложения оператора Фоккера-Планка по собственным функциям и нахождения минимального ненулевого собственного числа, которое и определяет временной масштаб релаксации. Однако, с помощью этого метода удалось получить искомые временные характеристики, справедливые для любой высоты потенциального барьера, лишь для некоторых простейших моделей потенциальных профилей (см., напр., Risken Н., The Fokker-Planck equation. Methods of solutions and applications. - Berlin: Springer-Verlag, 1989. - 472 pp.; Hanggi Р., Talkner Р., Borkovec M., Rev. Mod. Phys., 1990, v.62, pp.251-341).

Другой подход к решению данной проблемы основан на использовании преобразования Лапласа и его свойств для получения искомых временных характеристик. Этим методом Малаховым и Агудовым (Малахов А.Н., Агудов Н.В., Изв. вузов, Радиофизика, 1993, т.36, сс.148-166) были определены точные временные характеристики нестаци-

онарной броуновской диффузии через произвольные кусочно-линейные потенциальные профили для любой высоты потенциальных барьеров.

Необходимо отметить, что кроме упомянутой работы Крамерса кусочно-параболический профиль рассматривался также и в других работах (Larson R.S., Kostin M.D., Journ. Chem. Phys., 1978, v.69, pp.4821-4829; Blomberg C., Physica A, 1977, v.86, pp.49-66). Однако, использованный в этих работах вышеупомянутый метод разложения по собственным функциям не позволил найти решение для произвольной высоты потенциального барьера; полученные приближенные решения и поправки относятся к высоким потенциальным барьерам.

Цель работы. В соответствие с рассмотренным состоянием проблемы определения временных характеристик броуновского движения в потенциальных полях, в настоящей работе были поставлены следующие цели: •

- найти точное нестационарное решение уравнения Фоккера-Планка (УФП) в терминах преобразования Лапласа для случая произвольный кусочно-параболических потенциальных профилей 2-го порядка;

- используя найденное точное решение УФП, на основе предельных теорем преобразования Лапласа, получить точные временные характеристики броуновского движения в кусочно-параболических потенциальных профилях 2-го порядка, справедливые для любой интенсивности тепловых флуктуаций;

- исследуя структуру полученных временных характеристик, попытаться найти подходы для получения точных временных характеристик броуновского движения в кусочно-параболических потенциальных профилях более высоких порядков и в произвольных потенциальных профилях;

- принимая во внимание актуальность учета тепловых флуктуаций при проектировании устройств джозефсоновской электроники, провести анализ влияния флуктуаций на временные характеристики одиночного джо-зефсоновского элемента и бистабильной ячейки памяти на основе одноконтактного СКВИДа.

_____________________________________________________

-------Методы исследований. При решении поставленных задач использовались

методы статистической радиофизики, математической физики, а также численного анализа.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Впервые получено точное решение нестационарного уравнения Фокке-ра-Планка (УФП) в терминах преобразования Лапласа для случая произвольных кусочно-параболических потенциальных профилей 2-го порядка.

2. Для ряда конкретных примеров кусочно-параболических потенциальных профилей 2-го порядка впервые получены точные значения времен жизни метастабильных состояний и времен релаксации бистабильных систем, справедливые для любой интенсивности тепловых флуктуаций.

3. Впервые в пределе большой вязкости точно решена проблема Крамер-са, поставленная еще в 1940 г, для случая кусочно-параболических потенциальных профилей 2-го порядка. Определены пределы применимости широко известной приближенной формулы Крамерса.

4. Впервые определена общая структура времени эволюции неравновесного состояния нелинейной системы с шумом к равновесному и показано, что время эволюции может быть представлено как сумма среднего времени первого достижения некоторой границы и времени релаксации дельта-образного начального распределения, помещенного в граничную точку.

5. Предложен и доказан принцип (названный принципом соответствия), позволяющий находить время релаксации в произвольном симметричном потенциальном профиле через известное среднее время первого достижения границы, находящейся в точке симметрии.

6. Впервые получены точные значения времени жизни сверхпроводящего состояния и времени задержки между входным и .выходным импульсами для одиночного передемпфированного джозефсоновского элемента, справедливые для любой интенсивности тепловых флуктуаций.

7. Впервые найдено время жизни "корректного" состояния джозефсоновс-кой бистабильной ячейки памяти на основе одноконтактного СКВИДа, справедливое для любой интенсивности тепловых флуктуаций, и оценена

его дисперсия. Показано, что такая бистабильная ячейка памяти в действительности менее устойчива к воздействию тепловых флуктуации, чем предполагалось ранее.

Практическая ценность. Полученные в диссертации теоретические результаты могут быть использованы при проектировании устройств джозефсо-новской электроники как в научно-исследовательских учреждениях, например в ИФМ РАН (г. Нижний Новгород), так и в организациях, связанных с практическим использованием и разработкой джозефсоновских систем.

Положения, выносимые на защиту.

1. Новый способ получения точных значений временных характеристик броуновской диффузии в кусочно-параболических потенциальных профилях 2-го порядка и их анализ.

2. Принцип соответствия, позволяющий находить точные значения времен релаксации мультистабильных систем, описываемых произвольными симметричными потенциальными профилями.

3. Анализ влияния тепловых флуктуаций на временные характеристики одиночного передемпфированного джозефсоновского элемента и биста-бильной ячейки памяти на основе одноконтактного.СКВИДа. Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались: на международной конференции "Noise in Physical Systems and 1/f Fluctuations" (Сант-Луис, США, 1993), на международной школе-семинаре "Dynamic & Stochastic Wave Phenomena" (Нижний Новгород .- Москва, Россия, 1994), на 9-ой международной конференции студентов-физиков (Санкт-Петербург, Россия, 1994), на 7-ой международной конференции "Fluctuation Phenomena in Physical Systems" (Паланга, Литва,

1994), на международной конференции аспирантов-физиков "Physique en Herbe'95" (Ницца, Франция, 1995), на 10-ой международной конференции студентов-физиков (Копенгаген, Дания, 1995), на 5-ой международной конференции по сверхпроводниковой электронике (Нагойя, Япония,

1995), на международной конференции по -нелинейной динамике (Саратов, Россия, 1996), на научных конференциях по радиофизике

_____________________________7__________________________________________

ННГУ (Нижний Новгород, 1993-1996), а также на семинарах Института

Физики Микроструктур РАН и кафедры бионики и статистической радиофизики ННГУ.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [1-9], а также в тезисах докладов конференций [10-20]. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Общий объем работы - 156 страниц, включая 123 страницы основного текста, приложение на 2 страницах, 37 рисунков и список литературы из 125 наименований на 15 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ: Во введении дается постановка задачи и обзор современного состояния проблемы определения временных характеристик диффузионного броуновского движения в полях сил Также приведены примеры конкретных задач, которые могут быть оиисаны используя м -ематический аппарат теории броуновского движения, в соответствии с чем определяются цели работы и кратко излагается содержание работы.

В первой глапе получено точное решение нестационарного уравнения Фоккера-Планка (УФП) (2) в терминах преобразования Лапласа:

¿2у(х,«) а

¿х ск

Мх)пх.*)

¿X

-.гЯГ(х„$) = -В<У(х-х0), (3)

(где К(х,5)= [Щх,1)е "А, В=2/Б) для кусочно-параболических потенци-о

альных профилей <р(х) 2-го порядка.

В §1.1 получена общая структура решения УФП в терминах преобразования Лапласа для произвольного кусочно-параболического потенциального профиля 2-го порядка с учетом условий сшивки решений па границах параболических участков, обсуждены различные типы граничных условий.

В §1.2 получено точное решение УФП в терминах преобразования Лапласа для конкретных примеров кусочно-параболических потенциальных профилей 2-го порядка, правильность полученных результатов подт-

верждена при сравнении с известными решениями, а также при переходе к известным предельным случаям.

В §1.3 обсуждаются методы кусочно-полиномиальной интерполяции произвольных потенциальных профилей кусочно-параболическими профилями.

Во второй главе получены точные временные характеристики диффузионного броуновского движения в кусочно-параболических потенциальных профилях 2-го порядка.

В §2.1 изложены основные определения и описан конкретный метод вычисления временных характеристик броуновского движения в потенциальных полях. Характерный временной масштаб броуновского движения

L

определяется как время эволюции вероятности P(l) = jw(x,t)dx нахожде-

—СО

ния частицы в рассматриваемом интервале (-оо, L) от начального значения Р(0) к финальному Р(ю). За время эволюции вероятности принимается длина равновеликого по площади прямоугольника, как было предложено Малаховым и Агудовым (Малахов А.Н., Агудов Н.В., Изв. вузов, Радиофизика, 1993, т.Зб, сс. 148-166):

][Р(0-Р(°°№

-. (4)

Р(0)-Р(<х>)

Показано, что в терминах преобразования Лапласа, определение (4) может быть выражено через решение уравнения (3) У(х,я) в следующем виде:

[Р(0)-/>(«>)]+!

0=lim-koj

«О 4?(0)- Р(оэ)]

Определение (5) достаточно удобно, поскольку позволяет найти требуемые временные характеристики непосредственно из решения Y(x,s) и его производной.

В §2.2 на основании определения (5) получено точное значение времени жизни метастабильного состояния (рассмотренного ранее в упо-

_ dx . dx I ,

9 ________________________

мянутой работе Крамерса), описываемого потенциальным профилем, состоящим из двух парабол с одинаковой крутизной Ь: <р(х)=Ьх2/2, х<1/2;

х)=-Ых-1)7/2+Ы2/4, х>1/2. Из точной формулы для времени жизни получены асимптотические разложения для случаев, когда безразмерный потенциальный барьер а=АФ/кТ~Ы2/4 является высоким, а» 1, и низким, а« 1. В частности, при а» 1 время жизни имеет вид:

п2

ЪП Чл

ехр(-аг / 2)

Я

I 1-3-5 - + ——+•-.

а а

ехр(-а)

2 я4а

а

и полностью подтверждает приближенную формулу Крамерса

тКг = — е", справедливую для высокого барьера. Показано, что формула

¿»О

Крамерса начинает практически работать уже при высоте потенциального барьера а>2, а не при а» 1 как предполагал Крамере. Условие высокого барьера, как это следует из вышеизложенного, корректнее записать как еа » 1, а не а» 1.

В предельном случае низкого потенциального барьера а« 1 получено следующее асимптотическое разложение для времени жизни;

4л- Г1 ¡2 /— 4 + 7Г

г = — ^ — +, — л/а +-а+...

е ¿£>( 4 4л-

В этом случае, когда, разумеется, поток вероятности через барьер не постоянен, формула Крамерса дает завышенный в 4 рала результат.

Также в данном параграфе получены точные значения времен жизни метастабильных состояний для модельных кусочно-параболических потенциальных профилей 2-го порядка с острым и гладким потенциальными барьерами и поглощающими границами на вершинах барьеров. Проведено сравнение полученных временных характеристик со средними временами первого достижения границ.

В §2.3 получены точные времена релаксации бистабильных систем, описываемых модельными кусочно-параболическими потенциальными профилями 2-го порядка. Проведено сравнение полученных временных характеристик с известными приближенными результатами, на основании

чего оценена область применимости последних. Исследовано влияние формы, высоты и ширины потенциальных барьеров на временные характеристики диффузионного броуновского движения, сделаны выводы и обобщения. В частности, рассмотрены симметричные бистабильные потенциальные профили с острым, гладким и плоским барьерами. Из точных формул для времен релаксации получены асимптотические разложения для случаев, когда безразмерный потенциальный барьер а является высоким, а» 1, и низким, а« 1.

Для случая, когда потенциальный барьер является достаточно высоким, а» 1, время релаксации для острого (sharp), гладкого (smooth) и плоского (flat) барьеров равно, соответственно:

* ЪО 4а "00 " bD

В этих формулах естественно выделяется фактор Крамерса е", дающий основной вклад высокого барьера в значение времени релаксации. Префактор отражает зависимость времени релаксации от конкретной формы потенциальной ямы и потенциального барьера.

Для низких потенциальных барьеров, аг«1, времена релаксации имеют следующий вид:

в* = + а+'"1' в'т " ЪБУ**"+2а+"1,вл= И2^™ + 4а+"']'

Легко видеть, что разница между этими значениями времен релаксации только численная. Она легко может быть объяснена, если принять во внимание различную ширину потенциальных барьеров как расстояния от минимумов потенциальных ям до вершин потенциальных барьеров w. Если мы зафиксируем ширину барьеров wsf,=wsm=wff=zv=l, предполагая различными высоты барьеров, ash=bl2/2, asm=bl}/4, ap=bl2/8, то времена релаксации для всех трех случаев низкого барьера станут одинаковыми:

0 = ^ bD

г- Vi bwz . л/2 2

Таким образом, в случае малой высоты барьера основной вклад во время релаксации дает именно ширина барьера, а форма не играет замет-

11 _____

-ной роли. Лишь по мере возрастания^высоты барьера начинает сказываться его форма.

В третьей главе получены точные временные характеристики броуновского движения в произвольных потенциальных профилях.

В §3.1 исследована общая структура времени эволюции неравновесного состояния нелинейной системы с шумом к равновесному и показано, что время эволюции может быть представлено как сумма среднего времени первого достижения некоторой границы х=Ь и времени релаксации начального распределения, помещенного в граничную точку Ь: в(хо,Ь)=Т(х0,Ь)+в(Ь,Ь), где Т(х0,Ь) - среднее время первого достижения, х0 - координата первоначального распределения.

Такое представление времени эволюции достаточно удобно, поскольку СВПД может быть вычислено для произвольных потенциальных профилей, а слагаемым в(Ь,Ь) зачастую либо вообще можно пренебречь, либо можно найти его приближенно, либо оно просто равно нулю (если, например, потенциальный профиль симметричен относительно точки Ь, см. §3.2).

В §3.2 предложен и доказан принцип соответствия, позволяющий находить время релаксации в произвольном симметричном потенциальном профиле через среднее время первого достижения границы Т(хо,Ь), находящейся в точке симметрии х-Ь, которое может быть выражено в квадратурах для произвольного потенциального профиля: ОСх1),Ь)=Т(хо,Ь).

В §3.3 с использованием принципа соответствия получены точные времена релаксации в симметричных бистабильных потенциальных профилях 4-го порядка. Проведено сравнение полученных временных характеристик с известными приближенными результатами, на основании чего оценена область применимости последних.

В четвертой главе проведен анализ влияния флуктуаций на временные характеристики одиночного джозефсоновского элемента и бистабильной ячейки памяти на основе одноконтактного СКВИДа.

Параграф 4.1 является введением к четвертой главе. В нем обсуждается актуальность проблемы анализа влияния тепловых флуктуаций на устройства джозефсоновской электроники.

В §4.2 получены точные значения времени жизни сверхпроводящего состояния и времени задержки между входным и выходным импульсами для одиночного передемпфированного джозефсоновского элемента, справедливые для любой интенсивности тепловых флуктуаций у. Результаты получены как при кусочно-параболической аппроксимации, так и непосредственно для наклонного косинусоидального потенциального профиля и(у/)=1 -со$(ц1~)-1 у/, где у> - разность фаз параметра порядка, г=///с, I -ток, текущий через джозефсоновский переход, а 1С - критический ток перехода. Время жизни сверхпроводящего состояния и время задержки между входным и выходным импульсами на основании формулы (5) определялись как время перехода разности фаз у/ из начального состояния щ за границы интервала (у/), у/^), у\<у!0<^2- Получены асимптотичесикие разложения временных характеристик для случаев малой и большой интенсивности тепловых флуктуаций у. Показано, что в зависимости от величины тока, протекающего через переход, и интенсивности тепловых флуктуаций, флуктуации могут как уменьшать, так и увеличивать время задержки г между входным и выходным импульсами:

1 1

1 i 2 (i tan(x / 2) -1 г = ——■< .—— arctan -, —

«с IVi^T I V^T

\

+ Г

/

Vi

3cos2 x sinx

2(i'-sin(e2)2 2(i — siny^0)2

(i- sinx)5 (i- sinx)4 где (oc - критическая частота джозефсоновского перехода. В случае, когда интенсивность флуктуаций равна нулю, у=0, полученная формула полностью совпадает с динамическим (полученным без учета флуктуаций) временем задержки (см. Migny P., Plasais В., Electron. Lett., 1982, v.18, pp.777-779).

В параграфе 4.3 получено среднее в и оценена дисперсия D времени жизни "корректного" состояния джозефсоновской бистабильной ячейки

памяти на основе одноконтактного СКВИДа, справедливые для любой интенсивности тепловых флуктуации. Результаты получены при кусочно-параболической аппроксимации потенциального профиля и( ц/)=1-со.\( у/)Ч (//- 1{/с)2/21, при значениях 1//с=л", 3</<8 (когда потенциальный профиль и(ц/) является бистабильным и симметричным), где у=2пФ/Фо, Ф - магнитный поток через сверхпроводящее кольцо, Фо~2.07*10Вб -квант магнитного потока, величина у/г описывает внешний магнитный поток. Получены асимптотические разложения среднего и дисперсии для случая малой интенсивности флуктуации у« 1 («=Л/у - безразмерная вы-

Показано, что такая бистабильная ячейка памяти в действительности менее устойчива к воздействию тепловых флуктуаций, чем предполагалось ранее. Этот вывод подтверждается как тем, что среднее время жизни "корректного" состояния в 2 раза меньше, чем значение, следующее из обычно используемой формулы (см. Likharev К.К., Int. Journ. of Theor. Phys., 1982, v.21, pp.311-326), так и тем, что оценочное значение дисперсии времени жизни достаточно велико, благодаря чему высока вероятность спонтанного распада "корректного" состояния за время t, меньшее среднего времени жизни.

В заключении приводятся основные результаты работы и следующие из них выводы.

Основные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Впервые получено точное решение нестационарного уравнения Фокке-ра-Планка (УФП) в терминах преобразования Лапласа для случая произвольных кусочно-параболических потенциальных профилей 2-го

сот а потенциального

крутизна вершины

барьера и дна ямы, L - координата вершины барьера):

(? = — е", D=<92, у«\.

асос

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

порядка [1,2,5]. Для ряда конкретных примеров кусочно-параболических потенциальных профилей 2-го порядка впервые получены точные значения времен жизни метастабильных состояний и времен релаксации бистабильных систем, справедливые для любой интенсивности тепловых флуктуаций [1,2,5,10-14,16]. Проведен сравнительный анализ полученных временных характеристик, на основании чего могут быть сформулированы следующие общие замечания о зависимости в(а) -времени релаксации бистабильных кусочно-параболических систем от • безразмерной высоты потенциальнЬго барьера а:

• Множитель Крамерса е" появляется в (Ка) только для высокого барьера, когда еа » 1.

• При низком потенциальном барьере а« 1 время релаксации зависит главным образом от ширины барьера.

• Непараболичность высокого потенциального барьера отражается на отклонении вСа) от закона Крамерса в(а)~ еа. По характеру отклонения можно судить о форме потенциального барьера. Для высоких потенциальных барьеров в префакторах могут быть выделены множители, отвечающие за форму потенциальной ямы, за форму потенциального барьера и за ширину барьера.

2. Впервые в пределе большой вязкости точно решена проблема Крамерса для случая кусочно-параболических потенциальных профилей 2-го порядка. Определены пределы применимости широко известной приближенной формулы Крамерса для времени жизни метастабильного состояния [1,5,10-12,14,16].

3. Определена общая структура времени эволюции неравновесного состояния нелинейной системы с шумом к равновесному и показано, что время эволюции может быть представлено как сумма среднего времени первого достижения некоторой поглощающей границы и времени релаксации начального распределения, помещенного в граничную точку [8].

4. Предложен и доказан принцип соответствия, позволяющий находить время релаксации в произвольном симметричном потенциальном про-

15_______________________________________

-----------филе через среднее время первого достижения границы, находящейся в

точке симметрии, которое может быть выражено в квадратурах для произвольного потенциального профиля [3,13,15,20].

5. Впервые получены точные значения времени жизни сверхпроводящего состояния и времени задержки между входным и выходным импульсами для одиночного передемпфированного джозефсоновского элемента, справедливые для любой интенсивности тепловых флуктуации. Обнаружен и объяснен эффект увеличения времени задержки между входным и выходным импульсами при увеличении интенсивности тепловых флуктуаций [4,6,7,17-19].

6. Найдено время жизни "корректного" состояния джозефсоновской бис-табильной ячейки памяти на основе одноконтактного СКВИДа, справедливое для любой интенсивности тепловых флуктуаций и оценена его дисперсия. Показано, что такая бистабильная ячейка памяти в действительности менее устойчива к воздействию тепловых флуктуации, чем предполагалось ранее [9].

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Малахов А.Н., Панкратов А.Л. Временные характеристики диффузии через произвольный кусочно-параболический потенциальный профиль. Точное решение. - 1994. - Деп. ВИНИТИ 8.08.1994, N 2057-В94.

2. Малахов А.Н., Панкратов А.Л., Времена стохастических переходов в бистабильных кусочно-параболических системах с шумом / / Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика. - 1995. - т.З. - N3. - С.70-79.

3.Малахов А.Н., Панкратов А.Л., Точное значение времени релаксации динамической системы с шумом, описываемой произвольным симметричным потенциальным профилем // Известия вузов. Радиофизика -1995 - т.38. - N 3-4. - С.256-261.

4. Малахов А.Н., Панкратов А.Л., Влияние тепловых флуктуаций на задержку включения джозефсоновского элемента с малой емкостью // Сверхпроводимость: физика, химия; техника - 1995. - т.8. - N 2. -С.295-305.

5. Malakhov A.N., Pankratov A.L., Exact solution of the Kramers' problem for piese-wise parabolic potential profiles // Physica A - 1996. - v.229. -N 1. - P. 109-126.

6. Malakhov A.N., Pankratov A.L., Influence of thermal fluctuations on time characteristics of single Josephson element with high damping. Exact solution // Physica С - 1996. - v.269. - P.46-54.

7. Панкратов A.JI., Влияние тепловых флуктуаций на быстродействие джозефсоновских цифровых устройств с малой.емкостью // Вестник Нижегородского госуниверситета. Сборник научных трудов аспирантов, ННГУ, Н.Новгород, - 1995. - С.62-65.

8. Панкратов А.Л., О структуре времени эволюции неравновесного состояния нелинейной системы с шумом // Сборник научных трудов Нижегородского госуниверситета. Серия: "Современные проблемы радиофизики", Издательство ННГУ, Нижний Новгород. - 1996. - С. 104106.

Э.Панкратов А.Л., Влияние флуктуаций на устойчивость функционирования джозефсоновской бистабильной ячейки памяти // Вестник ВВО АТН, Серия: Высокие технологии в радиоэлектронике - 1996. - N 1. -С. 149-153.

lO.Agoudov N.V., Malakhov A.N., Pankratov A.L. Brownian motion through potential barriers with different shape, width and height. // 12th Int. Conf. "Noise in Physical Systems and 1/f Fluctuations" St. Louis, USA, August 1993, AIP Conference Proceedings N 285 - 1993. -P.651-656.

Н.Малахов A.H., Панкратов А.Л., Броуновское движение в параболических потенциальных полях. Границы применимости результатов Г.А.Крамерса. // Научная конференция по радиофизике ННГУ, Нижний Новгород, 1993, Сборник трудов конференции. - 1993. - С.36-37.

12.Pankratov A.L. Kramers' problem: exact solution // Int. Conf. of Physics Students'94, St.-Petersburg, August 1994, Conf. Proc. - 1994. -P.188-190.

__ 13.Malakhov A.N., Pankratov A.L., Exact relaxation time characteristics of nonstationary diffusion in bistable piece-wise parabolic wells // Second Int. Scient. School-Seminar "Dynamic & Stoch. Wave Phenomena", Nizhny Novgorod - Moscow, June 1994, Abstracts - 1994. - P.89.

14.Malakhov A.N., Pankratov A.L., The exact solution of the escape rates from parabolic metastable states with any barrier height // 7-th Vilnius Conference "Fluctuation Phenomena in Physical Systems", Palanga, Lithuania, October 1994, Conf. Proc., - 1994. - P.233-238.

15.Малахов A.H., Панкратов А.Л., О дуальности временных масштабов для симметричных потенциальных профилей бистабильных динамических систем с шумами / / Научная конференция по радиофизике ННГУ, Нижний Новгород, 1994, Сборник трудов конференции. - 1994. - С.3-5.

16.Pankratov A.L., Brownian motion in nonlinear physical systems described by piecewise parabolic potential profiles of the second and higher orders // Europ. Conf. "Physique en Herbe'95", Nice, France, July 1995, Abstracts - 1995. - P.SDNL23/0.

17.Pankratov A.L., Influence of thermal fluctuations on turn-on delay for a single Josephson element. Parabolic approximation // 10th Int. Conf. of Physics Students, Copenhagen, Denmark, August 1995, Conf. Proceed. -

1995. - P.47-48.

18.Malakhov A.N., Pankratov A.L., Influence of thermal fluctuations on turn-on delay for Josephson logic devices with high damping // ISEC'95, Nagoya, Japan, 1995, Extended Abstracts - 1995. - P.510-512.

19.Malakhov A.N., Pankratov A.L., The exact life time of the metastable state in the tilted cosinusoidal potential profile // International Conference of Nonlinear Dynamics, Saratov, Russia, July 1996, Book of abstracts - 1996. - P. 119.

20.Pankratov A.L., The relaxation time exact value of a dynamical system with noise described by an arbitrary symmetric potential profiles / / International Conference of Nonlinear Dynamics, Saratov, Russia, July

1996, Book of abstracts. - 1996. - P.135.

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Введение. 4

Глава 1. Аналитическое решение уравнения броуновской диффузии в терминах преобразования Лапласа в кусочно-параболическом потенциальном профиле второго порядка. 21

1.1. Постановка задачи и общее решение. 21

1.2. Примеры. 32

1.3. Методы кусочно-параболической аппроксимации произвольных потенциальных профилей. 44

Глава 2. Временные характеристики эволюции плотности вероятности в кусочно-параболических потенциальных профилях. 48

2.1. Используемый метод и основные определения. 48

2.2. Времена жизни метастабильных состояний. Точное

решение проблемы Крамерса. 52

2.3. Времена релаксации бистабильных систем. 67 Глава 3. Некоторые результаты по временным характеристикам броуновской диффузии в произвольных потенциальных профилях. 81

3.1. О структуре времени эволюции неравновесного

состояния нелинейной системы с шумом. 81

3.2. Принцип соответствия. 86

3.3. Примеры. 92 Глава 4. Временные характеристики нестационарных процессов в задачах джозефсоновской электроники. 99

4.1. Введение. 99

4.2. Влияние флуктуаций на одиночный передемпфированный джозефсоновский элемент. 103

4.3. Влияние флуктуаций на устойчивость функционирования джозефсоновской бистабильной ячейки памяти. 128

Заключение. 138

Приложение. 140

Список литературы. 142