Стационарная система Максвелла в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Федеральное Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский Государственный

Университет

Стационарная система Максвелла в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами

Специальность 01.01.03 — «Математическая физика»

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Порецкий Александр Сергеевич

1 9 ЛЯГ 2015

Санкт-Петербург — 2015

005561476

005561476

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский Государственный Университет

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Пламеневскин Борис Алексеевич

Официальные оппоненты: Борисов Денис Иванович,

доктор физико-математических наук, Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, ведущий научный сотрудник

Качалов Александр Павлович,

доктор физико-математических наук, профессор, Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН, ведущий научный сотрудник

_ Федеральное государственное образовательное бюд-

Ведущая организация:

жетное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича»

Защита состоится 17 сентября 2015 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу: Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького СПбГУ и на сайте http://spbu.ru/science/disser.

Автореферат разослан ]_ &Ь Щ(5Г&2015 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.24, д.ф.-м.н.

Аксенова Елена Валентиновна

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Классическими задачами теории электромагнитных волноводов являются задача рассеяния (дифракции) электромагнитной волны на неоднородностях волновода и задача возбуждения электромагнитного поля заданными зарядами и токами. Среди многочисленных математических работ, посвященных изучению эшх задач, выделим два направления. В работах одного направления рассматриваются цилиндрические волноводы с заполняющей средой, не меняющейся вдоль оси волновода, при этом предполагается, что заряды и токи имеют компактный носитель; допускаются также некоторые локальные возмущения (в ограниченной области) формы волновода и характеристик среды (см. работы [1-3] и указанную там литературу). Другое направление связано с нахождением приближенных решений задач в двумерных модельных областях при помощи методов Винера-Хопфа и сшивания. Рассматриваются ситуации, где система Максвелла сводится к уравнению Гельмгольца, а волновод распадается на конечное число модельных областей. Обзоры таких методов имеются в монографиях [4-6].

Актуальной проблемой яштяется расширение класса электромагнитных волноводов, допускающих математически строгое исследование, и развитие математической теории рассеяния для таких волноводов, в частности, определение матрицы рассеяния с позиций этой теории, развитие асимптотических методов исследования этой матрицы, разработка и обоснование метода ее приближенного вычисления.

В настоящей работе мы отказываемся от ограничений, связанных с цилиндрической формой волновода, и допускаем волноводы, имеющие любое конечное число цилиндрических выходов на бесконечность; в ограниченной области волновод может иметь произвольную форму с гладкой границей. Для таких волноводов мы формулируем и обосновываем принцип излучения, вводим матрицу рассеяния, зависящую от спектрального параметра и определенную на непрерывном спектре волновода. Для всех значений спектрального параметра эта матрица является унитарной и имеет конечный размер, который меняется на порогах и остается постоянным между двумя соседними порогами. Кроме того в работе предлагается и обосновывается метод приближенного вычисления матрицы рассеяния.

Мы не используем ни методов, ни результатов работ, упомянутых в первом абзаце. Отправной точкой нашего исследования является расширение оператора Максвелла до оператора эллиптической краевой задачи. Речь идет об "ортогональном" расширении, предложенном в работах Гудович, Крейна и Куликова [7]. Такое расширение использовалось, в частности, в работах Бирмана и Соломяка [8] при изучении спектра оператора Максвелла в областях с негладкой границей. Эллиптические краевые задачи (для систем уравнений) в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами изучались в монографии Назарова и Пламеневского [9].

В частности, была предложена корректная постановка задачи с естественными условиями излучения и определена угоггарная матрица рассеяния. По существу, эта матрица определена на непрерывном спектре волновода и при любом значении спектрального параметра имеет конечный размер, равный кратности непрерывного спектра волновода.

Поете расширения системы Максвелла до эллиптической краевой задачи мы выясняем специфические свойства этой задачи. В частности, проводится подробное изучение операторных пучков, порожденных эллиптической задачей. Затем из сведений, полученных об эллиптической задаче, извлекается информация о системе Максвелла.

Цели и задачи работы:

1. Обоснование для системы Максвелла в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами «принципа излучения», т.е. корректной постановки задачи с естественными условиями излучения,

2. Описание непрерывного спектра волновода, определение матрицы рассеяния и изучение ее свойств,

3. Исследование поведения матрицы рассеяния в окрестности порогов,

4. Формулировка и обоснование метода приближенного вычисления матрицы рассеяния.

Научная повизпа. Для волноводов сведение системы Максвелла к эллиптической краевой задаче применяется впервые (вероятно, из-за того, что теория волноводов для эллиптических систем была развита в достаточной общности сравнительно недавно). Впервые рассматривается электромагнитный волновод с несколькими цилиндрическими выходами; предполагается, что волновод пустой (матрицы диэлектрической и магнитной проницаемости единичные) и имеет идеально проводящую границу. Основные результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми:

1. Обоснована корректная постановка задачи с естественными условиями излучения (принцип излучения). Естественные условия излучения означают, что гаавный член асимптотики решения на бесконечности содержит только уходящие волны. Задача с такими условиями имеет единственное решение, которое непрерывно зависит от правой части.

2. Описан непрерывный спектр волновода, на непрерывном спектре определена матрица рассеяния и изучены ее свойства. Матрица рассеяния является унитарной и имеет конечный размер, который меняется на порогах и остается постоянным между двумя соседними порогами.

3. На интервалах между порогами матрица рассеяния аналитически зависит от спектрального параметра, а на порогах имеет конечные правый и левый пределы. В окрестности порога определяется расширенная матрица рассеяния, которая ана-

литически зависит or спектрального параметра. Поведение (обычной) матрицы рассеяния в окрестности порогов описывается в терминах расширенной матрицы. 4. Предложен и обоснован метод приближенного вычисления матрицы рассеяния на всем непрерывном спектре, в том числе в окрестности порогов (возможное присутствие собственных значений волновода на непрерывном спектре не влияет на формулировку метода). В качестве приближения для строки матрицы рассеяния служит минимизатор некоторого квадратичного функционала. Для того чтобы построить этот функционал, решается вспомогательная задача в ограниченной области. При увеличении размера области минимизатор сходотся к строке матрицы рассеяния с экспоненциальной скоростью.

Научная и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты расширяют возможности теории электромагнитных волноводов, в частности включают в рассмотрение ветвящиеся волноводы (волноводы с несколькими цилиндрическими выходами). Изучение электромагнитного поля, возникающего в таких волноводах, представляет практический интерес, в частности, при проектировании оптоволоконных сетей. Возбуждение волн зарядами и токами описывается принципом излучения, а распространение волн описывается матрицей рассеяния. Метод приближенного вычисления матрицы рассеяния позволяет проводить компьютерное моделирование реального процесса распространения волн в ветвящихся волноводах.

Предложенная методика может быть использована для дальнейшего развития теории, в частности, для изучешгя волноводов с неоднородным заполнением, для исследования задачи с учетом поглощения и др.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры Высшей математики и математической физики, а также на международных конференциях:

1. Days on Diffraction 2012, Russia, St. Petersburg, 2012. (устный доклад)

2. The Fourth St Petersburg Conference in Spectral Theory, Russia, St. Petersburg, 2012. (устный доклад)

3. European Congress on Computational Methods in Applied Sciences (ECCOMAS 2012), Austria, Vienna, 2012. (устный доклад)

4. The Seventh International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Russia, Moscow, 2014. (устный доклад)

5. Days on Diffraction 2015, Russia, St. Petersburg, 2015. (устный доклад)

Личный вклад. Результаты первой и второй главы диссертации опубликованы в совместной работе A.C. Порецкого и Б.А. Пламеневснэго А-1; эта результаты в равной мере принадлежат обоим авторам. Основные результаты третьей и четвертой главы опубликованы в совместных работах диссертанта, Б.А. Пламеневского

и О.В. Сарафанова А-2, А-3; определяющий вклад в эти работы принадлежит диссертанту.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в трех печатных изданиях (А-1, А-2, А-3), рекомендованных ВАК для опубликования результатов кандидатских и докторских диссертаций. Все три публикации индексируются международной системой цитирования Web of Science и одна из них (А-3) - системой SCOPUS.

Объем и сгруюура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации 137 страниц текста. Список литературы содержит 30 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируются цели и задачи работы, обосновывается научная новизна и практическая значимость представляемой работы. Описываются методы исследования, сгруюура и содержание работы.

Рассматривается область G в трехмерном пространстве R3, которая совпадает вне большого шара с объединением полуцилиндров где Щ. = {(if1!'1) : у® е Qq, t4 > 0}, а сечение П? - ограниченная область в Е2. Далее для простоты изложения мы будем считать в автореферате, что число цилиндрических выходов Т равно единице, единственный цилиндрический выход мы будем обозначать П+ = {у € Q, t > 0}. Граница dG области G предполагается гладкой. Система уравнений Максвелла

г rot и2(я) - ких{х) = f\x), —г div и2(х) = k\x),

-г rot и1 (х) - ки2(х) = /2(.т), г div?!1 (-г) = h2(x), х € G. (1) с краевыми условиями

v(x) х иг(х) = 0, (и2(х), ф)) = 0, X е dG, (2)

описывает электромагнитное поле в пустом волноводе G с идеально проводящей границей, возбужденное распределенными внутри волновода зарядами и токами. Здесь и1, и2, функции со значениями в С3, обозначают векторы электрического и магнитного поля, (•;■)- скалярное произведение в С3, • х • - векторное произведение в К3, а V - единичный вектор внешней нормали к dG. Задача (1), (2) является переопределенной и для ее разрешимости необходимо выполнение условий совместности div f(x) - ik h2(x) - 0, x € G.

div f2(x) + ik h1 (x) =0, xeG, (3)

{f(x)Mx)) = 0, xedG.

A(DM)U =

X e G, (5)

В первой главе вводится эллиптическая краевая задача

A{D,k)U{x) = ?{х), xeG, B(x)U(x) = 0(х), х е 0G, (4)

полученная го (1), (2) методом "ортогонального расширения" [7]. Здесь Ы = (и1,а1,и2.a2), F = (f\h\f,h2), 0 = (д1,9% u-iji - трехюмпонентные вектор-функции и aj,hj - скалярные функции в области G, j - 1,2, а ^ - скалярные функции на OG, I = 1, — ,4. Дифференциальный оператор A(D,k) и граничный оператор В задаются равенствами

/ i rot, и1 -г i Va2 — kul \ —i cliv ic — ka1 -i rot u1 - i Va1 - ku2 ^ i div u1 — к a2 )

BU = (-{u1, r2),<u\ n), (u2, i/), a2), x € ¿>6\ (6)

где Ti,~2, v - правая тройка ортонормированных векторов в М3: р - вектор внешней нормали к границе (Ю, а гьг2 - касательные векторы. Для ЫУ € С8)

и граничного оператора Q : QU — -¿((и2;п}Аи2,Т2},аК-(и1.1/)),х € QG, справедлива формула Грина

(A(D, k)U, V)G + {BU, QV)og = (M,A(D, k)V)G + (QW,BV)ec, (?) где (-,-)g и (■■■)og - скалярное произведение в ¿2(6'; Cs) и I^(t)G;C4), соответственно.

Волны, распространяющиеся в цилиндрическом выходе II+ волновода G, мы будем искать в виде oxp{iXt)P(y), где Л и Р - собственное значение и отвечающий ему собственный вектор некоторой спектральной задачи на сечении О. В первой главе такая спектральная задача подробно исследуется: вычисляются всевозможные собственные значения и отвечающие им собственные векторы.

На сечении Q цилиндра II = П хЕ введем операторный пучок

21 (£>„, Л; к)Р{у) = exp(—i\t)A(D,k)(exp(i\t)P(y)), у € П, i G R (8) с оператором A(D,k) вида (5). В область определения Т>(Щ пучка (8) мы включаем вектор-функции Р - {tp,a,ip,&) с компонентами <р,ф 6 С'^фС3) и а,3 е C^fiiC), подчиненные на 3Q краевым условиям = O.yi^ — v^i = О,^'ji/j + 1Р2У2 — О, Р = 0, где (/>ь М)) - вектор внешней нормали к 09.. Число А называется собственным значением пучка Ш(-,А-), если существует ненулевой вектор Р е £>(21), такой что

а(А!л)Р(у) = о,|/еп.

Такой вектор Р называется собственным; его компоненты являются гладкими функциями в IX Сужение операторного пучка Щ-,к) на множество Т>(Ш) = {Р — ().!,•,()) € 1)} будем называть максвелловским пучком и обозначать 9Л(•!•). Первая глава посвящена изучению спектра пучков Щ-,к) и 9Л(-.А:).

При любом фиксированном к £ R собственные значения пучка Щ-.к) (Ш{-.к)) расположены на осях комплексной плоскости симметрично относительно

7

начала координат (числа ±А являются собственными одновременно, а размерности пространств ксг21(А,А;) и кегИ(—Л,А~) (ксгЯЯ(АД') и кегОТ(—Х,к)) совпадают); на вещественной оси лежит конечное число собственных значений. Если при некотором к € К \ {0} число А = 0 является собственным значением пучка 21 (ОТ), то для всякого отвечающего ему собственного вектора Р € £>(21) (Р 6 Т>(Ш)) существует присоединенный вектор из Т>(41) (Т>(Ш)) (точное определение присоединенных векторов приводится в разделе 1.3.1 диссертации); соответствующее значение параметра к называется порогом задачи (4). При А ф 0 присоединенных векторов не возникает. Порош расположены симметрично относительно нута и накапливаются только на бесконечности.

Для любого собственного значения А пучка 9Л(-,к) в пространстве кег9Л(А./с) фиксируется базисный набор собственных векторов {Риу}, который затем дополняется векторами {Р^,/} до базиса пространства когШ(Л,к). Базисные собственные векторы {-Разу}, {Ру,/} и отвечающие им присоединенные векторы (если они возникают) выбираются специальным образом.

В первой части второй главы изучается эллиптическая задача (4) в области С, описывается ее непрерывный спектр, вводится унитарная матрица рассеяния и обосновывается "принцип излучения" (корректная постановка задачи с естественными условиями излучения). Для этого применяется схема исследования аллитпических краевых задач в областях с цилиндрическими выходами, предложенная в работах Назарова и Пламеневского [9].

Если для числа к существует решение Ы однородной задачи (4) с оценкой Ы{х) = 0(|х|) при |.т| —>• ос, не принадлежащее ЩС), то говорят, что А: -точка непрерывного спектра, г 14 - отвечающая числу к собственная функция непрерывного спектра (СФНС). Пространство, натянутое на собственные функции непрерывного спектра, мы обозначим через Е(к). Число к называется собственным числом задачи (4), если существует решение из собственные числа не сгуща-

ются на конечном расстоянии. Для простоты мы будем предполагать в автореферате, что параметр к отличен от нуля и не является собственным числом (в диссертации обсуждается общий случай).

Будем считать сначала, что число к зафиксировано (для определенности к > 0) и не совпадает с порогами (пороговый случай подробно обсуждается в третьей главе). Асимптотика СФНС описывается в терминах приходящих и уходящих волн. Для каждого вещественного собственного значения А операторного пучка Щ-,к) и каждого собственного вектора Р из набора {Р<щ}, {Ру,;}, отвечающего числу А, введем функцию г/, заданную на П+ П С равенством

и(г/, Ь, к) = |2Ак\~1/2 ехр(г'А()Р(у; к), у € П,« > Г (9)

при достаточно большом Т и продолженную гладким образом на оставшуюся часть области С. Полученные функции удовлетворяют однородной задаче (4) при боль-

ших и называются волнами. Если число А - отрицательное (положительное), то

отвечающая ему волна и вида (9) называется приходящей (уходящей) и обозначается

ii+ (и~). Поскольку спектры пучков Щ-.к) и Ш(-,к) симметричны относительно

начата координат, число волн в наборах {w+} и {и-} одно и то же; каждый из этих

наборов мы пронумеруем индексом j — 1....,Т. Линейную оболочку функций

(и|,..., ■ • • • ит) назовем пространством волн и обозначим W(k).

Согласно эллиптической теории [9] в пространстве Е(к') СФНС существует

базис .... Yy, подчиненный соотношениям

т

У?(:к) = 4(;к) + Sjiik^n-.k) + 0(ехрМ>|)). j = 1,..., Т (10) /=1

при больших |.г| и 6 < 6о(к) (где So(k) = inin |IinA| по всем мнимым собственным числам А пучка Щ-.к)). Размерность Т(к) пространства Е{к) назьгоается кратностью непрерывного спектра в точке к. Матрица S(k) размера Т(к) х Т(к) с элементами Sß(k) унитарная и называется матрицей рассеяния.

Перейдем к описанию принципа излучения для эллиптической задачи. Для этого мы введем весовое пространство Соболева Щ{С), I > 0, полученное замыканием линеала C^(G) относительно нормы

где ра - гладкая функция на G, совпадающая на G п П+ с отображением (уЛ) схр(fit). Обозначим также через Hl^X^2{dG) пространство следов функций из Hj+l(G) на 0G. Оператор {A{D,k). В) краевой задачи (4) осуществляет непрерывное отображение

С0 : HfHG) 4(G) X 4+1/2(0С) =: ^(G) (12)

при любом в Е R и I = 0.1.....Выберем показатель 0 < <) < <5о, гае га (10).

Предложение 1. Пусть {J--Q} принадлежит пространству Hl6{G). Тогда

1. Задача (4) имеет единственное решение U, подчиненное условиям изучения

V = W-cmr-----dur 6 Я|+1(С). (13)

2. Коэффициенты Cj в асимптотике (13) вычисляются но формуле

Cj = HT.YpG + HQ-QYpoo, где Y}~ — S'Ji^ c фунщиями Tj+ из (10). a Q - оператор из формулы (7).

3. Справедливо неравенство

||V;Я|+1(С)|| + Ы + • • • + M < const||{J7,0}: Hl6(G)\|.

Вторая часть второй главы посвящена возвращению от атлиптической задачи (4) к исходной задаче (1), (2). Решение задачи A{D.k)U — JF, БЫ — 0 вида U = О/ЧОлг.О) мы будем называть максвелловским. Вектор-функция U — (и1,«2),

составленная нз компонент максвелловского решения, удовлетворяет исходной задаче (1), (2). Таким образом, пространство £(к) собственных функций непрерывного спектра задачи (1), (2) можно отождествить с линейной оболочкой Е^(к) максвел-ловских (вида ¿У = (и1,0,и2,0)) собственных функштй непрерывного спектра задачи (4). Для того чтобы ввести матрицу рассеяния задачи (1), (2), мы установим, что в пространстве Ем{к) существует базис, подчиненный соотношениям вида (10).

Введем более подробные обозначения. Волны и^, соответствующие (макс-велловским) собственным векторам {Рщу}, имеют вид = (?Д0,и2Д)). Такие волны мы будем называть максвелловскими и обозначать I = 1,..., Тд*. Волны, соответствующие собственным векторам {/V,^}. мы будем называть градиентными и обозначать и^, I — 1,..., Ту. Мы доказываем, что матрица рассеяния Б(к) является блочно-диагональной Я(к) = ¿к^(Бм(к), Иными словами,

максвелловские (градиентные) приходящие водны и^ (и^) рассеиваются только по максвелловским (градиентным) уходящим волнам и^ц (и^). Обозначим чфез У^. собственную функцию непрерывного спектра с асимптотикой (10), содержащей волну и\Лг ./ = 1,..., Тм. Функции У^, j = 1,..., Т^, образуют базис пространства Ем (к). Вводя новые обозначения, мы приходим к теореме.

Теорема 2. В пространстве £{к) СФНС задачи (1), (2) существует базис у^.____подчиненный соотношениям

г»

уЦ-М) = и+(.,к) + £ зл(к)иг(;к) + 0(ехр(-ф-|)), ] = 1,..., 6-, (14) г=1

Здесь V = Тм, « = а функции и ¿7* получаются из У^ ■ и и^ вычеркиванием (нулевых) компонент а1, а2. Матрица 5 является унитарной и называется матрицей рассеяния задачи (1), (2).

Перейдем от принципа излучения для эллиптической задачи (предложение 1) к принципу излучения для задачи (1), (2). Решение Ы задачи (4) с условиями излучения (13) и правой частью {_?-".()}, подчиненной условиям совместности (3), является максвелловским, т.е. имеет вид Ы — (и1 Ди2.0). Такое утверждение еще нельзя считать удовлетворительным для нашей цели (возвращение к исходной задаче (1), (2)), поскольку формулировка предложения 1 содержит другие напоминания об эллиптической задаче: условия излучения содержат эллиптические волны, а коэффициенты вычисляются с помощью эллиптических СФНС. Однако при выполнении условий совместности коэффициенты перед волнами «у^ равны нулю и в условиях излучения участвуют лишь максвелловские волны м^-. Поскольку матрица рассеяния Б (к) бл очно-диагональная, СФНС, которые вычисляют коэффициенты при «д1 также являются максвелловскими У^ = Х!^ (5Л1) У^. Переходя к новым обозначениям, имеем

Теорема 3. Предположим, что 6 < 5д и правая часть Т — {р.к1.р.к2) € Я|(С; С8) удовлетворяет условиям совместности (3). Тогда

1. Задача (1), (2) имеет единственное реишние V = (гЛгг), подчиненное условиям ипучения

V = и - С1иг-----с,,и- е Я'+1(С;С6). (15)

2. Коэффициенты с,- в асимптотике (15) вычисляются по формуле с,- = г (.{■Ц~)с.< где / = С/1,/2), а у~ = Е(=1 -^У? с функциями у? из (14).

3. Справедливо неравенство

|| V; Я<+1(<?; С6)! + |с,| + • ■ • + |сг.| < сопз1 Ц/"; Я|(С?; С8)||.

Результаты первой и второй главы опубликованы в статье А-1.

В предыдущих главах спектральный параметр к был фиксирован, в третьей главе изучается зависимость матрицы рассеяния и решений задачи (4) ог спектрального параметра, пробегающего непрерывный спектр. Доказывается, что на любом интервале, не содержащем порогов, матрица рассеяния к м- 5(/с) имеет постоянный размер и является аналитической. При переходе к через порог размер матрицы рассеяния изменяется скачкообразно, поэтому требует исследования поведение матрицы 5(А;) при приближении к к порогам.

Во второй главе было установлено, что один из блоков матрицы в(к) совпадает с матрицей рассеяния для уравнения Гельмгольца с краевыми условиями Дирихле. Для этой задачи пороговое поведение матрицы рассеяния исследовалось в работе А-2. Для того чтобы изучить пороговое поведение матрицы 5(А;), к задаче (4), по существу, применяется метод работы А-2. Вводится "расширенная матрица рассеяния" к ¿(к), аналитическая в окрестности порога. Выясняется связь матриц 5(А:) и справа и слева от порога В терминах матрицы £(к) вычисляются левый и правый пределы на пороге матрицы ¿'(к).

Матрица Я(к) обладает блочной структурой (так же, как и ¿'(А1)), а формулы связи 6'(к) и выполняются "поблочно". Это позволяет описать пороговое поведение матрицы рассеяния б(к) системы Максвелла (1), (2) во внутренних терминах.

На любом интервале, не содержащем порогов, кратность непрерывного спектра Т(к) задачи (4) постоянна Пусть 0 < г1 < т < т" - три последовательных порога; обозначим через Ь и М значение Т(к) на интервалах (т/,т) и (г. т"), соответственно. На каждом из этих интервалов матрица рассеяния 3(к) определяется формулами (10). При приближении спектрального параметра к порогу асимптотика (10) теряет смысл. Пусть к £ (т, т"), тоща (возможно, после перенумерации) функции .) - Ь + 1...., М, вида (9) отвечают собственным числам :рА(/ь) — — т2)1/2 и в области б Г) П+ удовлетворяют формулам

г= |2*(*? - Г2)1/2Г1/2 сМтКк3 - т3)1*«)^ к) (16) при больших |х|. При к = т функщт охр(тКк2 - совпадают,

а нормировочный множитель \2к(к2 — г2)1/'2|~1/'2 обращается в бесконечность.

11

Поэтому набор uf(-,k),..., ufj(-,k) не годится в качестве базиса волн при к = т, а асимптотика (10) оказывается неустойчивой при к —» т + 0. При к —» г — 0 показатель 5 < до(к) = |1шЛ(А:)| = (г2 — к2)1?2 стрем!ггся к нулю и поправочный член 0(ехр(—<5|ж|)) становится того же порядка, что и главный член асимптотики (10).

При к € (т.т") неустойчивый базис uf(-.k).«^(-.Аг) пространства волн VV(fc) мы заменим новым базисом vbf(-,k),... , который удоштетворяет

следующим требованиям. 1. Функции к uf(',k) - (вещественно) аналитические на интервале (г'. г"). 2. Функции х i-> wf(x,k), j = 1,.... М, линейно независимы. 3. Волны wj(-.к) (wj(-;k)) - приходящие (уходящие). В соответствии с принципами Умова и Мандельштама мы называем волну приходящей (уходящей), если она приносит с бесконечности (уносит на бесконечность) энергию. (Строгое определение приходящих и уходящих волн приводится в разделе 2.2.1 диссертации.) Указанными свойствам! обладают функции

wf (;к) = uf(;k), (17)

u,f(-,k) = d±(k)ili-(-,k)-hcF(k)u-(-,k), j = L+h...,M, (18)

где

rf*(fc) = 2-3/2((1 - (т/к)2)т± (1 - (т/к)2Г1/4);

причем ветвь корня фиксируется требованием (1 — (т/к)2)1/4 > 0 при к > т.

Так же, как и в главе 2 устанавливается, что при каждом к из интервала (т,т") в пространстве СФНС Е(к) существует базис У^(-М),... подчиненный соотношениям

м

у+(;к) - w]-(;k) -J2s,i(k)wr(,k) е tfj(G), j = 1, • • • , А/, (19) ¡=1

ще 6 < 60(к) = ((т")2 - к2)1!2. Для к <Е (т\ г) элементы wffa k),j = L+1,..., Л/, экспоненциально растут при |х| —> оо. Поэтому для того чтобы продолжить формулу (19) непрерывным образом на интервал, содержащий порог г, мы вынуждены включить в рассмотрение собственные функции непрерывного спектра, допускающие некоторый экспоненциальный рост.

Далее мы будем рассматривать к из интервала U = (т — р,т + р) для некоторого р > 0. Выберем показатель 7 > 0 так, чтобы выполнялись неравенства

г2 < к2 + f < (7J'f при к е и. (20)

Расширенным пространством собственных функций непрерывного спекгра будем называть пространство кет £_•>(&) с оператором £_7(fc) веда (12). При к G U в пространстве кет£_7(/с) существует базис У^(-.к).....подчиненный соотношениям (19), где вместо 5 стоит показатель 7, фиксированный условиями (20), а формула (19) выполняется на интервале к €Е U. Матрица к ы- S(k), определенная на интервале U, называется расширенной матрицей рассеяния.

В формулировке принципа излучения (предложение 1) заменим 5, Y, uf. Yp и S на 7, М, uf, yf и S. Полученное утверждение называется расширенным принципом излучения, поскольку в условиях излучения участвуют не только ограниченные волны, но и волны, допускающие экспоненциальный рост.

Утверждения, сформулированные в двух предыдущих абзацах, вытекают из результатов эллиптической теории и обобщают результаты главы 2. Повторяя для них процедуру возвращения, мы получаем "расширенные" аналоги теорем 2 и 3. В следующей теореме устанавливается аналитическая зависимость решений задачи (4) от спектрального параметра.

Теорема 4. На интервале U рачение к >~4 U(k) задачи (4) с аналитической правой частью Ar t—{T(k),Q(k)} 6 'Hl1{G), подчиненное условиям

U - Схи\-----cMwh € Hl+\G), (21)

с аналитическими волнами к tuj(-.k), является аналитической функцией.

Отсюда, в частности, вытекает, что функции к н» Ур(-,к) и матрица к S(k) из (19) - аналитические функции на интервале U. Аналогичным образом доказывается аналитичность функций к »-> Y^(-,k) и матрицы к >-> S(k) из (10) на интервалах (т', г) и (г, т").

На интервалах (т,т+р) и (г—р. т) матрица S(k) явным образом выражается в терминах S(k). Поскольку матрица-функция к м- S(k) аналитическая на интервале U, мы можем изучить поведение матрицы S(k) при приближении параметра к к порогу т. В частности, доказывается существование односторонних правого и левого пределов матрицы-функции к S(k) на пороге. Для всякой матрицы А размера М х М введем обозначение

л=(%1) ¿Ю V (22)

V (21) (22) )

где блоки Л(ц) и А^) имеют размеры L х L и (Л/ — L) х (М — L) соответственно.

Теорема 5. Пусть т > 0 - один из порогов задачи (4), a S(k) и S(k) - матрицы рассеяния, заданные равенствами (10) и (19). Тогда сулцествуют односторонние пределы матрицы S(k) при к —» т ± 0 и справедливы соотногиения

S(и,(Л) = 5(ц)(г) -5(12)(-)(5{22)(т) - д)-Ц21)(г) + 0(\к -тр), Sm(k) = 0{\k-T]V*), 5(2i)(fc) = 0(|fc-T|1/4),

Si22](k) = P-Q + 0(\k-T\V2) (23)

при к -> г + 0 и

S(k) = Sn(r) - «S{i2)(т)(5(22)(т) - Q)~I5(2i)(r) + 0(\к - тр/2) (24)

при к г — 0. Здесь Р : Сл/ £ —>■ Сл/ 1 - ортогональный проектор на пространство кег(5(22)(т) — 1), = /л/-/, — Р, а ¡м-ь - единичная матрица размера (Л/ -1) х (М-Ь).

Матрицы 5'(к) и £(к) являются блочно-диагональными

6'(к) = с11аё(5Л1(А;), 5у(Аг)), <5(А-) = й\а&(Зм{к).Зх;{к)), и блоки Бм(к) и также связаны формулами вида (23), (24).

Четвертая глава посвящена методу вычисления матрицы рассеяния 5(А;). Для эллиптических краевых задач с палуограниченным оператором метод приближенного вычисления матрицы рассеяния на интервале, не содержащем порогов, по существу, был обоснован в работах Б.А. Пламеневсгого и О.В. Сарафанова [10]. Оператор задачи (4) не является полуограниченным, и, уже в непороговом случае, как формулировка, так и доказательство метода требуют существенной модификации. Такая модификация описана в работе А-3.

Положим = {{у Л) <Е П : f > /?}, С1' — С \Щ при больших К Тогда &СН \ ОС — Гя = {(у, () £ П : ( = Я}. Введем аллиптическую краевую задачу

А(0,к)И(х) = х е С*

В(хЩх) = 0(х), х е с\ Гй, (25)

(В(х) + ¡0(х))Ы{х) = Щх), х е Гл. Граница 0Сп содержит ребро 0ГН; пусть г(х) — сНз1 (.г. 0ГЯ). Через У^2(СН) и 1-^2 (6'я) обозначим замыкания \ ОТ11) относительно норм

||и: ^/2(6'д)||2 = У^ г\и\2с1х, ||и; ^/2(СЛ)||2 = ! {т\V«!2 4- г"1 |и|3)с£аг,

а через У^ (Гл) и У^^ОС11 \ Гй) - пространства следов функций из 1-'11/2(6,л) на Гй и 0СГ{ \ Гп.

Теорема 6. При любой правой части

{Т£М} € \'\%(Сп) х У11/2(дОп\Г1г) х задача (25) имеет единственное региение Ы 6 У^2{С11). Если Т = 0, Я = 0, то для решения Ы выполняется равенство \\Ы: ¿2(ГЯ)|| = \\Н; ¿^(Гл)||.

Обозначим через Хр(-,к; а) решение задачи (25) с правой частью

X

?=о, а = о, н=(в+ ¿а) (и+(-,к)+«з»7(->*))»

где а = (а^____ат) - произвольный вектор из Ст. Введем функционал

2

тЯ/

а »-» к) =

а(хР(;к: а) - и+(-,к) - ]£ (■!)): ЫГЛ V )=х /

(26)

Теорема 7. Пусть отрезок [A'i, ко] непрерывного спектра задачи (4) не содержит порогов. Тогда для всех к € [А'ьА'г] и R > По. с некоторым До, существует единственный минимизатор a°(R,k) функционала (26), причем

\a]{R,k) - Su(k)\ < Сс~ш. j = 1,..., Т; (27)

здесь 0 < (5 < niiii[j-b/,.2] (З'о(А'), а äo(k) - то же число, что и в (10), а постоянная С = С'(<5) не зависит ни от к, ни от R.

Так как матрица S(k) - блочно-диагональная и я (к) - один из ее блоков, приближение для матрицы рассеяши s(k) задачи (1), (2) дается блоком матрицы SR(k), составленной из минимнзаторов ап(П.к).

В окрестности порогов описанный метод оказывается неприменимым. Используя результаты главы 3, мы адаптируем этот метод для вычисления матрицы S(k) в окрестности порога. Затем, с помощью формул, связывающих матрицы S(k) и S(k), мы вычисляем исходную матрицу S(k).

Публикации автора по теме диссертации

А-1. Б.А. Пламеневский, A.C. Порецкий. О системе Максвелла в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами на бесконечность // Алгебра и анализ. -2013.-Т.25, 1.-С. 94- 155.

А-2. Б.А. Пламеневский, A.C. Порецкий, О.В. Сарафанов. Метод вычисления волно-водной матрицы рассеяния в окрестности порогов // Алгебра и анализ. - 2014. - Т. 26, 1.-С. 128- 164.

А-3. Б.А. Пламеневский, A.C. Порецкий, О.В. Сарафанов. О вычислении волновод-ной матрицы рассеяния для системы Максвелла И Функц. анализ и его прил. - 2015. -Т. 49, 1.-С. 93-96.

Список литературы

[1] П.Е. Краснпикин, ЕМ. Моисеев. О возбуждении вынужденных колебаний в слоистом радиоволноводс //Докл. АН СССР. - 1982. - Т. 264, № 5. - С. 1123-1127.

[2] А.Н. Боголюбов, АЛ. Делицын, А.Г. Свешников. О задаче возбуждения волновода с неоднородным заполнением // Ж.вычисл. матем. и машем, физ. — 1999. — Т. 39, № 11,- С. 1869-1888.

[3] Т.Н. Галиитикова, A.C. Ильинский. Метод интегральных уравнений в задачах дифракции волн. — М.: МАКС Пресс, 2013.

[4] Р. Миттра, С. Ли. Аналитические методы в теории волноводов. — М.: Мир, 1974.

[5] Е.И. Нефедов, А.Т. Фиалковский. Асимптотическая теория дифракции электрй^ магнитных волн на конечных структурах. — М.: Наука, 1972.

[6] Л.А. Вайниипейн. Теория дифракции и метод факторизации. — 1966.

[7] И.С. Гудович, С.Г. Крейн. Краевые задачи для переопределенных систем уравнений в частных производных. № 9. — Вильнюс, 1974.

[8] М.Ш. Бирман, МЗ. Ссппмяк. Самосопряженный оператор Максвелла в произвольных областях // Алгебра и анализ. — 1989. — Т. 1, № 1. — С. 96-110.

[9] С.А. Назаров, Б.А. П.ламеневский. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. — М.: Наука, 1991.

[10] Б А. Пламеневский, О.В. Сарафанов. О методе вычисления волноводных матриц рассеяния в присутствии точечного спектра // Фунт/. аналю и его прил. - 2014. - Т. 48, № 1. - С. 61-72.

Подписано в печать 09.07.2015 Формат А5. Цифровая печать. Печ. л. 1.0

Тираж 100 экз. Отпечатано в типографии "Копицентр" 198095, Россия, СПб, пл. Стачек, д. 4 тел. 438-38-09, e-mail: nar@copy.spb.ru