Стабилизация решений внешних смешанных задач для одного класса эволюционных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР Ордена Ленина Сибирское отделение Институт математики

На правах рукописи УДК 517.95

КАШТОНОВ Борис Викторович СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ ВНЕШИХ СМЕШАННЫХ задач

да одного класса зжжциоиж систем

01.01.02 - дифференциальные уратаевия

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1990

Работа выполнена в Институте математики Сибирского отделения АН СССР

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кажихов A.B.

доктор физико-математических наук,

профессор Коновалов А.Н.

j

доктор физико-математических наук, профессор Муравей Л.А.

Ведущая организация: Математический институт им. В.А.Стеклова АН СССР •

Защита диссертации состоится "_" _ 1990 г,

в_чаи. на заседании специализированного совета

Д 002.23.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики СО АН СССР (630090, Новосибирск, Университетский пр., 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институте математики (X) АН СССР.

Автореферат разослан "_"__.1990 г.

УченыЯ секретарь ,

Специализированного совета

иря Института ыамшамки СО J^H СССР

ж.ф.-м.ы. В*€.Бедоаосов

' г'

■ДЭЛ

ртацин

Пусть в неограниченной области £2 с Я" переменных а:-»Слгх,^с„) задан сильно эллиптический оператор )

порядка ¿£ . Рассмотрим в цилиндре О, * (О, Г) начально-краевую задачу

гдо 5 - граница С2 , а - граничные операторы, обеспечивающие однозначную разрешимость (I) и невозрастание полной энергии.

Исследования поведения при больших значениях времени решений и(х, ¿) задачи (I) для различных £ и являются одной из важнейших проблем качественной тоор,:д дифференциальных уравнений с частными производными. К этим исследованиям относятся задачи о рассеянии акустических, злектроиагнит-ных и других волн на препятствии и на потенциале, задачи о перераспределении с возрастанием времони энергии эволюционных систем, обоснование принципа- предельной амплитуда, заключающегося в том, что решения неоднородной задачи (I) с периодической по. зр-змени правой частью выходят с точением времени * на колебательный режим. Изучение асимптотических свойств решений задачи (I) представляет не только самостоятельный интерес, но и важно в ряде вопросов прикладного характера.

Данной тематике посвящено большое число публикаций. В случае уравнений с постоянными коэффициентами всем пространстве соответствующую} задачу можно решить и исследовать яв-

кую формулу. Для операторов СС с переменными коэффициентами (или С - Я" ) ситуация существзино усложняется. Наиболее полные роа^-.ьтати получены дяя случая 2 * - Д» (Л,, - оператор Лапласа по переменным .х1л) и О. - вновность компакта. Остановшлся на работах, имездкх принципиальное значение для понимая.:я сути проблемы.

Лаке П. и Фшшшс Р. в [I] (си. -также [2] > рассмотрели смешанную задачу для волнового уравнения во внешности ограниченной области в Л3 , на гладкой граница которой задано краевое! условие:а - 0 . Б этой работе исследование поведения при Ь -» »о решения и (сс, £) связывается с изучением спектральных свойств оператора ~ , как оператора в . Убывание локальной энергии (т.е. часта сперши. заключенной в ограниченной области) ро:шкия, построенного по финитным начальным данным, выводится из того, что оператор - Д3 не • имеет точечного спектра.

Муравей Л.А. в >3] рассмотрел основныв краевые задачи во внешности ограниченной области из Я" с гладкой границей для возмущенного волнового уравнения - гиперболического уравнения второго порядка с зависящими от ее коэффициентами, совпадающего с волновым уравнением вне некоторого шара. Им доказана*стабилизация при 1-* оъ решений (при 2 стабхяи-5а;и;я к нулю) в любой точке ос € . Этот результат. был получек о прквлочоняьи тауборовых теорем типа Карамата, что потребовало изучения поведения в загнутой полуплоскости {Д-г к >0} комплексной плоскости решения IЦх%к) соот-ветотвуицей задачи для стационарного уравнения

~2(х,7)х)1Г + к1 и = а^/а:) - £

дополненного подходящими условиями излучения на баскоиечяое-. тн. Установлена аналитичность <Мх., к) при С3щк>0 ва исключением - в случае четных п - точки к*0 , где она шлает догарифмачэскуд точку ветвления. Огсвда, в частности, вытеяач ет отсутствие точечного спектра а /г у соответствующего оператора,

Еодае полков иьучзнио аналитических свойств функция й к) (точнее сз аналитического продолжения в часть нищей полупюскооти) шакшшх не только доказать стобюш^-

циа решений ностаздонарной задачи, ю и изучить

скорость стабилизации. В той же работе £з] Муравьем Л.Л. отмечено (вторая краевая задача для исг -.довадась

также Бабичем В.М. в [4] ), что функция ьг(х, к) дг -ускаот аналитическое продоляенпо в нжш» полуплоскость 13тк<о) (в обла сть С - Я/я < плу к < О} и I К < '] << * * ^ } в слу ча о четного 1 ) за исключением но болео чом счетлого множества изолированных точек, _ являвднхея ее полисами конечного порядка, Поэтому, опуская в нижнюю полуплоскость {3гу>к<0} контур интегрирования в формуле обращения преобразования Лапласа

и«х, и--, {е1** <1<х,к) ¿к,

)<*о£ >0

можно получить для функции ¿) при Ь -* ор представ-

ление

где ß - произвольное положительное число, ir- - полюсы функции if из полосы <J/» к < О , - их кратность (первое слагаемое отлично от нуля только для чо лшх /I ), Таким образом, изучив расположение полюсов функ"...ч tSlx, а-) (и ое поведение в окрестности особой точки fe^w/ в случае четного п ), из представления (2), можно вывести скорость зтабилизагши решения ¿) » Следует отметать» что ото?

г/ть изучения скорости стабилизации является аналитически зесьма трудным и в настоящее время реализован для некоторых адккраткых операторов t£(x, ©д-) при определенных предположениях на границу о . препятствия £ " 4 Q (если Q t Яь ), ■.вязанных с физической сущностью исследуемых задач. •

Первый результат в этом направлении бнл получен Ладажзн-«ой O.A. в [5] для X - - Л } + i (ос) , £2 - Ц* , <цх)-= 0 при %0 (в [6] условие, финитности змоиоао экспоненциальным убиванием). Для краевкх задач опи-

caiiusü метод применялся для ¿f/üf, „ , п-2, j . В

продналоге.'/ч, что граница области О. с-тоет поло-отельную .¿уссоцг кривизну, Михайлов Е.П. ( f7])доказал, что псшжи функций Грина второй и третьей краевых задач для уравнения Гельмгольиа лека? mute прямой än, к ~ при некоторой у >0 и для решают u«x,t) нестационарной задача еяравадешо при 1-* <*>представление и = , При /? основшге смошанныэ задачи для волнового уравнения нсслодозакы Муравьем'Л.А. ( f8j ~ [lüj ) в вредпологонии, что контур S * строго кгщтаай (вторая смешанаак задача ие~ . слэдошлась гавдз s [lijj Ba&raou В.М.). Доказано, что полосы функций Грпка соотвстстгусхлх краевых задач леаат икав кривой Cm k *-y('J*-lz>.kl<!i) t "¡¡>0 , и поведение рз-шэкий иостационаршх задач ш>лкогтм> определяется свойствами функций Грина в окрестности особой точки к'О (т.е. пор-еш слагаемым в (2) ), спуда, б частности, следует, что ско-рэсть у&гания рзягьпК пр.; oj не t,;or.oT быть сыстрео столичной. В paöotcx [5] ~[Ю] дается обоснование принципа ПрЗДШГЬНОи амплптуди к приводятся тот;ш6 оцонк« скорости ва«. 20цй psateituü ивокнородлой зада-ш с периодической по t крагой часtlt. «а иурмодичееккй peiutw, Оплатим, кто ыхврзыа «тот ¿рпнц'лп сил сформулирован к обоснован для волнового уравнения ~о бос;л пространства Гихоковш А.11. и Самарским A.A. е [12].

Уетмй госаотр^гэокого характера ка х'ганщу (поло-. :..;;тельноо?ь rayccosoa кр'шизны дпл = 3 . строгая шпук -лзсть контура ) прсяятс1вия >'i" vQ. надвляит fco

:«saaa с^оиетшм - повэрза«ость 6 яьляотся страггстелагл в с:,цело пр aßt донного 1эткз ощюделгшж (си. [2j ): Щсл, И>0 '¿$чого, ч'.'о ¿' £:{1г|ч(';]--Вс • из.шкдой точгеи s

-iixi-R.) i направлении J (?{■= д » uaiycTita луч, кото-г.ь:й8 если вотрочаот S , отре^аотся ст пае по взкоиа*« z-oo-t-i'iTp'44oci:o.u оптики. Обозначим 'iccso C(o:tS) ддкну »гасти ду-"Л. лежзпей г. £1г\Вп , йолошэа ii^Jl, г

ОлвЕуя Иурарьэ , t:?.sou3M oTp.-saäSüüKi,

f/5) < <w> , а езлн £('£■)- са , ^ ¿:оьуйеоя. Ясно, что сгри-го кдгуклая граншха яеллэтся отралзтемшм. В [й] ¿показана г:редпоАо-!екиз, Ч'?о есля-грлшща 6 лрзххатегыш говуса», то еноргня, с'акизченна« в ограничашгой оолаотл

S

S¿ П tía ко ^т стремиться к |?уло рзвкомэряо по о'гкошвншэ ко всем рзш-зкиям о одннл'пюЛ -жргнзй F, начальна?«: данными, разнима нулз Biro (подход v. построении cooTBOTavByxsnero

примера оодоряэтея в Гхз] h Пийтга сховлчй, в эяся о/"ПДО оцоккэ

- ••

всох р<жзнп2, кгчядыиш рдлкпо î;o?ophx сбрзаа--го:; з нуль вне о ^

3 случае я-зрго;1 с:.«мпншс2 задачи .ллл 'хрпгшриого полкового ураг-ленкя so jîac^tocYH г-гтани^'^З згзздно?! ойд^отл ¡íops~ »sti К, ( [l4j ) продл'оккла инле caocoó получгчкя сцйнок сково-i?:î стабилизации пр:; t pzzamti*, va ззлзтшнй с поолэдо-зангшг расположения гглзооз фунтам Гржд «гадшмарн»* ?алач:ь ianoHHffis, что 3to34Hcc?5 область В 4 Li (откссч1»п>нз :а*<алз ксордниат) оэначзе? виволигг-кэ ?.'ч ín грзгдгз? .5 норэ-'0НС-Т2? í\x,í) s О Pje¿S, ч - едашпнал ysryrpcur": л-v.-í 5 rorçaï:-., Очавгуиго» что грзижа изездно:! cd^ßcn; от-

чгггтелям,

Ирол-ТЕопС'ККйй !лорлпод It, иет--д г:кпгот:ггзз-

'лк оценил, з acuoso кз-горнх спсикалы«'.! «¡moa coitpaHc-'кя. Эхо? ганэп сохранная нигвадзт «s moapBaK'tiofiTs о »звнокиа огпссительпо 0.т{?парг»!зтрс-:ссг.0а rp;-;;si: -

э&::п;3. - p'îccjnRii;:?! по

Ha^fiwsß fl-lj cjiî-u^ "uopcoi-.; yi-т'и.ит ро:лгнг ; (t v-)

d>: К, ( s лругс-го г-с:?*- rneneno erso-

- •.•аг^л^'кего í " .'л, - , С 14 • /г-1 ;; Í£3Í a ПО":';-

Уа пр-с^рэс .

р-г-'у ГЧ Г Г." Г/Sj ote У^ПГ'Г':^ -v:r¿ ■

?f3 .ir.-ï n - Л окп::-гг~'С.'л~¿ pc."v»

::л "■"¡г-'ол 3';"î4.f ií.'m во.гг'—сго :yr¿™-í'-ci:'.

"p.^i'iT^nKoii ""Í-íupüo;; "nn yc^^n":; ::¡rei:: :.-.r\ri.'r

~V..Ti ooDTCíT'Crsy;^:-".: о т-;:-;гул логлт

~ ~ T r;p:: "íu-oro;;:".: ъ С ,

В дальнейшем метод энергетических оценок бал распространен на перву» смешанную задачу дня гиперболических уравнений второго порошка с церемонными коэффициентами во внешности ограниченной э. -эдной области из

Захманоглу Е. С [19])подучил степенную оцежу ( ,0<и<1) скорости стабилизации локальной энергии решения однородного уравнения, а Блкм С. ( £20] )-степенную оценку (±~'х, <40 скорости стабилизации решения неоднородного уравнения с периодической по i правой кистью для 1 = 3 при выполнении ряда условий на зависните от о: коэффициенты уравнения.

йспользуя снвргвтическоэ тождество работы Моравед К.[16], тамура X'. в [21] доказал экспоненциальное убывание при t-^oo решений первой краевой задачи для гиперболического уравнения, глаямай часть которого совпадает с волновым оператором, а коэффициенты при мдадаих членах зависят от времени.

Более общие гиперболические уравнения второго порядка с зависящими от t коэффициентами рассмотрели в [22} Блш С. к Казарикофф Г.

В работах Иврия В.Я. [23] , Блюма:С., Казаринофф [24] , Штраусса В. [25] * Моравец К., Ролстона Д., Штраусса 3. [26] методом энергетических оценок изучалось доведение решений первой краевой задачи для волнового уравнения во внешних облаз -ткх, более общих чем дополнение звездных, В частности, в [26] получена экспоненциальная оценка скорости убывания локальной снорши решений для произвольного гладкого отражателя при ¡\-3 и финитных начальных данных. Отметим также работу Филиппова А,3>. [2?] , в которой доказано экспоненциальное убывание обобранного решения первой краевой задачи для готового уравнения во внешности трехмерной области с негладкой границей, Зта ае задача с начальными данными, предложение о финитности которых заменено достаточно быстрым убыванием при 1x1 -<*> , изучалась Захманоглу Е. [28] и Муравьем Д. А. [29] , причем в [29] установлены условия излучения на бесконечности для уравнения Гельмгольца в областях с некомпактной границей ж обоснован принцип предельной амплитуды.

Значительно меньше результатов, устанавливающих скорость стабилизации решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений. Все они цолучены методом энергетических оценок, Этот штод принято называть прямым, имея в виду то обстоятель-

ство,- что все трудности здесь преодолеваются на уровне нестационарной задачи, а результаты дяя соответствувдеЗ стационарной задачи могут быть получены как следствие результатов для нестационарной. Ыоравец К. в [30] наследовала по* ■-,гакиэ при больших значениях временя решений систем Максвелла во сипа-нос та идеального проводника, кзляютгося границей звездной области. Дассиос Г. в [31] рассмотрел первую краэвуд задачу для системы линейной теории упругости з изотропной однородной среда. Им получена степенная оценка ( скорости убывания локальной онерпга реоюняя о финитюлга начальника дачнюш во вноиксстя ограниченной звездной области э С этот резуль-

тат был иеэавясюя) получен автором з [39] и усплся в [40] )> Тпкуо ае оценку скорости ъвчшигя рэгонкя для неоднородной изотропной ерздц получил Моязала Г. о Г32] „

Воз перочисленино шш работа, э йоторн^ уотапаатнвавтея оцошш при больших значениях щз-зквал решении внзешзя краев:пг вадач» относятся к уравнениям (шю сЕсге^л) с конечной скоростью распространения возмущониЗ. В моя случае флнлткость начальных данных приводит к кокзпахюткж! восатэлл регптя при ваадои 1 . Это обстоятельство играет заяиуэ роль з реализации прямого шгсода. Работы, з кодерах не предполагается фат?-вость начальных данных, основаны на энергетической тождество, являющейся следствием кнвариантзостя волнового з?разнбния отно-зительно одной специальной гр;уппн врэобразошкай о Ейфянктозй-аальным о перо торой • <•

1одсбкым свойством обладает оиютема Максваяяа> зо т обладав?, шпркмзр, систока линейной теораи упругости. Между твй, йква-гиантность относительно группы растяжений по ШШ пэременнкк -¡войотво, присущее широкому классу систем (с постоянными коэффициентами).

Настоящая диссертация посвящена обобщена» прямого 'ода Гэто обобщение опирается на укйаанное выше сэдйет-ю инвариантности) на широкий класс систем, вюдачалдай истеки с бесконечной скоростью распространения воз1.'уле-ий, и исследованиям на его обновё поведения при боль-их значениях времени решений некоторых задач Математл-оской физики: краевые задачи для састеш линейной твори* уп-

ругооти, оштеьш Максвелла душ неоднородной среда, задачи дифракции влонч'рсмапаиннх н акустических волн, В этих направлениях автором элученк новые результаты, которые имеют тооротк-чвский характер и цогух быть использованы для обоснования численных расчетов нестационарных краевых задач.

Диссертация обстоит из введения, '^четырех глав и списка латаратурн' из 57 наименований. Общий объем работы - 306 шш-иояионых страниц.

Во введений кзлояена ааяория вопроса , сформулирован^ обходище далее оцредшмнаа и приведен "«краткий обзор результатов диссертации»

В первой глаьо наследуется поведение при больших знача' -инях Ерошш решоияй парюй краевой задача вида (I) для оператора _ 2" порядка . Научение асиштотического поезде-шш решений основывается на обобденаи'пряаого мэтода и врово-датся в терминах весоюД • "энергии" н локальной энергии к -го порядка', ощздвлошш которых приводятся HSSO.

Пусть $2 - дополис-дша ограниченной звездной области из /1" с гладкой границей S ( неограничивая обадаость, будок цродаолагать еБагднооть.относктолыю начала координат). Рассмотрим в Я. * (0, Т),: начально-краевую задачу

д'и , , .J у 7е /АЫ ■ :ЙЭ

dt*

(35

j\l f"1 С ,'лЫ - З'и- \ , :>J у Jj éS

al - -f fs) . (х)

а' '3 ■

где щурррожшь ведется.по веевазаогшш наборам i = ^¿£ ) ,

ti'~i:ci>-,-xn) > - квадратные мацдацы порядка , bs~

й'эстваинрзиачиш элементы которых непрерывны и ограничены ч

ти

¿2 вместе с пр^лзводкыш до порядка I включительно, Д'^С-т) 3 и выполнено условно

£ Ачщ. -I ? сц £( .

Здесь / • |) произвольна® комшюксноькачнмй

'вектор, ь 1 -

1 1 } ^ i J * 4 \ ' * 4

Предположи:.«, что

. . ° * ' где Д 0" постоянные мятршше а а О;'"!}при /.г/ «о.

Везде?/ обозначения

¿Ы '1 * с .. I;" ¿1

дГ; ...ЭХ; 3 )

г« ' * «...

I

Относитпльно качал!них данных ради доргцмшя ^ор^я-фсе-ж теории будем_ предполагать оледуюйзо:

г., г.т) - б<скэнв"чно дкс|ф5ротдарзгога»о Зтшинч, ^ ('а-; ичсзт кожодтиий носитель з , /ж/'' Г,'^" £¿/0) для л»3их р'и о , •> '} ,

ЗисогэЯ "эггрпп-8'' ь, 'изводных * -го яораккз по 1

рог-;:/кя зпдэчи (3) (кор^ко - ачсотой "энергии" к -го пэрп.ч

ка) будем называть выражений

(Ы* J ¿¡f^ <** . f * «1 •

SI

Локальной анергией производных к -го порядка по t от рашоиия задачи (3) (коротко - локальной анергией к -го порядка) назовем шрааонйо

E*(t)*Sjk(uix,t))dx , Я.^ *{xe£l >zi<l}.

К о

Нетрудно проверить; что £ ' (t) (полная энергия к-ой производной рашегоя) сохраняет постоянное значение для всех ¿>0 рапное В"'0(о) , к* 0,1,... . Изучим поведение при больших значениях времени варщхсния B*,s>(t) в зависимости от j> .

Весовая "анэргия" яздлется удобной характеристикой при изсладовании асимптотического воведоная решений внешних краевых задач. Для широкого класса систем удается точно оценить скорость убывания (при j>>0 ) ила роста (при _р< 0 ) Е ,f{±) па некотором аашсащем от к интервале изменения jp ■ , о чем свадехельотзухт паезрошша примера. Кроме того, полученные оценки вэоовой "свергай* f^fi) позволяют обосновать принцип предалыюго поглощзшм для соответствующей бллиптичео-кой задачи и оценить скорость стабилизации решения ноотацио -кзриоа задачи о периодической по времени правой частью.•

Неведение при больших скачениям времени решений гиперболического уравнения или локальной энергии ¡локэт быть весьма чуЕствителыго по отнош&ниэ к-изменению п. -числа пространст -вашшх переменных. Поведение при ¿->о» Ебсовой "энергии" но зависит от п . Подобным свойством обладает кБазиасиицтотшса рашаний гиперболических уравнений (Гущин А.К., Михайлов В,П. [33] ). Понятие квазиасЕштотики для обобщенных функций было введено Завьяловым Б.И. [34] . В серии работ Владимирова B.C., Дронаиаова Ю.Н.у Завьялова Б.И. по многомерным обобщениям тау-беровых теорем4 начало которым положила многомерная тауберова теорема Владимирова В,С, для иеотрицательных мер, было показана, что понятие кразиасиштотики наиболее адекватно присао^обт лаяо к теоремам тауборова типа для обобщенных функций (см,кии-;

гу [35] этих авторов), Изучение асимптотического поведения решений гиперболических уравнений второго порядка в терминах квазиасимптотики впервые было предпринято Гущ щ А.К. и Михайловым В.П. в [33] , [36] (см. такка [37] ). к

Поведение при i •* ^ весовой "энергии" 01шсн-

вает теорема 3.1 ез § 3 первой г.ты! диссертации, Правде чем сфораулировать ее наложим на матрицы /. 'i (X) еще одно условие. Будем предполагать» что

Как показано в конца первой главы, это условие обеспеч-иваот отсутствие положительных собственных значений у оператора А - самосопряженного оператора в (О. )'-,, порожденного диЗферанциальншл выражением А -а крае сига уойошимз.' Заметим, что при дает финитность алекэнтов матрицы Afx) нэ гарантирует это важное дая нас свойство спектра оператора

К .

Теореш I (гл. I, § 3, теорема 3.1). Пусть и(х,±) решение задачи (3), а 1 - произвольнее натуральное число. Зрвдполошш, что элементы иатрицн А(го) котнадл&хат

c£+?(q) а 1

/ь* А*'*(Х)1 « при /ос{-»со ;

I < t£t « t . Тогда для к - О.А,,.,^ справедяивы оцен-

ка .

&

Следствие. Для к~ 0^ справедливы оценки

Правый конец интервала изменения р в оценке теоремы I представляет особый интерес - именно- он определяет показатель

оцонкэ скорости убывания локальной вноргаи, В первой главе диссертации приводятся условия на матрицы , которые

обаспешвак?. заполнение неравенств теоремы I при к * 1 для , ц+я.1 , о лъе$ 1 . Более того, указываются условия, при которых ге «• 1 .

Таким образом, лекальная энергия.производных 'р^к Рыкания при к Уа убывает на медленнее чем "С* или t~ц~~'i

в зависимости от свойств штрицц А* . Если ж > ,

то в первой главе доказывается оцанка скорости убывания ло -кадыюй энергии сашг-о ревгашш '

и X " УЗ э '

а*

В частности, если а - скаляранй оператор вида ,

50 «Ч 2 ...

"Л г

(Л

в Р

Эта оцанк| уточняет результат/йлановского А.В. [33] в случае ыешюсти ограниченной срездно^ области (в [38] для произвольного ¡гадкого прапятствая доказывается, что решенйе с финит нцш! начальники данными стремится к нулю при Ь-* со равномерно" на каждом компакте из ) , ' '

В § 5 первой главы изучается поведение при Ь -> ад '-решений неоднородной задачи

пазд^адч даишэ ^ дещзддекат,ошзсашю^у

ранее классу» д. (го) удовлетворяет тем же условиям, что » и ? И4

Пусть Зъ г < 0 , Обозначим через \Л/('г, роиэиир из задачи , .' .

Нетрудно показать, что такое рошшгае едннствешю»

Теорема 2 (гл.-1. § 5, тоорсш 5Л). Продаюлшям, что ал*

иенты . матриц /Д'^ (3:1 принадлежат

" 4 *

Тогда решение МЛ'-х.г) задачи (5) при г су С

Зт о , со О) имеет предел й пространства

ом;, Гг

. причем предельная санкция го7Т( ш) далпегоя решений-:* (5) при. 2 со' к справедлива оцевгл . ,

а ■ ''

Зэдапа (5) При едоствзнно;? % (% О) ; . вообще

йвразреоизи э , а о йолео шрокса кдгзсо Фуиуг.й

(ичпркмар,. в, .Чг? с ОЛ ) шевт кнояэотко шятачтяи г/-«•г« '

кений. Теореш 2 йчталяэт одпэ 2?а таких рошзнйЙ, ктготлт? а.:-раот в дшгиюйшдм• шхнуо роль»

Теорема 3 (гл. I, 5 5. тоорак« 5.2). Нус-гь х.г:) - т,р- • шоннэ задет (4), о.'-О , ? - йропзвольаоо ивтуралг-псз ло флтст« ала 3». Иродаелоким, что эдоиентн катргц '

'прям/исто? ('£>-) . я ' '

I 0 А*>1 I С

/£> А (хц* при /Х1-**>

Л 1 р

Тогда справедлива оценка

JA ' и; "6

/а *

о.

, О < ^ « 1 ,

в которой функция г^1(а:,из) (предельная амплитуда) определена з теорема 2.

Замечание. Если в (4) о)-0 , то для реаския т1(х,I) выполняется неравенство

а

В конце первой главы диссертации показывается, что сфор-^улирозакше вшвэ утверждения переносятся на систеш вида

Эги е

где и - (и1(х, I)ип(х^)) , ($(о:) - диагональная матрица порядка и , Л е {х, ) ц - ^ и .

Объектом исследований второй глава являэтся систеш линейной теорий упругости. Для этой скотов! уточняются оцаккн скорости стабилизации раианий, подученные в глебэ X, При нечетном числа пространственных аереыензшх, в частности в» физически валном слу'ие н * 3 , устанавливается точная оценка скорости стабилизация при ±-> &э решений первой смешанной задача; а именно-ром кия убывают Експоненцаедьио,.

Рассмотрим в * (О, 7) {такая го, как и раньше) смешанную задачу

С(3)

ukя0'

да u= (Vfo-.f),.,, un<x,-t)), ^/г,,.,,^); - по-

гасительные постоянные, у ia:) s f<xi a ¿> при /¿хм } a. ,

В первом параграфе глава П доказывается оценка локаль -гой анергии решения задачи (6):

Заметет«, что сценка (7) не следует из теоремы I, так как ней оценивается весовая (а следовательно, а локальная) энергия" порядка к для к 1 .

Во втором параграфе главы П оценки локальной оноргки ло-ядка к ( <>1) решения задачи (6) усаливаются по сравнении сценками следствия теоремы I:

В теореме 3.1 (гл.II, § 3) доказывается, что в случае не-зтного числа пространственных переменных локальная энергия 5шзн»я задачи (6) убывает при г«э экспоненциально:

S-я.

|десь J0 (и/л,*)) имеет вад

(7)

® ^ i »4 ^

¿¡¿l/dlvuS, J>

j 3K (U(,xtti)dx « CK(H)

где /3 (л) - положительное число« На основе этого результат та уточняется оценка скорости стабилизации при решения неоднородной системы с периодической по времени правой частью.

Третья глава посвяшона изучению поведения при больших значения); времени решений системы Максвелла для неоднородной . среди с краезим условном Лэонтовича.

В цилиндре ¿2 *'о,Т) (£1 - дополнение ограниченной звездной области рз Я.' с гладкой границей Л ) рассматривается нэнчяьно-крзеьэк задача

t *iot(s*(z)k-) t At fe-tot (X'xie.), ;

. J С *

где eVa-.iJ^^ct.ii.eVar.i)), k^(hi(x,l],hiC^t)jAx>t))t •r • (x,,xllxi) - единичная внешняя по отношению t; Si :. нормаль на , С- ,•!,(•,■ ) - векторное и скалярное , '¡:ярокзаед0йия соответственно» <ч(х) € CVS) , Reo О , /«< >ü , Скалярные функции Лсаг), /< Сж/ удовлетворяэт условия:,V. А(Ж)>Ае>0 , >,/<„ ;> 0 , А, /( £ С'Л-Ш , ... s/..Л! v i при IX/; д'Уд/т/ t ^S'/g/j-f £0,, .'.

Обозначим через .гильбертово пространство кар ^ui ,uz} трезскомпокентных ксмплокскояначпкх вектор-функций <~ L > (Q.) со скаляриям произведением

Через U..,, обозначим гильбертово пространство, состоящее иа «ар и таких».что (uttu.) , ( xotut>hctu,)i ■ t-t . Скалярное проазведок^с определил в йдодуидо образом

<«,-«>, а [fi Xuit но( \Gs) + (iot;-i ut, 'toif* '

6 ■ • ''' ■.

+ (c*X)(ui,Si) + ie«-y4(u<,irij)J djc,

причем постоянная с- шбрана так, чтобы корт в была еквивалентна норме, определяемой ¡заражением

( j[l'u>tuilz+i4otulli dcc^

О.

Обозначил чэрэа С (О.) пространство непрерывно_ дифферогпщруеггнх вектор-функций с комлактшш носителем вй «

В § I третьей главы доказывается, что отображение

0 ~ i из С1 (Q. ) в

продолжается по непрерывного до линейного непрерывного отобраяения > Н" ) .

öto позволяет ввести замкнутое в подпространство

, ii Ы) 6 ЗС, I x(*lu)*o}t

i

плотное в 'Ж. , Озредэлим в ^ft неограниченный оператор $1:

ей (Л) « .. \дая а^и^ц^&ЪШ

J-1 и ' {t-eiOWa"),-

В ленаю 1.2 {гл. Ш, § I) описывается сопряженный и оператор: © (ft*) , дая , tf,}

$ V - - {tat (jm ift), * netto tft)),

Пусть i - ортогональное дополнение в *<fC к ядру . оператора ¿'с* . Будем считать, что начальные данные {e0,ha} : ¡задача (8) принадлежат AI ^ Л 3?(Vä3) . В этом случае рег ¡теняе /е, hj сбдадаот сеойоте-жн:

е, 4 Y&), tot'e, ^e/v 'ГШ, с/.ч-е - <tivk"* 0.

Введем обозначения

Ejiejjj) ^ BJA^i.O.^i.

В § 4 главы Ш изучается поведение при t-*oo выражение Ifre,fc},Qt, 1) -F ({e(x.i\¡,/x,i)},%) +EK({t(x,t\h(x,t)], г),

где {e.,h} - решение задачи (8).

При выполнении приведенных Еыаш условий на %ix\jkix) и неравенства

>0, X&S,

где - угол ыаяду нормалью ^ и вектором хе S , до-

казывается оцаика (теорема 4.1, гл. Щ, § 4); для любого 1>0 найдутся подоштедьные постоянные р - J3f&) , C-C(at%) такие, что

«С *x/»(4*t)Ifie.,A},£iftl о).-

Далее рассватривается неоднородная задача с периодической по времени правой частью. Доказывается, что решение сграг-мится к -периодическому режиму с окспоноцциальной скоростью (теорема 4.3, гл. Ш, § 4).

В глава. 1У исследуется поведение при ¿->оо решений задач дафракщш алектроыагнитных и акустических волн.

Пусть >Sд,S*,.., S^ ~ ^ладо19 замкнутые поверхности в й-3 , причем vSp AxSj = 0 при р *% . Обозначим через Вщ конечную область, ограниченную поверхностью 5«, . Предположим, что Вт с й^^ для тм.й,.., K-i . Положим

Через tf обозначим единичную нормаль на »S^, , внутреннюю по отношению ж В ^ . Считаем, что 4 О для ,

Рассмотрим задачу Кош

д t ' Ъ Ь ' *

Продполояш, что К03@!щиентн Л (Л), уч ГЛ) являются кусочно-гладапма футешяшх, терпщшди раарнвк первого роде на юзаряноотях 5т » Условия сопряжения на шлет вид

'Г11 -[-г.Г-'Г"^ , „.1>А

П!

РД9 Д", /1 ¿Г**, н'" - сужения ССО'ГЕЗТОТЕукда фуККЦИЙ

В теорема 1,1 глаш и прнцоджмя условия на началь -нив даннао (ош нэ обязана ш.:з?ь гжаактанэ носители) и ко-8$фици8нгл Дсх), /ч^г) , которые обеспачнваот стэпенкую сценку Сй«>р1. уйцгадая при глраюнпя

к " . •

СсотеетстЕуЕцло условия на » , ^ > Л » при гшто-е~*я £Ь) убнтет зколоцанцяадьнд, еодэрса'гся в теорэ-?!Э 2,1 четвертой глаяч. _

В послодне'! параграфа глава 1У рассиатр'ЛЕаэтся с:легак-нзя гадача в щщщцро * г о, Т)

£(г^г ^ ^ сЛ\/(с*(х) 7 ^ •

О о

Здесь £2. - дополнение ограниченной авездлой области с границей ¿о , 0 р(хч «; сх , о < е: < с со) иг, /ч.тл, с (Г.с) ~ куоочно-постоянкиэ функции, терпдае разрыв« на гладкой замкнутой поверхности, й , 3 Л б'« - 0 • Считаем, что конечная область Р> с границей 5 . содержит /<!3 \ и С \, э,' ) -с С , ,г - Я , -С - единичная' внутренняя для в нормаль на 3

Нд ВШдУ1ЮП'!К: .3 -выполняются условия

где' символ . означаот разность меаду предельными

значениями $ (х) на 5 , вычислеюшш при подходе к 3 со-стороны 6 и со стороны Й '4 8 . * Показывается, что. метод получения оценок при Ь и , излоквшеий в главе I, позволяет оценить скорость стабилизации ратаний сформулированной задачи.

В заключение ещег раз перечислим основные результаты диссертации. 7

1. »'одиумигрован прямой метод получения оценок скорости 'стабилизации яря Ь -* решений пивших краевых задач дал одного класса гволвцаонннх скстем вида

. + X (Х,Ъг)и

где Х(-Х\'Ьх) -формально са.чосо1фяхенкый. сильно элляотн-ческий оператор порошка £ I,. .

2. Иаучепк ка;икторист.жи рввгеннй {называете 'в работе весовой "энергией"), шзведенао которых .при бильаях значению?, времени не зависит от числа пространственных переменных. Но-

•.-лучена точная вависимэсть скоройти убывания (роста) весовой • "энергии" о г, п?р#дк& убывания (роста) бомбой фунгаиш.

3. Доказано,; что порядок убивания локальной энергии . (части »иергии, закаленной в ограниченной области) ирлялводных по ьрс-мыйм*« зрвгояий .указашшх задач увеличивается на

едшшцу при увеличении на единицу порядка производных.

4. Лля неоднородных задач с периодической но ьреионя правой частью .обоснован принцип продельной амплитуда я получена оценка скорости выхода решения на периодический ралам. Для соответствующих эллиптических задач с комплексна параметром доказан принцип предельного поглощения.,

5. Для линейной системы теория 'упругости йолучена степенная оценка .( i'1) скорости стабилизации при локальной йноргаи решений перкой смешанной задача во внешности ограниченной звездной области четномерного пространства. Доказано, что для нечетного тлела пространственный переменных решение стрсмится к нулю с s-сспоненшзлыюп скоростью. Соот-вэтствухзцие сценки екоростл стабилизации получены для решений неоднородней системы с периодической . j времени правой частыэ.

6. Для" системы Максвелла а неоднородной средо с краевым условием Деонтовича на границе внешней области доказано экспоненциальное убивание локальной анергии решения. Для неоднородной систеин периодической по времени правой частью получена экспоношишльная оценка скорости стабилизации реше-ння к, периодическому реаиму.

7. Изучена скорость стабилизации при t ->«з решений задач дифракции электромагнитных а акустических волн.

Материалу диссертации- докладывались на Далыювосточннрс аатеттачвеких ежолах в Находке (I98Ö г., 1988 г.), коифе*-ренщы по д%^ервщиалышм уравнениям в Кзцлполи (1986 г.), аколе по качественной теории дцф|врвнциальных уравноний а Горно-Алтайске (IS89 г.), Всесотной конференции по условно-коррехтнкм задачам математической физики и анализа в Алма-&те (1939 г.), а тахжв на семинарах под руководством профессоров Михайлова В.П., Гущина А.К., Довила A.A. (Математический институт им. В.А.Стоклова АН ССОР), чл.-корр. All СССР Годунова С.К. (Институт математики СО Ali СССР), профессора Зеленяка Т.Н. (Институт математики СО All СССР), чл.-корр. АН .ССР Романова В.Г. (Институт математики СО АН СССР), профессора Муравья Л.А. (ИГУ), профессора Врагова В,Н. (Институт «тематики СО АН СССР),- академика Лаврентьева М.М. (Институт «тематики СО АН СССР),-академика Овсянникова Л.В. (Институт

Гидродинамики им. Ii.А.Лаврентьева СО Ail СССР).

Но теме диссертации опубликованы работа [391~[4$], ЛИТЕРАТУРА

1. base Р,, Fßiliipü В. fho wavo equation iu anterior do-oaina // Bulla tin of tha Amarioaa Math. Sooiofcy. 1962. V.63. Hol. РЛ7-ИЧ.

2. Лаке П., Филлипс P. Теория рассеяния. М.: Мир, IS7I.

3. Ыуравой Д.А. О стабилизации решений ьозцущенного волнового ¿-равнения//ДАЬ СССР, Iöüu. T.2Ü4. Р I. С.43-47.

4. Бабич S.U. Об аналитической продолжении резольвенты внешних задач для оператора Лапласа ка второй лист/Деоркя функций, фуккц, енал. и их придок. 1966, Т.З. C.I&I-I57.

5. Ладыженская O.A. О принципе предельной екшштудн// Ж. 1957. Т.12. » 3. С Л 61-164.

6. Thoe D. On tho exponential deoey of solutions of tho V&V3 equation // J. of Hath.Anal* and Appl. 1966« NolS.

246.

7. Мих&йлов В.П. О пришита предельной амшштуды//ДАН СССР. 1964. Т.159. » 4. С.760-752. '

8. Муравей I.A. Асимптотическое поведение решений второй ьнелнеГ, краевой задачи дяя двумерного волнового уравнения .//Диверсии, уравнения. 1970, Т.6. В 12. С.2248-2262.

9. Муравей ¿.А. Асимптотическое поведение при больших значениях времени решений второй и третьей краевых задач дан волнового уравнения с двумя пространственными переменными// Тр. ШАН, 1973. f.126. С.73-144.

10. Муравей Л.А. Об асимптотическом поведении при больших значения* времени решений внешних краевых задач для волНового уравнения с двумя пространственными переменными// Ыатем. сб. I97Ö, T.I07. I. C.Ö4-I33.

11. Ьабич B.Ii. (JC асимптотике функций Грина некоторых волновых задач. И, Нестационарный случвй//Иатем. Сб. 1972. T.Ö7. » I. С.44-Ь7.

12. Тихонов A.M., Самарский A.A. О принципе излучения//"» I8W. 1964. T.I8. » 2. 0.243-240., ' .

13. Halston I, Solutions of the wave equation with localized energy // Comm.Pure and Appl.liath. 1969. V.22. Коб, P.807-823.

14. Horawetz C. The decay of solutions of the exterior initial-boundary value problem for the wave equation // Ootaa.Pure and Appl.Hath. 1961. V.14. No?. P.561-568.

15. Horawatz 0. She limiting amplitude principle // Зода.Риге and Appl.Hath. 1962. V.15. NoJ. P.349-361.

16. Моравоц К. Убывание энергии вне звездных препятст-шЙ//Прилояешга 3 в книге [2] . С.254-257.

1?. Lax P., Moravia ta 0., Phillip3 2. Exponential decay if solutions of the wave equation in the exterior of a star-shaped obstacle // Cotam.Pure and Appl.Math. 1<?63. V.16. Ло4. >.447-486.

18. Uoraweta 0. Exponential decay of solutions of the ave equation // Coma. Pure and Appl.Uath. 1966. V.19. No4. ',439-W.

19. Sachaanoglou E. The decay of the solution of the nitial boundary value probXea for hyperbolic equation // j, ath. and Ueoh. and Appl.Sci. 1966. V.13. P.504-515.

20. Blooa C, A rate of approach to the steady state of olutions of second-order hyperbolic equations // J. of Dif-arenti-i] Equations. 1975. V.19. Bc2. P.296-329.

21'., Vaoivra H. Local energy decays for wave equations • Lth ¡»'.aft-dependent coefficients // Itaguya Math.J. 1978. .71. P.107-123.

22. Bioom 0., Kazarinoff H.D,, decays locally ron if total energy crows algebraically with tine // J. of .fferential Equations. 1974. V.16. Xio2. P.352-372.

23. Иврий В.Я Экспоненциальное убывание решений волио-iro уравнения во внешности почта вЕездаой областа//ДАН СССР. >69. Т.189. т. С.938-940.

24. Blooa О,, Kaaarinoff H.D. local energy decay for a ass of nonscarahapod boelies // Arch.Rat.Mech. and Anal. 74. V.55. P. 73-9525. Strauss W. Dispersal of waves vanishing on the bounty of an extsrior domain // Comm.Pure and Appl.Ustb. 197528. Ho2. P.265-278.

2S. t.'.orav.'ots 0., Ralnton , ütraueз Vf. Decay о £ solutions ça >;ho v¡u-'o equation outride nonfcr.ippinr obstacles.// Co-.ua.Pur!> on à Appl.'.'ntb. 1977. y.jo. IToîv. P.W-7-5Q3.

' 27. "*.кл;:апоп А.Ф. Оооснозакке вусокочэототной асшлато-тики в трахмпрной дифракционной задаче//Оиб.матом. курн. I9G9. Ï.1C. >t 6. С. 1406-1-ici.

28. 2асЬ'.-.-.'ло,Доа Ii. ХЬс duc.v of solution of fcba initial-boundary v.ûjo croblc; // Arch.Rtfc.Kich. and Anal. 1963.

29. .'Лурпво;! Ji.A. Волновое уравнение ураанокдэ Гельи-гольца з неогранпчшшол оолзсти со звоздной грашщзй/Др. 1Й1ЛН. 1988. Т. 185. C.I7I-I80.

•30. Мора во ц К. Одна тоорэдо об убивании р-ззшй! ypaTiK2~ ни« Каксполла/А;ги 1974. Т.29. J52. 0,233-240.

31. Dussiez G. Local enorgr docay for ßojtborißs o£ elastic waves // J. of BifforontisÀ Equations, 1933« Y.4-9, Hoi.

32. lianzola G-.P« Lasge Maso b;,h.T,"ic-r of olacbio va\-t=o in inhoEosonoou3 ociLLua ff Bcllettioao ¿alla uaioîui па s с a pática Italiana. Y,?, азгхопл В. Р.95-10-3..

33. Гукин á.K., Михайлов В.П, 0 равнсизриоЗ отьбкддзйццз рэааюи задач» Коси для гкпсрбслкчгского уравнеши: второго

'• ворядк«//Гр. 1ШН. ШМ. T.I6S. С.76-90.

24. Завьялов Б.й. Автомодельная аспгжотЕКл ^«ZTDCKsr-iiKTHus форм-фпглоров ¡; повэдэии* кх йл'-ьо-ооразов в сзгройт~ КООТИ свотогого U0Hyct//T¿;,U 1973.ТЛ7» £2. С.178-183.

С5. Нлашгкров B.C.» Дроахикэ'З D.H.t <>:.úhzr;¿z* Б.й. Мго~ мэркаэ тауберо^.' le&pi&ui для обобгэка.».-; ¿jiíi^tii, // LI«; Щрл* 1955.

3G, Г:/;;.:'- A.K.р Mízjü.'^OB О ; г.

ра^зякп ¿С-^ч:: Ko^-¡ д';л r^icpío.-::?--.зког? ;-v;:,:.:;-:.;; /У ДЛН CCÜ?. 1934, 7S7Ô. C,Ü32-S;'5.

27. Гущин Л,;',, lunx'lw Bal. глг nzu:--

uni"; гип-зроола^^:.;;::';: ypaesomt" ff î, 13 >

вной залег;;; Длр;:^,- ур-'11-1-»'"^ к'^с'гн:;.'! пл-.зегии! /7 заменой iStoí* T.39. -M, C.óác-büfL

Работы автора «о тот диссертации

31=, Капитонов Б.В. Об убивании реаеная ¿нешюй краевой вадачи для систем« теорем упругости // Дп$$еренц. уравнения. IE36. Т.22, J;3. С»'152-458. •

4.0, Капитонов Б.Б. Убивакпэ решений внешней краевой за-даци и принцип продельной амплитуда для одной гиперболачос-ной систем! // ДАН СССР. 1286. J.286. S5. C.IG57-I0G2.

41» Кшп-тоноэ Ü.B, Об убнЕснии при ¿-гея решений дачи Кола дли система Максвелла в неоднородней среда / Ка-»гзствопцый анализ рашэнаИ дн^врошщзлышх уравнений с частно« производили, Ногэсцбпрск; На-т гатггдатпхи, 1285. СЛОО-ЮЭ.

42, Капитонов Б.й, 0 поездшш при t рсьенпй ваз-глей краевой задача для од::ой гиперболической еноте*.« //Сие, глатеа, зуриая. 1287. Т.23» !;3, C.IJ5-I32.

43, Капитонов Б.В. О поводешгл при решений иг.е~ сей крззвой задачи с условием Леснгошпа для cuctcui Макс-йзлла // да СССР. I2G8, Т.,£29» Й, С.284-287.

44, Касятовоа Б.В. Сб гг.спонгнциахьцеп убнваь.ш яра

i •» « реке-ша краевой сг.;зт для спатала Максвел-

ла // Матем.сб, 1289. T.IS0, С,<163-120.

•15. Кептгсыов S.B, Стаб^кнзадпя рзш&З гнеоннх краевых .-.йдзч " epirspa предельного поглоаэгош для с::сте::н енсского горяаг-чГ / Прчпрзш'г й ЙЗ. - liowssd^ors. Т.^-ЗЭ, - цатаа--1в 0, '

Подписано в печать 2C.02.9Q Мл 02113

©ордат бумаги 60x84 1/16 ОЬьвм 1,75 п.л. 1,5 уч.-изд.л.

Заказ 64 Тираж 100 акя.

Отпечатано на ротапринте Института математики СО АН СССР 630030, Новосибирск-90, Университетский проспект,4