Статика и колебания цилиндрической оболочки с консольно прикрепленными пластинами

Смиян, Андрей Богданович

Статика и колебания цилиндрической оболочки с консольно прикрепленными пластинами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Смиян, Андрей Богданович АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Статика и колебания цилиндрической оболочки с консольно прикрепленными пластинами»

Автореферат диссертации на тему "Статика и колебания цилиндрической оболочки с консольно прикрепленными пластинами"

005002937

На правах рукописи

Смиян Андрей Богданович

СТАТИКА И КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С КОНСОЛЪНО ПРИКРЕПЛЕННЫМИ ПЛАСТИНАМИ

Специальность 01.02.04-Механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соскание учёной степени кандидата технических наук

- 1 ДЕК 2011

Москва-2011

104853961551

Работа выполнена в Московском авиационном институте (национальном исследовательском университете)

Защита состоится «21» декабря 2011г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д.212.125.05 при Московском авиационном институте (национальном исследовательском университете) по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (национального исследовательского университета)

Автореферат разослан «_» ноября 2011г.

Научный руководитель:

доктор технических йаук, профессор Анту'фьев Борис Андреевич доктор физико-математических наук, профессор

Гришанина Татьяна Витальевна, кандидат технических наук Русол Андрей Владимирович Учреждение Российской академии наук. Институт прикладной механики РАН

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н.

Г.В.Федотенков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы: Конструкции некоторых типов малых летательных аппаратов (ЛА) состоят из цилиндрического корпуса и крыльев малого удлинения. В полете они под действием аэродинамических и инерционных нагрузок изгибаются и закручиваются, деформируя при этом корпус ЛА. В оболочке корпуса возникает локальное изгибное состояние, влияющее на её местную прочность. Кроме того упругость крепления крыльев к корпусу ведет к возрастанию деформированного состояния крыла, что может ухудшить аэроупругие характеристики ЛА. При этом, так как и корпус, и крылья имеют свои спектры собственных парциальных частот колебаний, то собственные характеристики всей конструкции располагаются между ними, увеличивая при этом вероятность возникновения резонансных режимов эксплуатации ЛА. Суммируя все вышесказанное можно утверждать, что тема диссертационной работы имеет технические приложения и актуальна.

Для решения поставленной задачи необходимо решать проблему контактного нагружения оболочки через дискретно прикрепленные нагруженные пластины. В научной литературе задачи рассматриваемого типа не исследованы. В связи с этим исследование составных тонкостенных конструкций такого рода требует отдельного изучения, в том числе и проведения серии экспериментов по определению статической прочности и динамических характеристик конструкций такого типа.

Задачи локального и контактного нагружения оболочек рассматривались в работах В.З.Власова, С.Лукасевича, Э.Рейсснера, Б.В.Нерубайло, В.М.Даревского, Ю.П.Жигалко, В.И.Моссаковского, Э.И.Григолюка и В.А.Заруцкого. Проблемы колебаний сложных тонкостенных конструкций состоящих из оболочек и дискретно присоединенных к ним динамических подсистем рассматривались в работах В.М.Даревского,Л.М.Дмитриевой, Ю.П.Жигалко, Л.В.Андреева, А.Л.Дышко,

А.И.Станкевича, И.Д.Павленко, Ф.Н.Шклярчука, Т.В.Гришаниной и Б.А.Антуфьева.

Цель работы: Цель диссертации состоит в том, чтобы с единых позиций в контактной постановке рассмотреть проблему статического деформирования и колебаний тонкой оболочки корпуса ЛА, несущего систему дополнительно присоединенных крыльев малого удлинения моделируемых упругими пластинами разнообразной формы в плане. Для решения этих задач необходимо разработать численно аналитические методы исследования поставленной проблемы. В рамках предлагаемой далее механической модели составной конструкции эту задачу нельзя рассматривать в отрыве от проблемы определения локальных перемещений подсистем в зоне крепления их друг к другу. Поэтому часть работы посвящена исследованию местного деформирования оболочки (построению функций влияния перемещений оболочки) в районе её соединения с крыльями. Вследствие большой сложности поставленной проблемы необходимо провести экспериментальное исследование деформированного состояния конструкции.

Методы исследований: Для построения численно аналитического метода решения задачи был выбран метод расслоения (метод податливостей), который основан на разделении всей конструкции на отдельные подсистемы, находящиеся под действием внешних нагрузок и статических или динамических реакций контакта в местах соединения тел. Для изучения статической деформации исследуемой конструкции была спроектирована оригинальная экспериментальная установка и проведена серия экспериментов. Полученные данные сравнивались с предлагаемым решением и решением, полученным с использованием метода конечных элементов.

Достоверность: Достоверность полученных в работе результатов и выводов определяется следующим: во-первых, используются апробированные методы решения задач теории оболочек. Во-вторых, дано сравнение с данными экспериментальных исследований автора и частных

теоретических решений других исследователей. Кроме того, она подтверждена результатами численного решения полученного с использованием метода конечных элементов (МКЭ).

Научная новизна работы: С единых позиций разработаны приближенные методы аналитического исследования статической прочности и колебаний составной тонкостенной конструкции, состоящей из цилиндрической оболочки и двух дискретно прикрепленных к ней пластин. Построенные в работе функции влияния перемещений оболочек имеют самостоятельную ценность и могут быть использованы при решении любых задач локального и контактного деформирования цилиндрических оболочек. Для проведения серии экспериментальных исследований статического деформирования рассматриваемой конструкции была разработана и спроектирована экспериментальная установка, а также изготовлен комплект из трёх моделей.

Теоретическая и практическая ценность: Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы проектными и научно-исследовательскими организациями в процессе проектирования конструкций малых ЛА. Экспериментальная установка и разработанный численно аналитический метод может быть использован в учебном процессе при проведении лабораторных и демонстрационных работ для студентов, специализирующихся в области расчетов на прочность.

Апробация работы: Основные положения диссертационной работы обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», Ярополец (2009, 2011 г.г.)

XXIII Международная конференция «ВЕМ&РЕМ», Санкт-Петербург (2009 г.)

II Международная конференция «Проблемы нелинейной механики деформируемого твёрдого тела», Казань (2009 г.)

На научном семинаре кафедры №902 МАИ «Сопротивление материалов. Динамика и прочность машин» под руководством д.ф-м.н. Д.В .Тарлаковского.

Структура и объем работы: Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы на 70 источников. Работа изложена на 119 страницах машинописного текста, содержит 60 рисунков и 20 таблиц.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи работы, а также дан обзор научной литературы по рассматриваемой тематике.

В первой главе с единых позиций построены четыре группы функций влияния для статических и динамических перемещений оболочки на основании четырех вариантов записи уравнений движения или статики цилиндрической оболочки.

При эксплуатации ЛА может деформироваться симметрично или антисимметрично относительно его вертикальной плоскости, что схематично показано на рис. 1. Поэтому для решения задачи мысленно делим оболочку вертикальной плоскостью на две равные части и в дальнейшем рассматриваем лишь одну из них. Для этой части оболочки построим динамические функции влияния для перемещений с учетом ее вида деформаций (рис. 1). Функции влияния строим единообразно в двойных тригонометрических рядах на основании четырех вариантов записи уравнений движения цилиндрической оболочки. Эти зависимости представляют кроме всего и самостоятельный интерес, так как могут быть использованы при решении других задач локального и контактного нагружения оболочек.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Рис. 1 Деформированное состояние ЛА

1. Общая теория цилиндрических оболочек. Основное уравнение относительно неизвестной разрешающей функции записанное в координатах (а,р) имеет вид:

С2(У2У2 + 2У2 + 1)Уг V2 2Сг (1 —УХ-—----—)У2Г+

да4 да'д/З2

где С =Л //2-й"

, а-а/Я — безразмерная продольная координата, /? - угловая координата. Начало координат располагается посередине линии контакта пластины и оболочки (рис. 2). Остальные обозначения традиционны. Разрешающая функция связана с прогибом оболочки соотношением:

с/3=У!У^ (2)

Здесь и далее для сокращения записи уравнений и формул, вводится цифровая индексация осей координат, внутренних силовых факторов и перемещений. Нагрузка здесь и далее во всей первой главе представлена с помощью двумерной дельта функции Дирака, а разрешающая функция представлена в виде ряда:

где <?(«,-£) и 6(аг -¿¡2) - импульсные двумерные дельта-функции Дирака, Гт„ - неизвестные коэффициенты, а <?„,„ - линейно независимые координатные функции, задаваемые на площади оболочки и удовлетворяющие граничным условиям на краях.

Выберем ц/т в виде двойных тригонометрических рядов, так что:

М N

= 5Ш«к(//„-а)ш(Я„ ■р) (4)

/'„ -у-\К =2-(и-0.5), (т = 1,2,3...),(« = 1,2,3...)

Такого вида аппроксимация удовлетворяет граничным условиям симметрии на меридиональных краях. В случае, когда на них заданы условия

антисимметрии (свободное опирание), то Л„=2(и-0.5) следует заменить на

Применяя процедуру метода Бубнова к уравнениям (1), находим коэффициенты Ртп. Тогда динамические функции влияния Сп для радиальных перемещений оболочки от действия радиальной силы Р3=1\

ПЕС1 Я2 ЙЯ А„Да,2) V?

Коэффициент Атп(со2) вследствие сложности его структуры не приводится.

Квадрат собственных частот колебаний получается из условия Дтп(со2)=0.

'п'с'с- (6)

¿т

Функции влияния для углов поворота и прогибов от действия изгибающих моментов получаются на основании соотношений теории оболочек.

2. Техническая теория цилиндрических оболочек. Уравнение

движения оболочки относительно функции имеет вид:

1-у2 й Р _ С2 да4 ~ £>

дги2

а2

(7)

где 0=ЕИ3/12(1-х2) - цилиндрическая жесткость оболочки.

Решение идет аналогично приведенному ранее и разрешающая функция представляется также в виде двойного триогонометрического ряда (4). Динамические функции влияния получены также в виде (5), но коэффициент А„„(а^ имеет более простой вид:

И2 £>

Квадрат собственной частоты из условия Дтп(со2)=0 равен: Ек

(8)

3. Уравнения цилиндрической оболочки в смешанной форме.

Разрешающая система уравнений имеет вид:

"■»■♦Ш^-''-<■»>

где U3 - прогиб оболочки, <р - функция усилий. Представим их:

" » М N

из = cos(/^a,)sin(^or2)s <р = sin^EE?™ cos(//„«,)sin(Я„«2)

И"1 »•' m-1 л=|

(11)

_(т-0.5)д- _ (п - 0.5)лг I ' (яй/2) '

Далее, применяя метод Бубнова к уравнениям движения (10), получим

интересующую нас функцию влияния Р3=1:

^(¿il + ZfD-Ri + E-ti.h-m'-R'pWiMl + W (12>

Из условия равенства нулю знаменателя (12) получим квадрат частоты собственных колебаний со2 в виде:

RVh'Otl+W (13)

Что в точности совпадает с формулами из справочника Вибрации в технике 1978 года (стр. 221) и монографии П.М.Варвака 1971 года (стр. 190)

4. Уравнения движения пологой оболочки в перемещениях.

Разрешающие уравнения относительно перемещений U, (¡=1,2,3) имеют вид: 82U,l-vd2Ut 1 +v 6ги2 1 еи3 1 -v2 d2Ut

1 + у д2и, 82U2 \-vd2U2 хаи, 1 -V1 , ,дгиг 1 ди, 1 диг flY h2 , , 1-v2 d2U,' Решение запишем в виде:

»-1 >„1 ' (mill)

Применяя к (14) процедуру метода Бубнова и проводя необходимые вычисления, получим функции влияния для прогибов оболочки от действия радиальной силы Р}-1 в виде:

В случае свободных колебаний из условий равенства нулю Ат„(со2)~0, получим квадрат частоты собственных колебаний со2 в виде:

2 Е

т = —

(17)

Построенные функции влияния можно использовать и для решения задач статического деформирования оболочек. Для этого достаточно в уравнениях движения положить инерционные нагрузки равными нулю, или, что одно и тоже, в формулах для коэффициентов Атп обнулить слагаемые, содержащие квадрат частоты колебаний.

Для наглядности в таблицу №1 сведены безразмерные квадраты собственных частот со] =гу2рК210э/£, полученные по разным теориям, для оболочки с параметрами: Я = 0.0765 м, Ь = 0.0025 м, Е=2.1е11 Па, 21 = 0.9м, р = 7800 кг/м3 , у=0.3, выбранные в соответствии с параметрами экспериментальной модели № 1 в главе 3.

Ю'тп 1ая частота 2ая частота Зая частота 4ая частота 5ая частота

Общая теория 1.632 4.964 5.722 7.661 7.883

Техническая теория 1.774 5.626 6.058 8.136 8.222

Смешанная форма 1.782 5.688 6.139 8.177 8.254

Пологая оболочка 1.756 5.614 6.055 8.130 8.218

МКЭ 1.829 6.169 6.704 7.587 7.997

Безразмерные квадраты собственных частот вычисленные по разным теориям В последней строке приведены значения а2,, полученные для проверки МКЭ с помощью программных комплексов MSC.Nastran for Windows V4.0 и MSC.Patran 2007j-lb.

Для тестирования и исследования сходимости построенных функций влияния решена задача о нагружении оболочки сосредоточенной радиальной силой в её среднем сечении. Параметры оболочки такие же, как и в предыдущем тестовом примере. Нормальные перемещения 113 в микронах приведены в таблице №2

Таблица №2

тхп Различные теории ^ 30x30 40x40 50x50

Пологая оболочка 2.237 2.38 2.38

Смешанная теория 2.241 2.42 2.42

Техническая теория 2.239 2.41 2.41

Общая теория 2.387 2.52 2.52

Решение МКЭ 2.21

Решение Нерубайло Б.В. 2.62

Нормальные перемещения посчитанные по разным теориям

Совпадение результатов в обоих тестовых примерах удовлетворительное.

Во второй главе приведены решения задач о статическом деформировании цилиндрической оболочки с двумя консольно прикрепленными упругими пластинами произвольной формы в плане и о колебаниях этой конструкции. Решение строится единообразно, только во втором случае для представления перемещения используются не статические, а динамические функции влияния.

Для решения задачи мысленно разрезаем оболочку на две одинаковые панели и в дальнейшем рассматриваем только одну из них (например, правую). Введём на панели криволинейную ортогональную систему координат, оси «у и а2 которой совпадают с образующей оболочки и дугой большого круга соответственно, а ось х3 направлена вдоль внешней нормали к поверхности оболочки. Пластина расположена в центре панели вдоль оси СС] (рис. 2)

Мысленно отделяем пластину от оболочки и заменяем ее воздействие распределёнными в срединной поверхности панели вдоль линии контакта реакциями - погонными силами д2 и моментами д4 (рис. 2). Перемещения оболочки и, (7 = 1,2,3,4), в направлении координатных линий а, (г = 1,2) и х3 соответственно, а также ее угол поворота С/^ в плоскости, перпендикулярной линии контакта, запишем в виде:

и> = X .«,;£„0)9/(7 = 1,2,3,4), (18)

где I - длина линии контакта между оболочкой и пластиной; йу - функции влияния для соответствующих составляющих перемещений и углов поворота оболочки, выбранные с учетом симметрии или антисимметрии деформации панели.

Реакции взаимодействия между оболочкой и пластиной д2 и а также нормальные перемещения последней представим в виде разложений по задаваемым функциям:

А *

0 = 2,4), и'=,£ивя/ш(х1.хз), (19)

Л=1 И—I

где и и„ - неизвестные коэффициенты, ^„(щ) и /„(х,,х3) - линейно независимые координатные функции, задаваемые на линии контакта тел и поверхности пластины соответственно. Угол поворота пластины и° в плоскости х20х3 (рис. 2) определим как и° =ди° /&,.

Условия совместности перемещений и углов поворота пластины и оболочки в плоскости, перпендикулярной линии контакта, снесенные в срединную поверхность панели, удовлетворим приближенно по методу Бубнова на линии соединения контактируемых тел

|(г/, -(/"^„(а,)^«, =0 (7=2,4; т = 1,2,... N,). (20)

Уравнения равновесия пластины, полученные по методу Ритца, принимают в общем случае вид:

8[}о (п-1,2,.....К), (21)

Здесь V - потенциальная энергия деформации пластины, записанная через обобщенные координаты Л; и А2 - работа внешних сил р и реакций взаимодействия д2 и д4 соответственно на возможных перемещениях

дх' дх, дх; дх;

,дг11°

дги1 д'и"

А =\р(х1,хг)и№ = ^ит\р{х1,х2)/т(х,,х1)<£ ^ (22)

5 я-1 У

I I 3 »=1 »"1 I »4 я»!

С учетом всего вышесказанного разрешающая система уравнений примет вид:

./=2,4 л=1

;=2,4»1=1 п=1

(7= 2,4; »1 = /,2„.

(с = 1,2,...К),

(23)

где

= 11 (а, А 6,0)<9„ , ,

дгУ

ЗЛ,

£ ЭС/"

Уравнения (23) образуют замкнутую симметричную систему N¡+N4+К линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложений (19) и и"„ . После решения системы (23) по формулам (19) и (18) определяются перемещения пластины и оболочки. Далее по известным формулам теории пластин и оболочек можно найти и напряжения.

В качестве примера расчитана конструкция с параметрами: 21, р, 6, Е, I, р, Ш=40,1/11=6, Ы=1.5, р/Я=2, 8/И=1, у=0.3, находящуюся под равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью р. Решение сравнивалось с решением по модели плоской задачи и решением МКЭ.

19-уг рл поворота ¡А

Рис. 3 Модель плоской задачи При решении плоской задачи, нормальные перемещения пластины складываются из перемещений изгиба балки-полосы, защемленной в точке соединения ее с кольцом, и перемещений, обусловленных местной податливостью кольца — углом поворота 9 точки соединения его с балкой. Прогиб 11° текущего сечения балки с координатой х, отсчитываемой от точки её закрелпения будет:

2 У 2 Е-Г 4

>■ х х . -+ —)

6 24

(25)

На (рис. 4) представлено распределение безразмерных нормальных перемещений и3 =с/3-£/(^-А-ю6) (кривая 1) и распределение безразмерных изгибающих моментов л7( = аг,./(р-Л2104) (/=/,2) (кривые 2 и 3 соответственно) в оболочке вдоль координатной линии а2. Пунктирная кривая соответствует распределению м2=м2/(р-и1-\о4), найденному из решения плоской задачи на основании элементарной теории изгиба балок.

м„м„-и,

«!= 0

1 -з

——

2». к!*

й- о- С5- О* о? ° (у с;- (^г .¿Г

Рис. 4 Распределение нормальных перемещений и изгибающих моментов вдоль а2 Другие результаты решения задачи вследствие ограниченности объема реферата здесь не приводятся.

Распространим предложенный метод на решение задачи о колебаниях рассматриваемой конструкции. Динамические перемещения оболочки 11^=1,2,3,4) определяются уже через динамические функции влияния:

(¡=1,2,3,4)

¡•и и

(26)

Динамические реакции взаимодействия между оболочкой и пластиной ц2 и д4, а также нормальные перемещения последней V] представим в виде:

^ Г

д;=$та>12]д;п<р/п(а,) 0 = 2,4), С/2° =Ш1 ал^иУ^.х,). (27)

п-1 я=|

Условия совместности удовлетворим по методу Бубнова аналогично (20)

Уравнения движения получим на основании уравнений Лагранжа второго рода, принимающие в рассматриваемом случае вид:

дГ

дС!_

ви.

(п = 1,2,.....К).

(28)

Кинетическую Т и потенциальную П энергии деформации пластины, представим в виде квадратичных форм обобщенных координат.

1 к к • •

* /1-1 С=1

^ л=1 с=1

где коэффициенты масс и жесткостей кпс:

а'/. а2л а'/. /г2/, а2/. з2/„ а1/.

Приращение работы:

- J* - Jc - J - J а2/ а2/

(30)

где обобщенная сила равная

х /=2.4

С учетом всего вышесказанного и после сокращения на мясо/ разрешающая система уравнений примет вид:

(31)

(32)

X =0 Г'= Яот = 1,2,..И),

- Г £ гс=и, ...к).,

(33)

где

«1 = Я^д^д^.^йЛа,

=Ь1„=\Г„(ах$)(р1т(а1)с1а1 у

С,с =Кс~® "V

8А,

'ди1 ■

(34)

Уравнения (33) образуют замкнутую симметричную систему Л^+Л^+А" линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложений. Нижняя часть спектра собственных частот колебаний конструкции находятся из условия равенства нулю определителя этой системы:

а«

Цт7) В Вт С(о?)

= 0

(35)

В качестве примера взята конструкция с теми же параметрами, что и в статической задаче системы (23)

На рис. 5 показана зависимость значения определителя Д от текущего безразмерного квадрата частоты колебаний со] = со2 pR2 / Е. Вертикальные пунктирные асимптоты соответствуют значениям безразмерных квадратов частот со] = a2pR2 /Е отдельных элементов системы. Точки перехода кривых через нуль отвечают безразмерным значениям квадратов собственных частот колебаний всей конструкции.

Л у1 о.оон: ^^^ .tiií/^ С18У оса)

0 0.0012 / 0.0147 i 0.017 /0.019 / СО.2

Рис.5 Зависимость значения определителя от су.2

ы>

1-80Е42

1.СЭЕ-02 -------„ев-..--------------------------------------

Í.40E4JÍ

1.20С-02 • ......................-.......................................................

1.00Е-02

«ЛОЕАЭ ..........................................................................-........................

6ЛСЕ-03

4.00Е-03

2JMC-03 - _

0.005*00 -1-,-1-.-1-1-.-.-1-Я/й s Я S.

Рис. б Зависимость (й1 от отношения S/h для Рис. 7 Зависимость со,2 от отношения R/h рассматриваемой конструкции для рассматриваемой конструкции

Третья глава посвящена экспериментальному определению прогибов пластин дискретно соединенных с цилиндрической оболочкой. Для этого была спроектирована и собрана специальная экспериментальная установка, а также изготовлены три опытных образца. На рис. 8 показан экспериментальный образец с нанесенными геометрическими размерами и

фотография комплекта образцов. Для сохранения приемственности обозначения взяты из предыдущей главы.

Рис. 8 Геометрические размеры и фотографии экспериментальных образцов Для всех трёх образцов выбрана одна и та же технология изготовления. Цилиндрическая оболочка толщиной И=2.5лш, изготовленная из стандартной производственной стали с модулем Юнга Е=2.1-10п и коэффициентом Пуассона у=0.3, получена путем обработки на токарном станке в центрах из цилиндрической оболочки (заготовки) толщиной Ип = 6мм. Далее были изготовлены две пластины длиной Ь = 720мм, шириной /? = 160мм и постоянной толщины 8 = Змм, впоследствии приваренные к оболочке с помощью аргонной сварки. Причем третий образец для полноты исследований не собирался в одно целое и представляет из себя три отдельные части (оболочку и две пластины). Размеры образцов в миллиметрах для наглядности сведены в таблицу 3.

Таблица 3

21 Ь И 5 Р

Модель №1 905 720 2.5 3 150 160

Модель №2 963 720 2.5 3 150 160

Модель №3 965 720 2.5 3 150 160

Ггометрические данные экспериментальных моделей На рис. 9 приведены фотографии экспериментальной установки, которая состоит из: а) Четырёх датчиков перемещений часового типа б) Двух виброустойчивых оптических столов в) Четырёх металлических профилей с отверстиями под крепежи г) Набором уголков и различных винтов,

реализующих юстировочные крепежные модули д) Крепежи датчиков перемещения е) Фанерные короба.

Рис. 9 Различные фотографии экспериментальной установки в сборе

Целью экспериментальных исследований является определение нормальных перемещений пластины в точках, где установлены датчики при различных величинах равномерно распределенной по площади пластины гравитационной нагрузки, имитирующей аэродинамические силы. Измерения проводились на образцах №1 и №2 рис. 8 с двумя вариантами торцевых граничных условий на цилиндре и тремя различными вариантами расположения датчиков. Варианты расположения датчиков изображены схематически на рис. 10. Причем вариант рис. 10а использовался для проверки правильности работы экспериментальной установки.

ттт

д)

Рис. 10 Схематичное расположение датчиков перемещений часового типа Часть результатов экспериментальных исследований сведены в таблицы 4-8 и представлены графиками на рисунках 11-14. Анализируя показания индикаторов перемещений надо помнить, что начальные показания датчиков невозможно установить строго в "нуль". Поэтому для определения истинных прогибов пластины надо от показаний датчиков при различных нагрузках необходимо вычесть их "исходные" показания: w = -5о, где м> - истинные перемещения точек пластины, 50 и ¿, - исходные показания датчика и показания при суммарной нагрузке (1=1,2...20) на пластину. Все таблицы составлены единообразно. В них приведены прогибы в микронах и суммарная нагрузка на пластину в ньютонах. Первое число дает показания индикатора, а число в скобках — прогиб пластины в микронах.

Вес Датчик1 Датчик2 ДатчикЗ Датчик4

0 627 (0) 20 (0) 780 (0) 21 (0)

196.13 1199 (572) 458 (438) 1357 (577) 449 (428)

Нормачъные перемещения пластины при расположении датчиков по схеме 10а для конструкции при фиксированной нагрузке С=20кг=196Н

____ Таблица 5

Вес Датчик 1 Датчик2 ДатчикЗ Датчик4

0 27 (0) 529 (0) 167 (0) 98 (0)

9.8 45 (18) 550 (21) 193 (26) 125 (27)

Нормачъные перемещения пластины вдоль X/ для конструкции при расположении датчиков по схеме 106 и при фиксированной нагрузке 0=1кг=9.8Н

_____ Таблица 6

Вес Датчик1 Датчик2 ДатчикЗ Датчик4

0 98 (0) 153 (0) 431 (0) 37 (0)

9.8 99 (1) 158 (5) 445 (14) 55 (18)

Нормальные перемещения пластины вдоль Хз для конструкции при расположении датчиков 10в при фиксированной нагрузке 0=1кг=9.8Н

__ Таблица 7

Вес Датчик 1 Датчик2 ДатчикЗ Датчик4

0 311 (0) 341 (0) 20 (0) 154 (0)

196.13 327 (16) 357 (16) 36 (16) 172 (18)

Нормальные перемещения пластины вдоль X: для отдельной пластины при расположении датчиков по схеме Юг при фиксированной нагрузке С=1кг=9.8Н

____ Таблица 8

Вес Датчик 1 Датчик2 ДатчикЗ Датчик4

0 48 (0). 276 (0) 420 (0) 312 (0)

196.13 48 (0) 279 (3) 428 (8) 323 (11)

Нормальные перемещения пластины вдоль хз для отдельной пластины при расположении датчиков по схеме 10д при фиксированной нагрузке 0=20кг=196Н

7.00Е-04 6.00Е-04 5,СЮЕ-04 4.00Е-04 З.СЮЕ-04 2,00Е-04 1.00Е-04 О.ООСОО

-Ри1у (Бе"«!)---Р1:1у (Га.:!

Рис. 11 Прогибы пластинь1_(схема 10а)

2.50Е-05 2.00ЕЮ5 1,50Е-О5 1.00Е-05 5,(Х>Е-№ О.ООЕ-'ОО

Гис._12_Прогибы пластины (схема 10а')

Рис. 13 Прогибы пластины (схема 106, Юг) Рис. 14 Прогибы пластины (схема Юв, 10д) На рис. 11 изображен график нормальных перемещений пластины. Кривые \У1, W2, и отражают нормальные перемещения краёв пластины в точках 1, 2, 3, 4 соответственно, полученных экспериментальным путём. Кривые «МКЭ1,3» и «МКЭ2,4» отражают нормальные прогибы пластины в тех же точках, посчитанные с помощью МКЭ и кривые «Теория2,4» и «Теория1,3» отражают нормальные прогибы пластины в тех же точках, посчитанные с помощью метода решения предложенного в главе

2. На рис. 12 приведены прогибы пластины по её длинному свободному краю при различных испытаниях. Кривая «Poly(Seriesl)» относится к оболочке с пластиной, кривая «Poly(Plate)» к одной отдельно взятой жестко защемленной пластине. Прогибы получены при суммарной нагрузке на крыло в С=20кг=19611. На рис. 13 приведены прогибы пластины по половине длинного свободного края. Кривая «МКЭ» относится к решению полученным МКЭ, кривая «Теория» относится к решению полученным аналитическим путем, квадратиками показаны экспериментальные результаты для конструкции и кружочками показаны экспериментальные результаты для отдельно взятой пластины. Прогибы получены при суммарной нагрузке G=1kz=9.8H. На рис. 14 приведены прогибы пластины вдоль X}. Кривая «МКЭ» относится к решению полученным МКЭ, квадратами показаны экспериментальные результаты для конструкции и кружочками показаны экспериментальные результаты для отдельно взятой пластины. Прогибы получены при суммарной нагрузке С=1кг=9.8Н.

Сравнивая результаты эксперимента с теоретическими результатами, изложенными в главе 2, необходимо отметить следующее: прогибы пластин образца №1 в точках 1,2,3 при суммарной нагрузке на каждую пластину в G=20kz=196H составляют 572, 438 и 577 микрон. Данные аналитического решения при равных условиях нагружения дают в тех же точках соответственно 505, 472 и 505 микрон. Решение МКЭ определяет там же прогибы в 391,355 и 391 микрон. Для наглядности эти результаты приведены на рис. 3.20 и таблице 3.9. Тот факт, что решение МКЭ дает заниженные результаты по сравнению с аналитическим решением объясняется следующим. В аналитическом решении условие контакта между пластиной и оболочкой ставятся лишь по углам поворота, тем самым "смягчая" конструкцию, а в решении МКЭ условие контакта выполняются по всем направлениям и конструкция становится "более жесткой".

Таблица 9

И'[ми кроны] Эксперимент Аналитическое решение Решение МКЭ

Точка 1 572 505 391

Точка 2 438 472 355

Точка 3 577 505 391

Нормальные перемещения пластины в точках 1,2 и 3

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В заключении кратко сформулируем основные результаты диссертационной работы:

1. С единых позиций в контактной постановке решены задачи о статическом деформировании и колебаниях конструкции, состоящей из тонкой цилиндрической оболочки и дискретно присоединенных к ней пластин.

2. Для решения этих контактных задач построены в четырех вариантах статические и динамические функции влияния для перемещений оболочки имеющие кроме того самостоятельную научную ценность.

3. С целью проверки предложенных методов решения контактных задач было проведено решение тех же задач методом конечных элементов. Показано удовлетворительное совпадение результатов.

4. Проведена серия экспериментальных исследований рассматриваемой в работе конструкции. Для этого изготовлены три опытных образца и специальная экспериментальная установка. Результаты теоретических и экспериментальных исследований прогибов пластин совпадают с удовлетворительной точностью.

24 I

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1. Антуфьев Б.А., Смиян А.Б. Колебания оболочки, несущей систему дополнительно присоединенных пластин. В сб. Материалов II Международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твёрдого тела», 2009. — С.40-41

2. Антуфьев Б.А., Смиян А.Б. Колебания составной оболочечной конструкции. В сб. Материалов XXIII Международной конференции "ВЕМ&РЕМ", 2009. - С.16-17

3. Антуфьев Б.А., Смиян А.Б. Динамика цилиндрической оболочки с консольно прикрепленными к ней пластинами // В сб. Материалов XV Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова, 2009.Т.1 - С. 9

4. Антуфьев Б.А., Смиян А.Б. Динамика цилиндрической оболочки с консольно прикрепленными к ней пластинами // Вестник Московского Авиационного Института, 2009.Т.16.Ио. 3. - С.150-159

5. Антуфьев Б.А., Смиян А.Б. Деформация цилиндрической оболочки с прикрепленными к ней упругими пластинами // В сб. Научно-исследовательских работа «Обеспечение качества на всех этапах жизненного цикла изделия» под редакцией Б.В.Бойцова, 2008. - С. 197201

6. Антуфьев Б.А., Смиян А.Б. Упругодинамическая модель «крыло-подвеска-узлы крепления» II В сб. Материалов XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова, 2011. Т.1 -С. 15

7. Антуфьев Б.А., Смиян А.Б. Упругодинамическая модель подвески крыла самолета // Вестник Московского Авиационного Института, 2011. Т. 18-С. 179-188

Множительный центр ^[АИ (НИУ) Заказ от/7 ^.201*1~г. Тираж$0 экз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Смиян, Андрей Богданович

ВВЕДЕНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 1 ПОСТРОЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ ВЛИЯНИЯ ДЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОБОЛОЧЕК

1.1 Построение функций влияния на основе уравнений 16 цилиндрической оболочки, записанных через разрешающую функцию

1.1.1 Построение функций влияния с использованием уравнений 16 общей теории цилиндрических оболочек

1.1.2 Построение функций влияния с использованием уравнений 23 технической теории цилиндрических оболочек

1.2 Построение функций влияния с использованием уравнений 28 цилиндрической оболочки в смешанной форме

1.3 Построение функций влияния на основе уравнений пологой 34 оболочки в перемещениях

1.4 Результаты расчётов. Примеры.

ГЛАВА 2 СТАТИКА И ДИНАМИКА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ОБОЛОЧКИ С КОНСОЛЬНО ПРИКРЕПЛЕННЫМИ К НЕЙ УПРУГИМИ ПЛАСТИНАМИ

2.1 Статический изгиб цилиндрической оболочки корпуса ЛА с 50 консольно прикреплёнными к ней двумя упругими пластинами.

2.2 Примеры расчета

2.3 Колебания цилиндрической оболочки с консольно 63 прикреплёнными к ней упругими пластинами.

2.4 Примеры расчета

2.5 Расчёт цилиндрической оболочки с консольно прикреплёнными 72 к ней упругими пластинами с помощью метода конечных элементов (МКЭ)

2.5.1 Описание конечно элементной модели

2.5.2 Примеры. Сравнение результатов

ГЛАВА 3 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

СОСТАВНОЙ ТОНКОСТЕННОЙ КОНСТРУКЦИИ

3.1 Описание экспериментальных образцов

3.2 Описание экспериментальной установки и методика 90 эксперимента

3.3 Методика проведения экспериментальных исследований

3.4 Результаты эксперимента и сравнение с теоретическими 103 результатами

Введение диссертация по механике, на тему "Статика и колебания цилиндрической оболочки с консольно прикрепленными пластинами"

В авиационных и ракетно-космических конструкциях встречаются тонкостенные конструкции, состоящие из тонкой цилиндрической оболочки, к которой дополнительно дискретно присоединены пластины разнообразной формы в плане. Такие конструкции характерны для малых ракет, некоторые из которых представлены на рис. 1.

Рис. 1 Типовые фотографии рассматриваемой конструкции

Эти ЛА в процессе эксплуатации испытывают значительные поперечные перегрузки пу, при этом пластины (крылья малого удлинения) испытывают деформации изгиба и кручения. Пластины дискретно по линиям прикреплены к круговой цилиндрической оболочке корпуса ЛА. В зоне их соединения на корпус передаются значительные локальные силы, изгибающие и крутящие моменты, которые могут повлиять на местную (локальную) прочность конструкции. С другой стороны увелечение прогибов и углов закручивания крыльев за счет упругости их соединения с корпусом ЛА может вести к нежелательным аэроупругим явлениям типа дивергенции или флаттера.

В процессе эксплуатации вся конструкция относительно вертикальной плоскости симметрии может деформироваться или антисимметрично или симметрично (рис. 2) На этом рисунке пунктирными линиями показано деформированное изгибное состояние пластин для разных типов ЛА.

Основным конструктивным элементом таких конструкций ЛА являются тонкие оболочки, поэтому проблема действия на оболочки локальных нагрузок в зоне соединения их с пластинами имеет большое значение при исследовании прочности составных летательных аппаратов.

Кроме местного напряженного состояния оболочек может быть еще более важно знать и их перемещения в районе крепления пластин (коэффициенты локальной податливости). Это необходимо для составления и уточнения динамической схемы ЛА в целом, которая представлена в виде цилиндрической круговой оболочки и консольно прикрепленных к ней пластин. Поэтому значительная часть работы посвящена исследованию

Рис. 2 Деформированное изгибное состояние пластин местного статического деформирования оболочки (определение локальных коэффициентов податливости) в районе соединения тел.

Для исследования перечисленных проблем необходимо решать задачи динамического нагружения тонких оболочек с консольно прикрепленными упругими пластинами произвольного вида. Необходимо отметить, что такие задачи, принципиально отличаются от задач нагружения гладких оболочек локальными нагрузками, так как пластины передают внешнюю аэродинамическую нагрузку через усилия контакта на оболочку. Наличие этих пластин, обладающих своими массами и жесткостями, ведет к изменению спектра собственных частот колебаний конструкции в целом, обогащая его за счет учета динамических свойств дополнительных подсистем. При этом собственные частоты колебаний всей системы располагаются строго по одному между частотами колебаний отдельных её частей, значительно увеличивая вероятность возникновения резонансных колебательных режимов и возниконовения таких аэроупругих явлений как дивергенция и флаттер. Таким образом, присоединенные пластины, с точки зрения динамики составных конструкций надо рассматривать как неблагоприятный фактор.

Предлагаемая работа посвящена в основном изучению статической прочности и колебаний составных тонкостенных оболочечных систем, состоящих из оболочки (основная подсистема) и циклически симметрично дискретно присоединенных к ней упругих пластин произвольной формы в плане.

Цель работы: Цель этой диссертации состоит в том, чтобы с единых позиций в геометрически линейной контактной постановке рассмотреть проблему статической прочности и колебаний тонкой оболочки блока ЛА, несущей систему дополнительно присоединенных крыльев малого удлинения моделируемых упругими пластинами разнообразной формы в плане. Для решения этих задач необходим численно аналитический метод исследования статической деформации и колебаний составных конструкций. В рамках предлагаемой далее механической модели составной конструкции эту задачу нельзя рассматривать в отрыве от проблемы определения локальных перемещений подсистем в зоне крепления их друг к другу. Поэтому значительная часть работы посвящена исследованию местного статического деформирования оболочки (определение локальных коэффициентов податливости) в районе соединения тел. Вследствие большой сложности поставленной проблемы необходимо провести экспериментальное исследование деформированного состояния конструкции.

Научная новизна работы: Разработка с единых позиций численно аналитического метода исследования статической прочности и колебаний составной тонкостенной конструкции, состоящей из цилиндрической оболочки и двух дискретно прикрепленных к ней пластин. Для экспериментального исследования статического деформирования рассматриваемой конструкции была разработана и спроектирована экспериментальная установка, а также изготовлен комплект из трёх моделей.

Методы исследований: Для построения численно аналитического метода решения задачи был выбран метод расслоения, который основан на разделении всей конструкции на отдельные подсистемы, находящиеся под действием внешних нагрузок и под действием статических или динамических реакций контакта в местах соединения тел. Для изучения статической деформации исследуемой конструкции была спроектирована универсальная экспериментальная установка и проведена серия экспериментов. Полученные данные сравнивались с предлагаемым решением и решением, полученным с использованием метода конечных элементов.

Актуальность темы: В последние время появился целый ряд конструкций состоящих из различных тонкостенных элементов, дискретно соединенных между собой. Через эти элементы передаются нагрузки с одного элемента на другой, например с крыльев на оболочку. В научной литературе задачи и конструкции такого рода не исследованы. В связи с этим изучение составных тонкостенных конструкций такого рода требует отдельного изучения, в том числе проведения серии экспериментов по определению статической прочности и динамических характеристик конструкций такого типа.

Достоверность: Достоверность полученных в работе результатов и выводов определяется следующим: во-первых, используются апробированые методы и подходы решения задач теории оболочек. Во-вторых, дано сравнение с данными экспериментальных исследований автора и частных теоретических решений других исследователей. Кроме того, подтверждено результатами численного решения полученного с использованием метода конечных элементов (МКЭ).

Теоретическая и практическая ценность: Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы проектными и научно-исследовательскими организациями в процессе проектирования конструкций малых ракет. Экспериментальная установка и разработанный численно аналитический метод может быть использован в учебном процессе при проведении лабораторных работ и демонстрационных работ для студентов специализирующихся в области расчетов на прочность.

XXIII Междунородная конференция «ВЕМ&БЕМ», Санкт-Петербург (2009 г.)

II Международная конференция «Проблемы нелинейной механики деформируемого твёрдого тела», Казань (2009 г.)

На научном семинаре кафедры №902 «Сопротивление материалов. Динамика и прочность машин» под руководством д.ф-м.н. Д.В. Тарлаковский.

Публикации: По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, из них две статьи в журнале, рекомендованном ВАК РФ.

Публикации в научных журналах, рекомендованных ВАК:

1. Антуфьев Б.А., Смиян А.Б. Динамика цилиндрической оболочки с консольно прикрепленными к ней пластинами // Вестник Московского Авиационного Института, 2009-T.16.No. 3. — С. 150159

2. Антуфьев Б. А., Смиян А.Б. Упруго динамическая модель подвески крыла самолета // Вестник Московского Авиационного Института, 2011. Т. 18-С. 179-188

В других журналах и материалах научных конференций:

1. Антуфьев Б.А. Смиян А.Б. Колебания оболочки, несущей систему дополнительно присоединенных пластин. В сб. Материалов II Международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твёрдого тела», 2009. — С.40-41

2. Антуфьев. Б.А. Смиян А.Б. Колебания составной оболочечной конструкции. В сб. Материалов XXIV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций», 2009г. — С. 16-17

4. Антуфьев Б.А., Смиян А.Б. Деформация цилиндрической оболочки с прикрепленными к ней упругими пластинами // В сб. Научно-исследовательских работа «Обеспечение качества на всех этапах жизненного цикла изделия» под редакцией Б.В.Бойцова, 2008.-С. 197-201

5. Антуфьев Б.А., Смиян А.Б. Упругодинамическая модель «крыло-подвеска-узлы крепления» // В сб. Материалов XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова, 2011. Т.1 - С. 15 Структура и объем работы: Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 119 странице машинописного текста, содержит 60 рисунков, 20 таблиц, список использованных источников из 70 наименований.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении кратко сформулируем основные результаты диссертационной работы:

3. С целью проверки предложенных методов решения контактных задач было проведено решение тех же задач методами конечных элементов. Показано удовлетворительное совпадение результатов.

ИЗ

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Смиян, Андрей Богданович, Москва

1. Аксельрад Э.Л. Гибкие оболочки. М: Наука, 1976. - С.376

2. Андреев JI.B., Станкевич А.И., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Динамика тонкостенных конструкций с присоединенными массами. М.: Изд-во МАИ, 1995.

3. Антуфьев Б.А. Колебания неоднородных тонкостенных конструкций. М.: Изд-во МАИ, 2011. С.176

4. Антуфьев Б.А. К расчету колебаний пологой оболочки с жестким включением. Киев, Прикладная механика, 1983, том XIX, №9. с.45 -49

5. Антуфьев Б.А., Смиян А.Б. Колебания оболочки, несущей систему дополнительно присоединенных пластин. .В сб. Материалов II Международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемоготвёрдого тела», 2009. С.40-41

6. Антуфьев Б.А., Смиян А.Б. Колебания составной оболочечной конструкции. В сб. Материалов XXIII Международной конференции "BEM&FEM", 2009. С.16-17

7. Антуфьев Б.А., Смиян А.Б. Динамика цилиндрической оболочки с консольно прикрепленными к ней пластинами // Вестник Московского Авиационного Института, 2009.T.16.NO. 3. С.150-159

8. Антуфьев Б.А., Смиян А.Б. Деформация цилиндрической оболочки с прикрепленными к ней упругими пластинами // В сб. Научно-исследовательских работа «Обеспечение качества на всех этапах жизненного цикла изделия» под редакцией Б.В.Бойцова, 2008. С. 197201

9. И.Антуфьев Б.А., Смиян А.Б. Упругодинамическая модель подвески крыла самолета // Вестник Московского Авиационного Института, 2011. Т. 18 — С. 179-188

10. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Теория тонких ребристых оболочек. -Киев: Наукова думка, 1980. -367с.

11. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Паламарчук В.Г. Динамика ребристых оболочек. Киев: Наукова думка, 1983. - 201 с.

12. Андреев JI.B., Станкевич А.И., Дышко A.JL, Павленко И.Д. Динамика тонкостенных конструкций с присоединенными массами. М.: Изд-во МАИ, 1995. -213с.

13. Бидерман B.JI. Прикладная теория механических колебаний. — М.:4

14. Высшая школа, 1977. -415с.

15. Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник. М.: Машиностроение. 1968. Т.З. 567с.

16. Бубнов И.Г. Труды по теории пластин. М.: Гостехиздат, 1953. 423 с.

17. Величко П.М. Действие локальной нагрузки, распределенной по круговым областям на оболочку положительной кривизны. // Теоретич. и при-кладн. механика. Вып. 6 1975. С. 66-74

18. Величко П.М., Шевляков В.П. О действии сосредоточечных сил и моментов на оболочку положительной кривизны. // Изв. АН СССР МТТ №2 - 1969. - С.12-15.

19. Виноградов Ю.И. Напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки при сосредоточенном нагружении // Изв. ВУЗов Машиностроение. М., 1973. - №11 - С.5-9.

20. Власов В.З. Избранные труды. М.: Издательство АН СССР, 1962. -Т. 1.528с.

21. Власов В.З. Общая теория оболочек. -М.: ГИТТЛ, 1949. 528с.

22. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: наука, 1972.-431с.

23. Гершгорин С. А. Колебания пластинок, нагруженных сосредоточенными массами. // ПММ. 1933. Т.1. Вып.1 С.25-37.

24. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.; Наука, 1976. -512 с.

25. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластинок и оболочек. — Киев: Наукова думка, 1964. с.287

26. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. -415с.

27. Гурьянов Н.Г. Замкнутая цилиндрическая оболочка под действием сосредоточенной силы // Исследования по теории пластин и оболочек. Изд.-во Казанского ун-та. 1966. - №4. - С. 55-64.

28. Гурьянов Н.Г. Экспериментальное исследование прочности цилиндрических оболочек при локальных силовых воздействиях / Н.Г. Гурьянов, Ю.Г. Коноплев // Труды VI Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966. С.327-332.

29. Даревский В.М., Шаринов И.Л. Свободные колебания цилиндрических оболочек с сосредоточенной массой. // Тр. VI Всес. Конференции по теории оболочек и пластин. Баку. 1966. — М.: Наука 1966. - С.115 — 119.

30. Дмитриева Л.М. Пластинки и оболочки, подкрепленные ребрами жесткости, под действием локальных динамических нагрузок. // Исследования по теории пластин и оболочек Казань: Изд-во КГУ, 1976. №12. С.172-187.

31. Дмитриева Л.М., Ю.П. Жигалко. Колебания пологой цилиндрической оболочки, подкрепленной ребрами жесткости. // Исследования по теории пластин и оболочек Казань: Изд-во КГУ, 1979. №14. С.197-202.

32. Жигалко Ю.П. К вопросу о колебаниях упругих систем с дискретными включенями. // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1976. №12. С.221-230.

33. Жигалко Ю.П. Вынужденные колебания пластин и оболочек при локальных нагрузках, передаваемые через ребра жесткости. // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1985. №18(2). С. 96-116.

34. Жигалко Ю.П. Некоторые вопросы динамики подкрепленных оболочек. // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1979. №14. С172-184.

35. Исслед. по теор. пластин и оболочек. Сборник выпуск 21, ред. А. В. Саченков, Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1989, 220 с.

36. Коваленко А.Д. Термоупругость. Киев: Вища школа, 1975. 216с.1

37. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Подчасов Н.П. Нелинейные колебания цилиндрических оболочек. — Киев: Вища школа, 1989. — 208с.

38. Ли Те Вей. Колебания пологих сферических оболочек с сосредоточенной массой. // Тр. Американского общества инженеров — механиков (Прикладная механика). 1966. - №4. С. 247-248.

39. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. М.: Мир, 1982.-542с.

40. Магнус К. Колебания. М.: Мир, 1982. 303с

41. Моссаковский В.И., Гудрамович B.C. Контактные задачи теории оболочек. // Контактная прочность пространственных конструкций. -Киев. Наукова думка; 1976. С.3-40.

42. Нерубайло Б.В. Локальные задачи прочности цилиндрических оболочек. -М.: Машиностроение. 1983. — 247с.

43. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1951. 344 с.

44. Новожилов В.В. Теория упругости. М.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

45. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. G.656

46. Образцов И.Ф., Булычев Л.А., Васильев В.В. и др. Строительная механика летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1986. — 536с

47. Образцов И.Ф., Нерубдйло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций, М.: Машиностроение, 1991 С.42954.0ниашвили О.Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек. М., Изд-во АН СССР, 1957.

48. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1980, - 270с.

49. Пановко Я.Г. Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. -М. Наука, 1979, 384с.

50. Подстригач Я.С., Швец Р.Н. Термоупругость тонких оболочек. Киев: Наукова думка, 1978. — 343с.

51. Попов Е., Пензин И.,Раджан К. Концентрация напряжений в тонких сферических оболочках. // Тр. Американского общества инженеров -механиков (Прикладная механика). 1966. - №4 - С. 102 - 107.

52. Сидоренко A.C. Динамическое состояние изделий, размещенных на крыльевой подвеске, при посадке // Труды ГосНИИ авиационных систем, серия «Вопросы авионики», 2008, вып.№1(18).С.43-60.

53. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977-351

54. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Мир, 1967. 444с.

55. Чернышев Г.Н. О контактных задачах в теории оболочек. // Тр. УП

56. Всес. Конференции по теории оболочек и пластин. Днепропетровск. 1969 М.: Наука. - 1970. - С. 898-902

57. Шевляков Ю.А., Шевченко В.П. К вопросу о действии сосредоточенных воздействий на пологие оболочки. // В сб. Концентрация напряжений. К.: Наукова думка, 1965. Вып.1. - С.326-327

58. Шевляков Ю.А., Шевченко В.П. О действии сосредоточенных сил и изгибающих моментов на пологую цилиндрическую оболочку // Прикладная механика, 1966, Т.2. - Вып.1 - С.120-123.

59. Шевченко В.П. К решению граничных задач круговых цилиндрических оболочек при локальных нагрузках. // В кн. Теория оболочек и пластин. М.: Наука, 1973. С.763-767

60. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC. Nastran. М.: ДМК Пресс, 2003. С.448

61. Шклярчук Ф.Н. Колебания и аэроупругость летательных аппаратов. — М.: МАИ, 1981 -88с.

62. Шклярчук Ф.Н., Антуфьев Б.А. Деформация тонкой упругой оболочки, нагруженной через жесткую накладку. Изв. Вузов, Авиационная техника, 1974, №4. - С. 115-120.

63. Kirchhoff G. Vorlesungen über mathematische Physik. Mechanik. -Leipzig: B.G. Teubner, 1876. -IX1.+466S.

64. Reissner E. Stresses and small displacements of shallow spherical shells. // J. Math. Phys. 1946. - 25.№3. - pp. 279 - 284.