Спектроскопия многокварковых и глюонных состояний тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.

§I. Квантовая хромодинамика.

§2.Модель мешков.

§3, Нерелятивист екая потенциальная модель.

§4.Постановка задач.

Глава I. О вырождении вакуума в четырёхкварковых состояниях.26'

§1.Массы четырёхкварковых состояний.

§2.Полюса Р-матрицы.

§3. Обсуждение результатов.

Глава 2. Распады дилямбды.

§1.Трёхчастичные распады.

§2.Двухчастичные распады.

§3. Численные результаты.

§4. Замечания о распадах шестикваркового мешка.

§5.Обсуждение результатов.

Глава 3. Глюонйй в потенциальной модели.

§1.Параметры потенциальной модели».

§2. Сверхтонкое расщепление.

§3.Вычисление спектра глюония.

§4. Обсузэдение результатов.

Глава 4. Магнитные моменты барионов в нерелятивистской кварковой модели.

§1. Спин-орбитальные поправки.

§2.СЬин-орбитальные поправки в - приближении.

§3. СЬин-орбитальные силы в р-волновых мезонах.

§4.Магнитные моменты барионов с учётом спин-орбитальной связи.

§5.0бсуждение результатов.

Глава 5. Магнитные моменты барионов в модели мешков.

§1.Волновая функция кварка.

§2.Изменение энергии взаимодействия кварков во внешнем магнитном поле.

§3.Обсуждение результатов.

Глава б. Зарядовый радиус нейтрона в модели мешков.

§1.Описание метода.

§2.Вычисление зарядового радиуса нейтрона в модели мешков.

§3.Обсуждение результатов.

1.В диссертации рассматриваются приложения модели; мешков и: нерелятивистской кварковой модели к;описанию низкоэнергетической адронной физики.

Рассматривается вопрос о степени:вырождения физического вакуума в четырёхкварковых мезонах. Рассмотрены распады дилямбды, связанного гипотетического состояния двух Л -гиперонов. В нерелятивистской потенциальной модели вычислены массы низколежа-щих состояний глюония, составленного из двух конституэнтных глю-онов. Рассматриваются магнитные моменты барионов в нерелятивистской кварковой модели и в модели мешков. С учётом цветного взаимодействия кварков вычислен зарядовый радиус нейтрона.

§1. Квантовая хромо динамика

2.На роль теории сильных взаимодействий единственным кандидатом в настоящее время является квантовая хромодинамика \т3. Лагранжиан квантовой хромодинамики имеет вид где ^ - кварковые поля, ¡- - индекс, нумерующий сорта кварков, I = ОС , <1 , 5 , С , Ь , . , - массы кварков. Кварки взаимодействуют за счёт обмена глюонами, которые описываются неабелевыми калибровочными полями » где

ЬЛ - генераторы цветовой группы 5 И (з) . сГ^д — = Аи - ^ Л^ + ; ^ [ Ау До 3 ' тенз°Р напряжённости глюон-ного ПОЛЯ. Г

23

Лагранжиан КХД инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований (гФ Ц

Ар - У Ар \Г+- I (Г (0* (Г+) , где и - зависящая от координат матрица з;

З.В теории возмущений можно показать, что лагранжиан (I) обладает свойством асимптотической свободы £2] . При больших переданных импульсах константа связи уменьшается

----(4; ^ (СР/Л*) ' где £ = 1\ - ^^ - первый коэффициент разложения функции Гелл-Манна - Лоу, - число сортов кварков с массами

М; < I * Подобное поведение константы связи делает оправданным использование теории возк$лцений в тех процессах, где эффективные переданные импульсы велики.

Квантовая хромо динамика является перенормируемой теорией [з~]. Известно, что квантование перенормируемых теорий приводит к возникновению в теории нового размерного масштаба, данный масштаб определяется теми расстояниями, на которых взаимодействие становится сильным, 1 .Из опыта известно, что радиус сильных взаимодействий порядка I Зад и что именно этот масштаб определяет масштаб масс адронов. Если пренебречь массами лёгких К.-и с(-кварков в (д) , то мы получим лагранжиан, инвариантный относительно группы ^и © ¿и (2) ^ , Данное приближение является хорошим, поскольку М и ~ — 5 МэВ « I ФиГ1 , и в реальном мире имеется приближённая киральная симметрия. Если данная симметрия является симметрией собственных состояний гамильтониана сильных взаимодействий, то протон должен быть безмассовым, в природе должно наблюдаться вырождение по чётности в спектре масс. В: реальном мире этого нет, поэтому делается вывод о том, что киральная симметрия спонтанно нарушена. Возникающий при спонтанном нарушении симметрии гольдстоуновский бозон ассоциируется с 7 -мезоном [4]

В отличие от квантовой электродинамики в КХД существенную роль должны играть непертурбативные эффекты, примером которых являются инстантоны - решения уравнений Янга-Миллса в эвклидовой области, реализущие нетривиальные перевальные точки функционала ■е" ^ в пространстве полей А ^ [б! .

Из лагранжиана КХД, таким, образом, удаётся извлечь ряд следствий. Полное решение уравнений движения, отвечакщих лагранжиану (д) , сопряжено с огромными трудностями. К традиционным трудностям - бесконечное число степеней свободы^ неприменимость теории возмущений в физически интересном режиме" сильной связи, -можно добавить теперь факт неинтегрируемости системы уравнений Янга-Миллса [б ] . Это создаёт естественные трудности для развития аналитических методов,

4.В последние годы большое развитие получили решёточные модели [V 3 * гДе используются возможности современных ЭВМ для прямого вычисления функциональных интегралов методом Монте-Карло. Исходя непосредственно из лагранжиана КХД здесь удаётся получить предсказания для величин, измеряемых экспериментально. В настоящее время имеются предварительные вычисления масс мезонов и барионов, а также масс глюбо лов, средних ^ (х^ У . Точность данного метода, однако, медленно растёт с ростом машинного времени (как '/ , где "Ь - время счёта и пока является не очень высокой. Отметим, что рассмотрение ряда вопросов, таких,как рассеяние, вычисление формфакторов; в решёточных моделях пока не проводилось.

5.Привлечение дополнительных гипотез существенно расширяет область предсказуемости квантовой хромодинамики. Большинство полученных на сегодня результатов.относится к феноменологическим и модельным подходам. Полученные таким образом результаты, как правило, более точны и пока более надёжны. В настоящее время существует три основных феноменологических подхода к описанию тех свойств адронов, где существенны небольшие переданные импульсы, - правила сумм КХД , модель мешков и нерелятивистская кварковая модель.

В правилах сумм КХД Ы исходят из предположения о том, что массы низших адронных состояний определяются параметрами, характеризующими непертурбативные флуктуации вакуумных полей, - глюонным конденсатом о>= 0012 (5) и кварковым конденсатом. 3 о\ ч ^ - - О.о^ Га 6 .

Кварковый конденсат нарушает инвариантность вакуумного состояния и отвечает спонтанно^ нарушению киральной симметрии. В рамках данного подхода было дано описание масс низколежащих адронных состояний, были определены ширины лептонных распадов и другие величины. Результаты расчётов согласуются с экспериментом.

В каздом модельном подходе имеется свой список задач, к ко* торым тот или иной метод может быть применён с наибольшим успехом. Например, в нерелятивистской кварковой модели с одним и тем же потенциалом можно описать как основные состояния, так и их орбитальные и радиальные возбуждения, тогда как в решёточных моделях и методе правил сумм рассмотрение возбуждённых состояний сопряжено с трудностями. Различные модели сильных взаимодействий в значительной мере дополняют друг друга, там же^ где их область применимости перекрывается, может быть осуществлена нетривиальная оценка модельной зависимости предсказаний.

§2.Модель мешков.

6.Модель мешков является исторически первой моделью сильных взаимодействий, где было введено представление;-о сложной структуре вакуума вЛЩ. Модель с невзаимодействующими безмассовыми кварками, помещёнными в бесконечно глубокую яму скалярного типа по группе Лоренца, рассматривалась в работе £9"] в? 1968 году. Граничное условие, накладываемое на волновую функцию кварка, при этом формально совпадает с линейным граничным условием невылетания MIT, поэтому в данном подходе можно вычислить аксиальную константу распада протона, jjk = 1,09, магнитный момент кварка, = 0,2 ^ , где К. - радиус сферической ямы.

Модель мешков была предложена группой MIT jjEO-II^. В этих работах было введено вакуумное давление В, которое стабилизировало мешок от бесконечного раздувания, и было рассмотрено взаимодействие между кварками. Взаимодействие описывалось на языке классической теории поля. В модели мешков ЙТЭФ ¡J2-I3[] было разработано кванто-вомеханическое описание взаимодействия кварков в мешке, и было введено неодинаковое вакуумное давление В^ для мезонов, Вд для барионов. В:I979-I98I годах рядом авторов было предложено кираль-но-инвариантное обобщение модели мешков [м -1б) . Дальнейшее-5 развитие связано,с одной стороны,с уточнением предсказаний модели вычисление КХД, киральных поправок, учёт движения центра масс ^ и, с другой стороны,с применением модели мешков к новым областям физики адронов - к описанию свойств мультикварковых и других экзотических состояний. В.последние годы предпринимались также? попытки уменьшить радиус мешка от I Шм до 0,3-0,4 Фм, чтобы согласовать возникающую в модели мешков картину нуклонов с традиционными представлениями ядерной физики . Противоречие видится в том, что при радиусе мешка X Ш нуклоны в ядре должны заметно перекрываться. На данном пути имеются серьёзные трудности, связанные с сильным нелинейным взаимодействием пионов;для (2 ^ 0,3-0,4 Фм (киральный параметр £- ^/(-С^б) становится большим, и теория возмущений по С не работает ) , а также с тем обстоятельством, что в модели мешков радиус К. фиксируется тремя.независимыми способами. Нормировка на зарядовый радиус протона и/или на магнитный момент любого бариона приводит к I Фм. Далее, вФ-матрич-ном формализме [17-18"] положение полюсов Р-матрицы зависит от радиуса мешка ( см. (^1.8 )) . Оказывается, для нуклон-нуклонного рассеяния хорошее согласие с экспериментом в модели мешков достигается при К. — I Зм. Укажем также четвёртый способ определения В модели мешков с одним свободным параметром В справедливо соотношение а „ 1 ^ , * 4 М (?) где М - масса адрона, - число кварков. Подставляя свда М =1 ГэВ и = 3, получаем К = 1,6 Щм. Когда вводятся новые параметры и учитывается одноглюонный обмен, это значение сдвигается в сторону I Фм. Рассмотренные примеры показывают, какие трудности возникают при попытке уменьшить радиус мешка от I Зм до 0,3-0,4 Фм.

Мы вскщу работаем в модели "большого мешка". Перейдём- теперь к изложению основных положений модели мешков.

7.В модели мешков предполагается, что вакуум КХД находится в непрозрачной фазе, непроницаемой для цветных кварков и глюонов. Внутри адронов происходит частичное или полное разрушение вакуума, что делает возможным существование бесцветных состояний - адронов. Внутри адронов кварки и глюоны ведут себя как свободные частицы, их взаимодействие можно описывать в рамках теории возмущений. На рис.1 изображена картина сложного вакуума в КХД. В г

•ус» с

Рис.1

Здесь €уас ~ плотность энергии физического вакуума, отсчитываемая от плотности энергии вакуума теории возмущений. Внутри адронов физический вакуум разрушается, в результате чего возникает объёмная энергия мешка,

Математической реализацией гипотезы о сложной структуре вакуума в КХД является введение в эффективный лагранжиан модели в качестве свободного параметра вакуумного давления В где е = , и глюонов в сферической яме радиуса К -функций в лагранжиане»

8)

Факт запирания кварков отражён в наличии ч

Вариация действия = по кварковым полям приводит к уравнению

А - п, )</>= О ) ^^ и к линейноьгу граничному условию невылетания

Сю;

Вариация действия по глюонному полю приводит к уравнениям и к граничному условию

Вариация действия по радиусу мешка приводит к условию стабильности мешка

-в.^ок, аз) которое обеспечивает равенство давления кварковых и глюонных полей давлению вакуума В . В нулевом порядке по <*5 кварки и глюоны считаются невзаимодействующими частицами.

Разорвать мешок на два цветных объекта - значит затратить на это бесконечную энергию. Предположим, что мешок растянут в струну з ш н-*-Н

Рис.2

По закону Гаусса ч ^ ,

7 (14; где 5 -площадь, О -цветной заряд кварка. Кварки разведены в концы трубок. В -создаваемое кварками цветное электрическое поле. В глгоонном поле сосредоточена энергия которая стремится к бесконечности, когда £ О

Энергия, заключённая в струне, есть сумма объёмной энергии ¿Г = В&1. и энергии глюонного поля . Минимизируя по ч2 эту сумму, находим толщину трубки

7= / ^

В (ль) и коэффициент натяжения струны, [^19-20^ о = / -2 • (16;

§3.Нерелятивистекая потенциальная модель

8.Нерелятивистская потенциальная модель получила всеобщее признание после того, как с её помощью удалось описать энергетический спектр чармония, а затем ипсилония. В применении к тяжёлым кваркам нерелятивистское приближение кажется обоснованным.Менее очевидно, что основные представления нерелятивистской кварковой модели могут быть перенесены и на случай адронов, составленных из лёгких кварков. Многочисленные исследования показали, что с одним и:тем же потенциалом можно описать спектр всех известных мезонов, 13 — от ипсилония до ^ - и р - мезонов, а также, спектр лёгких барионов С 21 3 •

В основе успешного применения нерелятивистской кварковой модели к описанию спектра лёгких адронов лежит представление о спин-спиновом характере сил, обуславливающих расщепления h- Р , р—Т и другие. Данное предположение чрезвычайно хорошо описывает структуру расщеплений. Например, если считать, что волновая функция кварков во всех барионах одинакова, а также что скорость кварков — ~ U и, следовательно, потенциал спин-спиновых сил (потенциал Ферми-Брейта ) достаточно учитывать только в первом порядке теории возмущений, то можно получить описание масс октета и декуплета барионов с точностью не хуже 30 МэВ. То же самое относится и к мезонам 0~+ и I за исключением V] и ^ .

Использование в теории возмущений потенциала Ферми-Брейта, возникающего при учёте одноглюонного обмена между кварками,, оказалось успешным при описании не только основных, но и возбуждённых состояний. В серии работ Изгура и Карла [^22-24] с небольшим числом параметров были описаны массы основных и возбуждённых состояний барионов:; углы смешивания, другие данные. Всюду было получено хорошее согласие с экспериментом. Нерелятивистскал кварковая модель в целом прекрасно согласуется с.экспериментом и незаменима для общей ориентации в множестве экспериментальных данных.

9.В нерелятивистской кварковой модели потенциал взаимодействия между кварками в мезонах обычно выбирается в виде - 3 TS + Vo+ • (17)

Первое слагаемое описывает кулоновское взаимодействие между кварками, линейный член обеспечивает невылетание кварков. Коэффициент натяжения струны 0 = (400 МэВ)2 и аддитивная добавка V0 с: = - 800 МэВ не зависят от сорта кварков. 14 —

Конституэнтная масса кварка включает в себя энергию глюонно-го облака вокруг кварка, поэтому конституэнтные массы оказываются больше токовых, примерно на 300-500 МэВ.

Присутствие \/0 в потенциале (17) может быть связано с конечной толщиной струны. Действительно, если струна между кварками, когда их растягивают, начинает формироваться не сразу, а начиная с некоторого расстояния Г , то правильная асимптотика потенциала при Г-» будет иметь вид 1Г= ^ (т-КЧ) = "^У" -+• Х/0 Отсюда можно оценить толщину струны, — \/0 У\> = = I Фм. Из формул (15) и (16) видно, что толщина струны и коэффициент натяжения струны не зависят от сорта кварков, следовательно и аддитивная добавка не должна зависеть от сорта кварков. Именно это и наблюдается.

На малых расстояниях доминирует кулоновокое притяжение между кварками, поэтому асимптотика потенциала при Г -=?> о есть

Потенциал (,17) представляет собой простейшую интерполяцию между струнным потенциалом на больших и кулоновским потенциалом на малых расстояниях.

В барионах потенциал взаимодействия обычно выбирается в виде ^25

2Тгг сю с учётом того, что произведение цветных зарядов кварков в мезонах С^'СЭ - - 4/3 в два раза больше, чем в барионах, где Ф-Ф = - 2/3.

Для описания тонкой и сверхтонкой структуры уровней используется потенциал Ферми-Брейта, спин-спиновая часть которого тлеет вид [26-27]

Р Т" А * (19) где ~\Г -векторная по группе Лоренца часть потенциала, действующего меззду кварками, ТГ= . Скалярные силы, которые описываются потенциалом ^ , не дают? вклада в спин-спиновое взаимодействие. Если в потенциале имеются слагаемые некулоновской природы, то

V* К?) , и должно наблюдаться поэтоцу спин-спиновое расщепление, например, в р-волновых мезонах. Согласно (^28^ в лёгких р-волновых мезонах среднее значение от А*\Г , которое определяет величину спин-спинового расщепления, в десять раз меньше, чем в лёгких & «волновых мезонах. Это можно рассматривать как . . аргумент в пользу скалярной природы запирающего потенциала. Помимо скалярного в литературе рассматриваются также запирающие потенциалы векторного [29] и смешанного типов (скаляр + вектор. Следует отметить, что использование векторного запирающего потенциала приводит к парадоксу Клейна. Векторный потенциал, растущий на бесконечности, не может связать две дираковские частицы - на бесконечности релятивистская волновая функция не затухает, а осциллирует.

§4.Постановка задач: В. первой главе нами рассмотрен вопрос о величине вакуумного давления В в четырёхкварковых мезонах. Во второй главе рассмотрены распады дилямбды. В третьей главе будет вычислен в нерелятивистской кварковой модели низкоэнергетический спектр глюония, составленного из двух конституэнтных глюонов. В четвёртой главе рассмотрены барионные магнитные моменты в нерелятивистской кварковой модели. В пятой главе будут рассмотрены барионные магнитные моменты в модели мешков. В шестой главе будет вычислен зарядовый радиус нейтрона с учётом цветного взаимодействия между кварками.

10. Предсказание экзотических мезрнных и барионных мульти-кварковых состояний было сделано в работах (j3lJ . В модели мешков; экзотические мультикварковые состояния, смешанные, а также глюонные состояния рассматриваются на тех же основаниях, что. и обычные адроны. Экспериментальные поиски мультикварковых состояний долгое: время были безуспешными. В 1979 году появилась работа Дкаффе и Лоу , где было показано, что мультикварковым адронам должны отвечать полюса не в -матрице, а в f -матрице. Р-матричный анализ экспериментальных данных выявил полюса в каналах , fK , h/Kj , причём положение полюсов согласовывалось с предсказаниями модели мешков.

Р-матричный формализм, предложенный в работе , позволяет рассмотреть вопрос о степени вырождения физического вакуума в четырёхкварковых мезонах, возникающих как полюса Р-матрицы в каналах , тгт f TN' ц тк ' ( индекс указывает на значение изоспина). Известно, что в правилах сумм КХД плотность энергии вакуума по абсолютной величине оказывается больше вакуумного давления В в модели мешков. Это может означать, что внутри адронов происходит неполное разрушение вакуума, и тогда можно ставить вопрос: о том, как зависит давление В от числа составляющих адрон кварков. В работе из фита по массам лёгких мезонов и барионов были получены неодинаковые значения для величин В в мезонах и барионах, соответственно, В^ = 105 МэВ и Bg = 128 МэВ. Представляет интерес вопрос о том, какое значение принимает величина В в мезонах, составленных из четырёх кварков.

Мы рассмотрим в первой главе четырёхкварковые состояния, 17 -- , /

О 2. ¡г'/2- к* У* возникающие в каналах ттг , тгтг , тл и . Будет показано, что величина В^ у различных четырёхкварковьк мезонов испытывает изменения в интервале от (бО Мэв) 4 до (160 Мэв)4.

11.Модель мешков предсказывает существование связанного состояния двух Л -гиперонов - дилямбды. Вычисление вероятностей распада дилямбды по всевозможным каналам представляется необходимым для оценки экспериментальной возможности её обнаружения. Энергия связи данного состояния вычисляется неоднозначно и зависит от конкретного варианта модели. Данные по двойным гиперядрам ^32] , по-видимому, исключают возможность существования дилямбды с большой энергией связи. Мы рассмотрим область малой энергии связи и проследим, как в зависимости от энергии связи меняются соотношения между различными модами распада. При малой энергии связи можно ожидать, что дилямбда будет образовывать дей-тоноподобное состояние. В этом случае будет показано, что наиболее вероятными будут трёхчастичные распады А , А • Данная ситуация более благоприятна с точки зрения эксперимента, так как в распаде дилямбды САдЛ"^ А^ все конечные частицы - заряженные. С увеличением энергии связи основным становится двухчастичный распад [М1-* К/Л . Распады дилямбды рассматриваются во второй главе.

12.В третьей главе будет вычислен спектр глюония в нерелятивистской кварковой модели.

В нерелятивистской кварковой модели почти безмассовым 1А--и (Л -кваркам приписывается эффективная масса 300-400 МэВ. Понятие конституэнтной массы нестранных лёгких кварков оказывается полезным при описании свойств лёгких адронов. Введение конституэнтной массы глюона позволяет распространить основные представления потенциальной модели и на глюонный сектор. 18 —

Конституэнтная масса глюона, так же как и кварка, может быть связана с энергией валентного глюона или, соответственно, кварка в мешке. Для глюонов магнитного и электрического типов при радиусе мешка I будем иметь - |зз^ иэСтм] = Ь!^ ГъВ ■= 5-5-0 Мз£ ,

20)

5" чэ(тв) = Гъ& = 89 о

Сравнил полученные значения с энергией кварка соф = ГъВ — 4(0 М-Э& . (20

Видно, что масса глюона Му — ОХ (со(тв)-*~ оО(—/и))= 420 М-Э-З^ масса кварка ^ =• 4/0 М-9&.

Можно пытаться отождествить конституэнтную массу с энергией глюонного облака вокруг валентного кварка или глюона,В классическом приближении тогда имеем • "-¡34")

Примем во внимание, что квадрат цветного заряда кварка Q = = 4/3 и глюона О2 = 3. Считая, что квадрат цветного поля, создаваемого кварком или глюоном, пропорционален квадрату цветного заряда объекта, получаем ГИ^ = 9/4. Предыдущая оценка давала близкое значение = 7/4.

Отметим ещё один простой способ оценки конституэнтной массы глюона. По аналогии с эмпирическим правилом "¿С^"*" ^^ ) запишем ^ = ^ (^О-1"*) + № С^) ) . Разница в коэффициентах связана с тем, что глюболы 2++ и О4"* составлены из двух конституэнтных глюонов. По существующим оценкам в различных моделях m (.о-*-*) = I ГэВ. Если отождествить наблюдаемый резонанс 9 (levo) с глюонием 2++, то получим = 660 МэВ.

Конституэнтная масса кварка не есть величина строго определённая. У различных авторов она меняется в достаточно широких пределах, от 250-300 до 400-450 МэВ. С аналогичной точностью, ' следует ожидать, имеет смысл говорить и о конституэнтной массе глюона.

В задаче о связанном состоянии двух глюонов существует четыре параметра: масса глюона, коэффициент натяжения струны, аддитивная добавка V0 и константа связи . Два параметра - константу связи и аддитивную добавку Vc - мы определим, отнормировавшись на массу, глюония № ) =1 ГэВ и на массу/ 1,64 ГэВ Q -резонанса, отождествив его с глюонием 2**. Будут вычислены массы основных и возбуждённых состояний.

13.В четвёртой и пятой главах мы рассмотрим магнитные моменты барионов в нерелятивистской кварновой модели и в модели мешков.

За последние несколько лет с высокой точностью были измерены магнитные моменты гиперонов, в результате экспериментальная уг- г- о точность в определении магнитных моментов ¿L , , w , w возросла в шесть раз и более [35-39] . Значительное уточнение экспериментальных данных вызвало большой интерес, который стимулировался также отклонениями эксперимента от предсказаний аддитивной кварковой модели. Исследование эффектов конфигурационного смешивания, изотопического смешивания, учёт мультипликативных релятивистских поправок показали, что соответствующие поправки либо тлеют неправильную геометрию, либо малы ¡~4о]. В работе [41] , в частности,утверждалось, что рассогласование между предсказаниями нерелятивистской кварковой модели и экспериментом не могут быть устранены введением новых схем нарушения симметрии, конфигурацион 20 — ного смешивания или учётом кварк-дикварковых корреляций.

Изучались также эффекты, создаваемые пионным облаком. В работах [42-44] были предложены полуфеноменологические способы учёта пионного поля вокруг нуклонов, при этом удалось объяснить все отклонения, оставалась лишь несколько неопределённой ситуация с магнитным моментом 2 -гиперона, для которого Брауном,

Ху и Венто [42] и Гонсалесом , Венто и Ху [43*] предсказывалось значение = - (о, 54-0,70 ^ Гмг\1. и Липкиным ^44 3 - 0,81 И. т. . Последние эксперименты по определению магнитного момента ¿1 -гиперона позволили значительно уменьшить ошибку, согласно [зб] =- 1,18±0,03 VI.т. и согласно [з7 я* р - 1,И=Ь0,04 ги. . С новыми экспериментальными данными предсказания [ 42-44^ для магнитного момента ~ -гиперона плохо согласуются.

В киральной модели мешков вычисление пионных поправок к барионным магнитным моментам не содержит в себе какого-либо произвола. Эти вычисления были проделаны в работах [45] . В киральной модели мешков обычно получают = . -1,00 п.пч. , что лучше согласуется с опытом. Здесь,однако,имеются другие трудности, которые мы будем обсуждать отдельно.

Отметим, что в работах [42-4б] не учитывались эффекты одноглюонного обмена между кварками. Вычисление барионных магнитных моментов в модели мешков с учётом одноглюонного обмена будет выполнено нами в пятой главе.

Вернёмся к нерелятивистской кварковой модели. Здесь мы рассмотрим следуиций эффект, который не рассматривался в работах

40-45] .

Наложим на систецу слабое магнитное поле. В результате в системе возникнут индуцированные электрические токи кварков п (1 ^ п , а также цветные токи

А е.

Индуцированный внешним магнитным полем цветной ток кварка будет создавать своё цветное магнитное полез

О (24)

Все остальные кварки с номерами ^ Ф I будут прецессировать, и, во-вторых, в цветном магнитном поле, которое создаётся I -м кварком. Гамильтониан, описывагаций прецессию спина ^ -го кварка в цветном магнитном поле кварка I , имеет вид 1^6, Н. - — \.>- е. е. и . . ,

I ^ \ ) и Уп- 1 \ ' 1 (.25)

Поправка к магнитному моменту кварка ^ , следовательно,

С ^ I си V Л

I»)

Интересно отметить, что поправка к магнитному моменту кварка ^ пропорциональна заряду кварка с номером I ф ^ .В общем случае в выражении (.26 ) надо просуммировать по всем I Ф ^ .

Поправка (^26 ) является релятивистской поправкой. Релятивистские поправки вида = X , где А -число, обсуждались в работах Изгура и Карла ^46*] и Хейна и Изгура^47^) . Такие поправки сводятся к мультипликативной перенормировке магнитного момента кварка. Поправка не сводится к мультипликативной перенормировке и оказывается очень существенной.

Токи (23) , возникающие в барионах, представляют собой, очевидно, прецессию орбиты кварков во внешнем магнитном поле, а энергия (25) является энергией взаимодействия орбитального магнитного момента кварка «- со спиновым магнитным моментом' кварка ^ . Орбитальный и спиновый магнитные моменты - цветные. В барионах за счёт прецессии орбит кварки, таким образом, создают индуцированное: магнитное поле. Скорость прецессии кварка в барионе поэтому определяется двумя факторами - внешним магнитным полем и индуцированным цветным магнитны!,! полем.

Мы рассморели наиболее существенную часть эффекта, не сводящуюся к мультипликативной перенормировке магнитного момента кварка. С учётом всех факторов, но более формально, возникновение добавочного магнитного момента системы можно пояснить следующим образом. Пусть V - энергия взаимодействия кварков в барионе (нуклонов в ядре, электрона и протона в атоме водорода, . ) . Внешнее магнитное поле перераспределяет заряды и токи частиц внутри системы, в результате изменяется энергия взаимодействия. Производная энергии взаимодействия частиц по внешнему магнитному полю Н^ даёт добавку к магнитному моменту системы

U cJW cl И

В и О О нерелятивистскои кварковои модели взаимодействие между кварками даётся потенциалом Ферми-Брейта, и весь вопрос сводится к изучению спин-орбитальной структуры данного потенциала. Остальные слагаете в энергии взаимодействия кварков W вклада ■ в магнитный момент системы не дают, потому что в барионах кварки находятся в состоянии с нулевым орбитальным моментом. Вклад спин-орбитальной связи в магнитный момент системы в оболочечной модели вычислен, например, в [48J , стр.557.

Информацию о том, как устроена спин-орбитальная связь кварко! можно извлечь из р-волновых мезонов. Используя данные о расщеплении энергетического спектра р-волновых мезонов, мы определим неизвестные параметры спин-орбитального взаимодействия. Таким образом, новых свободных параметров в модель мы не вводим. В четвёртой главе мы вычислим магнитные моменты барионов с учётом спин-орбитального взаимодействия между кварками.

В нерелятивистской кварковой модели оценить точность предсказаний бывает затруднительно, это связано с неопределённостью в значениях масс кварков, с выбором потенциала (линейный, осцил-ляторный, . ) . Оценку модельной зависимости предсказаний можно получить, сравнивая предсказания нерелятивистской кварковой модели с моделью мешков.

14.В модели мешков вычисление барионных -магнитных моментов с учётом цветного взаимодействия кварков представляет собой технически более сложную задачу. Это связано с тем, что возмущение релятивистской волновой функции кварков в первом порядке по внешнему маинитному полю не равно нулю, в отличие от того, как это имеет место в нерелятивистской квантовой механике ^48J , стр.535 . Внешнее магнитное поле перераспределяет заряды и токи кварков, из-за этого изменяется, например, энергия кулоновекого взаимодействия, что в принципе также надо учитывать.Здесь следует исходить из формулы (27) . Чтобы определить добавку к магнитному моменту системы, надо найти возмущённую волновую функцию кварка с точностью до первого порядка по внешнему магнитному полю, затем найти энергию взаимодействия кварков в мешке с точностью Ц^*"^ Производная энергии цветного взаимодействия кварков по внешнему магнитному полю даст поправку — к магнитному моменту бариона.

Проведённые нами вычисления показывают, что нерелятивистская кварковая модель и модель мешков дают в целом похожие предсказания.

Обсудим теперь вопрос о том, на какую точность в описании магнитных моментов барионного октета может претендовать нерелятивистская кварковая модель и модель мешков. СЬектр масс барионов нерелятивистская кварковая модель воспроизводит с точностью 5 МэВ1-^49] , что составляет 0,5% их средней массы или 1,5% расщепления масс. Для модели мешков точность в описании масс и мезонов, и барионов составляет 3% [*1зЗ , для расщепления масс, соответственно, 9%. Можно ожидать поэтов, что точность в описании магнитных моментов барионов не должна быть хуже 5-7% . Следует, однако, иметь ввиду, что для любой модели заранее нельзя определить, где модель должна работать хорошо, а где - хуже. Поэтому приведённую нами оценку следует рассматривать как ориентировочную. Окончательный ответ на поставленный вопрос может быть дан лишь а-^ол^егг'ои ■

15.В модели мешков особый интерес представляет изучение тех свойств адронов, где должны проявляться эффекты, связанные с существованием пионного облака вокруг барионов. Например, ненуле?.-. вое значение зарядового радиуса нейтрона можно объяснить виртуальными переходами Ртг- . Существует, однако, конкурирующий эффект: одноглюонный обмен тоже приводит к ненулевоцу значению зарядового радиуса нейтрона. Мы вычислим зарядовый радиус нейтрона в модели мешков с учётом одноглюонного обмена. Полученный результат меньше экспериментального значения и, таким образом, оставляет место для киральных эффектов.

Поясним, каким образом одноглюонный обмен приводит к отрицательному значению зарядового радиуса нейтрона.

Спин-спиновые силы в адронах возникают в результате одноглюонного обмена.В нейтроне ей -кварки находятся в состоянии со спином 5 = 1» поэтому

5> = I .

В результате взаимодействия спинов

7/7. <5/

7 " ^

-кварки отталкиваются. Поскольку в нейтроне г ^ = - 2 , (30) то и. -кварк притягивается к каздоьгу из ¿^-кварков . Возникающее при .этом перераспределение заряда в нейтроне делает зарядовый радиус нейтрона отличным от нуля и отрицательным ^50 . Отметим, что в нерелятивистской кварковой модели учёт одноглюонного обмена приводит к значению зарядового радиуса нейтрона, которое хорошо согласуется с экспериментом ^50-51^ .

В шестой главе мы вычислим зарядовый радиус нейтрона в модели мешков с учётом цветного взаимодействия между кварками.

• Основные результаты, изложенные в главах 1-6, опубликованы в работах |[34, 52-56*] , докладывались на сессиях ОЯФ АН- ; работа докладывалась на семинаре ИТЭФ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Новое, что было сделано в настоящей диссертации; состоит в следующем.

1.Рассмотрен вопрос о степени вырождения физического вакуума в четырёхкварковых мезонах, возникакщих, как полюса Р-матрицы в каналах "Гг° , тиz , и ттК2^2 . Показано, что величина В , определяющая объёмную энергию мешка, . — feV , испытывает заметные изменения в интервале от (^60 Мэв)4 до (l60 Мэв)4.

2.Рассмотрены распады дилямбды, связанного гипотетического состояния двух А -гиперонов.В предположении о дейтоно-подобной структуре дилямбды вычислены вероятности, распадов дилямбды по всевозможным каналам и прослежено, как в зависимости- от энергии связи:меняются соотношения между различными модами распадов. При малой энергии связи £ < 5 МэВ наиболее вероятными являются трёхчастичные распады дилямбды [ллО - -л ,

1\1~п° Д. .С увеличением энергии связи основным становится двухчастичный распад

3.В нерелятивистской кварковой модели вычислен энергетический спектр низколежащих состояний глюония, составленного из двух конституэнтных глюонов. Нормировка на массу, глюония 0++ I ГэВ и на массу -резонанса W1 =1.64 ШВ позволяет определить параметры потенциальной модели- - аддитивную добавку VD = - ТОО МэВ и константу связи ds = 0.22. Для глюония 0++ значения масс, близкие к I ГэВ, предсказываются правилами сумм, решёточными моделями и моделью мешков без учёта глюонных поправок. Массу конституэнтного глюона и натяжение струны для двух конституэнтных глюонов можно определить независимо, 108 — как было показано, 700 МэВ, ^ - (.490 Мэв)

Массы состояний глюония приводятся в таблице на стр. 54.

4.Вычислен вклад спин-орбитальной связи: кварков в магнитные-4 моменты барионов в нерелятивиетской кварковой модели. Параметры спин-орбитального потенциала определялись из данных по расщеплению энергетического спектра лёгких р-волновых мезонов, новых параметров для вычисления барионных магнитных моментов с учётом спин-орбитальной связи кварков, таким образом, не вводилось.

Показано, что нетривиальная часть спин-орбитальной поправки, возникающая в результате действия векторных по группе Лоренца сил между кварками, не сводящаяся к мультипликативной перенормировке собственных магнитных моментов кварков, пропорциональна заряду бариона. Одноглюонный обмен приводит к возникновению кулоновских сил, векторных по группе Лоренца, поэтому, можно говорить, что нетривиальная часть КХД поправки к магнитному- моменту бариона пропорциональна заряду бариона. Учёт векторных ) спин-орбитальных сил эквивалентен вычислению КХД поправок первого порядка по oí^ к барионным магнитным моментам.

После учёта спин-орбитальных сил нормировка на магнитные моменты протона и нейтрона приводит к тому, что отношение собственных магнитных моментов и d- кварков становится равным fV^j - - (t^l.8)

Этот результат означает существование аномальной части в магнитных моментах U- и ct- кварков. В порядке О (apj3) пропорциональность магнитного момента кварка его заряду нарушена, соответствующая диаграмма приведена на стр.65. Соотношение pi^/^jJ = - 2 поэтому в общем случае не выполняется. Описание радиационных MI распадов лёгких мезонов даёт возможность

А !

1 £ГО 1 П Со

1 —'

- и

1 — независимо оценить отношением ^ , согласно [^72^ / ^ и = - 1.7, что практически совпадает с результатом, полученным нами из нормировки на магнитные моменты протона и нейтрона.

Сравнение, с экспериментом приводит к следующим выводам. Рассогласование между предсказаниями аддитивной (&) кварковой схемы и экспериментом Р 0.29±0.02 = -0.193:0.02 = 0.20±0.04 может быть понято, если учесть, что, во-первых, спин-орбитальная связь кварков даёт вклад в магнитные моменты барионов, во-вторых, что в магнитных моментах кварков существуют аномальные части, и, в-третьих, по-видимому, следует учитывать пионный вклад в магнитные моменты барионов. Учёт этих эффектов позволяет устранить рассогласования между предсказаниями аддитивной кварковой модели и экспериментом.

5.Вычислены магнитные моменты барионов в модели мешков с учётом цветного взаимодействия между кварками.Подход к вычислению О- СЧб) поправок к . магнитным моментам барионов основан на следующем. Внешнее магнитное поле перераспределяет заряды и токи: кварков внутри мешка, соответственно, изменяется энергия цветного взаимодействия кварков. Производная энергии цветного взаимодействия кварков по внешнему магнитному полю есть взятая с обратным знаком КХД поправка к магнитному моменту бариона. Аномальные части в магнитных моментах кварков определялись нормировкой на магнитные моменты протона, нейтрона и А -гиперона.Полученные результаты оказываются близкими к результатам, полученным в нереля по — тивистской кварковой модели для магнитных моментов барионов с учётом спин-орбитальной связи кварков. б.В модели мешков с учётом цветного взаимодействия между кварками, вычислен зарядовый радиус нейтрона. Предложен способ вычисления КХД поправок:к зарядовым радиусам адронов, основанный на введении потенциала (б.з), стр.97. С учётом цветного взаимодействия кварков отношение зарядового радиуса нейтрона к зарядовому радиусу протона оказывается равным ^Г'2/^ / ^Х""2^ = - 0.06. Это значение несколько меньше экспериментального и, возможно, указывает на существование примеси \тг~ ? У в волновой функции нейтрона, что должно приводить к дополнительному уменьшению зарядового радиуса нейтрона.

Благодарности

Автор благодарит научного руководителя И.Ю.Кобзарева за полезные обсуждения и,постоянное внимание к работе, а также Б.В.Мартемьянова, Л.Б.Окуня А.Т.Филиппова и М.Г.Щепкина за полезные обсуждения вопросов.

1. Fritzsch H.,Gell-Mann M.,Leutwyler H.Advantages of the colour octet gluon picture.-Phys.Lett.,1973,v.47B,n.4,p.365-368 .

2. Hamby Y. Axial vector current conservation in weak interactions.-Phys.Rev.Lett.,1960,v.4,n.7,p.380-382;

3. Gell-Mann M.,Oakes R.J.,Rennert Б. Behavour of current divergences under SU(3) SU(3).-Phys.Rev.,1968,v.175,n5,p.2195-2199.

4. Belavin A.A.,Polyakov A.M.,Schwartz A.S.,Tyupkin Yu.S. Pseudoparticle solutions of the Yang Mills equations.-Phys.1.tt.,1975,v.59B,n.1,p.85-87.

5. Басеян Г.З.»Матинян С.Г. ж др. Нелинейные плоские волны вбезмассовой теории Янга-Миллса.-Письма в ЖЭТФ,1979,т.29,с.641-644;

6. Николаевский Е.С.,Щур I.H. Неинтегрируемость классических полей Янга-Миллса.-Письма в ЖЭШ,1982,т.36,с.176-178.

7. Wilson К.G.Confinement of quarks.-Phys.Rev.,1974,v.10D,p.2445-2459.

8. Bander M.Theories of quark confinement.-Phys.Rep.,1981,v.75, n.4.

9. Ch.odos A., Jaffe R.L., Johnson K.,Thorn С.Б. ,Weisskopf V.F. New extended model of hadrons.-Phys.Rev.,1975,v.D9,p.3471-3495.

10. De Grand Т.,Jaffe R.L.,Johnson K.,Kiskis J. Masses and other parameters of the light hadrons.-Phys.Rev.,1975,v.D12, p.2060-2077.

11. Callan C.G.,Dashen R.Р.,Gross D.Y. The structure of hadrons in QCD.-Phys.Lett.,1978,v.78B,p.307-312.

12. Brown G.E.,Rho M. The little bag.-Phys.Lett.,1979,v.82B, p.177-180;

13. Jaffe R.L. MIT report OTP 814,1979;

14. Мусаханов M.M. Массы лёгких адронов и пион-адронные взаимодействия в кирально-инвариантной модели мешков.-ЯФ.,1981, т.33,вып.3,с.810-816.

15. Brown G.E.,Rho М.,Vento V. Little bag dynamics.-Phys.Lett., 1979,V.84B,p.383-388.

16. Jaffe R.L.,Low P.E. Connection between quark-model eigenstates and low-energy scattering.-Phys.Rev.,1980,v.19D,p.2105-2118.-- 131 —

17. Simonov Yu.A. The quark compound bag model and the Jaffe-Low P-matrix.-PhyS.Lett .,1981,v.107B,p.1-4.

18. Johnson K. The MIT bag model.-Acta Phys.Polon.,1975,v.6B, p.865-892.

19. Щепкин М.Г. Статические свойства адронов в модели мешков MIT.-Элементарные частицы,Пятая школа физики ИТЗЪ.-М.: Атомиздат,1978,вып.3,с.34-56.

20. Martin A. A simultaneous fit of ЪБ, сс, (bcs pairs) and cl spectra .-Phys.Lett.,1981,v.100В,р.511-514; Schoberl P. A non-perturbative calculation of meson and baryon masses with a one-parameter potentisl.-Preprint TH.,3287-CERN,1982;

21. Copley L.A.,Isgur IT.,Karl G. Charmed baryons in a quark model with hyperfine interactions.-Phys.Rev.,1979,v.20D,p.768-775. 25.Stanley D.P.,Robson D. Do quark interact pairwise and satisfy the color hypotesis?-Phys.Rev.Lett.,1980,v.45,p.235-238;

22. Flaram D.,Shoberl P. Vienna preprint UWThPh-82-1,1982. Richard. J.M. Prom mesons to baryons.-Phys.Lett.,1981,v.100B, p.515-518.

23. Gromes D. Effective Hamiltonian for charmonium and similartwo-fermion systems.-Nucl.Phys.,1977,v.131В,р.80-93. 27JTovikov V.A. et al. Charmonium and gluons.-Phys.Rep.,1978,v.41C,p.1-130.

24. Schnitzer H.J. Spin-dependence and glueball mixing with9" (1640) in ordinary meson spectroscopy.-Kucl.Phys., 1982, v.207B,p.131-157.

25. Richardson J.L. The heavy quark potential and the systems.-Phys.Lett.,1979,v.82B,p.272-274;

26. Buchmuller W.,Tye S.H. Quarkonia and quantum chromodynamics.-Phys.Rev.,1981,v.24D,p.132-157.

27. Beavis D. et al. Charmonium and TC systems vdth small hyperfine splittings.-Phys.Rev.,1979,v.20D,p.743-748.

28. Jaffe R.L. Perhaps a Stable dihyperon.-Phys.Rev.Lett.,1977, v.38,p.195-198;

29. Mulders P.J.G.,Aerts A.T.,De Swart J.J.Negative parity 1Ш resonances and extraneous states.-Phys.Rev.Lett.,1978,v.40, p.1543-1546;

30. Aerts A.T.M. et al. Multibaryon states in the bag model.-Phys.Rev.,1978,V.17D,p.260-275.

31. Danysh N. et al. Observation of a double hyperfragment.

32. Phys.Rev.Lett.,1963 ,v.11,p.29-30;6

33. Prowse D.J. He Double hyperfragment.-Ph^s.Rev.Lett.,v.17, p.782-785.

34. Клоуз ®.E.Кварки и партоны.-М.:Мир-,1982.133 —

35. Криворученко M.И. Спектр; глюония в нерелятивистской потенциальной мо дели.-Я®, 1984, т. 39, вып. 3, с. 747-752.

36. Particle data group.Review of particle properties.-Phys. Lett.,1931,v.111B.

37. Prescotti C.Summary talk for the Brookhaven spin physics conference,1982,preprint SLAC-PUB-3017.

38. Hertzog D.W. et al. Precision measurements of the magnetic moment of the 21 hyperon.-Phys.Rev.Lett.,1983,v.51,p.1131-1134.

39. Ankenbrandt C. et al. Precise measurement of the magnetic moment.- Phys.Rev., 1983,"v.28Dip. 1-21.

40. Rameika R. et al. Polarisation and magnetic moment of the hyperon.-Phys,Pev.Lett1984,v.52,p.581-585.

41. Tomozava Y. Baryon magnetic moments in the broken SU(6)-symmetry mode1.-Phys.Rev.,1982,v.25D,p.795-800;

42. Singh O.P. Magnetic moments of baryons.-Phys.Rev.,1981, v.23D,p.2085-2087;

43. Lipkin H.J. Model independent analysis of experimental baryon magnetic moments.-Phys.Rev.,1981,v.24D,p.1437-1441.

44. Brown G.E.,Rho M. ,Vento V. Pion cloud contributions to baryon magnetic moments.-Phys.Lett., 1980,v.97B,p.423-426.134 —

45. Gonzalez P.,Vento V.,Rho M. Kaon cloud and barton magnetic moments.-Nucl.Phya.,1983,V.395A,p.446-456.

46. Lipkin H.J. Hyperon magnetic moments and total cross section; clues to QCD or flavour dependence.-Nucl.Phys.,1983,v.214B, p.136-153.

47. Theberge S.,Thomas A.W. Magnetic moments of the nucléon octet calculated in the cloudy bag model.-Preprint TH.3290-CERN, 1982;

48. De Tar C.E. Quark-bag model with low-energy pion interactions. -Phys.Rev.,1981,v.24D,p.752-775.

49. Мусаханов M.M. Взаимодействие пионов с барионами и статические характеристики барионов в киральной модели мешков.-ЯФ,X98I,т.34,вып.4,с.1123-1129.46Zsgur П.,Karl G. Ground state barton magnetic moment в.-Phys.Rev.,1980,v.21D,p.3175-3179.

50. Hayne C.,Isgur N. Beyond thé wave function at the origin: some momentum-dependt effects in the nonrelativistic quark model.-Phys.Rev.,1982,v.25D,p.1944-1957.

51. Ландау Л.Д. ,Лифшиц E.M. Квантовая механика.-M.: Наука, 1974.49.1sgur N.,Karl G. Ground-state baryons in a quark model with hyperfine interactions.-Phys.Rev.,1979,v.20D,p.1191-1195.

52. Carlitz R.D.,Ellis S.D.,Savit R. Why the neutron isn't allneutral.-Phys.Lett.,1977,v.68B, p.443-446. 51.Isgur N.,Karl G.,Koniuk R. Violations of SU(6) selection135 —rules from quark hyper-fine interaktions.-Phys.Rev. Lett., 1978,v.41,p.1269-1272.

53. Криворученко М.И. 0 четырёхкварковых состояниях в модели мешков.-ЯФ,1983,т.38,вып.2,с.454-457$ Препринт ИТЭФ-133, I982,c.I-I0.

54. Криворученко М.И.,Щепкин М.Г. Распада дилямбда.-ЯФ,1982, т.36,вып.5,0.1328-1335.

55. Криворученко М.И. Спин-орбитальная связь кварков и магнитные моменты барионов.-Письма в S3®, 1983 ,т.38,вып.3,с.146.148;

56. Krivoruchenko M.I. Baryon magnetic moments and spin-orbit coupling of quarks.-Preprint ITEP-96,1983,p.1-17.

57. Krivoruchenko M.I. Color interaction of quarks and baryon magnetic moments in a bag model.-Preprint ITEP-5,1984,p. 1-19.

58. Криворученко М.И. Зарядовый радиус нейтрона в модели мешков.-Препринт ИТЗФ-52,1984,с.I-I5.

59. Jaffe R.L. Multiquark hadrons.-Phys.Rev.,1977,v.15D,p.267-290.

60. Окунь Л.Б. Лептоны и кварки.-М.:Наука,1981.

61. Nagels М.М. Baryon-baryon scattering in a One-Boson-Exchange Potential model.-Nijmegen Univ.Thesis.,1975.

62. Nagels M.M. et al. Compilation of coupling constants and low-energy parameters.-Nucl.Phys.,1976,v.109B,p.1-91.

63. Berg В., Billoire A. Numerical estimate of the SU(3) glueball mass.-Phys.Lett.,1982,V.113B,p.65-68.

64. Novikov V.A.," Shifman M.A., Vainshtein A.I., Zakharov

65. V.I. rf meson as a pseudoscalar gluonium. -Phys.Lett.,1979» v.86B, p. 347-350.

66. Close F.E. Preprint RL-82-041,1982; Barnes T. Preprint RL-82-047,1982.

67. Филиппов А.Т. Спектроскопия лёгких мезонов.-УШ,1982, т.137,с.201 237.

68. Barnes Т. A transverse gluonium potential model with

69. Breit-Fermi hyperfine effects.-Z.Phys.,1981,v.1 C,p.275-281.

70. Cornwall J.M.,Soni A. Glueballs as bound states of massive gluons.- Phys.Lett.,1983,V.120B,p.431-435.

71. Parisi G.,Petronzio R. On low energy tests of QCD.-Phys. Lett.,1980,v.94BiP.51-53.

72. Bernard C. Preprint UCLA/82/ТЕР/20,1982.

73. Lindenbaum S.J. The talk presented at the Intern.Conf. on High Energy Physics.-Paris,Prance,1982.

74. Rohson D. A basic guide for the glueball spotter.-Nucl. Phys.,1977,V.130B,p.328-348;

75. Cogue J.,Pishbane P.,Meshkov S. Glueballs: their spectra, production and decay.-Phys.Lett.,1980,v.91B,p.259-264.

76. Geffen D.A.,Wilson W. Magnetic moments of the low-lying hadrons.-Phys.Rev.Lett.,1980,v.44,p.370-374.137 ~

77. Sucher J. Magnetic dipole transitions in atomic and particle physics.-Rep.Prog.Phys.,1978,v.41,p.1781-1838.

78. Close F.E. Preprint RL-81-Обб,1981.

79. Mignani R.,Prosper! D. Relativistic corrections to baryon magnetic moments.-Nuovo Cim.,1983,v.75A,p.221-263.

80. Borkowski P. et al. Electromagnetic form-factor of the proton at low four-momentum transfer.-Hucl.Phys.,1973, v. 222A,p.269-275.

81. Close F.E.,Horgan R.R. Perturbation theory for confined quarks and gluons.Wawe function mixing and neutron charge radius.-Nucl.Phys.,1981,v.185B,p.333-345.

82. Берестецкий Б.Б.,Лифшиц Е.М. ,Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика.-М.:Наука,1980.

83. Paustov R. Magnetic moment of the hydrogen atom.-Phys. Lett.,1970,v.33B,p.422-424;

84. Grotch H. Electron g-factor in hydrogen atom.-Phys.Rev. Lett.,1970,v.24,p.39-42.