Спектральный анализ биортогональных разложений, порождаемых весами Макенхаупта тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНА АКАДЕМ1Я НАУК УКРА1НИ

Ф13ИК0-ТЕХН1ЧНИЙ 1НСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР 'пи Б.1.БеРК1НА

- , -

Ка правах рукопису ГУБРбеВ Генад1й Михайлович

СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛ13 БЮРТОГОНАЛЬНИХ РОЗКЛАДАНЬ, ЩО ПОРОДЖУЮТЬСЯ ВАГАМИ МАКЕНХАУПТА

01.01.01. - хатематичний аналхз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацП на здобуття наукового ступени доктора ф1зико-математичних наук

Хари в - 1994

Дисертац1я е рукопис

Робота виконана на кафедр: ыатеыатичного анал1ау ШвденноукраХнського державного педагогичного университету.

0ф1Ц1йн1 опоненти : доктор фхзико-математичних' наук,

професор Л.А.Сахнович доктор фгзико-математичних наук

Г.М.Фельдман

доктор фхзико-математичних наук,

' доцент А.П.Гришин

Про в I дна организация - 1нститут математики Нац10нальн0!£

АН Укразгни

Захист дисертаща в!дбудеться " ¿V _1994 р.

в /5 годин на засгдаши спещалхзовано* ради Д 016.27.02" при Физико-техничному 1нститут1 низьких температур 1м.Б.1.Верк1 Нацхональнозе Академ^ Наук Украхни /310164,м.Харк1в, пр.Лешна,^

3 дисертац1ев ыожна ознайомитись в б:блхотец1 Фхзико-техн1чного институту низьких температур 1М. Б.1.ВеркIна Национально* АкадемНаук Украйни.

Автореферат роз!слано _1994 р.

Вчений секретар. /У/(7 'л ¿Г

спецхал1зован92 ради (и'.^Уу

доктор фхзико-математичних наук В.П.Котляров

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РСБОТИ

Актуалыисть теми та мета роботи. Перш1 результата Н.В1нера ~i Р.Пелх про негаржжхчнг ряди-Фур'е-породили цхлу -галузь досл1д— -ження, в як!й одне з центральных мхсць займала проблема безумоЕ-hoY базисност1 С1мей експонент в просторах L^ на скхнченних хнтервалах. Щй тематищ були присвячем також працх Р.Дафф1на, Д*Лчаса, АЛнгаыа, А.Шаффера, Б.Я.Лев1на, В.Д.Голов1на, МЛ.Ка-деця> В.Е.^доельсона,_Р.Юнга, А.М.Седлецького, С.А.Авдонхната ... ти. У працях цих ввтпртн, окрхм хкших результатов, було видхлено деяк1 спец1альн1 класи базисов Picca is експоненхцальних <£ункц1й. Наприкхнц1 70-х рокхв вгдбулися важливх под!!, грунт для якнх був пхдготовлений однхею публ1кац1еп Б.С.Павлова*^ . С цього моменту починаеться новий етап у дослгдженнг проблеми базис!в гз експонент, який грунтуеться на широкому застосуваннх спектрально! teopir операторгв. Суть методу проектування Б.С.Павлова полягае в тому, що схм'Т експонент на ск1нченому хнтервал1 "пор1внюптьсяп не з ортогональными базисами, а з цими я «м'яыи експонент, розгляну-тими у простор! Завдяки тому, що В1д "эталона" не вимага-

лось эанадто багато, Б.С.Павлову вдалось довести, що безумовни-ми базисами на скхнченому 1нтервал1 будуть саме ?i схм'Т експо-ненцхальних функций, котр1 в певному cenci Слизьм до вхдпов1д-ного базису 1з тих же 4ункцхй у npocTopi LA(iR.+). Згадана близь-кхсть формулюеться у терм1нах оборотное« спец1ального оператора Теплиця •э з'нхмодулярним символом, а базиси i3 експонент в досл1део®ться за допомогов вхдомих результат!в про Haflnpoc?imy фушацональну модель С.-Надя^Фойаша з дискретним спектром. Ц1 та

Павлов B.C. Спектральный анализ дифференциального оператора с "размазанным" граничным условием// Проблемы матем. физики. ЛГУ.

ÎHmi BaauniBi результати було викладено в п1дсумковхй публхкащ I*), котра послужила першим поштовхом до наших досл1джень.

В роботах автора [i - з] метод проектрування було проаналх-зовано э 1нших позицгй. Наприклад, з'ясувалось, що ф1гуруоча в те-opeMi Б.С.Павлова умова Макенхаупта р1вносильна тому, що спецг-альний оператор диференц1»вання, множина власних вектор!в якого збхгаяться эх заданои схм'ео експонент, генеруд швгрупу класу С0, Це спостереження спричинило декхлька bhchobkîb. По-перше, вико-ристання Teopiï однопараметричних ni вгруп операторгв дало змогу розв'язати низку важливих задач, Korpi paHÏme або не розглядались 30BCÏM, або були недостатньо повно дослхдженх. Серед таких задач в1дзначимо розв'язок задач1 С.Г.Крейна про опис генераторхв С0 -niвгруп у теры1нах ïx дисипативних розширень, опис дельсартових функцхонал1в у деяких г1льбертових просторах, опис схмей експонент, що мають ортогонал1загори заданого класу. По-друге, оск1льки ви-вчення ni вгруп tïcho пов'язане з хнтегральними о^нками норм резол! вент Ix генераторхв, то це наштовхнуло на можлив1сть отримання аналогхчних оц1нок для широкого класу несамоспряжених onepaTopia, коренев! вектори яких виражаються через ядра Цр • ядра

введем в дисертацП i стали одним is основних об'ектхв дослхд-ження. Вони канон1чним способом будуоться по довхльних вагах Макенхаупта ТдГ*' на спещальних контурах у . Згада« Ытегральнх оцхнхи норм резольвент дозволяють побудувати функц1ональн1 мод ел i розглядуваних клас1в несамоспряжених оператор! в у вигляд1 дробо-вих степенхв модел1 С.-Надя-Фойаша, характеристична функцхя якот доргвнре добутку бляшке. Тим самим метод проектування допускав поширенняна сХм'Т ядер, що породжуються вагами Макенхаупта.

Hruscev S.V..Nikolskii N.K..Pavlov В.S.Unconditional bases of exponentials and reproducing kernela/VLect.Notes in Math.1981. V.864.P.214-335.

- ö

Другим стимулом дослгдження базисних властивостей с1мей ви- •

гляду ^ -от^^3 послужив ?яд пРаць М.М.Джрбашяна, в яких

сформульована задача про критерП базисност1 у просторах на

скхнчених хнтервалах с1мей фуницй типу Мгттаг-Лес[ф1ерН~та" одержа"-""

т перш1 результата у цьому напрямку. Дя проблематика лежить у

а а

руслг наших дослхджень, оск1лъки у випадку степенево! вагиЫ(£) = 1 Ъ\ (М<ОК i) ядра просто виражаються через $ункц1Т Шттаг-

Леффлера. Вхдзначимо такох, що це на Московському Мгжнародному йат5«аттшому Конгрео! «.Г.КргЯ;? «у»эу*яя на необх1дн1сть знаход-ження в1дпов!дних об*ект!в спектрально! теорП несаыоспрлтагсгс операторгв, пов'язаних з чисто аналхтичними результатами М.М.Джрба-шяна ' . В дисертацИ такх зв'язки були встановленг, принаймнх, з т1ею частиною теорН Ы.М.Джрбашяна, котра стосуеться бхортого-нальних розкладень по ядрах типу Мхттаг-Леффлера.

1,нарештх, тема дисертацИ актуальна ще з однте! причини. В робо« показано, що досл1дження базис1в 1з значень ядер ^%/■(£,'£) становить 1нтерес не т1льки для загально! теорН безумовних бази-с1в, але х для спектрально! теор1! несамоспряжених оператор1в. Вхдзначимо тут лише властивгсть умверсальносм таких базис1в у класх безумовних базис1в абстрактних гхльбертових простор1в, котр1 спецхальним способом будуються за вольтвровими дисипативними операторами. Цей факт лежить в основх нового пхдходу до добре в1домо! проблеми подхбностх оператор! в класу Д^^найпростхшому оператору хнтегрування.

Таким чином, метою роботи б дослхдження бхортогональних розкладень, що породжувться вагами Макенхаупта, а також з'ясування спектрально! структури рхзномамтних класхв несамоспряжених оператор! в, пов'язаних з такими розкладаннями. Кр1м цього, значне

*)Джрбатян U.U. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. —. М.: Наука, 1966.

мхсце вхдведено застосуванням загального методу дослхдження до розв'язання важливих задач математичного анал1зу та теорп дифе-ренц1альних р1внянь, що являють собою самост1йний 1нтерес.

Методика дослхдження. При спектральному п1дход1 до дослхдження б1ортогональних розкладань головним об'ектом вивчення е опе-ратори 13 класхв кореневх вектори яких виражаються че-

рез ядра 0ск1льки у нетривхальних випадках цг операто-

ри недисипативнх та "сильно" несамоспряжен1, то ск1льки-небудь загальи методи спектрально? теор1* оператор1в кепридатнх для Тх дослхдження.

У дисертацП спектральна структура таких оператор!в вивчаеть-ся за допомогою пхдходу, котрий е розвитком метода проектування Б.С.Павлова, причому цей розвиток зд1йсню^ться у трьох напрямках. По-перше, це метод Ытегральних оц1нок норм резольвент операто-р1в 1з клас1в % ,Ь) ) , який дозволяв побудувати спецхальнх функц1ональн!.модел1, що д1ють у вагових класах Хард1 в кутових областях ^Роздхл п). У найпрост1шхй ситуацхт1 1

(випадок експонент) цх оц1нки фактично р1вносильнх процедур1 проектування. Яо-друге, це прозорх геометричнх мхркування ( § 4, Роэд1л III), якх дозволяють одержати критер1й базисное« в терм1-нах оборотности оператор! в Теплиця. У такому вигляд1 метод проектування найбхльш близький до оригхнальних побудов Б.С.Павлова.

нарешп, у роздШ 1У розглядавться регуляризац1я методу проектування, що лолягае у множенш ортопроектора на шдходящий оператор з наступним звуженням на вхдпов1дниЙ хпдпросир. Необх1д-мсть такоТ регуляризацх г пояснветься тим, що тут вперше вивчались задачх, для яких эвуження просто ортопроектора вже не е 1зомор-фхзмом на св1й образ.

Дал1, для реал1зацхт загальноТ программ винихла потреба як

у вхдомих, так г у нових засобах теорх! функщй та теорх! операторов. Згадан1 нов! результата - це, в основному, властивостт хнтегральних перётворень~з~ядрами ^ваговх _класи Хардх

в кутових областях, дослхдження функц1ональних моделей у цих класах.

Наукава новизна, теоретична та практична щшпсть. Як уже вхдзначалося, в робот! одержано ряд нових теорем теорп функц1й, якх е узагальненнями вхдповгдких результате теорП М.М.Джрбашя-на (степенева вага) на випадок довхльних ваг Макенхаупта. Разом э дослхджекням Зунэт^оняльних моделей у яагових кляеах Хардх г кутових областях ц1 результати викладен1 у роздхл1 I, котрий мож-на розглядати як анал1тичну основу усхеТ дисертац11.

За допомогою запропонованого в робот1 методу Ьггегральних оц1нок норм резольвент побудовам функцхональнх моделх "сильно" несамоспряжених операторов 1з класть Жкотр1 дозволили досить повно досл1дити спектральну структуру цих оператор!в. Мож-лив1сть побудови скалярних функц1ональних моделей досягадться за рахунок розширення цього поняття: модельнх оператори под1бш (але не унхтарно екв1 валентш ) операторам 1з класхвХ^&^.Да-Л1, одержан! в дисертацп хнтегральнх оц1нки норм резольвент становлять caмocтiйний хнтерес 1 лежать в основ1 застосувань до теорП лгнгйних диференц!альних рхвнянь, до теор1Т пер!одичних у середньому <^нкц!й. Наприклад, розв'язана задача С.Г.Крейна про опис генераторов С0 -П1 вгруп у терм1нах Гх дисипативних ро'зпш-рень з виходом 13 простору, даеться опис дельсартових <|ункц1она-Л1в у просторах С; на скхнчених 1нтервалах.

В дисертацп вперше отриыано критер!! безумовно! базисност1 с1мей йункцхй, що породжусться вагами Макенхаупта ЪТ*' , у просторах (и^ на ск1нчених !нтервалах. В частковому випадку (-{ <(*) < 1) тут м!ститься розв'язок задач! М.М.Джрбашяна про

безумовну базисн1сть сгмей йункцгй типу Мхттаг-Леффлера. Цх та супровхднх результати можуть бути застосованх щодо задач матема-тично! ф1зики (оператор Штурма-Л1ув1лля з некласичними гранични-ми умовами, при обгрунтуванм принципу нев1дчутностх границ! М.Каца (Л.А.Сахнович)) , до задач хнтерполяц11 щлими Функц1ями сличенного порядку, до вивчення сингулярних хнтегральних р1в-нянь. -

Вперше шляйсом пор1вняння з базисами, що складаються 13 зна-чекь ядер вивчавться базист властивост1 с1мей векто-

р1в в абстрактних гхльбертових просторах, асоц1йованих з вольте-ровими операторами ¿з клас1в А^ ^. Доводиться, що там С1м*1 утворювть безумовний базис лише у тому випадку, коли оператор 13 класу под1бний до оператора 1нтегрування. Цей факт лежить в основ1 принципово нового п1дходу до добре в1домо1 проблеми по-д1бностх вольтеровюс оператор!в, який дозволив, наприклад, одер-жати просту ознаку такоТ подхбностх, що формулюзться лише у тер-мхнах поведхнки характеристично! оператор-функщI на безконечное«. За допомогос цих результат! в вперше розв'язуеться задача про безумовну базисмсть схмей функц1й, побудованих по роз-в'язанни-дисипативно! канонхчно! системи диференцхальних р1в-нянь, формулсеться критер1й подобное« хнтегральних вольтерових оператор!в до найпрост1шого оператора хнтегрування. АналоИчнх задач1 розглядаються також I в модел1 С.-Надя-Фойаша.

На захист виносяться таи основнх положения:

1. 1нтегральнх перетворення з ядрами ^^{Ъ^) та теорхя ваго-вих клас1в Хард1 в кутових областях.

2. Досл1дження спектрально! структури оператор1в хз клас1в Застосування до теор1! л1Н1йних диферетцальних рхвнянь, до тео-р!1 пер!одичних у середньому Функцхй.

3. Розвиток методу проектування I критерг! безумовно! базисност1 схмей ядер, що породжуються вагами Макенхаупта. Розв'язання зада-

~ чЬйЬМтДжрбатяна про безумовну-базиснгсть схмей функц1й^типу___________

М1ттаг-Леффлера,

4. Досл1дження безумовних баэисхв абстракних ггльбертових простор! в, асоц1йованих з дисипативними вольтеровими операторами. Новий п:дх1д до проблеми под1бност! вольтерових операторгв, озна-ка подхбностх в терминах характеристично! оператор-функц!У,

Апробация рабо-т. Еккладект у дкегртащ! реэультлти до-повхдались на конференщях, присвячених памятх В.П.Потапова та Ы.Г.Крейна (Одеса, 19В1р., 1990 р.), у школах з теорх! операторхв у функгцональних просторах (Челяб1нськ, 1966 р., Нижн1й Новгород, ' 1991 р.), на сем1нарах з спектрально! теор11 операторхв та спектрально! теори функцхй (кер. М.Г.Крейн при ф1зико-х1м1чному 1н-ститут-! АН УРСР, Л.А.Сахнович при Одеському державному Ыституп зв'язку, Д.3.Аров при Одеському державному педагогичному 1нсти-тут1, Н.К.Школьський та В.П.Хав1н при Л0М1 АН СРСР, Б.Секефаль-в!-Надь при Сегедсьному унхверситетх, Угорщина}, з теор11 функц1й (кер. М.М.Джрбашян при 1нституп математики АН Вхрм.РСР, Б.Я.Ле-в!н та 1.В.0стровський при ХДО"), з теорП диферегадальних р1внянь (кер. М.Л.Горбачук при 1нстмтутх математики АНУкраТни).

Публгкацг!. Основний змгсг дисертацП опубл1ковано у II роботг [1-П].

Структура I об'ем роботи. Дисертацхя викладена на 267 сто-р1нках х м1стить вступ, чотири розд1ли та список л1тератури, що цитуеться ("126 найменувань). КожниЯ розд1л мае параграф "Л1тера-турн1 вказ1вки та доповнення". В дисертацхт теореми мають под-вШну нумерац1и, яка вкаэуч на номер в1дпов1дного параграфа та по-рядковий номер теореми у цьому параграф!. В автореферат! та у

встуш до подвхйного номеру теореми дисертацП эл1ва дописано номер в1дповгдного роздхду.

ЗМ1СТ Р0Б0ТИ '

В роздглх I викладачться аналхтична основа всього дослгджен-на, яка являч собой, в основному, узагальнення деяких важливих результайв М.М.Джрбашяна та його учшв на випадок довхльних ваг Макенхаупта.

Почнемо з визначення одного 13 основних об'ектхв роботи -ядра ,'Ь) , яке будуеться по ваз1 ХлУ^ на спец1альному кон-

ТУР* ^р' • Для кожного р > ^ через ^ позначимо контур в комплексна площиш, що являе собою кут з вершиною в початку координат, аргумент« точок стор1н якого дор1внюють та 0 в1д-повхдно. В граничному випадку — П1д у розум1ямо шввхсь . Для двох областей, на як1 розбивачться комплексна площина, будемо використовувати позначення:

де = & . Ягацо р = ^ , то область £Л£+.

Якщо на контур1 ^ задана вага ^>(20 О , то через ¿^(^р) поэначаеться простгр функц!й з нормою:

< ОО.

, %' А

Вага р = ЪУ називавться А^-вагою Макенхаупта на конту-

1>0 ( ВЬШр Ыг,шя ?

де Ъ{Ъ) £) - круг з центром 2 » радиуса .

Анал1тичну в областх Зункц1ю ^ будемо називати зов-

Н1ШНЬОО В , ЯКЩО^Х^) </30ВН1ШНЬ0Ю В НИЖН1Й пхвплощинх.

Твердження 1.1.1. Нехай > ^ , а ЪУ^ - довЬьна А^-ва-

га Макенхаулта на контур1 у . Тодх':

. Якщо р > 1 то х сну г; акалхтична в областг у"* <*унк-цхя Ы^О.}, що задовольняо умовам:

а) ЪХ(х)>.!£с; майже всюди при А-» Ъ недотичнх граничит значения им причому ЦГ(г)^'1Ш1)1 ,

в) функция "[^(А^зовнгшня в областг ур '/' с) мае мхеце хнтегральне представления

4 (ГГ. .

*! С 1 < ^

2). Якщо > т0 попередн1 твердження залишаються в си-

Л1 та, кр1м того, модул1 граничних значень зовнхшньо! в функц11 Т1]"_(х)на верхньому та нижньому берегах розрхзу майже всюди збхгаються: ^

\ICT_ (х-1ь)| =' (Шхнс)! = Ы(х) , х е

В1дзначимо, що тут х далх гхлки багатозначних (!ункц1й виду Л в областях V- ф1ксуються умовами зы!ни аргументу (I).

Таким чином, дов1льн1й ваз1 Ыакенхаупта хО" на контур1 ^ > ) вхдпов^ач едина (з точметю до пост1йного ушмодуляр-ного множника) (|ункц1я Тепер эгадане ранхше яд-

ро ^ф(^Ь) будучться як розв'язання 1нтегрального р1вняння

^ДИ -Ае'

Одразу в1дзначимо, що в частковому випадку степеневоТ ваги Макенхаупта роль ядер } в гармомчному анал1э1 була вх-

дома. Дгйсно, якщо ^

-< -I

то ^ъг^) - Г (М ) у у -Ц + р-СЖ&р) I розв'яэком ргвняння

(.3) з такою правою частиною буде Функцхя:

де цхла функция типу Мхттаг-ЛеМлера, яка визначазться

розкладанням ьо

Теоргя хнтегральних перетворень з такими ядрами була побудо-вана в цикл1 праць М.М.Джрбашяна, шдсумок якого пхдведено в йо-го монографП. Тому вс1 результати про оператори

(О

являють собою поширенкя Ц1е1 теорх! на випадок довз:льних ваг Макенхаупта .

Теорема 1.1.1. Для дов1льноГ ваги Макенхаупта ЬУ^ на контурх ^ % ) оператор неперервно воображав про-

стхр ) в )• Кргм того, В1Н обмежений знизу I мае

м1сце формула обернення:

, г у ¿А

де^^" - межа област1 , яка при 1нтегруванш проходиться

так, щоб область зоставалась справа.

Природне питания про область значень оператора ^^веде до поняття вагових класхв Хард1 в кутових областях. Вага Макенхаупта на контурх (р > крхм функцхг Та)"- в про яку йдеться в твердженн1 1.1.1, породжуе також зовнхшню функцхп ЬХГ в областх з аналоггчними властивостями. Клас Хардх НЧ^^Ъ)1 виэначаеться як сукупнхсть ус1х аналхтичних в област1 функ-цхй Р , для яких смнченна величина

Аналог1чно, клас Н )Ы ) складаеться 1з анал!тичних в

функидй, що в1дпов1дають умов!

г/ч

------ -о<Уо ' е > !

< со .

Простори Н^^" и стандартким способом ототожнюються з """ пхдпростораш простору та мае м1сце розхлад

Наступна теорема в1дпов1дае; на запитання про область значень лпорчтора

Теорема 1.2.3. Я:г*о р > . 20 оператор »л/р^- , що ио-роджуоться вагою Макенхаупта на контур! У , прост1р )

в1дображае на клас Хардг Н (Ур,^ ). Якщо р = % »то дображае ¿^(К*) на весь простхр

Перейдемо тепер до опису деяких пхдпросторгв хласхв Хардх И )» як* зустр1чаються на протязх вс1еТ роботи.

Розглянемо контур Г^, , вважаючи, що - при ^ 1 ,

а при р > \ в1н отримуеться з ^ приеднанням додаткових промен! в, що виходять з початку координат та лежать в област1 . К1лькхсть додаткових промешв дор1внюе = ~1 , причому кож-

ний 1з К + 1 кут1в, на якх. розбивавться кут у+ , мая роз-

(Т Р ?

хил безумовно менше Ур . Через пр(В) поэначачться хндикатор

росту функцП Р .

д,

Теорема 1.3.1. Нехай I/У - вага Яакенхаупта на конту-

р1 ^ (р ^ ^ ) , Функц!я f тод! I тхльки тод! допуска« !нтег-

ральне представления виду рО-

Я« Ь ) >, ^е]

якщо дотримуяться сукушасть умов:

1) р ц!ла г^ункц!я порядку р та нормального типу;

_ in -

г) J

< <*> ;

з)hF (-%>)* а при о Ф та hffiyaX fàUo ,

ЯКЩО р=4.

Дал1 клас Ц1лих ^ункцхй, що описуються цгвю теоремою, поз-начаеться через А^ ((J, jU ^

В1дзначимо, що у найлростхшому випадку р — \ , W(i)~i сфор-мульоват вище теореми становлять основний змхст класично! тео-piï BiHepa-Пелх. ^

Розглянемо тепер шдпростори клас1 в Хард1 f/ } j, як1 породжуються системами ращональних йункцхй. Нехай А = дов^ьна посл1довн1сть комплексних чисел хз област1 яка занумерована в порядку незыеншення модулей. Нехай та кож ^j(fj) - кратн1сть появи числа \j на в1др1зку j (увс1Й посл1дов-hoctï) . 3 послхдовнх: сто А пов'яжемо систему рац1ональиих функцхй

та розглянемо п1дпрост1р

Введемо посл1довн1сть чисел 1з верхньоГ п1вплощини

, {а^: А^Л j

Опис п1дпростор1в оСд даеться наступною теоремою.

Теорема 1.3.3. Нехай 'W*'- дов1льна вага Макенхаупта на

KOHTypiy Мають М1сце так! твердження:

M i "льки тод*' яктч° викочуеться умо-

ва со „ .ос

■С" От лК

2]. У випадку зб1жностх ряду (б) <*ункц!я | (б M (^Ъ}*)) Т°Д*

I т1льки тод1 належить пгдпростору с£д , якщо

-------------------------$ ИЧу^ТГ"), ---------- ,

де - добуток Бляшке, побудований за посл1довн1стю нулхвД,

Простори оГд В1д1грають важливу роль на протязг всхсУ ро-боти. В них дтють оператори ы > котр1 е (?ункц1ональними моделями р1зк1!х класхв несамоспряжених операторгв, що досл1джують-ся в дисертац1Т. На природмй областх визначення задано оператор ц $т>ркулос

- ъШ) , /еоСд (6)

де со по б1сектрис1 кута . Добре в1домо, що у випадку

,10^?}= 4 оператор (б) збхгаеться з функщональною модел-лю С.-Надя-Фойаша дисипативного оператора з повною системою коре-

невих п1дпростор1в. Спектральну структуру загального оператора

л** ■ ■ '

проясняв такий результат. За посл1довн1стю /\ 1з верхньо! п1в-

площини побуду^мо схм'ю функц!й

112В шдпросторх класу Хард1 п_

на природнхй област1 визначення розглянемо дисипативний модельний

оператор С.-Надя-Фойаша

¿иЩ)

с <г ъ

Теорема 1.4.2. Оператор под1бний до оператора Ат :

ей ^ ГА I

де Ь 1зоморф1зм простору оСд на .

Цей результат, а такок двосторонн1 оц1нки

ч^

лежать в основ1 розв'язання задач! про безумовну базисн!сть влас-

- Ib -

них та приеднаних вектор1в модельного оператора 1ншими

словами, йдеться про умови, при яких с1м*я рацгональних функцхГг склада« безумовний базис п1дпростору оСд С /-J

Теорема 1.4.3. Нехай А - дов1льна посл1довшсть,

що належить област1 SK j рк - П параметри. Тодг с1м'я

нормованих рацгональних А-ункщЙ

' * г п1/ -

утворюе базис Pica пхдпростору оСд С п (¿^ ( Ъд ) тод: i тхльки

тодг, якщо W-f> рк <" оо , а також

w п |-HN}>° (с)

I Лп+Лк| Ах - V JJ У випадку степенево! ваги цей результат гншими засобами (метод б1ортогонал1зац11 М.М.Джрбашяна) вперше було встановлено В. М.Мартиро сяном *)

Роздхл II присвячений спектральному аналхзу спещальних класхв необмежених несамоспряжених операторхв, коренев1 -вектори яких виражаються через ядра Тут також розглянуто i ряд

близьких задач, якх маоть самост1йне значения. Позначиыо через

Ы1) клас щ1льноэаданих операторов А що д1вть у npocTopi L^ (0,Ci) , обернем до яких задапться формулами if i } Ы Ak-e>fh+U,X)y„ , (&/)«)=& frty)(H)'Ms, (В)

де X деякий елемент хз L^OjA) , дужки означають с'каляр-

ний добуток в L^lOj Q,) , а звуження функцИ 13 тверд-

Мартиросян В.М. Замыкание и базисность некоторых биортогональ-ных систем и решение кратной интерполяционной задачи в угловых областях// Изв. АН АрмССР. Математика, 1978. Т.13, № 5 - 6.С.490-531

ження 1.1.1. на [О,й} знову позначз'зться буквою . Таким

чином, дов1льна_ Еага^ на контур1 породжуя_______

клас необуекених, взагалх ка^чи, несамоспряжених оператор! в в кожному простор1 Ь*(0.&)-

С/ X

Спектр оператора 31 (Р,"^^ зб1гасться з множиною коренхв А - Ц1Л01 (?уНКЦ1У порядку р

О ЛТ ЧПАПТ «»»Т » — *----------- - - • - _ , . _ Т , М V

. ; V ± — ~ Ю-р»« л. р^*» • А « I * ^Т К> ▲ 41~Ю Ц^УППи! I

де рк - кратнгсть кореня Ак.

1нтерес до операторов класу пояснюоться, наприклад,

наступною теоремою. Як I рашше, (р*)- кратнхсть появи числа Ак на в!др1зку | А^ } ^в ус1й послгдовност! ) .

Теорема 11.1.1. Нехай ТлТ^ - довхльна вага Макенхаупта на кснтург ^ (р > ^) . Тод1 кожний безумонний базис простору (л.) виду

, О ¿А (9)

\1

зб1гаяться з множиною власних та приеднаних <*ункц1й в1дпов1дного

оператора А класу

щл

При цьому бхортогональна система складаеться 1з функц1й

"к

де

а коеф1цхвнти 0,й . визначаються 1з розкладу

9(А)= У ап>1 (X + регулярна частина, Ф(Л

Оператори 1з клас1в-л1]5,1Явзагал! кажучи, "сильно" неса-

. моспряжеш та недисипатиЕнх. Тому загальн1 методи дослгдження не-самоспряжених операторхв тут не можуть бути застосоват. § 2 роз-д1лу II присвячений, в основному, теорем1 про 1нтегральн1 оцшки норм.резольвент, котра лежить в основ1 спектарльного анал1зу операторхв класу Щоб сформулювати основний результат, поз-начимо через контур, що лежить в област1 I задаеться р!внянням: р

Л^А = , ¿>о.

Теорема 11.2.2. Нехай А - дов1льниР оператор класу

Жу,!*4):

А% =6^ + } 9(А) =

Тод1 екв1валентн1 так1 умови:

1) для вс1х к&Ь^О^)

2) для ъсгх к еЬ^а)

1 т 1с/ у

?

де ЬХ(2) - зовн1шня в обласп функц1я, що вхдпов1дае ваз1 ЪУ" 3 ) вага VI (Ъ) - |1Л(г)|'*<|ф(?)| 1 задовольняч умову Макенхаупта на контур1

Сформульована теорема мая декхлька ваяливих застосувань, як1 викладавться в розд1л1 II. Почнемо зх з*ясування спектральноТ стру тури операторхв класу Введемо таку умову для ¿ункцн ф^

корен1 яко! зб1гаються зх спектром оператора А :

ьт^.о ь+ы (ю)

I? '

Теорема 11.3.1. Нехай А - оператор класу Л (Р Ю" ) Я5 -

I I ® | %

ц!ла функц!я, що йому в!дпов1дар:. Якщо V/ (З^рй^! задоволь-

няе умову Макенхаупта на контур! у^ , то при наявност! (10) л!-

нхйна замкнута оболонка кореневих п!дпростор1в оператораА___збх--

гаеться з простором ^(<9,0).

Нехай тепер Д - дов1льний оператор класу спектр

якого лежить в облаей ^х) . Тод1 збхга^ться ряд

а ^пх^и1 г 2. 4

I тому за А можна побудувати пхдпростхрсА/л£ п ц0,Ш ). Розгля-

Г ' ' *

немо в оСл кодсяыяЯ оператор ^, ог»н»»ени1* формулой (С) , I з'ясуемо, при яких умовах оператор А под1бний до оператора^¡^ Теорема II.3.2. Нехай А&Х^тЛ

а його спектр

А лежать в^" Нехай також ^ (•£ + ¿^ДО - оператор виду (6), який д!е в простор! сС^С- И , • Тодх, якщо оператори А та под!бн1, то мае мхеце умова £ю) I вага

ШД

^М^Ш-Ш^т*)!* (п)

задовольняр, умову Макенхаупта на кожному контур! ^ (£> О) • Навпаки, якщо вага (П) задовольняз умову Макенхаупта на контур! ^ х мае мхеце уыова (Ю), то оператори А ! под!бн!. Цю

под1бн1сть эд!Йсшк оператор

С2 А Х2-> = Фс г з са-а X

що д!в 1з Ьл(0,а) на с^д та, кр1м того, справедлив! рхвност!

Таким чином, цей результат показуе, що при вказаних умовах багато задач про оператор А можуть бути зведен1 до аналоНчних задач про модельний оператор ЯЙ^ > спектральна структура якого з'ясована в теорем1 1.4.2. В робот1 оператори 'аЯ^ы називаоться функцхонвльними моделями оператор!в класхв

В § 4 - 6 розд!лу II розглядаються застосування теореми 11.2.2.

до теорх* диференцгальних рхвнянь та до теорх! пер1одичних в серед-ньому продовжень функцхй за межх хнтервала Их задания.

По-перше, з'ясованх умови, при яких оператори tiA , деА^КЦ^ генерують С0 -п1вгрупи. В наступив теорем1

а також використовуеться позначення:

( IХЛ^ СЛ > I . ^т X > О Т»Г(А) * 1

( 1Ы-Ш1 ,ЬА<0,

де Т0> - зовнхшнх функцИ, що в1дпов1давть вазх Тл) на . Теорема 11.4.1. Нехай

та виконуеться умова:

Ц-Ьвт.о Гш Ьм,а. Ъ г- 11

тод1 справедливг такг твердження:

1). Оператор ¿А генеруя пхвгрупу класу С0 то-д1 й Т1льки тод1, якщо 6- У/яХ^-очта на якхй-небудь прям1й

вагаЫ(Х)[Ф(А)задовольняе умову Макенхаупта.'

2), Тип швгупи 1)(-Ь) дор1внюя £0 = Ууг), I мае м1сце формула: , г , -I ,

1 Кпр " '

3). Спектр пхвгрупи визначаеться р1вн1стю

{¿^ ^(С : ^ Ов^Ме^)^]

а мл-

де Ор - добуток Бляшке з нулями на посл1довност1 П =Л"1р ,

По-друге, за допомогоп теореми 11.4.1. даеться негативне

розв'язання задач1 С.Г.Крейна про генератори С0 -пхвгруп в гхль-

бертових просторах. Нагадаемо, що оператор А називаеться анти-

дисипативним, ящо ^(Ар,?) £ 0 для ВС1Х • Мае м1сце

Теорема*1 Якщо оператор -¿б породжуч 0о -пхвгрупу типу о) в гхльбертовому простор1 ^ , то оператор В~СсО{1 (&1>Со) може бути розширений замиканням до максимального антидисипативного оператора 6-сЦ1 , що д1й в б1льш широкому гоьбертовому простора, причому^С

В монограф!1 С.Г.Крейна (с. 119) розглядалась задача про обер-нення сформульовано! теореми. В § 4 роздхлу II одержано негативну

НТ^ПОНТ ДЬ гтмграииа • ппКмплооцп пг>иупатт лпот^офлпо 1 ауий чопп-

вольняе висновкам теореми С.Г.Кроина, але не породжус нав1ть ко-ректно! задачх Коал.

В простор! ¡.¡¿(0; 4) розглянемо оператор

. А-Т& д (12)

де обмежений в простор1 Соболева функционал ф задаеть-

ся формулою ^ А

0 *-

Теорема II.4.4. Для дов1льного СО \ оператор А-¿601 роз-ширювться замиканням до максимального антидисипативного оператора

г*»

6>НСоГ , що дхе в бгльи широкому г1льбертовому просторг, причому Раз0м 3 ТИМ оператор -¿А* не породжуя нав1ть ко-

о Л *

ректно! задач! Кош1.

Вхдзначимо, що оператор А виду (12) належить до класу

\ ) , а висновок про те, що-£ Д не генеруч п1в-групу обмежених оператор1в, робиться на основ1 теореми 11.4.1.

§ 5 присвячено застосуванню теореми II.4.1 до теорп перх-одичних в середньому 5ункц!й. Нехай - який-небудь банах1в

А

прост!р <£ункц1й, заданих на сегмент! [О, 1] , ^ - лтйний об-

*•) Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

межений функц!онал в 36 , . Функцгя (Ье^) наг

ваяться пергодичним в середньому продовженням направо фунуц11Х яюцо виконан1 умови:

1) при кожному функцхя належить (Ьс[0/1])

2) ХИ) ' при ¿6 [0,4] (як елементи простору )

3) $(%(Ш))=0 для всхх

Дал1, функц1онал </> будемо наэивати правим дельсартоЕИ якщо кои га функц1я з його ядра мае едине пер1одичне в середньом продовження направо. В робот1 даеться опис правих дельсартових йункц1онал1в у просторах С,на 1нтервал1

В § б розд1лу II доведено критер1й рхвномхрно! коректност1 задач1 Кош1:

.^г+Ат) = 0 , и(оЬ* , J

де А довхльний оператор класу Досл1дження ц

го диферетцального р1вняння грунтуеться на теорем1 11.2.2 у ви падку • р - %.

Розд1л III присвячений, в основному, розв'язанню задач1 пр безумовну базисн1сть у простор! Ьл(0/Л) с1мей ядер, що пород-жуються вагами Ыакенхаупта на контурах у . 1нсрше калачи, з'. совупться необх1дн1 та достатн1 умови на посл1довн1сть Д= { при яких система функц1Й

(13)

повна в простор! та !снуч така константа 1п £ (0^) % Щ<

оцхнки

мають м1сце для довоьноТ смнченноК множини комплексних чисел { В § I одержано дЕОСтороши оцшки норм елеменив послэдов-ност! (13). Нехай А лежить в облает! у* > ^ ) I тх чаетини

посл1добност1 А , що попадають в достатньо мал: кути •^У^-Ь при деякому Ъ>0 задовольняють умову

де пхд Л розумтемо анал1тичне продовження в указан: кути т1я? плки йункц1Т, яка в1дображае область на нижню п1вплощину.

Теорема 111.1.1. Нехай посл1довн1сть А лежить в облас-« у* ($>>%,)* виконучться умова (14) та О£ррк<ъо . Тод1

Пи'4) (\ ч ^ ¡7.1 /V ( 1М.*' _____

де 01=^^-1)"!

Нехай тепер А лежить в областх (|5>^)та попадас в криволгнгйну смугу виду ^

^ОтХ^иД (15)

Тод1 мае мхсце

Теорема III.1.2. Нехай А лежить в областх ^ (р ^ ) , виконуеться умова (15) х Ьир . Тодг мають м1сце двосторон-

их оцхнки 0-,

Сфор!иулюемо тепер основний результат, при доведенш якого були використанг практично вс1 викладен1 ран1ше результати про ядра Цууг^ • Вгдзначимо, що зв'язок з побудовами розд1лу II зд1иснюсться за допомогоп теореми 11.1.1.

Теорема III.2.3. Нехай посл1довн1сть А , вс1 крат-нос« яко! р^ обмеженг в сукупност1, зображупться у вигляд1

А=А+иД_,

де А+ задовольняч умову (14), а Д_ належить деяк1й кривол1-н1йн1й смузх (15). Тод1 система: Яункхцй

утворюе безумовний базис простору Ь^ОО.) тод! х т!льки тод!, якщо

- -¿А -

Д збхгаеться з множиною коренгв цхло! АункцН Ф , що задов!

няч умовам:

3) вага = liT | | задовольняе укову Макенха^

та на Y ;

п0сл1д0вн1сть А+={Х£ ; Л.Д задовольнят умову Карл« сона (С); ? у

5) посл1доен1сть А_={ХК •' Лк€ така, що

За допомогою цього загального результату доводиться, що пр> дов1льному р > та Для ДОв1льно! А^-ваги ЪИ** в кожномз 1з npocTopiB Ьх(0, &) 1снують безуыовн1 базиси (13).

В § 3 розд1лу III роглядачться задача М.М.Джрбашяна про критер1? безумовно! базисное« в Lji(0/CL) систем функц1й типу М1ттаг-Ле(^флера, а також iHuii ц1кав1 частков1 випадки посл1дов-ностей (.13).

В частковому випадку

= t -i<co< 1 , zeyp

теорема III.2.3 розв'язуе задачу М.М.Джрбашяна*^ про безумовну базисн1сть системи £ункц1й

при УМОВ1, що J J

Доведено, що за межами цг^у умови схм'Т функцхй типу М1ттаг-Лефф

*^Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. Разложения по специальным биорт тональным системам и краевые задачи для дк1*ференциальных уравнений дробного порядка // Труды ММО. 1961. ТЛО. С. 89 - 179.

pa не можуть бути базисами. Mas М1сце

___________Теорема-Ш.3.2______Нехай послгдовнгсть - эадовольняп

умовам теореми III.2.3. Тодг сгм'я фунэтцй

утворюя безумовний базис простору LA(0y£) тод1 i тгльки тод1, якщо та виконуються умови i) - 5J теореми III.2.3 для ваги ,. «л ,

li izbtzl" . u^ltR-tyP. , zefy

' ^ J J J

Дал1, в § 3 розглядаються ciM'i експонент з "не сильно" зрос-таючими кратностями, а також вивчаяться спец1альна задача для оператора Штурма-Л1ув1лля, висновок про безумовну базисисть влас-них векторгв яко* робиться на ochobi аналога теореми III.2.3 у випадку р = ^ .

Якщо А + , р > ^ то теорема III.2.3 доводиться за до-помогою розвитку методу проектування Б.С.Павлова. У випадку експонент цей метод дач змогу одержати критергй базисност1 в термз:-нах оборотност1 специального оператора Теплиця. В §4 для того, щоб знайти б1льш тгсний зв'язок з методом проектування показано, як можна безпосередньо прийти до оборотное« оператора Теплиця в класг Хард1 И (¿р") i для ядер i^^fofj.

t, HapemTi, § 5 присвячено 1нтерполяц1йним наслхдкам теорем про безумовну базиенхеть с1ыей ядер, що породжуються вагами Ма-кенхаупта. Тут йдеться про критер1| розв'язност1 кратних хнтер-поляц1йних задач виду

> ui<o°

в класах цхлих функц1й

Розд1л 1У присвячено як подальшому розвитку Teopil безумов-них базис1в, так i спектральн1й теорп вольтерових дисипативних оператор!в.

Нехай - сепарабельний г1льберт1в прост!р, ß

обмежений цхлком не самоспряжений оператор в ^ , що задоволь-

ч+Со

ня*з умовам: ^

I) = fß-ß*)>0; 2) = 3) (I ->ß i - цхла оператор. функц1я експоненц1ального типу. Для кожного розглянемо ц1лу

вектор-функцгю ,

™ J^) = (J-X6)J

В роздШ 1У одне з центральних. м1сць пос1дае така

Задача. Необх1дно з'ясувати, при яких умовах на оператор ß ,

f i+00

вектор tj€ Ь^ та поайдовтсть А = ( система

Ак€А} , 1и{Ык>0 (16)

к

утворюв безумовний базис простору ?

Дя абстрактна постановка цхкава^уже тим, що у випадку

^ =: Lx{0,(L) , J, tok ,

система (16) збхгаяться з системою експонент

В дисертац1Т отримано розв'язок задач1 про базисн1сть с1мей (1б) шляхом "порхвняння" Ix з системами ядер • базис-

"О*

Hi властивост1 яких були дослхдженх в роздШ III. Перш за все сформулюемо такий результат.

Теорема 1У.1.1. Яйцо певна ciw'H вектор1в (16) утворве безумовний базис простои' Ьу , то

— ©о

3 цг<з1 теореми природно випливая таке припущення. Дал1 ми будемо припускати, що вага ^

ицми

> задовольняо умову Макенхаупта на /R. Сформульований результат показу«?, що у випадку степеневого зростання IR. це

припущення е наслхдком безуыовноУ базисное?! euerem (l6_).

Наступний результат показуе, що cïm'ï (16) в абстрактному гхльбертовому_простор1 hy та_системи_функц1й____________________________________

в Lj,((?,&), що породжуються А, -вагою

ЫЬ) - на Я ,

можуть бути базисами лише одночасно. Для зруиност1 формулювань

введемо таке означения. Нагадаомо, що А^ -ваз1 ZJ1 на дхй-

сн1й oci за формулою

-rWO-if -Г1^... \ ..-.

х у

в1дпов1дае функция Через ^си позиачимо оператор

у npocTopi La(0,îl) . Клас оператор1в В , що задовольняють пересчетам вище умовам i) - з), позначаяться через Ар5^.

Означення. Нехай В&А^ . .Оператор називаять-

ся - под1бним до оператора Jet . якщо icHy<=: такий 130-

морф1зм S простору La(0,й) на Jrj» , що $ = S »^ » де t^ в1дпов1дач певн1й ваз1 Макенхаупта U1" . Теорема 1У.2.1. Нехай

Il А) II - вага Макенхаупта

на

R , Ct

- експонетцальний тип резольвента оператора ФункЦ*я> визначачться вагою "W3, '. Тодх еквхвалентн1

там умови:

1) ciм'я векторхв (16) утворез безумовний базис простору Âj, ;

2) оператори В та \ поД1бн1, i cïm'h j утворве безумовний базис простору Lj, (О,CL) .

Оператор S , що зд!Йснюе 5 ^jxs) -П0Д*бшсть, мач

вигляд: . б 1\Ь\

Таким чином, якщо система вектор1в (16) утворюе базис абстрактного гиьбертового простору, то вона !зоморфна безумовному

- m -

базису простору , який складаеться ia значень ядер

1накше кажучи, базиси хз ядер, що породжуються вагами Макенхаупта на (R. , мають властив1сть ун1версальнсс« в класх базис1в виДУ (1б).

В теорем1 1У.2.1 метиться новий п1дх1д до проблеми подобное TÏ вольтерового оператора оператору хнтегрування, який грунтуеть-ся на досл1дженн1 базисних властивостей систем (16). Цей П1дх1д дозволяв дати простий критер1й под1бност1 onepaTopie в та Уд. , що формулюеться в терм1нах характеристично! оператор-функц1ï оператора В .

Розглянемо чисту внутр1шню в област1 >0 хдлу оператор Функц1ю . -1

ева)=гпАк (т-лб)к,.

значения яко! Д1ють в npocTopi (3 , причому 4

2%&-КК* , К : <3

Для зручностг формулювань будемо припускати, що cUtn Через Ц позначаеться функция, що тотожно дор1внюз \ .

Теорема 1У.3.2, Нехай ц1лком несамоспряжений оператор £1=Л5рУтВ; Ящо знайдеться такий вектор {рбб , що.для де-

якого ê >0 .

l(êL eBmi,?)l>£>o , Лп\<-i,

то оператори В та IJq. (lj)-подхбнх. Навпахи, у випадку такс П0Д1бН0Ст1 -

в кожн1й област1

Повернемося тепер до задачг про безумовну базисн1сть cïm'ï векторхв (16), враховуючи, що ^fy * ® функцхональн1й мо-

дел1 = С.-Надя-Фойаша задача про_базисн!сть мае таке екв1валентне , лерефо рыулю вання.

- -

Задача I. Нехай 0 - ц1ла функщя експоненц1ального типу,

-значеннями_-яко1- е л1н1йш__оператори в простор1 ____розм1рностх_________

И. <£». б(о)=1.Припустимо такод, що б внутрхшня у верхнхй шв-площин1 х чиста. При яких умовах на 9 ^ вектор та посл1-

довнхсть А с1м'я

4(1,= ( ¿пПт\,УО,

утворюе: безумовний базис простору К~ И-ДСЗ"}© ?

цо5 сформулавати задачу про Саз'/.сн: сть схн*" (15) в трикут-Н1й модел1 Бродського-Л1вшиця, розглянемо вектор-функщю

з л1Н1йио незалежними координатами та умовою нормування

ПН)ПЪ)='1 , 0 41<а

Позначимо через —^¿^(^¡ХЛ! розв'язок канонхчно? системи

диференц1альних р1внянь:

^^ (17)

з ермтаном ^(х) - П (£)[}(%)•

Задача II. При яких умовах на вектор-функц1ю П , вектор О, --(й1гб2г.. посл1довн1сть А С1м'я

'у^^^рме^тл) , К^Л, (18)

що побудована но розв'язку канон1чно! системи (17), утво-

рю<з безумовний базис простору ?

Дослхдження задач I - II спирачться на загальний критер1й, про який йшла мова в теорем1 1У.3.2. Сформулвемо, наприклад, розв'язок задач1 II в тому випадку, коли П кусочно абсолютно непере вна .

Теорема 1У.4.2. Нехай вектор-ЯунтЦя П кусочно абсолютно неперервна на сегмент! [0,(1] , а ветбр £}€• С*" задоволь-

няе умов1 ^

Тодх система (18) утворюв безумовний базис простору 1^(0,(2) тод1 I Т1ЛЬКИ тодг, коли

П(х-о) П*(*+о) t О

при всххХёСО,^] та С1м'я | А*!:) : мае цю ж влас-

ти В1СТЬ.

Таким чином, в дисертацП були введен! та за допомогою спект рального пхдходу--дослхджен1^бхортлглнальнх^^зкладання (^ по значениям ядер, що породжуються вагами Макенхаупта. Запропо-нований в робот! метод хнтегральних оц1нок норм резольвент дав змогу розв'язати ряд важливих задач математичного аналхзу та те-ор11 диференц1альних р1внянь. В дисертацх! знайдено новий П1д-ххд до в!домо1 проблеми подхбност1 вольтерових оператор!в, який грунтуеться на досуидженнх базисних властивостей спецгальних с!мей функц!Й, що пов'язан! з цими операторами.

ПУБЛ1КАЦП

1. Губреев Г.М. Спектральный, анализ оператора дифференцирования

и условие Макенхаупта // Докл. АН СССР. 1964. Т. 278, * 5. С. 105; 1056.

2. Губреев Г.М. Теорема о равномерной корректности одной задачи Коти и ее применение // Функц. анализ и его прилож. 1984. Т.18. Вып.2. С. 89 - 91.

3. Губрезв Г.М. О периодических в среднем продолжениях функций // Функц. анализ и его прилож. 1986. Т. 20. Вып.1. С. 67 - 68.

4. Губреев Г.М. Обобщенные преобразования Джрбатяна и их примене-ния//Изв. АН Арм.ССР. Математика. 1986. Т.21. »3. С. 306- 310.

- OI -

5. Губреев Г.М. Базисность семейств функций типа Миттаг-Леффле-ра, преобразования Джр<Гатяна и условие Макенхаупта//$ункц. анализ и его прилож. I9S7. Т.21. Вып.4. С. 71 - 72.

6. Губреев Г.М. Базисность семейств функций типа Миттаг-Леффлера, преобразования Джрбашяна и весовые оценки интегралов типа Коти// Изв. АН Арм ССР. Математика. 1988. Т.23. № 3. С. 237 - 269.

7. Губреев Г.М. Спектральный анализ биортогональных разложений функций в ради экспонент// Изв. АЛ СССР. Серия изтем. 1999. Т.53. » 6. С. 1236 - 1268.

8. Губреев Г.М. Интегральные преобразования типа Джрбашяна и интерполяция целыми функциями конечного порядка// Изв. АН Арм ССР. Математика. 1990. Т.25. *1. с. 83-90.

9. Губреев Г.М. Спектральный анализ биортогональных разложений,

порождаемых весами Макенхаупта//3аписки научн. семин. ЛОМИ. Исследования по линейным операторам и теории функций. 19. 1991. Т.190. С. 34-80.

10. Губреев Г.М. Об одном классе базисов гильбертовых пространств и о проблеме подобия вольтерровых операторов// $ункц. анализ и его прилож. 1992. Т.26. вып. 4. С. 64 - 67.

11. Губреев Г.М. Об одном классе базисов гильбертовых пространств и о проблеме подобия диссипативных вольтерровых операторов// Ма-тем. сборник.-1992. Т. 183. №9.'С. 105 - 146.

-эг-

"Gubreev G.M. Spectral analysis of biortogonal expansions generated by Muchenhoupts weights.

Dissertation for a Doctor of Physics-Mathematical Sciences degree in the speciality OI.OI.OI-Mathematical Analysis,the Low Temperatures Physical-Technical Institute named after B.I.Verk: of the Academy of Sciences of the Ukraine,Kharkov,1994. There are defended II scientific papers in which biortogonal ез pension^ are introduced and investigated.The expansions are generated by Muchenhoupts weights.Spectral structures of differei classes of non-selfadjoint operators connected with such expansions are elucidated.Essential attention is given, to applicatio of general investigation method to solution of series of significant problems of mathematical analysis and theory of differeii tial equations(M.M.Dzhrbashyans problem,S.G.Krein problem et al Губреё! Г.М.Спектральный анализ биортогональных разложений, поре даемых весами Макенхаупта.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ, Физико-технический институт низких температур им, Б.И.Веркина Академии наук Украины, Харьков, 1994. •

Защищается II научных работ, в которых вводятся и исследуются биортогональные разложения, порождаемые весами Макенхаупта; выясняется спектральная структура различных классов несамосопряженных операторов, связанных с такими разложениями. Значительное место уделено приложениям общего метода исследования к решению ряда важных задач математического анализа и теории дифференциальных уравнений (задача М.М.Джрбашяна, задача С.Г.Крейна и др.).

Ключовг слова: безумовн1 базиси, ваги Макенхаупта, п1вгрупи оператортв, функщональнх моделх, несамоспряжен! оператори.