Стабилизация решения первой смешанной задачи для системы уравнений Кавье-Стокса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р Г Б ОД

,„.-., ... РОССИЙСКАЯ .АКАДЕМИЯ НАУК

МАТЕМАТИЧЕСКИ Ш1СТИТУГ ИМЕНИ В. А. С'ГЕКЛОВА

на правах рукописи

МУКМИЮВ Фарит Хвмзаевич

УДК 517, 9

СТАБИЛИЗАЦИЯ РИСЕНКЙ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ! УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-магематичэских наук

Москва - 1991

Работе выполнена в Математическом институте им. В. Л. Стаклова РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математичоских наук, профессор Ю. А. ДубинскиП

доктор физико-математических наук, профессор В. А. Кондратьев

ч,

доктор физико-математических наук, профессор Б. В. Пальцев

Ведущая организация - Институт математики СО РАН

Защита состоится 2-0' ©uz-7"1994r- Б ^ часов на заседании специализированного совета Д 002.38.01 при Математическом институте РАЯ (117966, Москва, ГСП-1, . ул. Вавилова. 42)

С диссертацией можно ознакомиться в СиОлиотеке МИРАН

Автореферат разослан " С&ы."^ 1994г.

Ученый секретарь ' '

специализированного совота ■доктор физико-математических наук

профзссор А'К' ГуШ"Н

ООШЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАГОТН Актуальность темы. Исследованию товедония при йолышх значениях времени решений смешаннцх задач Для нестационарных уравнений и слотом посаяшяно большое число раСог. .Однако до недавнего времени для системы уравнений Напье-Стокса Сил известен лишь результат к,nasuda (Í975) о равномерной убшшии решении

внешней задачи ив медленнее чем Позднее этот результят

сил усилен в работе л.нвумооа (1930): в произвольной трехмерной области с трижды гладкой границей установлено равномерное убывание решения со скоростью

Долго оставался Саз ответа поставленный ешо в работе J.Leray (1934) вопрос: убывает ли кинетическая энергий решения залами Кош« для сиотемы уравнений Навье-стокса. Лишь в 1904 году в работах T.Kato и K.Masuda, был дан утвердительный OTD8T. Это стиму-лироввло появление в последшш десять лет большого количества работ, посвященных исследованию скорости усыпания кинетической энергии решения задачи Кош» и внешней задачи. В 1392 голу Появилась работа Н.Когопо, T.ogawa, H.Sohr, ПОСВЯШОШ1ЭЯ i оценкам решения внешней задачи. В частности, в предположении суммируемости начальной функции доказано равномерное убивание

решения со скоростью t"n/í4C - результат, близкий к предельному.

Отметим, что случай областей с некомпактной границей оставался практически неисследованным, даже для линеаризованной .системы уравнений Нввье-Стокса.

В двумерном случае известен интересны« результат Б. В. Русанова (1955) о поточечной стабилизации к нулю решения лпноаризо-' ванной система уравнений Нввье-Стокса во внешности круга при ограниченной начальной функции. Аиплогичныв результата в . трехмерном случае не были известны.

Следует упомянуть работы В. К. Масленниковой и других авторов, посвященных изучении асимптотики прл t 4 « решений задачи Копта • и в полупространстве для различию, уравнений, опиевваюпшх движение вращающейся жидкости. Эти системы, благодаря наличию кориоли-сового члена, сильно отличаются от системы Стокса. Например, в одной из работ В.Н. Масленниковой установлено, что рекюшга золами Кош для система уравнений врампюаейоя к.икает» убыюот со

скоростью съ'г равномерно по всему пространству. В случае же сиотемн Стокса решение задачи Ковш совпадает с решением задачи Коши лля уравнения теплопроводности и Поэтому оно убывает как г'*" равномерно на всем пространстве, если начальная функция суммируема.

Цель работы* исследование зависимости поведения при большом значении времени решения первой смешанной задачи для системы уравнений Навье-Стокса от Начальной функции и неограниченной по пространственным переменным области.

Научная новизна. В диссертации установлены следующие основные результаты!

а). Найден и доказан критерий равномерной стабилизации решения внешней задачи для системы линеаризованных уравнений Навье-Стокса с ограниченной начальной функцией. Доказательство существенно опирается на полученный нами результат о равномерном убывании решений внешней задачи с суммируемой с квадратом начальной функцией со скоростью С"3'4 как для линейной, так и для нелинейной систем уравнений Навье-Стокса - результат, предельный в случае уравнения теплопроводности.

б). Для достаточно широкого класса областей с некомпактной границей доказана равномерная оценка решения первой смешанной задачи для нелинейной системы уравнений Навье-Стокса, выражавшаяся через простые геометрические характеристики неограниченной области.. Эта оценка для широкого класса областей'совпадает с точной по порядку стремления к нулю при с » оценкой рзиення первой смешанной задачи для равномерно параболического уравнения* второго порядка. Аналогичные оценки установлены для кинетической энергии и всех слагаемых, входящих в систему уравнений Навье- ' Стокса. Доказательство этих результатов основано на нашей оценке, характеризующей убывание при |*| -» ». распределения кинетической-энергии решения.

Все оеновниз результаты диссертации являются ловили.

Методика исследования. Мотели, использованные при доказательстве результатов а), С). являются новыми. Метод доказательства результатов б) в идейном плане восходи: к работам з. Кпо«1ее (19В5) и Р..Тоир1п (1955), в которых для различных задач теории упругости осог.твнвавтея таи нэзивээмий принцип Сен-Веиана

об экспоненциальном затухании влияния финитного возмущения граничцю дашшх при удалении от места возмущения.

Тоаратичосхая и практическая ценность. Результат« диссертации имеют теоретический характер и ногут бить использованы в исследованиях по гидродинамика в УДИ. Санкт-Петербургском отделении МИРАН, Ввшгооуниварсигето, Институте гидродинамики СО РА)!, МГУ.

Апробач«« работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах I

Математического института им. В. к. Стаклова РАН (рук.-академик В. С. Владимиров, рук, - В. Г1. Михайлов ), Санкт-Петор-ОурГокога отделения Математического института ран ( рук. -академик O.A.Явдйжвнокая. профессор В. А.Семенников }, Московского госунивврситэта (рун, - академик О. А. Олейннк, рук. -Профессора В. А. Кондратьев; Е. М. Лвндис ), Московского энер- ■ готического института (рун. - профессор Ю. А. Дубинский), Университета дружбы народов (рук. - профессор В.Н. Масленникова), Вашкирокого гооуниверситата (рук. - профессор Я. Т. С'ултанавв), Института математики РАН, г.Уфа (рук. - профессор Л. А._ Калинин}, Институте математики СО РАН, г. Нойосисирок (рук. - профессор Т. И. ЗелвНяк).

а твюка на Международной конференции, посбяишшой памяти JI. Г. Патравокого (Москва, 1991г.). Совместных заседаниях семинара ш. И.Г. Петровского и Московского математического о&даотва ( Москва, 1993г.).

Пувликации, Основные результаты диссертации опублпко-ьанц ¡з 9 работах.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения,, трах глав, приложения и списка литературы. Нумерация теорем, лемм, следствий и формул ведется отдельно в каждом параграфе. При ссылке на утверждение или формулу из другого параграфа используется тройная нумерация. (Гак, запись (1.2.3) означает формулу (3) из §2 главы 1. Текущие номера главы и параграфа могут Сыть опутан«. Общий объем диссертации 223 страницы, библиография - .97 наименований. •

СОДЕШШЕ РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию стабилизации решений

- в -

первая сметанной задачи для линеаризованной И нелинейной систем уравнений Навьэ-Стикса с неограниченной па пространственным переменный циливдричэбкой области. Нас Суде? интересовать зависимость поведений решения атоЦ[ задачи при больших значениях времени г от области п, ^ежащей в основании цилиндра, и от начальной функции. В основном мы будем изучав рарномарнуч стабилизации решения, т.е. стабилизации в пространстве 1м(п). .

'Интунтиыю ясно, что среди всех слагаемых, входящих в систему уравнения 1|авье~ртцкся

+ ц-5и ч иЩ-Чр , н « о, £ > о, к е 0, (1)

определяющую роль в поведении, реишня при t м должен играть член отуачащиЦ вязкости еддкрсти. ^атаму естественна сначала изучить интересующую нас задачу нв простейшая модели -уравнении теплопроводности Как Судет видно из приводимых ниша результатов, с ^ачки зрение рассматриваемых вопросов система уравнений Ивдье-Стокогдействительно блиэкв к уравнению теплопроводности. Но'Давд для этого простого уравнения изучение зэвисимости поведения решения рг совокупности "цвреме.ннцх" - неограниченной рвлвстй о и начальной функции ¡р - является в случвз первого краевого условия непростой проблемой. Поэтому мы выделяем Лвв такие задачи, в которых инторасуацая нас ртабилизация решения зависит, •грурд говоря, толькр от одной '¡переменной": у однрм случае только от начальной функции, в другой - только от области.

Воли от канальной функции требовать только ограниченность, то радение, вообще говоря, нв обязано равномерна стабилизироваться. Геким аОразим, возникает ааЗача о критерии равномерной ст-СимэацииI найти условна на ограниченную начвльнур функцию, необходимое и достаточное для равномерной стабилизации решения. Интересно текже проследить зависимость такого условия от неограниченной области п.

Рассмотрим теперь класо финитных начальных функций, ограниченных в одной из соОолевеких норм! Тогда решение первой смешанно^ задачи для уравнения теплопроводности равномерно стремится к нулю При г стремящемся к Оосконечноотц. Ищется такая функция , стремящаяся к бесконечности при с -» «, чтобы, во-первых, решение йрц достаточно больших значениях времени подчинялось оценке

-ln |u(t)|t {a) г с 0(t), с > О,

при любой начальной функции из рассматриваемого классе. Во вторах. чтоби решение с любой неотрицательной начальной функцией из этого класса удовлетворяло оценке

-Ь |u(t)| ((1) s с i/(t), ,.

при достаточно больших значениях времени. Задачу о изучении зависимости функции t/(t) от геометрии неограниченной области км будем называть задачей о вспухании финияного возмущения. ■ Ниже будет показано, что требование ограниченности носителя начальной функции существенно, так как в инои случае скорость стабилизации решения начинает зависеть еще и от начальной функции.

В работах А. К. Гущина аналогичная задача рассматривалась для параболического уравнения со вторим краевым условием и называлась, им задачей о максимальной скорости стабилизации.

Первая глава диссертации посвящена изучению стабилизации решений равномерно параболического уравнения.

Естественно сначала рассмотреть поведение, функции Грина a(t.x, у) первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности, так как оно зависит только от области л,

и( » Лц , • t > о, * с п, (2)

¿0 ■ " <3> uJt-0 * '(*>• (4>

Предположим, что граница <зл области л достаточно гладкоя. Тогда функция Грина задачи (2)-(4) для ограниченной области ri представляется в виде

ta

G(t,r,y) • I , • (5)

1«!

где - собственные значения первой краевой задачи для оператора

- в -

-л, а г1 - соответствующие собственные функции. Представление (5) доказывает, что порядок, с которым стабилизируется функция Грина, (далее мы будем употреблять термин "скорость стабилизации"), определяется собственным значением. Последнее, в свою очередь, определяется облвотью а.

Таким образом, в случае ограниченной области, зависимость Поведения функции Грине задачи (2)-(4) при больших значениях времени от области П достаточно прозрачна, ее можно считать в определенной мере изученной (,в той мере, в Явкой исследовала зависимость от п собственных значений й собственных функций v1 ■ соответствующей стационарной задачи).

В случае'неограниченных областей ситуация значительно более сложная. Если а - угол ( г>о, о < <р < а/2 j с пг, то, как

а I

нетрудно проверить, функция Грина задачи (2)-(4) убывает при t-m Как * равномерно по * е п. Если'п - полуполоса { * >о ,

|*а|<а } с н3, то функция Грина убывает экспоненциально! для всех t г 1 справедливы оценки

с expf-* £- I & sup G(t,x, у) s С expf-к -- j \ а > *е(1 1 а '

с абсолютными постоянными к2 и положительными ПОСТОЯННЫМИ с, с

зависящими от у. Если область п можно поместить в угол любого раствора и в нее-можно вписать полуполосу любой ширины, (например, п - внутренность параболы {*•* < *,)), «то в силу принципа максимума,

функция Грина убывает' быстрее любой степенной функции и медленнее любой экспоненты: для любых положительных тис начиная с некоторого момента времени г - г (л,с.у) она удовлетворяет оценкам

s sup B(t,x, у) i — > t z Т. xei) t"

Естественно возникает задача об отыскании- такой геометрической характеристики неограниченной области, которая определяла бы скорость стабилизации фуншш Грина. Оказывается, в широком классе областей такой характеристикой является следующая функция \(г) { будем считать, что качало координат принадлежит а ): при каждом

- в -

г > о число а(г) есть первое собственное значение задачи Дирихде для оператора -4 в ог. - { «eil! |*| < г ),

/ |<?r|2tJr

nr

А(Г) - iQi --

г«*|(()г) I к2 dx °г

Аналогичная характеристика неограниченной области использовалась рацее в работа Ü. А.Ояайник и Г. А, Иосифьяна при исследовании вопроса о классах единственности для параболического уравнения

. " Л I Зи ,

■с измеримыми коэффициентами atJ - »Jl , удовлетворяющими условию

равномерной парайоличности с постоянной г В той же работе для тех we целей исгЮльзовалааь также и другая характеристика - v(r) - неограниченной области, которая понадобится несколько ниже.

/ | VV| 2 die

V (г) » - .

/ V2 йх .

Эдась » ■ ( * в о I |*| ■ г ), градиент вычисляется по ортогональным п-1 квоатвльнда направлениям к поверхности 5г .

В II. 1 доказано, что функция *0) монотонно не возрастает и непрерывна ца (о,»). Для нва нетрудно получить оценки через простыв геометрические характеристики области. Пусть, например п -неограниченная область сращения вида

п - ( * е д", х-(х^х')-. I*' I < П*,). *,>0 ). (7)

где I - непрерывная неотрицательная на [0.™) функция. Тогда справедливы оценки

1 с

* *(г) * ---. (8)

csT(r) i2(r)

sr

с некоторой постоянно? с > о, зависящей только от п ; здесь g(r) - радиус наибольшего шара, помещающегося в пг.

Обозначим через г(е), t > Ни г/^ТИГ функцию, обратную к

г-»о

монотонно возраставшей непрерывной нр (о,«) функции г/УГПТ • Очевидны равенства

t^U . r(t)VTIrf . b(r(t.))t. (9)

Нижесдедумцва утверждение дает оценку функции Грина первой смелацной задачи для ррраВодичаскога уравнения (6) без всяких ограничений на рСЦаоть. Впарена существование функции Грина и неко-торне ре свойства я случае BTQpoft смешанной задачи для уравнения (6) в произвольней цилиндрической области были доказаны Д. К. Пущиным. В раОоте авторе [3) йот результат (Зил распространен на • случай пареой сывшаной задачи. Под функцией Грина здесь мы поцимавм ядра оператора, представлявшего решение.

. ТЕОРЕМА 1.1.1. Грина ваОачи (6), (3), (4) Оля йсвх .

А > о, у е Ц t > ib/УПЩ удовлетворяет оценке

max s С f"/! *хр(-к tiUl ] . (10)

. • «О ' '

'i о положительными посютнши cue, зависящий только от п и по-схоянкай параооличност . •

Нише ОуДут приведены условия на класс областей вращения вида (?), гарантирующие точность оценки (Ш) по порядку стремления к • нулю при t ю. Очевидно, -.что решение задачи (6), (3), (4) с начальной функцией г s носитель которой лежит В nR, подчиняете^ оценке вида (10).

Для того, чтоСи показатель экспоненты в оценке (10) стремился к бесконечности, как Видно из (9), необходимо и достаточно по-^ррОовать выполнения условия

lie r**.(r) - «. (11)

Если оно не выполнено, то оценка вида (№) является следствием известной оценки Кэша фундаментального решения уравнения (6)

пак ГО,*,у) а сь'п'*. (12)

*

Из оценок (В) о ладу от, что для областей враштшя вида (?) условие (11) эквивалентно требованию

11га г/?(г) - ». (110

В доказательства теоремы 1.1.1 существенную роль играет известная оценка Д.Аронсона фундаментального решения задачи Коим для уравнения (6)

с^-тГ^'ехр^!»^ ] ^ Г(Е,хк.у) 5 ■

1 е1(1-*)-в'*.*р(-«21г£И ]. (13)

Оценка функции Грина 1 (с, «■. у) »торой смешанной задачи для

параболического уравнений (6), совпадающая по форме с правой частью неравенств (13), была доказан? А. К. Гущиным для некоторого класса областей, близких к конусу. Позднзе, в работа А. К. Гущина, В.П.Михайлова и П.А.Михайлова при других ограничениях, на область Сила получена несколько отличающаяся оценка '

с вкр(~к ¡х-у^/й) тах (г(/£.х) у))

'и^.'.У) * -——:———^ . для всех I > о, * е п;

здесь чероз г(г,х) обозначена мера множества п(г,х) - ( уеП! |*-у| < г ). Там же.доказано, что в довольно широком классе областей п последняя доставляет точную оценку функции Грина в норме

Ь : «

с (у) с

■ ° - - « вир В (й.х, У) 5 --- .

с(УТ, 0) X . 1 ' . У(уГ,0)

Точные оценки функции Грина второй смешанной задачи для уравнения теплопроводности для некоторого класса некомпактных много- ,. ■ образий с краем были установлены А. А. Григорьяном.

•Обратим внимание на то, что оценка (12) совпадает с соответствующей оценкой в случае уравнения теплопроводности. Такой факт ,

можат не иметь меога для краевой задачи. Например, если рассмотренный выше угол аи подвергнуть растяжению, вдоль переменной х].

то он прейдет в.меньший угол оя, • П.ри атом порядок убивания функции Грина первой смешанной задачи для полученного из (2) после растяжения уравнения будвт меньше чем порядок убывания функции Грина для уравнения теплопроводности в той же области оа, . Сле- .

давательца, для областей,' близких к углам, скорость стабилизации функции Грина 'для параболического уравнения зависит как от области п, так и от коэффициентов уравнения. Однако для "более узких" областей влияние коэффициентов становится менее существенным, 'чем влияние области. Интересно отметить, что среди ойлзстеп вращения вида (7) условие (11') как ра? выделяет те. которые расширяются на бесконэчности медленнее чем конус. Для таких областей ниже будут приведены точные оценки скорос'ти стабилизации функции Грина первой смваакной задачи для параболического уравнения.

В §1.6 для областей вращения п вида (7) определяемых монотонно ньубывающей функцией f(r), такой, что выполнено неравенство f(r) s cg(r) и условие (11'), доказываются точные по порядку стремления к нули оценки функции Грина задачи (6), (3). (4) при t -» А. именно,- определим функцию s(t) как обратную к монотонно возрас-

s

тающей непрерывной функции fa(s)x ] f"}(r)ar. Тогда функция Грина

I •

задачи (6), (3), (-4) в такой области подчиняется оценкам

exp(-R tf-2(s(t)))s вир G(t,x,y) s exp(-K,tf-2(s(t))) (14) 1 хеП 2

при t г , у с к с некоторыми положительными постоянными Kjt '

здесь к - произвольный компакт, лежащий в а

Из сценки (14) следует, что решение задачи (6),(3),(4) с не-' отрицательной начальной'функцией ц> из i (П). шешей компактный носитель, убывает точно таким же образом, что и функция Грина. Прологарифмировав неравенства (14), убеждаемся, что они решают задачу о затухании фшштша возмущений. В качестве функции v\t) можно взять функцию tf"?(i(t)). Требование' ограничонности носителя начальной функции существенно, так как в противном случае скорость стабилизации реаенкк звкюит не талька от области, «о и от начвдьнсЛ фун.-сь;::!. Ж-йстьитули'о. в и.) гсл т&П области, ул -

влатворяющей условии

Iii« \(r) - О, (16)

Г H*»

И ЛЮбО'й ПОЛОЩЦТОЛЬИОЙ ФУНКЦИИ Jj(t) -» о, t -> СО, приводится пример начальной функции у в £ (п) такой, что решение задачи (2)-(4) удовлетворяет неравенствам

•ug u(ck.«r)-> t;n/« b(tk)Hbi(n) . h . x,2.....

для некоторой последовательности t «.. Если же условие (15) не выполнено, т.а. спектр оператора Лапласа отделен от нуля, то, как хорошо изввотно, рещеиив Первой смешанной задачи для параболического уравнения убывает Сыотреа некоторой экспоненты <ГС . Такой жо результат доказан Д. Нейвудом и дли системы уравнений Навье-Стакаа. Другими оловвми, задача о затухании финитного возмущения в области, не удовлетворяющей условию (16), имеет тривиальное решение! u(t) » i.

Йредположим теперь дополнительно, что область вращения'п • такова, что выполнено соотношение г

{ nfr * C.?TFT ■ r * V (16>

Нетрудно привести ряд уоЛовиЙ, достаточных для его справедливости, Например. соотношение (16) имеет место при выполнении следующего условия! существуют числа к, с > с > i такие, что

С(Сг) s cf(r) , г г я.

При условии (lß) нетрудно доказать неравенство г(с) г ct/f(s(t)) с некоторым положительным г. Поэтому из (14) .вытекает точность оценки (10). В честности, если п имеет вид

о * ( I*' I < г" , г > о ), as (о,1), (17)

то прямые вычисления Приводят оценку (10) к виду

" ¡ -а

Slip a(t,x, у)ц t~n/iexp(-e c1 + a ), ye f)R, (lß)

jf€rt 3

при больших значениях времени. При этом левая часть неравенств (14) принимает вид

i ~а

ехр(-к tl+d ) s sup s(c.r,y) , у ч К. 4 reí)

Как видим, степенной множитель в оценке (16) несуществен.

В §1.6 приводится пример пары областей с одинаковым поведением соответствующих функций а(г). (г) при г -» «, но разним порядком убывания функций Грина для этих областей. Поэтому в нижеследующей теорема 1. 6.1, даювдй точные оценки функции .Грина в каждой из областей, кромв а (г). используется дополнительная харакге-. рнстика и(г) неограниченной области.

, Определим, функцию р(г), I > о, соотношением

р

\(р)ь - / /иТ?Т йг . (19)-

Л '

Определенна корректно, поскольку левая часть монотонно невозрас-' тря стремится к нулю в интервале р > 1, а правая часть монотонно возраставт в этом же интервале.

Следующее утвэрадэиив использует условие расходимости интеграла (18), которое имеет место, например, для любой области, расположенной в полупространства «1 > о.

., ТЕОРЕМА 1.5.1, Яусиь Оля области п расходится интеграл (19)

ц.выполнено соотношение (11). Тогвц найдутся положительные посйю-; янныв к и К, зависящие вольна рщ п ц т, такие, что функция Грина i уаОачи .(6), (3), (4) (/вовивлворям оценке

0(1,1С,у)-* к Ц(р(с))), (20)

при рсех и > о, ? е п, у ^ п , г Т( Посяомная т забисия оа н, ., т " П. ' •' ■

Отметим, что экспонента в (20) убивает быстрее любой степени ? "т при I ■* если выполнено условие

Г'' ' 1 8

11» ) iv(r) Лг =■ со .

. 'Для справедливости последнего достаточно условия

Н» уи(г) г « со ,

' , . Г-«о

роторое, по лемме 1,1.4, заведомо имеет место, если область п , моЦ'ИО поместить в сколь угодно узкий конус.

Для областей вращения pius (V), определенных монотонно неубывающей функцией и удовлетворяющих условии (11'). При больших

?НВЧв«ИЯХ ВреМвИИ Г СПрвРШИВО ИбравеНСТВО Пр(£)) г cf'3(a(t))

с некоторцм положительным в . Соотношение (14) показывает, что в рассматриваемом клвсса областей вращения оценка (2Q) функции Грина сверху тичнв по порядку стремления к нули при t -» M . В частности. если r(r) - r/in г при г » то как нетрудно проверить, s(t) уТ. и оценки, (14) принимают вид

-л lnt -к lnt

t 3 « tup q(c,ï,)») St 4 , t г г у е к.

*«п 1

Отметим, что более прости оценка (10) в областях, приближающихся к конусу отеновитоя неточной. В чвстнооти, для рассметриравмой области она принимает вид

-п/г-к d

вир 0(с,ж, у) s t 6 , t г T у е ГГ.

МП

Из оценки, (20) нетрудно получить оценку функции Грина, характеризующую вв увиитив при |*| -* » >

a(t.x.y) i и f^.hpj-k 4 m(p(c))j],

при вовх я > о, у б nR, t >1. Достаточно, согласно принципу мак-' синума, перемножить неравенство (20) и правую часть (13) и извлечь квадратный корень. .

Задаче о максимальной скорости стабилизации решения второй смешанной задачи" ДЛЯ равномерно параболического уравнения была впервиа рассмотрена А. К. Гущиным И в определенном смысле решена. Им исследовалааь равномерная стабилизация решения (стабилизация в ьга(0) ) и было показано, что в широком классе неограниченных областей максимальный Порядок стремления решения к нулю опреле-т ляется довольно простой гвоадтричаской характеристикой области п - функцией y(r) » nés пг. А именно, выделен такой класс начальных функций, что для каждой р из этого класса решение стремится к нулю на медленнее функции i/r(VE), т.е. с некоторой постоянной с - е(¥>) имеет место оценка

lu(t)Il (n) s c/r(/E). t > o;

- i б -

при огон или Mjüüíí неотрицательной начальной функции v> * о решение yOuüudT в (п) не бцсгрив той »а функции: для достаточно больших аначшшй времени t «мает место аналогичная оценка снизу

H^lj, г с/г (Я).

<

с некоторой положительной постоянной с - с(у>)-

А. В. Леинаццм изучалась зависимость повеления при больших значениях времонл неотрицательного решения второй смешанной задачи для параболического уравнения (6) от области о и от началь- . ной 'функции. При некоторых ограничениях на область р установлено, что при больших значениях времени норма (n(yt у)) Реше'1иа

вадет себя, грубо говори, как функция ♦ (vT). где

4 ¡ДО " S Р(*)Фс / иеа 0(i-, у), г > О, у е П.

П(г.х)

Как уже отмечалось вишэ, поведение решения при t -» *> первой смешанной задачи для параболического уравнения зависит от трех "аргументов": от области о, начальной функции и коэффициентов ' уравнения. Если требование финнтшоти начальной функции, как ми ' видели ¡выше. в основном исключает зависимость скорости стабилизации решения QT tioa. ( а ь определенном классе областей,- и от коэффициентов уравнения ). Т-В- соответствует, грубо говоря, фиксаций ''аргумента" р то естественно также зафиксировать область-П и изучить зависимость поведения решения при t -» и от ограниченной начальной функции.

Сформулируем некоторые результаты, наиболее близкие к 'задьче о критерии равномерной стабилизации.

ф,0.Порпвром показано, Что непосредственным следствием доказанных в известной работе Дж. Наша оценок модуля непрерывности и момента фундаментального решения параболического уравнения (6) является утверждение, ддюиев достаточное условие ( на ограниченную Начальную функцию ) равномерной по * из яг стабилизации решения задачи Кои»! для этого уравнения. А именно, установлено, что существование равномерного В к'1 предельного среднего от ограниченной начальной функции по кубам .гарантирует равномерную в ftn стабилизации решения и(с,*). Поскольку существование равномерного во всем

и" предельного среднего от г е по кубам, очевидно, .гчшим-

лентно существованию равномерного в яп предельного среднего от <р по шарам, то приведенный результат можно сформулировать п следуЮМОМ ВИД0! иэ условия

г1р(у)<зу О при г я> равномерно по * с п". (21)

|*-у|<г

слод.ует, что

и(е,*) -» « при г-» » рпвиомерно по * е п". (22)

Позднеэ В.Д.Репниковым было показано, что в случив■уравнения о Ио-стоянными коэффициентами это условие является на только достчгоч- ; ним, но и необходимом для равномерной в /?п стабилизации решения.

■ Случай простейшего параболического уравнения с зависящим от .,.' Пространственных переменных коэффициентом был рассмотрен в работах А. К. Гущина и Й. П. Михайлова. Ими было показано, что условно (21) необходимо и достаточно для равномерной на всем пг стабилизации решения задачи Коти для уравнения рМ^ - а и с гладким коэффициентом р{х), удовлетворяющим условия

f |р(0-р I •* 0 при г ■* « равномерно по * <= п", |с-*|<г

с некоторой положительной постоянной р .

В работах В. В.Жикова (1977) и С. Камин (1976) содержатся Н0«бол<?£ полный результаты по стабилизации решений задачи Коши для- урэвня-ния (6). В них, в частности, доказано, что для равномерной в я" стабилизации реи/ения задачи Коши не только достаточно, но и неоО- ■ ходимо существование равномерного я л" шарового предельного среднего от ограниченной начальной функции, т. е. соотношения (21) и (22) эквивалентны.

Критерии стабилизации решений второй смотанной зплачи для уравнения (6) впервые бил получен А. К. Гущинам. Позднее, при иных условиях на область такой же критерий установлен в некоторых других работах.

Условие на начальную функции, необходимое и достаточное для стабилизации решения нерпой сметанной задачи (6),(3),(4! получено нами при слздвдем ограничении на область; для каждого г > о имэот место соотношение

- 1В -

<Г"тев( убП(И, г) ! р(у) < г ) О ПРИ Я -» ю (23)

равномерно по х е п ,

Такое условие использовалось ранее другими авторами при рассмотрении второй смешанной задачи. Здесь й далее р(у) - расстояние от точки у до граниш оолаоти.

Будем раооматриввть класс измеримых начальных функций, для которых выполнено неравенство

г-п;. ИОО*/« * (24)

П(Г,*)

при всех г г { и х е 0. Очевидна, что этому условию удовлетворяет любач ограниченная функция.

ТЕОРЕМА-1.4.1. Пусть неограниченная обласпъ удовлетворяет условию (23), Тогда

1) если функция р(х) ограничена_ в оОласии п, па решение задачи (6), (3), (4) стремился к нулю при г-** равномерно по * из о при любой начальной функции у из классо (24);

2) веж функция р{х) неограничена, по вла равиомермй стабилизации решения к нулю необходимо и достаточно, чтобы начальная функция, продолженная кулел за пределы п, удовлетворяла условию

Следовательно, можно считать, что в рассматриваемом классе областей критерий стабилизации решения первой смешанной'задачи для параболического уравнения (6) на зависит ни от области, ни сГт коэффициентов уравнения.

Глава 2 посвящена доказательстоу' критерия равномерной стабилизации решения линеаризованной системы уравнений Кавье-Стокса:

и »■ 1>Ди-7р , Лг^ а * О. г > 0. х е п. (25)

При рассмотрении уравнений Стокса и Нввье-Стокса основное внимание мы уделяем наиболее важному с физической точки-зрения трехмерному случаю.

Как легко видеть, задача Кот для системы Стокса (25) при соленоидальном начальном Еекторе скоростей распадается на три задачи Кош для уравнения теплопроводности с компонентами начального вектора з качество начальных температур. Поэтому приведенный

вше критерий стабилизации справедлив и в случае задачи Коши дли системы уравнений Стокса.

В 52.6 получен критерий стабилизации решений внешней задачи (25),(3),(4). Для этой задачи мы рассматриваем класс t ограниченных в среднем

/ f"(.*+v)dy i л г3 , г г 1 , ir <~ R3. |УНг

измеримых ооленоидальных начальных векторов, удовлетворяющих на границе условию напротёкания («>,n)l = а . Соленои-

|<Ю

дадыюсть и условие непратекакия понимаются в обобщенном смысле;

/ fît d* » О для любой функции f * и*(п) , имеющей ограниченный п

носитель. В 52.4 доказана существование решения задачи (25),(3), (4) о начальной функцией из класса », принадлежащего классу един-, странности.

ТЕОРЕМА 2. б. 1. Пусаъ яретмрнаа область о - Ьнетшя н ограниченной ой ласти с границей нлааса сг, и u(t,x) - решение задачи (36), (3),(4) с начальной фуннцивй » б » , принадлежащее классу еОшюявенноапи. Тогда Оля шоео. чяооы решение

n(t, *) -* о при t m равнолерю по к с п.

нео(¡ходило и досяаяочно, чнойы начальная функция удовлетдоряла условию (21) при и « J.

Доказательство теоремы 1.4.1 опирается на следующую оценку Кэша решения задачи Коши для параболического уравнения

|u(t,*)| s с f'"|»| -,

Более трудным делом является получение такой же оценки для решения внешней задачи для систем уравнений Стокса (25) и Навье-Сюксв (1).

Первая оценка для слабого решения внешней задачи (1),(3), (4) была получена К.Масудой. Км доказана справедливость оценки |u(t,x)| s с t"1/8 при больших значениях времени. Зтот результат оыд усилен Д*. Хэйвудом: для сильного решения системы уравнений Навьэ-Стокса в произвольной трехмерной области с регулярной

Границей им установлена оценка |u(t,jr)| s с t~x'"*. Однако по-показвталь -3/1 на Сил достигнут.

Как отмечалось вшао. в областях, расширяющихся на бескоцеч-ности как конус или быстрее, методы, которые, мы называем "сен-ро-, - (шновской техникой" (впрочем, на имевщие отношении к Сен-Венану). становятся неэффоктивными. Используя иной метод, нам удалось получить следующее утверждение, играрше основную роль при доказательстве тбореш 2.5.1.

ГЕОРША 2.3.2. Пцсль ирех«ер«ая облаешь а - внешняя к ограниченной области с границей класса С. ïoeûa дм решения задачи (25). (3). (4) сщаШлцва аценкр

' - з/ч

|и(£,*) | « с t lipjj , t > 0, * € П,

р постоянной с , вависщсй нолько оя о .

Здесь И далее обозначает норму в *-ч<п)< значение я 2 обычно опускается.

Слабое рсшание нелинейной аадачн (1), (3]. (4.) в произвольной оОдроти cjuio Построено Э. Хопфом. В случае ограниченной области п Можно доказать, что слабоа решение удовлетворяет неравенству

t

; |u(t); + 2 f iv»(t)l> dx s |U(S)I2 . (26)

s ,

!

ПРИ всех t > s , для s » 0 и почти всех e > О . Неравенство (26) будем называть сильным внвргвтическим неравенством; Для задачи Коши (I), (4) слабое решение,' удовлетворяющее (26), было построено ЛК.Ларэ. Существование слабого решения внешней задачи, удовлетворяющего (2S), доказано в работе Г. Зора и Т.Миякавы (1988) в' ррэдположешш, что область имеет гладкую границу.

ТЕОР01А 3.2. 2. Пусть ярехлерная область п - внешняя н огра- ' циченной ойлааши с ераницей класса с3. Вели слабое рошние и заОачц (1).(3).(4) уоовлетворяеж сильному энергетическому ивра&еножйу (36), яо для него справедлива оценка

|u(t,*)l s с t'3'4 , х е а ,

рри Ôo^bwiu значениях врелекц.

В рвязн с этой оценкой следует отматить появившиеся

найдутся зависящие от d , ь , v положительные числа с, с такие, что если начальная функция р е удовлетворяет условию

|»J* s так -—- , (¿0

«»О О + С'а

то существует единственное решение u(t,v), pit,*) е сш(о)

* с

задачи (I), (3), (4), такое что и с c(tQ,«>) (п)) .

Полагая в - И « = 1 получаем простое доста-

точное условие для ¡шполнапия (27)

1' —2 х n а

jfj s 2v так

С + с + С' I

ТЕОРША 3.4.2. Цутъ п - область с границей равно.шерю класс а

с3, удовлемворшря описании* в те условиям. Пусмъ функция ^сл'(П) робка пут при х 1 > к бмподнено узловые (27). Тогда существуют полохиявльные посяатныв к, л, г яанив, что решение задачи (1),(3), (4) при всех I > т(е,д, о. ?.«„) уЭаблеяборяет оценка.«

|м(е)| 4 л с^'е^-кг*^)/!:).

»»(0|„+|9р(с)и|?и(с)1 + |вги(с)и8ц1а)|( * д екр(-кгг(^Л) .

Поспавшая к эабисик жолъхо т V и ;. а число л - от V, п, М и

В §3.1 рассматривается линеаризованная система уравнений Навьэ-Стокса в леумарной области с некомпактной границей, удовлетворяющей следующему условию)

А) при нщ0Я0р04 н > 0 днедаосжь шара п\в(й1,о) распадается на конечное число односвязнъа: рукаво'д, ух едящих в о е оконечность.

При каждом г > ввиду условия А), пересечение = - (1*|«г)пп не является целой окружностью. Длину наибольшей из луг. составляющих , обозначим т(г) .

В следующем простом утверждении в предположении фшштноотн ..¿.чального вектора скоростей уотайавливается Сплоо высокая скорость стремления к нулю при с ¡» кинетической анергии (ь, -нормы) плоско-параллельного течения, чем в цитированной енше работе. •

- ?л -

Пусть t(r), г > о , - монотонно неубывающая ниирарышая функция, -удовлич'ворпшая при г я( неравенству

Hr) ¿ ï(r)/n . (28)

Чем тесной примыкает функция i(r) к функция i/n, тем сильное будет оценка следующая теоремы.

•Чариз r(í), t>o , обозначим функции, обратную к монотонно возрастающей функции r¡(r). Очевидно, что r(t)' монотонно возрастает и стремится к бесконечности при росте t -

ТЕОРЕМА 3.1.1. Пусть п - неограниченно« д&уирцаа о<Шсиъ, уОоблежворяющя уодобию А), и i(r) - функция, удовлетворяющая ус-

ловцю (28). Пусть «;(*•) е « «>{*)»0 яр« |х| г RQ. Гогаа най-

деяся ■ зависящая m ка и функции t посиотноя Т паная, чио при t í i илат лесщо олвОущиз оценки решения задачи (25),(3),(4)

t

|Vw(t)| í f1'* erpf- к ¿ííi }¡H , ! t

с шиаительной посташноц к , ьайиседей только ом v .

Метода,, используемые при решении задачи о критерии стабилизации решения параболического уравнения, имеют много общего с теми, которые применялись для задачи Кови в случав уравнения (6). Новым является способ «нейтрализации влияния границы". В случае задачи (6).(3),(4) эта сдёлано при помощи доказанной в §1.2 сладущей оценки функции Грина

o(t,*»T.y) 4 « х

(t-xf:U'k

при всех г. > t г О и х. у е п. Здесь я, к и а - некоторые положительные числа, р(г) - расстояние от точки к до границы области. Если п - выпуклая область и (6) - уравнение теплопроводности. то показатель а можно ваять равным 1.

Для внесшей задачи (?5), (3),(4) потребовались специальные и

довольно кропотливые оценки решений с неоднородным граничим* условием.

Еив н работе Наша (1950) била замечена тесная связь дажлу повелением функции Грина при t -» и и при |дг| -» и. В ЭТОЙ рзОото нп основа оценки момента фундаментального решения параболического уравнения (G) было доказано неравенство (12). Также и наши неравенства (10), (20), равно как и неравенства теором 3.1.1, 3.4.2. доказаны на основе опенок, характеризующих .убывание решения при |*| -> и. в частности, в условиях теоремы 3.4.2 при достаточно больших в имеет место следующая опенка решения задачи (1),(3),(4)

f иг(х,х) dx s tA exp(Si--.IiL)( г с [0,ti, t > о. (29)

„ш ' {'(R) l(R)

r

характеризующая убивание распределения кинетической оперши. Как показано в 51.6, такое убывание решения при -» » (более медленное, как видно из (13) и принципа максимума, чем для параболического уравнения) свойственно для эллиптического уравнения, Объясняется это, возможно, тем, что, например, в случшо линеаризованных уравнений (25) давление удовлетворяет уравнению Лапласа и именно оно обеспечивает более быстрый перяное энергии яа бесконечность, чем это ИМ00Т место в случае параболического урявич-ния.

Идея доказательства оценки вгда (29) восходит к работам J. Knowles (19S6) И R.Toupin (1965), В которых ДЛЯ раЗЛИЧНЫХ ЗЯД0Ч теории упругости обосновывается так называемый принцип г.ен-Веняна об экспоненциальном затухании влияния финитного вазмушвнил граничных данных при удалении от места возмущения. Это свойство про-, является только для тел, вытянутых вдоль некоторого направления. Именно поэтому области врниеиия в namix примерах можно вложить в сколь угода узкий конус.

Идеи вышеназванных работ погщнеэ были распространены из эллиптические уравнения о, А.Олейник. ич 'иараболичоские уравнения O.A.Олойник. Л.К.Гушйним и лрупяш авторами. В 197?-1980г. соот-ветстяушио мотодн Очли развиты для стационарных уравнений Стокса и Навье-Стокса в работах Си.Mick, Г. А.Поси'рьяня, 0. А. Лялмжшсгай • и В. А. Солотшкова. По нссгешонлрнш уравпштям Сгпкоа inм известна лишь работа послоднпх хвух авторов. в которой мотолсм. ИМОКЗЛ! ОЛКШИИО г. "СОН-ЯОНЯНОРОКЧЙ" ССШ1К0. млален КЛ1СС

единственности, формулируемый в терминах преобразования Фурье-Лаллйса от скоростей. Нам трудно судить о применимости этого метода к нашей'задача, поскольку ..в их звиатке доказательства утверждений не приводятся. Наш метод, по видимому, является новым и оказался пригодным и для нелинейной настационарной задачи.

Отметим в заключение, что наши метода решения задачи о затухании финитного возмущения пригодны и для ограниченных областей,-Пояонйм это.на примере опенки (10). Предположим, что я.пи неограниченной области п выполнены условия (11) и (15). Выберем и зафиксируем любое тдкое доотйточио большое значение с, чтобы выполнялось соотношение

1 » ехр[-/с.£ф~ |.

Затем выберем значение г из равенства Шг> « г. Тогда, по принципу максимума, оценка (10) справедлива и для области пг. Такая оненка, ввиду равенства txl « не может быть получена как простое следствие соотношения (5) для ограниченной области пг. 'Требование неограниченности области в задаче о затухании финитного возмущения накладывалось нами лишь с келью упрощения формулировок утверждений.

публнкши го теме, диссертации

1. Мукминов Ф. X. О павздении при й т решений первой смоаш-шоП задачи для уравнения теплопроводности в неограниченных-по пространственным паременнш.! областях/уДифференц. уравн. 1979. Т. 15. №11. С. 2021-2033.

2. Мукминов Ф. X. Стабилизация решений перюй смешанной задачи для параболического'уравнения второго порядка//Ыатем. г.5. 1ЭГО Т. 511(153). С. 503-521.

3. Мукминов Ф. К. О равномерной 'стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения//Матвм. сб. 1990. Т. 181. С. • 1486-1509. ' '

4. Мукминов О.К. Об убывании решения первой смешенной задачи для линеаризованной систеж-уравнений Навье-Стоксэ в области с некомпактной грошшеП/уМзтем. сб. 1952. Т. 183.

с. 123-144.

5. М.укмпчоЕ Ф X. Об убывании репения емгшзчной задачи для линеаризованной системы у решений Нал; с-Стокса//1ш$фиргнц.

уравнения. 1ЭЭ2. Т. 28. НВ. С. 2410-2418.

6. Мукминов Ф. X. О скорости убывания решения смешанной задачи для системы уравнений Навье-Стскса в области с некомпактной границей //ДАН. 1932. Т. 324. ff6. С. 1149-1152.

7. Мукминоа Ф. X. О скорости убывания сильного решения первой смешанной задачи для системы уравнений Нчвьв-Стокса в областях с некомпактными границ8Ш//Матем. сб. 1993. Т. 184. !М.

С. 149-1G0.

8. Мукминов Ф. X. О равномерной стабилизации решений вивший задачи для уравнений Навьв-Сток.св//ДА.Н. 1993. Т. 332. N1.

.9. Мукминов Ф. X. О равномерной стабилизации решения внешней задачи для уравнений Нйвье-Стоксв//Иатем, сб. 1991. Т. 185. Ю. С. 41-68.

Подписано в печать £Б/У1-У4г. Заказ 214. Тиран 100 экз.

Ротапринт Башкирского ун-та