Собственно-энергетические поправки в квантовой электродинамике многозарядных ионов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 539 182

ЕРОХИН Владимир Анатольевич

СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПОПРАВКИ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ МНОГОЗАРЯДНЫХ ИОНОВ

специальность 01 04 02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена на кафедре квантовой механики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант

ШЛБАЕВ Владимир Моисеевич, доктор физ -мат наук, проф

Официальные оппоненты

КАРШЕНБОЙМ Савелий Григорьевич, доктор физ -мат наук, ПАЛЬЧИКОВ Виталий Геннадьевич, доктор физ -мат наук, ШЕРСТЮК Алексой Иванович, доктор физ -мат наук, проф.

Ведущая организация

Санкт-Петербургский институт ядерной физики им Б П Константинова РАН (ПИЯФ РАН)

Защита состоится »2035 года в часов в ауд главного здания на заседании диссертационного совета Д 212 232 24 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб ,

Отзывы на автореферат просьба присылать по адресу 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Ульяновская ул , д 1, НИИФ СПбГУ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им М Горького Санкт-Петербургского государственного университета

Д 7/9

Автореферат разослан "

Ученый секретарь диссертационного совета профессор

А К Щекин

¿¡¡мт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Значительный прогресс в области экспериментальной спектроскопии многозарядных ионов, достигнутый за последнее время, выдвинул в число первоочередных задач атомной физики проблему прецизионных расчетов квантовоэлектродинамических (КЭД) поправок к уровням энергии таких систем В настоящее время точность измерения спектральных характеристик многозарядных ионов настолько высока, что на повестку дня ставится вопрос о проверке квантовой электродинамики во втором порядке по постоянной тонкой структуры а Важность этой задачи определяется тем, что проверка будет производиться в новой области - области сильного кулоновского поля С практической точки зрения, кулоновское поле, в котором находится электрон в водородоподобном ионе урана, является одним из наиболее сильных электрических полей, доступных для прецизионного экспериментального изучения в настоящее время Поэтому проверка предсказаний квантовой электродинамики в таких условиях является особенно важной.

Другие обстоятельства, обуславливающие большой интерес к расчетам КЭД эффектов в атомных системах, связаны с высокой точностью имеющихся экспериментальных результатов и динамикой развития исследований в этой области На сегодняшний день расчеты КЭД эффектов и сравнение теоретических данных с экспериментальными позволяют получать наиболее точные результаты для ряда фундаментальных и ядерных констант (постоянная тонкой структуры, масса электрона, отношение масс электрона и протона, радиус протона) С другой стороны, знание КЭД эффектов в атомных системах, в совокупности с высокоточными экспериментальными результатами, позволяет осуществлять поиски новой физики вне рамок стандартной модели Несмотря на то, что характерный уровень энергий в атомных системах на много порядков меньше, чем на современных ускорителях, достижимая экспериментальная и теоретическая точность делает рассматриваемые системы весьма перспективным объектом для таких поисков __________

1РОС. национальная ! библиотека I

' I ■■ ими» /т

Среди наиболее важных экспериментальных результатов в области спектроскопии тяжелых многозарядных ионов следует отмстить измерение энергии 2р1^-2$ перехода в литиеподобном ионе урана [1| В этом эксперименте энергия перехода была найдена с точностью О 1 эв, что на порядок меньше, чем величина КЭД эффекта второго порядка по а Эта работа во многом мотивировала начало теоретических расчетов КЭД поправок второго порядка в области сильного внешнего поля С тех пор прецизионные экспериментальные результаты были получены также для ряда других литиеподобных ионов В тяжелых водородоподобных ионах экспериментальная точность оказывается несколько хуже, чем в ионах с несколькими электронами, что объясняется тем, что соответствующие переходы лежат в области жесткого рентгеновского диапазона Тем не менее, точность измерения лэмбовского сдвига основного состояния в водоро-доподобном ионе урана была увеличена за последнее десятилетие в 10 раз и в настоящее время составляет 13 эв (около 5% от полного КЭД вклада) ¡2] В ближайшем будущем планируется увеличение точности до уровня 1 эв, что сделает эксперимент чувствительным к КЭД эффектам второго порядка

Еще один важный класс экспериментов состоит в определении д-фактора электрона в водородоподобном ионе Величиной, непосредственно измеряемой в эксперименте, является комбинация (д М/гп), где М - масса иона, т - масса электрона и д - д-фактор электрона Важность данного эксперимента состоит в том, что он открывает возможности для независимого определения массы электрона Наиболее точное на настоящий день измерение выполнено для иона углерода [3] Относительная точность соответствующего результата составляет 5хЮ-10, что в 4 раза лучше, чем точность общепринятого значения массы электрона [4]

Прецизионное экспериментальное изучение осуществляется сегодня также и для сверхтонкой структуры (СТС) уровней тяжелых ионов Первым высокоточным экспериментальным результатом в этой области явилось измерение длины волны перехода между компонентами СТС основного состояния в водородоподобном ионе висмута 209В182+ [5] Погрешность этого экспериментального результата

на три порядка меньше соответствующего КЭД вклада К сожалению, непосредственное теоретическое исследование СТС уровней во-дородоподобных ионов затрудняется большим вкладом ядерных эффектов, прежде всего, эффекта распределения магнитного момента по ядру (эффект Бора-Вайскопфа) Достижимая на сегодняшний день точность теоретического описания эффекта Бора-Вайскопфа невелика и находится на уровне полного КЭД вклада Тем не менее, оказывается возможным ввести [6] специфическую разность интервалов СТС водородо- и литиеподобных ионов, которая может быть теоретически описана с точностью на уровне нескольких процентов от полного КЭД вклада (вследствие сокращения ядерных эффектов) Это открывает перспективы для проверки КЭД эффектов в СТС тяжелых ионов Подобная проверка представляется особенно важной, так как, вследствие большой сингулярности оператора взаимодействия электрона с магнитным полем ядра 1 /г2), характерная область взаимодействия оказывается в данном случае гораздо ближе к ядру, чем для лэмбовского сдвига или ^-фактора Тем самым проверка предсказаний квантовой электродинамики производится в эффективно более сильном поле

С теоретической точки зрения, ситуация сильного внешнего поля соответствует тому, что разложение по параметру у/с ~ '¿а (2 - заряд ядра), которое является традиционным инструментом исследований КЭД эффектов в слабосвязанных системах, становится неприменимым В этом случае рассмотрение должно включать взаимодействие электрона с ядром во всех порядках. Это достигается использованием представления Фарри, ядро при этом считается бесконечно тяжелой классической частицей (приближение внешнего поля)

Целью диссертации является исследование собственно-энергетических поправок в первом и втором порядках по постоянной тонкой структуры а и во всех порядках по внешнему полю (параметру 2а) для ионов с одним и несколькими электронами

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем

1 Выполнено вычисление полного набора диаграмм двухпетлевой собственной энергии для основного состояния водородоподоб-ных ионов без разложения по параметру 2а Получены наиболее точные теоретические значения для лэмбовского сдвига основного состояния водородоподобных ионов с зарядом ядра 2 >40

2 Для части двухпетлевой собственной энергии, т н поправки пет-ля-за-петлей. выполнен численный и аналитический расчет ведущего логарифмического члена разложения по параметру 2а Продемонстрировано согласие между численным и аналитическим подходами и проанализировано отличие результатов от полученных другими авторами

3 Произведен прецизионный расчет собственно-энергетической поправки к р-фактору связанного электрона в водородоподобном ионе для случая и 25 состояний Получены наиболее точные теоретические значения для р-фактора водородоподобных ионов

4 Выполнен расчет двухчлектронной собственно-энергетической поправки к уровням эиергии гелиеподобных и литиеподобных ионов во всех порядках по параметру 2а Получены наиболее точные теоретические значения для уровня энергии основного состояния тяжелых гелиеподобных ионов и для энергии 2р!/2-2й перехода в тяжелых литиеподобных ионах

5 Произведено вычисление собственно-энергетической поправки к сверхтонкому расщеплению уровней и 2з состояний водородоподобных ионов без разложения по параметру 2а. Продемонстрировано хорошее согласие полученных значений с результатами расчетов, основанных на разложении по параметру и выделен вклад высших порядков Получены наиболее точные значения для собственно-энергетической поправки к сверхтонкому расщеплению в водороде и ионе Не+

Научная новизна проведенных исследований определяется следующими положениями

1 Вычисление двухпетлевой собственно-энергетической поправки является на сегодняшний день наиболее сложной расчетной задачей в квантовой электродинамике многозарядных ионов, выполненной во всех порядках по Za Это определяется тем, что все другие расчеты КЭД поправок второго порядка производились посредством обобщения схем, разработанных для первого порядка, в то время как настоящий расчет не сводится к такому случаю Впервые вычисление без разложения по 7>а выполнялось для диаграмм, содержащих перекрывающиеся расходящиеся подграфы и парциальное разложение по двум независимым параметрам

2 Вычисление ведущего логарифмического вклада, выполненное для поправки петля-за-петлей, позволило разрешить дискуссию, существовавшую в литературе Неясность ситуации была обусловлена тем, что значение для коэффициента при ведущем логарифмическом члене разложения по этой поправки оказывалось различным в численном и аналитическом расчетах Проведенные вычисления восстановили согласие численного и аналитического подходов

3 Прецизионное вычисление однопетлевой собственно-энергетической поправки к ^-фактору связанного электрона в водородо-подобных ионах привело, в совокупности с другими поправками, к существенному увеличению точности теоретических значений для р-фактора Сравнение с экспериментальными данными позволило произвести независимое определение массы электрона с точностью, в 4 раза превышающей точность общепринятого значения

4 Расчет двухэлектронной собственно-энергетической поправки был использован для получения наиболее точных теоретических значений для энергии 2рф-2з перехода в литиеподобных ионах и двухэлектронной части энергии основного состояния ге-лиеподобных ионов В результате было существенно улучшено согласие с экспериментальными данными В случае литиепо-добного урана сравнение теоретических расчетов с эксперимен-

тальными данными позволило произвести проверку КЭД эффектов второго порядка на уровне 15% На сегодняшний день это наиболее точная проверка предсказаний КЭД в области сильного внешнего поля

5 Произведенное вычисление собственно-энергетической поправки к сверхтонкой структуре водородоподобных ионов было использовано для получения наиболее точных теоретических значений сверхтонких интервалов основного состояния водородоподобных и литиеподобных ионов Полученные результаты были также использованы для уточнения теоретических значений сверхтонкого расщепления в водороде, дейтерии и ионе Не+

Научная и практическая ценность проведенных исследований В диссертации разработан последовательный подход для расчета собственно-энергетических эффектов в спектрах многозарядных ионов без разложения по параметру 2а. Были выполнены расчеты собственно-энергетических поправок к лэмбовскому сдвигу, сверхтонкому расщеплению и электронному ^-фактору в ионах с одним и несколькими электронами Полученные результаты использованы для уточнения теоретических значений для уровней энергии и д-факторов в таких системах В ряде случаев было существенно улучшено согласие теоретических результатов с экспериментальными данными

Вычисление диаграмм двухпетлевой собственной энергии явилось наиболее сложной расчетной задачей, выполненной в данной области за последнее время Разработанная схема расчета открывает возможности для вычисления других двухпетлевых КЭД эффектов в атомных системах. Актуальность подобных расчетов определяется тем, что двухпетлевые КЭД поправки определяют теоретическую погрешность в целом ряде важных случаев, в частности, в лэмбов-ском сдвиге в водороде и в электронном д-факторе в водородоподоб-ном углероде

Апробация работы Результаты работы докладывались на XV конференции по атомной спектроскопии (Москва, 1996), на международных конференциях по высокоэнергетичным атомным столкнове-

ниям (Riezlcrn, Германия, 1998), по многозарядным ионам (Bernsheim, Германия, 1999, Caen, Франция 2002), по релятивистским эффектам в физике и химии (Maratea, Италия, 1999), по прецизионной физике простых атомных систем (Castiglione délia Pescaia, Италия, 2000, С Петербург, 2002), по атомной физике на ускорителях (Ajaccio, Франция, 2000), а также на семинарах Института Тяжелых Ионов (Дармштадт, Германия), Технического Университета Дрездена (Германия), Университета Гиссена (Германия), Университета Варшавы (Польша), СПбГУ и ПИЯФ (Гатчина)

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 23 научных статьях в реферируемых журналах и изданиях

Объем и структура диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и трех приложений Изложение дается на 164 страницах машинописного текста и содержит 14 рисунков и 20 таблиц Список литературы включает в себя 223 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы исследования, сформулированы основные задачи диссертации, кратко изложено содержание диссертации по главам, перечислены основные положения, выносимые на защиту В диссертации используются релятивистские единицы (Л = с = 1) и Хэвисайдовы единицы заряда (а = е2/4тг, е < 0)

Первая глава посвящена исследованию собственно-энергетической поправки первого порядка по постоянной тонкой структуры а к уровням энергии водородоподобных ионов В начале главы дается краткий обзор и сравнительный анализ различных методов, используемых для расчета этой поправки без разложения по параметру Za Детальное изложение приводится для одного из методов расчета собственно-энергетической поправки, тн метода потенциального разложения ¡7, 8] Описанный подход является основой для последующего рассмотрения собственно-энергетических эффектов в более высоких порядках теории возмущений

=

Рис 1 Представление для однопетлевой собственно-энергетической поправки, в котором выделено два первых члена разложения по степеням взаимодействия с кулоновским полем ядра Двойная линия соответствует электрону в поле ядра, одинарная линия обозначает свободный электронный пропагатор, пунктирная линия обозначает кулоновское взаимодействие с ядром

Сдвиг энергии электрона в состоянии а, обусловленный поправкой на собственную энергию в первом порядке по а, дается матричным элементом перенормиронанного оператора собственной энергии

Д£зе= <«Ь°ёЫ|а), (1)

где Е(е) = Е(е) — ¿т'1' обозначает однопетлевой контрчлен

перенормировки массы, а оператор собственной энергии определен выражением

Е^ХьХг) = 2гау° с/ш £""(и),х12) - и;,хь х2) £*„ ,(2)

00

й есть функция Грина уравнения Дирака С7(е) = [е — Н(1 — гО)]~', Н обозначает Гамильтониан уравнения Дирака с кулоновским потенциалом, Л*1" есть фотонный пропагатор, а** = (1, а) - матрицы Дирака, Х12 = Х[ - Х2

В рассматриваемом подходе, ультрафиолетовые (УФ) расходимости в выражении для собственно-энергетического оператора выделяются путем разложения пропагатора связанного электрона в ряд по степеням взаимодействия с внешним полем

1 1 1 _ 1

е4г 2-+ (3)

ф — — т ф — т ф — т ф — т гдеф = трр**, а Ас означает внешний (в нашем случае скалярный) потенциал еАс(х) = (0) Разложение по степеням внешнего поля для собствеино-эиергетической поправки графически представлено на Рис 1 Учитывая, что только первые два члена этого разложения содержат УФ расходимости, можно получить следующее представление для собственно-энергетической поправки

АЕ5е = <а| 7°е£>| а) + (а| 7°Е<5>| а) + <а| 7°Е<2+>| а), (4)

где верхний индекс обозначает порядок соответствующего члена разложения, а индекс Я указывает на то, что берется только УФ-конеч пая часть вклада. Первые два члена в правой части этого выражения (называемые далее 0- и 1-потенциальными членами) содержат только свободные электронные пропагаторы и вычисляются в импульсном представлении с помощью стандартной техники свободной квантовой электродинамики Последний член в формуле (4) (многопотенциальный вклад) содержит связанный электронный пропага-тор, но не содержит УФ расходимостей, поэтому для его вычисления может быть использовано координатное представление

Далее иллюстрируется выполнение интегрирований по угловым переменным и приведение общих выражений к виду, пригодному для численного расчета После этого, на примере собственно-энергетической поправки первого порядка обсуждается ряд моментов, которые являются общими для расчета всех собственно-энергетических эффектов, в том числе и в высших порядках теории возмущений Рассмотрены различные способы выбора контура интегрирования по частоте виртуального фотона в комплексной плоскости Кратко обсуждены различные подходы к вычислению релятивистской кулоновской функции Грина в расчетах собственно-энергетических поправок Изложен вариант стандартной схемы перенормировки, в котором энергия рассматриваемого состояния в 1-потенциалыюм члене заменяется на свободный параметр, который может выбираться исходя из удобства практических вычислений

В заключении главы приводится сравнительный анализ вычислений собственно-энергетической поправки первого порядка в двух различных калибровках, а также результаты расчетов для высоковозбужденных состояний водородоподобных ионов

Вторая глава посвящена исследованию собственно-энергетической поправки в присутствии внешнего поля, которое предполагается слабым и учитывается в первом порядке теории возмущений Предполагается, что внешнее возмущение не обладает сферической симметрией При наличии симметрии, дополнительный потенциал может быть включен в нулевое приближение и задача сводится к

проблеме расчета собственно-энергетической поправки первого порядка в потенциале, отличном от кулоновского

Обозначим возмущающее взаимодействие через 5V --■- еаМ*х\ где Ае*1 — (Л"1, A5Xt) есть векторный потенциал Общие выражения для собственно-энергетической поправки в присутствии дополнительного взаимодействия ¿V могут быть легко получены из формул (1) и (2) как поправки к волновой функции, энергии и электронному пропагатору Эти три члена называются, соответственно, неприводимимым ("ir"), приводимым ("red") и вершинным ("ver") вкладами и даются (в первом порядке теории возмущений) следующими формулами

Д£,г = (5а) 7°Цеа)| а) + (а\ 70Е(еа)| 5а) , (5)

I а) > (6)

О

гтг-'-оо П1„2(£о-Ы -uení)(ea-ш - ие^)

где

п €а £п

5еа = (а| а), /(ы) = е2ама„£»"/(и>), а и = 1 + гО.

Далее обсуждается перенормировка общих выражений Неприводимый вклад ДЕ,Г выражается через недиагональные матричные элементы собственно-энергетического оператора, перенормировка которого исследована в предыдущей главе Для ковариантиого извлечения УФ особенностей в приводимом и вершинном членах, из них выделяются вклады свободных пропагаторов Соответствующие части называются О-потенциальными, а остатки многопотенциальными вкладами

ДЕт = + Д£^г+>, (9)

АЕп а = АЕ^ + ЛЕ^, (10)

где верхний индекс обозначает порядок соответствующего вклада по взаимодействию с кулоновским потенциалом ядра О-потенциальные

вклады содержат только свободные электронные пропагаторы, и поэтому могут вычисляться в импульсном представлении Демонстрируется выделение УФ особенностей в ЛЕ^г и Л и их сокращение в сумме

Далее исследуются инфракрасные (ИК) расходимости, присутствующие в членах ДЕ^ и Д-Е^сТ' ИК расходимости могут возникать, когда энергии промежуточных состояний в спектральном разложении связанных электронных пропагаторов совпадают с энергией начального состояния (В частности, интеграл по ш в формуле (7) является расходящимся при а/ —> О, когда ещ = еП2 = е„ ) ИК расходимости рсгуляризуются введением массы фотона /¿, показывается, что члены, расходящиеся в пределе ^ —> 0, сокращаются в сумме вершинного и приводимого вкладов

На этом общий анализ собственно-энергетической поправки в присутствии внешнего поля заканчивается и дальнейшее рассмотрение выполняется для двух частных случаев а) собственно-энергетической поправки к сверхтонкой структуре (СТС) уровней и б) собствен но-энергетической поправки в однородном внешнем магнитном поле В разделе 2.1 рассматривается случай собственно-энергетической поправки во внешнем магнитном поле ядра (собственно-энер-гстическая поправка к СТС уровней) В начале раздела дан краткий обзор существующих расчетов этой поправки бел разложения по параметру Za Далее иллюстрируется факторизация ядерных переменных в общих выражениях. В параграфе 2 11 обсуждается приведение выражений к виду, пригодному для численного расчета Демонстрируется техника выполнения интегрирований по угловым переменным в импульсном и координатном пространстве

В параграфе 2 12 приводятся результаты численных расчетов собственно-энергетической поправки к СТС и 2б состояний водо-родоподобных ионов и производится сравнение с результатами других расчетов Численные результаты для собственно-энер! етической поправки к СТС пэ состояний представляются в виде

Д ^ = (И)

П'5 ж

где Ер есть нерелятивистское значение сверхтонкого расщепления

Таблица 1 Собственно-энергетическая поправка к СТС и 2б уровней тяжелых водородоподобных ионов (г2)1'2 обозначает среднеквадратичный радиус ядра

г (О"21<М

5 0 174 028(20) 0 181 96(10)

10 -0 162 860 (20) -0 142 51 (10)

25 -1 196 264(15) -1 162 74(6)

49 4 598 -3 189(6) -3 402(16)

59 4 892 -4 398 (9) -4 967(25)

67 5 190 -5 664 (11) -6 732 (35)

7о 5 351 -7 364(15) -9 287(47)

83 5 533 -9 708(19) -13 082(66)

основного состояния Численные значения функции с п = 1,2 для некоторых тяжелых ионов представлены в Табл 1

Далее результаты, полученные в области малых значений сравниваются с результатами расчетов, использующих разложение по параметру Демонстрируется хорошее согласие результатов, полученных различными методами С помощью экстраполяции численных данных находится наиболее точное значение для собственно-энергетической поправки к СТС 1« и 2в состояний в водороде В случае иона 3Не+, найденный новый вклад в нормированную разность сверхтонких интервалов (Д21 = 8Д2з — Ди) составляет 0 394(38) кгц, что может быть сравнено с экспериментальным результатом Д21(3Нс+) - 1189 979(1) кгц [10, 11) В конце раздела приводятся полные теоретические значения для сверхтонкого расщепления основного состояния тяжелых водородоподобных ионов и производится сравнение с экспериментальными результатами

В разделе 2.2 рассматривается собственно-энергетическая поправка в присутствии внешнего однородного магнитного поля (собственно-энергетическая поправка к р-фактору связанного электрона) В начале раздела дан краткий обзор существующих расчетов этой поправки без разложения по параметру 2а Далее приводятся основные формулы для 5-фактора электрона в атоме (при этом предполагается, что спин ядра отсутствует) Отмечается, что стандартная схема нытшления вершинной и приводимой частей соб-

Таблица 2 Собственно-энергетическая поправка к ^-фактору и 2$ состояний водородоподобных ионов, умноженная на 10е

г

2 2 322 904 20 (9) 2 322 840 4 (3)

10 2 325 536 68(10) 2 323 413(2)

20 2 337 808 85 (24) 2 325 674 (5)

40 2 419 437 2(5) 2 338 536(8)

60 2 634 498 (3) 2 370 807 (9)

80 3 095 320(10) 2 444 765(9)

90 3 486 525 (20) 2 514 064(9)

ственно-энергетической поправки путем выделения вкладов свободных пропагаторов (формулы (9) и (10)) приводит в данном случае к медленно сходящемуся ряду парциальных вкладов, что препятствует достижению необходимой точности в численном расчете Эта проблема решалась путем выделения дополнительного члена в потенциальном разложении вершинного и приводимого вкладов [9] В этом случае, формулы (9) и (10) заменяются на

Д= ЛЕ<°> 4- ДЕ<'> + Д££+), (12)

Д Е>еЛ = + (13)

где верхний индекс обозначает порядок соответствующего вклада по кулоновскому взаимодействию Особенностью выполненных в диссертации вычислений является то, что для однопотенциальных членов (ДЕ^ и Д£?ге]) получено замкнутое выражение в импульсном пространстве Это позволило устранить погрешность из-за обрезания парциального разложения в этих членах и увеличить точность вычислений на порядок В параграфе 2 2 1 обсуждается приведение общих выражений для собственно-энергетической поправки к виду, пригодному для практических вычислений, основное внимание при этом уделяется вычислению вкладов Д£|ёг и Д^Ш в импульсном пространстве

В параграфе 2 2 2 представлены численные результаты для собственно-энергетической поправки к ¡/-фактору и 2в состояний электрона в водородоподобном ионе и сравнение с результатами других вычислений В Табл 2 приводятся численные значения для этой

поправки для некоторых ионов В заключении раздела представлены полные теоретические значения для р-фактора основною состояния водородоподобных ионов углерода и кислорода и сравнение с последними экспериментальными данными Демонстрируется, что сравнение теоретических и экспериментальных результатов позволяет произвести независимое определение массы электрона (которая входит параметром в экспериментальное значение) Используя результаты эксперимента для иона углерода ¡3), получено следующее значение массы электрона (в атомных единицах)

т,(12С5+) = 0 0005485799093(3) (14)

Этот результат согласуется с общепринятым значением [4]

те(ССШАТА) = 0 000 5485799110(12) (15)

в пределах 1 5 стандартного отклонения, но является в 4 раза более точным Аналогичное определение массы электрона можно произвести, используя данные недавнего эксперимента для иона кислорода |12| Результат хорошо согласуется со значением (14), но является несколько менее точным

Третья глава диссертации посвящена исследованию собственно-энергетической поправки в атомах с несколькими электронами (экранированная собственно-энергетическая поправка) В нулевом приближении электроны предполагаются невзаимодействующими, межэлектронное взаимодействие учитывается точно в первом порядке по 1 ¡2 В начале главы дается краткий обзор существующих экспериментальных результатов, а также теоретических исследований собственно-энергетических эффектов в таких системах. Далее приводятся общие выражения для двухэлектронной собственно-энергетической поправки, полученные с помощью метода двухвременных функций Грина [13, 14| Также как и в случае собственно-энергетической поправки во внешнем поле (формулы (5)-(7)), двухэлек-тронная собственно-энергетическая поправка делится на три части' неприводимую, приводимую и вершинную Анализируется выделение и сокращение УФ и ИК раеходимостей в общих выражениях

Таблица 3 Численные значения экранированной собственно-знергетической поправки для гелиеподобных и литиеподобных ионов, выраженные в единицах функции С(2а) Полная экранированная собственно-энергетическая поправка для то ионного состояния гелиеподобных ионов дается вкладом ЛЕ1', для со стояния (1я)2и пиIнеподобных ионов - суммой ДЕ\1 Ь Дгде и — 2з, 2р]/2, 2рз/2

2 (г2)1'2 [<Н е.:

20 3 478 -1 7135(3) -0 5466(2) -0 1153(2) -0 1723(3)

40 4 270 -1 2112(2) -0.3967(2) -0 0959(2) -0 1353(1)

60 4 914 -1 0679(2) -0 3589(2) -0 1149(2) 0 1261(1)

70 5 317 -1 0628(2) -0 3628(2) -0 1372(2) -0 1259(1)

83 5 533 -1 1124(2) -0 3896(2) -0 1855(2) -0 1284(1)

92 5 860 -1 1878(2) -0 4253(2) -0 2402(2) -0 1314(1)

В разделе 3.1 обсуждается приведение общих выражений к виду, пригодному для численного расчета Демонстрируется техника выполнения интегрирований по угловым переменным в импульсном пространстве В разделе 3.2 приводятся результаты вычислений экранированной собственно-энергетической поправки для основного состояния гелиеподобных ионов, а также для (1 в)225, (1в)22р1/2 и (1д)22р3/2 состояний литиеподобных ионов Результаты представлены в виде безразмерной функции С(£а), определенной следующим выражением

Д £ = та2(2а)3С(2а). (16)

Численные значения функции С(£а) для некоторых ионов приведены в Табл 3 В заключении раздела приводятся компиляции для двухэлектронных вкладов в энергию основного состояния гелиеподобных ионов, а также для всех известных вкладов в энергию 2р1/2-2,9 перехода в литиеподобных ионах Производится сравнение с другими теоретическими расчетами и существующими экспериментальными результатами В случае 2р1/2-2з перехода в литиеподобном уране двухэлектронная собственно-энергетическая поправка составляет 1 524(2) эв Полное теоретическое значение 280 64(23) эв находится в хорошем согласии с экспериментальными результатами (н частности, 280 59(10) эв |1]), при этом КЭД эффекты второго порядка проверяются па уровне 15% На сегодняшний день это наиболее

а Ь с

Рис 2 Диа[-раммы двухпетлевой собственной энергии

точная проверка предсказаний КЭД в области сильного внешнего поля

В четвертой главе диссертации производится исследование собственно-энергетической поправки второго порядка по а к уровням энергии водородоподобных ионов (двухпетлевая собственно-энергетическая поправка) Соответствующий набор диаграмм представлен на Рис 2 В начале главы кратко обсуждаются существующие результаты для этой поправки, полученные в рамках разложения по параметру Ха

Раздел 4.1 посвящсн наиболее простой части днухпетлской собственной энергии, тн поправке петля-за-петлей Эта поправка, представляется неприводимой частью диаграммы Рис 2(а) Под неприводимой частью понимается вклад, в котором энергия промежуточных состояний в спектральном разложении среднего электронного пропагатора отличается от энергии начального состояния, остаток при этом называется приводимой частью Нетрудно показать, что неприводимая часть диаграммы Рис 2(а) остается инвариантной при ковариантных калибровочных преобразованиях Выражение для этой поправки может быть записано как

А^аь = '"Е (17)

п £а — £п

В начале раздела дается краткий обзор публикаций по геме и описывается дискуссия, развернувшаяся в литературе по поводу этой поправки Неясность ситуации была обусловлена тем, что величина коэффициента при ведущем логарифмическом вкладе разложения по 2а (при члене ~ а2(£а)61п3(£а)~2) оказывалась различной в численном [15| и аналитическом [16, 17| подходах В параграфе 4 11 представлен численный расчет поправки петля-за-петлей в области

малых значений Z Подгонка численных результатов к известной форме разложения по Za даст значение коэффициента Без — —1-1, что согласуется с численным результатом |15] ( -0.9), но отличается от аналитического результата [16, 17| (-8/27 = -0 296 ) В параграфе 4 12 описывается аналитическое вычисление коэффициента #бз и демонстрируется присутствие дополнительного вклада B63(add) = —2/3, который не был учтен в предыдущих аналитических вычислениях Найденный дополнительный вклад восстанавливает согласие результатов, полученных аналитическим и численным методами

Раздел 4.2 посвящен исследованию оставшейся части двухпет-левой собственно-энергетической поправки, называемой нами "компактной "частью Она состоит из приводимой части диаграммы (а), перекрестной диаграммы (Ь) и вложенной диаграммы (с) Общие выражения для этих вкладов даются, соответственно, следующими формулами'

A£red = Д£ЗЕ (fll 7°|-£(е)| |о), (18)

OS l£=e„

ДЕ0 = 2га Г dwi f dxi... dx4 £>""(wb *1з)

J-00 J

x^(xj)a„,G{ea - wi)7°A„(ea - wi,ee)i/>0(x4) - к ч , (19)

Д En = 2 га J^dwi

xa^G(ea - wi)7°E(£:a - wi) G{ea - wi)a„^a(x4) ~ K 4 . (20)

где AE$e есть собственно-энергетическая поправка первого порядка, "к ч "обозначает вклад соответствующего контрчлена перенормировки массы, а вершинный оператор А„ определен как

K(sa - и>1,еа) = 2»«7° Г dw2Z7'*T(w2,X24)

J -ОО

xapG{£a-^\-^2)avG{£a-w2)aa (21)

В начале раздела обсуждается перенормировка общих выражений и сокращение ИК расходимостей между различными вкладами Потом излагается процедура выделения УФ расходимостей в практических вычислениях На первом шаге вводятся вычитания, составленные из диаграмм, содержащих вместо связанных электронных

пропагаторов свободные, таким образом, чтобы поточечная разность соответствующих вкладов была УФ конечна (Под поточечной разностью понимается то что означенное вычитание выполняется до всех интегрирований ) Получившийся вклад называется Л^-членом. Среди вычтенных диаграмм имеются такие, которые содержат, в дополнение к УФ расходимостям, связанные электронные пропа-гаторы Для этих диаграмм вводятся дополнительные вычитания, которые уменьшают степень расходимости Соответствующая разность называется Р-членом Наконец, сумма всех вычтенных членов называется .Р-членом Он состоит из диаграмм, содержащих только свободные пропагаторы Подобное разделение компактной части собственно-энергетической поправки на М-, Р- и /'-члены было впервые предложено в работе (18], там же был представлен численный расчет двух из этих вкладов, М- и Р-членов.

Вычисление М-, Р- и Р-членов изложено в параграфах 4 2 1, 4 2 2 и 4 2 3, соответственно М-член не содержит УФ расходимо-стей, поэтому он вычисляется в координатном пространстве с использованием аналитического представления для связанных электронных пропагаторов (в виде разложения в ряд по парциальным волнам) Присутствующие в М-члене ИК расходимости выделяются в аналитическом виде с помощью введения малой массы фотона, расходящиеся члены сокращаются в сумме с Р-членом Для облегчения практических вычислений контура интегрирований по частоте виртуальных фотонов разворачивались в комплексной плоскости параллельно мнимой оси При этом показано, что подынтегральное выражение допускает аналитическое продолжение в требуемую область комплексной плоскости и предъявлены явные выражения, реализующие такое продолжение Окончательные выражения для М-члена содержат до шести интегрирований и два бесконечных суммирования по парциальным волнам, что делает соответствующий численный расчет наиболее трудоемкой частью вычисления двух-петлевой собственной энергии Отличие полученных результатов от приведенных в работе [18] составляет около 40%, при этом основное расхождение происходит от перекрестной диаграммы

Выражения для Р-члепа содержат как связанные электронные

нропагаторы, так и УФ-расходящиеся подграфы Вычисление вкладов такого типа до сих не встречалось в литературе, оно потребовало разработки оригинальной схемы для расчета релятивистской кулоновской функции Грина в смешанном координатно-импульсном представлении для широкого диапазона значений углового параметра к и комплексных значений энергетического аргумента Представленная схема вычисления функции Грина в импульсном и смешанном представлениях основывается на методе конечного базисного набора для уравнения Дирака [19], построенного из Б-сплайнов Решая радиальное уравнение Дирака в координатном пространстве на конечном базисе из Б-силайнов, находится набор собственных функций и собственных значений энергии С их помощью радиальная функция Грина строится сначала в координатном пространстве в виде линейной комбинации кусочных полиномов Затем выполняется численное преобразование Фурье для каждого из базисных полиномов, что позволяет получить радиальную функцию Грина в импульсном или в смешанном координатно-импульсном пространстве

Расчет ^члена производился в импульсном пространстве При этом УФ расходимости регуляризовывались переходом к пространству расширенной размерности £> = 4 — 2е Интегрирования по петлевым импульсам выполнялись аналитически, после чего выполнялось разложение по параметру е Демонстрировалось сокращение сингулярных членов порядка 1 /с2 и 1 /е Конечный при е —» 0 остаток содержал до семи интегрирований, которые выполнялись численно с помощью квадратур Гаусса-Лежандра Полученные результаты для ^члена находятся в хорошем согласии с приведенными в работе [18]

В разделе 4.3 приводятся численные результаты для полной двухпетлевой собственно-энергетической поправки для основного состояния водородоподобных ионов с зарядом ядра X в диапазоне 40 < 2 < 100 Результаты представлены в виде безразмерной функции F(Za),

Полные значения двухпетлевой собственно-энергетической поправ-

(22)

Таблица 4 Отдельные вклады в двухпетлевую собственно-энергетическую поправку выраженные в единицах функции Р(2а)

X ЬАЬ Р член Р член М член Сумма

40 0.871 19 50 -11 41(15) - 8 27(18) -1 05(23)

50 -0 973 10 03 41(8) -4 99(6) -1 34(10)

60 -1 082 5 72 2 93(4) -3 342(21) -1 63(4)

70 -1 216 3 497 -1 757(25) -2 412(11) -1 888(27)

83 -1 466 1 938 -1 057(13) -1 764(4) -2 349(14)

92 -1 734 1 276 -0 812(10) -1 513(3) -2 783(10)

100 -2 099 0 825 -0 723(7) -1384(3) -3 381(8)

ки и отдельные нклады поправки петля-за-петлей (ЬАЬ), М, Р и Р членов приводятся в Табл 4

Далее численные результаты, полученные для двухпетлевой собственно-энергетической поправки, сравниваются с известными коэффициентами разложения по 2а. Несмотря на то, что настоящие вычисления выполнены в области достаточно больших значений где применимость разложения по Ха весьма ограничена, сравнение приведенных данных позволяет говорить о разумном согласии результатов, полученных различными методами

В заключении раздела приведена компиляция всех известных двух-петлевых КЭД поправок и получены наиболее точные теоретические значения для лэмбовского сдвига основного состояния водоро-доподобных ионов Демонстрируется, что двухпетлевая собственно-энергетическая поправка вносит наибольший вклад среди всех КЭД эффектов второго порядка по а Полученные теоретические значения сравниваются с экспериментальными результатами Хотя точность имеющихся экспериментальных данных не является достаточной для проверки результатов настоящих вычислений, в намеченном эксперименте в С31 (Центр Исследования Тяжелых Ионов, Дарм-штадт, Германия) планируемая точность в случае урана составляет 1 эв и является сравнимой с соответствующим вкладом двухпетлевой собственной энергии (-1 6 эв) и полной КЭД поправкой второго порядка (-13 эв)

В Заключении сформулированы основные результаты диссерта-

ции, выносимые на защиту

В приложениях собраны необходимые сведения о свободных од-нопетлевых операторах в импульсном пространстве, приведен вывод основных формул, необходимых для выполнения hhtpi рирований гю угловым переменным в координатном пространстве, дапы детали вычисления одиопотенциального вершинного вклада в СЭ поправку к g-фактору электрона.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работа«

1 Yerokhin V А , Shabaev V М Accurate calculation of self-energy screening diagrams for high Z helium-like ions - Phy& Lett A, 1995, v 207, p 274-280, erratum 1996, v 210, p 437-437

2 Ерохин В A , Шабаев В M Вклад диаграмм экранированной собственной энергии в лэмбовский сдвиг основного состояния двухэлектронного многозарядного иона - Журн эксперим и теорет физ , 1996, т 110, вып 1(7), с 74-94

3 Shabaev V М , Yeiokhin V A Self energy contribution to the ground state hyperfine splitting of BiS2+ - Письма в журн эксперим. и теорет физ , 1996, т 63, вып 5, с 309-310

4 Yerokhm V А , Shabaev V М , Artemyev А N Self-energy correction to the hyperfine splitting of the Is and 2s states in hydrogenlike ions - Письма в журн эксперим и теорет физ , 1997, т 66, вып 1, с 19-22

5 Yerokhin V А , Artemyev А N , Shabaev V М Two-electron self-energy contribution to the ground-state energy of helium-like ions - Phys Lett A, 1997, v 234, p 361-366

6 Yerokhm V A , Aitemyev A N , Beier T , Shabaev V.M , Soff G Direct evaluation of the two-electron self-energy corrections to the ground state energy of lithium-like ions - J Phys B, 1998, v 31, p L691-L697

7 Yerokhin V A , Shabaev V M First-order self-energy correction in hydrogenlike systems -Phys Rev A, 1999, v 60, n 2, p 800-811

8 Ycrokhin V A , Artcmyev A N , Bcier T , Shabacv V M , Soff G Calculation of the screened self-energy and vacuum polarization corrections in high Z hthium-hke ions - Phys Scr , 1999, v T80, p 495-497.

9 Yerokhin V A , Artemyev AN., Beier T , Plunien G , Shabaev V M , Sofî G Two-electron self-energy corrections to the 2pi/2-2s transition energy m Li-hke ions - Phys Rev A, 1999, v 60, n 5, p 3522-3540

10 Yeiokhm V A Loop-after-loop contribution to the second-order Lamb shift in hydrogenlike lom-Z atoms. - Phys Rev A, 2000, v 62, p 012508-1-012508-6

11 Yerokhin V A , Artemyev A N , Shabaev V M , Sysak M M , Zhe-rebtsov 0 M , Soff G Two-photon exchange corrections to the 2p1p-2s transition energy in Li-hke high-Z ions - Phys Rev Lett, 2000, v 85, n 22, p 4699-4702

12. Yerokhm V A Leading logarithmic contribution to the second-order Lamb shift induced by the loop-after-loop diagram - Phys Rev. Lett, 2001, v 86, n 10, p 1990-1993

13 Yerokhin V A Loop-after-loop contribution to the second-order self-energy m hydrogen - In Hydrogen atom Precision Physics of Simple Atomic System, ed by S G. Karshenboim et al, Berlin Springer, 2001, p 800-809

14. Yerokhin V A , Shabaev V M Two-loop self-energy correction in H-hke. ions - Phys Rev A, 2001, v 64, p 062507-1-062507-13

15 Yerokhin V A , Shabaev V M One-loop self-energy correction to the Is and 2s hyperfine splitting in H-hke systems - Phys Rev A, 2001, v 64, p 012506-1-012506-6

16 Yerokhin V A , Artemyev A N , Shabaev V M , Sysak M.M , Zhe-rebtsov O M , Soft G Evaluation of the two-photon exchange graphs for the 2pxj'1-2s transition in Lt-hke ions - Phys Rev A, 2001, v 64, p 032109-1-032109-15

17 Yerokhin V A , Indelicato P , Shabaev V M Self-energy correction to the bound-electron g factor in H-like ions - Phys Rev Lett. , 2002, v 89, p 143001-1-143001-4

18 Yerokhm V A , Indelicato P, Shabaev V M One-loop self-energy correction to the bound-electron g factor - Can J Phys , 2002, v 80, p 1249-1254

19 Yerokhin V A , Indelicato P , Shabaev V M Two-loop self-energy correction in high-Z hydrogenlike ions - Phys Rev Lett , 2003, v 91, p 073001-1-073001-4

20 Yerokhin V A , Indelicato P , Shabaev V M Evaluation of the two-loop self-energy correction to the ground state energy of H-like ions to all orders in Za - Eur Phys J D, 2003, v 25, p 203-238

21 Yerokhin V A , Indelicato P , Shabaev V M Two-loop self-energy contribution to the Lamb shift in H-hke ions - Phys Rev A, 2005, v 71, p 040101 (R)-l - 040101 (R)-4

22 Yerokhin V A , Artemyev A N , Shabaev V M , Piunien G , Soff G , Screened self-energy correction to the 2p3/i~2s transition energy in Li-like ions - Оптика и спектроскопия, 2005, т 99, К» 1, стр 17-22

23 Ерохин В А , Инделикато П , Шабаев В М , Двухпетлевая собственно-энергетическая поправка в сильном кулоновском поле ядра - Журн. эксперим и теорет физ , 2005, т 128, № 8, стр 322-336

Список литературы

[1] Schweppe J , Belkacem А , Blumenfeld L , Claytor N , Feinberg В , Gouid H , Kostroun V E , Levy L., Misawa S , Mowat J R , Prior M H Measurement of the Lamb shift m lithiumhke uranium (Usg+) - Phyb Rev Lett, 1991, v. 66, n 11, p 1434-1437

(2) Stohlker Th , Mokler P.H , Bosch F, Dunford R W , Franzke F , Klcpper О , Kozhuharov С , Ludziejewski T, Nolden F., Reich H ,

Rymuza P , Stachura Z , Steck M , Swiat P , Warczak A Is Lamb shift in hydrogenlike uranium measured on cooled, decelerated ion beams -Phys Rev Lett , 2000, v 85, n 15, p 3109-3112

|3| Haffner H , Bcior T , Hernianspahn N , Kluge H -J , Quint W , Stahl S , Verdu J , Werth G High accuracy measurement of the magnetic moment anomaly of the electron bound in hydrogenlike carbon - Phys Rev Lett, 2000, v 85, n 25, p 5308-5311

[4] Mohr PJ, Taylor BN CO DATA recommended values of the fundamental constants 1998 - Rev Mod Phys., 2000, v 72, n 2, p 351-495

[5j Klaft I, Borneis S , Engel T , Fricke B , Grieser R , Huber G , Kuhl T , Marx D , Neumann R , Schroder S , Seelig P., Volker L Precision laser spectroscopy of the ground state hyperfine splitting of hydrogenlike 209Bi82+ -Phys Rev Lett., 1994, v 73, n 18, p 24252427

[6| Shabaev VM, Shabaeva MB, Tupitsyn II, Yerokhin VA Hyperfine structure of highly charged ions - Hyperfine Interactions, 1998,v 114, p 129-133

[7] Snyderman N J Electron radiative self-energy of highly stripped heavy atoms - Ann Phys (NY), 1991, v 211, n 1, p 43-85

|8] Blundell S A , Snyderman N J , Basis-set approach to calculating the radiative self-energy in highly ionized ions - Phys Rev A, 1991, v 44, n 3, p. R1427-R1430

[9) Persson H , Salomonson S , Sunnergren P, Lindgren I Radiative corrections to the electron g factor in H-like ions - Phys Rev A, 1997, v 56, n 4, p R2499-R2502

[lOj Schiuessler H A , Fortson E N , Dehmelt H G Hyperfine structure of the ground state of 3He+ by the ion-storage exchange-collision technique - Phys Rev , 1969, v 187, p 5-38; (E) Phys Rev A, 1970, v 2, p 1612-1612

(11| Prior M H , Wang E С Hyperfine structure of the 2s state of3He+ - Phys Rov A, 1977, v 16, n 1, p 6-18

[12] Werth G , Beier Th , Djekic S , Klugc H -J , Quint W , Vaicnzuela T , Vordû J , Vogol M Precision studies in traps Measurement of fundamental constants and tests of fundamental theories - Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B, 2003, v 205, p 1-8

[13] Шабаев В M Квантповозлектродинамическая теория возмущений в форме Релея-Шредингера для вычисления уровней энергии атомных систем - В кн ■ Многочастичные эффекты в атомах, под ред Сафроновой У И , M АН СССР, 1988, с 15-23

[14] Shabaev V M Two-time Green's function method in quantum electrodynamics of high-Z few-electron atoms - Phys Rep , 2002, v 356, p 119-228

[15] Mallampalli S , Sapirstein J Perturbed orbital contribution to the two-loop Lamb shift in hydrogen - Phys Rev Lett, 1998, v 80, n 24, p 5297-5300

[16] Каршенбойм С Г Новые логарифмические вклады в мюонии и позитронии - Журн эксперим и теорет физ , 1993, т 103, вып 4, с 1105-1116

[17] Eides M I , Grotch H , Shelyuto V.A Theory of light hydrogenhke atoms Phys Rep, 2001, v 342, p 63-261

[18] Mallampalli S , Sapirstein J Fourth-order self energy contribution to the Lamb shift - Phys Rev A, 1998, v 57, n 3, p 1548-1564

[19] Johnson W R , Blundell S A , Sapirstein J Finite basis sets for the Dirac equation constructed from В splines - Phys Rev A, 1988, v 37, n 2, p. 307-315

124497

РНБ Русский фонд

2006-4 27881

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 23.08.05 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30\42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ X« 244/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

Введение

Глава 1 Собственно-энергетическая поправка в водородоподобных ионах

Глава 2 Собственно-энергетическая поправка в присутствии внешнего поля

2.1 Собственно-энергетическая поправка к сверхтонкому расщеплению.

2.1.1 Детальное рассмотрение.

2.1.2 Численные результаты и обсуждение.

2.2 Собственно-энергетическая поправка к ^-фактору связанного электрона.

2.2.1 Подробности вычисления.

2.2.2 Численные результаты и обсуждение.

Глава 3 Собственно-энергетическая поправка в атомах с несколькими электронами

3.1 Подробности вычислений.

3.2 Численные результаты и .обсуждение.

Глава 4 Двухпетлевая собственная энергия

4.1 Поправка петля-за-петлей.

4.1.1 Численный расчет.

4.1.2 Аналитическое вычисление.

4.2 Компактная часть двухпетлевой СЭ поправки.

4.2.1 М-член.

4.2.2 Р-член.

4.2.3 Р-член.

4.3 Численные результаты и обсуждение.

Наука о взаимодействии вещества с квантованным электромагнитным полем - квантовая электродинамика (КЭД) - зародилась более семидесяти лет назад. За время ее существования были достигнуты значительные успехи в объяснении и предсказании многих физических явлений. Одним из традиционных объектов исследования КЭД эффектов является простейшая связанная система - атом водорода. Наиболее точное на сегодняшний день измерение энергий перехода в атомных системах выполнено для 2s-Is перехода в атомарном водороде, где экспериментальная точность достигла относительного уровня 1.8 х 10"14 или 46 кгц [1]. В будущем экспериментальную точность планируется довести до значения, приближающегося к естественной ширине спектральной линии 2s уровня (1.3 кгц). Современные теоретические значения уровней энергии несколько превосходят по точности соответствующие экспериментальные результаты (32 кгц для Is состояния и 4 кгц для 2s состояния [2]); их погрешность в значительной степени определяется неопределенностью экспериментального значения зарядового радиуса протона. На сегодняшний день расчеты КЭД эффектов в различных системах позволяют получить наиболее точные результаты для некоторых фундаментальных констант (постоянная тонкой структуры, масса электрона, отношение масс электрона и протона, радиус протона). С другой стороны, знание КЭД эффектов в атомных системах, в совокупности с высокоточными экспериментальными результатами, позволяет осуществлять поиски новой физики вне рамок стандартной модели. Несмотря на то, что характерный уровень энергий в атомных системах на много порядков меньше, чем на современных ускорителях, достижимая экспериментальная и теоретическая точность делает их весьма перспективным объектом для таких поисков.

Помимо поисков новой физики и уточнения значений фундаментальных констант, важным направлением исследований является проверка предсказаний КЭД в различных условиях. Объектами пристального внимания со стороны как теоретиков, так и экспериментаторов в последнее время становятся системы, которые еще недавно считались экзотическими - тяжелые ионы с одним или несколькими электронами (многозарядные ионы). Интерес к таким системам объясняется прежде всего стремительным прогрессом экспериментальной атомной спектроскопии. В последнее время стали возможными настолько точные измерения спектральных характеристик многозарядных ионов, что на повестку дня ставится вопрос о проверке КЭД во втором порядке по постоянной тонкой структуры а. Важность этой задачи определяется тем, что проверка будет производиться в новой области сильного кулоновского поля. С практической точки зрения, кулоновское поле, в котором находится электрон в водоро-доподобном ионе урана, является, по-видимому, наиболее сильным электрическим полем, доступным для прецизионного экспериментального изучения в настоящее время. Представляется естественным, что в поиске границ применимости теории (в данном случае, КЭД) наиболее перспективными являются именно подобные области с экстремальными характеристиками. Тем самым проблема расчета КЭД эффектов в спектрах многозарядных ионов приобретает фундаментальный характер.

Одним из первых высокоточных экспериментальных результатов в тяжелых ионах с несколькими электронами явилась работа Швеппе и соавторов [3], опубликованная более десяти лет назад. В этом эксперименте энергия 2p!/2-2s перехода в литиеподобном уране была измерена с точностью 0.1 эв, что на порядок меньше, чем КЭД поправка второго порядка по а. Эта работа во многом мотивировала начало теоретических расчетов КЭД поправок второго порядка в области сильного внешнего поля (т.е., во всех порядках по параметру Za1 где Z - заряд ядра). С тех пор прецизионные экспериментальные результаты были получены также для ряда других Li-подобных ионов.

В тяжелых водородоподобных ионах достижимая экспериментальная точность оказывается существенно ниже, чем в ионах с несколькими электронами, что объясняется тем, что соответствующие переходы лежат в области жесткого рентгеновского диапазона. Тем не менее, точность измерения лэмбовского сдвига основного состояния в водородоподобном ионе урана за последнее десятилетие была увеличена в 10 раз и в настоящее время составляет 13 эв (около 5% от полного КЭД вклада) [4]. В ближайшем будущем планируется увеличение точности измерения до уровня 1 эв, что сделает эксперимент чувствительным к двухпетлевым КЭД эффектам.

Еще один важный класс экспериментов состоит в нахождении д-фактора электрона в водородоподобном ионе. Величиной, непосредственно измеряемой в эксперименте, является комбинация (gM/m), где М - масса иона, т - масса электрона и д - g-фактор электрона.

Важность данного эксперимента определяется тем, что комбинируя экспериментальное значение для (д М/т) с прецизионным теоретическим результатом для электронного ^-фактора, можно получить значение массы электрона. К настоящему моменту соответствующие измерения выполнены для водородоподобных ионов углерода и кислорода. Несмотря на применимость разложения по параметру Za в этих системах, высокая экспериментальная точность результатов (для углерода достигнутая относительная точность составляет 5хЮ~10 [5]) определяет то, что вычисления КЭД эффектов желательно выполнять во всех порядках по Za.

Прецизионное экспериментальное изучение осуществляется сегодня также и для сверхтонкой структуры (СТС) уровней тяжелых ионов. Первым высокоточным экспериментальным результатом в этой области явилось измерение длины волны перехода между компонентами СТС основного состояния в водородоподобном ионе висмута 209Bi82+ [6], погрешность которого на три порядка меньше соответствующего КЭД вклада. К сожалению, непосредственное теоретическое исследование СТС уровней водородоподобных ионов затруднено вследствие большого вклада ядерных эффектов, прежде всего, эффекта распределения магнитного момента по ядру (эффект Бора-Вайскопфа). Достижимая на сегодняшний день точность теоретического описания эффекта Бора-Вайскопфа невелика и находится на уровне полного КЭД вклада. Тем не менее оказывается, что введенная в [7, 8] специфическая разность интервалов СТС водородоподобных и литиеподобных ионов может быть теоретически описана с точностью на уровне нескольких процентов от полного КЭД вклада (вследствие сокращения ядерных эффектов). Это открывает перспективы для проверки КЭД эффектов в СТС уровней тяжелых ионов. Подобная проверка представляется особенно важной, так как. вследствие большой сингулярности оператора взаимодействия электрона с магнитным полем ядра 1 /г2), характерная область взаимодействия оказывается гораздо ближе к ядру, чем в случае лэм-бовского сдвига или (/-фактора. Тем самым проверка предсказаний КЭД производится в эффективно более сильном поле.

С теоретической точки зрения, ситуация сильного внешнего поля соответствует тому, что разложение по параметру Za, которое является традиционным инструментом исследований КЭД эффектов, является неприменимым в таких системах. В этом случае рассмотрение должно производиться в представлении Фарри с использованием связанного электронного пропагатора, являющегося функцией Грина уравнения Дирака с внешним потенциалом. Вследствие значительно более сложной структуры связанного электронного пропагатора (по сравнению со свободным случаем), получение окончательных результатов в большинстве случаев возможно только с применением современных компьютерных средств.

Целью диссертации является исследование собственно-энергетических поправок в первом и втором порядке по постоянной тонкой структуры а и во всех порядках по внешнему полю для ионов с одним и несколькими электронами.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Выполнено вычисление полного набора диаграмм двухпетлевой собственной энергии для основного состояния водородоподобных ионов без разложения по параметру Za. Получены наиболее точные теоретические значения для лэмбовского сдвига основного состояния водородоподобных ионов с зарядом ядра Z > 40.

2. Для части двухпетлевой собственной энергии, т. н. поправки петля-за-петлей, выполнен численный и аналитический расчет ведущего логарифмического члена разложения по параметру Za. Продемонстрировано согласие между численным и аналитическим подходами и проанализировано отличие результатов от предшествующих аналитических вычислений.

3. Произведен прецизионный расчет собственно-энергетической поправки к g-фактору связанного электрона в водородоподобном ионе для случая Is и 2s состояний. Получены наиболее точные теоретические значения для р-фактора водородоподобных ионов.

4. Выполнен расчет двухэлектронной собственно-энергетической поправки к уровням энергии гелиеподобных и литиеподобных ионов во всех порядках по параметру Za.

5. Произведено вычисление собственно-энергетической поправки к сверхтонкому расщеплению уровней Is и 2s состояний водородоподобных ионов без разложения по параметру Za. Продемонстрировано хорошее согласие полученных результатов с расчетами, основанными на разложении по Za, и выделен вклад высших порядков. Получены наиболее точные значения для собственно-энергетической поправки к сверхтонкому расщеплению в водороде.

Научная и практическая ценность проведенных исследований определяется следующими положениями:

1. Двухпетлевая собственная энергия является на сегодняшний день наиболее сложным КЭД эффектом в теории многозарядных ионов, вычисленным во всех порядках по Za. Это определяется тем, что все другие расчеты КЭД поправок второго порядка выполнялись посредством обобщения схем, разработанных для первого порядка, в то время как настоящий расчет не сводится к такому случаю. Впервые вычисление без разложения по Za выполнялось для диаграмм, содержащих перекрывающиеся расходящиеся под-графы и парциальное разложение по двум независимым параметрам. Разработанная схема может быть применена к вычислению других КЭД эффектов в атомных системах.

2. Вычисление ведущего логарифмического вклада, выполненное для поправки петля-за-петлей, позволило разрешить дискуссию, существовавшую в литературе. Неясность ситуации была обусловлена тем, что значение для коэффициента при ведущем логарифмическом вкладе разложения по Za этой поправки оказывалось различным в численном и аналитическом расчетах. Проведенные вычисления восстановили согласие численного и аналитического подходов.

3. Наиболее точное вычисление однопетлевой собственно-энергетической поправки к ^-фактору связанного электрона в водородо-подобных ионах привело, в совокупности с другими поправками, к существенному увеличению точности теоретических значений для g-фактора. Сравнение с экспериментальными данными позволило произвести независимое определение массы электрона с точностью, в 4 раза превышающей общепринятое значение.

4. Расчет двухэлектронной собственно-энергетической поправки был использован для получения наиболее точных теоретических значений для энергии 2^/2-25 перехода в литиеподобных ионах и двухэлектронной части энергии основного состояния гелиепо-добных ионов. В результате было существенно улучшено согласие с экспериментальными данными. В случае литиеподобного урана сравнение теоретических расчетов с экспериментальными данными позволило произвести проверку КЭД эффектов второго порядка на уровне 15%. На сегодняшний день это наиболее точная проверка предсказаний КЭД в области сильного внешнего поля.

5. Произведенное вычисление собственно-энергетической поправки к сверхтонкой структуре водородоподобных ионов было использовано для получения наиболее точных теоретических значений сверхтонких интервалов основного состояния водородоподобных и литиеподобных ионов. Полученные результаты были также использованы для уточнения теоретических значений сверхтонкого расщепления в водороде, дейтерии и ионе Не+.

Структура диссертации следующая. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений. Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы основные задачи диссертации, кратко изложено содержание диссертации по главам, перечислены основные положения, выносимые на защиту.

Заключение

Кратко сформулируем основные результаты диссертации:

1. Выполнено вычисление полного набора диаграмм двухпетлевой собственной энергии для основного состояния водородоподобных ионов без разложения по параметру Za. Получены наиболее точные теоретические значения для лэмбовского сдвига основного состояния водородоподобных ионов с зарядом ядра Z > 40.

2. Для части двухпетлевой собственной энергии, т.н. поправки петля-за-петлей, выполнено численное и аналитическое вычисление ведущего логарифмического члена разложения по параметру Za. Продемонстрировано согласие между численным и аналитическим подходами и проанализировано отличие результатов от предшествующих аналитических вычислений.

3. Произведен прецизионный расчет собственно-энергетической поправки к д-фактору связанного электрона в водородоподобном ионе для Is и 2s состояний. В совокупности с другими поправками, полученные результаты существенно увеличили точность теоретических значений для ^-фактора. Сравнение с экспериментальными данными позволило произвести независимое определение массы электрона с точностью, в 4 раза превышающей общепринятое значение.

4. Выполнено вычисление собственно-энергетической поправки к сверхтонкому расщеплению уровней Is и 2s состояний водородоподобных ионов. Продемонстрировано хорошее согласие полученных результатов с известными членами разложения по Za и выделен вклад высших порядков. Найдены наиболее точные значения для собственно-энергетической поправки к сверхтонкому расщеплению Is и 2s уровней в водороде. Полученные результаты использованы для нахождения теоретических значений сверхтонких интервалов для основного состояния тяжелых водородоподобных ионов.

5. Произведен расчет двухэлектронной собственно-энергетической поправки для основного состояния гелиеподобных ионов и для 2s, 2^/2, 2рз/2 состояний литиеподобных ионов. Получены наиболее точные теоретические значения для энергии 2]91/2-2s перехода в литиеподобных ионах и для двухэлектронной части энергии ионизации основного состояния гелиеподобных ионов. Теоретические значения сравниваются с экспериментальными результатами. Достигнутая точность позволяет проверить результаты теоретических расчетов КЭД эффектов второго порядка на уровне 15%.

6. Разработана эффективная схема для расчета однопетлевой собственно-энергетической поправки в произвольной ковариантной калибровке без разложения по параметру Za. Приведен сравнительный анализ расчетов в различных калибровках. Получены численные результаты для высоковозбужденных состояний водородоподобных ионов.

В заключение я хотел бы выразить глубокую благодарность проф. Владимиру Моисеевичу Шабаеву за всестороннюю поддержку на протяжении многих лет, начиная с моей дипломной работы и кончая настоящей диссертацией. Большое спасибо также Антону Артемьеву, в соавторстве с которым получена значительная часть представленных в настоящей диссертации результатов.

1. Pachucki K,, Jentschura U.D. Two-loop Bethe-logarithm correction in hydrogenlike atoms. Phys. Rev. Lett., 2003, v. 91, p. 113005-1— 113005-4.

2. Schweppe J., Belkacem A., Blumenfeld L., Claytor N., Feinberg В., Gould H., Kostroun V.E., Levy L., Misawa S., Mowat J.R., Prior M.H. Measurement of the Lamb shift in lithiumlike uranium (U89+). Phys. Rev. Lett., 1991, v. 66, p. 1434-1437.

3. Haffner H., Beier Т., Hermanspahn N., Kluge H.-J., Quint W., Stahl S., Verclii J., Werth G. High-accuracy measurement of the magnetic moment anomaly of the electron bound in hydrogenlike carbon. Phys. Rev. Lett., 2000, v. 85, p. 5308-5311.

4. Shabaev V.M., Shabaeva M.B., Tupitsyn I.I., Yerokhin V.A. Hyperfine structure of highly charged ions. Hyperfine Interactions, 1998, v. 114, p. 129-133.

5. Shabaev V.M., Artemyev A.N., Yerokhin V.A., Zherebtsov O.M., Soft'

6. G. Towards a test of QED in investigations of the hyperfine splitting in heavy ions. Phys. Rev. Lett., 2001, v. 86, p. 3959-3962.

7. Desiclerio A.M., Johnson W.R,. Lamb shift and binding energies of К electrons in heavy ions. Phys. Rev. A, 1971, v. 3, p. 1267-1275.

8. Brown G.E., Langer J.S. and Schaefer G.W. Lamb shift of a tightly bound electron. I: Method. Proc. R. Soc. (London) Ser. A, 1959, v. 251, p. 92-104.

9. Mohr P.J. Self-energy radiative corrections in hydrogenlike systems.- Ann. Phys. (N.Y.), 1974, v. 88, p. 26-51; 52-87.

10. Mohr P.J. Self-energy of the n=2 states in a strong Coulomb field.- Phys. Rev. A, 1982, v. 26, p. 2338-2354.

11. Mohr P.J. Self-energy correction to one-electron energy levels in a strong Coulomb field. Phys. Rev. A, 1992, v. 46, p. 4421-4424.

12. Mohr P.J., Kim Y.K. Self-energy of excited states in a strong Coulomb field. Phys. Rev. A, 1992, v. 45, p. 2727-2735.

13. Mohr P.J., Soff G., Nuclear size correction to the electron self-energy. Phys. Rev. Lett., 1993, v. 70, p. 158-161.

14. Indelicato P., Mohr P.J., Coordinate-space approach to the bound-electron self-energy. Phys. Rev. A, 1992, v. 46, p. 172-185.

15. Indelicato P., Mohr P.J., Coordinate-space approach to the bound-electron self-energy: Coulomb field calculation. Phys. Rev. A, 1998, v. 58, p. 165-179.

16. Indelicato P., Mohr P.J., Coordinate-space approach to the bound-electron self-energy: Self-energy screening calculation. Phys. Rev. A, 2001, v. 63, p. 052507-1-052507-22.

17. Jentschura U.D., Mohr P.J., Soff G. Calculation of the electron self-energy for low nuclear charge. Phys. Rev. Lett., 1999, v. 82, p. 53-56.

18. Jentschura U.D., Mohr P.J., Soff' G. Electron self-energy for the К and L shells at low nuclear charge. Phys. Rev. A, 2001, v. 63, p. 042512-1-042512-19.

19. Le Bigot E.-O., Indelicato P., Mohr P.J. QED self-energy contribution to highly excited atomic states, Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 052508-1-052508-14.

20. Jentschura U.D., Le Bigot E.-O., Mohr P.J., Indelicato P., Soff G. Asymptotic properties of self-energy coefficients. Phys. Rev. Lett., 2003, v. 90, p. 163001-1-163001-4.

21. Mohr P.J., Plunien G., Soff G., QED corrections m heavy atoms. -Phys. Rep, 1998, v. 293, p. 227-372.

22. Snyclerman N.J. Electron radiative self-energy of highly stripped heavy atoms. Ann. Phys. (N.Y.), 1991, v. 211, p. 43-85.

23. Blundell S.A, Snyderman N.J, Basis-set approach to calculating the radiative self-energy in highly ionized ions. Phys. Rev. A, 1991, v. 44, p. R1427-R1430.

24. Cheng K.T, Johnson W.R, Sapirstein J. Lamb-shift calculations for поп-Coulomb potential. Phys. Rev. A, 1993, v. 47, p. 1817-1823.

25. Yerokhin V.A, Shabaev V.M. First-order self-energy correction in hydrogenlike systems. Phys. Rev. A, 1999, v. 60, p. 800-812.

26. Quiney H.M, Grant I.P. Partial-wave mass renormalization in atomic QED calculations. Phys. Scr, 1993, v. T46, p. 132-138.

27. Persson H, Lindgren I, Salomonson S. A new approach to the electron self energy calculation. Phys. Scr, 1993, v. T46, p. 125-131.

28. Quiney H.M, Grant I.P. Atomic self-energy calculations using partial-wave mass renormalization. J. Phys. B, 1994, v. 27. p. L299-L304.

29. Persson H, Salomonson S, SunnergrenP. Regularization corrections to the partial-wave renormalization procedure. Aclv. Quant. Chem, 1998, v. 30, p. 379-392.

30. Yerokhin V.A. Loop-after-loop contribution to the second-order Lamb shift in hydrogenlike low-Z atoms. Phys. Rev. A, 2000, v. 62, p. 012508-1-012508-6.

31. Labzowsky L.N, Goiclenko I.A. Multiple commutator expansion for the Lamb shift in a strong Coulomb field. J. Phys. B, 1997, v. 30, p. 177-187.

32. Гойденко И.А, Лабзовский JI.H. Обобщенный бетевский логарифм для сильно связанных электронов. Журн. эксперим. и те-орет. физ, 1997, т. 112, с. 1197.

33. Labzowsky L.N, Goidenko I.A, Nefiodov A.V. Electron self-energy calculations for tightly bound electrons in atoms. J. Phys. B, 1998, v. 31, p. L477-L482.

34. Labzowsky L., Goidenko I., Tokman M., Pyykko P. Calculated self-energy contributions for an ns valence electron using the multiple-commutator method. Phys. Rev. A. 1998, v. 59, p. 2707-2711.

35. Yakhontov V.L., Grant I.P. Parameter-free renormalization in the self-mass correction computation. J. Phys. B, 1993, v. 26, p. L773-L781.

36. Cheng K.T., Johnson W.R., Sapirstein J. Screened Lamb shift calculations for lithiumlike uranium, sodiumhke platinum, and copperlike gold. Phys. Rev. Lett., 1991, v. 66, p. 2960-2963.

37. Uehling E.A. Polarization effects in the positron theory. Phys. Rev., 1935, v. 48, p. 55-63.

38. Whichmann E.H., Kroll N.M. Vacuum polarization in a strong Coulomb field. Phys. Rev., 1956, v. 101, p. 843-859.

39. Soff G., Mohr P.J. Vacuum polarization in a strong external field. -Phys. Rev. A, 1988, v. 38, p. 5066-5075.

40. Манаков H.JI., Некипелов А.А., Файнштейн А.Г. Поляризация вакуума сильным кулоновским полем и ее вклад в спектры многозарядных ионов. Журн. эксперим. и теорет. физ., 1989, т. 95, с. 1167-1177.

41. Persson Н., Lindgren I., Salomonson S., Sunnergren P. Accurate vacuum-polarization calculations. Phys. Rev. A, 1993, v. 48, p. 27722778.

42. Sapirstein J., Cheng K.T. Vacuum polarization calculations for hydrogenlike and alkali-metal-hke ions. Phys. Rev. A, 2003, v. 68, p. 042111-1-042111-10.

43. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. т. 1 М.: Мир, 1984 - 448 с.

44. Johnson W.R., Blundell S.A., Sapirstein J. Many-body perturbation-theory calculations of energy levels along the lithium isoelectronic sequence. Phys. Rev. A, 1988, v. 37, p. 2764-2777.

45. Blundell S.A. Accurate screened QED calculations in high-Z manyelectron ions. Phys. Rev. A, 1992, v. 46, p. 3762-3775.

46. Johnson W.R., Blundell S.A., Sapirstein J. Finite basis sets for the Dime equation constructed from В splines. Phys. Rev. A, 1988, v. 37, p. 307-315.

47. Salomonson S., Oster P. Relativistic all-order pair functions from a discretized single-particle Dirac Hamiltonian. Phys. Rev. A, 1989, v. 40, p. 5548-5558.

48. Salomonson S., Oster P. Solution of the pair equation using a finite discrete spectrum. Phys. Rev. A, 1989, v. 40, p. 5559-5567.

49. Shabaev V.M., Tupitsyn I.I., Yerokhin V.A., Plunien G, Soff G.

50. Dual kinetic ballance approach to basis set expansions for the Dirac equation. e-print archive (http://xxx.lanl.gov), physics/0308083, 2003.

51. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М.: Мир, 1980. - 608 с.

52. Weniger E.J. Computation of the Whittaker function of the second kind by summing its divergent asymptotic series with the help of nonlinear sequence transformations. Computers in Physics, 1996, v. 10, p. 496-503.

53. Yerokhin V.A., Shabaev V.M. One-loop self-energy correction to the 15 and 2s hyperfine splitting in H-like systems. Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 012506-1-012506-6.

54. Blundell S.A. Calculations of the screened self-energy and vacuum polarization in Li-like, Na-like, and Си-like ions. Phys. Rev. A, 1993, v. 47, p. 1790-1803.

55. Lindgren I., Persson EL, Salomonson S., Ynnerman A. Bound-state self-energy calculation using partial-wave renormalization. Phys. Rev. A, 1993, v. 47, p. R4555-R4558.

56. Indelicato P., Mohr P.J. Quantum electrodynamic effects in atomic structure. Theor. Chem. Acta, 1991, v. 80, p. 207-214.

57. Шабаев В,М. Квантовоэлектродинамическая теория возмущений в форме Релея-Шредингера для вычисления уровней энергии атомных систем. В кн.: Многочастичные эффекты в атомах, под ред. Сафроновой У.И., М.: АН СССР, 1988, с. 15-23.

58. Шабаев В.М. Теория возмущений Релея-Шредингера для релятивистского атома. Теорет. и матем. физика, 1990, т. 82, с. 83-89.

59. Шабаев В.М. Квантовоэлектродинамическая теория многозарядных ионов. Изв. Вуз. Физ., 1990, т. 33, с. 43-54.

60. Shabaev V.M. Two-time Green's function method in quantum electrodynamics of high-Z few-electron atoms. Phys. Rep., 2002, v. 356, p. 119-228.

61. Hellwig H., Vessot R.F.C., Levine M.W., Zitzewitz P.W., Allan D.W., Glaze D.J. Measurement of the unperturbed hydrogen hyperfine transition frequency IEEE Trans. Instrum. Meas., 1970, v. IM-19, p. 200-209.

62. Essen L., Donaldson R.W., Bangham M.J., Hope E.G. Frequency of the hydrogen maser. Nature, 1971, v. 229, p. 110-110.

63. Eides M.I., Grotch H., Shelyuto V.A. Theory of light hydrogenlike atoms. Phys. Rep., 2001, v. 342, p. 63-261.

64. Schneider S.M. Die Hyperfeinstruktwraufspaltung von Einelektrone-natomen. Doktorarbeit, Johann Wolfgang Gothe-Universitat, Frankfurt am Main, 1995.

65. Persson H., Schneider S.M., Greiner W., Soft* G., Lindgren I. Self-energy correction to the hyperfine structure of hydrogenlike atoms. -Phys. Rev. Lett., 1996, v. 76, p. 1433-1436.

66. Shabaev V.M., Yerokhin V.A. Self energy contribution to the ground state hyperfine splitting of Bi82+. Письма в ЖЭТФ, 1996, в. 63, с. 309-311.

67. Blundell S.A., Cheng К.Т., Sapirstein J. Radiative corrections in atomic physics in the presence of perturbing potentials. Phys. Rev. A, 1997, v. 55, p. 1857-1865.

68. Blundell S.A., Cheng K.T., Sapirstein J. All-order binding corrections to muoniurn hyperfine splitting. Phys. Rev. Lett., 1997, v. 78, p. 4914-4917.

69. Yerokhin V.A., Shabaev V.M., Artemyev A.N. Self-energy correction to the hyperfine splitting of the Is and 2s states in hydrogenlike ions. Письма в ЖЭТФ, 1997, в. 66, с. 19-22.

70. Sunnergren P., Persson H., Salomonson S., Schneider S.M., Lindgren I., Soff G. Radiative corrections to the hyperfine-structure splitting of hydrogenlike systems. Phys. Rev. A, 1998, v. 58, p. 1055-1069.

71. Shabaev V.M., Shabaeva M.B., Tupitsyn I.I., Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Kiihl Т., Tomaseli M., Zherebtsov O.M. Transition energy and lifetime for the ground-state hyperfine splitting of high-Z lithiumlike ions. Phys. Rev. A, 1998, v. 57, p. 149-156.

72. Sapirstein J., Cheng K.T. Hyperfine splitting in lithiumlike bismuth.- Phys. Rev. A, 2001, v. 63, p. 032506-1-032506-6.

73. Breit G. Possible effects of nuclear spin on X-ray terms. Phys. Rev., 1930, v. 35, p. 1447-1451.

74. Shabaev V.M. Generalizations of the virial relations for the Dirac equation in a central field and their applications to the Coulomb field.- J. Phys. B, 1991, v. 24, p. 4479-4488.

75. Shabaeva M.B. Shabaev V.M. Interelectronic interaction contribution to the hyperfine structure of highly charged lithiumlike ions. -Phys. Rev. A, 1995, v. 52, p. 2811-2819.

76. Karshenboim S.G. 2s hyperfine structure in hydrogen atom and helium-3 ion. In: Hydrogen atom: Precision Physics of Simple Atomic System, ed. by S. G. Karshenboim et al, Berlin: Springer, 2001, p. 335-343.

77. Karshenboim S.G, Ivanov V.G. Hyperfine structure of the ground and first excited states in light hydrogen-like atoms and high-precision tests of QED. Eur. Phys. J. D, 2002, v. 19, p. 13-23.

78. Schluessler H.A, Fortson E.N, Dehmelt H. G. Hyperfine structure of the ground state of^He+ by the ion-storage exchange-collision technique Phys. Rev, 1969, v. 187, p. 5-38; (E) Phys. Rev. A, 1970, v. 2, p. 1612-1612.

79. Prior M.H, Wang E.C. Hyperfine structure of the 2s state of3He+. Phys. Rev. A, 1977, v. 16, p. 6-18.

80. Shabaev V.M, Tomaseli M, Kiihl T, Artemyev A.N, Yerokhin V.A. Ground-state hyperfine splitting of high-Z hydrogenlike ions. -Phys. Rev. A, 1997, v. 56, p. 252-255.

81. Shabaev V.M, Artemyev A.N, Zherebtsov O.M, Yerokhin V.A, Plunien G, Soff G. Calculation of the hyperfine structure of heavy H-ancl Li-like ions. Hyperfine Interactions, 2000. v. 127. p. 279-286.

82. Sen'kov R.A, Dmitriev V.F. Nuclear magnetization distribution and hyperfine splitting in Bi82+ ion. Nucl. Phys. A, 2002, v. 706, p. 351364.

83. Tomaselli M, Kiihl T, Seelig P, Holbrow C, Kankeleit E, Hyperfine splittings of hydrogenlike ions and the dynamic-correlation model for one-hole nuclei. Phys. Rev. C, 1998, v. 58, p. 1524-1534.

84. Karshenboim S.G. The g factor of a bound electron in a hydrogenlike atom. In: Hydrogen atom: Precision Physics of Simple Atomic

85. System, ed. by S. G. Karshenboim et al., Berlin: Springer, 2001, p.651.663.

86. Mohr P.J., Taylor B.N. COD ATA recommended values of the fundamental constants: 1998. Rev. Mod. Phys., 2000, v. 72, p. 351-495.

87. Beier Т., Lindgren I., Persson H., Salomonson S., Sunnergren P., Haffner H., Hermanspahn N. gj factor of an electron bound in a hydrogenlike ion. Phys. Rev. A, 2000, v. 62, p. 032510-1-032510-31.

88. Beier T. The gj factor of a bound electron and the hyperfine structure splitting in hydrogenlike ions. Phys. Rep., 2000, v. 339. p. 79-213.

89. Czarnecki A., Melnikov K., Yelkhovsky A. Anomalous magnetic moment of a bound electron. Phys. Rev. A, 2000, v. 63, p. 012509-1012509-4.

90. Каршенбойм С.Г., Иванов В.Г., Шабаев В.М. Вакуумная поляризация в водородоподобном релятивистском атоме: g фактор связанного электрона. Журн. эксперим. и теорет. физ., 2001, т. 120, с. 546-554.

91. Shabaev V.M. QED theory of the nuclear recoil effect on the atomic g factor. Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 052104-1-052104-14.

92. Мартыненко А.П., Фаустов P.H. g-факторы связанных частиц в квантовой электродинамике. Журн. эксперим. и теорет. физ., 2001, т. 120, с. 539-545.

93. Glazov D.A., Shabaev V.M. Finite nuclear size correction to the bound-electron g factor in a hydrogenlike atom. Phys. Lett. A, 2002, v. 297, p. 408-411.

94. Beier Т., Haffner H., Hermanspahn N., Karshenboim S.G., Kluge H.-J., Quint W., Stahl S., Verdu J., Werth G. New determination of the electron's mass. Phys. Rev. Lett., 2002, v. 88, p. 011603-1011603-4.

95. Nefioclov A.V., Plunien G., Soff G. Nuclear-polarization correction to the bound-electron g factor in heavy hydrogenlike ions. Phys. Rev. Lett., 2002, v. 89, p. 081802-1-081802-4.

96. Shabaev V.M., Yerokhin V.A. Recoil correction to the bound-electron g factor in H-like atoms to all orders in aZ. Phys. Rev. Lett., 2002, v. 88, p. 091801-1-091801-4.

97. Yerokhin V.A., Indelicato P., Shabaev V.M. Self-energy correction to the bound-electron g factor in H-like ions. Phys. R,ev. Lett., 2002, v. 89, p. 143001-1-143001-4.

98. Shabaev V.M., Glazov D.A., Shabaeva M.B., Yerokhin V.A., Plunien G., Soff G. g factor of high-Z lithiumlike ions. Phys. Rev. A, 2002, v. 65, p. 062104-1-062104-5.

99. Yan Z.-C. Calculations of magnetic moments for lithium-like ions. J. Phys. B, 2002, v. 35, p. 1885-1892.

100. Yerokhin V.A., Indelicato P., Shabaev V.M. One-loop self-energy correction to the bound-electron g factor. Can. J. Phys., 2002, v. 80, p. 1249-1254.

101. Karshenboim S.G., Milstein A.I. Delbriick scattering and the g-factor of a bound electron. Phys. Lett. B, 2002, v. 549, p. 321-324.

102. Shabaev V.M., Glazov D.A., Shabaeva M.B., Tupitsyn I.I., Yerokhin V.A., Beier Т., Plunien G., Soff G. Theory of the g factor of lithium-like ions. Nucl. Instr. Meth. Phys. Res. B, 2003, v. 205, p. 20-24.

103. Persson H., Salomonson S., Sunnergren P., Lindgren I. Radiative corrections to the electron g-factor in H-like ions. Phys. Rev. A, 1997, v. 56, p. 1-4.

104. Yerokhin V.A., Indelicato P., Shabaev V.M. Evaluation of the self-energy correction to the g factor of S states in H-like ions. e-print http://xxx.lanl.gov, 2003, physics/0312151.

105. Grotch Ii. Electron g factor in hydrogenlike atoms. Phys. Rev. Lett., 1970, v. 24, p. 39-42.

106. Karshenboim S.G. Non-relativistic calculations of the g-factor of a bound electron Phys. Lett. A, 2000, v. 266, p. 380-386.

107. Hughes V.W., KinoshitaT. Anomalous g values of the electron and muon. Rev. Mod. Phys., 1999, v. 71, p. S133-S139.

108. Faustov R.N. Magnetic moment of the relativistic composite system. Nuovo Cimento A, 1970, v. 69, p. 37-46.

109. Faustov R.N. Magnetic moment of the hydrogen atom. Phys. Lett. B, 1970, v. 33, p. 422-424.

110. Yelkhovsky A. Recoil correction to the magnetic moment of a bound electron. e-print http://xxx.lanl.gov, 2001, hep-ph/0108091.

111. Beiersdorfer P. , Osterheld A., Scofield J., Crespo Lopez-Urrutia J., Widmann K. Measurement of QED and hyperfine splitting in the 2s!/2-2p3/2 X-ray transition in Li-like mBftQ+. Phys. R,ev. Lett., 1998, v. 80, p. 3022-3025.

112. Marrs R.E., Elliott S.R., Stohlker Th. Measurement of two-electron contributions to the ground-state energy of heliumlike ions. Phys. Rev. A, 1995, v. 52, p. 3577-3585.

113. Stohlker Th., Elliott S.R., Marrs R.E. Direct measurement of two-electron contributions to the ground state energy of heliumlike high-Z ions. Hyperfine Interactions, 1996, v. 99, p. 217-224.

114. Lindroth E., Danared H., Glans P., Pesic Z., Tokman M., Vikor G., Schuch R. QED effects in Си-like Pb recombination resonances near threshold. Phys. Rev. Lett., 2001, v. 86, p. 5027-5030.

115. Chen M.H., Cheng K.T., Beiersdorfer P., Sapirstein J. Transition energies of the 3s-3p3/2 resonance lines in sodiumlike to phosphoruslike uranium. Phys. Rev. A, 2003, v. 68, p. 022507-1-022507-7.

116. Yerokhin V.A., Shabaev V.M. Accurate calculation of self-energy screening diagrams for high Z helium-like ions. Phys. Lett. A, 1995, v. 207, p. 274-280; (E) 1995, v. 210, p. 437-437.

117. Ерохин В.А., Шабаев B.M. Вклад диаграмм экранированной собственной энергии в лэмбовский сдвиг основного состояния двухэлектронного многозарядного иона. Журн. эксперим. и теорет. физ., 1996, т. 100, с. 74-94.

118. Persson LI., Salomonson S., Sunnergren P., Lindgren I. Two-electron Lamb-shift calculations on helium-like ions. Phys. Rev. Lett., 1996, v. 76, p. 204-207.

119. Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Shabaev V.M. Two-electron self-energy contribution to the ground-state energy of helium-like ions. -Phys. Lett. A, 1997, v. 234, p. 361-366.

120. Sunnergren P. Complete one-loop QED calculations for few-electron ions. Applications to electron-electron interaction, the Zeeman effect and hyperfine structure. Ph. D. thesis, Goteborg University and Chalmers University of Technology, Goteborg, 1998.

121. Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Beier Т., Shabaev V.M., Soff G. Direct evaluation of the two-electron self-energy corrections to the ground state energy of lithium-like ions. J. Phys. B, 1998, v. 31, p. L691-L697.

122. Yerokhin V.A., Artemyev A.N, Beier T, Shabaev V.M, Soff G.

123. Calculation of the screened self-energy and vacuum-polarization corrections in high-Z lithium-like ions. Phys. Scr, 1999, v. T80, p.495.497.

124. Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Beier Т., Plunien G., Shabaev V.M., SoffG. Two-electron self-energy corrections to the 2Pl/2-2s transition energy in Li-like ions. Phys. Rev. A, 1999, v. 60, p. 3522-3540.

125. Sapirstein J., Cheng K.T. Determination of the two-loop Lamb shift m lithimlike bismuth. Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 022502-1-0225029.

126. Варшалович Д.А., Москалев A.H., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975. - 440 с.

127. Zumbro J.D., Shera E.B., Tanaka Y., Bemis Jr. C.E., Naumann

128. R.A., Hoehn M.V., Reuter W., Steffen R.M. E2 and Ei deformations in 233,234,235,238 phys Rev Lettj 1984; y 53^ p 1888-1891.

129. Zumbro J.D., Naumann R.A., Hoehn M.V., Reuter W., Shera E.B., Bemis Jr. C.E., Tanaka Y. E2 and EA deformations in 232 Th and239,240,242 phyg Lett ^ щ p 3^337.

130. Blundell S.A., Mohr P.J., Johnson W.R., Sapirstein J. Evaluation of two-photon exchange graphs for highly charged heliumlike ions. -Phys. Rev. A, 1993, v. 48, p. 2615-2626.

131. Lindgren I., Persson LI., Salomonson S., Labzowsky L.N. Full QED calculation of two-photon exchange for heliumlike systems: Analysis in the Coulomb and Feynman gauges. Phys. Rev. A, 1995, v. 51, p. 1167-1195.

132. Sanders F.C., Scherr C.W. Perturbation study of some excited states of two-electron atoms. Phys. Rev., 1969, v. 181, p. 84-97.

133. Запрягаев С.А., Манаков Н.Л., Пальчиков В.Г. Применение релятивистской кулоновской функции Грина к расчету корреляционных эффектов в многозарядных ионах. Энергия основного coстояния He-подобного иона. Оптика и спектроскопия, 1982, т. 52, с. 414-420.

134. Drake G.W. Theoretical energies for the n — 1 and n — 2 states of the helium isoelectronic sequence up to Z = 100. Can. J. Phys, 1988, v. 66, p. 586-611.

135. Artemyev A.N, Shabaev V.M, Yerokhin V.A. Vacuum polarization screening corrections to the ground-state energy of two-electron ions. Phys. Rev. A, 1997, v. 56, p. 3529-3534.

136. Артемьев A.H, Шабаев B.M, Ерохин В.А. Вклад диаграмм экранированной поляризации вакуума в энергию основного состояния двухэлектрочного многозарядного иона. Оптика и спектроскопия, 1998, т. 84, с. 5-8.

137. Yerokhin V.A, Artemyev A.N, Shabaev V.M, Sysak M.M, Zherebtsov O.M, Soff G. Evaluation of the two-photon exchange graphs for the 2pi/2-2s transition in Li-like ions. Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 032109-1-032109-15.

138. Andreev O.Yu, Labzowsky L.N, Plunien G, Soff G. QED calculation of the interelectron interaction in two- and three-electron ions. Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 042513-1-042513-19.

139. Beier T, Mohr P.J, Persson LI, Soff G. Influence of nuclear size on QED corrections in hydrogenlike heavy ions. Phys. Rev. A, 1998, v. 58, p. 954-963.

140. Beier T, Plunien G, Greiner M, Soff G. Two-loop ladder diagram for the vacuum polarization contribution in hydrogen-like ions. J. Phys. B, 1997, v. 30, p. 2761-2772.

141. Yerokhin V.A, Artemyev A.N, Shabaev V.M, Sysak M.M, Zherebtsov O.M, Soff G. Two-photon exchange corrections to the 2pi/2-2s transition energy in Li-like high-Z ions. Phys. Rev. Lett., 2000, v. 85, p. 4699-4702.

142. Artemyev A.N, Beier T, Plunien G, Shabaev V.M, Soff G, Yerokhin V.A. Vacuum-polarization screening corrections to the energy levels of lithiumlike ions. Phys. Rev. A, 1999, v. 60, p. 45-49.

143. Zherebtsov O.M., Shabaev V.M., Yerokhin V.A. Third-order interelectronic-interaction correction to the 2pij2-2s transition energy in lithiumlike ions. Phys. Lett. A, 2000, v. 277, p. 227-232.

144. Kim Y.-K., Baik D.H., Indelicato P., Desclaux J.P. Resonance transition energies of Li-, Na-, and Си-like ions. Phys. Rev. A, 1991, v. 44, p. 148-166.

145. Artemyev A.N., Shabaev V.M., Yerokhin V.A. Relativistic nuclear recoil corrections to the energy levels of hydrogenlike and high-Z lithiumlike atoms in all orders in aZ. Phys. Rev. A, 1995, v. 52, p. 1884-1894.

146. Plunien G., Soff G. Nuclear-polarization contribution to the Lamb shift in actinide nuclei. Phys. Rev. A, 1995, v. 51, p. 1119-1131; (E) 1996, v. 53, p. 4614-4614.

147. Nefiodov A.V., Labzowsky L.N., Plunien G., Soff G. Nuclear polarization effects in spectra of multicharged ions. Phys. Lett. A, 1996, v. 222, p. 227-232.

148. Haga A., Horikawa Y., Tanaka Y. Nuclear polarization in hydrogenlike lfPb81+. Phys. Rev. A, 2002, v. 65, p. 052509-1-052509-11.

149. Chen M.H., Cheng K.T., Johnson W. R., Sapirstein J. Relativistic configuration-interaction calculations for the n = 2 states of lithiumlike ions. Phys. Rev. A, 1995, v. 52, p. 266-273.

150. Persson H., Linclgren I., Labzowsky L.N., Plunien G., Beier Т., Soff G. Second-order self-energy-vacuum-polarization contributions to the Lamb shift in highly charged few-electron ions. Phys. Rev. A, 1996, v. 54, p. 2805-2813.

151. Edlen B. Comparison of theoretical and experimental level values of the n = 2 complex in ions isoelectroruc with Li, Bi, О and F. -Phys. Scr., 1983, v. 28, p. 51-67.

152. Sugar J., Corliss C. Atomic energy levels of the iron period elements: Potassium through nickel. J. Phys. Chem. Ref. Data, 1985, v. 14, suppl. N 2.

153. Sugar J., Kaufman V., Rowan W.L. Improved wavelengths for prominent lines of Ni X to Ni XXVI. J. Opt. Soc. Am. B, 1992, v. 9, p. 344-346.

154. Knize R.J. Measurement of QED effects in Z=24 to 34 lithiumlike ions. Phys. Rev. A, 1991, v. 43, p. 1637-1639.

155. Pachucki K. Logarithmic two-loop corrections to the Lamb shift in hydrogen. Phys. Rev. A, 2001, v. 63, p. 042503-1-042503-8.

156. Appelquist Т., Brodsky S.J. Order a2 electrodynamic corrections to the Lamb shift. Phys. Rev. Lett, 1970, v. 24, p. 562-565.

157. Appelquist T, Brodsky S.J. Fourth-order electrodynamic corrections to the Lamb shift. Phys. Rev. A, 1970, v. 2, p. 2293-2303.

158. Barbieri R, Mignaco J.A, Remiddi E. Fourth-order radiative corrections to electron-photon vertex and the Lamb-shift value. Nuovo Cimento A, 1971, v. 6A, p. 21-28.

159. Sonimerfield C.M. Magnetic d/ipole moment of the electron. Phys. Rev, 1957, v. 107, p. 328-329.

160. Sommerfield C.M. The magnetic moment of the electron. Ann. Phys. (NY), 1958, v. 5, p. 26-57.

161. Petermann A. Fourth-order magnetic m,oment of the electron. -■ Helv. Phys. Acta, 1957, v. 30, p. 407-408.

162. Petermann A. Magnetic moment of the electron. Nucl. Phys, 1957, v. 3, p. 689-690.

163. Pachucki К. Complete two-loop binding correction to the Lamb shift. Phys. Rev. Lett, 1994, v. 72, p. 3154-3157.

164. Eides M, Shelyuto V. Corrections of order a2(Za)5 to the hyperfine splitting and the Lamb shift. Phys. Rev. A, 1995, v. 52, p. 954-961.

165. Каршенбойм С.Г. Новые логарифмические вклады в мюонии и позитронии. Журн. эксперим. и теорет. физ, 1993, т. 103, с. 1105-1116.

166. Manohar A.V, Stewart I.W. Logarithms of a in QED bound states from renormalization group. Phys. Rev. Lett, 2000, v. 85, p. 22482251.

167. Jentschura U.D, Pachucki K. Two-loop self-energy corrections to the fine structure. J. Phys. A, 2002, v. 38, p. 1927-1942.

168. Jentschura U.D. Radiative energy shifts induced by local potentials. J. Phys. A, 2003, v. 36, p. L229-L236.

169. Mitrushenkov A, Labzowsky L, Lmclgren I, Persson H, Salomon-son S. Second order loop after loop self-energy correction for few-electron multicharged ions. Phys. Lett. A, 1995, v. 200, p. 51-55.

170. Mallampalli S, Sapirstein J. Perturbed orbital contribution to the two-loop Lamb shift in hydrogen. Phys. Rev. Lett., 1998, v. 80, p. 5297-5300.

171. Goiclenko I, Labzowsky L, Nefiodov A, Plunien G, Soff G. Second-order electron self-energy in hydrogenlike ions. Phys. Rev. Lett, 1999, v. 83, p. 2312-2315.

172. Yerokhin V.A. Leading logarithmic contribution to the second-order Lamb shift induced by the loop-after-loop diagram. Phys. Rev. Lett, 2001, v. 86, p. 1990-1993.

173. Jentschura U.D, Nandori I. Double-logarithmic two-loop self-energy corrections to the Lamb shift. Phys. Rev. A, 2002, v. 66, p. 022114-1-022114-9.

174. Yerokhin V.A. Loop-after-loop contribution to the second-order self energy in hydrogen. In: Hydrogen atom: Precision Physicsof Simple Atomic System, ed. by S. G. Karshenboim et al., Berlin: Springer, 2001, p. 800-809.

175. Eides M.I, Karshenboim S.G, Shelyuto V.A. First corrections of order a2(Za)5 to hyperfine splitting and Lamb shift induced by two-loop insertions in the electron line. Phys. Lett. B, 1993, v. 312, p. 358-366.

176. Eides M.I, Karshenboim S.G, Shelyuto V.A. First corrections to hyperfine splitting and Lamb shift induced by diagrams with two external photons and second order radiative insertions in the electron line. Ядерная физика, 1994, т. 57, с. 1309-1325.

177. Mallampalli S, Sapirstein J. Fourth-order self-energy contribution to the Lamb shift. Phys. Rev. A, 1998, v. 57, p. 1548-1564.

178. Yerokhin V.A, Shabaev V.M. Two-loop self-energy correction in H-like ions. Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 062507-1-062507-13.

179. Yerokhin V.A, Indelicato P, Shabaev V.M. Two-loop self-energy correction in high-Z hydrogenlike ions. Phys. Rev. Lett, 2003, v. 91, p. 073001-1-073001-4.

180. Yerokhin V.A, Indelicato P, Shabaev V.M. Evaluation of the two-loop self-energy correction to the ground state energy of Н-hke ions to all orders in Za. Eur. Phys. J. D, 2003, v. 25, p. 203-238.

181. Mills R, Kroll N. Fourth-order radiative corrections to atomic energy levels. IF- Phys. Rev, 1955, v. 98, p. 1489-1500.

182. Fox J. A, Yennie D.R. Some formal aspects of the Lamb shift problem. Ann. Phys. (N.Y.), 1973, v. 81, p. 438-480.

183. Labzowsky L, Mitrushenkov A. Renormalization of the second-order electron self-energy for a tightly bound atomic electron: A detailed derivation. Phys. Rev. A, 1996, v. 53, p. 3029-3043.

184. Lindgren I., Persson H., Salomonson S., Sunnergren P. Analysis of the electron self-energy for tightly bound electrons. Phys. Rev. A, 1998, v. 58, p. 1001-1015.

185. Brezinski C. Algorithmes d'acceleration de la convergence. Paris: Editions Technip, 1978.

186. Запрягаев С.А., Манаков H.JI., Пальчиков В.Г. Теория многозарядных ионов с одним и двумя электронами. М.: Энергоатом-издат, 1985. - 143 с.

187. Swainson R.A., Drake G.W. A unified treatment of the non-relativistic and relativistic hydrogen atom II: the Green functions. -J. Phys. A, 1991, v. 24, p. 95-120.

188. Manakov N.L., Rapoport L.P., Zaprjagaev S.A. Sturmian expansions of the relativistic Coulomb Green function. Phys. Lett., 1973, v. 43A, p. 139-140.

189. Зон Б.А., Манаков Н.Л., Рапопорт Л.П. Кулоновская функция Грина в х-представлении и релятивистская поляризуемость во-дородоподобного атома. Ядерная физика, 1972, т. 15, с. 508-517.

190. Manakov N.L. Rapoport L.P., Zaprjagacrv S.A. Relativistic electromagnetic susceptibilities of hydrogen-like atoms. J. Phys. B, 1974, v. 7, p. 1076-1082.

191. Запрягаев С.А., Манаков Н.Л. Кулоновская функция Грина уравнения Дирака и расчеты по стационарной теории возмущений. Ядерная физика, 1976, т. 23, с. 917-925.

192. Манаков Н.Л., Некипелов А.А., Файнштейн А.Г. Применение штурмовского разложения кулоновской функции Грина в квантовой электродинамике: рассеяние фотона связанным электроном. Ядерная физика, 1987, т. 45, с. 1091-1098.

193. Pal'chikov V.G. Relativistic effects in spectra of one- and two-electron ions. in: Atomic physics with heavy ions., ed. by Beyer H.F. and Shevelko V.P., Berlin, Heidelberg: Springer, 1998, p. 117-138.

194. Горшков В.Г. К релятивистской теории возмущений для ку-лоновского поля. Журн. эксперим. и теорет. физ., 1961, т. 40, N 1, с. 1481-1490.

195. Горшков В.Г. О кулоновской функции Грина. Журн. эксперим. и теорет. физ., 1964, т. 47, N 2, с. 352-359.210. de Boor С. A Practical Guide to Splines. NY: Springer, 1978.

196. Adkins G.S., Zhang Y. Infrared behavior of Yennie gauge QED at two-loop order. Can. J. Phys., 1998, v. 76, p. 333-349.

197. Манаков H.JI. Некипелов А.А. Вклад двухпетлевой диаграммы поляризации вакуума в спектры многозарядных ионов. Тез. докл. XXI конгресса по спектроскопии, Звенигород, 1995, с. 183183.

198. Beier Т., Soff G. Kdllen-Sabry contribution to the Lamb shift in hydrogen-like atoms. Z. Phys. D, 1988, v. 8, p. 129-134.

199. Schneider S.M., Greiner W., Soff G. Kallen-Sabry energy shift for hydrogen-like atoms with finite size nuclei. J. Phys. B, 1993, v. 26, p. L529-L534.

200. Plunien G., Beier Т., Soff G., Persson H. Exact two-loop vacuum polarization correction to the Lamb shift in hydrogenlike ions. Eur. Phys. J. D, 1998, v. 1, p. 177-185.

201. Pachucki K. Contributions to the binding, two-loop correction to the Lamb shift. Phys. Rev. A, 1993, v. 48, p. 2609-2614.

202. Mallampalli S., Sapirstein J. Fourth-order vacuum-polarization contribution to the Lamb shift. Phys. Rev. A, 1996, v. 54, p. 27142717.

203. Shabaev V.M., Artemyev A.N., Beier Т., Plunien G., Yerokhin V.A., Soff G. Recoil correction to the ground-state energy of hydrogenlike atoms. Phys. Rev. A, 1998, v. 57, p. 4235-4239.

204. Briand J.P., Indelicato P., Simionovici A., San Vicente V., Liesen D., Dietrich D. Spectroscopic study of hydrogenlike and heliumlike xenon ions. Europhys. Lett., 1989, v. 9, p. 225-230.

205. Yerokhin V.A., Indelicato P., Shabaev V.AL Two-loop self-energy contribution to the Lamb shift in H-like ions. Phys. Rev. A, 2005, v. 71, p. 040101(R)-1 - 040101(R)-4.

206. Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Shabaev V.M., Plunien G., Soff G., Screened self-energy correction to the 2p3/2-2s transition energy in Li-like ions. Оптика и спектроскопия, 2005, т. 99, вып. 1, стр. 17-22.

207. Ерохин В.А., Инделикато П., Шабаев В.М., Двухпетлевая соб-ствепно-энергетическая поправка в сильном кулоновском поле ядра. Жури, эксперим. и теорет. физ., 2005, т. 128, вып. 2, стр. 322-336.