Стабилизация и устойчивость нелинейных динамических систем приложением к задачам механики твердых тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

Г'

о

0‘Л

ЗУЄВ Олександр Леонідович

УДК 531.38,62-50, 517.977.1

СТАБІЛІЗАЦІЯ ТА СТІЙКІСТЬ НЕЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ ДО ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ ТВЕРДИХ ТІЛ

01.02.01 - ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Донецьк - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник: докторфізико-математичнихнаук,

професор Ковальов Олександр Михайлович,

Інститут прикладної математики і механіки НАН України, заступник директора по науковій роботі.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Коробов Валерій Іванович, Харківський національний університет, завідувач кафедри диференціальних рівнянь та керування;

кандидат фізико-математичних наук,

Щербак Володимир Федорович,

Інститут прикладної математики і механіки НАН України, відділ прикладної механіки, старший науковий співробітник.

Провідна ус т а н о в а: Донецький державний університет, м. Донецьк,

кафедра теоретичної механіки.

Захист відбудеться вересня 2000 р. о годині на засіданні спеціалізовані

вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НА України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “ /<Р” серпня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

Ковалевський О.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблема стабілізації нелінійних динамічних систем займає важливе місце в сучасній теорії керування. Можна виділити два напрямки дослідження цієї проблеми.

Перший напрямок пов'язаний із якісною теорією систем керування, основи якої були закладені Р. Калманом. А саме, для лінійних систем відомо таке співвідношення між якісними властивостями керованості і стабілізовності: якщо система керована (тобто виконаний критерій Калмана), то існує лінійне керування зі зворотним зв'язком, що стабілізує стан рівноваги системи. У зв'язку з цим результатом виникає питання: чи є властивість локальної керованості нелінійної системи достатньою умовою для її стабілізовності? Для різноманітних класів систем і класів зворотних зв'язків співвідношення між властивостями керованості і стабілізовності досліджувалися в роботах Р. Габасова, Є.О. Гальперіна,

О.М. Ковальова, В.І. Коробова, М.М. Красовського, Ю.С. Ледяєва, А.І. Субботіна, Z. Artstein, R. Brockett, J.-M. Coron, F.H. Clarke, A. Isidori, M. Kawski, L. Rosier,

E.D. Sontag, H.J. Sussmann, E.P. Ryan та інших авторів.

Варто виділити результати R. Brockett та Е.Р. Ryan 2\ із яких випливає, що на відміну від лінійних систем, для нелінійних систем властивість керованості не є достатньою умовою для асимптотичної стабілізовності за допомогою навіть розривного стаціонарного зворотного зв’язку, якщо розв’язки системи диференціальних рівнянь визначати в узагальненому значенні - за О.Ф. Філіпповим.

Інший підхід до визначення розв’язків системи звичайних диференціальних рівнянь із розривною правою частиною був запропонований у статті F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, E.D. Sontag, A.I. Subbotin3). У цій роботі розв’язки системи з розривним зворотним зв'язком визначаються на основі застосування кусково-постійних керувань на інтервалах, що утворюють розбивку часової осі. Доведено, що при такому визначенні розв’язків властивість стабілізовності еквівалентна властивості асимптотичної нуль-керованості.

В роботі J.-M. Coron4) доведено, що якщо система нуль-керована за малий час, то при виконанні певної рангової умови існує неперервний стабілізуючий зворотний зв'язок , що залежить від часу.

Brockett R.W. Asymptotic stability and feedback stabilization // Differential Geometric Control Theory (Brockett R.W., Millman R.S. and Sussmann H.J. eds.). - Boston: Birkhauser, 1983. - P. 181-191.

21 Ryan E.P. On Brackett's condition for smooth stabilizability and its necessity in a context of nonsmooth feedback // SIAM Journal on Control and Optimisation. - 1994. - Vol. 32. - P. 1597-1604.

3) Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Sontag E.D., Subbotin A.I. Asymptotic controllability implies feedback stabilizaton // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1997. - Vol. 42. - P. 1394-1407.

4> Coron J.-M. On the stabilization in finite time of locally controllable systems by means of continuous time-varying feedback law // SIAM Journal on Control and Optimization. - 1995. - Vol. 33. - P. 804-833.

Аналіз вищезгаданих робіт свідчить, що дослідження достатніх умо стабілізовності широкого класу нелінійних систем є актуальною проблемо] сучасної теорії керування, яка привертає увагу провідних фахівців. Але елі відзначити, що деякі питання залишаються відкритими. Так, наприклад, цікавим дл дослідження є питання про існування стаціонарного зворотного зв’язку, ш забезпечує неасимптотичну стійкість для довільної керованої системи (відповідь іі це питання передбачає визначення класу зворотних зв'язків).

Другий напрямок полягає в розробці методів синтезу стабілізуючих керувань ( тому числі і по частині фазових змінних) для деяких класів нелінійних систем. Це напрямок інтенсивно розвивається, як для задач стабілізації зі статичним зворотними зв'язками, так і з динамічними. Важливі результати в цьому напрямк були отримані в роботах В.Г. Веретеннікова, В.І. Воротнікова, В.І. Зубові

В.І. Коробова, М.М. Красовського, В.М. Кунцевича, В.В. Румянцева, О.Я. Савченк;

В.Д. Фурасова, A. Astolfi, A. Bacciotti, D.F. Delchamps, H. Hermes, V. Jurdjevii P. Kokotovic, P. Morin, K. Peiffer, L. Praly, E.D. Sontag, J.P. Quinn та ін.

В оглядовій роботі В.І. Воротнікова відзначається, що великий теоретичний практичний інтерес представляє розробка конструктивних засобів побудов зворотних зв'язків, що стабілізують по частині змінних. Це стосується як достатнь загальних, так і конкретних систем.

Відомо 2), що в цей час широке використання енергії вітру стримується дост високою вартістю енергії, вироблюваної за допомогою вітрових двигунів. Одним основних чинників, що впливає на зниження вартості вітрових двигунів, використання гнучких лопатей із малою жорсткістю для зменшення ваг вітроколеса і навантажень на вал. Таким чином, представляється актуальни дослідження динамічних властивостей вітрових двигунів за допомого] математичних моделей, що враховують пружні властивості конструкції.

Одним з прийнятних засобів урахування пружності об’єктів сучасної технік виявляється їх моделювання за допомогою систем зв’язаних твердих тіл (СЗТТ Задачі динаміки СЗТТ досліджувалися в роботах І.О. Болграбської, Й. Віттенбург;

О.Ю. Ішлінського, О.І. Лур’є, В.В. Румянцева, О.Я. Савченка, П.В. Харламова та іі Представляється доцільним застосування моделей на основі СЗТТ для досліджені: робочих режимів вітрових двигунів. Такі моделі дозволять враховуват податливість конструкції, що необхідно у зв’язку з задачами зниження масови (вартісних) характеристик двигунів без шкоди їхньої надійності.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематиь дисертації пов’язана з Планами наукових досліджень відділу технічної механік Інституту прикладної математики і механіки НАН України на 1998-2000 роки.

11 Воротников В.И. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации движения і отношению к части переменных: направления исследований, результаты, особенности Автоматика и телемеханика. - 1993. - № 3. - С. 3-62.

2) Migliore P.G., Calvert S.D. U.S. Department of energy wind turbine development projects // Pro European Wind Energy Conference. - Nice (France). - 1999. - P. 64-71.

з

Мета і задачі дослідження. Однієї з головних цілей дослідження є знаходження достатніх умов існування зворотного зв’язку, що розв’язує задачу неасимптотичної стабілізації нелінійної динамічної системи із керуванням. Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити дві задачі. По-перше, необхідно знайти таку зручну характеристику властивості локальної керованості, яку можна застосувати у критичних випадках. По-друге, потрібно підібрати клас припустимих керувань із зворотним зв'язком (відповідь на питання про стабілізовність керованих систем істотно залежить від класу зворотних зв'язків, що розглядається).

Наступна задача дослідження - запропонувати ефективні способи побудови законів керування, як для задачі стабілізації по усім змінним, так і для задач стабілізації стосовно частини змінних.

І нарешті, остання мета дослідження полягає у визначенні умов, що забезпечують стійкість робочих режимів вітрового двигуна з пружними лопатями. Для досягнення указаної мети необхідно побудувати таку математичну модель вітрового двигуна, яка відображала б динамічні властивості об'єкта, і в той же час не була б занадто складної, для того, щоб одержати аналітичні результати.

Наукова новизна одержаних результатів визначається наступними положеннями.

1. Вперше доведено теорему про неасимптотнчну стабілізацію довільної нелінійної системи, що задовольняє властивості локальної керованості поблизу особливої точки. Показано, що в загальному випадку твердження цієї теореми не може бути посилено. Також доведено, що для лінійної по керуванню системи в умовах теореми множина точок розриву зворотного зв'язку міститься в деякій гладкій многостатності, вимірність якій нижче, ніж вимірність фазового простору.

2. Вперше отримано асимптотичні оцінки розв’язків модельної системи в критичному випадку двох пар суто уявних коренів. Показано, що за допомогою цих оцінок задача про оптимальну по швидкості згасання стабілізацію зводиться до задачі на мінімум певної величини, що визначається через розв’язки допоміжної системи алгебраїчних рівнянь.

3. Отримано умови стабілізації неавтономних систем у термінах керованих функцій Ляпунова по частині змінних. Для лінійних по керуванню систем запропоновано конструктивний спосіб побудови стабілізуючого зворотного зв'язку. Ці результати поширюють теорему Артстейна на випадок стабілізації по частині змінних.

4. Вперше доведено теореми про часткову стабілізацію автономних систем за умов існування функції Ляпунова зі знакосталою нижньою межею похідних. За допомогою цих теорем вирішено задачі про часткову стабілізацію орієнтації твердого тіла за допомогою двох незалежних керуючих моментів.

5. Вперше запропоновано математичну модель вузла вітрового двигуна в вигляді системи зв'язаних твердих тіл. Отримано умови стійкості режиму рівномірних обертань моделі по лінійному наближенню. При малих кутах ухилення лопатей і досить великих значеннях параметра жорсткості знайдено необхідну умову стійкості, що зв’язує інерціальні характеристики моделі з жорсткістю лопатей і

кутовою швидкістю режиму. Встановлено, що при наближенні жорсткості вала д нескінченності має місце асимптотична стійкість режиму рівномірних обертані При нескінченно великій жорсткості лопатей і при наявності додаткового зв'язк отримана умова стійкості, що зв’язує припустимі значення лобового тиску іншими параметрами моделі.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані в дисертац результати мають в основному теоретичне значення. Вони можуть бути застосоваї для подальшого розвитку якісної теорії нелінійних керованих систем. Результат розділу 4 можуть бути рекомендовані до застосування при проектуванні систе керування технічними об'єктами. Результати розділу 5 можуть бути рекомендоваї до використання в організаціях, що проектують вітрові двигуни, з метою оцінк впливу параметрів жорсткості матеріалів на надійність функціонування конструкці

Особистий внесок здобувача. Стаття [1] містить результати досліджен виконаних спільно з членом-кореспондентом НАНУ О.Я. Савченко, якому належні постановка задачі (модель, що досліджується). Особистий внесок здобувача результати статті [1] полягає в проведенні усіх необхідних перетворен спрямованих на одержання рівнянь руху в скалярному вигляді і характеристичного многочлена, а також у чисельно-аналітичному дослідженні уме стійкості по лінійному наближенню. Стаття [4] опублікована спільно з професоро О.М. Ковальовим, якому належить ідея використання методу орієнтовані: многостатностей в задачах стабілізації нелінійних керованих систем. Здобува1 належить доведення основної теореми і приклад 1.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаг доповідалися та обговорювалися на:

- Міжнародних конференціях “Устойчивость, управление и динамика твердої тела”, Донецьк, 1996 та 1999 роки;

- Міжнародній конференції “Математика в индустрии”, Таганрог, 29 червня З липня 1998 p.;

- Українській конференції “Автоматика 99”, Харків, 10-13 травня 1999 p.;

-European Control Conference ECC’99, Karlsruhe, Germany, 31.08-03.09.1999;

- II Всеукраїнській молодіжній конференції “Людина і Космос Дніпропетровськ, 12-14 квітня 2000 р. (доповідь відзначено дипломом конференції

- Семінарах відділів прикладної і технічної механіки Інституту приклади математики і механіки НАН України, Донецьк, 1997 — 2000 р. (керівники член-ко НАНУ П.В. Харламов і проф. О.М. Ковальов);

- Семінарі кафедри диференціальних рівнянь та керування Харківсько національного університету ім. В.Н. Каразіна, 2000 р. (керівник проф. В.І. КоробоЕ

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 8 роботах, з яких 4 статті у збірниках наукових праць, 2 - статті в матеріалах міжнародні конференцій, 2 - тези доповідей конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 1: сторінках і містить вступ, основну частину з п’яти розділів, висновки, спис

літератури і один додаток, розташований на шести сторінках. Дисертація також містить п’ять ілюстрацій, які займають дві сторінки. Список використаної літератури складається з 105 джерел і розташований на 11 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, формулюються мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, а також апробація результатів роботи.

В першому розділі подається огляд робіт, які мають відношення до теми дисертації. В підрозділі 1.1 перелічено основні результати робіт щодо проблем стабілізації керованих динамічних систем. В підрозділі 1.2 наведено огляд робіт з питань стійкості та стабілізації по частині змінних. В підрозділі 1.3 викладено деякі результаті, що стосуються задачі стабілізації руху твердого тіла навколо центру мас. В підрозділах 1.4, 1.5 наведено огляд робіт з питань математичного моделювання СЗТТ, а також з питань моделювання вітрових двигунів.

В другому розділі викладено загальну методику дисертаційних досліджень. В підрозділі 2.1 викладено метод орієнтованих многостатностей, який було запропоновано О.М. Ковальовим для дослідження глобальної керованості нелінійних автономних систем. В підрозділі 2.2 описано методи теорії звичайних диференціальних рівнянь із розривною правою частиною за О.Ф. Філіпповим В підрозділі 2.3 викладено метод дослідження несуттєво особливих критичних випадків теорії стійкості, сформульовано критерії асимптотичної стійкості Г.В. Каменкова та О.М. Молчанова, що використаються надалі. В підрозділі 2.4 введено поняття стійкості по частині змінних і сформульовано основні твердження методу функцій Ляпунова про часткову стійкість і часткову обмеженість розв’язків.

В третьому розділі розглядається нелінійна динамічна система з керуванням:

x = f{x,u), (1)

де хеОсД'’ — фазовий вектор, а є UaRm - вектор керування. Припускається, що /єС1 (D х U), Oeint D, 0eil, /(0,0) = 0. Позначимо є- окіл точки xeD через В (*,£■).

В підрозділі 3.1 доведено леми про необхідні, а також достатні умови для локальної досяжності та локальної керованості системи (1) в термінах орієнтованих множин і многостатностей. Ці леми розповсюджують результати О.М. Ковальова2) на локальний випадок.

За допомогою результатів підрозділу 3.1, в підрозділі 3.2 доведено наступну теорему [4].

Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. - М.: Наука, 1985. -224 с.

2) Ковалёв А.М. Уравнения инвариантных и ориентированных многообразий динамических систем // Доповіді НАН України. - 1998. - № 9. - С. 21-25.

Теорема 1. Нехай U — компактна множина, та нехай при деякому £>0 кожне точка множини 5(0,г)\{0} є точкою локальної досяжності системи (І). Тод існує керування зі зворотним зв’язком и: В (0,£)—»(/, и(0) = 0 (взагалі кажучи розривне), що забезпечує стійкість тривіального розв’язку х = 0 замкнено системи:

x = f(x,u(x)). (2

При цьому розв 'язки системи (2) визначаються за О. Ф. Філіпповим.

Оскільки властивість досяжності є більш слабкою, ніж керованість, ті теорема 1 вірна у випадку, коли система (1) задовольняє властивості локально керованості в кожній точці множини В (O.f^O}.

Слід відзначити, що теорема 1 стикається з основним результатом статт

F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, E.D. Sontag, A.I. Subbotin, згаданої вище на c. 1. У ції статті встановлено, що для кожної асимптотично нуль-керованої системи існу розривний стабілізуючий зворотний зв'язок. Проте, визначення розв’язків системі (так званих “л- траєкторій”) в згаданій роботі не еквівалентно визначенню з: О.Ф. Філіпповим.

Для ілюстрації необхідності застосування розривних зворотних зв’язків і дисертації наведено наступний приклад [4]:

■ ,М<1;

x = f{x,u) =

x+gl/0 (З

x-ew+“) ,„<-1,

де xeD = (-е1, е'1), ие U = [-2, 2], /x U). Показано, що кожна точка област D є точкою локальної керованості, проте для системи (3) не існує неперервноп зворотного зв'язку, що забезпечує стійкість тривіального розв’язку за Ляпуновим.

З іншого боку, із згаданого на с. 1 результату Е.Р. Ryan випливає, що в умова: теореми 1 не для кожної системи існує зворотний зв'язок и(х), що забезпечував бі рівномірну асимптотичну стійкість тривіального розв’язку автономної системи (2] Отже, в загальному випадку твердження теореми 1 не може бути посилено.

В підрозділі 3.3 досліджується характер множини точок розрив стабілізуючого зворотного зв’язку. Основним результатом цього підрозділу наступна теорема.

Теорема 2.Припустимо, що U — опуклий компакт, і при деякому є>0 кожн точка множини В (0,£ )\{0} є точкою локальної досяжності системи (7, Припустимо також, що функція f (х, и) аналітична і лінійна по керуванню. Тос існує зворотний зв’язок иєС (В (0,є)\М), и( 0) = 0, що забезпечує стійкіст тривіального розв ’язку замкненої системи (2). При цьому множина М є гладкої многостатністю, вимірність якої не вище, ніж п-1.

Підрозділ 3.4 присвячено проблемі про оптимальну асимптотичну стабілізації системи (1) з аналітичною правою частиною в несуттєво особливому критичном випадку. Припустимо, що при кожному аналітичному зворотному зв’язку и(х) і деякого класу Щ для відповідної системи (2) має місце критичний випадок q па

суто уявних коренів. За допомогою принципу зведення, питання про асимптотичну стійкість замкненої системи (2) зводиться до дослідження наступної нормалізованої укороченої системи:

fs = Fs(ri’r2’-’rq>u)> S = \,2,...,q, (4)

де Fs - однорідні функції по відношенню до ги г2,—, rq, їх степінь дорівнює N > 3. Число N характеризує найменший порядок нелінійних членів, що входять у нормальну форму укороченої системи. Права частина системи (4) містить параметри - коефіцієнти розкладу функції зворотного зв'язку ueUo в ряд Тейлора.

З теореми М.М. Красовського 11 випливає, що необхідною та достатньою умовою асимптотичної стійкості тривіального розв’язку системи (4) є обмеженість значень функціонала

Ф+[г(г)}= ïta (г,/(АМ) |г(ґ)| ) (5)

t—>+*>

на розв’язках системи (4), де |r(i)| - евклідова норма вектора rit). Позначимо через r(t;r0,u) розв’язок системи (4), що відповідає зворотному зв’язку tieUo та початковій умові г (0; г0, и) = го. Введемо наступне означення.

Означення 1. Будемо говорити, що зворотний зв'язок и є i/o вирішує задачу про оптимальну по швидкості згасання стабілізацію, якщо и (х) забезпечує асимптотичну стійкість тривіального розв’язку відповідної системи (4), і якщо для кожного зворотного зв'язку не i/o виконана нерівність:

sup \ф+[г(ї\гй,и )} }< sup (^+[г(Г;;'-0,«)] }. (6)

r^R" r,eR"

Умова оптимальності (6) означає, що при використанні оптимального керування и (х) розв’язки відповідної системи (4) із найбільшою евклідовою нормою згасають при t -> +ю найшвидшим із припустимих способів. Подібна мінімаксна постановка задачі про оптимальну стабілізацію (проте без конкретного завдання функціоналів) розглядалася в роботі К. Пайффера та О.Я. Савченка2) для задач пасивної стабілізації в критичному випадку однієї пари суто уявних коренів.

У пункті 3.4.2 за допомогою функції Ляпунова доведено лему про верхню та нижню оцінки функціонала (5) в критичному випадку q пар суто уявних коренів при виконанні умов критерію стійкості О.М. Молчанова3), N= 3. У пунктах 3.4.3, 3.4.4 розглянуто випадок двох пар суто уявних коренів, N >3. У цьому випадку за допомогою заміни ps = rs2> 0 система (4) приводиться до наступного вигляду:

11 Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. - М.: Физматгиз, 1959. -С. 114-115.

2) Peiffer К., Savchenko A.Ya. On the asymptotic behavior of a passively stabilized system with one critical variable. - Lovain-la-Neuve (Belgium): 1998. - 12 p. (Rapport 280 / Séminaire Mathématique, Inst, de Math. Pure et Appliquée).

3> Молчанов A.M. Устойчивость в случае нейтральности линейного приближения // Докл. АН СССР. -1961. - Том 141. - № 1. - С. 24-27.

Ps=Ps X G{skMPlk'P2k>, Ps>0, (S=l,2, /: к^+к2=1

N-l

Основним результатом підрозділу 3.4 є наступне твердження [2, 5].

Теорема 3. Припустимо, що має місце асимптотична стійкість тривіальногі розе ’язку модельної системи (7) в квадранті р\ >0, />> > 0. Тоді для кожногі розв’язку r{t) відповідної системи (4) існує скінчена границя:

Ф+[г{г)}= lim

/->+00

При цьому

ф* = sup ^+[r(f)] = sup>/p1 +рг, r(0)eR2

(8

(Я

де верхня межа в правій частині рівності (9) береться по усіляким розв'язкам Рі >0, Р2 - 0 наступної системи алгебраїчних рівнянь:

. 2 ^

Ps

pp Pf* +

ук,+кг=1

N-1

= 0, (s=l,2, / =

N-l

)• (Щ

Для окремого випадку N= 3 у пункті 3.4.3 знайдено границю (8) в залежност від початкових умов та коефіцієнтів модельної системи (7).

Таким чином, за допомогою теореми 3 задачу про оптимальну по швидкост

згасання стабілізацію зведено до пошуку припустимого зворотного зв'язку и є£У0

що мінімізує значення (9), яке визначається через розв’язки алгебраїчної системі (10). У пункті 3.4.4 дисертації наведено приклад розв’язання задачі про оптимальну стабілізацію за допомогою такого зведення.

В четвертому розділі досліджується проблема стабілізації нелінійних систел відносно частини фазових змінних. У підрозділі 4.1 розглянуто настушг неавтономну систему:

y = Y(t,y,z,u), z = Z(t,у,z,u), (її;

(/ > 0, ^ є Rn>, z e Rni, ue UqR”, 0eU, Y(t, 0, z, 0) = 0, Z(t, 0, 0, 0) = 0)

де x = (y\,...,уПі ) eR" — фазовий вектор системи (и=«і+и2), и — векто{

керування. Припускається, що права частина системи (11) неперервна на множин Dx-U, де

D = { (t,y,z):t> Q,\y\<H,ze Rn* }, (#=const>0).

Також будемо припускати, що розв’язки системи (11) є г-продовжуваними тобто для кожної вимірної функції и(()\ [0,+со)—> і/ будь-який розв’язок х(і) = (у (і), г(і)) системи (11) визначено при усіх значеннях і > 0, для яких [у(г)| < Я.

Нехай У(/Гт) - функція класу С1 (О). Позначимо через К(г, .т, и) її похідну в силу системи (11):

. дУ !Х дУ „ й зу ^

У (і, X, и) = — + X — У) + X —2].

<* у=1 су;- > м *

Введемо наступні означення.

Означення 2. Функція У(і^с)єС (В) зветься керованою функцією Ляпунова по змінним у для системи (11), якщо вона задовольняє наступним умовам:

Сі(|>’|) < У(^х) < с2(ЬІ). °\>с2 єК,

\/(г,х)є£ => тї У{і,х,и)<-а(\у\), а еК, (12)

иШ

де К - клас функцій Хана (тобто К складається з усіх неперервних строго зростаючих функцій а: [0,+со)—>[0,+со), що задовольняють умові о(0)=0).

Означення 3. Будемо говорити, що функція Ляпунова У(Г^с)єС'(0) задовольняє властивості малтпі керування, якщо для будь-яких є> 0, /0 ^ 0, х0е{х:у=0} знайдеться такий окіл В(/оЛ)) точки (¿оЛі), що

\/(ґрс)є В((0ух0)глО => \пї У{і,х,и)<-а(\у\), а еК. (13)

1«1<г

иєЦ

У підрозділі 4.1 доведено наступну теорему [3].

Теорема 4. Нехай V — компакт, і нехай для системи (11) існує керована функція Ляпунова У(ґ,х) по змінним у. Тоді існує (взагалі кажучи, розривний) зворотний зв'язок и: £)—>{/, м(?, 0, г)=0, що забезпечує рівномірну асимптотичну стійкість множини М={х:у= 0}. При цьому розв'язки системи визначаються за

О.Ф. Філіпповіш. Якщо, крім того, О =[0, +со) х Я" та У(і,х)—><х> при [у|—>со рівномірно по (і, г) є [0,+со) х Я, то згаданий зворотний зв'язок забезпечує рівномірну асимптотичну стійкість множини М в цілому.

Далі розглянуто випадок, якщо права частина системи (11) лінійна по керуванню, тобто якщо система (11) може бути записана в наступному вигляді:

т

х = /о 0> х) + £ Щіі ((. х). (14)

;=1

Теорема 5. Нехай для системи (14) існує керована функція Ляпунова У(і,х) по змінним у, що задовольняє властивості мализні керування, і нехай и=Е.т. Тоді існує

Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. - М.: Наука, 1987. - С. 15.

зворотний зв'язок u{-)eC{D), u(t, 0, z)=0, що забезпечує рівномірну асшттотичнj стійкість множини М={х: у= 0}. Указаний зворотний зв'язок задається наступиш виразом:

О, b(t,x) = 0;

-77-fa + -y/a2 + ]b|4\ b(t,x) * 0, 2л]а2 + \ Ъ |4 >a(]j'|); i = l,m, (15,

\b\K J

-----— (2a + a(I у I)), інакше,

21ЬГ

де a eK- будь-яка функція Хана, що задовольняє нерівностям (12), (13),

a(t,x) = dV^’x^ + ^ діУ’Х'>Уо/(?,*), b(t,x) = (bi(t,x),b2(t,x), ...,bm(t,x)), dt /=1 dxj J

11 dV(t лЛ ---

bi(t,x)= X ’ fij(t,x), і = 1 ,m. (16

7=1 °XJ

Якщо, крім того, D =[0,+co) x R" та V(t,x)—>со при [>>|->co рівномірно т (ґ,z) є[0,+со) х КПі, то керування (15) забезпечує рівномірну асимптотичну стійкість множини М в цілому.

Теорема 5 поширює результат Z. Artstein11 на випадок стабілізації пі відношенню до частині змінних.

У підрозділі 4.2 розглянуто проблему про часткову стабілізацію автономии: систем за умов існування функції Ляпунова зі знакосталою нижньою межек похідних [7]. Основними результатами цього підрозділу є наступні дві теореми.

Теорема 6. Припустимо, що система (14) автономна (тобто функції f(t,x) і = 0,т не залежать від t). Нехай U=Rm, і нехай існує функція V(x) єС](Яп), щ< задовольняє наступним умовам:

1. сі(1у|) < V( jc) < с2(М). сьс2 єК;

2. Для кожного х із замкненої області

Df{ ={х: \ у\<Н, z є і?”2}, (#=const>0)

виконано нерівність на нижню межу похідних V(x, и) в силу системи (14):

inf V(x,u)< 0;

ueU

3. Система x = /q (x) не містить цілих півтраєкторій при t >0 на множині М0,

Artstein Z. Stabilization with relaxed controls // Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Application: - 1983.-Vol. 7.-№11.-P. 1163-1173.

Mo=-jxe£)//: inf V(x,u) = 0, уфО^; udU

. Для будь-яких x0: ¿>(xo)=0, є >0 існує таке S(x0, є )>0, що

I x - xq I<S => inf V(x, u) < 0;

\u\<s

. Існує таке число До >0, для якого кожний розв ’язок x(t) = (y(t), z(t)) системи 14) із зворотним зв'язком

І 2 4~

Uj(x) = —bj —------- ^ при Ь(х)Ф 0; м, (х)=0 при ¿>(х) = 0, і = \,т, (17)

\ь\2

¡о задовольняє початковій умові | }’(0)| < Д0, є обмеженим при усіх t >0.

Тоді зворотний зв'язок (17) є неперервним в Du та забезпечує асішптотичну тійкість множини М={х:у=0} (функції а(х),Ь(х) визначаються формулами (16)).

Теорема 7. Припустимо, що система (14) автономна. Нехай U=Rm, і нехай ?нує функція У(х) є C'(Rn), що задовольняє наступтш умовам:

■ с,([>’|) ^ д) ^ с2(МХ сьс2 еК;

. Рівняння

т п

а(х)+ £ Щ (х) bj(x) = 0 /=1

іає неперервний в Du розв'язок м°(х), для якого множина

M\={xeDH\ Ь(х)=0, уФ0}

е містить додатних півтраєкторій системи (14) з керуванням и= и°(х);

. Існує така функція кєС(Оц), h(x) >0, для якої усякий розв’язок системи (14) і зворотним зв'язком

и,{х) = uf (x)-h(x) b,(x), і = 1, т, (18)

у о починається в достатньо малому околі сіпану рівноваги х=0, є обмеженим по мінним Z.

Тоді зворотний зв'язок (18) забезпечує асішптотичну у-стійкість розв’язку =0 системи (14).

Результати підрозділу 4.2 застосовано у підрозділі 4.3 для розв’язання

іроблеми про часткову стабілізацію орієнтації твердого тіла за допомогою двох

«залежних керуючих моментів [6-8].

У пункті 4.3.1 розглянуто модельну задачу про рух супутника як абсолютно

вердого тіла навколо центру мас в обмеженій постановці під дією реактивних

еруючих моментів без урахування зміни маси. Рівняння руху тіла записано у формі

ійлера - Пуассона:

. Аі — At. . At. — А\ . At — А-1

(Оі =---------¿*>2^3 ^2 =-¿Уj+ и2 > З ~------------------------------&\&)2 > (19)

А А2 А з

VI = со3у2 -со2Уз (123), (2

де а), - координати вектора кутової швидкості; V, - координати нерухомого ор орієнтації; А, - головні центральні моменти інерції тіла; щ, и2 - керуючі момент

що реалізовані реактивними двигунами орієнтації. Система (19), (20) при щ=и2

має наступний розв’язок:

сй\=сог=а5=0, ц=к2=0, у3=1. (2

Розв’язок (21) відповідає стану рівноваги, при якому третя головна вісь інерції ті спрямована по вектору орієнтації. Слід зазначити, що не існує такого керування, я забезпечувало би асимптотичну стійкість розв’язку (21) по відношенню до ус фазових змінних, оскільки в системи (19), (20) існує інтеграл. У пункті З А розглядається задача про стабілізацію розв’язку (21) по відношенню до наступні змінних:

(а*, п, Иг). (2

Такий вибір змінних відповідає задачі про одноосьову стабілізацію твердого тії При цьому граничними рухами є обертання тіла навколо нерухомого ор орієнтації. За допомогою застосування результатів підрозділу 4.2, у пункті 4.3 знайдено керування, що вирішує задачу про часткову стабілізацію:

ґ\ л і і Л

1

щ = со2<г>з------------У2У3 ~

А

ІА — а2 і . . .

——--------1 ©з \+єА1

2А2

1

и2 ~ ~ СО\СО^ Ч-----------У]Гз —

А2

Аі2а~' 1 0)3 1 +£А2 2А\

(2

де є- довільна додатна константа.

Таким чином, зворотний зв'язок (23) забезпечує асимптотичну стійкіс розв’язку (21) системи (19), (20) по змінним (22). Крім того, при використан зворотного зв'язку (23) має місце неасимптотична стійкість розв’язку (21) по ус фазовим змінним.

У пункті 4.3.2 розглянуто випадок, коли керуючі моменти реалізуються паро маховиків. Динамічні рівняння системи записано у наступному вигляді:

(А =(А2 - А3)а>2й)2 +/2&2юз -щ;

(Л2 - /2)^2 =(Лз ~ А)® 1^3 -Л^І^З ~и2’

Л3й)3 =(Л1 - А2)що>2 +і\СІ\6)2 — і20.2со\ ;

/] (Сі] + СО\ ) = Щ ; І2(Сї2 + &>2) = 1*2 ’ (2

де со, - координати вектора кутової швидкості тіла-носія; Оь 0.2 - відносні куто швидкості першого та другого маховиків, відповідно; її, І2 — осьові моменти інері маховиків (передбачається, що А\> І\, А2 > /2); мь и2 - керуючі моменти сил, н прикладені до маховиків. Система (24), (20) при и]-и2=0 має такий розв’язок:

0)у=С02г(Щ=$, Пі=СОПБІ, 02=СОПБІ, Ц=і/2=0, 1'з=1

(25)

пункті 4.3.2 збудовано зворотний зв’язок, що стабілізує стан рівноваги (25) гістєми (24), (20) по відношенню до змінних (22):

и\ =і/21/3 +(^2й,2 +^2^2)<у3 + ЄЩ\ г<2 = — ^1^3 — (^1^1 Л^і)^3 ^®2> (26)

г є >0 - довільна константа.

Ефективність знайдених законів керування (23), (26) проілюстровано в ідрозділі 4.3 також за допомогою чисельного інтегрування рівнянь руху методом унге - Кутта.

В п’ятому розділі досліджується математична модель вузла вітрового двигуна а основі системи зв'язаних твердих тіл (СЗТТ) [1]. Розглянута модель має п'ять гупенів волі і складається з трьох твердих тіл: двох лопатей і вала, що має ерухому точку. Кожна з лопатей може чинити незалежні обертання в пружному иліндричному шарнірі, вісь якого спрямована перпендикулярно подовжній осі ала. Такі циліндричні шарніри введено в модель для урахування пружних еформацій лопатей. Пружні властивості вала моделюються за допомогою уведення :орсткості в сферичний шарнір, який розміщено у нерухомій точці. У підрозділі 5.1 тримано систему рівнянь руху розглянутої моделі:

е <р\, <Рі - кути відхилення першої та другої лопаті відносно площини, що ерпендикулярна осі вала; Т - кінетична енергія системи; П - потенціал сил обового тиску та сил пружності циліндричних шарнірів; Ь - кінетичний момент истеми відносно нерухомої точки; а>= (соі, аь, аь,) - вектор кутової швидкості вала; / - момент сил відносно нерухомої точки; /= (/і, /і> /з) - нерухомий вектор, олінеарний вектору швидкості повітряного потоку. У скалярному вигляді истема (27) являє собою систему з восьми нелінійних звичайних диференціальних ІВНЯНЬ ІЗ вісьма невідомими функціями (ри (¡>2, СО\, й£, ¿Уз, У\, У2, Уі.

У підрозділі 5.2 збудовано систему лінійного наближення системи (27) в околі таціонарного розв’язку:

Розв’язок (28) відповідає режиму рівномірних обертань вітрового двигуна. 7 підрозділі 5.2 також отримано зображення характеристичного многочлена інеаризованої системи у вигляді добутку многочленів першої, третьої та шостої тупенів.

У підрозділі 5.3 досліджено умови стійкості розв’язку (28) за лінійним зближенням. За допомогою використання ЕОМ збудовано області виконання умов тійкості у площині основних механічних параметрів.

І + сохЬ = М; у + соху = 0,

(27)

<Рі= (Р2= <Ро= СОПЗІ, СОі= <3)2=0, СОі = £Ц)= СОїШ ^0, Уі=У2=0, Хз=1- (28)

У пункті 5.3.1 розглянуто окремий випадок, коли коефіцієнти демпфірува? дорівнюють нулю. Для цього випадку проведене дослідження необхідних уь стійкості при достатньо малих значеннях безрозмірних параметрів щ і стік, а>0 - жорсткість сферичного шарніра, кг>0 - жорсткість циліндричних шарнірів результаті встановлено, що необхідні умови стійкості зводяться до наступ нерівності:

^О2 ; 2 А ~ Лх + ~ 2,”/2

* АхУхх-І2г + 2т12) ’

де А\ — момент інерції лопаті відносно осі циліндричного шарніра; ^ екваторіальний та осьовий моменти інерції вала; т - маса лопаті; І - довжина валі

У пункті 5.3.2 досліджуються достатні умови Льєнара - Шіпара асимптотич стійкості режиму рівномірних обертань для моделі з демпфіруванням. Розглян; два граничних випадки, що відповідають досить великим значенням парамет жорсткості матеріалів конструкції.

1. Параметр жорсткості к>0 є скінченим, 1/а є малим параметрі Доведено, що в цьому випадку має місце асимптотична стійкість режиму (28).

2. Жорсткість о скінчена, проте 1 Ік є малим параметром. В цьому випа; при наявності додаткового зв'язку отримано наступну умову асимптотич стійкості, що зв’язує припустимі значення лобового тиску з іншими параметрами:

Т\2{ч8* +^3*)2 +((А1-А2)2 -д2)(5* +(^/г1)2)}

р <----ь-----------------------------------------------і

у2г((А1-А2)2-д2) ’

q = А і + А2 + - ./и — 2ті2, 8* = (а + 2РГ)/(Рг),

де Р - аеродинамічна сила лобового тиску на лопать; Т\, т- додатні коефіцієї демпфірування; А2 - момент інерції лопаті; у - коефіцієнт, що характери відношення обертального моменту та моменту сил лобового тиску; г - відстань осі вала до центру тиску лопаті.

В додатку А наведено формули для коефіцієнтів характеристичні многочлену лінеаризованої системи із підрозділу 5.2.

ВИСНОВКИ

В дисертації досліджено питання про достатні умови стабілізовнс нелінійних керованих систем, запропоновано методи побудови законів керуванні зворотним зв’язком для задач стабілізації по відношенню до частини змінн Розв’язано задачі стабілізації та стійкості для деяких систем твердих тіл. В прои дослідження одержано такі основні результати:

1. Вперше доведено, що для кожної локально керованої системи іс] зворотний зв’язок (взагалі кажучи, розривний), що забезпечує неасимптоти’

гійкість особливої точки. При цьому зворотний зв’язок не залежить від часу, а озв’язки розривної системи визначаються за О.Ф. Філіпповим. Цей результат є статочним. Для лінійної по керуванню системи доведено, що множина точок озриву зворотного зв'язку міститься в деякій гладкій многостатності, вимірність кій нижче, ніж вимірність фазового простору.

2. Вперше отримано асимптотичні оцінки розв’язків модельної системи в ритичному випадку двох пар суто уявних коренів. Показано, що за допомогою цих цінок задача про оптимальну по швидкості згасання стабілізацію зводиться до адачі на мінімум певної величини, що визначається через розв’язки допоміжної истеми алгебраїчних рівнянь.

3. Отримало достатні умови стабілізовності неавтономних систем у термінах ерованих функцій Ляпунова по частині змінних. Для лінійних по керуванню истем запропоновано конструктивний спосіб побудови стабілізуючого зворотного в'язку. Цей результат поширює теорему Артстейна на випадок стабілізації по ідношенню до частини змінних.

4. Вперше доведено теореми про часткову стабілізацію автономних систем за мов існування функції Ляпунова зі знакосталою нижньою межею похідних. За опомогою цих результатів розв’язано задачі про часткову стабілізацію орієнтації вердого тіла двома незалежними керуючими моментами. Розглянуто два випадки:

першому керуючі моменти реалізуються реактивними двигунами орієнтації; у ругому - парою маховиків. Ефективність знайдених законів керування роілюстровано за допомогою чисельного інтегрування рівнянь руху.

5. Вперше збудовано математичну модель вузла вітрового двигуна у вигляді !ЗТТ. Отримано умови стійкості режиму рівномірних обертань моделі по лінійному аближенню. При малих кутах ухилення лопатей і досить великих значеннях араметра жорсткості знайдено необхідну умову стійкості, що зв’язує інерціальні арактеристики моделі з жорсткістю лопатей і кутовою швидкістю режиму. При ескінченно великій жорсткості лопатей і при наявності додаткового зв'язку тримано достатню умову стійкості, що зв’язує припустимі значення лобового иску з іншими параметрами моделі. Встановлено, що при наближенні жорсткості ала до нескінченності має місце асимптотична стійкість режиму рівномірних бертань.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

. Зуев А.Л., Савченко А.Я. Об устойчивости равномерных вращений модели узла ветроэнергетической установки // Механика твердого тела. - 1997. - Вып. 29. -

С. 30-38.

. Зуев А.Л. Об асимптотических оценках решений в случае устойчивости по формам третьего порядка // Труды ИПММ НАН Украины. - 1998. - Т. 2. —

С. 63-71.

3. Зуев А.Л. Построение стабилизирующей обратной связи с помощ

управляемой функции Ляпунова относительно части переменных // Тру ИПММ НАН Украины. - 1999. - Т. 4. - С. 70-76.

4. Зуев А.Л., Ковалев А.М. Неасимптотическая стабилизация управляемых с и ci с помощью разрывной обратной связи // Вестник Харьковскс государственного политехнического университета. - 1999. - Вып. 70. - С.76-:

5. Зуев А.Л. Об оптимальной асимптотической устойчивости системы

критическим переменным // Труды Межд. конф. “Математика в индустри (ICIM-98). - Таганрог: Изд-во Таганр. гос. пед. ин-та. - 1998. - С. 147-149.

6. Zuiev A.L. On Brockett’s condition for smooth stabilization with respect to a part the variables // Proc. European Control Conference ECC’99. - Karlsruhe (German

- 1999. - CD-ROM file fD608.pdf.

7. Зуев А.Л. Применение функции Ляпунова со знакопостоянной производи

для стабилизации по части переменных // Тез. докл. VII Межд. koï

“Устойчивость, управление и динамика твердого тела” (ICSCD-99). - Донеї ИПММ НАН Украины. - 1999. - С. 23-24.

8. Зуев А.Л. Частичная стабилизация ориентации спутника с помощью дв управляющих моментов // Збірн. тез II Всеукраїнської молодіжної наукої практичної конференції з міжнародною участю “Людина і Космос”. Дніпропетровськ: НЦАОМУ. - 2000. - С. 63.

АНОТАЦІЇ

Зуєв О.Л. Стабілізація та стійкість нелінійних динамічних систем застосуванням до проблем механіки твердих тіл. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичн наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка. - Інститут приклад? математики і механіки НАН України, Донецьк, 2000.

Дисертацію присвячено проблемам стабілізації нелінійних керован динамічних систем у критичних випадках. Доведено, що для кожної локаль керованої системи існує розривне керування зі зворотним зв'язком, яке забезпеч стійкість особливої точки за Ляпуновим. При цьому розв’язки систеї диференціальних рівнянь із розривною правою частиною визначаються О.Ф. Філіпповим. Для критичного випадку двох пар суто уявних коренів отрима асимптотичні оцінки розв’язків модельної системи. На основі цих оцін запропоновано підхід до розв’язання задачі про оптимальну стабілізацію. Доведе теорему про стабілізацію неавтономних систем по відношенню до частини змінні Для лінійних по керуванню систем запропоновано конструктивний спосіб побудо зворотного зв'язку за умов існування керованої функції Ляпунова відносно части: змінних. За допомогою цих результатів розв’язано задачі про часткову стабілізац орієнтації твердого тіла двома керуючими моментами. У дисертації збудова: математичну модель вузла вітрового двигуна, досліджено умови стійкості режиі рівномірних обертань моделі.

Ключові слова: стабілізація, стійкість, локальна керованість, зворотний зв’язок, озв’язок за Філіпповим, функція Ляпунова, стабілізація по відношенню до частини мінних, вітровий двигун.

Зуев A.JI. Стабилизация и устойчивость нелинейных динамических систем приложением к задачам механики твердых тел. — Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических аук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика. - Институт прикладной іатематики и механики НАН Украины, Донецк, 2000.

Диссертация посвящена задачам стабилизации нелинейных управляемых инамических систем в критических случаях. Доказано, что для всякой локально правляемой системы существует разрывное управление с обратной связью, беспечивающее устойчивость особой точки по Ляпунову. При этом решения истемы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью определяются о А.Ф. Филиппову. Для критического случая двух пар чисто мнимых корней олучены асимптотические оценки решений модельной системы. На основе этих ценок предложен подход к решению задачи об оптимальной стабилизации, (оказана теорема о стабилизации неавтономных систем по части переменных. Для инейных по управлению систем предложен конструктивный способ построения братной связи при условии существования управляемой функции Ляпунова тносительно части переменных. С помощью этих результатов решены задачи о астичной стабилизации ориентации твердого тела двумя управляющими юментами. В диссертации построена математическая модель узла ветродвигателя, сследованы условия устойчивости режима равномерных вращений модели.

Ключевые слова: стабилизация, устойчивость, локальная управляемость, братная связь, решение по Филиппову, функция Ляпунова, стабилизация по части еременных, ветродвигатель.

Zuyev A.L. Stabilization and stability of nonlinear dynamical systems with pplication to the problems of rigid bodies mechanics. — Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree (physical and mathematical sciences) by speciality '1.02.01 - theoretical mechanics. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2000.

The dissertation is devoted to stabilization problems of nonlinear control systems in lie critical cases. It has been proved, that any locally controllable (reachable) system is lonasymptotically stabilizable by means of discontinuous time-invariant feedback law irovided that the solutions of closed-loop system are defined in the sense of Sl.F. Filippov. In addition, the set of discontinuity points of stabilizing feedback law is nvestigated for affine control system. Such investigation is based on selection of ontinuous branch from set-valued feedback control, defining stable system of differential nclusions.

The asymptotic estimates of solutions of the model system are obtained for the ritical case of two pairs of purely imaginary roots. An approach based on these estimates s proposed for solving the problem of optimal stabilization.

The problem of partial stabilization of non-autonomous system is investigated means of Lyapunov functions having a negatively defined lower bound of derivatives, theorem on stabilization of non-autonomous system in the sense of differential inclusic is proved. The constructive feedback design is proposed for affine control syste provided that there exists a control Lyapunov function with respect to a part of 1 variables. The result obtained extends Artstein’s theorem for the case of part stabilization. For the case of autonomous system partial asymptotic stability is shown be reached under the weaker conditions on Lyapunov function. With the help of the results the problems on partial stabilization of the orientation of a rigid body by means a pair of control torques are solved. Two cases are considered. In the first case the cont: is actuated by jet engines of orientation, while in the second one the control implemented by means of flywheels.

A mathematical model of the wind engine is constructed in the dissertation. T proposed model consists of three rigid bodies interconnected by means of elastic join The conditions of stability of uniform rotations by linear approximation are obtain« These conditions are investigated for the case of large stiffness coefficients. The domai of stability are constructed in the planes of basic mechanical parameters.

Key words: stabilization, stability, local controllability, feedback law, solution in t sense of Filippov, Lyapunov function, partial stabilization, wind engine.