Спектры разрешимости для многообразий алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

^ ; п :•) ?

ИШШСКАЯ АКАДЕМИЯ НАШ Ci'i'HRJK.OS СЩЩЕгМЕ ШСТШУТ ШЫШШ!

На краля:: рукопис::

Мартнноч Леснид Натаеорич

СЛЕКТШ РАЗШШОЛИ Д!Ш М1ЮГ0СЕШИЙ МГЕБР

01,01.05 - математическая логака, алгебра и теория 'Шсэл

Автореферат диссертации на соКсканяз ученой отеяенч доктора ^!э;гно-матр1/аи!ческиг но,ут

Работа выполнена на кафодрэ ажгвбуи Омского ордена "Знак iW43ia" государственного педагогического института им, Л.М. Горького

Официальные оппоненты:

доктор физшсо-мзтематичеаких наук профессор А.А.Гварамвд доктор фи зико-ш токатлчэских наук профессор А.В.михадзв доктор физико-математических наук профессор Д.М.Омирнов

Водушая организация -Уральский ордена Трудового Красного Знамени, государственный университет га. А,Ы.Горького

Защита состоится " 2 0.п 0/2/77<Я$}?л1Ъ%2 г. в /Г чага, на заседании специализированного совета Д 002.23.01 при Института математики СО РАЛ по адресу: £30090, Новосибирск, 90, Университет-скин кр., 4,

С дассэртаодвй мо;шо озиакошться з библиотеке Института ыс-тематшел 00 1'АН

Автореферат разослан " /6~ " 1332

Учений секрзтарь спедпаллшфованного совета

кацщиат (газ жо-даташтнчаских наук (Q^jCxt ~ Скссырский В.Г.

:•г "v Г.-~. 1

....... : ^ « «J i i S I Ä - Г

БИБЛИОТЕКА ОБЩАЯ ХАШШНйТЖА РАЬОШ

Актуальность то м п . Ее-жость понятия разрешимой группы с точки зрении структурной теории опт,эделязтея наличием в такой группе конечного нормального р«рш, ^яг.торк которого принадлежат "хорошему" классу групп. С рг.звитиём теории бесконечных групп зозникла необходимость в рассмотрении и бесконечных (убизащчх и ^озрастаытсс) рядов с факторами из фиксированного класса . Пионерами в изучении соотзс?стьу!т;их понятий были А.К.Мальцев, С.Н.Чершков, 0.1'.Э»л1дт. Нолуеннме в этем направлэнии результаты оО-х - 4(Jrx годов пошли олре-ение в обзоре А.Г.Куроша и С.К.Черникова [9] , а более поздние - з обао-Р'э Б.И.Плотккна (19]. Рассмотрение рядов с факторам! из тех или HHi*k многообразий играет плодотворную роль Не только в теорий ГруИл, ко и в теориях ассоциативных, альтишш;ннкх, Йорданом лиевнх и др. алгебр.

В проблематика, относящейся к алггбрэс. обладат-иц рядят! с факторами из Некоторого многообразия 3? , весьма естествен следутяшй вопроо: какие' ординалы могут быть длпна:«и наиболее коротких таких " SC -разрешимых" рйдов? В случзе, когда SC есть многообразие СТ. абелевых групп, один Uli давних результат« А»И.Мальцева [l4J об R К-группах гласит, что Любой ординат мо-йет о'ыть длиной убивадоцого ряда ко?мутантов. Но я емш абелеяк группы подвергались изучению с точки зрения уйиззниого подхода. В фундаментальны!.' исследованиях л.Я.Куликова по прпгэрт-шм абеловга.1 группьм основополагающую роль .играй* убнвштцпе ряд-т подгрупп, фактора которых удовлетворяв! то-эдестау рх ~ о для простого числа р . Здась таюгз возникает -¿опрос о еоз'-юяпс: дайнах тз.кюс рядов. Рчаение этого '¿опроса внтзказт из работ Л.Я.Куликова [73 и Л.Зуко.а [30] - здесь такяо оказалось, что лп-бой ординал монет б!!ть длийоЛ рнаа о ухдо&нжм cßoRcT&re» С другой стороны, долгое нрзмк оставячся открыта.; вопрос о ргзрэглп.гос-ти локально коне-шой группы простой е^спокента р > Ь и вон-рог. ^олла-Хигмана (ГЭ50) о разрешимости любой группы исгпопанты 4. Зти ьонрось: ногут с^орму.етровснн в елгдугт'ен виде: будут ли конечнтм! рдцп ко:{мутанто-.з групп из кг.стрнх/.нсзгого чтгообра-зия fip при р > 3 к групп из берНСРЛдовстсого чиэгообрг.:Л)» Xs-^ , Стриь'ателтлг-;':! оотетк на зти го':росч .W'-; в р'богрх Г-.П. Гай'.пслова - [25].

Развитие теории гногообразий алгебр делает актуальны;.! гла-но!Д4р:юв "/зучещ1е вопросов, связанна с длинами "рзярзшмшвс" рк-» дон, утсчнання проблематики возникающего здесь направления пплкедем нужшв определения,

Роаанпью ь алгебре А назовем всякое сеивРотво ее попарно не чэресекаюцихсг подалгебр, Россыпь будем называть тривиальной и обозначать чере^ , ео.\и ее компоненты суть единичные

подмгзбры алгебри А , либо она является пустой. На множестве 5(Д) всех роселпей алгебри А естественный образок определяется отношение частичного порядка, ртпосительно хсоторогс в ¿У)) лвляе'.'ся полной рзшеткой.

Пусть 31 - -произвольное многообразие алгебр фиксированного тип». На любой алгебре Я данного типа существует ^-вер-бальная конгруэнция /4), т.е. наименьшая в множество тех

понгрувнций на А , факгоралгебры по котором принадлежат 9С , Выдели;.! вое классы этой конгруэнции, являющиеся подалгебрами, и соответствующую россппь обозначим через '£ (А) и назовем (першу) ЗЕ-зарбалон алгебры А . Если является пуст

той россыпью, то 2-й ЭЕ-вербал алгебра А есть

такие пустая россыпь. Б противном случае еоть россыпь

алгебри А , рвляющаяоя объединением Э£ -вербалоп компонент россшк Х'(А) £(А) в решетке &СА) . С помощью трано-фикитной индукции для любого ординала определяй теперь Ы.-Й % -вербал • я непредельного определений ЭС^С/^)

на издается в рьз-ьяслгнни, а в случае предельного А- считаем, что ^СА) есть пересечение всех ае'ОЧ) при р < 4* в решетке россыпей алгебры А . Получаем убывающую цепь россыпей алгебри А :

а = ^ %*(А) * ъ ■ ■ ■ > «"-(¿о-* •••,

которая называется 3£-вербальной цепью алгебры А . В случае, когда К - поляризованное многообразие алгебр ро] (таковыми являются, напр., :пгогдобразия групп, модулей, колец, линейных алгебр п др.), лгбая рсссипь сводится к подалгебре, так что Ж-вербальная цопь превращается попросту б убиванщю цепь подалгебр алгебрц Д .

-ели ,цл<: некоторого орд шала у роосиль ЗЕ^Л) стано-ъ.пся трняналыюй, т.к.

'£■*№) = £ А ,

то ьягеЭра А нагш&отсп 'у-ступэшго зе-рэзрсйьисп': ита (г - ЗС -разрешимой, я нэшоьшй У о тяата* свойство:; - ступены & -рапреишостк алгебра А . Алгебр;/ будем кавгйать а;-разрешимой, если она 7-х -рг'лрзпша для некоторого ср.ч-гнала у , к конечно х -рэгреятаыой, если она п. - X. -разрешила дяг некоторого натурального числа п. . В случае, когда = <Х , понятие Зс-разрешимой группы превращается в поилтйе К К-группы, а понятно конечно £ -разрешимой группн - а обычное почят;;е разрешимой группы, поскольку в этом случае ^-г-эрбальная цепь гру^шн - это е точности ее т;ет конмутадтсз.

Понятие Э£--рэзржйиой алгебры а,ля пуедсчргоос'ргзия (по другой терминологии-- реплично полного класса) & алгебр введено в работе |Й&]; отправные моменты для этого пэиятья эалозе.*м Тамурой [37} ч А.К.Мрльцевпч [15]. Для групп указанное тгшгие йриы&рио в то ле иремя независимо ввел Б.Н.П^откин [20], [21 ], рассматривая бесгсггечше произведя;»!.? классов групп. Нориялыгко 1 йисте:ш г. фмсторсмч из произвольного многообразие групп раогагг-риг ел Д.М.Смирнов ['¿7]. Ад в.? о г обычного понятия разрешимой группы Для произтзодъЯьк универсальных слгебр указали Хоб^и и Меотэн-1 ,'ЗИ [^З].

Пусть 3£ и & суть некоторые щюгообразие н клбсс Зд-Нотипгад: алгео'р. Спектре:.; разрешимое?:г или ^-спектром & з ё> называется класс всех ординалов, яаотптв'ся ступеням & -разренкиостч алгебр из ¿6 . Будет.) гояэрчть, что 2 - спектр в является вапухлнн, если с кат.дш озойч ординэлом он ео-Й&ркиФ V все даныпкв его брдиналн, И полнил," есз:и он совпадает ■■ с массой всех ординала9.

В терминах 5-спектров многообразий .уьомнкавшос." во второй абзаце автореферата результата икеыт такое звучанпЗ: $-сп1';-'т'о ?яюгоэбрезич 01 3 классе всех 11р.,гпп яаяяется поддал; й-егккто многообразия Ос р абелевкс групп простой экс-понт:!;: р и 0% полон; ¿-спектры 01 р в р три р > 3 С-ч с ¿э-^ является бссаонечнгми. Отчет«:.», сто в последнее случае

вопросы о том, квкогзя Б-сПе:;три соответствующих миогоойрагшй (в частнос-ги, будут лп! они по.-птм;) остается откр'.лт.гш.

Запета?, что лю^ой нгчалкий отрезок чатуряльпнх чисел ко-гр.т о'ь'ть реадирован $ -спектр некоторого !.яогооэ'разия ал-

г-эйр. Киирт.ер^ прл л:ссои наскальном г- £>,-"Ж">-гр иногооо-рааия ОС п массе ОС4' ?соу от..т1чят!о раар^'с!'':":- групп

согоадаат с множеством {о, I, . . ■ ," а ^ . Ванные примеры икс-гсэбразий с ^-спектром •{.О, I] достактяют нетривиальные доо-таляшо многообразия полугрупп (Та»£ура, [37] ), до&тккимне многообразия ассоциативных колец (Л.Н.Шеврик, Л .М .Мартынов, £¿9]), мдо-то1ан'л1 группоида многообразий ассоциативных колец отпося-г тельно мальцевского умюжешя [15] (автср, [39]; Искандер. ) л радикально-по л.\про тио (в смысле Куроаа-А:дацура) классы ассоциативной колэц (Ст.иоарт, [Зо]). Б первом случае - это многообразие полуребенок,, в остальных - многообразия, порожденные конечным числом конечннх полеП. |

• Разнообразия &"спектров в тех или иных ситуациях привода! г к следующему естественному вопросу: какие г-собце »югу? бить й -спектры под;,шогообразий многообразия %Л алгебр? Указанный вопрос 'будем называть ПРОЕДШСЯ ¿-СШСТРОВ для" . В явном • гиде &та проСлзыА сфсриулнрована в обаоое [ж], но относящиеся к ней исследования фактически начались пначительчо ранъша (см. цит, обяор). Надолленный ъ данной области материал привел позднее актора к следующей гипотезе, опубликованной впервые в (541.

Гипотеза. Дчя любого многообразия 1Л аЛгебр и любого • его псдулш'осо'разия ЗЕ &-спектр в и? либо конечен, либо неограничен, -

■ Дальнейшие исследования автора опровергли Гипотезу для ко-дучей. О другой стороны, после того как эта Гипотеза била сформулирована, онйнолушиа по,птвери;ценно еце для ряда многообразий; лиевых алгебр н колец авторов [58], кли&сордовнх и Еполне простые полугрупп О.В.Кнпгеглд: [б], разрешимых групп автором Наличие многообразий, в коюры;: IVпстеза верна иди не верна, делает, на наи взгляд, пробдану 5-спэктров еи;з более интересной.

Решение проРлеж б-опактров дгтя многообразия ЗД , вообще говоря, но вевчаг за собой характеризацию для каждого £-сле-нтра подмногообразий, 'ймегацих этот 6-спектр в Ц? • Поотоыу наряду с проблемой Й-спзктров тзаэумна выделить для ЗоР ПРОБЛЕЛУ ШСаШ111АЦИИ ВДШОГООШЗЙ! ПО й-СПЕКТРАМ. Ршенке этой проблема особенно важно для яногообразий "орошо иевёстньи видев алгебр.

Ц б л ь а работы является изучение понятия разречш-мости алгебр по 1 погообразшш в контексте Гипотизи, проблем«

fî -спектров И проблеет класситикшиш подмногообразы'' гг. S-опе-ктран. При ртом объектом нагого Енчмгшк ячлявтся кап ''мсгосбрэ-зия произвольна унигерсапыпс: алгебр, тс к и ¡'ногообр.'пья ki^c-сических алгебр: групп, полугруъп, муллой, ccco'navirmix- и лна-kdí airetíp, s такгкв уларов.

Методы исследований. Прч изучении проблемы S-спектров :vnpoi:o яспольз'ттся теоретике- чодепьтне методу, основанные на применении фмьтропаниг' произвацoim'-i, ve-ipem компактности яьнкг логики первого порядка, спо^ств^мяльга.ггруе-мости алгебр, а таъже методы теории групп, Полугрупп, 'тодулеЛ и линейных алгебр.

'Научная новизна и практическая ц е и н с с т ъ . Постановка обеих проблей об £-спектрах длл многообразий уньверселькЕ« елгзбр, вое основное результаты, а Также значительная часть аппарата исскедпш.чкл являются iijeípu. Нолучоьшв результата ропзот не;:оторге зотоон, отгзчаншеся г ¿лтзрятуре. Ряд известных: результатов получен здесь uotîMi методами в качество следотаиГь Идеи, мегот v результата -работь» находят прнпеианле з публикациям о те чес твои; "toc к 1>чрубежт!£с авторов ([23; г?], [63, №. [10]-[13], ТТб], [2С]> ВДи др.). С!П :.-огут ;5кть испояьзог-шггЗпрл чтении сиешг.чп.шг: курсов, при подлог-TCEiee монографии и учебников. Форсированно oo'cr-',pai:oii проблематики и получзничз результата лоз1:ол;-ли залечить ряд прсолен для дальнейшего ясслодсзгошя.

Апробация. Результате дтсс-'ртестгк ti и;» ¡¡гед"-г,ч> лога кг ХГ/ (Новосибирск, JS7Ï), ]Ti (Ле'ч'иград, 1931), XVÏI ^.¡••ihck, 1983), íJIII /1Сйгп!гэв, IS8u), XIX (Львсп, K.':'r; ucecorv.« гсйс алгебрал'«ис;::с :;о1д-:срггаия.-:; чг IÏ (Наргиг.-л, KG3), Гг .С-тс", .1980), У (Барнаул, I9C3), У1 (Маггатогорсг, ID9C) Bcr?co\-unn: икотах по теории г.иогосбрпзнй аягабргпчесг.и систем; iu Ijl (Clc-р/уювек, Ï973), III (Сьердлоиск, IS68) Ечосоаиш «,:посиуч.т: to теории полугрупп; на "ззчубл'ыяиспо:*! '™-:оле по глгз^г.'тс^лт! системам (С/хукп, 1332); на Втор'л:: чгоннят: п='.;,т-

тк М.К.Суслкпа (Oapajcn, 1991 ) ; н?. ызгг'учароднг* zobjr.paiffltiííc: по теории полугрупп (BHt\ Сегед, 193Ь, по теорнл радикалоь (Ы1Р, cr-ep, 1582), nef ачгоО'рз (Новосибирск, ISIS; 1:*рняул, 1УЛ). ;!р;; nsots на ксн*оретфи г Оогедо, 'лколзт Оуу-л ftvni

c/yvrai® плсч?рпм дсби-.-дн; гг pow'eW'BTt р to ¡i ..ьгопо

с.сл.чш cerr;::- .vr:« .'•.о'/ло,"'.. Ко р'лу-сь'- л-' рслот: r.:.rjp .-"'ctv:")

с 110кла,иа'.'л б ¡«сскь-э (елгеораччс сютГ. ее» омар М1У, 1989), Кишиневе» (семиА'.р ""одули и кольца", городской семинар "Общая алгебра • л иатематичеа:оя лсги.са"г 19йЗ), Новосибирске (оешнаш"Ассоциа-тизцне кольца", ТЭКЕ; '"Алгебраические с.хте;.:и", 1934; "Алгебра ; и логика'-', Кен, • 1957, 1932), Омске (сешнар по алгебре и логике, 017, 1970-1902), (РияскиЯ алгебраический сешнар, 1937),, Сшрдкошсе (семинар "Алгебраические систош", городской алгебраическим ееглшар, 1576-1991),

II у 0 л и к"ал;-и и . Результаты диссертации1 отрамны в публикациях автора [¿ь] - [бо] \

Объем и структура работы. Диссертация иглолеиа на 220 ел-ршишдх м состоит из гведения и трех глав. . Текст диссертации, следукгаь: за пзодешем, разделен на 8 параг-ро|)пв. В ?0 ^¡мшдегш некоторые определения, обозначения и лем-* обп;ие для нсех оитзльти параграфов. Основные утверждения лиоеерт?ш,ии содержатся в &§ 1-7 и названы Teopei.ipj.di; их всего . ; семь, по одной г каждом параграфе и ога имеют сквозную нумерацию. Библиография состоит из 119 наименований,

содаишиЕ досергащи

.Первая глава поергсиена проблеме &-спектров для миогооб-. разий универсальных ьлгебр. Она разделена на три параграфа. О' содержании §0 ужо сказано вдао. В §1 приводятся достаточные ус-ювия неограниченности и пблноты Ь-спектра подмногообразия ; произвольного .многообразия алгебр и обсукдаются вопросы их выполнимости для тек'или инйх многообразий. Результаты этого параграфа (шроко используются в дчльнеЫем. Прежде чей их о$орму-лгровать, оп-этим, что мы прчдетмнгаемся, в основной, терминологии к обозначат^., книг [17] й [16]. 1

Пусть ^ - многообразие алгебр, - решетка его

подмногообразий, X., <£ {_, (зд) и - некоторый класс 'ал-

гебр из VI . Гудет.: говорить, Что элгэбрг 6 из ЗД есть база 'ЕЕ -разрешимого ашипьг&чгиройеякп в £ , если лгбея амяльгп-«о [А\. \ В С & I] 2Е-разрешимых алгебр ^ (; £ I) из

с общей подалгеброй В . (сильно) вяоаима в ' ж -раерету» алгебру из <й .

Осн^гннм результатом §1 является

Б

TKOPSIA I. Пусть LP - чкогосбразиз алгебр, 56 - его шдокогообразиэ, <6. - некотор№; класс алгебр из ЗД . Если существует последовательность Ь алгебр из ii , облада-

ющих при любой «ч. * 1, г, . . . свойствам;:

1) С эсть -разрешимая ступени п. алгебра;

2) C« £ «(С „.♦»)}

Ь) Сч является базой ^-разрешимого ошльга-.лрования 3 (fi ;

тс S-спйКтр 3£ в неограничен,. Если прл зтои класс <£

трансвербапен по Ж [iCi] и гомоморфно зрикку?. vo S~enc"Tp £ в <б является ПО.ЛКШ. . ■

При доказательстве этой теоремы устанавливается справедливость следующего утверждения, полезного и в ряде других рас скат-ркгземих в диссертации ситуациях.

Предложение 1.1. Если гомоморфно замкнутый класс алгебр транеззрбаяен по ;тногообр?зию 2Е алгебр, то S-спектр К » <& лгляется выпуклым. ■

Отметим, что у слеше трэнСвербальности <0 по' & нё является няобходи-шм для выпуклости S-слэитра £ п <б . Это будет воте?.ать из приведенных нияд результатов для линейных ■алгебр и полугрупп. ¡3 обюеа случае вопрос о энпуклост* S-nne-ктрг £ в % остается открытии (для прёд.могообразий решеток oti решается отрицательно [Ю]). 'i'eopet.ta I п прогдо"скич I.I остаются ЕертмИ к е случае, когдт чет;» пре,многообразие гебр. ■ -

D связи с теоремой I возникает вопрос о ка'гожденич условий, при которых в цггагообразта* 1$ существует последовательность 4.С„5 алгебр со свойствами I) и 2), Ки,ча слйдугчея прэ/тожок-'^ 1.2 приводит достаточнее условия для этого, которые в ряде ->-&:.;-яяк случааз (напр., в случая-: групп, модуле*!, чолоц и чр.) являются и неоото.тпьмь

Для произвольного терма ■£. , определииного над <1М!лпгт!-!ьп; wassecTBOM Хо * ix?»xt •> * • • Ь пчрэманшх через kCt) u f-ti) будем обозначать соответственно п?од?нывт? н нг-иболь-тей хндз.чеяг ща 'перэменшя? в записи i, . Пусть

Т « {. ^(.х^), • •• jXftu^J

последовательность тормог, со сге;.стг>ачп 6(4.) ч 1 и f>(t„,J = для любого к.чтгчгльного числя ff- . ¡'сход-; Т постро';::

о ■

последовательность с, ^ -С - п . и которой

ip 'f r» н io+i ^ ioCtfcftv.y.^iV.Hí.-.^íes^).

Усло^'мсн ррг. любого ординала .у через обозначать !

класс вой;с У- 2е-разрешимых алгебр из 12 . Этот.класс всегда является продшогообразием, ко на обязательно многообразии да- . г.е доя коночного У . Обратим ^шмание на то, что в случае групп 1'ласс является у-й низшей степенью многообразия

ЭС в масле Б.И.Пюткина , [2Г] .

' Предложение I,¿. Пусть ЗД - поляризованное многообразие алгебр с полярой € , £ - его подмногообразие. 2сли при любо;.! натуральной а класс е&пяотся многообразие«; tn- & зсть тождество е % и е нцруэается в ¡ £ -разрешимой ступени' а + i алгеСро из некоторого квазишогос'бразия <б алгебр из , то в <6 существует последовательность а'тобр с? свойства-л! I) и 2) теоремы I.

Что i аоаатся услоелк 3) теорены I, то оно очевидным образои выполняется для у паров. Для .других же типов алгебр, рассматриваемых в диссертации, более удобным яалкатся использование тех или иичх более слабых условий, при которых заключение теоремы I оо- ■ таэтся в силе; соответствующее условия фигурируют в замечаниях .1.3, 1.4 и l.ú, Последние Позволяют применять теорему I при решении проолеш &-спектроз дня многообразий модулей и групп,

Условимся зще о двух обозначениях. {Сели А - алгебра, то через va.г А обозначается многообразие, ею порожденное. Для множества "Z- , .формуя чзреэ С21] "будем обозначать класс везх алгебр из 1Л , на которых истинны все формула из 21 .

В §2 рэл'ены оСв проблемы об £ -спектрах и подтаервдеяо / Гипотеза для любою многообразия унаров. ,

Дня любого üífeiioHTa а унара А положим °-10> - и а01'11 = (ílw)' при любом натуральном п., где штрихом обозначена унарная операция на А .

Основным результатом является

ТЕОРЕМА 2. Пусть %$ - многообразие вс-зх унаров, 5£ -его нетривиальное.подмногообразие. Тогда S-спектр К в И? Либо совпадает с множеством -{о, i $ , либо является полним. Цершй случай иизот мосто тогда и только тогда, когда '£. - Сг^-х! Д'Ч: некоторого <г о, "¿о вожзи собственном многообразии уна*-ров S-спектр л'ч^.го его подмногообразия коночоп.

Вторая гласа посвящена модулям и линсймл рлге';рам. Она рас-бита па три параграфа. В ншс рззенп обе прсСлеЧм об ^-спектра-.: соответственно для многообразии всех модуле!'1 над '10 -кояьцагп (обобщенно дедекиндоэпп; ко.1ы;эм:4), ассоциативных и .лпевг." тл-.гпбр над коггц^атиг.нтг.м С О-кольце.« (понятие С О -толыр введено в работа {/49] , где йспользспался тврнчн-''особое кольце"). Ча самом дело ряд результатов этой главы ксся* ••»'олро ебчуп"' харе«-тер VI касаются ?а*эгообрзйнй »«дулей и яляейгнх алгебр над произвол ькеш кегьцеш, а тахехо некоторвз и:« шл охпг-тизшя" случаи ал;>тзркаткипк к йордаеопьк алгебр; ъ часшгсуи зд^зь огтисшш многообразия тзких ачгсбр с <э-спе7'тром •(_ О, £ , '[роме тзго( в §3 получено опровержение Ггагстязн для '.-з'отгобразия всех кзду-ыЧ над некоторым ночмутотигашм пепертг«^ кольцом, а, следовательно, и для шгогообр&чИА пезх ьбелэвич л;н'айнтг: алгебр (^.о. «ггэор с нухввш ушожегагек) нзд указали:»! уолмдо. 3 м/ттл1/, с.-о лг-бая дедекидпова область (в частности, чс1га;-э Ж целчх чисел и лябоа поле) является СО -чолкри. Теп са^ум, раземятр:;-.вая многообразия алгебр над к^Ул^тагиЕЛпя ClD -кольцами, »"Я Охватываем случеи колец и алгебр полам.

Основным результатом 52 является .

'М)ЕШЛ 3. Пусть 'й ,-еоть прэизвельноз <5-0 -кольцо. Тог1-да 5 -сМектр любого нетг.нвиамьнзго шогообдезиа й. -кодулей в классе Мос1(в) всех (£ -¡.ю'^лей яаляоюя полный

Оп'отим, что юрэсначальноэ А<жазс*ельзтго ото!1 тооро?« в [¿Э] озноенвэлось ия некоторых ностроегтгх раооги Л.Я.Култаог»?) [У]и бнле довольно громоздким. Доказательство, пр1Шьдок1г< = г. диссертаций, использует- таореуу 1 и шляется более п^сграч.лог. Теорема. 3 су.»естве:шо используется при доказательстве оойэг-зг результатов песледуицях параграфов осстадпекой глав!.. нее п,я! (2 — 2Г Ектокяет вгжкее

Слздстаие 3.1. Пусть Ж - нетривиальное ¡когооразче абеяешк грртгп. Тогда 5 -спечтр • ЭЕ и 01. чвляотзя чолг-чд.

Для ордааатй л . через обозначается >.тт:".ество

всех оодшзлов, нйкьгз« ; через оо'огьачэбтея пе»»"чй бесконечно: ординал.

Следят;«?' утвер^иив опровергает Гипотез'/-

И

Предложение 3.3. Пусть А - локальное кольцо, М - ого максимальный ичаал, каждый олэмент которого аннулирует некоторую натурсльцуй стопзпь М . Тогда

I) М о4((1) -- да я любого ненулевого шсгообразкя

меду пай пяд И ;

Z) существует такое Ц , что множества при а < со

и М(ы+2) и только они реализуются в качестве &-сг.ектров под-" 1люгосбр;13ий многообразия Мое/(С).

Перейдем теперь к результатам §4. Центральным них является . ' |

ТЕОРЕМА. 4. Пусть Д - конмутативиоз СО -кольцо, 1? ' -многообразно г.сзх: ассоциативтшх & -алгебр, 2Е. - его нетривиальное подмногообразие. Тогда &-спектр % в либо совпадает с множеством ¿^ , либо является пол>им." Первый случай ^ имеет место тогда и только т-огда, когда в ?£ выполняется тождество хп - X дня некоторого п. > I .

Эта теорема решает обе проблемы об ¿»-спектрах дпя много- ■ образин гсе:с ассоциативных алгебр над коммутативным ¿50-кольцо!.!, г частности, для ассоциативных колец и алгебр над полем. Доказательство теоремы 4 существенно опирается на теорему 3 и на шссеследукинле предложения 4,1 и 4,2. Первое из них дает ряд . свойств, эквивалентных свойству быть многообразием о ^-спектром -Со, в ЗД подкласса гвдогообразик "Ц алгебр-над (? . Решение соответствующей задачи тесно связано с задачей описания радикально-полупростах классов, Предложение 4,1 объединяет в себе разрозненные результаты исследований в этом направлении рада авторов, относящиеся к ассоциативным, альтернативны! и йордановш алгебрам и кольцам. Ключевым условием, поз-, валившим сделать такое объединение, служит условие ¿.V). Здесь ш приведем только некоторые из свойств, эквивалентных свойству дпя £ иметь £-спектр ^о, в 12 (полный список найденных свойств содержится в диссертации).

3 дальнейшем под кольцом понимается ассоциативное и номму-та'ятрчое кольцо с единицей, которое ш шюгда будем называть кольцом операторов.

Предлоконпе 4.1. Пусть Й. - кольцо без нетривиальных идеыпотентннх идеалов, %Л - многообразие моноассоциативных 0. -нлгобр, удовлетворяющее условиям:

I) соде ржи а многообразие всех абелевих {¡.-«лгебр;

it) £<F" = 0 , где F - свободная в t$ плгеб-ра счетного ранга;

etc) если й , В г и С суть такие алгебр!г из , что С^во/й. в^С и 6./С « И=с3, то идеал

С ^ , порожденный С в , отличен от 6 ;

Lv) любая подпршо неразлогшлая алгебра из 15 , удовлетворяющая тождеству t" = х. для некоторого п. > 1, является простой i

Тогда для собственного подкласса многообразия tK следующие утверждения эквивалентны:

1) % - многообразие о £-спектром -С0■» i-i в 1Л ;

2) ££ - достижимое в If мнргообрчзие;

5£ - идешгатент группоида G(. li) подмногообразий многообразия °иЦ относительно иальцевсхого ужокения;

4) % - радгасально-полупростой класс;

5) S£ - подмногообразие многообразия [а:"- = Х-3 при некотором п. > 1 «

• Приведем некоторые следствия предложения 4.1.

Следствие 4.1. Пусть кольцо Ц. и многообразие Ц> удовлетворяют уел о вмят,! предложения 4.1. Дня того чтобы в L (ЛЯ) имелись нетривиальные шюгообразия с S-спектром •£.£>, 1 Ь в

, необходило и достаточно, чтобы в R. тлелся иаксииальнкй идеал M конечного индекса такой, что Й/М 6 ЗД .

СледсУвие 4.2. Пусть яольцо й и многообразие Ifi удовлетворяют условиям предложения 4.1, Тогда мнояеетво всех идемпо-тентов из GCW) является коммутативной полугруппой, причем UJ-произведение любщ двух, их них совпадает с их объединением в решетке- t»(tî) «

Следствие 4.3. Если кольцо R нэ имеет нетривиальных идвмпотейтннх идеалов, то для ' многообразий всех ассоциативны* R. -алгебр, всех альтернативных Й»-глгябр, всех Рордянозих алгебр над Я ( 4/д. е R. ) условия i.) - lv) предложения 4.1 ки-лолнеиы и, следовательно, тая любого собственного подкласса SI я-оо'ого из переи;:слогашх -.з-югообразий свойства Х)-б) эквивалентны.

Претдо:.:енле 4.1 и следствие 4.Г позволяет утверждать, что если Р* - бесконечное поле, a ti удовлетворяет услояияд I) - с/)., то! не имеет нетривиальных рчдикально-полупрос-тмх m.iç.'j;iccoBj гчиду следствия 4.3 чаотидо лчучгаем s того утпер-г-декпя .<:. л/.етсд ян«логичней фьк? Гардкерз £333 (теорема 2.3) длк

К

¡?лгоо'р над бесконечном поле:.;. Чагушьй сл^гчак сйад-зткгл 1.2, ::огда R « .2 и W есть иютюобразке всех рс-cov.n л™1П!Ы.к колзц, докачен ргнее автором [39] и позднее назови-пгло другпч методом Искгщергл Гз-ïJ. Честным» аэучаядо .сяодстгия 4.3 .тв.оггтсч рч^ультат Стьшртг [Ьб] (теорема 1.3), опксьтпзсирй р^З'.кально-полулросткэ класои ьссоаяасаыых колец, результат Г;;р,!;,Н'.ра [3lJ (теорема 2.6), хэрзкэтрлзуюшй радикЕльно-лслупрос-тке класс-н ассоцнативк х аигебр над копе чшм полом, рззучьта1? авторе. [ll](теорема 2), опчоква/кий радикзльно-лол^росгно клас-c.i; ал;-тернативн1';с колец (это описание получил позднее независимо Гардкср [S] (теорема 4.8))', результаты Гарднер [ЗД (теорема .3,3), (ЪД(следствие 4.5) с йордановьк кольцах и др.'На.самом дела' . гпедлст.гьта 4.1 ввиду следствия 4.3 характеризует, в частности, ряликс-'лы-го-полупрсотыя классы У'ордановых колод и гчггбр над поле»', отнсгниз зотсрук до этого не было известно.

ZjTQ-f, говорить, что многообразие лпне^сс алгебр об-

ладает овс/.ство!/. пгадрукахчэгип'а, зсл*л с^т'остЕует таксе Натуральное числе п., что длк лкбш- алгебр t А , 6 , С. из U¿ таких, по С ^ Ь «í Д , имеет "¿ero (СР (С)" ~ О • ünsemr,

trTO ввиду хброяо извсстноГ леи« Лндрунакпевета (см., напр., Г£3» легму 5, с. 23), лабое ииогсобрэзяе ассоцнатаакг. глгзбр над любим гольцом операторов обладает отмйчочют сэо^стаом nps? а в С1Шу основного результата р?бот« С.Б.П"1е.*П)Ш,ев.1 [Д.?] свойсг--.0',; Л^д^-нигиз.'зхча при п < Ч- облад&зт либо о шогсобр/ззие альтернатиБНКх R. -алгебр, если i/6 ^ R. .

П'.эдисгсокие -1.2. Пу:ть С. - лэтбое кольцо операторов, Îj? лроигвольаое однородное гкогообргяяе R-алгебр со ззоРсчъал Лэдрунхчкеюта, ¡G его педгшегообргеие. Тогда &-спектр X z Л'-:бс:: rcrcvop^îo saiiaçrro;« классе олгез'р M яч^ете.« V4-П'-;сльг.ц 3 частности, если ся неограничен, тс лгляотся полнт-д.

Т.~иду однородности niorooípsci'f: всех &ссотде.эт2Нчх и рльтвр-нп-пшкх алгебр н-v, глш кольце:.» операторов и в силу того. что. сип эблсдг-.-ст свойством Андрунжиегкча, и» предтог.огия 1.2 вмте-касг два следствия. s

Сдаду^-И«-, 4.6. Пусть i?. - произвольное кольцо олораторов. Тогда S -спе.-тр любого многообразия йогопаатигаих И-алгзбр в л'сбом гс!.:о'.:ор'гло зв-засуго:; классе ?осоцн»'.?ивтаг<с » -алгебр являете ч выпукл;.:,'.;.

Аналогично« угкергдян*//! (слрдг.т'.-кг i.V3 при условия, что

Л/Ь к. , имеет место для адьтернатиькнх Я -алгебр.

Совместное'применение следствия 4.1 и теоремы 4 нспеодис к следуищему утверждению. г

Следствие 4.5. Пусть й - кэ1!мутетипчое С-О-колы-о. Тогда & -спектр любого нетривиального многообразия ассоциативных а -алгебр в классе всех ассоциативных р.-алгебр является потаим, тогда и только тогда, когда •любой максимальный идеал кольца К имеет бесконечный индекс в ¡2 .

В частности, отсюда имеем, что любое нетривиальное мчогоой-разие ассоциативных алгебр над бесконечным полей К имеет полный £>-спектр в классе всех ассоци&ттаиых, £ -алгебр. 3 случае альтернативных алгебр над бзсконеччга лочзл ситуация о &-спектрами у:г.е иная. Обозначим через йногообрчсие аль-

тернативных Я-алгебр, определенное тождествами вида с - 0, гдэ ■ пробегает радикал свободной альтернативно? й -ап-гебры счетного ранга.

Предложение 4.4. Пусть Й - поле нулевой характеристики. Не1}улевоэ многообразие альтернативных Р.-алгебр им&ет конечный , £ -спектр в классе всех альтернативных й-алгебр тогда и только тогда, когда К. содержит многообразие ^ .

Доказательство этого утверждения использует теорему 4 к . опирается на совместный результат Зельчшова-Шестакова о нильпотентности радикала свободной альтзрнатквной Ь-алгебры.

ЯятаРпарагра^ посвящен алгебрам Ли, В нем решаются обе проблемы об б-спектрах для Жогообразия всех алгебр Ли над любил коммутативным С.О «кольцом.

Основным результатом §5 является

ТЕОРЕМА 5. Пусть П - коммутативное 0,0 -кольцо. Тогда & -спектр любого нетривиального' многообразия (2 -алгебр Ли в классе всэх лиев£К . К.-алгебр является полным.

ота. теорема дает, в .частности, утвердительный отвит на вопрос 9.3 Обзора £&5]: будет ли полним ^-спектр лпбого нетривиального многообразия колец Ли или алгебр Лп над полем соответственно в классе везх колец клп аягебр Лч над полем?

Третья главе длссориецич посвящена группам и полугруппам. 15 ней реиактся.обе проблемы об & -спектрах для многообразии мех групп и вбех полугрупп. Кроме того, решена проблема 3-еяеятроз да я многообрази" ¡иеречигхк групп.

Оскнвнмм реьультетом С б пеляетег.

ТШгЕМА 6. Спектр разрешимости любого прединогосбразия £ групп 7 классе всех групп либо ссдзркктся в множестве. С 0» ¿3 , либо является полнчм.

Следствие 5.1. Спектр разрешимости любого нетривиального многообразия 92 групп ъ класса все:; групп является полным.

Частный случаем следствия 6.1, когда — 01 , является упоышД'Вшийся результат А.И.Мальцева р4] об К К-группах. Теорема б (в ,других терм-лах и насколько другим методом) доказана независимо С.И.Всвси [З]. В работе приведено новое доказательство следствия 6.1, основанное на использовании теоремы I. •

Предложение 6,1. Пусть 13. - нкогообразие разрешимых групп, 9£ - его подмногообразие. Тогда £ -спэктр 5£ ь 1? либо ;:о.чечэн, либо полон.

Доказательстве этого ут.зер.:д&икя опирается ;-:а следствие 3.1. Прэдлокзнис 6.1 пэдтьеркдает ^пстезу для многообразий разрешимых групп и решает ддя них проблему {¿"спектров. Основным результато«.'. §7 яелштся

'ГЕОШ,1А ?, Спектр разрешимое?« нетризисльного многообразия К, полугрупп в классе гезх полугрупп совпадает с

I) нно-сйстззои 1 $ * ее«: & является одта: из оле-души:г многообразий подгрупп*. = хЗ, Сху »аЗ, С«1**» Схух=ХЗ, Си2**., хчт зг асчЗ, [к4««, Сха»г.1',

'¿) маокестгом 4.0,1,2,!) , если КС и V,

отлично от любого 'Из многообразий,перечисленных в I); 3) классом сСох ордчнатов в оегялкых случаях. Эта тзорсыа. р-зшает обз проблемы об £-спектрах для" многообразия всех полугрупп, подтверждаем дм него Гшютеяу к даот, в частности, утвердительный ответ нг, Еспрос 3.2 обзора ро]. До.ча-гательм'во теорем! 7 существенно'спирается ка тзержу ¡5. В процессе ое доказательства получек утвердитсльж"; отпо? на ьопрос ¡2.-12 Ы) [28] к р$шсни обэ ггеобле:-^ сб $-сг.ектр?;с для гиогооб-р«ячя ьсе:; связок (полугрупп идеьгпотеитог) (пргдгтаеш-з 7.3), Кроне того, в этом параграфе указаншз проблемы ршена такке и душ !П!О1'00брлзия всех коммутитягак полугрупп, (предюккзкло 7.5).

Автор считает свои» щпяхнам долгой выразить глубокую благодарность про';:эссору Л.Н.Шеврпку па постоянное внимание к работе и многсчислыкп.'е нслезнпе обе^тдопия.

Г6

Я И Т К Р А Т У Р л

1. Анлрунахиевич B.fA., Нябуиин Ю. М. Радикалы алгебр н структурная теория, - М.: Наука. 1970.

Т.. Бургии И. С. Закон сокращения и достиккмна хлалсн линейг-ых Я-алге-бр //' Мат. заметки. - 1974. - Т. 16, N 3. С, 467-47S. • ,*i .'•

3, Бовси С. М. О бесконечных произведонпяк классоь групп /> СИб. Mal', ЯУрН. - 1972. - Т. 13, N 2 - 0. 27Я-28К.

4. Зелььанов Е.И., Исстаков И.II. Лерличн^а альтернативны« супералгебрц к .ьигьпотактность радиола. своСодноП альтернативной fiiirnepu // Нза. АН СССР. Сер. мат. - 1S90. - Т. S'i. N 4.- С. 676-693. •

'5. Капяаи В. V. G достяяииих классах группоидов, квазигрупп луп // Сиб. мят. жури. - '97g. - т. !9. N 3. С,.604-616.

6. Князев 6.0. О спектрах достижимости и раэрвиамос'я Лля многообразий глиФФорцочйх полугрупп // Сиб. мат. журн. 19t'l. Т. 22, Н 5. - С, 50-67.

7, Еуликоп л. Я. Обобщенные прикарние группы I, II //Тр. Моск. кат. о-па. - 1952. - Т. I. - 0. 247-326! 1953,- Т. II. - С. 85-167, • t • .' . '

ö. Купчик Т.Е.. Мартынов Л.ki. Конечная достижимость в классе свлцж // Алгабрачческие системы и их мкогоойрагзня; -С&ердловск, 1^82, - С 64-63.

Курой А.Г.» Чериикоа С.Н. Разрешимые и »вдьлотентный групйн'// Успехи мат, нау»,- 1947,- Т. Ч, N 3. С. ¡в 59.

.10. Леияер Б.Б, О ступенях радреиииости структур 'а степени:; идемпотентности мрадмного&брчзий структур // М. г. сб. - 1.974, - Т. 95, N 3. - С. 445-460.

П. Яйндр.р в.В. О ступеням Р.А-раэреш:шос?м структур и йтёпоня.< А-идемпотентности предмногообразий Структур // Маг. зап.. угон, ун-та. - 1976, - Т. 10, К. 12. - С. 37-53.

U.. Денвер g.B. О нормально раэрепшмнх' оТуУктург.к !! Иэв.Ьуэов. Матвмя.тккд. - 1977. - N -■ С. 44-^3.

13. Лендер Ft.B. О КНА-радройимнх структурах // Пэз. ЙУ-JOB. K-VveMÜTlffcn. - 1979. - М 2. - С. 09-^2.

14, Малы;.? в А.lt. Обоеччняче ниль^отснттп глге^рн и их

t;p;icc единенные группы // Мат. сб. - .1949. - Т. 25, H 3. - С. 347-356.

15. Калы'ев А.И, Об умножении классов алгебраических систем // Си?;, мел1, яурн. - 1907, - Т. 3. N 2. -С. 346-365.

16. Мартынов л.К.■ Мартынова Т.Д. Идеально достижимые многообразия иниерслых полугрупп /.' Изв. вузов. Математика, - 1973.- M В. - С. 67-7.?.

17. Обуая ал. Р.бра / O.E.Мельников, В.H.Ремесленников, Б.Л.Роме..ньк.об я др. Под обще.П редакцией Л.А.Скорнякова. И.: наука, 195.0. - Т. 1. - (СМВ).'

13. Обедая алгебра / Ь. А.Артамонов, В.Н.Салий, Л.А.CKOpHi.Koa и др. Лол общей редакцией Л.А.СхорНякопа. ; •К.: ВаугА, 1990. - Т. 2 - <СНВ).

19. Глоткик В.И. Обобщение разрешимые и обобщенные ннльпотентные группы // Успехи мат. наук. - 1958. ~ Т, 13., НА. - С. 89-172.

20. Плоткин Б. И. <) Функтор налах, радикалах и корадчкалвл в группах ,'/ Мат. зап. Уральск, ун-та. - 1970. -Т 7, . M 3. - С.' 1ЕЯ-182. '

21. Плогкин Б.И.' Радикалы в группа*, операции на класса» групп // Навранные аопросы слгсбрм К логики. Новосибирск: Наука, 1973. - С, 285-244.

22. Кчелинцег о.Б. О м^таидеал-лХ г.льтернзтизных алгебр // Сиб. наг. ¡сурн.. - 1983. - Т. УЛ., N 3. - С.142-148.

23. Розмыслов 13.П. 00 эигелет.'х алгебрах Ли //Алгебра и логика. - 1у71,- 'Г ¡6.. N Î, - С. 33-44,

24. Разн.юлов Ю.П. Об одном примере н&раэреимкых почти х.россоыл'< многообразий групп // Алгебра и логч»'г. - !9'2. Т. 11 . U 2. - С. 1G6-205.

2Ь. Размислов Ю.П. G проблеме Уолла-Хпгисна // Язр. АН СССР. Сор. маг. - 1978.- Г. «2, H 4. - С, езз-н47.

26. Расин В.В. Конечно лос^ияи^ае многообразия инверсных полугрупп // Изв. вузов. Математика. - 1 ?7П.- N в - о. ea-B"7. '

27. Смирвов Д-М. Об обобщенно разрешимых группах к их групг.опмх кольцах // У,?.т. сб. - 1965. - T. 67. н Ч. - С. Зоб-ЛбЗ.

ja. CBS-p/лоискяя тет^ядь (керешзнние ww« -.-аории ле-лутрупп ; . - Сверл «>чса. 19 '9.

29. Шйврин Л.Н.. Мартычой Л.II. О достелим^ кльссги алгебр // Сиб. мат. курк.-1971.- Т. 1?-, N б. -.С, 1363-13Л1.

30. Fuchi L. On the structure. cf abeii&n p-froupo /.'

с

Acta Hath. Л cot'.. Sci. Hungar.-- 1953. - VoJ . 4. - P. ¿67-708.

31. Gariir.ef B.J. Semi-simpla radical claiso.i of aigebras anrt attainability of identitiea // Pucif. J. Hat'n.

- 1975. - Vol. f!. - P. 401-416.

32. Gaxdr.er B.J. Padic&l pirorf'rtie.s defined lo-ally by polynomial identities. II //J. Austrnl.. Matn. ¡Joe. 1979. Set. A 27. - V. 27/,-293.

33. НоЪЪу D. ond McKanzie R. The structure, or' finite algobrae // Conteup. Hash. - 1989. - Vol. 76. - xi 1-194.

34. Iskandcr A. A. Product of • i"ir:ga varieties and attainability // Trana. Amer. Hath. Soc. - 1974. -• Vol. 1S3.

- P. 231-2.1;?.

35. Sevrln L.H. find Hattynov L.M. Attainability and solvability for classea of algetraa // Semigroups; Structure arid universni algebraic problem. - Colloi. M.*th. Soc. J. ЗоГуа1, 39. - Amsterdam e.a. 190G. p, 397-459.

36. Stewart P.M. ieni-tflmple radical classes // Facif. J. M3th. -197?. - Vol. 32. - P. 249-254..

37. Tnciura T. Attoinability of syntemg of. id.inti tie..» on ¿effiigroupa // J. Aiebra. - t9S6. - Vol. 3. - P. 2G1-276.

Работа вв-Ooa по Теме диссертации ' .

36. О постижимый классах групп и полугрупп fi Мат. сб. 1973. - Т. SB.. N 2. - С. 235-445.

• 35. О раэреыимцх кольцах // Мат. эап. Ур».л. ун- а.

- ).9?3. •- Т. е. N 3. - С. 82-93.

40. Об идеальной разрешимости и достигимоети в полугруппах // Мат. зап. Ура.л. ун-та. - 1974, - Т. 1. N 1. С. 40-55.

4) . О дозтиаимнх классах колец // 1 '.-я веесомэ. алгебр. комф., Новосибирск., езнт. 1977 г.: Тезисы докл. Новосибирск., 1977. - С. 55. ;

42. К-бнеЧда доетилимие многообразия полугрупп с сигпагурнии пул«! // Второй Всосопм. стшознум :to третий гг.гпу-рупп. ипчрллойсл, ИЮНЬ 3 978 Г.: Т{.ЗИСЬ! ссобщ.

"гердлсеск, 1973, С. 55.

«3.' г-стулеачо достижимые кмсгосбрйЕШя ассоциативных колец и г.лгебр // XV всессмз. ал ре б. >сонФ. , Красноярск, иоть IЭ""3 г,: Те^гси смоб.ч. , часть Л. К.р?.гнплрск.. 1979. - С. 10!.

44. О группоиде предмпогообргзкй полугрупп с нулем // Изв. вузов. Математика. - 1351. - N3. - С. 0Е-О2.

4 5. Г-ступен..о достижики«. кноРообраэия молулей и эсссциатирны:: алгебр над особами кольцами // XVI Всесоюч. алгебр. кс>н$., Ленинград» гейт. 1981 г. 1 -.Тазисй сообц. часть II. - Лонинград, 1981. - С. В9.

46. О доставших тросах полугрупп с кулек // Йзв. еуэоь. Математика» - )9вЬ - N 9. - С. г^-ЗУ.

47. о ГрУПлоИле яре.дмогсобразий полугрупп с нулей // Исследования Пэ оозреМешой алгебре. Свердловск., 198!. - С. 75-Ьб.

40. 6 споктрач райрашшюсти для нного&разйЙ пссо1Ш4тизиих алгебр // ХУ11 В^осоте. аЛге5р. кон4>. , Иийск. ськт», г.!. Т'е&иси.'ёоооц.. чагть п. МИНск. 19вэ, *■ с. '¿5-к'о. . ■'

А9. , О достижимости й раерешюсти для Нногосбра?ий Коду я эй /.' исследования По алге5раич4ск.им еиствмггм. Свердловгл, 19Й4. - с. 56-74.

50; Ь • спехтрах ■ рчзрешймости для Ппогосбрал'.ий ассоцма'гапиых алгебр /' Алгебра и хо г и кг.. - 1994. - Т. 25, 5. - С. 4ЙУ-492. .

5:. о спектрах разрешимости и достикиКооть лля многоббразий полугрупп //. гуп Всесоюэ. мГебр. кгл.ф., Киричрв, с^нт. 1985 г.; Теряем сообщ. . часть Н. - Кигаткмэ» (483. - С, 1''.

52. Достияйиие йкогосбразия аесог,гатив:«';; а^геРр над яедек.ивдозь.-ми кольцами // Изв. вуеов. Кдтеттика. - 1Э9ь. МИ. -С, 75-01 .

53 Он г4<Ясй1; де>п:>.в1<г.р1с чп(3 сЛ'.оггсз о!'

*

л1йеЬгяз П Г5аЙдса1 ТЬео*у: Ргос- Соп{. , . 5ее1', 1452 -Аа-Леtd.it,-! • . п.. 1986. - Р.

54. с ол-? стра;.* рлмхсп.','.гости длл мкегообргчил алгебр // «!:огмоЬрлтч)я алгвбраиЧ^к/Ж систем ^Црогригт ви ГО ЛИ ссср: N - Нпроси'ЗПРСГ., ¿906. - С. 16--1'.

55. О спектрах разрешимости для многообразий алгебр Ли // XIX рсесоюэ. алг£)бр. кон<$, , Львов, сент. ISS? г,: Тезисы сооби,, часть II. - Львов, 1937. - С, 178-179,

56. О многообразиях разрешит«; полугрупп // Трети!? Бсэсоюз, симпозиум ко теории полугрупп, Сверлооск, июнь 19133 г.: Тезисы сообщ. - Свердловск, i968. - С. 54.

37, О многообразиях разрешили): алгебр У/ Сибирсч. ыкоп\ по многообразиям алгебр, систем, Барнаул, июль 1988 г.i Тезчси сообщ. - Барнаул, 1988. - С. 46-Л7.

58. Спектры разрешимости для многообразна алгебр и колец Ли // Мат, заметки. - 1989. - Т 45.. N 1. О. 66-71.

59. О многообразиях разрешим« алгебр // Изв. вузов. Математика. - 1989, - N б. - С, 15-17,'

60. О спектрах разрешимости для многообразий алгебр // Международная конф. по алгабрэ, посЕященная памяти А,И.Мальцева (1909-J959), Новосибирск, а;зг, 1909 г.; Таэисн докл. по теории колец, алгебр и модулей, - Новосибирск, 1989, - С. 04.

б! On spestra of solvability and attainability for varieties of semigroups // Semigroup Forum, - 1989, - Vol. 39, W 2. - P. 129-155.

62. О проблема спектров разрешимости для многообразия алгебр // Алгебра и логика.- 1990.- Т. 29 , N 2. -- С. 162-173. k

63. Конечно догтижимие многообразия альтернативных алгебр // Всесоиз, школа по теории многообразий алгебр, систем, Магнитогорск, июнь 1990 г.i Тезисы сообц. Магнитогорск, 199И. - С. 22.

54. К проблеме спектров разрешимости для многообуа чй модулей // Меадународная конференция по алгебре памяти А.И.Шигиовэ(1921-1981), Вгрнаул, аьг. 1041 г.: Тезисы докл. по теории колец, алгебр и модулей. - Новосибирск, 1991. - С. 77,

65. Об умножении многообразий алгабр // Еторца математические чтения памяти I!.Я.Муслина, Саратов, 'сект. 1991 г.: Тезисы докл, Саратов. 1591 . - С. 38.