Статистическое моделирование течений разреженного газа с учетом внутренних степеней свободы молекул тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ, ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА С УЧЕТОМ ВНУТРЕННИХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛ

Специальность 01.02.05 «Механика жидкости, газа и плазмы»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

РГБ ОД

Русаков Сергей Викторович

УДК 533.6.011.8

Москва - 2000

Работа выполнена на кафедре Вычислительной аэродинамики факультета аэромеханики и летательной техники Московского физико-технического института

Научный руководитель: доктор физико-математческих наук,

профессор, Хлопков Ю.И.

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор, ВЦ РАН

Яницкий В.Е. д.ф.-м.н., профессор, МАИ Пярнпуу А.А.

Ведущая организация: Центральный Аэрогидродинамический Институт им. Н.Е. Жуковского (Российское авиационно-космическое агентство)

Защита состоится « » 2000 г. в час. мин.

на заседании специализированного Диссертационного совета при Московском физико-техническом институте по адресу:

140 180, Жуковский, ул. Гагарина, д. 16, ФАЛТ МФТИ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФАЛТ

МФТИ

Автореферат разослан «1 » ® к л 2000 К

Ученый секретарь диссертационного совета /Киркинский А.И./

£os3,3Srt-{Ot ОЗ

Актуальность проблемы.

Прогресс в области авиационно-космической техники в настоящее время и в обозримом будущем связан с созданием аппаратов для полета в верхних слоях атмосферы, граничащих с ближним космосом. Это аппараты типа «Буран» или «Спейс Шаттл», способные осуществлять управляемый спуск с орбиты. При разработке таких аппаратов одной из наиболее сложных для исследования является область высот полета, где отношение длины свободного пробега молекул воздуха в невозмущенном потоке к характерному размеру тела - число Кнудсена Кп^Х-^/Ь - порядка единицы - переходной режим обтекания. Новое поколение гиперзвуковых летательных аппаратов должно обладать высоким аэродинамическим качеством (К^З), для обеспечения возможности маневра в верхних слоях атмосферы за счет аэродинамических сил. Для увеличения качества необходимо уменьшать радиусы затупления носовой части, передних кромок крыльев и органов управления. Однако на этом пути основным препятствием является увеличение тепловых потоков на элементах конструкции с малым радиусом затупления, грозящее их разрушением. Максимальные тепловые потоки на элементах конструкции с радиусом затупления г<10''м достигаются именно в переходном режиме обтекания (Каю>10'2). Следовательно, исследование теплопередачи в переходном режиме имеет практический интерес.

Метод расчета.

Расчетные исследования обтекания тел в переходном режиме ведутся, как в рамках механики сплошной среды, так и на основе кинетической теории газов. Из моделей сплошной среды помимо наиболее общей системы уравнений Навье-Стокса, используются различные ее упрощения, такие как: параболизованная система уравнений Навье-Стокса, модель тонкого вязкого ударного слоя (ТВУС) и другие. Для учета явлений разреженности используются граничные условия скольжения и скачка температуры на твердой поверхности, полученные на основе кинетического подхода, а также модифицированные условия Рэнкина-Гюгонио на ударной волне. Хотя, по сути своей, уравнения движения газа, как сплошной среды, справедливы при Кп„«1, модификация граничных условий позволяет несколько продвинуться в переходную область.

Однако адекватное описание движения газа во всем переходном режиме, может быть дано лишь на основе кинетической

теории. Для определения поля течений около гиперзвуковых летательных аппаратов в переходном режиме обтекания используются модельные кинетические уравнения, а так же метод прямого статистического моделирования (метод Монте-Карло - ПСМ). Именно этот метод и лег в основу данной работы. Причем успех в применении, как кинетических уравнений, так и метода ПСМ обуславливается простотой используемых моделей взаимодействия между молекулами в потоке и взаимодействия молекул с поверхностью летательного аппарата. Однако стремление к упрощенным моделям не должно идти в ущерб их физическому содержанию и необходимо как можно более полно учесть как внутреннюю структуру молекул, так и характерные особенности межмолекулярного взаимодействия.

Целью данной работы являлось:

1. Создание модели взаимодействия молекул с учетом внутренних степеней свободы и диссоциации для моделирования гиперзвуковых течений разреженного газа методом ПСМ протекающих при высокой температуре; реализация этой модели на базе доступной вычислительной технике.

2. Изучение особенностей течения и теплообмена в окрестности критических точек и линий (на основе ПСМ) применительно к условиям движения воздушно-космического самолета.

3. Исследование на основе ПСМ влияния определяющих параметров модели и физико-химических процессов на локальные-

и интегральные аэродинамические характеристики тел простой конфигурации.

4. Изучение влияния законов отражения молекул и атомов от поверхности тела на удельный поток тепла на критических поверхностях.

Научная новизна, практическая полезность.

В работе предлагаетвя модель позволяющая проводить вычисления методом ПСМ на вычислительной технике средней мощности. К ее достоинствам также можно отнести то, что она одновременно учитывает как вращательные, так и колебательные степени свободы молекул. Последние могут рассматриваться как на классическом уровне, когда колебательная энергия молекул имеет непрерывный спектр, так и на квантовом уровне, когда колебательная энергия передается квантами. В свою очередь кванты, могут быть или для гармонического осциллятора, или для ангармонического. Для ангармонического осциллятора Морзе естествен-

ным образом рассматривается процесс диссоциации молекул. Параметры модели зависят не только от усредненных характеристик, таких как поступательная температура газа, но и от относительной скорости молекул перед столкновением, что дает возможность учесть, таким образом, неравновесный характер течений в ударных волнах. Изменяя параметры модели, которые определяются в эксперименте, легко исследовать их влияние на параметры течений. Таким образом, предложенная модель претендует в какой-то степени, на универсальность описания физико-химических процессов происходящих в реальных газах как например модель Ларсена-Боргнакке [2]. Однако в отличие от нее, свободна от того недостатка, что не использует при расчете скоростей молекул после столкновения равновесные функции распределения.

Публикации.

Основные результаты данной работы опубликованы в следующих изданиях: журналах Математическое моделирование, Механика жидкости и газа; в тезисах симпозиума по RGD - 1998, Марсель, Франция; в трудах международной конференции - Ргос. of Third Seminar on RRDPAE'98. Warsaw, 1998; в трудах XV Международной Школы им. акад. Н.Н.Яненко по моделям механики сплошной среды. 01-10 июля 2000 г. С.-Петербург, Россия.

Апробации работы.

Автор диссертации участвовал в ряде научных конференций, таких как: ежегодная студенческая конференция МФТИ-2000; конференция молодых ученых и специалистов ЦАГИ; XV Международная Школа им. Н.Н.Яненко по моделям механики сплошной среды-2000; Second Seminar on RRDPAE'98 Warsaw 1998; RGD-1998 Франция.

Структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения; четырех глав; заключения; списка литературы, насчитывающего 100 наименований и 55 рисунков.

Краткое содержание работы.

Во введении приводится краткая характеристика современного состояния проблемы аэродинамического нагревания ЛА при гиперзвуковых режимах обтекания, проблемы моделирования неравновесных физико-химических процессов происходящих при высоких температурах в газе, ставятся основные цели диссертационной работы и приводится ее краткое описание.

Глава 1.

Первая глава диссертационной работы посвящена математическому описанию метода расчета и предложенной модели которые используются в дальнейших расчетах.

§1.1-§1.3 Здесь приводится краткое описание метода расчета. Расчет гиперзвуковых течений разреженного газа в работе проводился методом прямого статистического моделирования [2].

Моделирование течений одноатомного газа производилось с помощью VHS-модели [2]. Двухкомпонентные течения одноатомного газа расчитывались на основе VSS-модели [8].

§1.4-§1.5 Для моделирования релаксации вращательных степеней свободы молекул предложена [4] VRS-модель (variable rough sphere-model) или шероховатые сферы переменного диаметра. Рассматриваются абсолютно шероховатые сферически симметричные молекулы массой М = 2т, где т - масса атома.

Модель шероховатых сфер переменного диаметра отличается от классической модели абсолютно шероховатых сфер [15] в двух пунктах:

1. масса молекулы сосредоточена в некоторых отдельных точках внутри сферы (что соответствует расположению атомов в молекуле)

2. диаметр сферы есть некоторая функция от относительной скорости молекул в момент столкновения, выбором которой определяется зависимость коэффициентов переноса (например, коэффициента вязкости) от температуры (аналогично VHS или-

VSS - модели).

Молекулы сталкиваются таким образом, что ориентация их осей совпадает с линией центров в момент столкновения, направление которой задается вектором к. Импульс J, передаваемый от одной молекулы к другой и скорости молекул при столкновении -Va можно разложить на две составляющие: направленные по линии центров - J2 и и перпендикулярные ей Ji и ria, где а=1,2. Тогда можно записать:

J = J,+J2 J| = [kx[Jxk]] J2 = (Jk)k

Va=T\a+^a

В таких предположениях импульс Ji участвует лишь в обмене вращательной энергией, а импульс J2 - лишь в обмене колебательной энергии. Для случая обмена вращательной энергии можно записать:

Tl'2,1 =Tl2,| ± J|/M

й

<0 2.1 = 0)2.1 - [ к X л, ] — (1.4.0)

(1

в, = - в г = Т12 - "П1 + [ к X ( о, + ) ] —

Здесь относительная скорость молекул в точке касания сфер в момент столкновения (в силу абсолютной шероховатости в момент столкновения она меняет знак на противоположный), юа -угловые скорости молекул, Л - диаметр сферы, 1-момент инерции молекул.

А для случая обмена колебательной энергии:

(1.5.1а)

^ + -ьЕ, + Е2 = у (£,2 + &)+ Е, + Б'2 (1.5.16)

где Еа колебательная энергия а- молекулы. Предполагается [5], что бесструктурная частица, налетая на молекулу, действует на нее с силой РО). Для нахождения необходимо решить задачу о вынужденных колебаниях осциллятора.

Решая системы (1.4.0) и (1.5.1), получаем выражение для импульса:

Л] = - М —— §г (1.4.1)

1 + Г

Л2 = -Мк((к8)+у Де)(1 + у- )° (1.5.4)

где Г и А - параметры модели, являющиеся функциями как относительной скорости при столкновении g=|V2-Vl|, так и поступательной температуры и которые ищутся из условия, что среднее изменение энергии молекул при столкновении в равновесии равно нулю; Де=л:0]+х02, х-скорость колебания атома в осцилляторе. Окончательно получаем:

Аг/2 _ 29/Т Г(2 -2/у) у/

(1 +А1 /2)2 2у(Т)(ехр(б/Т)-1)2Г' Г(а, + 3 -2/ V) 2 Ч, 2кТ,)

2 2 у" 2 V ' * ' У е -1

г 2у+2 гуТ/р Л 1

—= )"Г(2-2/у)(1+- )

(1+ />2 М а

где а - параметр VSS модели.

§1.6 В случае квантового рассмотрения процесса передачи колебательной энергии, колебательный импульс находился из уравнения (1.5.16), а величина изменения колебательной энергии молекулы АЕ=Е -Е определялась с помощью вероятностей перехода по формулам-Ландау-Теллера:

J2 = - ш (k g ) + [ ш2 (kg )2 - 2т(ДЕ, + АЕ2)]1/2 (1.6.6) Однако при столкновениях, когда молекула переходила на более высокий уровень, подкоренное выражение в (1.6.6) может быть отрицательно. Если эти столкновения отбрасывать, то нарушается принцип детального баланса, чтобы избежать этого, автором диссертации было предложено найти поправку к формулам Ландау-Теллера, компенсирующую нарушение баланса между прямыми и обратными переходами. Доля частиц, а для которых подкоренное выражение в (1.6.6) отрицательно соответствует доли тех молекул, для которых энергия относительного движения вдоль линии центров не превосходит величины: AE=i k(ü , где (i=l, если одна частица переходит на более высокий колебательный уровень, i=2, если обе частицы переходят на более высокий колебательный уровень при столкновении). Величину а можно вычислить аналогично [2], тогда искомая поправка найдется как:

Ч(Т) = —-— 4 1 -а(Т)

§1.7 Аналогичную процедуру коррекции вероятностей перехода можно проделать для ангармонического осциллятора с потенциалом Морзе и использовать для вычисления импульса после столкновения формулу (1.6.6). Так как количество колебательных уровней в потенциале Морзе ограничено, естественно предположить, что при переходах с последнего уровня молекула разваливается на два атома.- Чтобы учесть влияние вращения молекулы на диссоциацию используется модель [11] в которой вводится эффективный потенциал межатомного взаимодействия: ^ ^ * 2

=-[U(r) + -J-т]г_, =0 дг 2Mr m

Находится его минимум и соответствующий колебательный уровень, с которого молекуле позволяется диссоциировать при достаточном вращательном возбуждении.

дг и$фф

Вероятности квантовых переходов для осциллятора Морзе ищутся, как поправки к формуле Ландау-Теллера как это было сделано, например, в [11] и [14]. В данной работе автор находил эту поправку из условия, что вероятность перехода с уровня Ытах на (N„№<+1) равна вероятности диссоциации, вычисленной с помощью константы диссоциации, известной либо из эксперимента, либо из каких-нибудь приближенных расчетов (в работе использовалась константа диссоциации полученная в [11]). Вероятности перехода с 0-го на 1-ый уровень должны при этом удовлетворять экспериментальным данным [10]. В итоге получено следующее выражение:

р^.кп+осро.ту^^ (1.7.8)

где у(Т) некоторая функция от температуры. В области температур ог 2000 К до 8000 К |у(Т)|~10''-И0"2 и следовательно при п~1 (1.7.8) переходит в приближение Ландау-Теллера.

Влияние вращательного возбуждения молекул на диссоциацию учитывалось с помощью модели рассмотренной в [11].

§1.8 Здесь приводятся основные формулы с учетом всех изменений в связи с тем, что газ рассматривается как двухкомпо-нентная смесь.

§1.9 Рассматривается модель рекомбинации атомов при столкновении с поверхностью ЛА.

§1.10 Так многие формулы, которые используются в непосредственных вычислениях, имеют достаточно сложную математическую структуру и вычисления по ним занимают большую часть машинного времени, то эти формулы были заменены более простыми арифметическими выражениями.

Глава 2.

§2.1-§2.2 Предложенная в Главе I модель была проверена на задаче об однородной релаксации газа, проведено сравнение с работами [7], [2] и [3]. Сравнение показало хорошее совпадение по времени релаксации между различными моделями, в равновесии достигаются равновесные функции распределения, как по поступательным, так и по внутренним степеням свободы. Интересно отметить тот факт, что расчеты, проведенные по классической и квантовой моделям для гармонического осциллятора, совпадают.

§2.3 В этом параграфе производится постановка задачи и тестовое сравнение расчета ударной волны с работами [7,1] - для 2-х атомного газа и [9] - для одноатомного газа.

§2.4 Исследование влияния параметров модели на структуру ударной волны показало, что наибольшее влияние оказывает параметр вращательной релаксации При его изменении на

25% ширина ударной волны возросла на 5%. Изменение показателя степени в потенциале взаимодействия V от 9 до 10 не привело к какому-либо отличному результату.

§2.5 Проведенные в работе исследования функции распределения в ударной волне в одноатомном газе показали, что в ударной волне газ находится в существенно неравновесном состоянии. Функция распределения в центре ударной волны отлична от мак-свелловской и имеет некоторую двух-горбость, которую предсказывает теория Мотт-Смита.

§2.6 Здесь проводится исследование влияния колебательной релаксации на структуру ударной волны. Приводится сравнительный анализ ударной волны в газе с возбужденными как вращательными, так и колебательными степенями свободы с газом в котором возбуждены только вращательные степени свободы и с газом без возбуждения внутренних степеней свободы.

§2.7 Для того, чтобы адекватно моделировать течения смеси газов в работе [8] была предложена УББ - модель, позволяющая подбором параметров удовлетворить как экспериментально наблюдаемой зависимости коэффициента вязкости от температуры, так и зависимости коэффициента диффузии от температуры. В этом параграфе дано краткое описание этой модели и приводится тестовый расчет в сравнении с [2].

Глава 3.

В третьей главе на основе метода ПСМ проведено исследование обтекания цилиндра гиперзвуковым потоком разреженного газа. Исследовано влияние последовательного возбуждения внутренних степеней свободы молекул, диссоциации и каталитических^ свойств поверхности тела на локальный тепловой поток и картину течения перед цилиндром.

§3.1 Это параграф посвящен постановке задачи, описанию расчетной области и тестовым расчетам. Сравнение проводилось для двухатомного газа с возбуждением только вращательных степеней свободы, профили поступательной и вращательной температур, поток тепла распределенный по цилиндру сравнивались с работой [12] в которой внутренние степени свободы учитывались с помощью модели Ларсена-Боргнакке. Наблюдается хорошее совпадение результатов.

§3.2-§3.3 Здесь исследовалось влияние последовательного учета возбуждения внутренних степеней свободы на область течения перед телом. Первый расчет произведен для совершенного двухатомного газа с замороженными вращательными степенями свободы молекул-Ом, второй - аналогичен первому, но активными вращательными степенями свободы-С),., третий - подключались колебательные степени свободы-*^,, четвертый - учитывалась диссоциация (поверхность полностью некаталитичнал)-0П11 и пятый, - атомы на теле могли рекомбинировать в молекулу (поверхность полностью каталптичная)^^. На представленных в диссертации графиках можно проследить, как при этом менялось поле течения перед цилиндром, как изменялся поток тепла на критической линии рис.3.1. Оказалось, что сильному влиянию при этом подвержены профили температур, плотности (рис.3,2а,б) в ударной волне.

При увеличении количества возбужденных внутренних степеней свободы молекул наблюдалось уменьшение зоны отхода ударной волны от передней кромки цилиндра, уменьшение температуры заударной волной. Газ в зоне ударной волны перед цилиндром находится в существенно неравновесном состоянии. Причем, если для вращательных степеней свободы равновесие по температуре достигается при Яе0~102, то для колебательных степеней свободы равновесие не достигается.

Расчеты были проведены на основе УНв-модели. Замена УН8-модели более адекватной УББ-моделью, приводит к большей величине отхода ударной волны от цилиндра ~5%, но оставляет неизменным удельный поток тепла.

Расчет показал, что возбуждение вращательных степеней свободы молекул по сравнению с замороженными вращательными степенями свободы, приводит к уменьшению потока тепла примерно на 20% при Яео~102. Дальнейшее подключение колебательных степеней свободы не оказывает значительного влияния на потока тепла (уменьшение потока тепла при Яео~Ю2 достигало максимум ~5%), за исключением случая полной некаталитичности обтекаемой поверхности и учета диссоциации в потоке. В этом случае, наблюдалось уменьшение потока тепла примерно в 1.5 раза, по сравнению с другими расчетами. Аналогичный результат влияния степени каталтичности поверхности на поток тепла наблюдался как в эксперименте [16], так и при расчетах другими численными методами [13,6].

На рис.3.1 также даны результаты расчетов, выполненых в данной работе в сравнении с [13,12].

Глава 4.

В четвертой главе на основе метода ПСМ проведено исследование обтекания сферы гиперзвуковым потоком разреженного газа. Исследовано влияние коэффициентов аккомодации внутренних степеней свободы молекул на поток тепла в критической точке сферы, каталитических свойств поверхности тела на локальный тепловой поток в диапазоне чисел Рейнольдса от Re0~l до Reo~102.

В §4.1 дана постановка задачи и тестовые расчеты в сравнении с другими работами.

§4.2 содержит исследование, выполненное выяснения влияния колебательного возбуждения молекул на поток тепла в критической точке. Стоит заметить, что расчёты были проведены с помощью классической колебательной модели без диссоциации и при одинаковых условиях в набегающем потоке газа: Мда=25, Тоо=200 К, температура тела составляла Tw=900°K (что соответствует температурному фактору tw=0.036). Расчет показал, что возбуждение колебательных степеней свободы не влияет на поток тепла в пределах статистической ошибки рис.4.0.

Изучение влияние коэффициентов аккомодации внутренних степеней свободы на поток тепла в критической точке проведено в §4.3. Рассмотрены два предельных случая рис.4.1:

полностью диффузное отражение всех степеней свободы молекул от стенки

2. полностью зеркальное отражение вращательных и колебательных степеней свободы и диффузное отражение поступательных степеней свободы молекул

Во втором случае наблюдается небольшое уменьшение потока тепла в диапазоне чисел Рейнольдса Re0 от 1 до 100. Это связано с тем, что при диффузном отражении молекулы, попадающие на тело, имеют несколько более высокую температуру, чем отраженные молекулы.

В §4.4 проведено исследование влияния каталитичности поверхности сферы на поток тепла в критической точке. На рис.4.2 представлена зависимость числа Sto от Re0 для расчетов выполненных в диссертации в сравнении с [13,14]. Особо выделяются результаты для полностью каталитической поверхности. Наблюдается хорошая корреляция с другими работами. Рис.4.2 также показывает, что число Рейнольдса Re0 вычисленное по параметрам со-

вершенного газа с отношением удельных теплоемкостей равной

1.4 остается хорошим параметром подобия даже для течений с физико-химическими реакциями.

Заключение.

1. Предложена модель взаимодействия молекул, позволяющая проводить расчеты течений разреженных газов с учетом вращательных, колебательных степеней свободы молекул и процессов диссоциации в потоке.

2. На основе этой модели созданы вычислительные программы для расчета течений разреженных газом методом ПСМ.

3. Выполнена работа исследованию влияния внутренних степеней свободы молекул на распределенные и интегральные аэродинамические характеристики при гиперзвуковом обтекании JLA потоком разреженного газа.

4. Выяснена степень влияния коэффициентов аккомодации внутренних степеней свободы молекул на удельный поток тепла.

5. Проведено исследование влияния степени каталитичности поверхности ДА на поток тепла в критической точке сферы и линии растекания цилиндра.

6. Полученные результаты смогут быть полезными при проектировании тепловой защиты гиперзвуковых ЛА.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в следующих научных изданиях:

1. Горелов С.Л., Русаков C.B. Модель шероховатых сферических молекул переменного диаметра. // Математическое моделирование. 1997. №9.

2. Горелов С.Л., Русаков C.B. Структура ударной волны для газа с внутренними степенями свободы. И Изв. РАН. МЖГ. 1999. №3.

3. Горелов С.Л., Русаков C.B. Модель вращательно-колебательного взаимодействия молекул для метода прямого статистического моделирования. // Математическое моделирование. Том 12. №9. с.55-64

4. Горелов С.Л., Русаков C.B. Взаимодействие двухатомных молекул с учетом вращательных и колебательных степеней свободы в методе прямого статистического моделирования. // Труды XV Международной Школы им. акад. Н.Н.Яненко по моделям механики сплошной среды. 01-10 июля 2000 г. С.Петербург, Россия.

Литература.

1. Alsmeyer Н. Density profiles in argon and nitrogen shock waves measured by the absorption of an electron beam. J. Fluid Mech. 1976. v.74. pt.3. 497-513p.

2. Bird G.A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows.//Clarendon Press. Oxford. 1994.

3. Gimelshein S.F., Ivanov M.S., Markelov G.N. Statistical Simulation of Nonequilibrium Rarefied Flows with Quasiclassical Vibrational Energy Transfer Models. J. Thermophysics and Heat Transfer. 1998. vol.12 № 4. 489-495p.

4. Горелов C.JI., Русаков C.B. Модель шероховатых сферических молекул переменного диаметра. // Математическое моделирование. 1997, N9.

5. Горелов- С.Л., Русаков С.В. Модель ВраЩаТеЛЬНО-

гг^ V- - „

колебательного взаимодеиствия молекул для метода прямого статистического моделирования. // Математическое моделирование. 2000. N3.

6. Егоров И.В. Диссертация к.ф.-ад.н., ЦАГИ

7. Ерофеев А.И; Вращательная релаксации азота. Препринт №62, ЦАГИ. 1992.

8. Koura К., Matsumoto Н. Variable soft sphere molecular model for inverse-power-law or Lenard-Jones potential. Phys. Fluids. A.3. pp.2459-2465. _

9. Lumpkin F.E., Chapman D.R. Accuracy of the Burnett equation for hypersonic real gas flow. J. Thermophysics and Heat Transfer. 1992. v.6 № 3.419-425p.

10. Millikan R.C., White D.R. Systematics of Vibrational Relaxation. // J. Chem. Phys.. 1963. V39. N12.

П.Никитин E.E. Теория элементарных атомно-молекулярных процессов в газах. М.: Химия, 1970.

12. Николаев К.В. Диссертации к.ф.-м.н. ЦАГИ. 1991.

13. Провоторов В.П., Степанов Э.А. Приближенные зависимости для расчета теплообмена на теле, обтекаемом гиперзвуковым потоком газа. Уч. записки ЦАГИ. Том XIII, №2, 1992, с.25-29

14. Ступоченко Е.В., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационные процессы в ударных волнах. // М.: Наука, 1965, 484 с.

15. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: Изд-во иностр. лит. 1960. 5 Юс.

16. Shvedchenko V.V., Zhestkov B.Eu., Ficher W.P.P., Ebeling W.D. Methodology and Results of Catalycity and Plasma Erosion Tests

on FEI Components. // 24th Intrnational Conference on Environmental Systems and 5th Europiean Symposium on Space Environmental Control Systems, Germany June 20-23, 1994.

Рисунки

-

-

-

Цилиндр: поток теша на линии растекания Л Qrvd (некаталитическая поверхность) ф Qr (возбужденные арат. ст. св.) | Qr 1 - (замороженные враш. ст. св.) ф Qtv - (возбужденные кодебат. ст. ся.)

♦ Ss, А *

+ ^^

А ■

* А

- — ^— работ« |П| —Щ— работа 114| А

1 1 1 1 1 1 11 1 1 ! II 1 1 1 1 1 1 1 1 II 1 | 1

0.1 1.0 Reo 10-ft 100.0

Рис.3.1: V8=11.2 km/c, T8=200 K,Tw=1620 К Влияние возбужденных степеней свободы на поток тепла

О.ОО 0.20 0.40 0.60 0.80 x/R

Рис.3.2(а): Цилиндр, критическая линии тока

100

I

0.20 0.40 0.60 0.S

РисЛ.1(б): Цилиндр,к-ритическая линия тока

1.0-

0.8-

0.6 •

О

0.4 ■

0.2 -

0.0 ■

Сфера

Поток тепла в критической точке Вертикальные отрезки - статистическая ошибка

ф только вряшат. ст. св. А врашат.+колебат. ст. св.

I I I I I IIII

I I

РГТТ

I I I 11 i

1 Reo Ю I»0

Рис.4.0: Влииние на поток тепла вращательных ц колебательных ст. сп Мах=25, Т8=200 К, Tw*9Q0 К

О

о-S

Сфера: поюк тепля в критической точке.

0 лиффушое отражение зеркальное отражение

I 1 I I 1 I П|

-1—Г

"I-1—Г"

ТО 1 цм 10 100 Рис.4.1: Влияние на потоктепла модели отражения от тела вращательных и шебятмьныхп. св. М»х-25,Т8-200 К, Ти-900 К

0.1 -

-----—,..

• St_rv(M"25, Т83 И St_rvd(T^100 200 К, Tw=900 К) K,V8-11.2km/c,T \чч «=1620 K) ...

■ St_rvdr(V8-11.2 kin/c) !

Символы - данная работа Линии *другие работы 1

13f, tw«l 141,tw=0J __ Ш,

! N

—------- работа • [14], tw«0.01 ] П

l l i Гi Iii

1 10 100

Reo

Рис.4.2: Сфера, лоток тепла в критической точке

1000

Введение.1

§ 1. Переходный режим обтекания.

§2. Проблемы обтекания в переходном режиме.

§3. Проблемы кинетического описания.

Глава 1. -Методика расчетов.18

§1.1 Метод прямого статистического моделирования.

§1.2 Схема моделирования межмолекулярных столкновений.

§1.3 VHS-модель.

§1.4 Моделирование вращательной релаксации,VRS - модель.

§1.5 Классический гармонический осциллятор.

§1.6 Квантовомеханический гармонический осциллятор.

§1.7 Моделирование диссоциации.

§ 1.8 Смесь газов, VSS - модель.

§1.9 Моделирование взаимодействия с поверхностью тела.

§1.10 Приближенные формулы, используемые в вычислениях.

Глава 2. Однородная релаксация газа и структура ударной волны.56

§2.1 Вращательная релаксация азота.

§2.2 Колебательная релаксация.

§2.3 Структура ударной волны в газе с внутренними степенями свободы. Постановка задачи и тестовые расчеты.

§2.4 Влияние параметров модели на структуру ударной волны.

§2.5 Исследование функции распределения в ударной волне.

§2.6 Влияние колебательной релаксации на структуру ударной волны

§2.7 Моделирование смеси газов.

Выводы.

Глава 3. Обтекание цилиндра.69

§3.1 Постановка задачи и тестовые расчеты.

§3.2 Влияние внутренних степеней свободы на поле течения перед цилиндром.

§3.3 Влияние физико-химических процессов на поток тепла.

Выводы.

Глава 4. Обтекание сферы.78

§4.1 Постановка задачи и тестовые расчеты.

§4.2 Влияние колебательных степеней свободы на поток тепла.

§4.3 Влияние коэффициентов аккомодации внутренних степеней свободы на поток тепла.

§4.4 Влияние каталитичности на поток тепла.<.

Выводы. .;.

§1. Переходный режим обтекания.

Прогресс в области авиационно-космической техники в настоящее время и в обозримом будущем связан с созданием аппаратов для полета в верхних слоях атмосферы, граничащих с ближним космосом. Это аппараты типа «Буран» или «Спейс Шаттл», способные осуществлять управляемый спуск с орбиты. При разработке таких аппаратов одной из наиболее сложных для исследования является область высот полета, где отношение длины свободного пробега молекул воздуха в невозмущенном потоке к характерному размеру тела - число Кнудсена Kiw^A,«,/ L - порядка единицы.

Режим обтекания тел, при котором аэродинамические и тепловые характеристики уже отличаются от свободномолекулярных значений, но еще не подчиняются зависимостям, характерным для режима континуального обтекания, называется промежуточным или переходным режимом обтекания.

С достаточной для практических интересов целей точностью можно полагать, что переходному режиму обтекания соответствует диапазон

2 j изменения числа Кнудсена: 10" < Кд» < 10 . Если считать, что характерный размер летательного аппарата и его отдельных важных элементов лежит в л 1 диапазоне 10" м < L< 10 м, то согласно данным стандартной атмосферы [87], весь аппарат или отдельные его части могут находиться в переходном режиме обтекания на высотах от 50 до 180 км. Эти оценки показывают, насколько важно развивать методы исследования течений газа в переходном режиме.

Аэродинамические и тепловые характеристики обтекания тел в переходном режиме получают в настоящее время экспериментальным и расчетным путем. К достоинствам эксперимента следует отнести 5 возможность исследования пространственного обтекания реальных компоновок летательных аппаратов, а также относительную быстроту получения результата. Недостатки - это невозможность, в настоящее время, моделирования натурных значений полной энтальпии или температуры торможения потока, с которой связано протекание физико-химических процессов в газе и на поверхности тела, а также высокую относительную погрешность измерений, в особенности, теплового потока.

Расчетные исследования обтекания тел в переходном режиме ведутся, как в рамках механики сплошной среды, так и на основе кинетической теории газов. Из моделей сплошной среды помимо наиболее общей системы уравнений Навье-Стокса, используются различные ее упрощения, такие как: парабализованная система уравнений Навье-Стокса, модель тонкого вязкого ударного слоя и другие. Для учета явлений разреженности используются граничные условия скольжения и скачка температуры на твердой поверхности, полученные на основе кинетического подхода, а также модифицированные условия Рэнкина-Гюгонио на ударной волне. Хотя, по сути своей, уравнения движения газа, как сплошной среды, справедливы при Кл«,«!, модификация граничных условий позволяет несколько продвинуться в переходную область.

Однако адекватное описание движения газа во всем переходном режиме, может быть дано лишь на основе кинетической теории. Основным уравнением которой, является уравнение Больцмана [51]: о,, для функции распределения в общем случае, от семи независимых переменных. Ввиду чрезвычайной сложности нелинейного 6 оператора столкновений в правой части уравнения (1.1), а также большого числа независимых переменных, его решение в общем случае аналитическими методами невозможно, а регулярными численными методами - крайне затруднительно. Регулярными, в противоположность статистическим, будем называть численные методы, не использующие случайные процессы. Аналитические решения получены лишь для случая пространственно-однородной релаксации газа, состоящего из максвелловских молекул [18]. Известен численный метод дискретных координат (или дискретных скоростей), основанный на предположении о конечном наборе возможных значений скоростей молекул. Этим методом в весьма грубой постановке были решены задачи об ударной волне [17] и о течении Куэтта [90]. Недавно [19] был построен регулярный численный метод решения уравнения Больцмана для двумерного случая в предположении, что в результате столкновения двух молекул, их относительная скорость, поворачивается на фиксированный угол 9=71/2, что, конечно, далеко от действительности. Этим методом была решена задача о структуре ударной волны для максвелловских молекул.

Для решения практических задач часто используются модельные кинетические уравнения, в которых больцмановский оператор столкновений заменен релаксационным. Модельные уравнения допускают регулярное численное решение. На их основе были решены достаточно сложные задачи, в т. ч., о пространственном обтекании тел одно- и двухатомным газом [57]. Следует, однако, заметить, что релаксационные кинетические уравнения могут неадекватно описывать явления в газе при сильном отклонении функции распределения от равновесной.

Вернемся к уравнению Больцмана (1.1). Поскольку, на сегодняшний день, решить его регулярными методами не представляется возможным, широкое распространение получили методы статистических испытаний или методы Монте-Карло. Промежуточное положение занимает гибридный 7 полурегулярный) метод [91], в котором линейный оператор переноса из левой части уравнения (1.1) аппроксимируется конечными разностями, а интеграл столкновений из правой части, вычисляется методом Монте-Карло. На сегодняшний день, этот метод позволяет решать одно- и двумерные задачи [92]. методов статистического моделирования движения разреженного газа развиты:

1. метод пробных частиц

2. метод прямого статистического моделирования

3. метод решения нелинейного уравнения Больцмана, основанный на теории ветвящихся случайных процессов.

Применение последнего, из перечисленных методов [37], связано с большим объемом вычислений, и, поэтому, с его помощью не было решено каких-либо практических задач.

В методе пробных частиц [95], моделирующие частицы подраздляются на полевые и пробные. Вброшенные в расчетную область пробные частицы, испытывают столкновения с полевыми частицами, изменяя при этом как свою скорость, так и характеристики поля. Решение нелинейного уравнения Больцмана, достигается путем итераций.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в V следующих научных изданиях: [27-29]

86

Заключение.

1. Предложена модель взаимодействия молекул, позволяющая проводить расчеты течений разреженных газов с учетом вращательных, колеба+ельных степеней свободы молекул и процессов диссоциации в потоке.

2. На основе этой модели созданы вычислительные программы для расчета течений разреженных газом методом ПСМ.

3. Выполнена работа исследованию влияния внутренних степеней свободы молекул на распределенные и интегральные аэродинамические характеристики при гиперзвуковом обтекании ЛА потоком разреженного газа.

4. Выяснена степень влияния коэффициентов аккомодации внутренних степеней свободы молекул на удельный поток тепла.

5. Проведено исследование влияния степени каталитичности поверхности ЛА на поток тепла в критической точке сферы и линии растекания цилиндра.

6. Полученные результаты смогут быть полезными при проектировании тепловой защиты гиперзвуковых ЛА. л

1. Abe Т. Direct simulation Monte Carlo method for internal-translational energy exchange in nonequilibrium flow rarefied gas dynamics. Theory and simulations. A1.A. Vol.159, pp.103. 1992.

2. Alsmeyer H. Density profiles in argon and nitrogen shock waves measured by the absorption of an electron beam. J. Fluid Mech. 1976. v.74. pt.3. 497-513p.

3. Аристов B.B., Иванов M.C., Черемисин Ф.Г. Решение задачи об одномерной теплопередаче в разреженном газе двумя методами. ЖВМиМФ, т.ЗО, №4, 1990, с.623-626.

4. Babovsky Н. On a simulation scheme for Boltzmann equation. Math. Meth. in Appl. Sci., 1986, v.8, pp.223-233.

5. Bergemann F., Boyd I.D. New discrete vibrational energy model for DSMS method. In: Shizgal BD and Weaver DP Eds. RGD. pp.174-183. Washington: AIAA. 1994.

6. Boyd I.D. Monte Carlo Study of Vibrational Nonequilibrium in Rarefied Flows of Nitrogen over a Wedge. Eloret Institute Internal Report. July. 1990.

7. Boyd I.D. Particle simulation of vibrational relaxation. RGD №18. 1992. Canada.

8. Boyd I.D Analysis of vibrational-translational energy transfer using the directVsimulation Monte Carlo method. Physics of Fluids A. Vol.3, p. 1785, 1991.

9. Bird G.A Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows.// Clarendon Press. Oxford. 1994.8711 .Bird G.A. Approach to translational equilibrium in a rigid sphere gas. Phys. Fluids, 1963, v.6, №10, pp.1518-1519.

10. Bird G.A. Rarefied hypersonic flow past a slender sharp cone. In: Rarefied Gas Dynamics. Proc. of the 13-th Int. Symp., v. 1, ed by O.M. Belotserkovskii, M.N. Kogan, C.S. Kutateladze, and A.K. Rebrov, Plenum Press, NY & London, 1985, pp. 349-356.

11. Bird G.A. Direct simulation and the Boltzmann equation. Phys.Fluids, 1970, . v.13, №11, pp 2677-2681.

12. Bird G.A. The search for solutions in rarefied gas dynamics. In: RGD-1998. pp.753.

13. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. // М.Мир, 1981.

14. Богомоловым С.В. О сходимости метода суммарной аппроксимации для уравнения Больцмана Препринт ИПМ АН СССР, 184, М., 1979, 25 с.

15. Broadwell J.E. Shock structure in simple discrete velocity gas. Phys. Fluid. V.7. №8. 1964. pp. 1243-1247.

16. Бобылев A.B. Точные решения уравнения больцмана и теория релаксации максвелловского газа. Теор. и Матем. Физ. 1984. Том 60. №2.

17. Бобылев А.В., Долгошеина Е.Б. Регулярное численное решение задачи о структуре ударной волны при произвольных числах Маха в двумерном больцмановском газе. X Всесоюзная конференция по динамике разреженных газов. Тезисы#докладов. М., 1989, с.39.

18. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. // М: Наука, 1972.

19. Vijayakumar P., Boyd I.D. Phenomenological Modeling of vibrational-translational energy exchange in the direct simulation Monte Carlo method. In: RGD-1998. pp.369-376.

20. Wysong I.J., Wadsworth D.C. Assessment of rotational collision number of nitrogen at high temperatures and its possible effect on modeling of reacting shocks. In: RGD-1998. pp.321-328.88

21. Генич А.П., Куликов C.B., Манелис Г.Б., Сериков В.В., Янидкий В.Е. Приложение весовых схем статистического моделирования течений многокомпонентного газа к , расчету структуры ударной волны. ЖВМиМФ, т.26, №12, 1986.

22. Gimelshein S.F., Ivanov M.S., Markelov G.N. Statistical Simulation of Nonequilibrium Rarefied Flows with Quasiclassical Vibrational Energy Transfer Models. J. Thermophysics and Heat Transfer. 1998. vol.12 № 4. 489-495p.

23. Гиршфельдер Д., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: ИИЛ. 1961. 933с.

24. Гордеев O.A. и др. Обзоры по теплофизическим свойствам веществ. // ИВТ АН СССР, 1985, N5 (55).

25. Горелов C.JI., Русаков C.B. Модель шероховатых сферических молекул переменного диаметра. // Математическое моделирование. 1997. N9.

26. Горелов СЛ., Русаков C.B. Структура ударной волны для газа с внутренними степенями свободы. // Изв. РАН. МЖГ. 1999. N3.

27. Горелов C.JI., Русаков C.B. Модель вращательно-колебательного взаимодействия молекул для метода прямого статистического моделирования. // Математическое моделирование. 2000. В печати.

28. Гольбергер Дж., Ватсон К. Теория столкновений. М.: Мир, 1967.

29. Гусев В.Н., Провоторов В.П., Рябов В.В. О роли физико-химических процессов в задачах моделирования гиперзвуковых течений разреженного газа. Ученые записки ЦАГИ. Том XII, №4, 1981, с.64-74

30. Гусев В.Н., Провоторов В.П. К моделированию гиперзвуковых течений разреженного газа в аэродинамических трубах. Труды ЦАГИ, вып. 2111, 1981, сЛ 26-141.

31. Гусев В.Н., Никольский Ю.В. Экспериментальное исследование теплопередачи в критической точке сферы в гиперзвуковом потоке разреженного газа. Уч. зап. ЦАГИ, 1971, т.2, №1, с.122-125.89

32. Gupta R.N., Yos J.M., Thompson R.A., Lee K-P. A review of reaction rates and thermodynamic and transport properties for 11-species air model for chemical and thermal nonequilibrium calculations to 30 000 K. NASA Reference Publication 1232. 1990.

33. Davis J., Dominy R.G., Harvey J.K., Macrossan M.N. An evaluation of some collision model used for Monte Carlo calculation of diatomic rarefied hypersonic flows. J. Fluid Mech.,1983. V.135. pp.355-371.

34. Егоров И.В. Диссертация к.ф.-м.н., ЦАГИ

35. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М., Наука, 1982,

36. Ерофеев А.И. Вращательная релаксации азота. Препринт №62, ЦАГИ. 1992.

37. Ерофеев А.И., Перепухов В.А. Расчет поперечного обтекания пластины потоком разреженного газа. Изв. АН СССР. МЖГ, 1976, №4, с. 106-112.

38. Ерофеев А.И. Пространственное обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа. Ученые записки ЦАГИ, 1987, №5, с.77-83.

39. Ерофеев А.И. Расчет обтекания конуса под углом атаки гиперзвуковым потоком разреженного газа. Ученые записки ЦАГИ, 1979, №6, с. 122-127.

40. Жданов В.М., Алиевский М.Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. // М.Наука, 1989.

41. Иванов М.С., Рогазинский С.В. Метод прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа. Изд-во ВЦ АН СССР, Новосибирск, 1988.

42. Иванов М.С., Рогазинский С.В. Экономичные схемы прямого статистического моделирования течений разреженного газа. X Всесоюзная конференция по динамике^ разреженных газов. Тезисы докладов. М., изд-во МЭИ, 1989, с.17.

43. Ковалев B.JT. Гетерогенные каталитические процессы при входе в атмосферу. Москва 1999.90

44. Ковалев B.JI., Суслов О.Н. Моделирование взаимодействия частично ионизированного воздуха с каталитической поверхностью высокотемпературной теплоизоляции. Изв. РАН МЖГ. 1996. №5. с. 179190.

45. Ковалев В.Л., Колесников А.Ф., Крупнов А.А, Якушин М.И. Анализ феноменологических моделей, описывающих каталитические свойства поверхности высокотемпературной многоразовой теплоизоляции. Изв. РАН МЖГ. 1996. №6. с.133-144.

46. Carlson А.В., Bird G.A. Implementation of a vibrationally linked chemical reaction model for DSMC. NASA Technical Paper.

47. Koura K., Matsumoto H. Variable soft sphere molecular model for inverse-power-law or Lenard-Jones potential. Phys. Fluids. A.3. pp.2459-2465.

48. Koura K. Transient Couette flow of rarefied binary gas mixture. Phys. Fluids, 1970, v. 13, pp.1457-1466.

49. Коган M.H. Динамика разреженного газа. // М.: Наука, 1967.

50. Кузнецов Н.М. Кинетика мономолекулярных реакций. М.: Наука, 1982.

51. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. // М.: Наука. 1988.

52. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. // М.: Наука. 1988.

53. Landau L, Teller Е. Theory of Sound Dispersion. Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion. Vol. 10. 1936. pp.34-43.

54. Larsen P.S., Borgnakke C. Statistical collision model for simulating poliatomic gas with restricted energy exchange. // Rarefied Gas Dinamic, DFVLR Press, Potz-Wahn, 1974, v. 1.

55. Ларина И.Н., Рыков B.A. Пространственное обтекание конических тел потоком разреженного газа. ЖВМиМФ, т.29,1989, №1, с. 110-117.

56. Langmuir I. Monolayers on Solids. // J. Chemical Society. 1940. V.4, pp.511540.

57. Лозино-Лозинский Г.Е. Полет «Бурана». Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации 1989. М.: Наука. 1990. с.6-21.91

58. Lord R.G. A new model of energy exchange in inelastic collisions. In: Harvey Ж and Lord R.G. Eds. RGD. pp.564-570.0xford University Press. 1995.

59. Lord R.G. Modelling dissociation of diatomic molecules using the Morse potential. RGD-1996. p. 180.

60. Lumpkin F.E., Chapman D.R. Accuracy of the Burnett equation for hypersonic real gas flow. J. Thermophysics and Heat Transfer. 1992. v.6 № 3. 419-425p.

61. Лукшин A.B., Смирнов C.H. Об одном стохастическом методе решения уравнения Больцмана. Ж. Вычислительная математика и мат. физика. 1988. Т.28. №2. 293-297с.

62. Лукщин А.В., Смирнов С.Н. Об одном эффективном стохастическом алгоритме решения уравнения Больцмана. Ж. Вычислительная математика и мат. физика. 1989. Т.29. №1. с.118-124.

63. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1977, 456 с.

64. Марчук Г.И., Яненко Н.Н. Решение многомерного кинетического уравнения методом расщепления. Докл. АН СССР, 1964, т. 157, №6, с.1291-1292.

65. Meador W.E., Miner G.A., Heinbockel J.H. Vibrational relaxation in hypersonic flow fields. NASA Technical Paper 3367. September 1993.

66. Millikan R.C., White D.R. Systematics of Vibrational Relaxation. // J. Chem. Phys . 1963. V39.N12.

67. Nandu К. Applicability of random walk model to free molecular motion in the direct simulation method. Rep. Inst. High Speed Mech., Tohoku Univ., v.45, 1982, №350, pp.77-83.92

68. Nandu К. Direct simulation scheme derived from the Boltzmann equation. J. Phys. Soc. Japan, 1980, v.49, №5, pp.2042-2049.

69. Nandu K. Heat transfer between parallel plates in continuum to free molecular regime. Rep. Inst. High Speed Mech., Tohoku Univ, v.47, 1983, №364.

70. Nandu K. Analisis of the Couette flow by means of the new direct-simulation method. J.Phys.Soc.Japan, v.52, №5,1983, pp.1602-1608.

71. Нейланд В .Я., Тумин А.М. Аэротермодинамика воздушно-космических самолетов. Конспект лекций. Жуковский 1991.

72. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. Под ред. Г.И. Макапара. М.: Машиностроение. 1972. 344с.

73. Никитин Е.Е. Теория элементарных атомно-молекулярных процессов в газах. М.: Химия, 1970.

74. Николаев К.В. Диссертация к.ф.-м.н. ЦАГИ. 1991.78.01ynick D.P., Moss J.N., Hassan H.A. Monte Carlo Simulation of Re-Entry Flows Using a Bimodal Vibrational Model. J. Thermophysics. V.4. №3. July. 1990.

75. Пальцев JI.А. Модель физико-химических процессов в газе, обтекающем летательный аппарат в вверхних слоях атмосферы. Научно-технический отчет ЦАГИ №7859, 1987.

76. Полянский О.Ю., Кузнецов М.М., Меньшикова В.Л. и др. Влияние свойств реального газа на аэродинамические и тепловые характеристики гиперзвуковых летательных аппаратов. ЦАГИ. ОНТИ. Обзоры. 1987. №676. 200 с.

77. Провоторов В Л, Степанов Э.А. Приближенные зависимости для расчета теплообмена на теле, обтекаемом гиперзвуковым потоком газа. Ученые записки ЦАГИ. Том XIII, №2, 1992, с.25-29

78. Park С. Assessment of Two-Temperature Kinetic Model for Ionizing Air. J. Thermophysics and Heat Transfer. Vol.3. March 1989. pp.233-244.93

79. Parker J.G. Rotational and vibrational relaxation in diatomic gases. Phys. Fluids. 1969. v.2. №4. 449-462 p.

80. Pullin D.I. Kinetic models for poliatomic molecules with phenomenological energy exchange. // Phys. Fluids, 1978, v.21, 2.

81. Пярнпуу А.А. О взаимодействии потока газа с твердой стенкой. Инженерный журнал. Том V. Вып.З. 1965. с.431-440.

82. Scott C.D. Effect of nonequilibrium and wall catalysis on shuttle heat transfer. J. Spacecraft and Rockets. 1985. V.22. №5. pp.489-499.

83. Стандартная атмосфера. Параметры. Гост 4401-81. Издание официальное. Гос. комитет СССР по стандартам. Москва. 1881.

84. Ступоченко Е.В., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационные процессы в ударных волнах. // М.: Наука, 1965,484 с.

85. Теплофизические свойства технически важных газов. Справочник. М: Энергоатомиздат, 1989.

86. Hamel С., Wachman М. A discrete ordinate technique for the linearized Boltzmann equation with application to Couette flow. In: Rarefied Gas Dynamics. Proc. of the 4-th Int. Symp., v.l, ed by J.H. de Leeuw, Acad. Press, Ny, London, 1965, pp. 370-393.

87. Haas B.L., McDonald J.D., Dagum L. Models of thermal relaxation mechanics for particle simulation methods. J. Comput. Phys. 107. 1993. pp.348-358.94

88. Haviland J.K., Lavin V.L. Application of the Monte-Carlo method to heat transfer in a rarefied gas. Phys. Fluids, 1962, v.5, №11, pp. 1399-1405.

89. Jain A.C., Prabha S. A comparative study of stagnation point hypersonic merged layer and viscous shock-layer flows. In: RGD Proc. of the 14-th Int. Symp., v.l, ed by H. Oguchi, Univ. of Tokyo Press, Tokyo, 1984, pp. 241-288.

90. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, Наука, 1966.

91. Яницкий В.Е. Применение процессов случайных блужданий для моделирования свободномолекулярного движения газа. ЖВМиМФ, 1974, т.14, №1, с.259-262.1. Рис. 1.11. Евр/D1. Рис. 1.21. Рис.1.31. Рис. 1.41. Ъс Рис.2.1

92. Пространственно однородная релаксация азота.1. Рис.2.2

93. Пространственно однородная релаксация азота Фукция распределения по скоростям1. Рис.2.3

94. Пространственно однородная релаксация азота Фукция распределения по вращательной энергии1. Линин данная работа1. Символы работа 10.модель Ларсена-Боргнакке.1.тчг2.Тг3. IV7лколичество столкновении на одну молекулу

95. Рис.2.6: пространственно-однородная релаксация

96. Рис.3.0(а): цилиндр, нулевая линия тока Мах=20, Т8=200, Кео=100, Яе8=2390, Tw=1620,1иг=0.10.302 —Iоо