Стационарные волны кручения в цилиндре с ограниченно податливой границей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.Ломоносова

Механико-математический факультет

Р Г 6 од

- 5 ИЮН ¡995

На правах рукописи

НОВОТНЫЙ СЕРГЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ КРУЧЕНИЯ В ЦИЛИНДРЕ С ОГРАНИЧЕННО ПОДАТЛИВОЙ ГРАНИЦЕЙ

oi.o2.o4 - механика деформируемого твердого тела

Авторефера т диссертации на соискание ученой степени кандидата

физико-математических наук

Москва 1995 г.

Работа выполнена на кафедре теории упругости механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель -Официальные оппоненты -

Ведущая организация

Защита диссертации состоится " гз « июня 1995 г. в 16 — час, на заседании диссертационного совета Д.053.05.03 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: иэвээ, ГПС, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С . диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан " 23 " мая 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор, доктор физ.-мат. наук

доктор физико-математических наук, профессор В.С.Ленский доктор физико-математических наук, И.В.Симонов,

кандидат физико-математических наук,

доцент А.Н.Филипов

МАИ

С.В.Шешенш

Общая хйрж'гер:'стт,т:п роботы.

Актуальность. Ко,пе.|;:фул ¿швос.:? пс.иосс;: з то лаг к ерсдз::.. чV.I г.; ¡оос^атрмзпт "^[далроь."!!':;;::; ^.''¿'ч.'-г- Г'?~?с?тсо закрепленной ¿рашщи, И'о ¿. окаг- ^ т;::; хоро^-ы

яр:!бли;:ажем. В радо р-зоот обнаружено, что при изиенезик эг^х клчссичяских граничных условий качественно кзмеяязтся структура \явдыы. Важность анализа зависимости решения от изменения граничных условий следует также и из представления волновой нионеисии б рада СДП22Г чзэтготннм урчиненадм -{здшсаиж г..::.

.Т.Асоиз!. Бос. Алег., 1978,64], КОТОрОв ОКаЗЫВЭеТСЯ ТИПИЧНЫМ ДЛЯ

явлений разной физической природы.

В этой работе рассматриваются регулярная и сингулярная задачи о распространении осесйшетричшх волн кручения в упругом изотропном круговом цилиндре при граничных условиях типа упругого

опираштя Ввнклера (напряжение 33 границе" пропорционально перемещению) и/или инерционного сопротивления • (напряжение пропорционально ускорению).

Цель работы. Аналитическое решение регулярных и сингулярных задач о распространении стационарных осесимметричных волн кручения в упругом круговом цилиндре с граничными условияьй винклеровского и инерционного типов; численно - аналитический анализ результатов и сравнение их с репениями аналогичных задач три классических граничных условиях.

.Научная новизна. На защиту выносятся следующие результаты, зпервые и лично полученные автором предлагаемой работы

т. Решена задача о распространении стационарных во ян сручения в цилиндре при граничных условиях.:

a) упругое опирание,-

b) инерционное подкрепление; .

c) их совместное влияние - смешанное основание.

Проведен анализ решений.

и. Получены и исследованы сингулярные решения для стационарных волн кручения в цилиндре о особенностью на оси при классических граничных условиях и условиях типов а), ь), с).

Приложения. Результаты могут быть использованы, например, в геофизике и сейсмологии, включая методы сейсморазведки, теории помех в линиях связи, акустоэлектронике, анализе эхо-сигналов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсувдались на научно-исследовательском семинаре кафедры "теории упругости" мех.-мат. факультета МГУ им.М.В.Ломоносова под руководством чл.-корр. РАН А.А.Ильюшина; на научной конференции "Ломоносовские чтения" / апрель 1995 г./

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-3], указанных в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения и двух глав с 20 рисунками,' списка литературы из 124 наименований. Объем работы во стр.

Содержание работы. Во введении обоснована актуальность работы, приведен краткий обзор литературы и сформулированы основные результаты работы.

Главы 1, 2 рассматривают решения регулярных (Гл.1) и сингулярных (Гл.2) задач о распространении стационарных волн кручения в упругом круговом цилиндре при наличии ограниченно податливых границ.

Каждая из глав состоит из трех частей, которые содержат решение соответствующих задач с различными типами и • свойствами граничных условий. Во всех задачах получены дисперсионные уравнения, связывающие частоту и скорость ее распространения. Дано аналитическое исследование структуры этих

многопараметрических частотных уравнений (в зависимости от типа граничного слоя) и на его основе дано численное решение для действительных и мнимых параметров—распространения представляющих однородные распространяющиеся волны (и0 = г)ехр[с(уг - иъ) ]) и неоднородные (по оси симметрии) свободные колебания (ие = у(г,г)ехр[«л:]), соответственно.

При аналитическом исследовании особое внимание уделено применению графического метода анализа дисперсионных уравнений, позволяющего при наличии подкрепления качественно оценивать поведение спектральных ветвей при любых значениях параметров подкреплений не прибегая к численному вычислению.

. Глава 1 содержит решение регулярной задачи о распространении стационарных волн кручения

иг, иг = 0, мд = гот(г)схр[1(тг - <Л)1 (1)

с фазовой скоростью р = и/г (и - круговая частота) в бесконечнопротяженном упругом круговом цилиндре при граничных условиях винклеровского и/или инерционного типов

3 ив

т = - ки - ш -, г = а, (2)

0 в аь

где к жесткость упругого основания, а а - поверхностная плотность равномерно распределенной массы; (г,в,г) - цилиндрическая система

координат.

Решение уравнения движения Ламе приводит к обыкновенному уравнению Бесселя относительно амплитудной функции радиуса у(г>, решение которого при условии регулярности на оси цилиндра (ив = о при г = о) приводит к следующим выражениям для перемещений и напряжений

и0 = в4«"-^

гге = Сд[^0(Рг) - | ^(Эг)] (3

где функции Бесселя первого рода, а в2= - г2.

Наличие несвободной границы (2) приводит к дисперсионному уравнению

вао((}) - (2 - в)а1(р) =о (4)

где введены безразмерные величины а = оа/сг, у = (с + ¿п)а = *а, (Зг в 0гаг = Пг - у2, О = к - 5Пг, к = ка/д, в = ю/ра, Сг = -

скорость поперечных волн (в дальнейшем черту над безразмерными величинами в,к,5 - опускаем).

Дисперсионное уравнение (4) сохраняет свой вид при любом выборе ветви однозначности многозначных функций ё =±/ пг-7г, сгп.

Для сравнения в первых двух частях Главы 1 кратко приведены основные свойства известных решений случая классических граничных условий свободной (в = о) и.закрепленной (в = «) границы. Влияние ограниченно податливых границ рассмотрено в третьей части этой главы.

В первом параграфе части их содержится анализ решения дисперсионного соотношения (4) при упругом подкреплении границы (в = к).

Во втором параграфе приведен анализ решения задачи в случае инерционного подкрепления граница (в = - впг).

Взаимное ' влияние упругого и инерционного оснований О = к-таг) на характер поведения решений дисперсионного уравнения (4) рассматривается в третьем параграфе части ш.

При любом из типов подкрепления в частотном спектре задачи с

несвободной границей

-------х)_всегда отсутствует Сездисперсионное решение Сен-Венана о

плоских волнах кручения, распространяющихся " со скоростью-------------

поперечной волны сдвига сг' = т/ц/р;

2) существуют области частотного пространства, в которые ни при каком изменении значения параметров подкрепления не могут попадать спектральные кривые1 случая подкрепленной границы (т.е. существуют недопустимые соотношения меаду частотой и некоторыми скоростями ее распространения, принадлежащих этим областям), причем "области расположения ветвей в случае упругого и инерционного оснований не пересекаются -между собой и в сумме составляют все-частотное пространство.

В частотном спектре решения регулярной задачи в случае упругого опирания (§.х) имеет место запирание частот снизу (стационарное волновое движение не реализуемо на частотах ниже частоты запирания) и рост упругой жесткости приводит к повышению общего частотного фона по сравнению со случаем свободной границы. Качественно форма спектральных кривых не отличается от классического случая граничных условий и все мода, принадлежащие определенной ветви, имеют единую форму волновых движений или распределение амплитуд по радиусу.

При граничных условиях инерционного типа (§.2), в отличие от классического случая однородных граничных условий, возможно распространение волн кручения с дозвуковыми скоростями (р < с2, р - фазовая скорость, сг - скорость поперечных волн для упругого

1 Набор корней дисперсионного уравнения, представляющий частотный спектр задачи, образует в частотном пространстве (г,п> сложную систему непрерывных кривых, называемых спектральными кривыми или ветвями спектра,- каждая точка на определенной ветви представляет моду волнового движения ила нормальную волну.

пространства), причем ветвь, представляющая дозвуковые движения, не имеет асимптотического поведения в высокочастотном коротковолновом пределе. Увеличение значений плотности поверхностной массы т приводит к понижению общего фона частот, так что в области высокой частоты имеется быстрое стремление спектральных линий к соответствующим ветвям случая закрепленной границы. Вследствие зависимости амплитудных функций радиуса от частоты, каждая волновая мода обладает своей собственной формой колебаний. Инерционное сопротивление понижает также скорость волнового распространения в низкочастотном длинноволновом приближении.

Смешанное опираете (§.з) приводит с уменьшением податливости (ростом к, в) подкрепляющего слоя к совершенно особому террасоподобному (почти горизонтальному) поведению частотного спектра в окрестности частоты о' = / к/а, так что в техническом допуске цри больших к, ш эта частота имеет- континуум скоростей распространения, в отличие от остальных частот, имеющих дискретный набор скоростей распространения. Дозвуковые движения оказываются ограниченными снизу частотой п и не имеют асимптотического поведения в высокочастотном пределе. Эта частота определяет на спектральных кривых: и точки "нулевого эффекта", т.е. волновые моды, существующие независимо от того свободна или подкреплена граничная поверхность. На частотах меньших а общий фон частот повышается, а на больших частотах - понижается по сравнению со случаем свободной границы. В области высокой частоты имеется стремление решения к решению случая закрепленной границы.

Характерной особенностью случая взаимного влияния упругого и инерционного подкреплений является существование, при определенных условиях жесткости упругого основания, не выходящих на плоскости действительного и мнимого параметра распространения

- ri комплексных ветвей, отсутствующих в случае свободной или закрепленной границы.

В Главе 2 рассматриваются решения-аналогичных сингулярных задач о распространении стационарных волн кручения (u_ = AV(r)exp[i(yz - tot) ] ) в бесконечно длинном упругом круговом цилиндре г s а, |z| < » при классических (части i, и) и автомодельных (часть ш) граничных условиях винклеровского (§х, з) и/или инерционного ТИПОВ (§2, 3).

Решение уравнений движения Ламе, в отсутствие требования регулярности перемещений на оси цилиндра г = о, приводит к следующим выражениям для перемещений и напряжений:

(ue - AY,«*) .К»«-«*)--

, (5)

тг0 - Cw[f?*o(f$r) - | Y^r)]

где э = - т и Yn - функции Бесселя второго рода.

Сингулярное решение в области р > с2 имеет степенную

особенность для перемещений порядка - и для напряжений порядка

- . В области дозвуковых движений р < с перемещения и г 2

напряжения имеют на оси цилиндра экспоненциальную особенность, т.к. в этой области р есть чисто мнимая величина и обычные функции Бесселя второго рода у^ вырождаются в модифицированные функции Бесселя кп, экспоненциально возрастающие при г о.

Наличие несвободной границы (выражения (2)) определяет закон дисперсии

/ЗУО(0) - (2 - 6^(0) = О, (6)

где все обозначения адекватны регулярному случаю.

Доказано, чтб в сингулярном случае уравнение частот (б)

I

- в -

имеет решения только при единственном выборе ветви однозначности многозначной функции е = / пг-72.

Классический случай свободной и закрепленной границы При анализе решений с классическими (в = о) граничными условиями обноружено, что, в отличие от аналогичного решения регулярной задачи, в случае свободной границы все ветви обладают дисперсией и имеет место запирание частот снизу.

При классических граничных -условиях закрепленной границы ( 0 = » ) частотный спектр сингулярной задачи не отличается качественным образом от аналогичного регулярного случая. Общий фон частот классического случая граничных условий ниве соответствующего решения случая регулярной задачи.

Как и в регулярном случае, каждая спектральная кривая представляет единую форму волновых движений ид «• ст^о^г) (где = $ш/а - корни уравнения частот). •

Подкрепленная граница. При наличии подкрепления, аналогично регулярному решению, существуют непересекающиеся области частотного пространства расположения ветвей только случая упругого или инерционного подкреплений. В отличие от классических граничных условий, в частном случае упругого подкрепления при к = г возможно существование бездисперсионного волнового распространения с фазовой скоростью р = с2, представляющее сингулярный аналог решения Сен-Венановского типа,, в которм перемещения для любой ■ частоты имеют вид

= рехр[1(тг-<Л) ]

Уъгугое тгтсртп.'^яяе граншш (в = к, §.1) при определенных заачснпя:г тсткситп от?аш;л гапклвровз типа допускзетг

I ; т;ог.г..'.к.!.о • эг-'Т-г гздгятелн«нх- ветвей.низшего порядка кли ¿) ■ .г.г» г-оссго дггаеш'я (сингулярное ропепяе в

(¡- < с\; 1:! оот ¡;е.ре^слз, которое якспонендиально ртл ястают при г т> о, частоты а ограниченном дчопозокс л гаи»

и: : оо свио^у лтп вятви

частотного спектра.

17^:::.:, " ог г^утопипго решения, ветвь,

представляющая дозвуковые движения, ймссг поведение в высокочастотном коротковолновом пределе (фазовые скорости дозвукового движения стремятся в этом случае к скорости поперечной волны с2).

Совершенно особое решение, присущее сингулярным задачам, представляет жзезя сттзктралъяая кривая в дозвуковой области, в которой эта зетзь выходит на ось действительного параметра распространения у з точке запирающей длины волны, определяющей статическое периодическое состояние равновесия (и = у(г)51п(гг+ч>), ДЛЯ кторого и = 0, р = О И ГРУППОВЭЯ скорость = »). Как и в регулярном решении, рост к повышает общий частотный фон (за исключением низшей дополнительной ветви, общий фон которой понижается с ростом к).

В случае инерционного сопротивления в = -то2 (§.2 части ш) решение задачи с особенностью на оси цилиндра обнаруживает запирание частот снизу. Как и в случае регулярного решения, увеличение плотности распределенной массы и приводит к понижению общего частотного фона и стремлению спектральных ветвей в области зысокой частоты к соответствующим ветвям решения случая закрепленной границы. Наличие инерционного подкрепления также обуславливает и зависимость формы колебаний (амплитудного

распределения по радиусу) от частоты.

Смешанное опирание в = к - тпа (§.з) приводит к появлению локального максимума. для самой низшей спектральной ветви (т.е. явлению обратной волны, когда групповая скорость на каком-то участке дисперсионной кривой становится отрицательной) и допускает существование комплексных ветвей в частотном спектре задачи, которые выходят на плоскость действительного параметра распространения 7 в точке локального экстремума. В окрестности частоты о' = / к/т, аналогично регулярному случаю, наблюдается террасоподобное поведение линий спектра при больших значениях параметров к, в и существование точек "нулевого эффекта", однако дозвуковые движения оказываются возможными лишь в ограниченном диапазоне частот п < о'.

В случае взаимного влияния в дозвуковой области присутствуют периодические статические решения, определяемые лишь жесткостью упругого опирания, которые приводят, в отличие от случая упругого подкрепления,' к запиранию длины волны снизу для низшей ветви частотного спектра. Значение групповой скорости в запирающих длинах волн равно «>, что можно интерпретировать как мгновенный расход энергии волновым пакетом данной длины волны на образование статической периодической структуры деформации.

Основные результаты и выводы.

I. При неклассических граничных услозиях винклеровского и/или йнерционного типов получены решения соответствующих регулярных и сингулярных задач о распространении стационарных упругих волн кручения в цилиндре с ограниченно податливой, границей.

и. На примере решения ряда задач показана важность учета влияния измененных граничных условий, приводящих к существенным.

- -M -

a иногда и к коренным изменениям в структуре и характере поведения рассматриваемых решений (запирание частот снизу для .упругого опирания, возможность """дополнительного-- дозвукового распространения в случае инерционного подкрепления, существование комплексных решений в случае смешанного опирания, наличие периодических статических решений в сингулярных задачах).

ni. Во всех задачах при стремлении жесткости упругого опирания и плотности равномерно распределенной массы инерционного основания к нулю возшген предельный переход к решению соответствующей задачи случая свободной границы.

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях:

1. Новотный C.B. Распространение упругих волн вдоль

цилиндрической полости с несвободной границей. - ПММ, т.57,

ВЫП.4, 1993.

2. Ленский B.C., Новотный C.B. Определяющие соотношения и задачи механики упругопластических сред и неоднородных структур при малых и конечных деформациях. - Научный отчет по программе "Университеты России". Кафедра теории упругости, мех.-мат. факультета МГУ, М. 1994, часть.з, c.4o-62.

3. Новотный C.B. Стационарные волны кручения в цилиндре с ограниченно податливой границей. - Принята к печати в июне 1994. Вестник МГУ, серия i, математика и механика.