Спектральный анализ некоторых классов линейных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

г. г

ВОРОНЕЖСКИЙ ОРДЕНА. ЛЕНИНА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени ленинского комсомола

На правах рукописи

ПАЛЬЧИКОВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

УДК' 517.956

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ'

Специальноетг OI.OI.OI - матоматичеоккй анализ

Автореферат1 диссоргадш на солсканяв ученой степени кандидата фязико-матемаютеских наук

Воронеж - 1990

Работа выполнена в Воронежском государственном угагвера имени Ленинского комсомола

Научный руководитель: доктор физико-математических на;

профессор А.Г. Баскаков.

Офкцивлыше оппоненты: доктор фнзжо-иатематл^зсхизе на

Ведущая организация: Московский государственный униЕ

тет имени М.В. Ломоносова.

Зашита состоится, Ч> июня 1990г. в 15 часов Ю минут нг •сэданш споциализировашюго совета К 063.48.09 по присуждег ученой степени кандидата физико-математических наук в.Воро; ском ордена,Ленина государствешом университете имени Лен;и го комсомолу'по адресу: 394693, г. Воронеж, Университетов I, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вороне; государственного университета.

Автореферат разослан "_" мая 1990 года.

Ученый секретарь специализированного

профессор В.Е. Слюсарчук, доктор физико-математических ш старший научный сотрудник Т.Я.

совета К 063.48.09

В.Г.

. ^ ] ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

- •■

Актуальность теш. В работах Т. Карлсмана, Е.Л. Александро-ЩЩи. Кириченко рассматривались интегральные ошратори о яд-хзм, зависпшцм от разности и сумш аргументов при некоторых до-юлт:тельных условиях на ядра рассматриваемых операторов. Урэ.в- . гения с такими операторами возникают в ряде задач математической 'шэики, теорш переноса лучистой энергии, астрофизики. Естественным образом возникает задача снятия дополнителыгнх ограничений на гдра и изучение этих операторов не только в гильбертовом прост-

анстве но и в пространствах ), Если при исследова-

ли названных операторов в пространстве 1ц важную роль играет"/

1рэобразоваше Фурье, то в случае пространства Zp такой метод :епртгоден, и ми пртодим к необходимости развития теории соот-етствуюфх банаховых алгебр, содержащих в себе, как частш!й слу-ай, интегральные операторы с ядром, зависящим от разности и сумы аргументов. Поэтом;/ становится актуальной задача построения труктурной теории таких банаховых алгебр.

Часть результатов диссертации относится н вопросом диагоиа-пзшцш лннеГпшх ограниченных операторов, действутжих в банахо-нх пространствах. Исследования в стой области тесно связаны с звестпой теоремой У. Рудкна о существовании проектора на допол-темое подпространство, обладающего определенными свойствами, ри изучении этого проектора принципиальную роль играло наличие редстявления компактной группы, ло нам нужно егшть- ограничение эмпактиости за счет, бить може-, дополнительных условий на баня-}во пространство.

Цель работы. Исследование спектральных свойств интегралы?* : ¡ораторов с ядром, зависнем от разности и суши аргументов в ¡зличш/. функциональных пространствах, структурной теорш иоко-|рых специальных классов некоммутативных банаховых алгебр. Иэу-кие условий представления банаховой алгебры линейных огрошчен-х операторов в прямув сумму подалгебры ("диагональных" опсэрато-в ) и некоторого подпространства ("недиагоналышх" операторов).

Методика исследования. О диссертации используются методы тени линейных операторов, методы абстрактного гармонического эга-■за и теорш представлений банаховых алгебр.'

Научная новизна. В работе получены следуйте результат:

3. Для интегрального оператора, с ядром, зависящим от разнос ти и суммы аргументов без неких-либо дополнительных условий на .с ро, проведен полный спектральный анализ: получены условия огрею ценности; найдены норма и спектр; проведена классификация спект] построена спектральная функция и прлучены условия спекгралыюси (по Данфорду).

••2. Для двух некоммутативных банаховых алгебр специального : да получены необходимые и достаточные условия обратимости- их ментов, найден вид обратных элементов и рассмотрены соответству щие примеры.

3. При определенных ограничениях на банахово пространство .

осуществлено разложение банаховой алгебры MX - линешшх огг

ниченшх операторов (эндоморфизмов), действуюндох в X. в лрямуи

сумму подалгебры Ш0 ("диагональных" операторов) и подл рос г ра

cíBa ("педиагональных" операторов). Эти результаты использс ны в вопросах дополняемости подпространств банаховых прострела

Практическая и теоритическая зиачкгостъ, Результаты диссе] тации могут быть использованы при исследовании уравнений содерс.

интегральные операторы с ядром, зависящим от разности и cyi аргументов на полуоси (полупространстве), при изучении структу] некоторых классов некоммутативных банаховых алгебр, а таю;:е в вопросах спектральной теории операторов, где используются диагч нальные операторы.

Апробация работы. Результаты, излокеш-ше в диссертации, д< ладывались и обсукдались: tía семинарах кафедры нелинейных голе1 tmrt ВГУ под руководством профессора А.Г. Еаскакона, на седане р кафедры теории функций ВГУ под руководством профессора K.M. Ссз нова, на Воронежских еимних математических школах /19В8-1990г. на ХШ и Х1У Всесоюзных школах по теории операторов в функцпона ных пространствах /Куйбышев - 1988г., Новгород - 1989г./.

Публикации. По теме диссертации автогхщ опубликовано G ра. бог, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертационная работа изложена на 102 страницах машинописного текста, состоит из введения, тр глав, разделенных на G параграфов и списка литературы, который содержит-.44 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАЕОШ

Введение содержит кратки» исторический обзор и перечень ос-шшх результатов диссертации.

3 главе I метод подобных операторов прш.гагиегся к исследога-

:о спектральных свойств оператора

Ах-}*Х+$*Х, (1.1)

;е X означает отражение функции

л (х(*) = хН)), { И р -

¡которые обобщенные функции определенного класса и Л[А) - под->дя1цэя область спре деле тот. Если г 11 ^ " Функции из ) А имеет вид

(Ш) - +. (1.2)

Спектральный анализ операторов (1.1), (1.2) проводился в ста-

• «/

ьпх Е.Л. Александрова и Б Л. Кириченко , где основные результа-

5 получены при условии самосопряженности оператора А или в

годположении чотпостн (нечетности) функции ? .

¡.'и используем иной, чей в указанных статьях подход, оснований на пртлзнении подобных преобразопагшЛ оператора (1.1) в опе-:1?ор упнпенни на матрнчнозначнуга функцию, что позволило оспобо-;:':'ься ст упомянутых ограничений.

иозмо";на (и ото делается п ? Л) со,гена пространства(группн)

^ г.- 37ро::-полыми локально контактную абелеву группу 0 . С Т окулируем несколько конкретных результатов о спектральных

всПстнах оператора А . .

Теорема 1.1. Оператор А уш1тарно эквивалентен оператору

В : 2)(В)С¿^задаваемого фор.улоЛ

к/ Александров Е.Л., Кириченко Б.И. О спектральных функциях ни-сгралыглх операторов Юимогли.-з с ядрт:, гавиеяв^пя! от разности (пд^арх-ументов // Сио. иатем. яурн. - 1970. - Т.19, №, С.

fLicT.naiip.pon Е.Л. Спекгралып-ю свойства операторов свертки и .т.:вкпх к сверткам // Функциональный анализ: Межвуз. научн. сб. -лъяновск: Улытн. гос. пед. ин-т им. II.Н. Ульянова, 1986, шт.26.

и имеющего область определения вида

ци^еу. Qje. LjfkK+)t%

В условиях тэоремн множество состоит из ■Ючек ée ffl

у которых первая ненуле?лн координэтя. болиде гуля, Lt(IH+'t & ) -пространство функций измерили: по Лебвгу суммируемых рдшадратоы

определенных на

/С со значениями в (и « Символами / , у обозначаются преобразования Фурье обоб^.еш-юх функций f и р ообтветствеяю, и п{»зд;толагается, что "они являются локально существенно ограниченными га функциями.

N Таким образом, теорема 1.3 позволяет свести изучение исследуемого оператора /I к изучению ош^-о--« ¿3 , который является операторе« умножения ira мл трично значил функцию Q : + *

— End?1 ( Endfc1

- банахова ллгебра эндоморфизмов, действо

щих в С , которую долее мы часто огоядестгллеы с мпгоЗрой комплекс пых матриц 2x2). Это позволяет сугрственно упростить изучений оператора А , Приводкою пиле результат получены с привле чедаем теореми :ТЛ<

Тзогема 1.2. Йоют шето следуйте сзойства оператора H , задаваемого формулой (I Л) :

1/ оператор А ограничен тог/д и только wi да, когда функции

f и ^ существенно ограничены на $ ^

?,/ если А опаничен, то

IIAlKllfll »/ , где л оп|еле-

■Лвля равенством

шч о tint*Г0+ ш* \pvf)

+

*é(l %

\щ1 - № i1- ipffy fsiffib fmt ык.

Теорема Т.З. Пусть , $ * ^~ существенно ло-

ыю ограниченные функции. Пусть функции , (№■ )

е;.,еле ни равенства;,ят

4

+ 1

да спектр НА) оператора зада-

мого формулой (1.1) имеет вид

символ ихле Д обозначаем замыкание существенного листва значении функции Д . Теорема 1.4. Остаточный спектр оператора И пуст. В 5 3 глаш I осуществляется при оп^еп.зделшх дополштель-

услогиях на функции / и ^ построение специальной ?унк-

оиератора А и, как следствие, получено необходимее и до с- • очное условие его спектральности. Исследование ведется в ус-

!;ях оггенкченкости оператора А с прашечегиои функции $ е

задаваемой формулой

•естгао п:х;;,ито-вимо в виде А2 , где

;е того, вводится в рассмотрение тгогдастш

Ц) V. матрица 0.(1) днагонплпзуемп , где А/ , А« имегот вид

"сорома 1.5. Оператор /1 илохтдоск ("его епенгрдьнгл '¿тас-^ - счетно-аддитивна) тогда и только тогда, когда рыпол-

нэпа следующие условия

Wsufi ju(&M.) = o

и '&t lit) J

где Jtt(A) обозначает меру Лебега измеримого множества & .

В заключителыюм параграфе (егульто.та первых трех 'распрос; раняются на оператор; вид,а

(А*)(0 =£[{(M+ffWlxMcts, . ^4/,

где G - локально компактная абелева группа с мерой Хаара JJ.

а ^ и ^ - суммируемые на ¿Я функции. 5>ор.|ули дуется аналог

теоремы 1,1 и приводятся соответствующую теоремам 1.2 - 1.5 результаты.

В главе П получеш необходимые и достаточные условия обраг мости елекЕктол двух специальных некомцутативных банаховых алг<

Первая из mix - банахова алгебра вводится таким образом,

•чтобы к такому типу банаховйх атгебр относилась алгебра ограниченных интегралы сих операторов с ядром, зависящим от разности !

суммы аргументов. Особо интересна алгебра таких oneparoрои, до:

ствующих я пространстве L^fá Jщп рФ Z , так как и гякпх про<

вах не прялеигич мзтоды, !'<:лользуе:.т<; в гиа.'О I.

В § I главы П рассматривается некоммутативная банахова ал;

ра $ с единицей & , лредставимая в виде прямой суммы '

своих (замкнутых) подпространств 2Í- И , где

21 - коммутативная подалгебра, содержащая единицу б . Предпс лагается, что выполнены следующие анатомы:

дня любых

¿с

любых .

2/ существует элемент ¿^у- со свойством

Из указапшх аксиом следует, что любой элемент алгебры ИЛ единственным образом представим в виде CI + ,

м.е (Х- , б € . Заметам ещё, что алгебра 91- парчду о каж-тм слонентом О- содержит п элемент , который мн обоопа-

:м черен и назовем отражением элемента & .

Рассматриваются конкретике приморн таких банаховых влгебр. гмотнм некоторые из 1глх.

Пример 2.2. Пусть и - банахова алгебра операторов вида

\е £ ), т.е. алгебра порожденная интегральными опери-

>рами с ядром, еаипсясря.! от разности и,суммы аргументов. Легко х>верпть, что

Роль подалгебры «с играют опорато-! спергкп 0}, а $1+ порождено оператором» с ядром, зави-

иугм от сугг.п-т аргументов. Роль элемента в играет опе-

тор О. задаваем!.'« формулой (0.$(и) =

Нукмеп 2.-1. Пусть С^ - банахово пространство непрерывных р;о,ггчэс;шх фупкд'П пер::ода 2. Рассмотри?-! банахову алгебру Ж неГпгкх опер? торс в А . : С^ ' С^ мда

(А у)((I) = Щи.)+ ¿[и) </>[[Ш)> у>€Сгг

з & , & - задах:::.»' "г/тацин из ^ . В этом случао

, где - коммутативная подалгебра операторов ум-:ет:л-иг. гТунхнпп из , а состоит из'оио.^орз ,л-:д!а О , где 3 е Ш. , Я оператор О. имеет вид (&</)(&)-:о, что @ —Т - тождествешпаП оператор, прячем выполнош: все ¡иомг, предьлвлешше к алгебре Ж .

Для исследования алгебры № строится изоиетр^еснгЛ изо-йизм ^ : 21 ' банаховых алгебр, где - банахова <

эбра, состоящая из матриц вида

I ».''Я-,

Отображение определяется фордулой для любых CL ,

U Ж- .

Теорема 2.1. J'jm того чтобы элемент из алгебры М

бил обратим необходимо и достаточно, чтобы элемент C2Ü - $6 б: обратим в коммутативной подалгебре

и. . ripi этом обратный к

+ элемент имеет вид

(а а(аа-№)''~1(аа-ё$Г1$.

(в каногачеекой форле записи элементов из

Непосредственно из теоремы 2.1 следует, что условия обрат мости операторов с ядром, зависнем от разности и суммы аргуме

тов, действующи в пространстве Lt (М^совпадают с условиями,

лученшл.ш в продядуирй главе.

Следствие 2.2. Пусть А : * Сд - линеГгшй onej.

гор, рэссмотpeHHHii в примере 2.4. Тогда для его обратимости в

гебре U необходимо и достаточно, чтоби функция

с (и) = а (а) • afu+i) + £fu.) ¿{и+i)

не обращалась в нуль.

, Во втором параграфе глави П рассматртается некоммутатиш

банахова алгебра с единицей С , предстал,№л в виде Sä

~ , где - коммутативная подалгебра алгебры

причем СG . Относительно предполагаются вшолнеш-п":: несколько иные чем в § 2,1 акспоьп:

I/ , 4-в-. ДЛЯ любых И а+

2/ существует отличный от едкими ¡элемент р € такой,. т/о

л

р — р аксиома супрст.^опЕтп. кдрмпстепм ;

■V ,т.дя да со г о d+€

4/ для любого элемента <1* е суирстауят единственный эле--мент темой, что

Из этих аксиом следует, что любой элеиент алгебры

JS запивается в виде , где А и иго njsдотайтегае икствошо. Из сформулированных аксиом поучаем,, что для любого е мент з. i €jä- существует единственный элемент такой, о теет место ратнетг-о

рс ~ . .

о раг.енство задает гомоморфизм С *—S* : бана-

эой алгебры

В. , ЯВЛЯЮЩИЙСЯ изоморфизмом.

Рассмотрим уочкретлнй пркм»р банаховой елгебры, обадазЕрЯ ' wsft>43».in гагл о о~\г-г.-.&;гд.

Я.чг:■■'.•) ?..Ь. Ц/стъ - локально компактное топологическое острлнство и оС : —- непрерывное ото^ралганпе, тзоряюй'рэ условно — dt , прггем ^ ш является то.'ядествел-* отображениям. Рассмотрим бака:сову алгебру iö операторов 4 : C(Q) mC(Q)(C(Q)- банахово пространство кеп;ерьганв;с зашчзкнж на функций) айда

^ у?; до - ам<?/и)+fe C(Q),

Пусть Ji3_ - подалгебра операторов уыно.-'З-! на !пунктргл из + состоят из оператора, предета;:::-

С В НИДО SP . где и оператор {со свойством

—Р ) имеет пнд

= у (¿(и)), </>*ф), и*я.

Далее в § 2.2 рассматривается банахова алгебра натр;

/а ё ) [ о Ы/

где (X , о € и гомоморфизм ^ '. ЗЙ —- ¿KL опреде; ется слеруюсрй формулой ^

'Далее доказывается, что Ц> является изометрическим-изомор;>из! банаховых алгебр и . Отсюда выводится Твовема 2,2. Для того чтобы олеменг

а+ёр из алгебры бил обратим необходима и достаточна обратимость обоих эл< ментов (Я, и (t-t- é в алгебр . Если A+ép обратим, т

(a + ¿p)~l= а'1-

Ппава; И диссертации посвякрна вопросш.! дчогонаизаыяи он торов. Понятие диагонального оnepavopa вводится '¿акт: oopaci:;

Определение 3.1. Пусть

- СИЛЬНО

прерывное ограниченное представление локально компактной абол вой rjynira О операторами из £n<¿ X . Оператор называется диагональным (относительно предстсл'лонгя Т) , гс он перестановочен со. всеми оператора!.ш Т(^) i jj^- G" , т.е. ли

для любого ^ е О- . Пример 3.1. Цусть JÍ - сопарабелыюе гильбертово прост;: ство с ортокоршрованнш базисом €t , .....Представлен;:

Г : Л EitdX

зададим формулой

[ Td)]x =Zf exp(t¿<tÍHi)]cLH íe£

Л?»

для всякого вектора X , имеющего ряд ^урьо шуд Если оператор

имеет матричное представление

сительно рассматриваемого базиса , то матричное прзд- ,

лето оператора Т\{)АТН) , "меет в\щ([еХр ¿2%

} » ^ ' ^ ^ ^ . Отсюда следует, что А является

чжальнш тогда и только тогда, когда 0 для любых М-Ф-П.

¡м обитом, в стом случае, понятие диагонального оператора отдельно представления Т эквивалентно известному понятию дла-мыгого оператора относительно базиса в гильбертовом простран-

Л. Пусть Х~ Lpf/fc*), У^Л^во - банахово прос

A ft-

Пример 3 _ ^

нство комплекснозпачпрх, измеримых на $ функций суммируешх >-ой степенью. Рассмотрим представление дваемое равенством

I Т(\) <р)(и> = С ех/>(I ,U)j]f (a)f

■ (A, LC) — .. Справедлива следующая

Лп?.:ма 3.1. il данном случае диагональный оператор есть опера} умножения на функцию из

м/

Отметим, что Н. Кэлтон использовал другое определете диа-калыюго оператора в щюстронстнах

Л имошю:

Огце.1 елепие 3.^. Оператор называется диагона-

ли, о ели '¿¡дя любого бороловскс^о множества U) и любо!'! борс-зскоГ; Ггункцин свойством /— О па 03 следует,

3 0 на Ой . ж

Непосредственно из легаш следует, что если Ae£ttc[Lfi($),

Zр<.оъ диагоналей в смысле определения 3.1, то он диагоналей смгсле определегшя 1.2.

Для пространства Утверждение леммы 3.1, вообир гово-

, ;;е верно. Пр1веден пример оператора А : L„ffl)~*'Let(/$) агога.чьггого в снисло определения Кэлтона, но не являющегося

/V.3. Radon hortbox/akum. €е{ь>еел ¿.-function, spaces uken

оператором умножения. Однако, в следующей лемме получен ансд' леммы 3.3 при дополнителып-с: условиях на оператор.

Леша 3.2. Если оператор А е EndLJt)- С-иепреривен i

рестановочен с операторами умножения на функции из С0 (Ж")

(Се ($>*)- линейное пространство бесконечно дифференцируемых ций,, то он является, оператором умножения на некоторую фунэд

Наличие сильно непрерывного огрэлхченного представления

позволяем определить в алгебре Etld X подалгебру _ — Жа

EfldX'. T(flf\~и назвать её подалгеброй ддагс

льных относительно Т) операторов. Символом = Ш(Т) - с

значим подпространство операторов из Eftci X , порожденное в

номерной операторной топологии операторами вида TfpjAT(<f)~

^С О , А ** EfldК . Следующая теорема является основном р зультатом главы Ш.

Теорема 3.1. Пусть X" - слабо полное банахово простропс

Тогда банахова олгебр«.

EfidX являе т ся 7~"-диаго нали зуе i.;o к.

£ndX~Sl0 + , npmeu ^ и каждый оператор як Ш

есть слабый предел некоторой нг трзачешости операторов из

Построенное в теореме Ь.1. разложение обще говоря, неоднозначно.

Во втором параграфе, полученный в теореме 1>Л результат i

пользуется в вопросах дополняемости подпространств банахены.: пространств. Л именно имеет место

Теорема 3.2. Пусть X - слабо полное банахош простудно:

■ & - локально компактная абелева группа, Т\ 0 *~£ftalX

сильно непрерывное ограниченное представление и - до::ол.т;о

мое в X , инвариантное относительно всех операторов , j

e О подпространство из X . Тогдд существует проектор ¿Р &

, коммутируй со всеми Т($)

, и такой, что

С WrdM (ЙйяРа - множество значений проектора Ра , Wrrfj - слабое зашкание И/ в X ) .

Утверждение таги теоремы 3.2 позволяет установить недополня-гмость подпространств болаховых пространств, в которгх действует • гмлыю непрерывное ограниченное представление локачыю компактной г.:''. ло-оГ; группы," сводя этот вопрос к более просгому вопросу отсутствия проектора на исследуемое подпространство, комму тидтопр го с onepiTopai.ni представления. При этом расширяется область п'ршэ- -1П.;:сстл соотэотст^уш^х результатов о дополняемости, принадлежащих У. Рудину и X. Розенталю,

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителе профессору А.Г. Баскакову за постановку.задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следуюв^х работах:

1. Пальчиков А.Н, Построение спектральной функции для интегрального оператора с ядром, завися'цкм от разности и сум,ж аргукен-тоз / Воронеж, ун-т. - Воронеж, 1987. - 19 с. - Деп. в ВШИ1И 24.07.87, 5374 - В 07.

2. Ппльчгков Л.Н. Споктряч'ыпк? свойства '.штегр-'пыпи операторов с ядрхт, гзатгеяпра от раздаст:! 'I сушн аргументов // Тоэ. докл. Ж Всесоюзной школы по теории операторов и функциональных пространствах, 6-13 октября 1988г.-- Куйбышев, 1908. - С. 146.

5, Пальчиков АЛЬ Диагонализайдя операторов, действующих в и Д, // Тез. докл. ХГУ Всесоюзной сколи по теории операторов е 'Тункцп опальных пространствах, 6-14 сентября 1989г. - Новгород, гдаэ. - с. <л.

4. Пальчиков А.Н. Об условиях обратимости элементов некоторых байтовых алгебр / Воронов, ун-т. - Воронеж, 1989г. - 19 с. -до::. В НЛЖ 29.11.89, № 7121 - 3 69.

5. Пальчиков А.Н. Д'.иагоналкзация операторов и вопросы дополняемости подпространств банаховых пространств / Воронеж, ун-т. -Воронов, 1989. - 20 с. - Деп. в НИШИ 29.11.89, К? 7122 - В89.

6. Пальчиков А.Н. Спектральный анализ интегральных операторов с ядром, зазисящш от разности и суммы аргументов И Изв. ВУЗов. Сер. матех - 1990. - К» 3. - С. ВО - 63.

ЛК и-.:<350 от 24,04.90 г,, заказ 310, тираж 100 экз. Формат 60x90 ' 1/16. Объем I п,л. Офсетная лаборатория ВГУ.

/