Спектральный анализ двумерного нестационарного оператора Дирака тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од 2 1 m 1093

ШДЙЯЯ НАУК -УКРАГШ ШСГИТУТ МТЕШШИ

На празах рунопнсу

АИЕРОВА Одана ÍBSHírnü

СПЕКТРАШШ АНАЛ13 ДВОВКМШОГО НЁСТЛЯХОМРНОГО ОПЕРАТОРА Д1РАКА

Oi ,0t .08- .вт^эрвшДальн! р1Ешшнр-

АВТОРЕФЕРАТ

,шсйртаг(Гх йа здобуття вчеяого етуг квщгадатз ф1яш;0наатвмзтйчя|»я яяук

Ше-

1993

Роботу виконаво у в!ддШ функцЮнального еная!зу Гнотитуту мэтематики АН Украйш.

Науковив нер!внкк: доктор ф1зпко-матемптичких наук, профвсор НИШИ Л.П.

0ф1ц1йн1 опоненш: доктор ф1знко-мвтвматичн?та наук,

11ров1лн'8 устячовз: ЮТвський державний уШверситет

из зас1данн! спец1ал1зовано1 ради Я 016.50.0?. при 1нотитут1

математики АН Укра1'ни за адресов:

352601, Кийз 4. МОП, вул. Тервще>нк1всъка 3.

3 ди_сертац1й)п мояна ознайомитиоь у 616л1отрц1 Тнституту.

МИХШЕЦЬ В.А.,

кандидат ф1зйко~матвм«тичних наук,

доцент

ТАРАСОВ В.Г.

1м. Т.Г.Шавчеякг),

1993р.,о год.

Автореферат роз!слано

-т/гоёмкщ.

Бчекий секретер епец1вл1зовггао1' ради /■актор ф^лко-матемаотших -наук

ЛУЧКА А.Ю.

ЙАГЛЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТЙ

Актуальность теш. Сдактральна теор!я операторов в важяивим 1 досить розвидакш роэд1лом сучасного фугасц!овального знал1зу. СвоХ витоки юна <3ерв з праць Ш.Ерм1та 1 М. Яордана (для ск1яченноБИм1рного простору), Ж.йтурма 1 Я.Л1ув1л.1ш (для звичайшсс диферэнц1альн х р!вяянь II порядку), Е.Фрэдгольма 1 Е.Шдтз (для 1нтеграл. .юх р1вкянь). Фундамент абстрактна! спектрально! теорИ' Оув закладений видатннми математиками XX стол1?тя: Г.Вейлем, Д.Пльбертскл, Д.Найманом, Ф.Р1сом. Суттевий вклад в побудову спектрально!* теорИ' опврзгор1в внесли Ю.М.Березанський, М.Ш.Б1рман, 1.М.Гельфанд, М.Данфорд, Г.Каго, М.Г.Крейн,

A.Г.Костючвнко, Б.М.Лэв1тан, В. 0. Марче шэд, Ф.Релл1х, М.Стоун, Л.Д.Фаддеев, К.Фр1др1хс.

Важливкм 1 най<31льш розвянеким розд1лом спектрально! теорП' е еяэктральнкй анал!з дифзренц1альних опаратор1в. Сдактралыш твор!я для эвнчаЯннх диф9рэнц1алышх р!внянь детолыю вньчена завдяки працям Дж.Б1ркгофа, М.Г.Гасшювэ, 1.М.Глазмапа, М.ВЛСвлдаша, В.М.Лев1тана, З.Л.ЛвйбЬпЗона,

B.Е.Лянцв, Б.О.Мэрченка, М.А.Наймэрка, Е.Т1га;арпт.

Спектральна теер!я для дкферэнц1альшв: р!внянь в

чаепшних тат.Оданх почала 1нтенсквно розвиввтася лише в друг!Р половин! XX стол1ття. Перлтм основшад оО'ектом до.сл1даень був багатозям1рвдй оператор Шрвд1нгбра. На1М1льи глибок1 результат для яього одержан! Ю.И.Бврезаясью®, А.ЯЛ!овэнвром, Л.Д.Фздцвеиш, Побудовано спектральну теор1ч п'"1 ^агалыгах вл1птичнит р1внянь. Эокрема И.й.Бвреэан.ськ'йч доведено розклад за уззгаяьнетз.ш влаенкми фунхцШга. Для ве(шнтн'тттх дрфврешЦадънт: операторов галош?» Хх с^моепрякеност! 1 структура спекгрэ в рэмчах тесрЛ" ряурнь в

тойотах Л.П.Ни«:яика 1 МЛйектяра.

Сл1д е1дзнэчити» шо вагомий внзсок в розвнток спектрально! теорИ зробили вчеп1 Укра'йш. Тут сформували.сь Харк!вська школа (В.О.Марчзкко, ЬМ.Глзгмэн, Ф.С.Рофэ-Бекетов) Одеська школа (М.ГЛСрейн, В.М. Адамян, Д.З.Аров» Л.А.Сахнович) 1 Ккйврька школа < Ю.М.Бврэзацський, В.В-Барковський, М.Л.Горбачук, ВЛ.Горбачук, Ю.Г.Кондратьев, А.НЛСочубей, В.Д.Кодаапенко, В.А.Михай.чець, Я.П.Нюкшж, Г.Б.Радз1евськиЯ, Ю.С.Самойленко).

В останн! десятир!ччя поряд з досл1дкеннями з спектрально! Teopiï легального характеру, велика увага стала прид1лятися спектральному анал1зу конкрвтних onepaTopis. Зокрема цэ викликзно широким застосуваяням методу обврненох вздэч! рфс1яшзя для 1нтвгрування нелШйних дяферэнц1альншс р1внянь. Для 1нтегрування р1вняняя Д0в1-Стюарт-сона використовуеться двовим1рш!й яестац1онарний оператор Д1рэка. У эв'язку з цкм проведения детального спектрального анал!зу двовкм!рного нестзц!онарного оператора Я1рака е до.сить яктуальким.

Мета работе. Провести детальний шектральний анал!з двовимхрного нестац1снзрного оператора Д1рчка: виявити умови самоспряж9норт1, вивчити характер спектра, визначити структуру резольвента, вивчити 1 cniECTaBimr р1зн! пШоди До задач! розс!яння, побудувзте узагальнен! власн1 фупкцП' для оператора .Ирака як розв'язки калач! розс!кння 1 зетановити спектральюй розклад за ц;гои функц1ями.

Методика досл1джень. В робот1 використан! метода Teopiï оператор!в, Teopiï 1нтегральшн р1вкянь, нестац1оперний, стаи 1онзрний Î п!дх!д Лвкса~Ф1лл1пса в Teopiï роз.с1якня, теор1я узагялънених функц!й.

Найтова новизна. Bci ochobhI результата дисвртац1йно1' роботи е ковими.

-Доведена сашслряжен1сть спнетркчного двовим1рного нестационарного оператора Д1рака. при умов! локально!

1нтегровзноот1 з квадратом потешЦалу. При цьому Coro спектр е абсолютно ттрорвтил 1 зайше всю д1йсну б1съ.

-Доведено, ¡до умова 1нтагровакост1 з квадратом потенц1алу приводить до ' Пльберта~!Ем1дт1всъкого збурэшя

резольвента.

-йобудозан! оператора розс!я1ШЯ на основ! неетяц1онарного, стацЮнарного 1 катоду Лаксэ-Ф' чл1пса 1 сп1вставлэн1 з оператором розс!яння для дЕс^ге«1рно1' система Д1рака, досчй.пжзкш Д.П.Нвяашком.

-Встаиовдепо спектрально роехлад sa розв'яакзми задач! розсЬтння як узагальнвтт гласнимм фуккц.1пма опэратора Д1рака

Апробац1я робота. Результата дасвртац!Ено2 рсботи допов1дэлись i сбгоБоршалясь на сод1нер1 в!дд1лу Фушат1она.лн-ого ячзл1зу 1катитуту математики АН УкраУяи, на свм1нар1 кафчдрп матвмагвчноТ ф1зккя 1 KowisperaiiS молодкх вчйних Kii'iHCKCoro дархавного уШЕврситоту, сем!нарах Бшсонавц1в проекту за й 1/2ЯЗ, ф1нансованого Фондом фундаментален! досл1дхзкь Державного ком1тэту УкраТш з ют? ль н»ухи та технолог1й.

Пу<Шкац11'. OckoehI результата дясертацИ опубл1ко1 jHI в 3 роботах, нарадегго напрнкХшЦ автореферату.

Структура та об'ем робот. дксзртапДя сб'етлогл 85 стор1нок кяашогису складавтьсд 1з в.стуяу, трьох глав i списку цитовано! л1тарэтури, що к!стить в coöl 70 найменувань.

ЗШСТ РОБОТМ

У вотуп! оогрунтовуеть.ся актуальШсть тема, наводиться отделяй огляд poöiT по деп1й Tewvratf, формултогься оонош! толоязшя дисвр?8ц1йпзХ робота.

В nepalfi глав! досл1дяуеться ташопрязелЮть i вивчвоться структура спектра н°Г'Т«Щсн"р«С1о сдарзторч

Я'рака в характеристичных зм1нних вигляду

у простор.! ¿¿(Е^Е1) - двохкомпонеытних вектор-функц1й,

лумованих з квадратом по двох зм!нних .

Оператор / мозша гредставип' у вигляД-1 суми №?з*уреноге оператора

о \

(-1 пг1'

у

I яот9нц1а.пу

(2)

у. / V ^ I

Замикашш ь простор 1 ¿¡.(^ ) нез^уреного оператора з многий н<?1-ерерию №{еренц1Йованих Ф1н1тних функц1й V

е самоспряженим оператором з абсолютно неперервнпм спектром, В теоремах 1.2.1. 1 1.2.2. доводиться, шо при умов!

v щ)- ч<*,р 6¿*,йс се*) яакккп.шч в

оператора Л 1з СГ'С£''/Ег') в самоепряяоним оператором " абсолютно непврервшм спектром, що займае всю в1сь.

В яисертзцП даетьсй два р1зних доведения наводеного результату. Перший, 01льш сгошаф1чний, оснований на тому простому факт!, що для довЬчъного . & €. И<! оператор ¿+&1

б

<з ун1тарио 9кв1валвктшм до оператора L ' . Причому ун1тарну екв1вал9нтн1сть зд1йсиов оператор тошная.

Другая п1дх1д хруптуеться на в1дсутноег1 нэтряв1ельннх 1юзв'язк1в 1з l% (е1>вг) в тотокност!

I Cht 2 (¡^niif'Xho,

130 гакопуеться на розв'язках р1вняшя L* f Up 1

означае р1вя!сть яул» дефектши чисел. Цэй Щдк1д дозволяв розглядати б!лш загальн! ситуацИ', 1 в дясертац!Л' Bin застосовувтьсд до загвдьних матрнчгоа. скметричних д»фэре;щ1алъних onepaxopiB в частшших пох1дккх горного порядку вигляду

(4)

Такой мэтод дав моклябЮТь довести самоспря&энЮть оператора г-етляду (4) з уыовов на потбГщ1ал

(теорема 1.3.1). В теорем! 1.3.% ¡три додатксвЗй умов1 на сукупн1сть ксеф1Щент1в Ац доводиться в1доутн1ст{

дискретного спектра у оператора (4). Ця умова полягаа в тому, шоб 3 pißHOCTl ('нъ для довТльного f~

вишшвало, що вектор = 0

Всвди дал! в дяс-ертацП пршускаетьоя, що потмц'.ал (8) звдоводьняе умову

Пя умова приводить до Г1льб9ртя-№/1дт1.»'-ькога (Г. Ш.) збутхэня? резод^р^нтв Rs. оператора / 1.4.) и

дэ Нц - оператор Г.-Ш. у простор! * £ *") , що

онал!тично залэкить р1д £ у Вбрхн1й 1 южв1й комплекта; п1шлощшах й . Резольвента Р/ • кезбуреного оператора ¿.0 (2) задзвться явной формулою $ * да

¡с

д{ (ху)* е] //

(знак - о» та + 00 на нижн1й кек! ЮТегруванпя в!дпов1дав

Шмиювдшэм ¿>0 та ^¿<0 ). доведения представления

(6) Оазуеться но вольтарровост1 однозначно розв'язного р^няння для резольвента

Як насл!док 1з ц1еЗС тбореми вяпливае твердавння про в!дсутн1сть комплексяих власних значень у оператора Д1рака при дов1льному (нав1ть несшетричному) потенц1ал1 з умовою (5). Кр1м того, для симетричних потенц1ал!в з умовою (б) зв1дси вкпливае р!вн1сть нулю 1.ндекс1в дефекту, тобто самоспряжен1сть оператора (1) .Такий п!дх1д до доведения сшоспряженост! дпферешд 1 алъних отарагор!в, що вштливав э волътеррово,ст1 теор!дних 1нтегральних р!внянь для функц1Й 1з ядра спряжэного оператора, можна застосувати 1 для. загальшп г1пербол1чшх р1внпиь. Впершв такий тт1дх1д Сув використаний для р!внянкя

/

струни Л.П.Нюкником ще в 1963 роц1.

В друг!й глав! для двовим!рного оператора Д1ракв (1) побудовэно оператор роэс1яння на основ1 "встатонарного, стац!онарного та п!дходу Лакса-Ф1лл1пса.

Для вивчення задач! розс!яяня а нестационарному п1дход! роэгляяуто задачу Коя! д.г1 еволюцЗйного р!вяяння

г ш = /10

1 Ш 1 Г> - (7)

з оператором / иггляду (1). Еволвц!8ний оператор "¡¿ь1)-6 сп!вставляе початков™ умовам розв'язок задач! Кош!-(7) в момент часу Ь :

Б неста»1онарн!Я теорП' розс!яння вашгаву роль вШграють хвильов! с-шрагори ТУ^. 1 v/, ■ , як1 для задач1 (7) визначаютьсд таким чином. Нехай (або )

-розв'язок незбурвно! задач! Коо! (7) (при О ) з

початковими умовами ^ (в 1дгтов 1 дно ) такий, що

при ¿-> + <х» (Ь - сю) прямуе до розв'я~ху збурбно! задач! з початковими умовами &,}/) ' - Т°Д!

хвильов! опаратори визначатямуться р1вн1стю

щ =

В робот1 отримак» !нтегрэльне представления для хвпльо! л оггерагор1в, яке мае вигляд .

е

Вироз мояна представите в оперэторн1й форм!:

дэ Л± (<?) .. оперзторна функц1я, що щи ф1ксс>ваному Т д!й по перш1Я зы1нн1Я як 1нмгральикй оператор, ун1тарний оператор в (с* £z) :

-

В »бстац1онврн1й Teopiï оператор ¿ц , що, переводить (f в if1 * , назиметься оператором розоШяя, В1н пов'язаний ls хвильовими операторами р1вк1ств

Для задач! (7* отримано представления цього оператора

.% - к;ч1-шт(т<а-(г))(>с, пг,

Зг1дао з методом Лакса-Ф1лл1пса, за групою и И) вг,/дкц!йяих операторов (8) у простор1 (Е^Е*) вид!ляються два Шдпрортори 3)- ~ приИдний 1 2>+ - в1дх1днлй. У вкладку р!вняння (?) п!дпрост1р Х>+ складаеться^ з функцОй ¿гй:** ] ЛО р1вн! нулю при ;

а пЗдпрост1р сгладзетъея з функцШ

но р1вн1 нулю при х+урС . Вид1лоНим п1дпросторам Т>± в1дповШе трансляЩйне представления групи ^^ » при якому вшс1дний простор /х(В^В*") ун1тарно вОдображуеться на 12 (е\ x) , де я - 1х (е \ е*~) - допомОжний

г1лы5ертовий простОр, причому Д. ) вОдображуеться на ¿х ((-°*;о)}АГ) (в!дпов1лно ((0,-ю»), Л) ), а д!я груш 11(1) парчтворювться в правий зсув на к одинииь. Оператори О ,якО спОвставляють

елементу вих1дного гОльбертоеого простору в1длов!дн0 йому трансляцОйнО ¡тредстыиики 1 , називаються

операторами трансляц!Иного представления.

Теорема С.3.2. Ьгх.эй -дов1льний елемент

вихОдного простору кх (Е *£ ) , який будемо розглядати як початков! умови розв'язку задач! КояО (7),

-асимптотики иього розв'язку:

(17 {¿т) = сип 1р-/ (я,я+5-т) ,

х-+±о- 71 (12)

а? йЫ^ <у£

Тод1 оператор» ^е ~ еизнячзють траясляц1ня1

представления групи

В пОдход! Лак.ся-ФОллИтса оператор

- к '/?;'

встзновлюв в!днов1дн1.сгь м1я трансляцШш.та представгог-мми 1 олкого Я того ж элемента вих!дного гОльбертового

простору i вазиЕзеться абстрактном оператором розсШшя. У вштадку задач! (7) трансляцШйши представникачи в асимптотики (12) 1 Л + розв'язку задач! Koal (7),

тому

aus.t) - о. а'

В робот! реол1зовано стац!снэрштй: п!дх!д в теорИ* роас!шшя. Вг1дно з HID.! зд1йсгеоеться д!агонал1зац!я оператора

Lc (2) Б1дсбракенням T¿ ~ íK R0 , дз первтворан^ч Фур'в но друПй змИшШ, - уп!тариий

опера-юр (10) . Тека д1агонал1зац!я. приводить до розклада вих!дпого г1г.ьбвртового простору Lt (Е*Е1) е пряшй iimrp&R п1доростор!в

dh

дв ж} = lx(e \ в1) при цьому оператор (И)

пзрэходить в опораторну фуккиДв:

гя sh г/, ¿¿и.

Отршаний таким чипом оператор в (Я) вШграз роль оператора розс!янкя в стац1онарн1Й теорИ 1 називавться еубоператором розс!яння або матрицею роз.о1янкя. При ф1ксовзному Я оператор £>(%! д!е в простор! atr(e1,£t) „

Опэраторй розс!яння £„ ' , , 3(2)

сп1Бставдвн! з оператором розсЬтння в п!дход! ЛЛЫйкняка. до винчения задач! роз.с!яння для .©¡стеки р!ваяпь

В шэму П1ЛХСЯ1 ДЛЯ допустима р038'й:«5Г}В СИСТйКИ

< 1 ; 'i (fr &/), (-, u) é lí (e f) ) ДОВОДИТЬСЯ 1СНУВПННЯ в /3 гря.инь f/ctoo, у) = аНр, % (X, (I¿lx) .

При аьому ро.зв'зтги сгсгеми (¡3) анназна'гп визначаються парою аскмятотях ~ (&<~, cl¡~) - тдаютах хвиль

эбо Cif = - posclmtx хбиль чегез оператори

перетвсрэння. Оператор g , що переводить падавч1 хвил! ct~ у ponclffHÍ (1+ , називаеться оператором розс?янвя

a*aj-sa-(¿) (14)

В робот! довода, що .для двовшЗрнсго опэрпторэ Д1рака (1) субоператор poseíядая сп1впадае з оператором П4):

Абстрактней оператор розсЛяняя Лвкса-Ф1лл1пса по

гП-с огшрзтор (í<1^t я яо лруПй ЗМíHTÍÍй— ЯК ТОТОЖНКЙ

оператор:

Встановлено тзкож зв'язок оператора розс1яння в нестац1онарн1Я те-pil" з оператором (14), лклй мае вигляд:

Третя глвва прясвяччна побудов1 розкладу за узагельненша влаешми функп,1к<«,< оператора Д1рака (1) . Для незбурея ^э оператора (2) розглядаються два бвзири узагалькояих зласних ч-уккц1Я:

(16)

Розклад дов1льно£ функцИ' ^бХхСб^Е*") за узагельнешмн вда.снш® футшЩяш оператора (2) вигляду (15) або (16) вводиться до даретворешя Фур'б в1дпов1дно по двох ебо по , одн!й зм!нн1й 1 мае вигляд

да

«й )

В1дпов1да1 (16) узагапьнен! власн! функцИ для збуреяпго оператора Д1рака мають вигляд

%

'й1

(17)

I е

дв $ - ядро гранично! резольвента

оператора (1).

Узйгалън~я! власн1 фулкц11 (17) сп9р8тора А з розв'язкаш задач! рез<~1яшя для снстемл р!вняк*

(18)

Вони утворввть повяу систому узйгальнеши власних фуптсШЗ оператора Ирака (теорема 3.1.!). Справедливпй спактралышй розклад за уззгамьнвшт власними фушЩтш 1 справедлива р1вн1сть Парсеваля

ОрО ОО

щ чч%ь•

?\ьтор ьксловлюз пэру вдггпЦсгь своему Н4утасс?ту кер!вюжсв! Л.П.йтапвсу за го.ст1йяу увзгу до еяконвпея робота.

ОсновШ результата дясертацИ опубликован! в таках роботах

1. Лмерова Е.М. Разложение по решениям задачи рассеяния для двумерного оператора Дирака // Придаяагшэ методов функционального анализа в математической физике.- Киев.: Ин-т математика АН УССР, i969.-C.4-il.

2. Amerova НД. Scattering ProUi,., for two-Component Sonstatlonary Dlrac Operator // Methods of functional analysis in problems of ftatheniatieal physics. -Kiev: AcecJ.Sci.UKraine. Inst. Mathematics. 19У2,-р.^ '2.

3. Серова ^.«..ftiaesfK Я.П. Снектралншй акатаз двушрного оператора Дзрака // Грашчнио задачи для даЗфэрзщиальшх уравнений.-* Киев.: йи-т иатематаки АН УССР, 1986.-0.4-6.

Шдо. до друку 10.05.ад. Форйат 60x84/tfi. Пап1р друк. ОфО'Друк* Ум. друк.аргс. 0.93. Ум. ферСо-в1дб. 0,93. Обя.-вкд. арк. 0,7. Тирах 100 пр. 5аы. j£8 Безкоатовяо.

Е1даруковено в 1нститут1 математике АН УкреУпя 252*501 КиТв, КОП, вул. Тврещ9ик1вська, 3