Стабилизация решений волнового уравнения в областях с бесконечными границами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Д ОУ42.93 - 328

Г

У Л > €9

/ / ' ч/ ад/

«у

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИМ — УНИВЕРСИТЕТ

ум М Д г»

России 1

¡1 <Р™ение от Ц » 19 г., №

I; присудил ученую стшт-,^ АП';-г» .

;/ ' " ^ V . - 1 на правах рукописи

......

—• _ 13

ФИЛИИОВСКИЙ Алексей Владиславович

УДК 517.956.3

СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ГРАНИЦАМИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научней консультант — доктор физ.-матем. наук, профессор Муравей Л. А.

Москва — 1998

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Убывание локальной энергии и спектральные свойства оператора Лапласа.

§1.1. Обобщенное решение смешанной задачи из энергетического класса. §1.2. Спектральное представление обобщенного решения из энергетического класса.

§1.3. Спектральная непрерывность оператора Лапласа и убывание средних от локальной энергии.

§1.4. Спектральная абсолютная непрерывность оператора Лапласа и убывание локальной энергии.

ГЛАВА 2. Условия излучения. §2.1. Скорость убывания на бесконечности метагармонических функций в расширяющихся областях из классов Ц^,.

§2.2. Скорость убывания на бесконечности метагармонических функций

в регулярно расширяющихся областях из классов СИ у.

§2.3. Условия излучения в расширяющихся областях.

§2.4. Условия излучения в регулярно расширяющихся областях.

ГЛАВА 3. Спектральная непрерывность оператора Лапласа. §3.1. Рост Ь2 — норм метагармонических функций в расширяющихся областях.

§3.2. Рост ¿2 — норм гармонических функций в произвольных неограниченных областях.

§3.3. Спектральная непрерывность оператора Лапласа в расширяющихся областях.

§3.4. Убывание средних от локальной энергии в расширяющихся областях.

ГЛАВА 4. Спектральная абсолютная непрерывность оператора Лапласа.

§4.1. Принцип предельного поглощения и спектральная абсолютная непрерывность оператора Лапласа.

§4.2. Оценки решений волнового уравнения в весовых пространствах Соболева.

§4.3. Оценки решений уравнения Гельмгольца по спектральному параметру в полуплоскости {1т к > 0}.

§4.4. Оценки решений уравнения Гельмгольца в регулярно расширяющихся областях в замкнутой полуплоскости {1т к > 0}. §4.5. Убывание локальной энергии в регулярно расширяющихся областях.

ГЛАВА 5. Поведение решений уравнения Гельмгольца при больших значениях спектрального параметра.

§5.1. Оценки решений уравнения Гельмгольца в случае регулярно расширяющихся областей.

ГЛАВА 6. Распределение плотности энергии решений волнового уравнения.

§6.1. Оценки снизу плотности энергии решений смешанной задачи. §6.2. Оценки сверху плотности энергии решений смешанной задачи в регулярно расширяющихся областях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Пусть Q С Rn, п > 2 — неограниченная область с границей Г € С2. Рассмотрим первую смешанную задачу для волнового уравнения

ua(t, х) - A u{t, х) = 0, (t, x)eQ = (t> 0) х П, (0.1)

u(0,x) = f(x), ut(0,x)=g(x), (0.2)

u(t,x)\r = 0, i>0. (0.3)

Начальные функции будем предполагать вещественнозначными, гладкими в iI, согласованными с граничным условием (0.3) и обладающими конечным интегралом

I(}\х) + |V/(a;)|2 + g2{x))dx < оо. (0.4)

о

Известно, что для решения задачи (0.1)—(0.3) справедлив закон сохранения энергии

En{t) = f |grad M(i,a;)|2cte = Bn(0), t> 0, (0.5)

n

grad u(t,x) = (ut(t,x),Wxu(t,x)) G Rn+1.

Одним из основных вопросов, изучаемых в диссертации, является вопрос об убывании локальной энергии решения задачи (0.1)—(0.3), т. е. о справедливости соотношения

Ew(t) = J |grad u(t,x)\2dx ->• 0, t oo, (0.6)

zv

для произвольной ограниченной области Q' С О.

Сформулируем известные результаты. Рассмотрим вначале случай ограниченной Г. В [1] показано, что при п = 3 и произвольной ограниченной Г локальная энергия решений задачи (0.1)—(0.3) с финитными начальными функциями стремится к нулю. В монографии [2] этот результат установлен для всех п > 2.

Если поверхность Г неограниченна, то убывание локальной энергии получено при дополнительных условиях на Г. А именно, в работах [3] (при

п > 3) и [4] (при п = 2) соотношение (0.6) доказано в предположении, что поверхность Г звездна относительно начала координат, т.е.

п

{и, х) - J2 VjXj <0, хег, (0.7)

i=i

где (и 1,... ,ип) = и — единичный вектор внешней относительно Q нормали к Г, а начальные функции принадлежат весовому пространству Соболева. В [5] исследован случай, когда условие (0.7) выполнено вне некоторого круга (п = 2). В предположении, что граница Г приближается к сторонам угла V со степенной скоростью, т.е.

dist(x,F) < С{\ +г)-{Ш\ хеГ, г — |х|, (0.8)

s > о,

для решений задачи (0.1)—(0.3) доказано убывание локальной энергии. Из результатов работы [6], посвященной построению операторов рассеяния, следует, что соотношение (0.6) для решений задачи (0.1)—(0.3) выполнено в классе областей О, С Rn, п> 2, таких, что

(v,x)<0, xem{r>Ro}, (0.9)

и удовлетворяющих условию

dist(x, V) < С{ 1 + г)Й, х € Г, 0 < ô < 1,

где V — некоторый конус. В работе [7] установлено, что при п > 2 соотношение (0.6) выполнено в областях, удовлетворяющих условию (0.7) без дополнительных условий на поведение поверхности Г на бесконечности. В работе [8] были рассмотрены области с незвездными границами. А именно, в [8] убывание локальной энергии решений задачи (0.1)—(0.3) получено для областей VL С Rn, п > 3, удовлетворяющих условиям

71— 1

« Y1 uix3 + uriXn <0, X € Г п {г > До}, (0.10)

3 = 1

Y.U3X3> X егп{г > Но}, (0.11)

3 = 1

diam(íí П {xn = M» < CMa, M > О, С > 0. (0.12)

Обзор результатов в данном направлении содержится в [9] и [10].

Удобно изучать решения задачи (0.1)—(0.3) из энергетического класса. Для ограниченных областей этот класс решений определен в [11]. В §1.1 диссертации определяется энергетический класс решений задачи (0.1)—(0.3) в случае неограниченной области ÍI, т.е. функции u(t,x), t > 0, х е С1, такие, что u(t,x) е С([0, +оо); ut(t,x) е

С([0, +оо); L2(íí)), удовлетворяющие соответствующему интегральному тождеству и закону сохранения энергии (0.5). В этом же параграфе доказаны существование и единственность такого решения.

Чтобы изучить поведение функции E^{t) при í —>■ сю, представим решение задачи (0.1)—(0.3) в виде интеграла по спектральной мере соответствующего стационарного оператора.

Пусть L0 — минимальный оператор, порожденный в L2(Í2) дифференциальным выражением —Л, L — самосопряженное расширение Lo, соответствующее однородному граничному условию Дирихле. Существование замыкания Ь0 и самосопряженного расширения L при Г £ С2 устанавливается в §1.2. Так как L неотрицателен, то o{L) = ap(L) U<rc(L) С [0,+оо), где ap(L) — точечный, a ac(L) — непрерывный спектр оператора L. Оператор L называется спектрально непрерывным, если ap(L) = 0. Обозначим через {£(А)}, —оо < Л < +оо, спектральное семейство ортогональных проекторов, соответствующее оператору L. В §1.2 доказывается, что при всех f(x) € D{y/L) = W^i®), д{х) € Н = интеграл Бохнера-Стилтьеса

оо

u(t, х) = J eos y/\t dE(X)f+

о

°г sin \/~Xt ,. .

+1 —j=~dE(\)g (0.13)

сходится в D(y/L) равномерно по t € [0, Т], а его производная по t представляется интегралом, сходящимся в Я равномерно по te [0,Т]. В лемме 1.2.1 показано, что определяемая соотношением (0.13) функция u(t,x) является обобщенным решением задачи (0.1)—(0.3) из энергетического класса.

Поведение функции Епри < оо определяется спектральными свойствами оператора Ь. Соответствующие утверждения доказаны в первой главе диссертации. Следующая теорема устанавливает, что стремление к нулю локальной энергии даже при финитных начальных функциях возможно лишь при спектральной непрерывности оператора Ь.

Теорема 1.^.1. Если ар(Ь) ^ 0, то существуют такие начальные функции /(ж) € д(х) € и ограниченная область П0 С Г2,

что

Ит ЕПо(1) > 0. (0.14)

£—>оо

Изучим поведение при £ —> оо временных средних локальной энергии

1 Г

- у ЕП'(Т)(1Т. о

Теорема 1.3.2. Если оператор Ь спектрально непрерывен, то для любых начальных функций /(х) € И^Ч^)? ^ Ьг(^) " произвольной

ограниченной области С Г2 выполнено соотношение

~ I Е„{т)<1Т = 0. (0.15)

о

Теорема 1.3.2 усиливает результат работы [2], где показано, что в случае оР(Ь) = 0 для решения задачи (0.1)—(0.3) и произвольной ограниченной области С П выполнено равенство

ИтЯП'(*)=0. (0.16)

Рассмотрим множества

Ме = {£ > 0 : Еп>{г)>е}, £ > 0.

Из теоремыо1.3.2 следует, что, если оператор Ь спектрально непрерывен, /(х) € И^1 (П), д(х) е ¿г(^) и О' С Г2 — произвольная ограниченная область, то для любых положительных чисел е и 6 существует положительное число Г0, такое, что

тей(МЕ П[0,Т\) <8Т, Т>Т0.

Отметим, что поведение при t оо временных средних от решений задачи Коши и второй смешанной задачи для гиперболических уравнений второго порядка в неограниченных областях (квазиасимптотика) изучалось в работах [12]—[14]. Обзор результатов в этом направлении содержится в [15].

Установим теперь достаточное условие стремления к нулю самой локальной энергии решения Для этого сузим класс спектрально непрерывных операторов Ь и будем рассматривать спектрально абсолютно непрерывные операторы. Подпространство Нас С Н называется подпространством абсолютной непрерывности оператора если функция (Е(Х)к, К)н абсолютно непрерывна по Л для всех /г £ Нас (см., например, [16]). В случае Нас = Н оператор Ь называется спектрально абсолютно непрерывным, а его спектр сг(Ь) = аас(Ь) — абсолютно непрерывным. Подпространство Нас замкнуто в Я ([16], С.640, Т. 1.5).

Теорема 1.4.1. Если оператор Ь спектрально абсолютно непрерывен, то для любых начальных функций ¡(х) € Й^1^), д(х) € Ьг(^), " произвольной ограниченной области О,' С О, выполнено соотношение (0.6).

В главе 3 диссертации устанавливаются условия на область О, обеспечивающие спектральную непрерывность оператора Ь.

Известно, что при произвольной ограниченной Г оператор Ь спектрально непрерывен [17]. В случае неограниченной Г первый результат в этом направлении получен в работе "[17]. А именно, в работе [17] рассмотрен класс областей Г2, границы которых удовлетворяют условию

е„) < 0, хеГ, (0.17)

где еп — координатный вектор оси Охп, и таких, что сИат(Г2 П {а;п < М}) < оо при всех М > 0. Для областей из этого класса, каждая из которых содержит некоторый полуцилиндр, в [17] доказана спектральная непрерывность Ь. Из результатов работы [18] следует, что Ь спектрально непрерывен, если поверхность Г звездна относительно начала координат, т.е. выполнено условие (0.7) (область в этом случае содержит конус). Нарушение условия (0.7) внутри некоторого шара не изменяет спектральной, непрерывности Ь ([5],[83]), а невыполнение (0.17) на сколь угодно малом участке Г может привести к появлению собственного значения у Ь [17]. В работе [19] был определен класс областей О,, удовлетворяющих условиям (0.10) и (0.12). Для областей из этого класса в [19] доказана

спектральная непрерывность оператора Ь. Исследованные в [19] области содержат некоторый параболоид и по минимальной скорости расширения на бесконечности занимают промежуточное положение между областями, удовлетворяющими условию (0.17) и областями со звездными границами (0.7). Подробный обзор результатов по спектральной непрерывности эллиптических операторов второго порядка содержится в [82].

В диссертации рассматриваются области, границы которых звездны относительно некоторого класса векторных полей.

Пусть <р(х) — положительная квадратичная форма на Л™. Будем счи-

п

тать, что <р(х) = £ 0 < «х < а2 < ... < ат < ат+1 — ... = ап —

з=1 _

1. Предположим также, что начало координат содержится в Я" \

Определение 0.1. Область называется областью класса Др, если

Определение 0.2. Область О, называется областью класса Г)^, если существует число /?0 > 0, такое, что

Геометрически условия (0.18) и (0.19) означают звездность поверхности Г (ГП {г > Я0}) относительно векторного поля У<^(ж). В частности, при

= 1 из (0.18) ((0.19)) следует звездность поверхности Г(Г П {г > Д0}) относительно начала координат. Классы областей Др были определены в работе [20], а классы Др — в работах [7], [21].

Теорема 3.3.1. Если п > 2 и О, е то оператор Ь спектрально непрерывен и его спектр заполняет всю положительную полуось.

Из теорем 1.3.2 и 3.3.1 следует стремление к нулю временных средних локальной энергии решений смешанной задачи для областей из классов

¿V

Теорема 3.4.1. Если п > 2 и О, £ Др, то для любых начальных функций /(х) е д{х) £ и произвольной ограниченной области О,' С & выполнено соотношение (0.15).

В четвертой главе диссертации устанавливаются условия на область П, обеспечивающие спектральную абсолютную непрерывность оператора Ь.

(|/, <о, хеТ.

(0.18)

(и, 4<р(х)) < 0, х е ГП {г > До}.

(0.19)

Основным приемом спектрального анализа, позволяющим устанавливать спектральную абсолютную непрерывность оператора, является формула обращения Стилтьеса (см., например, [22], приложение 2, или [23], добавление 2). Впервые формула обращения Стилтьеса была применена > для исследования функции (Е(Х)к,Ь)н в случае обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на полуоси [24]. Позднее появилось соответствующее утверждение для операторнозначной функции Е(А), — оо < А < +оо (теорема Стоуна, см., например, [25], и [16], стр. 446—452). В работе [26] формула обращения Стилтьеса применялась при исследовании спектральной меры полуограниченного снизу оператора Шредингера в Ь2{Я3). Подобное изложение содержится в работе* [27] (см. также обзор результатов в этом направлении в монографии [28]). Результаты работы [27] были уточнены в [29], [30]. В работе [30], кроме того, были рассмотрены области Q, являющиеся внешностью компакта в R3. В работе [5] формула обращения Стилтьеса применена для изучения спектральной функции оператора Шредингера в двумерной области с бесконечной границей, удовлетворяющей условиям (0.8), (0.9). Работа [31] содержит формулировки теоремы Стилтьеса для спектральной функции абстрактного оператора и применение этих результатов в случае полигармонического оператора в L2(£2), гДе ^ — внешность компакта в Дп; п> 2.

ОО

Обозначим через R{z) = (zI-L)~l = f z = Ç+ir £ {т = 0, f >

о z

0} — резольвенту оператора L. В диссертации используется следующая форма теоремы Стилтьеса.

Лемма 4.1.1. Пусть для любой функции h(x) G С°°(0) функция .

7/(0 = Иш ((Д(£ + гт) - Я(£ - ir))h, h)H

т—>+и

непрерывна при —со < Ç < +оо и при всех А > 0 выполнено соотношение а л

Дт I((Д(£ + ir) - - ir))h, h)HdÇ = I r)(Ç)dÇ. (0.20)

о о

Тогда оператор L спектрально абсолютно непрерывен.

Таким образом, доказательство спектральной абсолютной непрерывности оператора L сводится к обоснованию принципа предельного погло-

щения для первой краевой задачи для уравнения Гельмгольца

Ау + к2у = Цх), хеП, (0.21)

к — и> + щ, —оо < ш < +оо, ц, > 0, А — к2,

у\г = о, (0.22)

т.е. к исследованию поведения решения задачи (0.21), (0.22) при А —> А0 6 а(Ь) для Д е 6°°(П).

В четвертой главе диссертации устанавливаются условия на область обеспечивающие справедливость принципа предельного поглощения для задачи (0.21), (0.22). Приведем известные достаточные условия справедливости принципа предельного поглощения, не конкретизируя пространств, в которых изучается предел решения задачи (0.21), (0.22). В [32] показано, что принцип предельного поглощения выполнен при п > 2 и произвольной ограниченной Г. Если поверхность Г неограниченна, то справедливость принципа предельного поглощения доказана при дополнительных условиях на Г. А именно, в работах [5], [33], [34] принцип предельного поглощения обоснован в двумерном случае в предположении, что поверхность Г удовлетворяет условиям (0.8), (0.9). В работах [35], [36] изучался принцип предельного поглощения при п > 2 в областях, удовлетворяющих условию (0.9) и устанавливалось существование предела решения задачи (0.21), (0.22) при А —> А0 € о(Ь) \ {0}. В работе [8] при п >2 для областей с незвездными границами, удовлетворяющим условиям (0.10), (0.12) (этот класс областей был определен в работе [19]) обосновывалось существование предела решения задачи (0.21), (0.22) при А-+Ао€а(Ь)\{0).

В четвертой главе диссертации изучаются спектральная абсолютная непрерывность оператора Ь и принцип предельного поглощения для задачи (0.21), (0.22) в классах областей, С Др, расширяющихся на бесконечности не быстрее некоторого параболоида. Вначале определим классы областей б,, и в случае «1 = 1, полагая = и = Д^,. Пусть теперь а\ < 1.

Определение 0.3. Область ЧЛ е Цр называется областью класса если, существует постоянная С\ > 0, такая, что

т п

Е х])ат> (0.23)

.7 = 1 .7=771+1

Определение 0.4. Область П е Д<, называется областью класса С?^, если существует постоянная С\ > 0, такая, что

т п

< сх{ £ ж2)<*"\ ж € п П {г > До}. (0.24)

j=l j=m+1

Например, область

О! = {х : [х\ +х\)1ъ > 1 + С\хх\"} С В3, 0 < а < 1, С > О,

принадлежит классу с (р = аж2 + ж2 + ж2, область

0.2 = {х : х3 > 1 + С{х 2 + С Я3,

принадлежит классу с = а(ж2 + Ж2) +£3. Классы областей и были определены в работах [7] и [37].

Теорема 4.5.1. Если п > 2 и О, 6 то оператор Ь спектрально абсолютно непрерывен.

Из теорем 1.4.1 и 4.5.1 следует убывание локальной энергии решений задачи (0.1)—(0.3) в областях из классов

0 Теорема 4.5.2. Если п > 2 и О £ то для любых /(ж) € И^1^), д(х) € Ь2(0) и произвольной ограниченной области О,' с выполнено соотношение (0.6).

Доказательство теоремы 4.5.1 основано на использовании леммы 4.1.1 и принципа предельного поглощения для областей из классов С^,.

Сформулируем вначале принцип предельного поглощения для задачи (0.21), (0.22) для областей из классов с с^ = 1.

Теорема 4.5.5. Пусть п > 2, а1 = 1«Г2е Тогда для любого

N > 0 функция ь(х,к) удовлетворяет неравенству р

J (|«г - ШУ|2 |Угг;|2 + 2 ^ 2(? )йх < п Г

< С(Л0 I г2\п21!г\Н\Чх, = |Уг;|2 - |г>г|2, (0.25)

= {1т к > 0, \к\ < Щ, д = 1 при п = 2 и д = 0 при п