Спектральные свойства операторов в задаче С.Л. Соболева и малые колебания вращающейся идеальной жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

УДК 517.95 + 517.938 + 517.984 и и

о

и

'3

1.ч

4°'

и.«

Фокин Михаил Валентинович

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ В ЗАДАЧЕ С.Л. СОБОЛЕВА И МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1996

Работа выполнена в Институте математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН профессор Плотников П.И.

доктор физико-математических наук профессор Михайлов В.П.

доктор физико-математических наук профессор Григорьев Ю.Н.

Ведущая организация: Институт прикладной математики

им. М.В. Келдыша РАН

Защита диссертации состоится года в ^

часов на заседании диссертационного совета Д 063.98.02 в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090 Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета по указанному адресу.

Автореферат разослан * & ~ еСсА^Г*^ 1995 ГОда.

Ученый секретарь диссертационного совета

д.ф. м.н., профессор

Общая характеристика работы

Одной из важнейших задач математической физики является описание качественных свойств решений уравнений гидродинамики и определяемых ими течений жидкости. Отсутствие теорем существования и тем более явных представлений классических решений в общем случае заставляет исследователей искать пути построения более простых по структуре уравнений, обладающих близкими свойствами. Одним из возможных вариантов является рассмотрение линеаризованных задач динамики жидкости.

В диссертации рассматривается система уравнений

dV

— +2kxV = -VF, div V = 0, (1)

полученная линеаризацией во вращающейся системе координат (х,у, z) уравнений Эйлера на решении, соответствующем твердотельному вращению идеальной несжимаемой жидкости. В системе (1) V = ( t'i. г>з) — возмущение исходного поля скоростей, Р — отклонение давления от установившегося при равномерном вращении, к = (0,0,1/2) —вектор угловой скорости, плотность жидкости считается равной единице.

Впервые система (1) рассматривалась в работе А. Пуанкаре [1]. Исследование качественных свойств решений системы (1) и связанных с ней уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени, было начато в известной работе С.Л.Соболева [2]. Им были выявлены принципиальные отличия указанных уравнений от классических уравнений математической физики, исследована разрешимость смешанных задач и задачи Коши и поставлена задача изучения асимптотического поведения решений при t —> оо. В дальнейшем вопросы, связанные с указанной тематикой: спектральные свойства возникающих самосопряженных операторов, разрешимость в различных классах функций, оценки и асимптотика решений и их производных, в том числе и для более общих уравнений и систем не типа Коши — Ковалевской, активно изучались разными методами в работах P.A. Алек-сандряна, Т.И. Зеленяка, С.А. Гальперна, В.Н. Масленниковой, М.Е. Боговского, Н.Г. Копачевского, Ю.Н. Григорьева, Б.В. Капитонова, В.В. Сказки, Ю.Я. Кима, С.Н. Скляра, Г.В. Демиденко, С.А. Габова, В.А. Свешникова, A.A. Ляшенко, С.Д. Троицкой, Р. Шовалтера, Г. Лагнезе, С. Ралстона и многих других авторов.

В диссертации рассматривается модельный случай. Предполагается, что компоненты скорости V и давление Р зависят только от двух пространственных переменных х, z, а область, в которой расположена жидкость, представляет собой цилиндр Q = {(х, у, л) € // € R}. Основанием цилиндра является ограниченная выпуклая область il € Rj , ее граница Г класса С°° имеет положительную кривизну в каждой точке. При сделанных предположениях компоненты вектора скорости V и давление Р для любого решения системы (1) удовлетворяют уравнению

д'1 (д2п дЧ\ ö2u п , ч „ ,

е R. (2)

Первая краевая задача, поставленная для уравнения (2) С.Л. Соболевым, заключается в определении решения и(х, г, £) , удовлетворяющего граничному условию

«|г = 0 (3)

и принимающего при £ = 0 заданные начальные данные

ди

и\1=0 = и0{х,г), ^

= «!(*,*). (4)

¡=о

Для изучения асимптотического поведения при < —» оо решений задачи (2)-(4) естественно ввести оператор А, действующий в гиль-

о

бертовом пространстве Н^П) = Ж,1 (О) комплекснозначных функций. Для гладких функций и значение Аи определяется как решение следующей краевой задачи:

Д (Аи) = -и2г, А«|г = 0, (5)

где А — оператор Лапласа по переменным х, 2. Замыкание оператора А является самосопряженным в скалярном произведении

{и, у) = I (ихьх + игЪг) ¿хйг (6)

Jn

и ограниченным по норме || • Ц1, порождаемой (6) в Н^П). Используя оператор А, можно записать задачу (2)-(4) в виде

и" = Аи, и( 0) = «о, м'(0) = их, (7)

где и(Ь) — функция со значениями в Н^П). Для любой области И спектр А совпадает с отрезком [—1,0]. Собственные функции оператора А, отвечающие собственному значению Л € (—1,0), являются решениями задачи Дирихле

д2и д'ги

= + + = 0 (х,г)еП, гх|г = 0 (8)

для гиперболического оператора ¿(Л). Нетривиальные решения из Н^П) задачи (8) являются (обычными) собственными функциями, а слабые решения из — обобщенными собственными функциями

(о.с.ф.), соответствующими спектральному значению Л.

Асимптотика решений задачи (2)-(4) при £ —> оо определяется характером спектра оператора А в Н](Г2). Изучение спектральных свойств оператора А и их зависимости от деформации границы Г было начато в работах Р.А. Александряна [3, 4]. Он показал, что когда П — эллипс, оператор А обладает полной системой собственных функций. В то же время им было установлено, что при малых деформациях

круга для близких областей П у оператора А могут появиться участки непрерывного спектра. Обоснование последнего утверждения основывалось на идее С.Л. Соболева о представлении функций из Hi(fi) в виде и = f фы dp(u>), а соответствующих решений задачи (2) -(4) — в виде и = f ехр(ш^фи ёр(ш), где фш — семейство о.с.ф. оператора А (Л = — ш2). Построение не почти периодических решений указанного вида, проведенное P.A. Александряном, позволяло сделать вывод о существовании непрерывного спектра у оператора А. При этом в представлениях использовались кусочно постоянные о.с.ф. фы, разрывы которых в fi были сосредоточены на конечном числе отрезков характеристик оператора L(—u>2). Общая теория о разложении самосопряженных операторов по обобщенным собственным функциям получила свое развитие в работах А.И. Повзнера, И.М. Гельфанда, А.Г. Костюченко, Ю.М. Березанского и др. (см. [б]).

Критерии существования о.с.ф. и их структуру для областей с аналитической границей исследовал Т. И. Зеленяк [8-10]. Изучив свойства семейства диффеоморфизмов границы Г, определяемых с помощью характеристик операторов L(А), он построил подпространства

Я*г С Hi(О) (JV > 2, к = l,...,N - 1, НОД(ВД = 1), инвариантные относительно оператора А, интегральные представления для резольвенты, спектральной функции и решений с начальными данными из этих подпространств, а также описал характер спектра А в Ну. Им было показано, что если начальные данные (4) принадлежат подпространству Я^, на котором спектр А абсолютно непрерывен, то решения задачи (2)-(4) стремятся в Li{Q) к нулю при t оо. Т.Н. Зеленяк установил полноту построенных им систем о.с.ф. из Li(Q) для некоторых промежутков изменения спектрального параметра Л и показал, что система кусочно-постоянных о.с.ф. не является полной. В работе автора [19] было установлено, что при любом выборе п £ N сколь угодно малой деформацией границы Г в С" можно добиться, чтобы спектр оператора А стал чисто непрерывным. Однако во всех случаях построения инвариантных подпространств оператора А для областей с аналитическими границами оказывалось, что спектр А в этих подпространствах либо точечный, либо абсолютно непрерывный. Открытым оставался вопрос [10], может ли спектр оператора А для каких-либо областей fi иметь сингулярную компоненту (т. е. могут ли существовать такие и £ Hj(fi), для которых функция а(А) = (Еьи,и), где Е\ — семейство спектральных проекторов А, является сингулярно-непрерывной) и если да, то каким будет поведение соответствующих решений задачи (2)-(4) при t оо.

Целью диссертации является исследование условий появления сингулярного спектра для оператора А, асимптотики соответствующих решений задачи (2)-(4), а также зависимости качественных свойств колебаний идеальной жидкости в цилиндре Q, определяемых решениями линеаризованных уравнений Эйлера (1), от характера спектра этих решений.

Сингулярный спектр достаточно редко встречается в задачах математической физики и является "патологическим" объектом, который вносит существенные трудности в изучение асимптотических свойств решений эволюционных задач, мешает строить волновые операторы в теории рассеяния и т. д. Примеры его существования в классических задачах известны для оператора Штурма — Лиувилля на полубесконечном промежутке (Н. Ароншайн [20]), для уравнения Шрёдингера в теории рассеяния (Д. Пирсон [23]), для разностных аналогов операто-

Еа Штурма — Лиувилля с почти периодическими потенциалами [15]. [сследовались условия появления сингулярного спектра при одномерных возмущениях самосопряженных операторов (Б. Саймон, П. Доно-хью). В работах последнего времени [25, 26] Б. Саймона с рядом соавторов обосновывается тезис о достаточной типичности сингулярного спектра для различных классов самосопряженных операторов. Поэтому описание условий появления сингулярного спектра для линейных уравнений гидродинамики является актуальной задачей, позволяющей дополнить представления о его распространенности.

В первой главе диссертации для областей с границами Г класса С°° дается утвердительный ответ на вопрос о возможности существования сингулярного спектра оператора А, описываются деформации границы области, которые приводят к его появлению, и изучается асимптотическое поведение при I ос соответствующих решений. Методика исследования заключается в построении интегральных представлений для функций из некоторых инвариантных для А подпространств Яд, С Н( (П) и решений задачи (2)-(4) с начальными данными из этих подпространств. В интегральных представлениях используются семейства кусочно-постоянных о.с.ф. оператора А, которые рассматривал Р.А.Александрян. Построение вариаций границы и исследование асимптотики при £ —> оо возникающих в представлениях для решений преобразований Фурье сингулярных мер опираются на результаты из [5], связанные с конструктивным описанием структуры множеств единственности и неединственности для тригонометрических рядов (в частности, используется теорема Р. Салема — А. Зигмунда).

Вторая глава диссертации посвящена изучению зависимости качественных свойств колебаний идеальной жидкости в цилиндре (2, определяемых решениями линеаризованных уравнений Эйлера, от характера спектра задачи. Считается, что на границе дО. выполняется условие непротекания. При сделанных выше предположениях оказывается, что изменение координат х, г движущихся частиц жидкости описывается неавтономной гамильтоновой системой, гамильтониан Ф(я:,г,€) которой (функция тока для компонент г»!, г'з поля скоростей V) является решением задачи (2)-(4). Выделяется класс точных гладких решений системы (1), соответствующих построенным инвариантным подпространствам Н^ оператора А. Структура возникающих систем дифференциальных уравнений, порождаемых полями скоростей V, позволяет естественным образом ввести определение вихря как некоторого топологического объекта и задать его элементы и характеристики: мгновенную ось вращения, скорость вращения и

т. д. Задача описания возникновения и исчезновения вихревых структур (вихрей) сводится к изучению бифуркаций в семействе динамических систем, зависящих от t как от параметра. Эти системы определяют для заданного Ь линии тока в цилиндре <2 и их проекции в

. Как следует из результатов работы [21], такой подход может быть использован для широкого класса течений несжимаемой жидкости, обладающих групповой симметрией. Изучение динамики завихренности, возникновения и эволюции вихревых структур представляет собой сложную и важную проблему в гидродинамике [18]. В модели Колмогорова — Обухова — Хоифа [12] развитая турбулентность описывается следующим образом: непрерывно поступающая в жидкость энергия передается ее основному крупномасштабному движению, в дальнейшем постепенно переходит от вихревых движений (пульсаций) с большими масштабами к пульсациям с меньшими масштабами и наконец диссипируется в мелкомасштабных вихревых движениях, характерные размеры которых определяются вязкостью и средним количеством энергии, поступающим за единицу времени в единицу массы жидкости. Создание простых математических моделей, описывающих этот процесс или хотя бы отдельные его черты, является актуальной и важной проблемой.

Автором диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:

1. Установлены достаточные условия существования сингулярного спектра для самосопряженного оператора А, связанного с первой краевой задачей для уравнения С.Л. Соболева. Построены инвариантные подпространства оператора, на которых его спектр сингулярен, описаны деформации границы области, которые приводят к появлению сингулярного спектра.

2. Охарактеризовано асимптотическое поведение при t оо решений задачи (2)-(4), для которых энергетический спектр содержит сингулярную компоненту, и их производных но пространственным переменным.

3. Построены точные решения линеаризованных уравнений Эйлера (1), соответствующие инвариантным подпространствам Ядг оператора А. Изучены неавтономные гамильтоновы системы, порождаемые нолем скоростей, определены и описаны вихревые структуры, возникающие во вращающейся идеальной жидкости. Установлено, что независимо от характера спектра А в #у колебания жидкости имеют ячеистый характер, т. е. выбор подпространства определяет разбиение области II на систему подобластей ílj (3 = 1,..., £(ЛГ —&)) таких, что на границе каждого из цилиндров ^}j х {у} выполняются условия непротекания.

4. Показано, что для типичных периодических колебаний число вихревых структур, возникающих во вращающейся жидкости, является равномерно ограниченным по <, описаны моменты бифурка-

ций возникновения и исчезновения вихрей, перемещение вихрей в цилиндре С}.

Ь. Для колебаний с непрерывным спектром установлено, что во вращающейся жидкости происходит неограниченный рост числа вихревых структур, их масштаб уменьшается, скорости вращения вихрей неограниченно возрастают. Показано, что колебания имеют ряд признаков, подтверждающих их хаотический характер.

6. Установлено, что если при возбуждении гармонических колебаний во вращающейся жидкости частота вынуждающей силы принадлежит непрерывному спектру задачи, то резонансный рост компонент вектора скорости в цилиндре О локализуется в плоскостях, определяемых геометрическими свойствами области И.

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах академика Л.В. Овсянникова, чл.-корр. РАН П.И. Плотникова, профессора Б.А. Луговцова (Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН), академика Ю.И. Шокина (Институт вычислительных технологий СО РАН), чл.-корр. РАН С.П. Курдюмова (Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН), профессоров В.П. Михайлова и А.К. Гущина (Математический институт им. В. А. Стекло-ва РАН), академика С.К. Годунова, чл.-корр. РАН В.Г. Романова, профессора Т.И. Зеленяка, профессора Ю.Е. Аниконова, академика РАТН профессора В.Н. Врагова (Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН), а также на Всесоюзной конференции по теории дифференциальных уравнений, посвященной 75-летию С.Л. Соболева (г. Новосибирск, 1983), на конференции по условно-корректным задачам (г. Новосибирск, 1992), на конференции "Математические методы в механике" (г. Новосибирск, 1994), на 2-м Сибирском семинаре "Устойчивость гомогенных и гетерогенных жидкостей" (г. Новосибирск, 1995), на школе-семинаре по динамическим системам в Международном центре теоретической физики ЮНЕСКО (г. Триест, Италия, 1995), на международной конференции "Современные проблемы прикладной и вычислительной математики (АМСА-95)" (г. Новосибирск, 1995), на международной конференции "Нелинейные дифференциальные уравнения" (г. Киев, 1995), на Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (г. Новосибирск, 1995).

По теме диссертации опубликованы работы [29- 38]. Принадлежность результатов каждому из соавторов в совместной работе [29] указана в ее тексте.

Структура диссертации: диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на параграфы. Общий объем работы 220 стр. Библиография: 134 наименования.

Внимание автора к вопросам, которые рассматриваются в диссертации, было привлечено Т.И. Зеленяком. Автор благодарен ему, а также

B.C. Белоносову, М.П. Вишневском}', В.В. Сказке и многим участникам перечисленных выше семинаров и конференций за обсуждение результатов и интересные дискуссии.

Содержание диссертации

Первая глава посвящена изучению спектральных свойств оператора А, связанного с первой краевой задачей (2)-(4) для уравнения Соболева. Устанавливаются условия, при выполнении которых оператор имеет сингулярную компоненту спектра, описываются деформации границы Г, которые приводят к его появлению,и изучаются особенности асимптотического поведения при t —> оо соответствующих решений задачи. В § 1.1 формулируются основные результаты главы. Приведем некоторые определения из [10], необходимые для формулировок утверждений. Будем считать, что граница Г задается в полярных координатах уравнением р = p(ip) (х = р cos ip, z = psimp), начало координат принадлежит области Q. Проведем через точку границы Г с угловой координатой ip прямую, образующую угол —а с осью х. Прямая пересечет границу еще в одной точке, координата которой может быть задана с помощью функции j\ (р, а) класса С°° (в случае касания точки совпадают). Положим

/n(v,a) = /i(/„-i(v,«).(-l)"+l«) (п = 2,3,...).

Ломаная Т(<р,а), состоящая из отрезков (звеньев ломаной), соединяющих последовательно точки границы <ра = >р. = fi(ip,a), ..., (рп = /„ {¡р, а), ..., п = 2,3,...,называете я траекторией. Для данного а звеньями ломаной Т(<р, а) являются отрезки характеристик оператора L( А) из (8) для А = — cos2 а. Замкнутые траектории называются циклами. Значения а(<р), при которых траектория превращается в цикл с 2N звеньями, находятся из уравнений

fi.wif, afoip)) = <р + 2Ьг, (N >2, k = l,...,N - 1, НОД (N, k) = 1).

(9)

Функции а*. принадлежат С°° и характеризуют геометрические свойства области Ú. Положим

\kN(v) = -cos2 ак„{<р), Ад,(А) = mes {91 9 € [0,2т], A^v?) < А}.

Функция Л^(А) может быть разложена в сумму неубывающих функций Лдг(А) = Pi;,(А) + SkN(А) + Qn(А), где Р$(А) — функция скачков, 5д.(А) — сингулярная (функция, QkN(А) — абсолютно непрерывная функция. Для аналитической границы Г функции 5дг(А) постоянны при любых N,k. Свойства функций akv(<р) и диффеоморфизмов границы, связанных с характеристиками оператора ¿(A), подробно изучены в § 1.3 в леммах 1.3.1 - 1.3.12. Содержание лемм 1.3.1 - 1.3.4, 1.3.6, 1.3.8 - 1.3.12 во многом соответствует результатам, полученным в [10],

формулировки и доказательства приведены в той форме и с теми дополнительными деталями, которые требуются для доказательства теорем 1.3.1, 1.3.2. В этих теоремах описаны деформации границы Г, при которых возникают функции а^(<р) с заданными свойствами. В случае, когда Г — окружность, эти деформации задаются явным параметрическим представлением.

Положим akN = ппп^А^Д^), bkN = тах^АдД^). Рассмотрим промежуток [akv,bkN] изменения спектрального параметра Л (для постоянной функции Лдг(у) отрезок вырождается в точку). При выборе различных пар натуральных чисел N и к, удовлетворяющих условиям (9), соответствующие им отрезки [a^,bkN] не пересекаются. В § 1.4 описано построение бесконечномерных инвариантных замкнутых подпространств Нfr С Hr(ii) оператора А таких, что его спектр на каждом Hfr совпадает с отрезком [а^бд,]. Функции u(x,z) 6 Hfr имеют вид

<р2

u{x,z)= Jc{9)x{x,z,9)d6, (10)

Vi

где x(xi — специально выбранное семейство кусочно-постоянных о.с.ф. оператора А, 0 6 ,^2] ; Го = [<^1,^2] — некоторая дуга границы Г, определяемая выбором N и к, ((6>) £ ЬгЦгЬ r'i]) • Разрывы о.с.ф. x(xizi@) сосредоточены на отрезках характеристик оператора L(— cos2akN(0)), являющихся звеньями цикла T(9,akN(6)). Такие семейства о.с.ф. и представление для собственных функций оператора А, аналогичное (10), использовал P.A. Александрян [4]. При этом оказывается, что Hfr С Hi (О) П С{Г2) и существуют положительные постоянные С\, C2, сз такие, что при любом выборе и € Hfr выполняются оценки (леммы 1.4.6 - 1.4.9):

\и(х, г)| < ci||u||i, (х,г)еП, (И)

с2||С(^) lU^,^] < I! и 111 < с3|| C(^) (12)

В теореме 1.4.1 показано, что действие оператора А на функциях u Е Hfr, заданных в виде (10), эквивалентно умножению на функцию А*у

В Ь2(Ьъ92]Ь т- е-

fl

Au = J \kN(e)c(e)x(x,z,в) de, (13)

f\

и получены представления, аналогичные (13), для спектральной функции Е\ и резольвенты R\ оператора А в Н\.. Отметим, что, как показано в [10], система кусочно-постоянных о.с.ф. не полна в том случае, когда akN ф bkN, т. е. включение Hfr С -Е^щН^П) строгое.

Теорема 1.1.1. Число Ао £ (—1,0) является собственным числом оператора А тогда и только т,огда, когда для данной области П при некоторых ЛГ, к функция Апринимает значение Ао на множестве Ф С [0,2тг] положительной меры.

Теорема 1.1.1 показывает, что собственные числа оператора А совпадают с точками разрыва функций скачков А). В отличие от аналитических границ, для границ класса С°° возможна ситуация, когда множество Ф имеет положительную меру, но не содержит внутренних точек. Тогда бесконечномерное подпространство Я(Ао) собственных функций, соответствующих собственному значению Ао, не содержит функций из С1 (И), за исключением тождественно равной нулю. Если йд!^) = °(Ъ то Нц = Я(Ао), где Ао = — соз2оо- Любая собственная функция оператора А является элементом одного из подпространств Яу.

Если функция Ау(^) не постоянна, то разложим Я* в прямую сумму ортогональных инвариантных относительно оператора А подпространств Яу = РЯу + Я Я у -(- АН у таких, что спектр оператора А является точечным в РЯу , сингулярным в Ь'Яу и абсолютно непрерывным в АНдг (см. [11]).

Теорема 1.1.2. Если для данной области (Л при некоторых N, к сингулярная компонента 5у(А) функции Лу(А) непостоянна, то существует нетривиальное подпространство 5Яу С Яу , инвариантное относительно оператора А и такое, что спектр оператора А сингулярен на БН^ .

Заметим, что бесконечномерное подпространство 5Яу, описанное в теореме 1.1.2, никогда не содержит гладких функций, более того, всегда БН*, П С1 (и) = {0}. В работе получено необходимое и достаточное условие для того, чтобы сингулярная компонента 5д*(А) функции Л д. (А) была нетривиальной (следствие 1.2.2). Сформулируем для иллюстрации простое достаточное условие: если на некотором промежутке (^О)^) функция А*у(<^) строго возрастает, ее производная равна нулю на множестве К С (1^0,^1) и те8 £ > 0, то 5у(А) нетривиальна.

Следующая теорема показывает, что при деформациях границы любое собственное число оператора А может порождать сингулярный спектр. Наоборот, если сингулярный спектр в заданном подпространстве Яу существует, то при сколь угодно малых вариациях границы для близких областей возможно появление собственных чисел оператора А в указанном подпространстве Я* (для тех же N, к).

Теорема 1.1.3. Пусть для области О с границей Г: р = р(<р) оператор А имеет хотя бы одно собственное число в подпространстве Нх . Тогда для любых е > 0 и п £ N существует область ^ с границей Г\:р = р\{<?) класса С°° такая, что ||р — /^Ио < £ и

оператор А имеет в Нкк с Н^Г^) сингулярную компоненту спектра. Наоборот, если для исходной области О при некоторых N, к функция 5д.(Л) нетривиальна, то существует область , близкая в указанном смысле к и такая, что у оператора А существуют собственные функции в Н^ С Н^Г^).

В § 1.3 (теорема 1.3.2) установлено, что для любого п £ N сколь угодно малой деформацией границы Г по норме Сп можно построить близкую к данной 0 область такую, что некоторая функция адг(¡р) для нее будет тождественно постоянной. Как следствие теорем 1.1.3 и 1.3.2 получается, что в множестве Л 2тт-периодических функций р(р), определяющих в полярных координатах границы выпуклых областей содержится плотное в любой норме С" подмножество ^¡нщ гладких функций р((р) таких, что оператор А имеет сингулярную компоненту спектра для соответствующих областей П.

Асимптотическое поведение решения и задачи (7) зависит от выбора начальных данных щ, щ в подпространстве Н^ следующим образом:

— если щ, и\ принадлежат РН\г, то и почти периодично по

— если щ, и 1 принадлежат АН*, , то и стремится в Н^О) слабо (и следовательно, в сильно) к нулю при £ —» ±оо.

Если мо, «1 принадлежат БН^, то и обладает "промежуточными" свойствами, которые удобно охарактеризовать, рассматривая значения = (и(х,2,1),ь) линейных функционалов, заданных на решениях, где V — произвольный элемент из Н^А). Заметим, что для почти периодических решений и функция при любом V также

является почти периодической, и в таком случае, если дополнительно известно, что —» 0 при £ —» оо, то = 0. Для решений с

начальными данными из АН^ Пт|<|_).оо'0«(*) — 0 для любого V. В общем случае поведение функций для рассматриваемой задачи

существенно зависит от структуры множества Едг критических значений функции = сой ад,(9). Известно (теорема Сарда), что множество Едг замкнуто и имеет нулевую меру Лебега. Для дальнейших формулировок нам потребуется следующее определение [5]:

• Множество 2 С [—тг, 7г] называется множеством единственности (и-множеством), если из сходимости тригонометрического ряда к нулю во всех точках дополнения [—7Г, 7г] \ 2 следует, что коэффициенты этого ряда тождественно равны нулю. Множество 2 называется множеством неединственности (М-множеством), если существует нетривиальный тригонометрический ряд, сходящийся к нулю во всех точках множества [—тг, 7г] \ 2.

Теорема 1.1.4. Пусть для области при некоторых N, к множество Едг является II-множеством. Тогда любое решение и(х, г, 1)

задачи (7) с начальными данными из РН^ + 5 Я у обладает следующим свойством: для произвольного v £ Нт (П) из справедливости условия ф^) = (и(х, —> 0 при |£| —> оо следует, что

Ф,{г) = о.

При доказательство теоремы 1.1.4 используется теорема 1.5.1 из § 1.5, в которой дана характеристика поведения при £ —► ±оо значений линейных функционалов, заданных на решениях задачи Коши V' — ПЗУ, ^(0) = \о для произвольного ограниченного самосопряженного оператора В в гильбертовом пространстве Н, имеющего сингулярный спектр, в случае, когда множество всех точек спектра является' V-множеством.

Справедливость оценки (И) для и£Я* означает, в частности, что в качестве функционала ф^) в теореме 1.1.4 можно рассматривать значение и(хо,2о,£) решения в произвольно взятой точке (жо,гд) £ П. В следствиях 1.6.1, 1.6.2 из теоремы 1.1.4 показано, что если является и-множеством, то любое нетривиальное решение задачи (7) с начальными данными из РЯдг+5Ядг обладает следующими свойствами:

(а) существует замкнутое множество Е С П, определяемое выбором начальных данных «о, и\, такое, что и(х, г, £) = 0 для всех (х, г) £ Е, £ £ К (очевидно, Г С Е), а во всех точках (х, г) открытого множества У= П\Е выполняется неравенство Нт(_>±00|гх(х, г, £)| > 0;

(б) если В — ограниченный оператор вложения Яд, в банахово пространство В с нормой || • ||в, то 1щ1(_*±оо||«7и(*)||в > 0.

В то же время решения с начальными данными из .4Яд. обладают противоположными свойствами: Нт(_+±00 и(х, г, £) = 0 при всех (х,г) £ П; Нш(_>±00 (|,7и(£)||в = 0, если вложение ./ компактное.

Следующая теорема показывает, что при вариациях границы Г возникают семейства областей, для которых соответствующие множества Едг могут быть как I/-множествами, так и М-множествами, причем асимптотическое поведение решений задачи (7) меняется в зависимости от того, каким окажется Ед,.

Теорема 1.1.5. Пусть для области По с границей Гд : р = ро(<р) класса С°° при некоторых значениях N, к функция а^(¡р) постоянна. Тогда можно указать семейство строго выпуклых областей П(е, х) ('О < е < £о> 0 < х < щ) с границами Г(г, х): р = ^(у3) + е, х), обладающее следующими свойствами:

(а) 12(0, х) — По для всех х £ (0, хо];

(б) для любого п £ N существует хп > 0 такое, что Т(е,х) принадлежит Сп при х < хп и Нт£.чо||/3(9)е'>*)11 с» = 0 (т- е-Г(е, х) сколь угодно близка к Го по норме С" при е —> 0):

(н) для любых е > 0, х > 0 существует нетривиальное инвариантное относительно оператора А подпространство ЗН^(е,х) С

Н1(П(£, х)), на котором спектр оператора А сингулярен;

(г) множество Едг(е, х), построенное для Г(е, х), является и -множеством в том и только том случае, если х принадлежит некоторому счетному подмножеству М. промежутка (0, хо], причем О — предельная точка для М;

(д) если Нд-(е, х) является М -множеством, то можно указать начальные данные и^, щ £ ЗН^(е,х) и элемент V £ Н^Г^е, х)) такие, что для решения задачи (7) функция = (и(х, г, ¿), у) удовлетворяет условиям ф(0) ф О, Нтш^^ = О.

Из п. (д) теоремы 1.1.5 вытекает, что если Е^ является М-множеством, то среди решений задачи (7) с начальными данными из подпространства , соответствующего сингулярной части спектра оператора А, могут оказаться такие, для которых в некоторой точке (х.г) выполняется м(э:,2,0) ф 0, но Нт|(|^.00и(х,2^) = 0, чего не может быть по теореме 1.1.4 для [/-множеств Е^г.

Множество областей Йо, для которых выполняются условия теоремы 1.1.5, включает эллипсы (для эллипсов все функции а^(^) постоянны). По теореме 1.3.2 для любой исходной области Л и любого п £ N сколь угодно малой деформацией границы Г в С" можно построить новую область с границей Г1, для которой некоторая функция ад.(у) постоянна и применима теорема 1.1.5.

Множество М. из п. (г) теоремы 1.1.5 состоит из чисел вида х = 1/г] < хо, где г] — числа Пизо [5], т. е. целые действительные алгебраические числа г] > 1, все сопряженные к которым лежат внутри единичного круга комплексной плоскости. Отсюда М. является счетным. В частности, М содержит числа х = 1 /т, где т € N, 1 /т < хо. Из известных свойств чисел Пизо вытекает, что М и {0} замкнуто и имеет предельные точки, отличающиеся от 0. При доказательстве теоремы 1.1.5 для семейства областей и(е,х) построены решения задачи (7) с начальными данными из соответствующих подпространств БН^е, х), значения которых в некоторой точке (х0,г0) 6 х) представляются в виде

оо

= соз(о.'0<) Дсо8(<е^_1(1 - х)). (14)

Эти решения можно охарактеризовать как колебания с основной частотой ша, имеющие бесконечное число модуляций, частоты которых образуют геометрическую прогрессию со знаменателем х. Правая часть в (14) представляет собой преобразование Фурье некоторой стандартной сингулярной меры Лебега-Стилтьеса, определяемой симметричным совершенным множеством с постоянным отношением х [5].

Построение таких множеств и мер описано в § 1.2. Оказывается [5], что Нт(_1.±со ису:х(хо, 2д, £) = 0 в том и только том случае, когда 1/х не является числом Пизо.

Как следует из представления, которое получено в § 1.4 (теорема 1.4.1) для решений и(х, г, £) задачи (7) с начальными данными из подпространства //у , описание асимптотического поведения при |£| —> оо значений и(х, г, £) в точках (ж, г) 6 О связано с исследованием осциллирующих интегралов вида

<Р1

и{х,г,г)= I ехр(ш(в)1)Х{х,г,е)(; (6)с19, (15)

VI

где \(х,г,в) —семейство о.с.ф. оператора А, свойства функции ш(9) зависят от выбора области П, ((0) £ ¿г^ь ^2] • Известно, что основные члены асимптотического разложения по £ при £ —} оо для таких интегралов определяются критическими точками функции ш(в). Особенностью рассматриваемой задачи является то, что множество критических точек для ш(в) может иметь сложную структуру. В частности, если для Я выполняется достаточное условие существования сингулярного спектра оператора А, то это множество обязательно имеет положительную меру Лебега на отрезке [^1,^2], а множество критических значений функции ю{9) несчетно.

Теорема 1.1.6. Пусть заданы произвольные функции ф £ С°°[0, 1], V £ ¿2 [0, 1]. Положим

1

Ф(£) = J exp(iф(s)t)v(s)ds. (10)

о

Для любой заданной области с границей Г : р = р(р) класса С°° , любых е > 0 и п £ N существует область с границей Г]: р = Р[ (<р), которая обладает следующими свойствами:

(а) \\р-рх\\с* <е;

(б) существует подобласть О! С Г2ь числа и>о £ (0,1), 6 > 0 и решетке и(х, з,£) задачи (7), которое при каждом значении £ принадлежит С (и), постоянно по х, г в О! и для всех точек {х,г) £ И' справедливо равенство и(х,г^) = ехр(гшо£)Ф(<5£); при этом если и £ Со°[0, 1], то £ С°°(П) при всех £.

Теорема 1.1.6 показывает, что в общем случае говорить о какой-либо асимптотике классического типа для решений задачи (7) при £ —► ос для областей с гладкой границей не имеет смысла. Наоборот, фактически может быть решена обратная задача: по произвольно заданному (16) асимптотическому поведению при £ —)■ оо можно указать

деформацию границы и решение, которое (с точностью до растяжения времени) ведет себя предписанным образом.

Асимптотическое поведение при t —»■ оо производных по переменным х, z для гладких решений задачи (2)-(4) с начальными данными из подпространства Hfr описано в следующей теореме.

Теорема 1.1.7. Пусть fi — произвольная выпуклая область с границей Г гсласса С°°, IC(akN) С Г — множество критических точек функции akN{^p), Hkr — инвариантное подпространство оператора А, определяемое выбором N и к. Плотному в Нк- линейному многообразию hkN = C°°(fi) П Hfr начальных данных щ, и\ задачи (2)— (4) соответствуют решения u(x,z,t), обладающие следующими свойствами:

(а) u(x,z,t) £ С°°(Щ при всех t £ R;

(б) в fi определены две функции u>i(x,z), и>2(х,г) £ С°°(fi) такие,

Q\P\u(x,z,t)

что u.'i|r = uj21г и для производных —_ а ' '— при всех (x,z) £ _ 1 1 dx^dzfo

fi, t £ M, p = (/?i,/32), \P\ = Pi + Pi > 1 справедливы, представления

дЩ 2 1/31-1

â^ft = E Etm {<0Ax>2) exp M*. w (17)

j=l m=0

m),

где функции um)3 j(xiz) определяются выбором на-

чальных данных щ, щ £ L^ ;

(в) если мера множества K-(akN) на Г положительна, то существует замкнутое множество Е С О такое, что mes Е > О и u'^n/3j(x,z) = u^n/3j(x,z) - 0 для всех (x,z) £ Е, m > 1 при

любом выборе £ L^y (m. е. производные всех порядков по

х, z для решений являются ограниченными по t функциями на множестве Е);

(г) Е = fi в том и только том случае, если akN(f) = Qo (и тогда u>i(x,z) = <j)2(x,z) = cosao, m. e. Hfr = Н(Ао) — подпространство собственных функций оператора А, соответствующих Ао = — COS2 Qo )■

Существование сингулярного спектра оператора А означает, что на множестве Е положительной меры в fi производные всех порядков гладких решений с начальными данными из HkN являются осциллирующими ограниченными функциями (см. п.(в)), как и для гладких

периодических решений, но частоты осцилляций зависят от пространственных переменных. Амплитуда осцилляций для производных от решений с абсолютно непрерывным спектром для |/?| > 1 растет при t —¥ оо как t^"1, этот эффект был описан Т.Н. Зеленяком в [10].

Доказательства теорем 1.1.1 - 1.1.7 приводятся в § 1.6. Вопрос о существовании сингулярного спектра для областей с аналитической границей остается открытым.

Во второй главе диссертации изучается зависимость качественных свойств колебаний жидкости в цилиндре О, определяемых системой (1), от характера спектра оператора А. По сделанным выше предположениям компоненты вектора скорости V (которые далее обозначаются м, v, w) и давление Р не зависят от у. Система (1), рассматриваемая уже в двумерной области О, приобретает вид

ди ЭР dv д w дР

dt=V~~~dx' = ^ (18)

В Q задаются начальные данные

П=о = *'оМ. (20)

и граничные условия непротекания на Г

(ищ + шпз)|г = 0. (21)

где п = (щ,щ) - вектор нормали к Г в плоскости x,z. Рассматривая в дальнейшем решение задачи (18)—(21) и "линеаризованное" движение частиц жидкости, которое оно определяет, мы будем либо выделять компоненты и, w и с их помощью опис ывать проекции линий тока и перемещение проекций частиц на плоскость х, z в области П, либо рассматривать полный вектор скорости V, считая его заданным во всем цилиндре Q и описывая линии тока и перемещение частиц в Q. Известно [10], что для гладких начальных данных Vo, удовлетворяющих условиям (19).(21). гладкое решение задачи (18) (21) существует при всех t, причем выполняется закон сохранения энергии

£(t) = j (| ii|2 + |tf + | uf) dxdz = const . (22)

»

Для определения компонент и, w скорости \' в § 2.1 вводится функция тока Ф с помощью уравнений

0Ф ЗФ

'ОТ' "'=07

Считается, что Ф|г = 0 при всех £. В лемме 2.1.1 устанавливается, что Ф является решением первой краевой задачи для уравнения Соболева

д2 /52Ф 52Ф\ д2Ф

= 5 = (25)

Ul (=0

где начальные данные Фу, Ф] определяются однозначно по 1'ц, и наоборот, если задана гладкая функция Ф, удовлетворяющая (24)—(25), то ей соответствует множество решений задачи (18)—(21) вида V = Vq(x, z, t) + V(x), Р — Pq(x, z, t) + Р(х), где Vq , Po — одно из частных

решений, а V = (0, v(x),0), Р = J v(x)dx —произвольное стационарное решение задачи.

Далее в § 2.1 определяется гильбертово пространство Н, соленои-дальных вектор-функций V — (u,v,w), заданных в £1 и удовлетворяющих в обобщенном смысле условиям и'х + w'z = 0 и (21), с энергетической нормой, определяемой (22) и соответствующим скалярным произведением (•, -)о. Компонента v 6 L^Hl) для V £ 'H()s произвольна. И® называется пространством состояний для задачи (18)-(21). Считая V(x,z,t) функцией t со значениями в Н®, легко привести (18)—(21) к виду

V = iBV, У(0) = Vb, (26)

где BV = iV(2kxV), V — проектор на 'Я®, заданный в пространстве Я всех вектор-функций V с конечной L? -нормой. Оператор В является ограниченным и самосопряженным в . Таким образом, каждому решению задачи (18)—(21) соответствует траектория {V(i)|t € К.} в , определяемая (26). В дальнейшем рассматриваются только решения V{t), которые ортогональны в Hüs всем стационарным. Для каждого решения V(t) обычным образом вводятся предельные множества jCw{V(f)} при t —» +оо и Ca{V(t)} при t —> —оо в пространстве Н^.

Пусть Ф(x,z,t) — гладкое (действительнозначное) решение задачи (24)-(25), V(x,z,t) — решение (18)—(21), соответствующее заданному выбору Ф. Тогда движение частиц жидкости в цилиндре Q описывается с помощью системы (точка обозначает производную по t)

i = -*',(*, 2, t), z = 9't(x,z,t), у — v(x, z,t). (27)

Первые два уравнения в (27) определяют неавтономную гамильтоно-ву систему в £2. Каждому решению (x(t),z(t)) гамильтоновой подсистемы соответствует множество решений последнего уравнения в (27) вида y(t) = Jlo v(x(£),z(C),C)d( + yo, где у0 произвольно.

■1

18 А

Далее в § 2.1 дается определение вихревой структуры (вихря). Для любого заданного Ь рассматривается динамическая система в (2 = П х М, порождаемая "замороженным" векторным полем 1/(х,с.<) и определяющая линии тока:

¿х дФ, , йг дЯ>, . „

= Тт = ^Ш (28)

^ = v(x,z,(t)), (29)

где обозначение (£) подчеркивает тот факт, что I фиксировано. Пусть Р2(£) и Рз(£) — динамические системы, определяемые соответственно уравнениями (28) и (28) (29) в О и О. Переменная г играет роль вспомогательного "времени" и позволяет задать параметрически линии тока в <2 и их проекции в для выбранного значения <, а также определить некоторые величины, характеризующие динамические системы Х>2(¿) и 2?з(<).

Таким образом, с каждым гладким решением г,£) задачи (18)-(21) будут связаны не только траектория {1'(£)} в пространстве состояний Нв3. но и семейства динамических систем Т>2(£) и Vз(<) в 52 и (2 соответственно, зависящие от I как от параметра.

Обозначим через /С(Ф, I) множество критических точек функции Ф(а',2, (£)) в 17, для которых У^.-Ф = 0 (точек покоя системы V2(/)). Будем называть регулярной линию уровня {Ф(х, г, (?)) = с}, если АС П {Ф = с} — 0. Для каждой точки (хо,го) £ /С(Ф,£) прямая (.го, го) х {у} является траекторией системы Г>з(<) (т. е. линией тока), если 1'(хо, го, (£)) т^ 0, и состоит из точек покоя 2?з(£) в противном случае.

Пусть £)2Ф(х,г,£) —матрица вторых производных по х, : функции Ф при заданном £ в точке (х, г), Det2,í'(.r, г. 1) — ее определитель. Все множество £(Ф.£) можно разбить на три непересекающихся подмножества /С/,, К.,: и К.^ — соответственно гиперболических (Ое(;2Ф < 0), эллиптических (Бе^Ф > 0) и вырожденных (Бе12Ф = 0) точек. Отметим, что Ке содержит только точки строгих локальных экстремумов функции Ф(ж, г, (£)). Невырожденные точки являются изолированными точками покоя системы Т>-2{1). Если £ /Се(Ф, то линии уровня {Ф(я, л, (£)) = с} = 7(с) в некоторой окрестности этой точки регулярны и определяют замкнутые траектории динамической системы V2((). Пусть (х(г), г(т)) —периодическое решение, соответствующее одной из таких траекторий 7(с),

Т(с) —его период. Положим Ау(с) =г>(а;(г), г(т), (£)) ¿г. Тогда линии тока (т. е. траектории динамической системы 2?з(0), лежащие на цилиндре 7(с) х {у}, представляют собой "винтовые линии" с шагом Ау(с), если Ау(с) ф 0, и замкнуты, если Ау(с) = 0.

к

К. 13

Пусть ¿/(xo.^o;í) —- максимальная окрестность точки (xo,zq) G /С, (Ф, í), состоящая из регулярных линий уровня 7(0) и самой точки (j'o. zq) (очевидно. U{xu. í), является инвариантной для динамической системы Т>2(t)). Если линеаризовать систему (28) вблизи неподвижной точки (хц.со) € /СДФ,^, то характеристические корни соответствующей матрицы равны ±i/i, где // = ^Ое12Ф(.г0, z0, (t)). Положим

*(.го.-о: 0 = sign (Ф",(-г0, (0)) х

Нетрудно убедиться, что для периода Т(с) (по т) обращения на винтовых траекториях системы T>s(t). лежащих на поверхности 7 (с) х {,;/}. выполняется Т(с) —¥ 2п/\х(хц. t)\, когда контур 7(с) стягивается к точке (г0. ;ц). Знак х указывает направление вращения.

Каждому локальному экстремуму (j'ü,co) с /Се(Ф,t) функции тока Ф(x.z.(t)) сопоставляется простейшая вих])евая структура— вихрь.

« Пусть (j'i). Zq) G /С,(Ф, í), U(xo,z0;t) определенная выше максимальная инвариантная для V-¿(t) окрестность, состоящая из регулярных линий уровня функции Ф(x,z,(t)) . Назовем вихрем множество всех траекторий системы T>¡(t) (линий тока), иринад-лежащих цилиндру U х {г/}, точку (j-o,^o) центром вихря, прямую (j'o, zu) х {(/} - (мгновенной) осью вращения вихря, число эд t) — скоростью вращения вихря, окрестность Ы — областью влияния вихря.

Приведенное выше определение естественным образом связано со специальной структурой системы (28) (29) и является частным случаем определения вихря из работ [7, 21]. В [21] показано, что любое движение несжимаемой жидкости, обладающее групповой симметрией. описывается в некоторых координатах системой дифференциальных уравнений вида (27). В рассматриваемой задаче указанную группу образуют параллельные переносы вдоль оси у.

Точки множества t) в 12 определяются из системы уравнений

Если найдены координаты {xü(tü), ~o(ío)) центра одного из вихрей при t = tu. то из условия Det^(j'o,^о.'о) > 0 следует, что для некоторого = > 0 при |í — fo| < заданы гладкие функции (ar0(í), ^0(í)), которые описывают движение центра в ÍI. Соответственно гладким образом меняется и скорость вращения x(t) — x(xü(t), Zf)(t)\t). Рассмотрим вектор l'(t) = (x'u(t). :'n(t)). Его д.тину ¡í '(0l естественно назвать скоростью перемещения вихря 110 области Í1.

Моменты появления и исчезновения вихрей связаны с бифуркациями в семействе динамических систем T>-¿(t) при изменении f. При

■этом происходящим бифуркациям соответствует появление к множестве £(Ф,/) вырожденных критических точек. Задача описания возникновения, эволюции и исчезновения вихревых структур сводится, таким образом, к изучению бифуркаций п семействе динамических систем Т>2(0 , т. е. определению моментов времени и точек в {}, где появляются (или исчезают) локальные экстремумы функции Ф(,r,z.t), а также скорости вращения вихрей и линий, по которым перемешаются их центры, при изменении t.

В § 2.3 уточняются свойства функций, принадлежащих инвариантному подпространству Яоператора А. В лемме 2.3.6 показано, что для заданных N и к в области (Л можно ввести новые (названные характеристическими для Яд.) координаты £ = £(.г. г). // = //(.г.:) так, что выполняются следующие свойства:

(а) функции Е C°°(U), линии уровня {£ = const} . {>] = const} в il являются отрезками прямых. |./(.с,;)|= ^

D{x,

> 6 > 0 ;

(б) каждая функция Ф £ Я у в координатах £, /; представляется а виде Ф = ^ (О - Н2(1])где Н[ = Я2|г ;

(в) если рассмотреть отображение F:(.r, с) -> z). 1](х, z)) замкнутой области {2 на плоскость с ортогональными осями. £, 1] , то Р является взаимно однозначным и образом границы Г будет эллипс, вписанный в квадрат К = {|£| < 1, < 1} , касающийся одной из ст,орон квадрата в точке (1,С08(А'тг/Л')) .

Переход к характеристическим координатам в О позволяет записать систему (27), определяемую произвольным гладким решением задачи (24)-(25) с начальным!! данными Фо, Ф1 £ Н\, в следующем специальном виде (леммы 2.4.2, 2.4.3):

• _ + ■ _ МОзшМ^ + ЕМО) . _ ... п

ч— т/г \ 14— т/с \ 1 У ~ ''''»

(30)

где ?(£,?/,£) = , ,7[(£,'/) — якобиан обратного пре-

образования .Г-1, функции Л1Ю1 ^2(4)1 'Ы'/) определяются

выбором начальных данных Фо,Ф1 £ Ну, а ¿^(О^ и''2(']) — выбором подпространства Яд, и геометрическими свойствами области 12. причем на границе Г выполняются условия и'1|г = о-'2|г. = -В теоремах 2.3.1, 2.4.2 установлено, что независимо от характера спектра оператора А колебания в цилиндре (2 • определяемые выбором подпространства Яд,, имеют ячеистую структуру. Показано, что

(а) существует разбиение области Q на к(Х — к) попарно непересекающихся подобластей П,-^ (/ = 1.....к; ] = 1.....Л — к).

однозначно определяемое геометрией области и такое, что

(¡) общие дуги границ имеют пары подобластей 12^, 121+1а и

$7,-^ , 12,,;+1 (далее — соседние подобласти); (и) для каждой подобласти определены два взаимно однозначных преобразования симметрии S¡j и ¿¡^ 12,-у на , для которых 5/у о 5/у = о Б} - = I, где I — тождественное отображение. Множества неподвижных относительно симметрии S¡ j или <!>2;- точек (оси симметрий) являются отрезками прямых. Они принадлежат линиям уровня {£ = соз(т7г/Лг)}, {7 = со8(1тг/Л*)}, (т,1 = характеристических координат £, Т]; (ш) для каждой пары соседних подобластей 12' и 12" существует преобразование "симметрии" через общий участок границы 7 — ¿Ю' П дО," , т. с. взаимно однозначное отображение Т 12' и 12" на 12' и 12" такое, что точки 7 являются неподвижными для Т, Т О т - I, Т(IV) = 12", Г(12") = 12';

(¡у) для любой функции Ф £ Яд, и любой подобласти 12,;- выполняются следующие условия: = О, Ф является четной относительно симметрии. «!>/;- и Б]^ и нечетной относительно симметрии Т любых двух соседних подобластей;

(б) для любого решения (£(£),системы (30) с начальными данными 113 цилиндра 12,^х{2/} при всех Ь £ К вы-

полняется (£(£), 17(0>У(0) £ 12,у х{г/}, т.е. внутри цилиндра 2 возникают *фиктивные" границы 912,х {у} , которые не могут пересекать при колебаниях частицы жидкости;

(н) если при возрастании t при £ = ¿о в семействе динамических систем ТМО происходит бифуркация и в одной из подобластей появляется локальный экстремум решения Ф задачи (24) — (25) с начальными данными из Яд-, то и в каждой из остальных подобластей происходит подобная бифуркация, т. е. наблюдается синхронное рождение вихрей в каждой из подобластей 12, _,. При этом соответствующие вихри, расположенные в соседних подобластях, вращаются в противоположных направлениях.

В лемме 2.4.1 показано, что для плотного множества гладких начальных данных Ф0,Ф1 £ Я* в задаче (24) (25) для соответствующей системы (30) можно считать выполненными следующие условия: /¡1(£) = 0 только для £ = сон(тк/Н), т = 1,..., Лг — 1 (т. е. на осях симметрий подобластей 12,,;) и аналогично для Л2(V) > каждая из функций «МО и «Ы'/) имеет конечное число критических точек и все они невырожденные.

В § 2.5 исследуются периодические и почти периодические колебания. Пусть для данной области 12 одна из функций а*,(<р) = а,

положим uj = coso. В теореме 2.5.1 исследован простейший случай периодических колебаний, определяемых решением вида Ф(x.z.t) = Ф(х, г) sinu'í. Ф(x,z) £ Яу . Установлено, что

(а) для любого решения (x(t),y(t). z(t)) системы (27) с начальными данными x(t0) = .со, y{to) = yo. z(to) = ¿o его координаты x(t). z(t) — периодические с периодом Т = 2л-До функции, а координата y(t) представляется в виде y(t) = y{t; xq, zo.to)+c(x(¡. zg. t(¡)(t— #o), где y(t; xq. ZQ.to) гшеет тот же период no t;

(б) для любого заданного t линии тока в цилиндре Q принадлежат множествам T(ci.c2.í) — Q(cj) ПП(с2-?). где Q(ci) = {Ф = о} х {у}, П(с2, t) — плоскость {х eos u,'t —-су sin xt = с2} . Если линия уровня 7(ci) = {Ф = ci} является регулярной и t ф jT/2 (j £ Z). то T(ci,c2.í) является замкнутой линией тока:

(в) каждому локальному экстремуму (xq-Zq) функции Ф соответствует при t ф jT/2 "осциллирующий" вихрь с неподвгижньш центром в (л-д.го) и постоянной областью влияния ¿/(xq.zq). скорость вращения которого меняется по закону x{t) = sin Л .

Если бы собственное подпространство Яд . соответствующее некоторой постоянной функции Одг(>з) = а. было одномерным (т. е. собственное число — сое2 а оператора А однократным ), то теорема 2.5.1 давала бы исчерпывающее описание возникающих периодических колебаний. Но для рассматриваемой задачи реализуется другая ситуация: Нкы всегда бесконечномерно. Поэтому типичным является случай, когда при периодических колебаниях в цилиндре О возникают вихри, центры которых перемещаются в О,. В теореме 2.5.2 (а также в следствии 2.5.1) исследованы периодические колебания общего вида. Для описания колебаний используются характеристические координаты и система (30). Определяется функция 0(£,//) = — 1)2(1) и выделяются ее линии уровня Э„, = {©(£,?;) = тп} , т £ 2. Считается, что гладкие начальные данные Фо,Ф1 £ Яд- в (25) выбраны так. что выполняются условия леммы 2.4.1. Пусть Т — 2ж/и; — период решения Ф задачи (24)—(25). Доказано, что (далее А* обозначает число элементов конечного множества А)

(а) множество /С(Ф,<) критических точек функции тока Ф конечно при всех ;, число /С*(Ф.£) является ограниченным. В частности, в каждый момент времени Ь существует конечное число вихрей в цилиндре (2, их общее число ограничено для всех £ £ К;

(б) существует конечное множество Т значений £ £ [ О, Т1), для которых /С(Ф, £) содержит вырожденные точки (где происходят бифуркации в системе Х>г(£) )■ При любом выборе £ £ Т каждая из этих бифуркационных точек принадлежит некоторому конечному множеству, определяемому выбором начальных данных Ф0, 6 в (25);

(в) центры вихрей в И могут находиться на осях симметрий подобластей Ui j и на дугах 7 множеств уровня вт функции 0(£, Т]), в точках которых выполняется условие ^(О'^^) Ф О >'

(г) бифуркации рождения вихрей могут происходить только в точках конечного множества Со, расположенного на осях симметрий подобластей П,^ , и в концах дуг 7 £ ©т. Дуги 7 соединяют в 6т точки двух типов: гиперболические, точки из £/¡(6) Г) 6т и те точки из ©,„, в которых касательная к 0т параллельна оси £ или ;/.

Если для данной области П несколько (конечное или бесконечное число) функций постоянны, то им соответствуют собственные

подпространства Н) = Н^ Ц £ /) оператора А. Таким подпространствам соответствуют почти периодические колебания, определяемые решениями задачи (18)-(21) вида

^(о = Е (и >вЬ*м + , (31) &

причем ряд (31) (если множество индексов 7 бесконечно) сходится равномерно в Нй, для £ £ К. У(£) является почти периодической функцией со значениями в Из свойств почти периодических функций легко следует, что в этом случае предельные множества <СЛ1''(£)} и £а{ 1Л(£)} содержат всю траекторию {1''(£)} и совпадают с ее замыканием {1/(£)} , которое является компактом в метрике Н°е ■ Если число слагаемых в (31) конечно и равно п и множество частот и»|,...,и?„ не является резонансным, т. е. не существует нетривиального набора целых чисел Ш1,...,т„ такого, что гщш1 + .. .+т„ш„ =0, то траектория {1/'(£)} принадлежит некоторому п-мерному тору, вложенному в и является плотной на нем.

Введем пространство С](П), полученное замыканием линейного многообразия гладких V £ Н°, по норме СЦП). В теореме 2.5.3 исследованы почти периодические колебания в предположении, что решение в (31) принадлежит С)(П) при всех £ и ряд (если ■/ бесконечно) сходится равномерно в С'(П) для £ £ К. Установлено, что при £ —¥ ос существует бесконечное число моментов времени £*,

для которых восстанавливается сколь угодно точно начальное расположение центров вихрей в Г2 при t = tо и общее число вихрей в Q.

В § 2.6 исследованы колебания с непрерывным спектром, установлен ряд их существенных отличий от периодических и почти периодических. В лемме 2.6.1 показано, что если спектр оператора Л в подпространстве Ну абсолютно непрерывен, Ф(x,z,t) —гладкое решение задачи (24)-(25) с начальными данными Фо,Ф1 G Ну. V(t) — определяемое им решение задачи (18)-(21), то V(t) 0 при t —>• ±ос в Hg в слабом смысле. Как следствие этого утверждения и закона сохранения энергии (22) получается, что предельные множества Cu{V(t)} и Ca{V{t)} в являются для V(t) пустыми, ковариационная функция

Щт; V, W) = Hm ~ JjV(t + r),W(t))0 dt

с любым другим решением W(t) задачи (26) стремится к нулю при т —» ±оо, энергетический спектр Е(ш) — (fuV(0), V(0))o, где — спектральная функция оператора В из (26), непрерывен. Отношение ДЁ/ЦУЦо = (E(lj2)~ £'(wi))/||V||o показывает, какая доля энергии колебаний соответствует промежутку изменения частот [ш \,u>i). Отметим, что для любых двух почти периодических решений V(t) и W(t), рассмотренных в § 2.5, ковариационная функция является почти периодической по г и может стремиться к нулю при г —> оо, только если 1Z(t; V, ТУ) = 0 Последнее означает, что рассматриваемые решения лежат в некоторых ортогональных инвариантных подпространствах оператора В в Tig.

В теоремах 2.6.1, 2.6.2 охарактеризовано, как происходит образование вихревых структур в цилиндре Q для решений V(t) с непрерывным спектром, соответствующих подпространству Ну. Рассмотрен случай, когда ki(£), Л2(7/) в (30) удовлетворяют условиям леммы 2.4.1, $i(£) = ^2(4) = 0- Такой выбор t?1? д2 задает в (20) начальное возмущение поля скоростей 1о, направленное в каждой точке цилиндра Q вдоль оси у. Предполагается, что функции u,'i(£), Ш2(г/) имеют конечное число критических точек. Такое условие заведомо выполняется для любой области П с аналитической границей Г, если для нее функция <Лу(<р) непостоянна. В О задается функция W(^,rj) = wi(f)/u/2(»7) и рассматриваются ее множества уровня Wm n = {W(Ç, v) ' m/n}, на которых W принимает рациональные значения. Справедливы следующие утверждения:

(а) множество /С(Ф, i) критических точек функции тока Ф(£, T), t), определяемой решением V(t), конечно при всех t > 0. Их число £#(Ф,t) неограниченно возрастает при (-»оо « допускает

для достаточно больших значений t оценку > c'it2. где

f'i >0.2? частности, число вихрей в цилиндре Q неограниченно возрастает при t —> ос и допускает аналогичную оценку снизу;

(б) если Т - множество тех значений t > 0, для которых в t) существуют вырожденные точки (т.е. происходят бифуркации в семействе динамических систем 1*2(0), то для любых > 11 > 0 выполняется оценка (Tn(ti,f2))* < c2(t2 — + сз, где ('•¿■('л > "• Общее число вырожденных точек ICf(ty,t) —> оо, если t —> ос , t € Т ■ Бифуркационные точки принадлежат некоторому счетному подмножеству множества Ли = {^'i (0"-'2(т?) = ■

(в) центры вихрей в Q могут находиться на осях симметрий подобластей iljj и на дугах 7 множеств уровня Wmin функции W(£.'/). в точках которых выполняется условие w'i(Ow2(r/) Ф 0;

(г) для фиксированной точки (£о. '/о) £ 7 последовательность моментов времени tj — '/о). для которых (£о,»/о) становится центром вихря, образует арифметическую прогрессию. Скорости вращения Xj = последовательно проходящих через ((о, г/о) вихрей неограниченно возрастают с ростом j . Общее число M(t) вихрей, центры которых принадлежат 7, допускает при больших t оценку снизу M{t) > c(-))t, с{7) > 0. Скорость Uj перемещения j-го вихря вдоль дуги 7 при прохождении им точки (io-'/o) уменьшается при j —» ос. произведение \Uj\ ■ \xj\ не зависит от j .

Заметим, что неограниченное увеличение с корости вращения и числа вих|К'й объясняется возрастающей при t —> ос осцилляцией по пространственным переменным компонент поля скоростей, что легко увидеть, анализируя систему (30). Первые производные по £. 7/ от компонент ноля скоростей имеют порядок роста t при t —► 00 во всех точках $2, кроме бифуркационного множества Ли,- Отсюда следует, что решения V(t), свойства которых описаны в лемме 2.6.1 и теоремах 2.6.1, 2.6.2, обладают существенным недостатком: обнаруженные эффекты не могут быть перенесены "по аналогии" на решения исходных уравнений Эйлера, поскольку линеаризация уравнений Эйлера производится в предположении, что компоненты поля скоростей и их производные по пространственным переменным являются малыми.

Существование абсолютно непрерывного спектра характерно для задач математической физики, рассматриваемых в неограниченных по пространственным неременным областях il (волновое уравнение, уравнение Шрёдингера). В теории рассеяния показывается, что в этом случае энергия начального возмущения перераспределяется при t -+ ос так, что ее доля, сосредоточенная в любом компакте А С и, стремится к нулю. В работе [17] подробно исследована задача С.Л. Соболева (24) (25) в дополнении R2\iT к выпуклой ограниченной обла-

сти Г2. Из представлений для решений и оценок их производных, полученных в [17], вытекает, что спектр задачи абсолютно непрерывен и происходит описанное выше классическое рассеяние энергии. Лемма 2.6.1 и теоремы 2.6.1, 2.6.2 показывают, что для ограниченной области реализуется принципиально другой эффект. Компактность области Л не позволяет энергии рассеиваться в неограниченном обгеме. В результате для решений с абсолютно непрерывным спектром происходит преобразование начальных крупномасштабных возмущений в вихревые движения, масштаб которых уменьшается при £ —> ос, и соответственно перераспределение энергии в сторону микромасштабных колебаний, характерных для турбулентных течений [12, 18]. Отличие характера дисперсии волн, определяемых решением задачи Коши для уравнения (2), от дисперсии волн в классических задачах математической физики отмечал в своей работе [2] С.Л. Соболев.

В одной из первых моделей развития турбулентности, предложенной Л.Д. Ландау [12], предполагается, что изменение поля скоростей характеризуется в пространстве состояний квазипериодической траекторией, принадлежащей некоторому конечномерному компактному многообразию. Сложность турбулентного течения в этом случае объясняется тем, что размерность многообразия и количество независимых частот при увеличении числа Рейнольдса становятся большими. Однако при изучении различных конечномерных аппроксимаций уравнений гидродинамики были обнаружены системы, решения которых принципиально отличаются от квазипериодических. Указанные решения имеют предельные множества сложной структуры — "странные аттракторы". Первый пример системы, состоящей из трех уравнений, для которой все траектории в некоторой части пространства состояний притягиваются к такому аттрактору, был получен в работе Е. Лоренца [14]. В дальнейшем Д. Рюэль и Ф. Такенс [16] показали, что для конечномерных приближений гидродинамических уравнений аналоги аттрактора Лоренца типичны при размерности системы п > 3. Характерными особенностями хаотических решений, возникающих в этих случаях, являются следующие [13, 27]:

- непрерывный энергетический спектр решения или какой-либо наблюдаемой величины — непрерывной функции от решения, заданной в пространстве состояний % , слабая корреляционная зависимость значений наблюдаемой величины на длительных промежутках времени;

- чувствительность решения к малым изменениям начальных данных в И, что выражается в положительности его наибольшего показателя Ляпунова;

- сложность структуры предельного множества в И для решения при £ —> оо. Как правило, эти множества имеют дробную размерность Хаусдорфа (фракталы).

Аналогом модели Ландау в рассматриваемой задаче являются почти периодические колебания, описанные в § 2.5. Колебания с абсолютно

непрерывным спектром, о которых идет речь в лемме 2.6.1 и теоремах 2.6.1, 2.6.2 , во многом близки по своим свойствам к хаотическим: энергетический спектр решений непрерывен, линейные функционалы от решений являются преобразованиями Фурье от суммируемых функций, ковариационная функция любых двух таких решений TZ(t:V,W) —> 0 при г —> ±эс (н в частности,стремится к нулю при т ±ос автокорреляционная функция 71{т; V, \')/||У(0)||2). В то же время из закона сохранения энергии и линейности задачи очевидно вытекает, что показатели Ляпунова любого решения V(t) в К® равны нулю. Для почти периодических решений предельные множества компактны, т. е. "почти конечномерны". По следствию 2.6.1 множества C^lVit)} и £Q{F(i)} для любого решения V(t) с абсолютно непрерывным спектром являются пустыми. "Исчезновение" предельных множеств объясняется тем, что V(t) А 0 при t —> ±ос, т. е. V(t) становится "почти ортогональным" к любому конечномерному подпространству в "Н^ при больших t. В конечномерных моделях такое поведение, очевидно, не может наблюдаться. Описанный для рассмотренных выше решений с абсолютно непрерывным спектром эффект увеличения числа вихревых структур в цилиндре Q и измельчения их масштаба может рассматриваться как одна из математических моделей развития турбулентности. Обычно этот эффект объясняют нелинейностью уравнений гидродинамики.

В заключительной части § 2.6 рассмотрена неоднородная система (1), моделирующая возбуждение гармонических колебаний во вращающейся жидкости:

ÖV

-7r- + 2kxV = -VP + Fsinwo*, div V = 0. (32)

dt

Предполагается, что компоненты объемной силы F = (F, Fi, Fi), гак же, как Г и Р, не зависят от неременной у. Исходным состоянием считается вращение жидкости как твердого тела. Для некоторого специального выбора F показано, что если подпространство HkN является собственным для оператора А и частота ¡.¿о колебаний вынуждающей силы совпадает с собственной частотой периодических колебаний жидкости, определяемых решениями Ф из Яу, то наблюдается "объемный резонанс", т. е. при t ос происходит неограниченный рост компонент поля скоростей в точках открытою плотного в цилиндре Q множества. В случае, когда спектр .4 на Я* абсолютно непрерывен, наблюдаемый "резонанс на непрерывном спектре" охарактеризован в теореме 2.6.3: неограниченный резонансный рост при t —► ос компонент поля скоростей в цилиндре Q происходит только в точках множества плоскостей il(ij) = = х {j/} и П(?/т) = {i/(J"-. -) = fyn} х {г/}, где и ;/,„ -- соответственно корни уравнений (£) — u'o, lJ-t{i]) = u-'o; ~'i(£), u^(1]) — функции из (30), свойства которых определяются геометрией области. Плоскости n(i'j) и П(г/,„) образуют соответственно углы —ао и ао с осью х, где

»о = агссоэ^о. Из условия |г = и?|г вытекает, что некоторые пары "резонансных" плоскостей пересекаются по прямым, принадлежащим границе дО цилиндра О,.

Отметим, что н [22, 28] изучалось возбуждение гармонических колебаний во вращающемся цилиндре для жидкости малой вязкости. Обнаруженные при экспериментах эффекты характеризуются в [22] как "появление тонких интенсивно колеблющихся слоев, отражающихся от стенок сосуда". Такое описание близко к полученному в теореме 2.6.3.

Литература

1. Poincaré H. Sur l'équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation // Acta Math. 1885. V. 7. P. 259-380.

2. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18, JY* 1. С. 3-50.

3. Александрии P.A. Об одной задаче Соболева для специальных уравнений с частными производными // Докл. АН СССР. 1950. Т. 73, № 5. С. 631-634.

4. Александрии P.A. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа С. Л. Соболева // Тр. Моск. мат. о-ва. 1960. Т. 9. С. 455-505.

5. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз. 1961.

6. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов Киев: Наук, думка, 1965.

7. Григорьев Ю.Н. Организованные структуры в развитой пристенной турбулентности. Новосибирск, 1993. 40 с. (РАН. Сиб. отд ние. Ин-т вычисл. технологий).

8. Зеленяк Т.И. Об асимптотике решений одной смешанной задачи // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2. X' 1. С. 47-64.

9. Зеленяк Т.И. Об обобщенных собственных функциях оператора, связанного с одной задачей С. Л. Соболева // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9, № 5. С. 1075-1092.

10. Зеленяк Т.И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1970. 164 с.

11. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

12. Ландау Л.Д.. Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

13. .ЛпхгенбергА., Лчберман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

14. Лоренц Е. Детерминированное непериодическое течение // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. С. 88-96.

15. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии / X. Цикон, Р. Фрезе, В. Кирш, Б. Саймон. М.: Мир, 1990.

16. Рюъль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности // Странные аттракторы. М.: Мир. 1981. С. 117-151'.

17. Скачка D.B. Асимптотика при t —t оо решений одной задачи математической физики // Мат. сб. 1985. Т. 126, № 1. С. 3-41.

18. Сэффмен Ф. Динамика завихренности // Современная гидродинамика: успехи и проблемы. М.: Мир, 1984. С. 77-90.

19. Фокин М.В. О спектре одного оператора // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, № 1. С. 135-141.

20. Aronszaja X. Он a problem of Weyl in the theory of singular Sturm — Liouvilleequations// Amer. J. Math. 1957. V. 79, № 4. P. 597-610.

21. Mezic I., Wiggins S. On the integrability and Pertubation of three-dimensional fluid flows with symmetry // J. of Nonlinear Sei. 1994. V. 4. № 2. P. 157 -194.

22. O.ser H. Experimentelle Untersuhung über harmonishe Schwingungen in rotierenden Flüssigkeiten // Z. angew. Math. Mech. 1958. Bd 38. S. 386 391.

23. Pearson D.B. Singular continuous measures in scattering theory // Conimun. Math. Phys. 1978. V. 60, № 1. P. 13-36.

24. Robinson S.K. A review of vortex structures and associated coherent motion in turbulent boundary layers j/ 2nd IUTAM Symp. on structure of turbulence and drag reduct. Berlin; Heidelberg: Springer etc., 1990. P. 23 50.

25. Del Rio П., Jitomirskaya S„ Makarov X., Saiiuon B. Singular contin-uois spectrum is generic // Bull. Amer. Math. Soc. 1994. V. 31,

2. P. 208 212.

26. Simon B. Operators with singular continuous spectrum. I. General operators // Ann. of Math. 1995. V. 141, № 1. P. 131-145.

27. Takoi is F. Detecting strange at tractors in turbulence // Lecture Notes in Math. Berlin; Heidelberg: Springer etc., 1981. V. 898. P. 366381.

28. Wood H'.W. An oscillatory disturbanse of rigidly rotating fluid // Pro<. Roy. Soc. 1966. A '293. P. 181 -212.

Работы автора по теме диссертации

29. Зеленяк Т.Н., Капитонов Б.В., Сказка В.В., Фокин М.В. О проблеме С.Л. Соболева в теории малых колебаний вращающейся жидкости. Новосибирск, 1983. 20 с. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислит, центр: У* 471).

30. Фокпп М.В. О сингулярном спектре в задаче С. Л. Соболева // Математический анализ и дифференциальные уравнения. Новосибирск: Новоснб. гос. ун-т, 1992. С. 11-15.

31. Фокин М.В. Существование сингулярного спектра и асимптотическое поведение решений в задаче С. Л. Соболева // Докл. РАН. 1993. Т. 333, .V' 3. С. 304-308.

32. Fokin M.V. Existence of the singular spectrum and asymptotic behavior of solutions in Sobolev's problem. I // Sib. Adv. in Math. 1994. V. 4, .V 1. P. 18-51.

33. Fokin M.V. Existence of the singular spectrum and asymptotic behavior of solutions in Sobolev's problem. II //Sib. Adv. in Math. 1994. V. 4, X* 2. P. 16-53.

34. Фокин М.В. Существование сингулярного спектра и асимптотика решений задачи Соболева // Тр. Ин-та математики / РАН. Сиб. отд-ние. 1994. Т. 26. С. 107-195.

35. Fokin М. V. Hamiltonian systems with continuous spectrum and chaotic oscillations in hydrodynamics // Intern. Conf. "Nonlinear Differential Equations", Kiev, August 1995. Abstracts. Kiev, 1995. P. 48.

36. Fokin M.V. On one mathematical model of the generation of swirls in a rotating perfect fluid // Intern. Conf. "AMCA-95" Novosibirsk. June 1995. Abstracts. Novosibirsk. 1995. V. 1 (A-Ког). P. 106107.

37. Фокин М.В. Гамильтоновы системы с непрерывным спектром и хаотические колебания жидкости // Сиб. конф. по неклассическим уравнениям матем. физики, Новосибирск, сент. 1995 г.: Тез. докл. Новосибирск, 1995. С. 94.

38. Фокин М.В. Гамильтоновы системы и малые колебания вращающейся идеальной жидкости. Новосибирск, 1995. 66 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; .V 20).