Стабилизация решений анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Леонтьев Алексей Александрович

СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

21 "ОЯ

Владимир - 2013

005538885

005538885

Ра,бота выполнена на кафедре математического анализа физико-математического факультета Стерлитамакского филиала ФГВОУ ВПО "Башкирский государственный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Кожевникова Лариса Михайловна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор Кожанов Александр Иванович, главный научный сотрудник дифференциальных и разностных уравнений Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН

кандидат физико-математических наук, Сурначев Михаил Дмитриевич, научный сотрудник Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Ведущая организация: Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН

Зашита состоится 23 декабря 2013 г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.025.08 при Владимирском государственном университете им. Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых по адресу: 600000, г. Владимир, ул. Горького, 87, ВлГУ, ауд. 237.

С текстом диссертации можно ознакомиться в научной библиотеке Владимирского государственного университета им. А.Г. и Н.Г. Столетовых.

Автореферат разослан " IJ? 11 ноября 2013 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.025.08,

кандидат физико-математических наук, доцент C.B. Наумова

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Данная работа посвящена исследованию скорости убывания решений анизотропных параболических уравнений высокого порядка с двойной нелинейностью в неограниченных областях при больших значениях времени. Изучению поведения на бесконечности решений задачи Копш и смешанных задач для эволюционных линейных и нелинейных уравнений (систем) посвящено большое число работ. Эта проблема ввиду многообразия качественных свойств эволюционных систем имеет различные аспекты. В настоящей работе исследуется стабилизация решений первой смешанной задачи в цилиндрической области D = {£ > 0} У П в зависимости от параметров нелинейностей анизотропного уравнения и геометрии неограниченной области Г2, лежащей в основании цилин дра.

Изучение скорости убывания решений смешанных задач для параболических уравнений при больших значениях времени в случае неограниченных областей, когда начальная функция ограничена в одной из Ьр - норм, было начато А.К. Гущиным1, который получил точные оценки решений второй смешанной задачи для линейного уравнения второго порядка в широком классе неограниченных областей.

Вопросы поведения решений смешанных задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго и высокого порядков при t со рассматривались в работах A.B. Лежнева, В.И. Ушакова, Ф.Х. Мукминова, А.Ф. Тедеева, JI.M. Кожевниковой, И.М. Биккулова, В.Ф. Гилимшияой, Р.Х. Каримова и др. Далее, кратко приведем результаты для квазилинейных уравнений.

А.Ф. Тедеев2 установил оценку сверху ¿2-нормы решения первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка в дивергентной форме. Ранее, аналогичный результат для линейного параболического уравнения высокого порядка был получен Ф.Х. Мукминовым3.

N. Alikakos, R. Rostamian4 установили оценки сверху и снизу реше-

1 Гуп;пч А.К. Стабилизация решений второй красной задачи для параболического уравнения второго порядка.// Матем. сб. - 197«. - Т. lOlf Ш). - №4(12), - С. 453-439.

2Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квалилкнейшн-о параболического уравнения высокого порядка // Днффереиц. уравнения. - 19S9. - Т. 23, - №3. - С. 491-493.

3Мукминоа Ф.Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. - 1387. - Т. 23. - №10. - С. 1172-1180.

4Alikakos N-, Rostamian R. Gradient estimates for degenerate diffusion equation. II // Proc. Roy.

ния и его градиента задачи Коши для модельного квазилинейного параболического уравнения второго порядка. Характер этих оценок существенным образом зависит от показателя нелинейности. А.Ф. Тедеевым1' выведены не зависящие от геометрии неограниченной области оценки решений первой смешанной задачи для частного случая изотропного квазилинейного параболического уравнения высокого порядка.

Л.М. Кожевниковой, Ф.Х. Мукмнновым6 в широком классе областей с некомпактными границами установлены оценки сверху решения первой смешанной задачи для слабо нелинейных систем второго порядка и доказана их точность. Р.Х. Каримовым, Л.М. Кожевниковой7 для решения квазилинейного изотропного параболического уравнения второго порядка получены оценки сверху и снизу, характеризующие скорость убывания при больших значениях времени.

Локальные оценки решения задачи Коши с растущей начальной функцией для параболического вырождающегося уравнения с анизотропным р-лапласианом и двойкой нелинейностью установлены С. П. Дегтяревым и А.Ф. Тедеевым8.

Наиболее близкие к рассматриваемой в диссертации тематике результаты получены Ф.Х. Мукминовым, Л.М. Кожевниковой9. Ими исследована скорость стабилизации решения модельного анизотропного уравнения второго порядка без двойной нелинейности. Однако, наличие в уравнении двойной нелинейности приводит к существенным трудностям в обосновании существования и свойств решения рассматриваемой задачи.

Таким образом, случай анизотропных уравнений второго порядка до-

Эос. МюЬвгкЬ. - 1981/1982. - V. 91, - №3-4. - Р. 335-346.

5Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений , / Укр. мах журн. - » --Т. 44, - №10. - С. 1441-1450.

6Кожевникова Л.М, Мукмшюв Ф.Х. Оценки скорости стабилизации ¡фи « ос решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб. - 2ППП. - Т. 191, - №2. - С. 91-131.

7Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Стабшпгзация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с нексмпактньши границами // Матем. сб. - 2010. - Т. 201, -№9. - С. 3-20.

8Дегтярев С.П., Тедеез Л.Ф. /.[ оценки решения задачи Коши дтн анизотропного вырождающегося параболического уравнения с двойной нелинейностью и растущими начальными данными // Матем. сб. - 2007. - Т. 198, - №5. - С. 45-«6.

Кожевникова Л.М., Мукшшов Ф.Х. Стабилизация решений анизотропного квазилинейного параболического урнппепня п неограниченных областях // М.: Наука, Труды МИАН. - Т. 278. -2012. - С. 114—128.

вольно слабо изучен, а для анизотропных уравнений высокого порядка автору не известны какие-либо значимые результаты.

Цель работы:

• изучение вопросов существования и гладкости решений первой смешанной задачи в цилиндрических областях В = {< > 0} х (1 для анизотропных параболических уравнений высокого порядка с двойной нелинейностью;

• исследование зависимости поведения решения задачи при больших значениях времени I от неограниченной области П, лежащей в основании цилиндра, и параметров нелинейности.

Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и получены автором лично.

1. Для некоторого класса анизотропных параболических уравнений высокого порядка с двойной нелинейностью доказано существование сильного глобального решения первой смешанной задачи. Установлена допустимая скорость убывания при < —► со построенного решения.

2. Получены оценки сверху, характеризующие скорость стабилизации решения рассматриваемой задачи с финитной начальной функцией, к приведены конкретные примеры для областей вращения. Для анизотропных параболических уравнений второго порядка с двойной нелинейностью доказана ограниченность решения первой смешанной задачи с ограниченной начальной функцией к установлены оценки сверху.

Методика исследования. Существование решения рассматриваемой задачи доказывается модифицированным методом галеркинских приближений, который для модельного изотропного параболического уравнения.второго порядка с двойней нелинейностью ранее был предложен Ф.Х, Мукминовым, Э.Р. Андрияновой. Оценки снизу устанавливаются путем интегрирования двух дифференциальных неравенств для галеркинских приближений, а затем осуществляется обоснованный предельный переход к решению. Для получения оценок сверху применяется техника А-последовательностн, предложенная Л.М. Кожевниковой для линейных уравнений и адаптированная в диссертации для анизотропных квазилинейных уравнений высокого порядка.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться в качественной теории параболических уравнений. Разработанные методы могут быть использованы при изучении турбулентной фильтрации газа или жидкости в пористой среде и в теории неньютоновских жидкостей.

Апробация работы. Основные результаты докладывались автором и обсуждались на семинарах по дифференциальным уравнениям математической физики, по вычислительной математике и смежным вопросам Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, семинаре лаборатории дифференциальных уравнений Института прикладных исследований Академии Наук Республики Башкортостан, семинаре по дифференциальным уравнениям Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета. Результаты диссертации были представлены в ходе выступлений на следующих конференциях: "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (Уфа, 2011), "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, 2011), "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Стерлитамак, 2011), "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании" (Уфа, 2011), "Молодежь. Прогресс. Наука" (Стерлитамак, 2011-2013), "Спектральная теория операторов и ее приложения "(Уфа, 2011), "Математическое моделирование процессов и систем" (Стерлитамак, 2012), "Математическая физика и её приложения" (Самара, 2012), "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (Стерлитамак, 2013), "Нелинейный анализ и спектральные задачи" (Уфа, 2013), "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Батгород, 2013), "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2013).

Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в 21 работе. Из них 4 статьи опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК. Все основные результаты диссертации принадлежат автору. В работах, выполненных совместно с Л.М. Кожевниковой, автору принадлежат доказательства, Л.М. Кожевниковой - постановки задач и общее руководство.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, состоящего из 65 наименований. Объем диссертации составляет 95 страниц. Нумерация теорем, лемм, формул и пр. осуществляется отдельно в каждой главе.

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю Кожевниковой Ларисе Михайловне за постановку задачи

и помощь в написании диссертации, а также внимание, уделенное при подготовке к сдаче экзаменов кандидатского минимума и многочисленным выступлениям.

Краткое содержание диссертации

Во введении диссертации дается обзор результатов других авторов, близких к рассматриваемой теме, приводятся основные результаты работы, а также кратко описывается содержание параграфов.

Пусть П — неограниченная область К,,. = {х = (хх,х2,...,хп)}, п > 2. В цилиндрической области В = {£ > 0} хП для анизотропного параболического уравнения высокого порядка рассматривается первая сметанная задача

(М*-2«), = [а„ (№>)2) , (1)

а=1

(£, х) 6 £>, к> 1, та € N. а = Т~п;

= j = 0.,ma-í, а = ТТп; (2)

«(0,х)=¥3(х), <р{х)еЬк{П), е ¿Р„(П), а- = (3)

Предполагается, что неотрицательные функции аа(б), в > 0, а = 1 ,п, подчиняются условиям: аа(з) € С^О, оо),

аз**-™ < аа(б) <

р1

—аа{в) < аа{$) + а'0(в)в < Ьаа(з),

с положительными константами а > а, 2Ь > р\ (р1 < р2 < ... < рп). Уравнение (1) рассматривается для случая рх > к, поскольку в случае рх < к решение за конечное время стабилизируется к нулю.

В работе установлены результаты для уравнения высокого порядка, которые, в частности, будут верны и для уравнения второго порядка. Однако, для решений уравнения второго порядка удалось установить ограниченность, и это свойство позволило получить альтернативные оценки решений первой смешанной задачи:

(|«|*~2«)4 = (*.х)€£>; (4)

а=1

и(«,х) =0; (5)

Ms

м(0,х) = <p(x) € Ьк{П), <pXa(x) € LPe(n), a = TJi. (6)

В тексте диссертации используются следующие обозначения: Dba = (а, Ь)хП- цилиндр, значения а = 0 и b = оо могут отсутствовать, || ■ — норма в LP(Q), р > 1, причем значения р = 2, Q = Г? опускаются. Положим m = (mi,m2, —,тп), qQ = тара, а = 1,п.

Глава I посвящена установлению максимально возможной скорости убывания решения. Ввиду того, что не удалось найти подходящих результатов других авторов, в §1.1 приходится доказывать существование и свойства обобщенного решения задачи (1) — (3).

Сам параграф делится на 3 пункта, первый из которых 1.1.1 содержит определения обобщенного решения и основных пространств, используемых в работе. Далее приводятся формулировка теоремы существования и обзор других работ, в которых существование решения устанавливается для близких задач.

В пункте 1.1.2 содержатся вспомогательные леммы, используемые в доказательстве теоремы существования. В пункте 1.1.3 изложено доказательство теоремы существования на основе галеркинских приближений. Следует отметить, что существование решения задачи (1) - (-3) установлено для произвольной неограниченной области П. Случаи к 6 (1,2) и к > 2 несколько отличаются друг от друга, поэтому сначала приводится полное доказательство для первого, а затем - элементы доказательства для второго, отличающиеся от него. Также в ходе доказательства попутно устанавливаются вспомогательные неравенства, которые используются в получении оценок построенного решения.

В работе A. Bamberger 10 установил единственность сильного положительного решения первой смешанной задачи для изотропного уравнения второго порядка с двойной нелинейностью в случае ограниченной области П. Вопрос единственности решения задачи (1) - (3) остается открытым, поэтому все оценки получены только для построенного решения.

Далее изложен основной материал, касающийся поведения решения задачи (1) - (3) при больших значениях времени.

Начиная с §1.2 в работе рассматриваются области, расположенные вдоль выделенной оси Oxs, где s € Предполагается, что область Q

'"Bamberger A. Etude d'une equation dcrablemeiit дон liiieaire // J. Fund. Anal. - 1977. - V. - 24. -P. 14S-155.

лежит в полупространстве = {х 6 К,г|аг8 > 0}, сечение -¡у [в] =

{х € П | х3 = ?•} не пусто и ограничено при любом г > 0. Обозначим = {х 6 П | о < хв < о}, при этом значения а = 0, Ь — оо опускаются.

Также предполагается, что начальная функция имеет ограниченный носитель так, что

эирр ф С Л30, г0>0. (7)

В §1.2 устанавливается допустимая скорость убывания построенного решения при 4 —> оо, в нем доказывается следующая теорема:

Теорема 0.1. Пусть область О расположена вдоль оси Охе, в € 2, п — 1

« выполнено условие (7). Тогда существуют положительные числа Сри

Ск(<р,к,р1,а,Ь) и решение и(£,х) задачи (1) (3) такие, что при всех

í > 0 выполнены неравенства

N011* > Ы\к «V + Х)-1^1^', Р1 > А:, (8Р1)

МОИ* > |М|А:ехр(-<ЗД , Р1 = к. (8*)

Доказательство этой теоремы проводится в два этапа. Сначала устанавливается оценка снизу решения задачи (1) — (3) в ограниченной области П. Также как и в теореме существования, доказательства отличаются для к 6 (1,2) (пункт 1.2.1) и к > 2 (пункт 1.2.2). Затем, полученная оценка распространяется на неограниченную область (пункт 1.2.3). Как сказано выше, допустимая скорость стабилизации решения изотропного квазилинейного параболического уравнения высокого порядка при к = 2 изучалась А.Ф. Тедеевым11.

Для ограниченного решения задачи (4)-(6) оценки вида (8Р1), (8*) получены для областей, расположенных вдоль оси при в € 1, гг.

Глава II посвящена оценкам сверху. В §2.1 получены результаты для уравнений второго порядка (4). Скачала, в пункте 2.1.1 при условии

п

< 1 +п/рп (9)

Л«1

11Тед<?ев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических ураписпий // Укр. мат. жури. - 1002. - Т. 14, - №10. - С. 1441-1450.

на коэффициенты нелинейности устанавливается ограниченность решения задачи (4)-(6) с ограниченной начальной функцией Затем, в пункте 2.1.2 доказываются оценки сверху, характеризующие убывание решения задачи (4)-(6) при xs —> оо.

Теорема 0.2. Пусть область ÇI расположена вдоль оси Oxs, sel,n и выполнены условия (7), (9). Тогда найдутся положительные числа к,М(а,а, tp,ps, к) и ограниченное решение u(í,x) задачи (4)-(6) с ограниченной фунущией <^(х) такие, что при ecext > 0, г > 2?о справедлива оценка

i/(p.-i)n

||w(t)lks¡, < -Мехр -к

1!ь Pi > к-

Ещё один вариант оценки сверху для решения задачи (4)-(6) устанавливается с помощью геометрической характеристики щ{г), определенной следующим образом:

,Л(г) = Ы ^ 11^7x111рь7г | € ||р||Р1.Тг = 1} , г > 0.

Предполагается, что область П удовлетворяет условию

оо

i%llP'(r)dr = оо. (Ю)

1

Теорема 0.3. Пусть область П расположена вдоль оси Ох.,, s € 2, n u выполнены условия (10), (7), (9). Тогда найдутся положительные числа Ki,Mi(a,a,ip,p„k) и ограниченное решение u(í,x) задачи (4)-(6) с ограниченной функцией <¿>(x) такие, что при всех t > 0, г > 2z0 выполняется неравенство

||u(f.)iU,n, < Л-íiexp -К! J vp1,/"-{p)dp i Pi > k.

Наконец, в пункте 2.1.3 устанавливается оценка скорости стабнлиза ции решения задачи (4)-(6) при I —> оо.

Определим функцию

М1(г) = и* {¡Ь^УрьГК | д(х) € = 1} , г > 0.

Будем исследовать убывание в областях, для которых выполнено условие

Нт Ц\(г) = 0. (И)

1—>оо

Пусть гР1(€),гь{(),Ь > 0 — произвольные положительные функции, удовлетворяющие, соответственно, неравенствам

/ <>,<«)

ехр

\

rk(t)

iAl(rk(t))t > f v?/p-(p)dp, 14 = к. (12,)

1

Существование таких функций обеспечивается условием (11). Кроме того, из (12р,), (11) следует, что их можно выбрать так, что

lim r„,(t} = оо, х)\ > к.

t—>00 н ' '

Теорема 0.4. Пусть область П расположена вдоль оси Oxs, s € 2,п и выполнены условия (7), (10), (9). Тогда найдутся положитыъные числа Mi^icä,a,i£,k,ps,pi),ki{ä,a,ip,ps,k) и ограниченное решение u(t, х) задачи (4) -(6) с ограниченной функцией ip{x) такие, что при всех t > О справедливы оценки

I\u(t)\\k < MhPl(tß?(rPMTvlp,~k)

IluOOllfc < Mitexp

, Pi>k\

-ki I j iMIfc, Pi = k-

rt(t)

(13P1) (13*)

V 1

Если выполнены условия:

ßi(r)>Cr~a, r> 1, a,C> 0, 11

lim -i- f ^1/P'(p)dp = oo, 1

то можно выбрать

rPl(i) = p1>k, t > 0, ££(0,1), (14)

и оценка (13Pl) принимает вид

¡Hi)IU < Mir(1-£)/ip'-fc), £ € (0,1), t > 0. (15)

Выбор функции rPl (i) формулой (14) является удовлетворительным, поскольку оценка (15) имеет показатель степени близкий к показателю l/(pi — к) оценки снизу (8Р1).

Далее в §2.2 получены оценки сверху для решения задачи (1) — (3).

Определение 0.1. Неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел {z,/}jiL0 будем 'называть A[sj - последовательностью области П, расположенной вдоль оси Oxs, s = 2, п — 1, если существует число в > 0 такое, что выполняются неравенства

1 < 0\(zj, zJ+1)Aj, Aj = zj+1 -zj, J = Ö7ÖÖ, A(n, r2) = min{AÏ' (n, r2), A?(rb r2)},

A„(n, r2) = inf {llD^fll^^ ) fl(x) € CS°(n), Hall^nj. = l} , a = 1 , n.

Сначала в пункте 2.2.1 устанавливаются вспомогательные неравенства, затем в пункте 2.2.2 доказывается теорема об оценке сверху при xs —¥ 00.

Теорема 0.5. Пусть существует Х-последовательнос

ть и вы-

полнено условие (7). Тогда найдутся положительные числа кт,А4т (ß,p3,ms,k,ä,a) и решение u(t,x) задачи (1)-(3) такие, что при всех t > О, N > О справедлива оценка

!jii(i)\\kfl.„ < Мтexp {-KmN) ll^ilb pi > k. (16)

На основе неравенства (16) выводится оценка скорости убывания при t —> оо решения задачи (1) — (3).

Для Лт = О, оо определяется последовательность

pN = inf {¡l^'sll^ ^ | s(x) 6 СПП), IlfflU.fi'w = l} . Предполагается, что выполнено условие

' lim ц/, = 0. (17)

JV-» ос

Показано, что если это условие не выполнено, то достигается максимальная скорость убывания решения, т.е. справедливы оценки

|К«)||*<Мт,Р1Г1/<'>'-*\ t> 0, pi >к,

||u(i)lifc < Mm,kzyL-p(-kmt)\\iplk, t> 0, p\ — к.

Пусть NPl(t), Nk(t),t > 0 — произвольные положительные функции, удовлетворяющие, соответственно, неравенствам

/ „ \i/(?!-*) exp(/wVPl(i)) > ^ , р!>к.

Nk{t) < tv$k, pi = к.

Теорема 0.6. Пусть существует Х-последовательность {^л-} и выполнены усллоия (7), (17). Тогда найдутся положительные числа Mh,p,(Ps,Pi,to„, к, в, а, а, Иу?^), km(ps,m3, к, в, а, а) и решение u(t,x) задачи (1)-(3) такие, что при всех t > О выполняются неравенства

NOilfc < Мвд (f$n{t)t) ^ , Рх> к, (18л)

||u(i)ik < Mm,texp {-kmNk(t}) pi = fc. (18fc)

Если выполнено условие (17) и

lim Infix/N = 0, (19)

Лг—> ос

то можно выбрать

exp(/VPl(i)) = i>0; (20)

и оценка (18p,) принимает вид (15).

Наконец, в §2.3 в качестве примеров получены оценки сверху для областей вращения вида

«(/) = (х = х*) € R„ | > 0, |x'sj < f(xs)} , (21)

x'„ = (xi, ...,xs-i,xs+\, ...xn) с положительной функцией f(xs) < oo. От функции / требуется только, чтобы множество S7(/)[s] было областью.

В пункте 2.3.1 приводятся оценки сверху для ограниченных решений задачи (4)-(6) в областях вращения П(/)[«] при s £ 2,п. А в пункте 2.3.2 получены оценки сверху в областях вращения для решений задачи

(1)-(3).

Оценки (16), (18Р1), (18/t) выражаются через функцию f(x), с этой целью вводится понятие П-последовательности.

Определение 0.2. Неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел {2дг}}!?=0 определим равенствами

= 1, = Slip j^r > Ztf-l

inf fh*^(x) > (r - 2jV-l)5* [г«-l.O

где N = 1, oo, и назовем П-последовательностью функцгги f(x). Здесь для неотрицательных р использовано обозначение: p-r'd1 = рс при р < 1 и pd при р > 1, где с, d > 0.

Если существует постоянная w > 1 такая, что для всех х > 1 справедливо неравенство

sup {/(*) | г € [ж - + < Uf(x), (22)

то П-последовательность является А-последовательностью для

области J7(/)[s],

Несложным следствием теоремы 0.6 для областей вращения является следующая оценка решения задачи (1)-(3)

I 4

IMOIUa < Мтехр Г-ыт J j IMU, Pi > k

справедливая для t > 0, r > 1.

Предположим далее, что функция / удовлетворяет условию'

1 f dx

lirn -— / -Г , . = oo. (231

r-Mclnr J /I'Mil/i'irr) ~

Очевидно, что требование

lim /[^l/i.(r)/r = 0 (24)

г—

является достаточным для выполнения (23). Для областей вращения, удовлетворяющих условиям (24), (22), справедливо соотношение (19).

Таким образом, для областей вращения, удовлетворяющих условиям (24), (22), выбор функции NPl(t), pi > к, формулой (20) оправдан и справедлива оценка (15). Однако, для областей вращения вида (21) можно получить более тонкие оценки.

Пусть V(p, г) = {(ж, у) € Е2 | 2 < х < z + р, 0 < у < ¡^.¡ч^.М } _ прямоугольник со стороной р и левой нижней вершиной в точке z оси абсцисс. Для положительной функции f(x), х > 0, символ Ti(/) обозначает криволинейную трапецию

Г!(/) = {(X, у) € а2 ! 1 < X < Г, 0 < у < /(¡с)}.

Через р»(г) обозначается сторона наибольшего прямоугольника V(p«, z»), содержащегося в r'j(/).

Следствием теоремы 0.6 для областей вращения вида (21) при t>t\ являются следующие оценки

1М«)1Ы/) < M^f^-^gJit), pi > к, (25Pl)

/ wW \

IMOIIwir/} < Дплехр ! -fcm J f[q„Jlq.(x) 1 > Л = к> (25^)

где

' 3т(0 = s(W*))> 9(г) = G1/(pi-fc)(r), G(r) = (mesnr)<p!"fc)/A:P-*W. г > 1;

rm.Pl

~ f dx Int J ^ ч ,

1

flu, к

~ f dx t . „ ,

l

Установлено, что для областей вращения с функцией / при достаточно больших х, удовлетворяющей условию

f(x) < Схь, С, Ъ > 0,

функция <7т(£) растет медленнее любой степенной функции V, 7 > 0.

В областях П(/„), с функциями /»(ж) = ха, 0 < а < х :

0, /».(ж) = (г/1пж)7*/(г1, ж > е, для решении задачи (1)-(3) оценки (25Р1) (25^) принимают вид, соответственно,

Н«(011*Л(/.) < М^г^-'^шу«1-^, I > е, Л > Л, 91 , »г — 1 1

Ирх — А; А /:'

---- / ~ \

11«№11*,п(/.) < ®Ф ] . Р1= к,

Н«(

1кп</~) < M^i-^'-^exp (<?(1п*)1/2) ,

t > e, pi> к, q > 0, !M<)!kn(/,.) < Mm,fcexp (-fein'i), qs = 2, Pl = ä, ß:

Публикации по теме диссертации

Публикации в изданиях из перечня ВАК

[1] JI.M. Кожевникова, A.A. Леонтьев Оценки решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью // Уфимск. матем. журн. - 2011. - Т. 3. - №4. - С. 64-35.

[2] Л.М. Кожевникова, A.A. Леонтьев Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях // Уфимск. матем. журн. - 2013. - Т. 5. - №1. — С. 63-82.

[3j Л.М. Кожевникова, A.A. Леонтьев Решения анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областях // Вестник СамГТУ, Сер. Фяз.-мат. науки. - 2013. -№1(30).

- С. 82-89.

[4] Л.М. Кожевникова, A.A. Леонтьев Оценка скорости убывания решения анизотропного параболического уравнения высокого порядка в неограниченных областях // Вестник Башкирского университета.

- 2013. - Т. 13. - №2. - С 321-325.

Публикации в прочих изданиях

[5] JI.M. Кожевникова, A.A. Леонтьев Убывание решений анизотропного параболического уравнениях двойной нелинейностью в неограниченных областях // Тезисы докладов международной конференции, посвященной 110-ой годовщине И.Г. Петровского. - М: МГУ, 2011. - С. 236-237.

[6] A.A. Леонтьев О первой смешанной задаче для анизотропного квазилинейного параболического уравнения //' Труды Всероссийской научной конференции с международным участием "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Уфа: Гилем, 2011. - С. 6567.

[7j A.A. Леонтьев Убывание решения анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью // Тезисы докладов международной конференции "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании". - Уфа: РИЦ БашГУ, 2011. - С. 230.

[8] A.A. Леонтьев Существование и единственность решения первой смешанной задачи для анизотропного квазилинейного параболического уравнения /'/ Сборник материалов VI межвузовской конференции "Молодежь. Прогресс. Наука". - Стерлитамак: США им. Зайнаб Биишевой, 2011. - С. 124.

[9] A.A. Леонтьев Оценки решения анизотропного параболического уравнения с. двойной нелинейностью // Материалы международной конференции "Спектральная теория операторов и её приложения", поезященной памяти профессора А.Г. Костюченко. - Уфа: РИЦ Баш ГУ, 2011.-С. 41-42.

[10] A.A. Леонтьев Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью /,/ Научные труды СГПА им. Зайнаб Биишевой. - Стерлитамак, 2011. - Т.1. - №1. - С. 82-89.

[11] Л.М. Кожевникова, A.A. Леонтьев Убывание решений анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью // Тезисы VI уфимской международной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", посвященной 70-летию чл.-корр. РАН В. В. Напалкова. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2011. - С. 94-95.

[12] Л.М. Кожевникова, A.A. Леонтьев Допустимая скорость стабилизации решения анизотропного параболического уравнения высокого порядка// Тезисы международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. - Суздаль: МИАН, 2012.

- С. 87-88.

[13] A.A. Леонтьев Оценки скорости стабилизации решения анизотропного параболического уравнения высокого порядка в неограниченных областях /,/ Математическое моделирование процессов и систем.

- Стерлптамак: СФ БашГУ, 2012. - С. 80-98.

[14] A.A." Леонтьев Решения анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областях // Материалы III конференции "Математическая физика и ее приложения". -Самара: СамГТУ, 2012. - С. 164.

[15] Л.М. Кожевникова, A.A. Леонтьев О решениях анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областях /'/ Тезисы докладов международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ". - Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН, 2013. - С. 38-39.

[16] Л.М. Кожевникова, A.A. Леонтьев Убывание решений анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областях Ц Материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения к их приложения". Белгород: ИПК НИУ БелГУ, 2013. - С. 115-117.

[17] A.A. Леонтьев Принцип максимума для решений анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в'неограниченных "областях // Труды международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". - Уфа: РИЦ БашГУ, 2013. - Т. 1. - С. 324-330.

[18] Л.М. Кожевникова, A.A. Леонтьев О решениях анизотропных параболических уравнений в неограниченных областях ,// Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского: материалы международной Казанской летней научной школы-конференции "Теория функцнй, ее приложения и смежные вопросы". - Казань: Казанский университет, 2013. - Т. 46. - С. 247-249.

[19] Л.М. Кожевникова, A.A. Леонтьев О решениях анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областях // Труды международной научной конференции "Нелинейный анализ и спектральные задачи". - Уфа: РИЦ БашГУ, 2013. - С. 71-73.

[20] A.A. Леонтьев Поведение на бесконечности решений анизотропных параболических уравнений в неограниченных областях // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского: материалы XII Всероссийской молодежной школы-конференции "Лобачевские чтения-2013". - Казань: Казанский университет, 2013. - Т. 47. - С. 101 -103.

[21] A.A. Леонтьев Стабилизация решений анизотропного параболического уравнения высокого порядка в неограниченных областях // Тезисы международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 105-летию со дня рождения С .Л. Соболева. - Новосибирск: ИМ СО РАН, 2013. - С. 166.

Подписано в печать Формат 60 х 841/36. Гарнитура "Times". Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ ^-¿'OS Отпечатано в типографии Стерлитамакский филиал Башкирского госуниверситета 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Стерлитамакский филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Башкирский государственный университет"

СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ

ОБЛАСТЯХ

04201450190

На правах рукописи

Леонтьев Алексей Александрович

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Кожевникова Л.М.

Стерлитамак - 2013

Оглавление

Введение ..............................................................3

I. Допустимая скорость убывания решения 22

1.1. Теорема существования........................................22

1.1.1. Формулировка теоремы существования..............22

1.1.2. Предварительные леммы ..............................25

1.1.3. Доказательство теоремы существования..............32

1.2. Оценки снизу....................................................49

1.2.1. Случай к £ (1,2)........................................49

1.2.2. Случай к > 2............................................52

1.2.3. Неограниченная область ............................53

II. Оценки сверху 55

2.1. Оценки сверху для уравнения второго порядка..............55

2.1.1. Ограниченность решения..............................55

2.1.2. Доказательство оценок при х8 —У оо..................60

2.1.3. Доказательство оценки при >оо....................66

2.2. Оценки сверху для уравнения высокого порядка............68

2.2.1. Вспомогательные неравенства..........................68

2.2.2. Доказательство оценки при Ь —у оо....................71

2.3. Оценки сверху для областей вращения........................78

2.3.1. Примеры для уравнения второго порядка............78

2.3.2. Примеры для уравнения высокого порядка..........81

Литература 87

Введение

Данная работа посвящена исследованию скорости убывания решений анизотропных параболических уравнений высокого порядка с двойной нелинейностью в неограниченных областях при больших значениях времени. Изучению поведения на бесконечности решений задачи Коши и смешанных задач для эволюционных линейных и нелинейных уравнений (систем) посвящено большое число работ. Эта проблема ввиду многообразия качественных свойств эволюционных систем имеет различные аспекты. В диссертации исследуется стабилизация решений первой смешанной задачи в цилиндрической области £) = {£>0}хГ2в зависимости от параметров нелинейностей анизотропного уравнения и геометрии неограниченной области лежащей в основании цилиндра.

Изучение скорости убывания решений смешанных задач для параболических уравнений при больших значениях времени в случае неограниченных областей, когда начальная функция ограничена в одной из Ьр -норм, было начато А.К. Гущиным. В работах [7], [8] он установил точные оценки решений второй смешанной задачи для линейного уравнения второго порядка

в широком классе неограниченных областей в терминах простой геометрической характеристики v(r) = mes fü(r), fi (г) = {x € Г2 | |x| < r}.

Как показано в работах A.K. Гущина [7], [8], A.B. Лежнева [33], для уравнения теплопроводности в случае второй смешанной задачи с финитной начальной функцией происходит "равномерное распространение

п

(0.1)

а,/3=1

тепла" по области, состоящей из точек, удаленных от ее носителя на расстояние уД. В работах [53]—[55], [45] рассматривались смешанные задачи для параболического уравнения (0.1) в нецилиндрических областях. А именно, в [55] и [45] для первой смешанной задачи в предположении ограниченности сечений области плоскостями t = const получены оценки скорости стабилизации решения в терминах первого собственного значения соответствующего эллиптического оператора на этих сечениях. В работах [53], [54] В.И. Ушаковым в предположении, что нецилиндрическая область расширяется при возрастании времени, установлена справедливость результатов, близких к приведенным выше, для случая третьей смешанной задачи; при этом рассматривалось краевое условие, обеспечивающее сохранение энергии.

Ф.Х. Мукминовым, J1.M. Кожевниковой в работах [41], [24] в терминах некоторых геометрических характеристик получены точные оценки поведения решения первой смешанной задачи для уравнения (0.1).

Ф.Х. Мукминов, И.М. Биккулов в [4] исследовали стабилизацию решения задачи Риккье для уравнений 4-го и 6-го порядков. Ими получена оценка L2 - нормы решения при i -> оо и установлена ее точность по порядку стремления к нулю.

В.Ф. Гилимшиной, Ф.Х. Мукминовым в [5], [6] для линейного вырождающегося параболического уравнения второго порядка рассматривалась начально-краевая задача с чередующимися граничными условиями первого и третьего типов. Установлены двусторонние оценки скорости убывания решения при t —> 00 в зависимости от коэффициентов уравнения и геометрии неограниченной области.

Далее подробно рассмотрим некоторые результаты для квазилинейных параболических уравнений.

В работе А.Ф. Тедеева [47] была получена оценка сверху Ьг-нормы решения первой смешанной задачи для квазилинейного параболического

уравнения высокого порядка в дивергентной форме

J2 D"aä{t,yL,u,Du,...,Dmu) = 0, т > 1, (£,х) € D, (0.2)

а =m

где а = (ai,..., an), |а| = а\ + ... + ап. Здесь х, £) — каратеодо-риевы функции такие, что справедливы неравенства

£ М*, х, Ol < a J2 l^r1'

а —т

\а\=т

а > 0, р > 2, £ а^, х, ОЙ"' > * Е 3 > О,

|5|=т |а|=т

для любого вектора £ = ... ^ = \а\ = г. Для ре-

шения (ограниченного при р > 2) уравнения (0.2) с граничным условием

(0.3)

и начальным условием с финитной функцией <р(х.)

и(0,х) = р(х), (р(х.)еЬ2{П)

Dau{t, х) =0, S = {t > 0} х öfi, |ä| < т - 1 s

(0.4)

для t > 0 и достаточно больших г установлена оценка

1К*)1к2(ВДг)) < В\ exp -ci

гтр

t

l/(mp-l)

IMU2(«)- (0-5)

На основе неравенства (0.5) для р — 2 при достаточно больших £ получена экспоненциальная оценка

Г |у2т,^-|1/(2го-1П

||«(01и2(п) ^ Бзехр < -са —> 1Мк2(я)-

Здесь и далее — положительные постоянные. Функция г{Ь), £ > 0, определяется из равенства А 2т_1(г)£2 = г2; А (г), г > 0, — первое собственное значение задачи Дирихле для оператора —А в 0,(г). Ранее, аналогичный результат для линейного параболического уравнения высокого порядка был получен Ф.Х. Мукминовым [42]. Введем в рассмотрение область вращения

ВДМ = {х = (х'5,^) е Мп \х, > 0, |х'5| < /(¡г,)} , (0.6)

= ...,х3-1,х8+1, ...хп) с положительной функцией /(х3) < со. От функции / требуется только, чтобы множество 5Г2(/)[з] было областью. В квадратных скобках указывается необязательный параметр, который может опускаться.

В работе [47] показано, что при р > 2 для ограниченного решения задачи (0.2)-(0.4) в области вращения с функцией /(х8) = х", а > О, при достаточно больших Ь имеет место неравенство

1К*)Нып) < въг*.

При этом положительный показатель сз определяется постоянными п, а, т,р (точное значение не приводится).

А.Ф. Тедеевым в статье [50] для решения задачи

щ + (-1)т ^ = 0, т > 1, р > 2, (*, х) € Д (0.7)

\а\—т

(0.3), (0.4) при t > 0 установлены следующие оценки

1М*)Нып) > 1М1ь2(п)(1 + Р> 2;

\\и(тЫП) > Р = 2;

11м(£)1и»(п) ^ ВъГа, п < тр\ а = п{п(р - 2) + 2тр}~1; Н«(01и,(П) < п>тр, д>2.

Заметим, что последняя оценка является тривиальной при д = 2, поэтому, вероятно, что она грубая и при других значениях д.

Л.М. Кожевниковой, Ф.Х. Мукминовым [24], [25] в широком классе областей с некомпактными границами в терминах геометрических характеристик А (г) и и (г), выведена оценка решения первой смешанной задачи для слабо нелинейных систем и доказана ее точность (здесь и (г) - первое собственное значение задачи Дирихле для оператора —А на поверхности 7(г) = {х € | |х| = г}). Приведем результат для полулинейного уравнения частного вида

п

щ = (^М^к-Н^Ч д* > 1, (¿,х) € £>(/) = {Ь> 0}хОД).

а,/3=1

В широком классе областей вращения Q.(f) вида (0.6) для неотрицательного ограниченного решения задачи с неотрицательной ограниченной финитной начальной функцией <р(х) для достаточно больших t справедливы неравенства

/ Pit)

В$ ехр

( Pit) \ dx

\ 1

m

< sup u(t, х) < Bj ехр хе п(/)

-С5

\

/

dx

m I '

Здесь функция р(£), £ > 0, определяется из равенства Л(р)£ = / у и(г) ¿г.

1

В работе Р.Х. Каримова, Л.М. Кожевниковой [15] рассматривалась первая смешанная задача для квазилинейного параболического уравнения второго порядка

Щ = х, Vu))Xa - a(t, х, и), (¿, х) <Е D.

(0-8)

а=1

Здесь функции aa(t,x, £), а = l,n, a(i,x, s) измеримы по (¿,х) G .D и для всех 77 G Mn, s, г £ Ж при п. в. (¿, х) G D подчиняются условиям:

п

(аа(£, х, £) - аа(£, х, 77)) (£а - rja) > ô|£ - тур, р > 2;

а=1

|a(i, х, О - a (t, х, 77) | < - rçKKI + M)P~2, a = (аь ..., ап);

аа(£,х, 0) = 0, а = 1,п, a(i,x, 0) = 0; (a(i, x, s) — a(i, x, r)) (s — r) > 0; |a(i,x, 5) - a(i,x,r)| < a|s - r|(|s| + |r|)9-2, m < g < g*, g*=p +

2p

)

n

с положительными константами а, а, а.

Для решений первой смешанной задачи уравнения (0.8) установлены оценки сверху и снизу при больших значениях времени. В частности, показано, что в случае областей вращения с функцией /, удовлетворяющей условию

iim JL [ dx

r->co lnr J f(x) 1

= OO,

справедливы оценки

1Ж1к2(о)<^9Г1/(р-2)^), *>1, Р> 2;

(IX

где функция д(Ь) растет медленнее любой степенной функции, а г(£) -некоторая монотонно возрастающая функция. Кроме того, для некоторого класса областей вращения доказана точность оценки (0.9).

В работе [51] А.Ф. Тедеевым получены двусторонние оценки в равномерной метрике решения первой смешанной задачи многомерного уравнения пористой среды в областях конкретного вида. В работах [48], [49] для решений второй и третьей смешанных задач квазилинейных параболических уравнений второго порядка приведены точные оценки скорости стабилизации при £ —У оо.

В статье [56] рассматривалось поведение решения задачи Коши для уравнения

а—1

Для таких решений в предположении у? £ ^(М^ПХ^О^п) и <рХа € Ьр(Шп) установлены следующие оценки сверху и снизу. Если р > 2п/{п + 1), то

п

1М*)11ып) ^ 1М1ъ(п)(1 + ВП1У1'\ 7 = (2р(п + 1) - 4п)/щ < ||+ В6 = 7р/(7 + 2);

если р < 2п/(п + 1) и р > тах[1,2п/(п + 2)], то

1К*)1и2(п) < 1^1к(П)(1 - о < г < 1 /в13;

||VW(i)||Lp(o) < ||V^||Lp(n)(l - But)-1/d, 0 < t < 1/Bu;

INOItadU > IMW1 + V > 2;

IK*)IU2(n) > IMlL2(n)e-Cl0i, P = 2;

IMOIkw > IMIWi - V € [1,2), t < 1/Bl6.

В работе [65] при (p £ Lqo(Rn) для этой же задачи получена оценка

МОИмж g=9(J(+gyl2)).

Локальные оценки решения задачи Коши с растущей начальной функцией для параболического вырождающегося уравнения с анизотропным р-лапласианом и двойной нелинейностью установлены С.П. Дегтяревым и А.Ф. Тедеевым в [9].

Здесь приведены лишь характерные результаты о поведении решений квазилинейных уравнений, более подробные сведения можно почерпнуть из монографии [64].

Наиболее близкие к рассматриваемой в диссертации тематике результаты получены Ф.Х. Мукминовым, JI.M. Кожевниковой [27]. Ими исследована скорость стабилизации решения модельного анизотропного уравнения второго порядка без двойной нелинейности. Однако, наличие в уравнении двойной нелинейности приводит к существенным трудностям в обосновании существования и свойств решения рассматриваемых задач.

Таким образом, из приведенного обзора видно, что случай анизотропного уравнения второго порядка остается весьма слабо изученным, а для анизотропного уравнения высокого порядка автору вообще не удалось найти каких-либо значимых результатов. В диссертации для анизотропных параболических уравнений высокого порядка с двойной нелинейностью получены оценки скорости стабилизации при больших значениях времени решений первой смешанной задачи с финитной начальной функцией и в определенном смысле установлена точность этих оценок.

Пусть — неограниченная область Мп = {х = (х\,х2, жп)}, п > 2. В цилиндрической области И — {£ > 0} х для анизотропного параболического уравнения высокого порядка рассматривается первая смешанная задача

(\и\к~2и)ь = ¿(-1Г-1^? [аа ((Р£>)2) £>£>] , (0.10)

а=1

(£, х) £ Д к > 1, тпа € М, а = 1,п; ^аи(^х)|5 = 0, = 0,ттга — 1,

а

1,п;

(0.11)

и

(0 ,х) = <р(х), <р(х) € = (0.12)

Предполагается, что неотрицательные функции аа(з), б > 0, а — 1,п, подчиняются условиям: аа(5) 6 С^О, оо),

5в(Ра-2)/2 < аа(5) < 3в(р«-2)/2> (0_13)

6аа(з) < аа(в) + < Ьа^в), (0-14)

с положительными константами а > а, Ь > Ъ. Не ограничивая общности будем считать, что р\ < Р2 < ■ • • < Рп, Ь > р\/2. Уравнение (0.10) рассматриваем для случая р\ > к, поскольку в случае р\ < к решение за конечное время стабилизируется к нулю.

Заметим, что класс функций, удовлетворяющих условиям (0.13), (0.14) довольно широк. В частности, им удовлетворяют все функции вида

где /(я) € Сх(0, оо) - произвольная функция, такая что

а </(*)< а, 0 </'(*)*< а/00,

где а < Ъ-рп/2.

В модельном случае аа(в) = й^«-2)/2, а = 1, п, Ь = рп/2 и уравнение (0.10) принимает вид

п

а=1

В работе установлены результаты для уравнения высокого порядка, которые, в частности, будут верны и для уравнения второго порядка. Однако, для решений уравнения второго порядка удалось установить ограниченность, и это свойство позволило получить альтернативные оценки решений первой смешанной задачи:

п

{\и\к~2и\ = ^(^(О^к, (*, х) € Я; (0.15)

а=1

u(t,x) = 0; (0.16)

S

и{0,х) = <р{х), ^(х) G Lk{n), <рХа(х) <= LPa(tt), а = 1,п. (0.17)

В тексте диссертации будут использоваться следующие обозначения: Dba = (a, b) х Q- цилиндр, значения а = 0 и Ъ — оо могут отсутствовать, || • ||Pig — норма в LP(Q), р > 1, причем значения р — 2, Q — £1 опускаются. Положим in = (тьга2, ...,mn), р = (pi,p2, —,Рп), Ча = тара, а

1, п.

Глава I посвящена установлению максимально возможной скорости убывания решения. Ввиду того, что не удалось найти подходящих результатов других авторов, в §1.1 приходится доказывать существование и свойства обобщенного решения задачи (0.10) — (0.12).

Сам параграф делится на 3 пункта, первый из которых 1.1.1 содержит определения обобщенного решения и основных пространств, используемых в работе. Далее приводятся формулировка теоремы существования и обзор других работ, в которых существование решения устанавливается для близких задач.

В пункте 1.1.2 содержатся вспомогательные леммы, используемые в доказательстве теоремы существования. В пункте 1.1.3 изложено доказательство теоремы существования на основе галеркинских приближений. Следует отметить, что существование решения задачи (0.10) —(0.12) установлено для произвольной неограниченной области П. Случаи к £ (1,2) и к > 2 несколько отличаются друг от друга, поэтому сначала приводится полное доказательство для первого, а затем - элементы доказа-

тельства для второго, отличающиеся от него. Также в ходе доказательства попутно устанавливаются вспомогательные неравенства, которые используются в получении оценок построенного решения.

В работе A. Bamberger [58] установил единственность сильного положительного решения первой смешанной задачи для изотропного уравнения второго порядка с двойной нелинейностью в случае ограниченной области ft. Вопрос единственности решения задачи (0.10) — (0.12) остается открытым, поэтому все оценки получены только для построенного решения.

Далее изложен основной материал, касающийся поведения решения задачи (0.10) — (0.12) при больших значениях времени.

Начиная с §1.2 в работе рассматриваются области, расположенные вдоль выделенной оси Oxs, где s е 1, п. Предполагается, что область О, лежит в полупространстве JR„[s] = {х € Rn | xs > 0}, сечение 7r[s] = {х G Q | xs = г} не пусто и ограничено при любом г > 0. Обозначим ^a[s] = {х G | а < xs < Ь}, при этом значения а = 0, Ъ — оо опускаются.

Также предполагается, что начальная функция имеет ограниченный носитель так, что

В §1.2 устанавливается допустимая скорость убывания построенного решения при £ —> оо, в нем доказывается следующая теорема:

Теорема 0.1. Пусть область Г2 расположена вдоль оси Ох8, в € 2, п — 1 и выполнено условие (0.18). Тогда существуют положительные числа СР1,Ск(р,к,р1,а,Ь) и решение х) задачи (0.10)—(0.12) такие, что при всех £ > 0 выполнены неравенства

supp (р С zq > 0.

(0.18)

\Ht)\\k > Ml* (CMt + , Pl>k

(0.19л)

IK*) ||к > IMU exP (-ck(<p)t), pi = к.

(0.19*)

Доказательство этой теоремы проводится в два этапа. Сначала устанавливается оценка снизу решения задачи (0.10) — (0.12) в ограниченной области О,. Также как и в теореме существования, доказательства отличаются для к е (1,2) (пункт 1.2.1) и к > 2 (пункт 1.2.2). Затем, полученная оценка распространяется на неограниченную область (пункт 1.2.3). Как сказано выше, допустимая скорость стабилизации решения изотропного квазилинейного параболического уравнения высокого порядка при к = 2 изучалась А.Ф. Тедеевым [47] для первой смешанной задачи и N. АНкаков, Я. Ш^ташап [56] для задачи Коши.

Для ограниченного решения задачи (0.15)-(0.17) оценки вида (0.19Р1), (0.19*;) получены для областей, расположенных вдоль оси Ох8 при й € 1 ,п (см. теорему 1.2).

Глава II посвящена получению оценок сверху. В диссертации для этой цели используется метод, предложенный Ф.Х. Мукминовым для решений первой смешанной задачи в случаях линейного параболического уравнения второго [41] и высокого [42] порядков в неограниченной области О. Этот метод состоит в следующем. Сначала, устанавливается оценка убывания решения при удалении пространственного аргумента на бесконечность по области П. Затем, для фиксированного выбирается ограниченная часть области за пределами которой решение пренебрежимо мало, и в этой ограниченной части устанавливается оценка убывания решения по времени.

В §2.1 получены оценки сверху для решения уравнения второго порядка (0.15). Сначала, в пункте 2.1.1 при условии

на коэффициенты нелинейности устанавливается ограниченность решения задачи (0.15)—(0.17). Затем, в пункте 2.1.2 доказываются оценки сверху, характеризующие убывание решения задачи (0.15)-(0.17) при х8 —у оо.

п

(0.20)

Теорема 0.2. Пусть область Г2 расположена вдоль оси 0х8, б £ 1 ,п и выполнены условия (0.18), (0.20). Т�