Стабилизация решений стохастических дифференциальных уравнений с частными производными и пуассоновскими возмущениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЧЕРНШЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УН1ВЕРСИТЕТ р f g 0Д IM. Ю.ФЕДЬКОВИЧА

1 1 MAP 13¿J6

На правах рукопнсу

ПЕРУН Галина Мнхайлшиа

Стабшзащя в середньому квадратичному розв'язюв стохастичних диференщальних piBHHHb з частинними похщними та пуассошвськими збуреннями.

01.01.02 - диференц1альж ртняння

Автореферат дисертацП на здобутгя наукового ступени кандидата ф1зико-математичних наук

Чсрн1вц1 - 1996

Дисертацхсю с рукопис

Рс/ота викоишга па иафодр1 диферешиалышх ртняпь Чер»1 венского державного утверситоту 1М. Ю. Фздыгавича

Ирукоиий керншик:

доктор ф)оико-мигематичних наук, доцоит Нсинсъкий Володимир Кирилов ич.

0фпий1п опононти:

доктор' физике математичних наук, проДссор, шсадсьик А11 ВШ Украйни Слюсарчук 1йошш Юхимович; •

доктор ф 1:1 ш со - мат с мат ичиих наук, старший науковий сШвроСНтцик Лкдрсси Микола. ВарфоломШопнч.

Проьхдма оргшНнаШн:

Ктвський нацюнйльний ушверс-итет пл. Тараса Шгвченка

Оахист В1дбудетьси березня 1996 року о /X год. на

оасндаши спе1иал100ваи01 вчено! ради К 07.01. 04 у Чйршвецькому державному ушверентет! ¡м. И. Федыюв'ича ва адресож 274.012, м-Черндвщ, вул. М. Коцмбинського,2, математичний факультет, ауд. 8

3 дисерташею мокна. оанайомитися у науков!й бЮлттши Черн1вецького державного ушверситету 1М. Ю. Федьковичл ,( вул. ЛУкратки, 23 ).

Автореферат роз ¿слано <Ь>° лютого 1996 р.

Вчений секретар спец1алюовано} вчено1 ради К 07.01.04,

кандидат ф18ико-математичних наук, ^

доцент г/.Сь^1 д. н. Оиюп" >:■'

ЗЛГЛЛЬНА ш'лктюжтшл I слити Аю&кцън _гамм. Кзтамя.тичниш моделями багатъг<х «(изичних процесв, аадач мех ан ikii, економпад, екодог11 тсяцо е ршыякя з частшшиыи похлдттми, а еролющйш ртняння огшсують дифу^йнг гфоц^си, якгацз масо - i теплоггереносу, рух в'язко-пружних гередовщ та .'мин. При цьому матеуатичт моиел1 можуть бути як зет'зрмгяорак;, так г стохастичш, тобто з врлхувяниям разного ролу кяпадксвостеП. Якють математичнях моделей визначаеться в багатьох вкпадках погелшкою розв'яскт етоха^тичних ршшнь з частинними аозидштми при великих моментах часу, тому g актуальною задача стаб5Л1зацП розв'язкiв в . середньому квадратичному стохэсткчних дифереишалыгих р*р,някь з частиннигш пох!днймл i з випадковими збуреннями ( BinepiBCbKoro та пуассонхвськсго типiB ).

Найбиья глибоко вивчеш звичайт стохастичн! р1Еняння. Геошя ж стохйс гичних ризнянь з частшчшми тшднкми та з випадковш/л функц:яш1, що еходять в р»внякня, у KpailoBi i початков! умови, гце не в резвинедаи в пошгШ Mrpi. Bona була започэткована в SQ-ti роки ПЛ.Пхмаком i знайилэ свое подальше Biдобракення в працях I .Я-Пхмана, М. 1 .Портепка, В.Л.Розовського, е.Б.Лянкша, B.C. Королька, А.В.Свпцука, [5.Ii.Баклана. А.Еенсуссанз i Ж.-Л.Л'Онеа та полис.

Оя Teopi?. дозьеляе яклено вивчати процеси, шо огисуються стохаспгагкми ршшннямн з частинними пох<дниш при постхйно д[ючих Еиггадкових. збуреннях. П можна застосоЕувати при побудов! математичних моделей piamix реальшп npoyeciB i явшд.

Мета роб arm. Побудова i вивчення асимптотики розв'язгив задач i Ko!ui i крайових задач для стохастичних ргвнянь парабол¡чного типу при наявност! у функтях, цо визначаять ршнянкя, "бtлого шуму" i пуасссшвських збурень.

Чекоди ОоеМдхень. Синтез метод1в теорн дифорешиальних ртнннь, Teopii' ймов1рностеЙ г винадкових. npoueciB, штегральких ртчянь i ма^ематично! физики.

Нацкоба новизна диоертацн иолягае в -одзржаннт умов асишгтотично: cTtflKocTi нулъового розв'язку задач t Когоt ! крайових задач для л1Шйнгас стохзстйчиах р!внянь елмиэлыкя конструкцг i з сетаДковими збуоеннями BtnnptP.chr.oro i

луаесошвсьного тишв;

- нивченн! асимптотики розн'язкхв кваз!лш!йних рЧвнянь парабол¡чного талу;

- побудов! 4 досЛдженн! розв'язку задач. Д!р1хле для гшербсшчногэ 1 парабол¡чного рЧвнянь другого порядку з регулярними } сингулярними коефипентами при наявност! вигадкових збурень.

На зятст виносятъся так1 положения:

теореми про (снуваьшя, зображэння 1 стабшзвцш розв'язк!в задач! кош! 1 крайових задач для спешальних л!ШЙних р!внянь з випадковими збуреннями в!нер1вського 1 пуассон!вського тип1в;

- результата про асимптотику пот дитя розв'язклз задач! Кош! для кваз1л1й1йного р!вняння парабол!чного типу;

побудова 1 експоненвдальна стШкють розв*язк!в регулярних ! сингулярних у прямокутнику ! необмекешй смуз! задач Д!р!хле для р!вняння коливань ! теплопров!дност!, коеф!Щенти яких мютять £!нер!вський процес 1 1нтвграл по шр! Пуассона.

Теоретична I пуактчт ц1нн1сть уоаот полягае в побудов1 анал!тичних розв'язк!в задач! Кош! ! крайових задач та встановленн! умов сгабшзац! I розв*язк!в. Отримат критерп мокуть бута зг.стосован! для доел!дкення'задач тешюпров!дност!, масообм!нних процессе на ст!йк!сть. Результате носять алгоритм!чшй характер, що дае МокливЮть використати ПЕОМ для побудови областей параметр!в,при яких в!дпов!дна математична модель с ст1йкою в середньому квадратичному.

АпробацЫ роботы. Основн! результата робота допов1дались х обговорювались на;

- укра!нськ!й конференд!! "Нов! подходи до розв'язування диференц1альних р!вйянь" ( Дрогобич, 25-27 с!чня 1994р. );

- зпфЗ!нськ!й конференд! I "Моделирование и исследование устойчивости сйстем" ( КШв, 16-.20 травня 1994р. );

- М!кнародН!й пауков1й конференцн !м, академ!ка Кравчука ( Ки!в, 25-27 травня 1994р. );

- м!кнародн!Й пауков1й ' конференщ I, присвячешй 1юм'ят1 Гпнса Гана ( Черн1вц!, 10-15 жовтня 1994р. );

- шгапроднШ науковгй конферетш, присвяченШ 150 pi44ro видатного украшського фюика 1 електротехшка 1вана Пулиш (■ ТерноШль, 24-28 трзеня 19Э5р. );

- першй украшсько-скандтэвськШ конференц'15 "Стохастачн! динаьичш систем«: теоргя t застосування" ( Ужгород, 30 вересня-- 6 жовтня 1995р. );

- республпсанськШ школt-семtHapi з нелш!йних крайових задач матемвтично! ф}зики i ix застосувашга ( Черн1вщ, 9-12 жовтня 1995р. );

- об'еднаному семtHap'i кафедр математичного факультету ЧДУ (Чершвцг, 21 грудня 1§95р. ).'

Публ1кац1'1. За темою дисертацп опусШковако 15 робгт, з них 7 у сп i вавторств i з науковим кер^вником, якому налекить постановка задач.! обговорешш отриманих результата.

Структура I обсяг роСаш. Дисертац1йна робота складаеться 1з вступу, двох роздШв, списку л!тератури t додатку загалышм обсягом 130 сторЧнок. Нумерац1я формул в розд1лах м ютить дв! цифри, де вдрша вказуе помор параграфу а роздш.

У встугп обгрунтованс актуалыисть теш дисертацп 1 проанал130ваш сучасний стан про Оле ми, з яка! написана дисертадхя.

. Нехай задано Ямов1ря'1сний прост 1р 1 пот!к а-алгебр

(Т ь, 4 е С0,Т]}, с Т. На елементах цього простору розглядаеться випадкова .функгпя, що е розв'язком стохастичних дифереящалыт ртшнь.

В §1.1 розд!лу I отрймаш достатш умови асимптотично! ст1й1сост1 I нест?йкост1 в середньому квадратичному розв'язку задач I Кони для стохастичного дкферентального р!вняння споцюльжм' гоЗйструкц!! з простору Кг, функцШ, вишрних при яайж* вс 1х ш до t 1 х в'1дносно о-алгебри борелевих множин на

шюзц'щ, для ЯШ'и-

прп довьтаюму t е [О,?], №(•} - знак математичного сподтвання.

ЗМ1СТ РОБОТИ

00

—со

- з -

Позначимо L2Ri, I - простори функцЧй з скшченною нормою

со

lu(t,x,w)[? = i\u(t,x,b).l |2dr; 2R J

—со

т

. |uft,x,loj|| = j|uft,x,uj|2di;

2T о MJt) = Jf{|uft,x,uJ|£

В SRj, норму вцедемо piBHiCTio ^ T

\u(t,x,w)\z = JMJiJdt для V Г > 0. f j;

Позначимо Q(A,q,p)= > ) де 4 - д1йсна матриця po3Mtpy

ь=о j=o

(n+1)x(mt1складена з елемент^в e Д.

Розглянемо шдпроспр К(Г с Ю1г> для элемент!в якого при дов!льн!й матриц! А мае м1сце включения

Нехай задана стохастична задача Komi для лш!йного диференщального р!вняння з частинними пох1дними

+ Q(B,^,^)u(t,x,w) = (2)

= [QCC.Qff^Mt.x.w^Wtt.wH j[Q(G,'(^,^)f(v)u(t.x,w)Y>(v,t),

да W(t,w) ~ вiнерtвський процес, ( v(dv,t) = v(dv,t) - n(dv)t) -центрована Mipa Пуассона, Iff v(dv,t) ) - U(dv)t, v j IT

Нузалежн! l погодаен! з потоком о-алгеОр ( Т., t > О ).

< с

KptM того, скр!зь надал{ К - Р—^Лзи < .

Шд сильним розв'язком задачi (21,(3) разум 1емо функщы (u(t,x) -- u(t,x.w)-}, погоджену з потоком о-алгебр ( .Тt, t с j 1 току, що майке скр1зь при кожному (t,x) зэдовольнпе рштяпня

t

QU.^.^Mt.x) = CQu)0 + jQ(B,%5,^)u(3,x)da t

о

t t + jQfC,|5.|iMa.x;dFrfe.u; + J iQiG.Jj.gj^fs.x^/fyJv^.cto^

о - о v

ЕНдоитимо, що випадкова функц!я (u(t,x)) не мае розришв II-роду по t, неперервна оправа по t, мае лтвосторонш гр&ниц(.

Для задачt (2), (3) ЕИЕчаеться питания хснування в И(Г розв'язку, S тэкож CTtflKocrt в середньсму квадратичному цього розв'язку при t -* а>.

Теорела 1. Нехай йикоиуюг^ся так( умови: а) корен! многочлена Р(\,1о) = А.Q(A,\,lo) + Q(B,\,iа) при вс1х а задоЕольнпють HepiBHiCTb Rek < ((¡(а) О, причому <р(а) - <» при |о| + со i piBHicTro <р(а) = О ее при а = О. 0) при кожному t е [О,TJ для детерм¡кованого рхвняння ( О = О, ' G = О ) tcHye розв'язок задач! Копи в

Тод1 розв'язок задач! Komi для- стохастичного рчвняшм (2), (3) парабсшчного типу (с Ф О, G ф О) '¡снуе в

Лет 1. Нехай виконана умова а) теореми 1. Тод( для дов1льного а t О i будь-яких дхйсних матриць С i G мае шсце включения

[Q(C,%f,la)H(t,o) * ¡¿&ldy[Q(G,^,la)H(t,a)]] с L2(0,+<») v »

i для норми виконуеться сшвв1днотення

- 4---—~ dA. + 4--? dJ.p^t, = S(-a;.

Теорема 2. Нехай виконуеться умова а) теореми 1. Якщо зир 5(0) < 1, то Ilm Hjt) = О, w(t,x,w) s Q(D,^,^)u(t,x,w)

чри домльшй Д1йсн1й матрицг D. Якщо S(a) > 1 на множиш долатньо! MtpK Л'бега К, то Ilm И (t) ~ ю.

я . р.г

Я §1.^ похiдну замппмо оператором Бесселя В = +'

U-t* х

" р (1

~х~Ъх' х е г'о > Методикою §1.1 показано тверджзння

теорем I 1 2 в простор! Иг вин 1 рних при вси и ю £ I I влдносно о-алгебри борелевих мпожин площини а, х) функцШ, для яких

00 ^

|íf||U('í,I,(J;|2|т °с£Г < (У0 > О) ■ О

з скчнченою нормою, задано» (1).

Объектом дсслгджошя §1.3 в мПлана задача для липйного стохаетичного даференд1ального р!вняння з частивдими пох1днкми та узагальненими крайовими умовами ( пилу функционал!в )

г вхр} 1 дз?>

^-)u(x,t,u)v(v, t), (4)

дхР}

и(0,х) = f(x). Six) е И1г, (5i

<S>jU = О, J = i, 2, ... I, (6)

де i'fA.J, QfAJ, fiiA.^ e многочлени степеня не вице п, Ф^й -- JiiHtilHi не перерви i функцюнаш над вектор-функц!ею и = |u(.r,>,

и(р,(х),..., и(т~' , яка налекить простору )1хг(а,Ь), I = тр з введеною нормою

■«if - ]\вш\г<* * fli^f* Jk^^lS^ ^

а а V ,

Припустимо, що оператор р-кратного диференц'гювання мае дискретный Спектр . причому базис складаеться i3 власнта

функций lh(x), В1дпов1дних цим власним значениям. Розв'язок В1дшукуеться у ВИГЛЯД1

u(t,x,u) = 2 Tk(t,w)lk(x), (в)

'k— 1

Д9 Tk(t,U) - Н0В!ДОМ! випадков! функщ Т. Лели 2. Якщо '

* 2f(v)pk) -

зир ак = , ef п|[гп(г.

- /(у)^Щйи)} = 7, < *«.

(9)

•<ч> майжэ напевно розв'язок u(t,x,и) задач! (4), (5), (в) 1снуе Ч наделить при кожному ф1ксованому I, де

ак = ВеЕ(\ъ), \ = Веа(Ьк). в* =

рл = Р.еН(\к), - ВеНг(Хк).

•Теорела 3. Для стабШзацП в середнъому квадратичному гозр'язку задач 1 (/1),(5),(6) ■ необидно А досить, щоб ликонувалися нер!вноот1 ок < О, к ^ 1 13 Ймов1рн!стю 1 1снували стохастичш штвграли

и + < *<*, к 2 1. (Ю)

ОУ

§1.4 присвячений хснуванню I стабШзацч £ в середньому

квадратичному розв'язку задач1 Д1р!хле для стохасгичшго ргвнлння п-го порядку по 4

(¡+п ' 1 аг дзР* , 1 Эí дз?} ■ ш

< !а,Г —,— Ъ(и)Ь(и,г), ■ (и)

I '1 д1 дз?> Ф.и -О, I' - 1, 2, ... I = шр; (12)

= ф (х), ] = О, 1, ..., п-1. (13)

де ,4, СЭ. Я - диференц1альн1 оператори з! сталими

кооф1щснтами степени (п-1) в!д — I степеня т по..

Зt дз?

Ртш'язок задач1 (II) - (13) також будуеться у вигляд! ряду

(При уморл. ексшжнталыюк ст1йкост» 'нульового розв'язку

°I "лов¡дно: детермшовано* крайово! задач! (11), (12), певн!й

:ладкост! почг>ткових функцгй I виконанш нер!вност1

нульовий розв'язок стохастичжп задач.i (11) - (13) асимптотично

СТ1ЙКИЙ.

Резул.тат цього параграфу июструеться на приклада задач! коливань стрикня, на який дшть "б1лий шум" та пуассон:вське - збурення.

В §1.5 отримано умови стабшзацп розв'язку крайовсн задач, для систем стохастичних р1внянь ч частинними шшдними спец!ально! кснструкцп 13 змгнними коефииенташ В1д просторових ЗМЫНИХ.

Позначимо через G коипактну область в Еп в мекею Г. 2(t) -матриц» з елементами ^S^fUlV^ft/J f де VlJ(t) - нозалекщ BtHepiBcbKi процеси з нульовим зсуво'м i матрицею дифуз11 S Sij, як( узгоджеш з потоком о-алгебр ?t-

В облает! Gf - (0,<oJ х G х fl розглянемо однордау крайову задачу для систем стохастичних р1внянь

$+e[l(Dx))u = ^X(t)Q[L(Dx)]u+£f(v)R[L(Dx)}u(t,x,wXv(vft), (15) u|t=0 = (р(х), Lh(Dx)-u|г = О, 'к=0,1,...,тЕ (16)

\ :

де L(DJ - а0(х), ар } О,

Е(\), Q(\), R(\) - кеадратн1 матриц:' po3Mipy N, елемэнтами яких в многочлони степеня В1ДП0В1ДН0 тЕ, mQ, mR, наприклад,

Q(\) =■ \ а^-УЧ и = u(t,x,w) = colon(u.,..., и),

a(htJ) = cari3t, m = max(mE, mQ, mR), ntJ(t) незалежш mik собою

випадков! функцй, -gjffU - узагальнена пох!дна, 6S.(t) -(S^jdfllj), M(Z(t))2 - S-t, ¡1 - операцхя матвматичного 'спод1вання.

Будемо вважати функщю u(t,x,w) елементом простору 0(0,^)7^^(0), де H2m(G) - шдпрост!р пльбертового простору H2(G) функций сумовних з квадратом з ймов1рн1СТю 1 в нормifL(ü) i таких, що ряд Фур'е по повшй ортонормовашП chctomi зб!гаеться з ймов1рн1стю 1. Норма в HZm визначаетьоя та.г:

!Ц12т = + \1<т(Ох)и\2]с1х. (17)

а

Теореш 4. Нехай:

1) коефЩ1енти належать класу 1 оператор ЦОх)

р1вном!рно елттичиий: | а1^х)а1^ 2 6|а|2, з = сопзг > 0 в

област1 в с Еп, яка обмежена поверхнею Ляпунова Г;.

2) власш числа матрщь Е(КЛ) аадовольняють нер'1вн!сть Ке$(\к) ^

т5>

^ ( к = 1, 2, ... ), а норма матриць, Шднесених до

квадрату елемент!в

(2)™ (2) Ак = [ЗЯ^^'М^^^О^)] + Е(\)Г'] вя,

V и о

к = 1, 2, ... строго менша одинищ, индекс (2) означав Шднесення до квадрату элементов матриц^, с0 > 0, 1 - единична матриця;

3) початкова функщя <р(х) належить класу Я2™(С).

Тод1 ¡снув ! единий розв'язок крайово! задач1 (15), (16), налеятть класу Н2™ I асимптотично стойкий в середньому квадратичному.

У §1.6 1 §1.7 проводиться досл!дження розв'язку задач} Кои( в облает! Схт = П{4 Т) х П, де = Н0,Т) х Еп,

{ О < Т ^ <« ), для квазшн1йного парабол! чного р!вняння

^ £ ак(1,х)1ри(1,х,ы) + ьа,х,и(г,х,1о)<Щ£^ +

,1>)и((,х,и)у(и,Ь), ( > О (18)

V

П(£,.г,шЛ . . =■ <р(Х,ш), (19)

Нас ц / кавить ; снування майже напевно асиштотична пттйшеть при 1: ► да р, сер?;шьому квадратичному розв'язку задач! С",), (19) за нормою

|uft,x,u)J|i - [Г tff|urî..r,(j;|^Jcir]2, (20 j

2 E

n

Teope.xi 5.( про ¡снуЕанвя ) Якщо виконуються умови теореми юнування фундаментального розв'язку Z(t,%,x,y}') В1ДП0В1ДН01 двтерм1новано! задачг у uiapi П,, початковасфункшя <p(x,w) ç

€. L- i для довиьних /(ft,х.ы) i f?(t,x,u) в L2 справдкуються

upptbhoctt

\b(t,x,f.)if «c i + If.a.xM)^ , (21)

2 2

\blt.x,tz)-b(t,x.T,)\l^ « L0 > ^

'ЮД1 icuye i едшшй з точшстю до стохасигшо! окв1валентност1 розв'язок, для якого справедлива нершнють

luft.x.uj^ sfcflcp^+n, (23)

до k залекить Bifl с, .С, tQ, 7.

Теорема б. Нехай виконуються умови теоррми 5, для Z(t,%,x,y) виконуеться отнка а .функцН lui.x.u) i

p(t,v) задовольняють умови

кр!м того,

\b(t,x.f)ïr $ q(t)\r\j , (24)

2 2

JçfTjdx = J|qfxj +

•dt < +oo.

о 0

Тод1. нульовий розв'язок задач: Koai (18), (19) e стгйким в середньому квадратичному.

Якщо. для функшй b(t,x,u) i p(t,v) виконуються умови теореми б, а для Z(t,i,x,y) nipna ощнка (}*г)*), Т0Д1 нульср.ий розв'язок стохастично ! - задач! Суде, асимптотично оПйкий в сэредньому квадратичному, тобто

Ни \u(t,x,w)[* = О. (25)

t*x> - 2

ВластивЮть 2т-то моменту 1нтегрэла Biiiepa-lTO привела до досл1дження шведпши 2т-го моменту розв'язку зпдпч) Коип для квазШн1йного ргвняння в §1.7.

*} Эйдельман С.д. Параболические системы. - M. - {¡пука. - 444с.

- ю -

Теорема 7. Якщо фундамептальний розв'язок х,у)

задовольняв умову (к*), а для Ъа.х,/) справедлив! нершюст! (21), (22), то на (О,со; ¡снуе розв'язок задач! Копи, для якого справджуеться ощнка

I

Mt..)l2m < Ст([Ф|2т + 1~2)ехрШт>. Якщо ж для ьа.х.Г) виконуеться нер'шшсть (24),

да .

де q = < <*>,

о

то-Г

Яюцо к для Z(t,x,x,y) виконуеться оц!нка (Х*г), то розв'язок е всимптотично стойкий по I норм'1 I вгрною е (25).

У §1.8 для липйного стохастичного парабол!чного р!вняння !з збуренням типу "б!лого Шуму" побудовано розв'язок задач! Кош! ! видглено функц!ю Гр!на як ядро оберненого оператора.

В облает! й,Г = [0,Т] х Еп х £) розглядаеться задача Кош!

• й ^(1,х,и) = [А(г,1)х)и(г,х,ы) + ;а,х)]ар +

+ ]ва,Бх)иц,х,ы) + ва,х)]ста,и>} ■ (26)

u(t,x,ы)\i=0 = (Р(х), (27)

де Аа,Т>х), В(г,йх) - диферентальн! многочлени виду

•

/И,х), 5(1,х), <р(х) - детерм1нован1 функЦП.

Теорема_а. Якщо коефнценти многочлен!в АЦ,Ох) 1 ва,Ох)

неперервнг функцп по г t виконуеться умова

НеЛ(я,ии / р1т(В(а,1а))г <-а,|о|2Ь + с,, (28)

ТО з Амоп!р1Потю 1 гснус фут * и я Гр!на аи.х.ы); яка мпс атошлячпий дафрррптнл но I 1 похщи по х. 3 Гг доппмогою рпяя'яяок г."1яач! (':в 1. I ГУ) ризипчаетьоя за фюрмудоп

а о Е

ь

- + (29)

О £

к

' якоо Ц) € 1?Ь(Вп), / С^ГШ, Ва,Ох)('Ц,Х) с С^.'П), то для нйрмк розв'язку

= ^Г аир|Ш)*и(Ч,:г,и)>| ,'к;.<2ь п

виконуетъся нерпзт "ть

Нкщо ж ф $ ), ю

1 п

. .,<• !

а С1 ь (|<р|2ь + ¡л„ * к * (31)

де !Ла = !/1с ' (¡>а = ««Р Ру^'И* М

1По1Т)п

!/1 Г|: ^ £

У П роз,й!л1 розглянут? сто.хастнчн! «одел1 задач для регуллрних 1 сангуляриих рпшянь матеыатичнэ! ф!зики з В1нер!ьсы:им1! 1 пуассон'воькл.ш аЗуреннями ь коефмизитах при наймолодших пох 1ДШ1х ! ж-тормтовапимн початкэвими уморрми I отриман» -достатн! умоьш експоненньчлыю: еийкост! и •^•диьому квадратичному розв'нзкт ¿етзркпнованнх 1 стохяотич'чи зяляч коливачь I топлол]юй1дност) .

У регулярному випадку вивчакться;

г

I) про«9о.хо,тазакня струга (§2.1), що ошсуеп/ш рп'няиням

§ - ^ - • Ь - < ^ь».» ■ о

v

1 характеризуетьсл крпйоьими * псчатковами умчпям^

\no.t) ^ иц.г) = о, í » о (33)

и(х,0) ^ <р(х); и^х.О) = <\>(х). (34)

Нехай початкова функция ц>(х), визначвна на [0,11, маз куоково-неперервну 3-у похгдну, причому <р(0) - (р(1) = О 1 Ф"(0) = ц>"(1) = О ( належить класу КС3 ), а початкова функтя $(х> е КС2, то ¡снув класичний розв'язок детерлновано! задач!. Якща коефхщенти р!вняння колнвань задовольняють умсви

1С2 й2

а-

то Кого розв'язок е експонанщально стойкий, тобто

< * фг+ г)ехр(~ Л^М *

I

У припущент, що розв'язок детермшовано! задач'! экспоненциально ст»йкий I для козфтгент¡в стохастично! задач! виконуеться умова

(3 > О, (3* = ^ + т - ^ > О, р, = аГ1/0*,

40

2 + ¿1П

Ч V2

'-(IV

< 1,

розв'язок стохастично! задач! також експонегаиально ст!йкий з параметром а > О

дв а =г Щ -аг

11) Задача Дар1хле..........для..........стохпстичяого р!вняння

теплопроводное?! -(§2.2}

!<рлй01?имц учситми

почптковою

дз?

+ ггк.г, I ,<,)) | /а> )Ь(о,г)

V

ч(0. с ,(■>) - ч(1 Л,ы) = О иц\0,(1>) - ф(Х).

(35)

(36)

-

Розв'язок детермшованого р!вняння теплопроводное?! мае поидн!, що входять в р(вняння в замкнешй облает» ( О £ х ^ I, О < t $ Т ) t задовольняе умови (36), (37) при довиьнШ кусково-дафарощ1йован1й функцН ц>(х), що перетворюються в нуль при х = О, х - I. BtH е завжди експоненщальноОзт'!йкий, бо його Ьг - норма задовольняе нер!вшсть

lu(x,t)l $ exp(-cf^t)l<f\

Достатня умова експоненшально! cTiflKocTi нульового розв'язку стохастично! задач! в термшах • коефипент^в s власних значень мае вигляд

■

А =

причому

- [ь2 * С2| < (38)

да а - -А.

У- сингулярному випадку вивчаються: X) процес коливань (§2.3)

• ^ * < - ♦ S2u^(vfv(v,t), (39)

да

В =' + ( к = 2v * 1*0)

ду У ду2

з початковими умовами .

u(x,y,t)\t=0 = ц>(х,у), gy|t=0 = ty(x.y); (40)

'крайовими по х u(0,y,t) = u(l,y,t) = О, t,y > О (41)

по у: а) випадок: у с tO,R) ^I^O.uj^O (42)

б) випадок: у (. 10,+«,) щ\у=0 -

(43)

Введено в розгляд простори функшй L , у яктх .функци

f(x,y) визпачен! t негарарвш на СО,11 х 10,R1 у точках О, I, R

приймавть нульов! значения з аОнченою ваговою нормою

ir i

íffl/CxyJlVdycir]2,

або визначених на [0,1] ж [0,со] з нормою

Zoo I

\f\2 г = [fjl/Гх.уЛ V^)2-

в1дн0с110 початкових функщй ф i ф оудемо пршускати, що вони розкладаються в абсолютно t р1вном!рно збЧин} ряди Фур'е за власними функцiкми крайових задач у вштадку а), а у випадку б) 1снуе паретворения Бесселя по зм!нн1й у. Розв'язок крайових задач будемо шукати методом роздиення зм!шшх. а) Якщо коеф'!Ц1ента в1дпов'!дного (39) двтермтованого р!вняння зэдоеольняють умови

в > О, ^ + т + [Í<v)2 - £ > о, (44)

г а

то норма розв'язку задовольняе нер1вшсть

\u(t,x,y)\SiltR « * ^}2ехР(- 1Ф» + 1Ф|).

да Рп = з( У + % + - % + »¡V>2 - наймэтшо

власне значения в1дпов1дно! крайово! задач!.

Для стохрстичноi задач! (39) - (42) виконання нертгоси (44) i умови

< 1 (45)

с достатнкпи умовою для експоненц!ально! ctíAkoctí тозя'язку :тохастич1го{ задач!, причому

• -

хехр[-(Щ - Лмк](8ср{2 * |Ф12].

г 1

С) Отримано аналопЧН1 умоЕИ ст1йкост1 розв'язку детермшовано! г стохастично* задач при у € (0,ш). Аналогом уыоеи (44) для датерм1н0ван01 задач I е вяконанля нер1Вност!

£ > 0, -- + 7 - % > 0. (46)

I" аг

Г г. л стохастично I задача (39) - (41), (43) при влконанн! сп!ВВ1ДНошення (46) отркмуемо залзхнють М1Ж коефщгентами I власними значениями для експонентальжи ст1йкост! розв'язку

■Ф'1-5)

< к

(47)

тоСто

да

(иге.х.у.ыл^) ♦ < + -¿- * р,1"

• V. ) ■ • 1 1 а р{

хехр[-(& - ¿,и](|ф.|2 ♦ |ф|2).

II) Мшана задача для стохастичного сингулярного рчвняння тетгапровхднсст! (§2.4)

+ + си(х,у,г,ы)^(и)Ь(1\г) (48)

з початковою умовокг и|= <р(х,у), крайовими умовами и\х.0 ~ и\х~г ~

(49)

а гакож:

а) Цу=о = 0' (51)

б> Ш\ -О- И [О.+оо). (52)

у \у=0

Сл'!д В1ДМ1ТИТИ, що розв'язок в!дпов'!дног детермшовано! задач! е ексноненщально ст!йкий як у випадку а), так 1 б), а) Розв'язок стохастично! эадач1 (48) - (51) буде ст!йким за умоги

,21с2

А

+ (53)

2 3 -2 де а = а.у21 .

С) Умовою спйкос'Л нульового розв'язку задач! (48) - (50), (52) я нер1вшсть (38), при виконашп яко! справджуеться ошнка

Д6 - а2^.

В останньому §2.5 отримано умови асиптотично! ст!йкост! нульового розв'язку задач! Кош'! для зл!ченно! систеии звичайних стохастичних р1внянь, до яко! можна ввести задачу з частинними пох1 дними та наведено приклад.

ОСНОВШ РЕЗУЛЬТАТА I ВИСКОВКЙ

- Для л!нIйного ' р!внянння специальноI конструкт коеф!ц!енти якого м.ютять "бишй'шум" 1 пуассошвськ! збурення, побудовано розв'язок задач! Кош! ! встановлено умови зсимптотично! стгйкост! нульового розв'язку в середньому квадратичному;

- отримат необХ1Дн! ! достатн! умови стабшзацп розв'язк!в м1шЗно5 задачI для р!внянь !з сталими коеф!ц1ентами 1-го порядку по t та узагальненими крайовими умовами;

- встяновлеш умори псимьтотично! ст1йкост! нульового р'ПШ'Яику ЗПДП'И Д1р1ХЛ6 ДЛЯ стохастчного р!ВНЯ1ШЯ п-го порядку гу ! 1 результат застоговано до моделью! задач! асимптотипио»

стабиизацм стрихня, на лкий дшть "бхлий шум" I пуассон1всыл збурешш;

- док дено теорему про 'юнування I асимптотичну стхЙкЮть у середньому квадратичному розв'язку крайовт задача систе.та з'! ЗМ1ШПШИ коеф1Щр,нтаки спецхального вигляду з багатьма просуоровими зм1нними;

• для квзз1Л1Н1йного дифоречщалыюго ртвнятт ийрабол;чног6 типу ы змпшими по I 1 .г коефшюнтами отримано:

- умови стабиизацн розв'-язку в середньому квадратичному

2-го момонту резв'яку задач! Ко:л! при наавност: "Сьчего

"шуму" I луассошьських збурс-кь,

повод ишу Эт-то школу ¡.^ъ'яжу при. нйя&нос?!

неперервних збурень ( "би:ого г:уу.у" ).

- отримано зображетшя розв'язку задачI Кош: за дэнсмого.-о функц.; I Грша для лппйного стохостичного р1вняння : проведено оц:нки п.охIдннх розь'язку в специальному нормованому простор!;

- отримаш умоьи експзненщалыю! ст!йкост1 розв'язку однорхдних задач Д1р1хле для р!внянь коливаиь 1 теплопромишост! з сталями коефшенташ I одншю просторовов зшнкою;

- для задач! Дхрххле з оператором Бесселя доведено теороми про окспоненшалъну спШасть розЕ'язку в сарэдньому квадратичному в прямокуттй облает! 1. необмекешй смуз1.

Основной зж1сп дисертпацИ в1додрихено в аяошях ггл__п&зс.г

6сзщ<га1н6ъкш: I лУююродиих конфер&сцЫ.

1. В.К.Ясинский, Г.М.Перун, Стабилизация решения сгохзсти -ческого уравнения колебаний с оператором Бесселя при наличии пуассоновских возмущений //Укр. мат. курн.- 1990.- 42, М 7 .

С. 974 - 978.

2. Г.М.Перун, В.К.Ясинский. йсследов«ят задачи Коши д.г.л 'стохастических уравнений в чеетн;-л арох:-;.'.,-жх //Укр." мат. журн.- 1393.- 45, N 9. - С. 1259 -

3. В.К.Ясинский, Г.М.Перун, о «ггвашг-тзв! решенля задачи Дирихле для стохастического ураеиыегл тешюгфоводяоети с разрив-нпми траекториями и оператором Бесселя //Кибернетика и вычислительная техника,- 1991- -М 91". - С. 19 - 25.

■I. В.К.Ясинский, Г.М.Перун. Асимптотическое поведение решений счетннх систем стохастических дифференциальных уравнений с разрывными траектория?^ //Кибернетика и вычислительная техника. - Т993. - N 99, С. 31 - 32.

5. Г.М.Перун. Задача Кош г для скотулярпих стохастичних р1внянь з частинними похшшш /Лнтегральн! перо творения та IX застосування до крайових задач: 36. наук. пр. - Киш: 1и-т матем. АН УкраПш, Т992.- Ьип. 1. - С. 144 - 149.

6. Перун Г.М., Ясииський В.К. Стабшзац!я розв'язк1в л1н!йних стохастичних рхвнянь з частинними похшшми // 1нтегральш перетворецня та ':•:: застосування до крайових задач: 30. наук. пр. - Ки г в: 1н-т матем. АН УкраПш, 1993,- Вип. 4. -С. 145 - 152.

7. Г.М.Перун. Про стабшзацш рсзв'язк1в крайово! запч! для систем стохастичних р!внянь з частинними гашдними /Лнтегральн'! перетворення та ¡х застосування до крайових задач: 36. наук. пр. - Ки1В: 1н-т матем. АН Укрз!ни, 1994.- Вип. 7. - С. 191 - 198.

8. Галина Перун. СтаОшзацгя в середньому квадратичному розв'язк!в задач! Кога! для стохастичного ршшшя параиол!чного типу при наявност! пузссогивських збурень /Лнтегральн! перетворення та IX застосування до крайових задач: 30. наук. пр. -Ки!в: 1н-т матем. АН Укра$ни, 1995.- Вип 9. -. С. 229 - 236.

9. Перун Г.М. Задача Кош! для стохастичних парабол!чшгх р!зпянь з в!нер!вським процесом ! м!рою Пуассона //Нелинейные краевые задачг' математической физики и их приложения: СО. науч. тр. - Киев: Ин-т матем. НАН Украины, 1994. - С. 154.

. 10. Г.М.Перун. Про I 2та-ст!йк!сть розв'язку задач! Кош! для стохастичного кваз!л!н!йного парабол!чнсго . р!вняння // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: СО.науч.тр.- Киев:' Ин-т матем. НАН Украины, 1995. - С. 204-206.

11. Ясинский В.К.', Матийчук Г.М.(Порук Г.М.). Стабилизация решений смешанной задачи для стохастических уравнений колебаний струьн и теплопроводности при наличии пуассновских возмущений .-Чергютпд. ун-т. Черновцы, 1983. - 14 с. Деп. в УкрНШ НТИ ОУ.02.88, Н 372-УК80.

12. В.К.Ясинський, Г.М.Перун. Ста01л!защя розв'язк!в

лхшйних стохастичних рхвнянь парабол!чного типу //"Нов! Шдходи до розв'язування дифэреншальних р!внянь" ( Дрогобич, 25 -- 27 с!чня 1994 р. ): Тези доп. - К: 1н-т математики НАН Укра1ни, 1994. - С. 194.

13. Перун Г.М. Про стаб!Л1зац!ю розв'язк!в задач! типу Д!р1хле для • стохастичних парабол1чних рхвнянь //Украшська конференция "Моделирование и исследование системы" ( Юпв, 16 -20 травня 1994 р. ): Тези доп. - К.: !н-т матем. ! кЮернетики, 1994. - С. 103 - 104.

14. Перун Г.М. Задача Кони для стохастичних парабол¡чних р1внянь //Третя микнародна наукова конференция 1м. академ!ка М.Кравчука ( Ки!в, 2-5 - 27 травня 1994 р. ): Тези доп. К.: 1н-т математики АН Укра1ни, 1994. С. 92.

15. Перун Г.М. Про задачу Копи для стохастичних сингулярних рхвнянь парабол!чного типу // Шжнародна математична конференцхя, присвячена пам'ят1 Ганса Гана ( ЧерШвщ, 10 -15 жовтня 1994 р.): Тези доп. - Чершвц!: Рута, 1994. - С. 119.

Висловлюю щиру подяку нпуковому Кер!В1ПШУ Володишру Кириловичу Ясинському.

Перун Г.M. Стабилизация решений стохастических диф^ерен-Щ1альных уравнений с частники произведши;: и пуасснонскими Еозмущениями.

Диссертация на соискинпе ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения, Черновицкий государственный университет, Черновцы,

Защищается 15 научных работ, которые содержат условия стабилизации в среднем квадратическом реиений задачи Косм и смешанных задач для линейных уравнений специальной конструкции и квазилинейных уравнений параболического типа. Получены условия экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом в терминах собственных значений краевой задачи и коэффициентов уравнения задач Дирихле для стохастических регулярных _ и сингулярных уравнений колэбанзй и теплопроводности.

Perun G.M. Stabilisation of solution of stohastlc equations with partial devivatives and Poisson's disturbances.

Candidate of Science Thesis ( Physics and Mathematics ) specialization 01.01.02 - differential equations. Cnernivtsy University, Chernlvtsy, 1996.

The 15 scientific works are protected, which concerns conditions of mean-square stabilization of the Cauchet problem solutions, combalned problems for linear equations with special structure and quasillnear parabolic equations. The conditions of exponential теЧп-square stability have been obtained in terras of eigenvalues and Dirihle problem coefficiients for reaular and singular equations of heät conductivity and vibrations.

Ключов! слова; стохастичне диференщальне р!вняння, в!нер1всысий процес, Mipa fijaccona, задача Koni, крайоьа задача, експоненщальна ст1йк1'сть, 'стхйкють в середньому квадратичному.

1995.