Спектральная теория одночастичных решеточных моделей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГ6 од

1 5 НОЯ ' %$КТ-ПЕГЕР5УРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На. правах рукописи

'ФРОЛОВ Сергей Владимирович

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОДНОЧАСТИЧШ РЕШЕТОЧНЫХ МОДЕЛЕЙ

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ «диссертации на соискание ученой степени

Работа выполнена, в отделе математической и вычислительной физики физического Факультета Санкт-Оетербург-С201'0 государственного унвдеоситета.

профессор Павлов Б.С.

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук профессор Дцамян В.Ы.

кандидат £изико-штеыатических наук ст.н.с. Карпешика Ю.Е.

Вздущая организация: П(Ш Российской Академии наук.

Запета состоится " 3 " декабря 1993 года в-час, не заседании спехуализированного совета К.063.57,17 по присуждению учёной степени кандидата,физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу : 199034 , Санкт-Петербург , Унивевсгтетскак наб.7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбУ

Научный руководитель

доктор физико-математических наук

Автореферат разослан

ноября 1993 г.

Учёный секретарь специализированного совета

Манида. С.Н.

аваля ХАРЖТЕРИОТКА. РАБОТЫ

Актуальность темн. Роль явно-решаемых моделей в физика об-щеприэнана . В последнее время широкое вазвитие получили модели базирующиеся на tsodwh расширений операторов с выходом к более широкое гильбеютово ппосттакство. В их числе и рассматриваемая нами решёточная модель твёрдого тела. Эта модель , выгодно отличаясь своей простотой от уравнения Иэедангера с периода зскш потенциалом , тем не менее сохраняет ряд присущих ему спектральных свойств, В частности , ряд фактов , кототаэ ке удаётся в . настоящее время доказать для уравнения Шрэдингепа , могут быть сравнительно просто получены для решёточной модели.

Одним из таких фактов является многомерный аналог формулы ' Н.Е.Зирсовой для суммы эффективных масс одномерного оператора Хилла , полученной около'20 лет назад. Попытка доказать аналогичные соотношения для многомерного уравнения Шредингера наталкивается на серьёзные трудности как аналитического", так и топологического характера , которке на настоящий момент еще не преодолены . Для решёточной да модели задача упрощается , и может быть доведена до конца.

Ещё одной областью применения данных моделей является теория точечных примесей в проводниках. Классическим эффектом здесь являются тал называемые Фриделевсниэ осцилляции. Однако недавние экспериментальные исследования , в которых с помощью сканирующего туннельного микроскопа изучалось возмущение электронной плотности вокруг инородного иона , имплантированного на поверхность графита , привели к результатам , резко расходящимся с классической теорией Эриделя. Наша решёточная модель хорошо

приспособлена для исследования точечных возмущений , и приводит к результатам , находящимся в значительно более хорошем согласии с экспериментом.

Цель работьт. Цельв настоящей работы является : во-первых , получение тождеств для суммы определителей тензоров элективных масс для решёточной модели с одномерной , квадратной , гексагональной , простой и объёмоцентрированной кубической решёткам , к Бо-вторых , получение явных выражений для возмущений электронной плотность точечным дефектом в одномерной , квадратной и гексагональной решётках .

Научная новизна. Основные результаты являются новыми. Впер-вно получены многомерные формулы для суш определителей тензоров эффективных масс, которые проинтерпретированнн в терминах сингу-лярностей Ван-Хова, При этом изучено строение риыанова пространства квазюашульса для случая решёточной модели , и доказаны некоторые предварительные факта для случая многомерного уравнения йота. Впервые изучено рассеяние Елоховских волн на точечном дефекте в анизотропной квадратной и гексагональной решётках. Офор-мулкрованны физические принципы ,■которым подчиняется возмущение электронной плотности. Данные принципы расходятся с прищртами построения Фриделевсккх осцилляций , однако приводят к лучшему согласию с экспериментом. Предсказано возникновение сектора с акспонешиальшм убыванием возмущения электроннпй плотное1; : в случае анизотропной квадратной решётки.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы по формулам для суии определителей тензоров эффективных масс , проинтерпретированные в термгсшх сингулярностей Ван-Хова , могут быть исполь.човани при изучении оптических спектров твёрдых тел.

-

Введённые з работа римановн пространства кзазииыпульса могут псслутедть инструментом для математической теории многомерных периодических дифференциальных операторов. Результата по рассеянию на точечном дефекте позволяет описывать поверхностное воз-мущенио электронной плотности в проводниках.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах кафедры математической физики СПбУ и каЯ-едрн теоретической физики (ГУ .

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа изложена на 90 стр. машинописного текста. Она состоит из введения , четырёх, глав , заключения и списка литературы из 44 наименований.

СОДЕГОШИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование выбора теш диссертации , сфор-мулированнн основные задачи и результаты работы.

Гл. I посвящена построении решеточных моделей для случаев одномерной , квадратно" , гексагональной , простой и объёмоцент-риросашгой кубических решёток. Пусть Г - решётка в ^ Поставим в соответствие катдому её узлу / конечномерное линейное пространство ^ , </¡т£'¡> = М > в нём - самосопряжённый оператор А £ , и его симметричное сужение с одномерным

дефектным подпространством ^ = ^ • Все об-

виты в разных узлах унитарно эквивалентны, Дигее , образуем ортогональную сушу Щг , аналогично А; Ж;А0 . Пусть (у — ограничений сзмосопрятанный оператор в Ж , тогда расширение А" до самосопряжённого оператора А& :

¿©¿У ={«: и=(А-ИГ1тг+А (А-ау% . я

- б

А6 и =А (А-ф-^&щ) - а -¿п11

Оператор А^ и ость наи основной объект. Его спектральный анализ проводится в явном виде. Елоховские функции А& определяются из уравнения / следствие фошулы Крейна для резольвент/ :

(С,-т1Шт+Ф~'х=0; тНЫте-Щ'^Г'ёеУ /2/

от

- ит ^грал Шварца операт'ча А , являющийся мероморф-ной £\ -функцией , и представимый е виде :

Ш= ¿-¿тгЬ ; е.,\i6fo ; ъ>0 /3/

Пусть оператор О однороден на Г , то есть ;9зависит только от К . Тогда в Фурье-представлении он переходит в ушгакение на функцию

6(р) , где ре В

- квазиимпульс

В - первая зона Брюшина решётки Г . Елоховские функции

%(р;\)=№\-о.Ш'/2 ©И е£<р;*> /л/

е*г Ле.х1 Ре

где /ВI - объём В , - радиус-вектор /-го узла. Дисперсионное уравнение &(р) - определяет нам спектр . Спектр чисто непрерывный и состоит из М зон , разделённых лакуна}« / одна из зон монет проходить через /. На каждой зоне дисперсионная зависимость X - кг<р), определяется из &(р) = . Мн будем использовать лишь простейший вид £ , описывающий взаимодействие только между ближайшими узлами. Для простой кубической решётки в /Р" :

Ш^ + ве-еУ, = /5/

где .;£,)£ ¿Г», Для обьёмоцентриро-

ванной кубической решётки в Й.3 :

&{р) = ■ сеярг ■ сезрз = /6/

Для гексагональной решётки в (И* всё несколько слолшее , так как здесь мы имеем дело с двумя решётками : ; У?^);

; /Т¿г ~ %?) / расстояние между ближайшими соседом , что для графита отвечает масштабу 1:1,228 А /,

лШ /, (г;

причём операторы Ае ил/ неэквивалентны. Оператор & :

б Г- У/Сл; - ваи.» ♦ } ; /7/

Уравнение /2/ приобретает вид :

/)«.V/1) V21-г л"'*-л/у№.*> /а/

и м Аи,2>+11 к. -^^т^г I

Дисперсионное уравнение :

{МШ^ЧСОЭ^СО!^}, /9/

Блоховскиэ функции : //• сг,//

х'ПлЧНгй-я* вШ ■ т

-<•</>.• О А'е^иГ л«.»

Гл.2 посвящена выводу формул для суш определителей тензоров аффективных масс в случае решёточных моделей.

В §1 рассматриваются критические точки для наших решёток. Критической называется точка РМ£-В в которой 1$о.(рМ)-0№ •

. , Г Л* 1 ")

Если в ней аеТ<-——{■ ±П , то она называется невкрожден-ной. У кубической решетки в /К имеется невырожденных критических точек {р'**: . У гексагональной решётки 18 невырожденных критических точек. У объёмоцентрированной кубической решётки 4 невыровденных критических точки и целое одномерное' множество вырожденных критических точек 1 топологически -четнрёхверашшый граф , в котором каждая пара вершин соединена

- 8 - -

двумя рёбрами/. В невырожденных критических течках определён тензор эффективной массы её*'

Б §2 построена риманова поверхность квазиимпульса для одномерней решётки. Она представляет собой систему из М вложенных друг в друга цилиндров 11*$. , соедаиённых . . ' . по2^ . разрезам / £

В §3 ЕЫведеш формулы в одномерном случае. Критические точки - концы зон , элективные массы - числа 26* , Хц^Ш - 2 Елоховские функции , отвечающие одному значению энергии , ы - точки , в которых / заведомо не вещест-

венные /.

« 4

Теорема 2.1, Пусть ^ П; = У /П: ; ;

г-'

1И \ • ял \ 2-га!' у ал 1

ч Ша.-/)*/ {с~р2 ку1г

10 ; 2>2;

Доказывается теорема- посредством рассмотрения интеграла

на риыадовой поверхности энергии.

В §4 выводятся формулы для сумы определителей тензоров эффективных масс для квадратной и кубической решёток. Для этого рассматривается интеграл по риманову пространству квазиимпуль-

/ Г

5>й Эр1 ••• др„

Тогда

где - сло.тлая к огранила Ларе критических точек , пред-

ставляющая собой М.'2 ^-мерных торов. Далее иы показываем , что 5 ¿> гомологична системе из ■ ^-мерных торов , яавднэ <£ которых охватывают один из концов риманова пространства нвазнимпульса 1 на котором Л—; <¿.-1,... ,М при р~* 00 /, причём имеется в виду гомояогичноеть на Романовен.! пространстве квазиимпульса с выброшенным особым множеством £ормн /II/. При этда существенно используется тот Еытекаю-пий из /5/ фант , что риманово пространство кЕазиишульса в ^ -мерном случае является локально тривиальным расслоением , с базой - риманово пространство квазиишульса в -мерном случае , и слоем - риманова поверхность из §2. Далее , вычисляются ассимптотики подичтегральной формы /II/ на катдом из концов и через них - интеграл /II/. С другой стороны , согласно теории Лере , интеграл /II/ равен искомой сумме определителей тензоров эффективных масс. Дчя квадратной решётки получаем :

ц *** Л< 4» /12/

В &5 аналогичная формула получена для гексагональной рэгзтян.

В §6 то же для объёмоцентрированной кубической реыётаи. Предлагается классификация вырожденных критических точек , основанная на теории аналитических множеств , и в некоторых из них определяется понятие эффективной массы через вычет Лере в полюсе высшего порядка.

3 §7 полученные формулы интерпретируются в терминах сингу-лярностей Бан-Хова. Пусть

т

- функция плотности состоял^», отнормированнач на I Она имеет особенности в тех точках А к >

которым отвечают критические точки Дк = Л (р'ю) . В одномерном случае получаем :

В тпёхиерном случае :

где предел берётся в той стороны , с которой IV'(к)"* <=>° .

В'гл. 3 рассматривается уравнение Шредингера с периодическим

потенциалом / уравнение Хилла /.

Б £1 рассматривается одномерное уравнение Хилла : - ^ у"(х) ; $(х+М = $(х) /13/

пусть Ц>Ь2. = ехр{±гхр(Щ Х,,г (х,Х)

- решения ¡Блоке

уравнения-/13/ , ~ V*,* ( I % - нормированные

\ ±' ' *" " Г 1

решения йлоие , /<£ - концы зон спектра , ¿Л/ - точки , в

которых = / ода все вещественны /.

Теорема 3.1. Пусть К] г/, ; X>,(/;£$ ; ...

Тогда г

П Х(*г>£}УМ-^Т) = & Ш { /1 КМ */?

Доказывается теорема аналогично теореме '¿Л. / Эти формулы бьъи впереве получены Н.Е. <&ирсовой , но более сложный образом /. В §2 рассматривается многомерное уравнение Хилла : -4- й ш = 0 ; У(х+Ъ) = УМ /14/

2т а \ ^

Теорема 3.2. Если в /14/ = , то

1Е ^¿е* . " /15/

н

причём все критические точки невыроткдены и ряд в /15/ абсолютно сходится.

Далее подробно обсуждается вопрос о способах записи дисперсионного уравнения и описывается строение риманова пространства квазиимпульса для случая разделяющихся переменных.

Гл. 4 посвящена изучении рассеяния Елоховских волн на точечном дефекте в одно- и двухмерных решётках.

В §1 описывается общая схема включения точечного дефекта в решёточную модель. В узле О оператор А ¿> заменяется на другой оператор А , после чего взаимодействие включается по формулам /I/. Получаем возмудённьй оператор Его собственные функции представляются в 'виде%+ лХ ■ • Де X. - Елоховские функции невозмущённого оператора .

Пусть Р0 - ортогональный проектор из £ на £0 , Рд - его ортогональное дополнение. Тогда уравнения на Л 1С млеют вид : _

/ ^ и' /16/

Возмущение электронной плотности полагается равным :

где рр - импульс , отвечающий уровню Зерми.

Разница в подходах в нашей , и во Фркделевской моделях состоит в следующем. В модели Фриделя трезакерная волка с рассеивалась на потенги&ле конечного радиуса / в простейшем случае даче без наличия решётки /. Результат интерференции

падающей и рассеянной волн интегрировался по всем направлениям волнового вектора $ и по абсолютной величине $ от 0 до Дг . Результат был сферически-симметричен и имел порядок убывания

- О(2~3) . Б нашей же модели : во-первых , рассматривается рассеяний двумерных Елоховских волн , во-вторых , не проводится интегрирования по направлениям' $ , так как оно фиксируется расположением электродов в туннельном микроскопе , и в третьих , не проводится интегрирования по абсолютной величине Я , а просто подставляется . Последнее связано со

слвдующш,! обстоятельством. Фактически , мы долины интегрировать по тем величинам $ , которым соответствуют свободные электроны. 3 ависиыость плотности этих электронов от энергии представляет собой пик в точке £ -¿г^- , шириной порядка КТ .В терминах волнового числа это означает пик в точке Л - , пишной порядка й . Для того , чтобы ин-

тегрирование осциллирующего выражения с по такому про-ме.-кутку увеличило бы скорость убывания по Z , необходимо выполнение условия Л $ >> , где - характерная длина , на которой мы измеряем возмущение электронной плотности. Подставляя конкретные значения констант / для графита при 300 К /, получим

, а 10 А . Таким образом , реально мы имеем обратное неравенство лА « ?о , следовательно функция мало изменяется на промежутке •Л & , и мы

можем вместо интегрирования по нему просто подставить 4 = •

В §2 рассматривается .точечный дефект в одномерной решётке. Возмущение Елоховских функций : /) п*

лУ ше>*тх(ье1:1<о ■. -щ* ,•

- 13 -

Непрерывный спектр Ag. совпадает со спектром , но

может появиться дискретный спектропределяемый соотношение!,í Q*~ Q ~ tJQ*- - 0 • каает лежать лишь в лакунах непрерывного / анал'тично одномерному уравнению Хилла с быстро убывающем возмущением /.

В §3 рассматривается точечный дефект в квадратной, репётке. Возмущение Елоховских функций :

лУ = Ш=,фУ~ Г С екрп<р^>} * Л*d Л

у ОД-&(р) Ае-и

s(II г JL G-Q* . D /.}- JL (Г fMfr _ J /81 Í + (Q*-Q)R0 • K"{ÁJ ~ IBI п Qa)-&(P)

Здесь опять непрерывные спектры Aq. и A g совпадает , но у A¿ может появиться дискретный спектр , определяемый из 1+ (Q*~/2)R0 = О .Он может появляться как в лакунах непрерывного , так и на зонах.

Далее ищете; ассимптотика AJ) при Z-* <?о вдо.ть направления Oxf = сС , при посредстве хорошо известной теоремы об ассимптотике преобразования £урьэ от функций с осо-бегг'остями. Результат имеет вид :

ло..тм<т у smf&;__n,r,j

12ЩЖ lf? Т {-Sin^-mi^in^-COU-mi^iíY* /15/

где ±í - стационарные точки , то есть точки на изоэкер-геткческой кривой , в которых кермаль к ней параллельна нзл-равлению ухода на оо , а в качестве + tU) выбирается та точка из пары ^ , в которой подкоренное вкрздение в /18/ положительно.

Далее рассматривается вопрос о колличестве стационарных точек. В нашем случае COSpi^ztospzвыделяются 2 возмотшос-ти. I/. Çj-£z= Ç, . тогда для любого А при котором изоэнер-гетичедкая кривая является одномерным многообразием , то есть будет существовать одна пара невырожденных стационарных точек. 2/. ^ > • Тогда при <tliК при Сг^г < Gû)< такяе бУДет I пара , а при £ < Q(\)< - ситуация будет зависеть от нал- . равления. именно , пусть •<* - угол ыеуду 0Xj_ и нормалью к изоэнергетической кривой в точке перегиба . Тогда при будет ;уществовать 2 пары невырожденных стационарных точек , а при/ф-^/> стационарных точек вообще не будет , и следовательно àj> будет убывать как экспонента У а в остальных случал" как z " /. Это явление связано с тем , что иэоэнергети-ческая кривая не гомологична нулю на зоне Брщщоэна / которая топологически является тором /. Таким образ ом , если линия £>ермк для поверхности твёрдого тела не гомологична нулю на зоне Бриллюэна , то щя возмущения поверхностной электронной плотности точечным дефектом должен возникать сектор , внутри которого возмущение убывает как экспонента , а вне - как 2" . Граница сектора будет несколько размыта вследствие теялогого разброса. Это явление в принципе можно обнаружить в эксперименте.

L §3 та яе схема реализуется для гексагональной решётки. Основное содержание диссертации опубликовано в работах

1. Павлов B.C., Фролов C.B. Формула для суммы эффективных масс многомерной решётки. // 1991, т.В7, с. 456-472.

2. Павлов B.C., Фролов С.В, Спектральные тождества для зонного