Стойкость решений смешанных задач для гиперболических уравнений и систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

/'

Львівський державшій університет імені Івана Франка

ч

ОЛІСКЕВИЧ Маріанна Олександрівна

УДК51

СТІЙКІСТЬ РОЗВ’ЯЗКІВ МІШАНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГІПЕРБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ І СИСТЕМ

01.01.02 — диференціатьні рівняння

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Львів — 1998

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському університеті імені Івана Франка на кафедрі диференціальних рівнянь.

Науковий керівник—доктор фізико-математичних наук, професор Лавренюк Сергій Павлович,

Львівський державний університет ім. Івана Франка, завідувач кафедри диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Копитко Богдан Іванович,

Львіський інститут менеджменту, завідувач кафедри інформаційних систем у менеджменті;

кандидат фізико-математичних наук, доцент,

Клевчук Іван Іванович

Чернівецький державний університет ім. Юрія

Федьковича,

доцент кафедри математичного моделювання.

Провідна установа Інститут прикладної математики та механіки НАН України, відділ нелінійного аналізу, м.Донецьк.

Захист відбудеться “19” листопада 1998 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.07 у Львівському державному університеті імені Івана Франка за адресою:

290602, м.Львів, вул. Університетська, 1, аудиторія 377.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Львівського державного університету ім. Івана Франка (290005, м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий “15” жовтня 199В року.

Вчений секретар Г

спеціалізованої вченої ради МикитюкЯ.З.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Задача про стійкість руху в найзагальнішому вигляді вперше була чітко сформульована О.М. Ляпуновим у його класичній праці "Загальна задача про стійкість руху". У цій праці Ляпунов розвинув два основні методи її розв'язувана, перший з котрих полягає в побудові загального розв’язку у вигляді рядів, а другий — в побудові функції, яка володіє певними властивостями і за допомогою якої встановлюються достатні умови стійкості нульового розв'язку.

Ідеї Ляпунова отримали суттєве узагальнення і розвиток у дослідженні стійкості розв’язків систем диференціальних рівнянь з частинними похідними. Прямий метод Ляпунова використовували у своїх працях O.A. Мовчан, М.М. Красовський, В.І. Зубов, В.Р. Аносов, P.C. Гусарова та інші. A.M. Слободкін побудував новий аналог теореми прямого методу Ляпунова про стійкість для дослідження характеру стійкості тривіального розв'язку ряду лінійних пружних систем. P. Vang дослідив стійкість схематизованого гнучкого літального апарату, P. Parks — стійкість розв'язку задачі флатера панелі. В.Ю. Сшосарчук дослідив умови стійкості та асимптотичної стійкості систем за першим наближенням, виділив нові умови відсутності стійкості нульового розв'язку.

В останні десятиліття перед технікою і фізикою все частіше постають питання про стійкість, при розв'язуванні яких доводиться використовувати методи, основи яких були закладені Ляпуновим.

Knopp Urich встановив достатні умови глобальної асимптотичної стійкості за Ляпуновим в іАпросторі для модельних рівнянь динаміки хімічних реакцій у каталітичному реакторі. За допомогою другого методу Ляпунова Т. Nagulaki довів стійкість розв'язків дифузної моделі щільності популяції з урахуванням процесів міграції і селекції. А.Ю. Колесовим досліджено стійкість біфуркальних автоколивань телеграфного рівняння. Т.К. Серазетдінов узагальнив матеріал щодо застосування прямого методу Ляпунова у дослідженні стійкості процесів з розподіленими параметрами.

Як відомо, багато фізичних процесів (поширення хвиль, коливання різних механічних систем, газова динаміка) моделюються гіперболічними рівняннями і системами. На сьогоднішний день теорія стійкості лінійних гіперболічних, рівнянь і систем є достатньо добре розвинутою. Питаннями стійкості за Ляпуновим класичних розв'язків лінійних та квазілінійних диференціальних рівнянь і систем гіперболічного типу займалися А.Х. Геліх,

D. Sattinger, R. Gutowski, E. Giborowska-Wojgyga, M. Pierangelo, Jefrey Alan і Kato Yusuke, В.П. Орлов, E. Knut, С.А.Єгорушкін, А.Г. Куліковский та інші.

У працях J. Radzikowski і W. Sadowski за допомогою другого методу Ляпунова доведено теореми про обмеженність іЛнорм, експоненціальне прямування до нуля, стійкість і асимптотичну стійкість класичних розв'язків для деких t-гіперболічних за Петровським систем двох чи чотирьох диференціальних рівнянь першого порядку.

Стійкість розв'язків мішаної задачі в прямокутнику для гіперболічної системи з двома незалежними змінними досліджували M. Ziolko, Y. Duong, P. Joly — методом інтегралу енергії, N. Toshiki — методом апріорних оцінок, R.W. Dickey — методом Гальоркіна. Asakuri, Fumioki, С.М. Dafermos, Liu Tai-Ping, Xin Zhouping розглядали стійкість розв'язків задачі Коші для гіперболічних систем законів збереження.

В останні десятиліття виявилось, що деякі біологічні процеси описуються гіперболічними системами з нелокальними крайовими умовами. Тому виникає потреба дослідити такі об'єкти на великих відрізках часу. Праці А.М. Нахушева, S. Busenberg, M. Ianelli, П.І. Петрова присвячено задачам з граничними умовами, які задаються за допомогою оператора інтегрування. Задачі з нелокальними умовами такого типу виникають в різних галузях знань, і є математичними моделями реальних процесів, а саме: моделюють динаміку біопопуляцій, використовуються для прогнозу грунтової вологи, у демографічних дослідженнях.

Б.Й. Пташник, В.Н. Поліщук, B.C. Ільків, Г.А. Багіров, S.Rominski розглядали питання коректності мішаних задач для лінійних гіперболічних систем високого порядку з періодичними крайовими умовами. Некласичні граничні задачі в різних областях площини для гіперболічних рівнянь і систем були розглянуті 3.0. Мельником, В.М. Кириличем, А.Д. Мишкісом.

К.В. Брушлінський розглянув мішану задачу для гіперболічної системи рівнянь першого порядку з крайовими умовами, що розпадаються. Стійкість розв'язку такої задачі, а також стійкість нульового розв'язку задачі для нелінійної системи доведено H.A. Слтишовою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями кафедри диференціальних рівнянь Львівського державного університету, її результати використані при виконанні завдань державних тем за номерами N 0195V009657, N 0193V027106.

з

Мета і задачі дослідження. Вивчити поведінку розв'язків при (:->» лішаних задач для г-гіперболічних систем диференціальних рівнянь першого юрядку, а також для гіперболічного рівняння високого порядку, з двома іезалежними змінними х і І у випадку задання нелокальних інтегральних чи >агатоточкових крайових умов; встановити достатні умови експоненціальної ;тійкості таких задач з коефіцієнтами, які залежать від однієї (просторової) ібо від обох змінних. Дослідити умови існування, єдиності та .гладкості юзв'язку нелокальної мішаної задачі для лінійної гіперболічної системи з івома просторовими змінними х і у, вказати достатні умови стійкості за Іяпуновим її нульового розв'язку.

Наукова новизна одержаних результатів.

— Отримано достатні умови стійкості нульового розв'язку мішаної задачі для 'іперболічної системи першого порядку, коефіцієнти якої можуть бути ■ладкими чи розривними функціями змінної х, з нелокальними інтегральними файовими умовами.

— Встановлено умови стійкості розв'язку багатоточкової задачі для 'іперболічної системи першого порядку, а також поведінку розв'язку при І—»СО 'іперболічного рівняння високого порядку.

— За допомогою апріорних оцінок одержано умови стійкості за Ляпуновим експоненціальної стійкості нульового розв'язку нелокальної задачі для

'іперболічної системи з коефіцієнтами, що залежать від обох змінних х і І.

— Встановлено за допомогою методу Гальоркіна умови існування та ..■диності узагальненого розв'язку нелокальної мішаної задачі для іараболічної системи рівнянь другого порядку з двома просторовими імінними. Методом зникаючої в'язкості доведено існування розв'язку мішаної іадачі для гіперболічної системи першого порядку, встановлено умови його ’диності, гладкості, а також умови експоненціальної стійкості тривіального розв'язку.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер, її результати є певним внеском в теорію рівнянь з частинними похідними і можуть бути використані для подальших досліджень у цьому напрямку.

Осооистиіі внесок дисертанта. Всі результати дисертації отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники Б.И.

Пташник, С.П. Лавренюк, П.І. Каленюк 1996—1998р.) та на кафедральному семінарі з теорії диференціальних рівнянь (керівники С.П. Лавренюк, М.М Бокало 1997р.); Всеукраїнській конференції "Диференціально-функціональн рівняння та їх застосування", присвяченій 60 - річчю від дня народження В.І Фодчука (м. Чернівці, 1996р.), Міжнародній конференції "Нелінійн диференціальні рівняння в частинних похідних" (м. Київ, 1997р.) Всеукраїнській конференції "Нові підходи до розв'язання диференціальню рівнянь", присвяченій 70 - річчю від дня народження В..Я. Скоробогатька (м Дрогобич, 1997р.), Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблем* математики” (м. Чернівці, 1998р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в працях [1]— [9], з яких чотири надруковані у виданнях з переліку N1, затвердженого ВА1< України.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, дано короткий огля/ результатів, які мають безпосереднє відношення до теми роботи, мета тс задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, апробація та структура роботи.

У першому розділі наведено огляд праць, що стосуються досліджені стійкості за Ляпуновим різних математичних моделей, розв'язності мішаних задач для гіперболічних рівнянь і систем з нелокальними крайовими умовами,

У другому розділі у смузі Р = (0,1) х (0,ао) вивчено мішану задачу дій лінійної гіперболічної системи

Ц - Ьв и=0 , (х,0єР . (1)

Тут Щх.^и^хД ... ,и„(х,І)]т — вектор невідомих функцій, Ьви=А(х)их+ В(х)и, де В(х)=(Ьу(х)), У=1,..,п, а діагональна матриця А(х)=(а,(х)) для всіх хє[0,1] має дійсні, різні й відмінні від нуля власні значення а,(х). Припускається, що а^х), ... .аДх) від'ємні для хє[0,1], а а^х) , ... , а,,(х) — додатні.

Для системи (1) задано п крайових умов

і0и(о,о+і1и(і,о + {д(х)и(х,і)ах = о, (2)

де <5(х) =(яч(х)), У=1, ... ,п,

CL,

а

ln

а

pi

О

О

а

рп

О

О

*1 =

0 . .. 0 'I

0 . .. 0

ßp-ыл • ^P+l.n .. (3)

ßn,l • .. ß n,n J

Крім того, при t=0 задані початкові умови U(x,0)=Uo(x).

(4)

Задачу розв'язано за допомогою перетворення Лапласа за змінною І. Застосувавши його до системи і крайових умов, отримано крайову задачу для системи звичайних диференціальних рівнянь

(Ьв - X1) V = - ВД ,

І0 У(0Д) + І1У(1Д)+ _[СКх)у(хД)сіх = 0,

(5)

де у(х,Х)=[ \'|(х,л), ..., уп(хД) ]т, у,(хД) = її. (х, і)е~>аСІІ Позначимо через

0(х,^,л) функцію Гріна оператора Ьв - ЛІ (І — тотожний оператор). Тоді для довільного А,, яке не є власним значенням оператора Ьв, неперервно диференційовний розв'язок задачі (5) подається у вигляді

у(х,Х) = -£<3(х,и)и0й)<Ц.

Розв'язок початкової задачі (1), (2), (4) знайдено за формулою

■і а+ізо

U(x, t) = —r fv(x, A,)eXtdX,

O-TTI J

2лі

де (о — довільне дійсне число, більше ніж к8, а інтеграл слід розуміти в сенсі головного значення; кв визначається полюсом v(x, Ä) як функції від X (або полюсом G(x,<; Д)), котрий має найбільшу дійсну частину.

Доведено, що якщо виконуються умови

det !ay|ij£p Ф 0 det IßyLj^p ^ 0 , (6)

то таке кв існує, оскільки тоді спектр оператора LB обмежений праворуч.

Подано зображення для функції Гріна G(x,^,X) в правому (]argXj < (ті/2-є) і в лівому ( ¡arg X - іг| < к/2 - є) секторах, звідки зроблено висновок про зростання розв'язку за t, а саме, що |u,(x,t)| < exp ((KB+e)t) для довільного s>0.

1 СГ+ІаО 1

и(х,1) = — І е^{С(хЛ^)и0(№&,

о—¡СО 0

Використовуючи вказане зображення розв’язку і зображення функці' Гріна С(х,^Я) доведено теорему про стійкість за Ляпуновим нульовогс розв'язку задачі (1), (2), (4).

Теорема 1. Нехай ио єС![0,І]; <ЗєС[0,1]; А, ВєС2[0,1] і кв<-у (у>0). Тоді для розв’язку и(хД) задачі (1), (2), (4) правильна оцінка І|и(',0||с[0>і] ¿Ке1" ||и0||С[0і1],

де К залежить від у і Ь2,

Ь2=шаХу (¡І^ІІ^^одр ІІ^уІІСг[0,1]’ І^'^С2[0,1]’ ІІЧиІІС[0,і]> ІРцІ) і не залежить від 1, ио. Тобто нульовий розв’язок експоненціально стійкий. У п. 2.1.6. доведено теорему про стійкість нульового розв’язку задачі и, - (х) их = Ф (х,и), Ф = [Фи ... ,Ф„]Т,

Іои(0,0 +1, и(1 Д) + £<Хх)и(х, і)<іх = о,

ии=и0(х). (7)

Теорема 2. Нехай АєС2[0,1], <ЗєС[0,1] і для довільного і (1<і<п) функціії

ЭЧ+|5|ф

-------де 5=(з,,...,8п) — цілочисельний вектор з невід’ємними

5хч51? •

компонентами ¡з]=5,|5|=0,1,2,3, Я=0,1,2, я+|з|<3, неперервні на множині £1г={(х,и„...,ип): 0<х<1, |и,|<г}, г>0. Тоді нульовий розв’язок задачі (7) асимптотично стійкий з показником у-е (г — довільне число таке, що у-є >0) у просторі С‘[0,1].

У другому підрозділі розділу 2 отримано аналогічні результати у випадку, коли елементи матриць А, В розривні в точці с з інтервалу (0,1), тобто для розв'язку задачі, який задовольняє умови спряження в точці с и(с-0,1) = со и(с+0,0, ш =(сош„) , ш^О, отримано оцінку

||и( 'Д)11ср),с)*с(с,1) - Ке*1 Цио||с[о.с,хС(с.и > 7"*0 .

Третій розділ присвячено вивченню багатоточкових задач. У першому іідрозділі третього розділу розглядається мішана задача для гіперболічної :истеми (1) з нелокальчими багатоточковими крайовими умовами

Ш

Іои(0,1) + X іки(ск, і) +1, и(1,0 = 0, (8)

к=1

І? 0<С!<...< ст <1, (б ) (іо=1.,п), (к=1,...,т) — матриці складені з дійсних чисел, а матриці \0,1, мають вигляд (3), причому виконуються умови '6). Для задачі (1), (8), (4) отримано такі ж результати, як і для задачі (1), (2),

:4)- .

У другому підрозділі третього розділу розглянуто багатоточкову задачу цля гіперболічного рівняння

0 ґд _ . . д) , , . а^уСхд)

П —-а.(х)—- y(x,t) - YR.(x) — : ■ , (9)

1 öx/ ü Jdt}dxn-'-}

i = 1 j-Q

і початковими

дк

у(х,0)=ср (х), k = 0,l...........п —1 (10)

et К

крановими умовами

*\ m Я1

ö''y(M) + v„ <^y(ck,t) дхК ¿1 гк ах1

“ a'ry(c t) Slry(l,t) . , /it4

Г = Р+1-"”' <П)

Гут Rj — двічі диференційовні функції на [0,1]; aj — дійсні, різні і не )бертаються в нуль; vr-A 0, (1<г<р), цгФ 0, (р<г<п); точки ск такі, що 0< с, < :2 <...< сга <1; 0< 1,< п-1 і lj^lj якщо i<j<p або p+l<i<j.

Задача (9) - (11) зводиться до багатоточкової задачі, вигляду (1),(8),(4), розв'язок якої при певних припущеннях стійкий за Ляпуновим. Доводиться, цо розв'язок задачі (9) - (11) зростає при t—>со не швидше, ніж многочлен.

Висновки. У даних розділах досліджено мішані задачі з нелокальними нтегральними та багатоточковими крайовими умовами для гіперболічної гистеми першого порядку з двома незалежними змінними х і t. коефіцієнти ікої залежать лише від х. Ці розділи є узагальненням результатів К.В зрушлінського і H.A. Єдтишевої на випадок крайових умов, що містять

інтегральний доданок та багатоточкових крайових умов. Теореми про стійкість за Ляпуновим нульового розв’язку задач для однорідної і неоднорідної систем доведено методом, який навела Єлтишева.

У четвертому розділі досліджено стійкість і експоненціальну стійкість мішаних нелокальних задач для гіперболічної системи 5и. ди. "

Г- ——52Ъу(х,Оил(х,1) = °, і = 1,...п, (12)

і=і

де ^(хД) — дійсні і не обертаються в нуль, причому

Х,(х,0 < ... < Я,(х,0 < 0 < - ••• ^ ^-п(хД) •

П

Припускається, що квадратична форма ^Ь.. (хД)^.£. додатна, тобто існує

і.І=1

Ь0> 0 таке, що V (хД)є Р виконується нерівність

¿Ь^м^гЬ,, ¿5?. У5 = (?1.....................у.

і,І=1 і=1

У першому і другому підрозділах розділу точки (хД) належить смузі Р, а в третьому підрозділі — розглядається криволінійна область Р, = {(х,0: а,(0 < х < а2(0, 1>0}, причому т < |а2(0-а,(1)| < М для і>0.

У першому підрозділі для системи (12) задано нелокальні крайові умовк и|(0,0 =а,(0 и,(1Д), (і=1, ... ,п) (13)

і початкові умови

иі(х,0) = <р;(х) , (і=1....................п). (14)

Методом апріорних оцінок доведено експоненціальну стійкість розв’язку задачі (12) - (14).

Теорема 3. Нехай \х, неперервні і обмежені в Р,ф, єС[0,1]. Тоді якщс

вир а2 < іпГ

(х.ОєР '

іпґ а2 > Бир

(х.ЧбР і (х1)єр

*,(1,1) г ехр V

МОД)

А. АО /■ ехр V

>.¡(0,1)

|Х..(х,0| \(хД) + 2Ь0

для і < р (15)

, для і > р (16)

то узагальнений (неперервний в Р) розв'язок задачі (12) - (14'

експоненціально стійкий, тобто виконується нерівність

|^и,2(хД)ск <Сері ІІф.ЧлХк,

це 0<(3<р0, а С — додагна стала, яка залежить від коефіцієнтів системи.

У другому підрозділі четвертого розділу наведено достатні умови гкспоненціальної стійкості мішаної задачі для системи (12) з нелокальними нтегральними умовами вигляду

х2 ' и.(0Д) = а.и.(1,0+ [Г(хд)и.(хд)ах, і=1,..., п,

*і

х 2 .

іе 0< х,<х2<1 і |г2(х, 1)сіх > 0, (і=1, ... ,п).

Х1

Наводяться приклади, які показують непокращуванність умов теорем.

У п’ятому розділі досліджено нелокальну мішану задачу для •іперболічної системи першого порядку з трьома незалежними змінними

¿¡її п Зи. п 5и. п

'ач (*’ у» о — + £ ь (X, У, 0 —1 + 2 Су (X, у, Ои =

ді ¡Ті -1 дх ^ 4 ду р, 4 J

= ^(х,уД (і = 1,п), (17)

иі(0,уД)-|]а..и.(1,у,0, и.(хД 0 = ^р..и.(х,1,0, (і = І,п), (18) і=і ]=\

иі(х,у,0) = фі (х,у) , (і = 1,п), (19)

іричому функції ф,(х,у) задовольняють умови узгодження, а матриці А = (а,^, 3=(Ьц) (У=1,...,п) —■ симетричні.

Задачу досліджено методом зникаючої в'язкості. Тобто для є>0 ю'-.глянуто допоміжну задачу для лінійної параболічної системи

5ие п 5иє п ЗиЕ п

—+ £ а (х, у, 0 + £ Ь (х, у, 0 + £ с (х, у, і) и] =

ді рх 4 дх рі 4 ду Р 4 1

ґ д2иг д2п^

= 8

дх~ ду

+ Г(х,уд), (і = 1,п), (20)

и=(0,уд) = £а.. и|(1,уД), и®(хД0 = ]£р.. и‘(х,1д), (І = 1>ПХ (21> І=1 І=І

и‘Д0,у,г)= и®(1,уД), ¿(З^и'Дх.Од^ и'/х.ІД), (і = 1, п), (22)

u'(x,y,0)=cp, (x,y), (i = l,n), (23)

де є — додатний малий параметр.

Позначимо PT = {(x,y,t) : 0<х< 1, 0<у<1, 0<t<T}; D =(0,1) х (0,1); простір функцій ц є (H'(D), таких, що задовольняють умови (21) позначимо через р (D) (і=1,п), а простір функцій u таких, що ueHk (Рт) (L2(PT)) для довільного Т>0 позначимо через Н^ДР) (L2X, (Р)). "

Означення 1. Вектор-функція u(x,y,t)=(u,(x,y,t), ... ,un(x,y,t)) називаєтьс* узагальненим розв'язком з простору ( Р) задачі (20) - (23), якщо функції и,єН{х(Р) задовольняють умови (21), (23) і для довільної вектор-функці' v(x,y,t)=(vI(x,y,t),...,v„(x,y,t)): vi є L2X( [0,х); (D)) (і=1,п) виконується

інтегральна тотожність

СІК + Ê W + ÈVjy + ¿с u )v.dxdydt=

г і=1 j=t j=l j=l

. D П

= -ef У (u. v. -t- u. v. )dxdydt+ f Yf.v.dxdydt

Jp_ ¿—I v їх їх іу ly' J iÿ ¿-i \ \ J

1 i=l 1 i=l

У другому підрозділі за допомогою методу Гальоркіна доведене

існування, єдиність , гладкість розв'язку задачі (20) - (23), а також оцінку

К2'

і=і

де стала С не залежить від с.

На підставі оцінки (24) у третьому підрозділі п’ятого розділу доведе» теорему існування розв’язку майже скрізь задачі (17) - (19).

Теорема 4. Нехай tp;eH2(D), £ єН^Р), коефіцієнти системи (17) ац, Ь,,, сч

їх перші похідні за t, х, у належать простору L"(P) і виконуються умови А( 1 ,y,t) -MjA(0,y,t) M, > 0, В(х, 1 ,t) - M J В(х,0,t) М2 > 0,

A(0,y,t) - М, A(l,y,t) МІ > 0, B(x,0,t) - М2 B(x,l,t) > 0,

A(x,0,t) = A(x,l,t) М'2Г, M* B(0,y,t) = B(l,y,t) MJ,

M] C(x,0,t) = C(x,l,t) , Mj C(0,y,t) = C(l,y,t) M[.

( Uj 2(x, y, t) + u l2 (x, y, t) + u (x, y, t) + u ® 2(x, y, t))dxdy < C,

іе М1=(аіі)і М2=(Рц) (іо=1,...,п) — матриці складені з коефіцієнтів крайових "мов (18). Тоді існує розв’язок майже скрізь задачі (17)-(19).

¡становлено також достатні умови експоненціальної стійкості нульового юзв'язку задачі (17)-(19).

Теорема 5. Якщо виконуються умови теореми 4 і умова

о для розв’язку задачі (17) - (19) з ^(х,уд)=0 правильна така нерівність

е 0<(3 <Со; тобто нульовий розв’язок задачі стійкий за Ляпуновим, якщо с0=о ' експоненціально стійкий, якщо с>0.

Висновки. У даних розділах досліджено нелокальні задачі з ерозділеними крайовими умовами для гіперболічної системи з коефіцієнтами, алежними від і х,уД. Для гіперболічних систем з коефіцієнтами залежними ід багатьох просторових змінних у працях Б.Й. Пташника, В.Н. Поліщука, ;.С. Ільківа досліджено задачі, нелокальні за часовою змінною і періодичні районі задачі. Робіт, присв'ячених нелокальним за просторовими змінними ішаним задачам з багатьма просторовими змінними, ми не зустріли.

У дисертаційній роботі вперше знайдено достатні умови стійкості ульового розв'язку деяких нелокальних гіперболічних задач. Зокрема, вивчено; _ мішану задачу для гіперболічної системи першого порядку, коефіцієнти якої ожуть бути гладкими чи розривними функціями змінної х з нелокальними ітегральними крайовими умовами;

_ багатоточкову задачу для гіперболічної системи першого порядку і перболічного рівняння п-ного порядку;

_ мішану задачу в прямокутнику, а також у криволінійній області для перболічної системи першого порядку з нерозділеними чи інтегральними мовами і коефіцієнтами, з&тежними від обох змінних х і І.

За допомогою методу Гальоркіна знайдено умови існування та единосіі

П

п

£и,2 У’ 1)(1х(1у - е"р‘10 Ёф? (х> у)^у.

висновки

узагальненого розв'язку нелокальної мішаної задачі для параболічної систел рівнянь другого порядку з двома просторовими змінними. Методом зникагоч в'язкості доведено існування розв'язку нелокальної мішаної задачі д: гіперболічної системи першого порядку з трьома незалежними змінними х, t. Встановлено умови його єдиності, гладкості, а також умови експоненціальн стійкості тривіального розв'язку.

Основні результати дисертації опубліковано у працях:

1) Оліскевич М.О. Поведінка розв'язків багатоточкової задачі дг

гіперболічного рівняння при великих значеннях часу// Вісник Львівської університету. Сер. мех.-мат. ____]9%,____Вип. 45_______С. 86-96.

2) Оліскевич М.О. Стійкість розв'язку мішаної задачі для системи з трьо\

незалежними змінними з періодичними крайовими умовами// Вісі» Львівського університету. Сер. мех.-мат_______ 1996.___Вип. 48_____с. 27-35.

3) Оліскевич М.О. Стійкість за Ляпуновим гіперболічної системи

нелокальними крайовими умовами// Вісник Львівського університету. Се мех.-мат_____ 1998.___Вип. 49.___с. 89-98.

4) Оліскевич М.О. Зростання розв'язків нелокальної задачі для гіперболічн

системи з розривними коефіцієнтами// Математичні студії_________ 1998.____9, b

— С. 42-53.

5) Кравчук (Оліскевич) М.О. Стійкість за Ляпуновим однієї гіперболічн

системи// Деп. в ДНТБ Украіни_______N 2044____Ук 95 від 04.09.95

6) Оліскевич М.О. Стійкість за Ляпуновим однієї гіперболічної системи // Те:

доповідей Всеукр. наук. конф. "Диференціально-функціональні рівняння та застосування"_____Чернівці_______ 1996.__С. 140.

7) Оліскевич М.О. Стійкість розв'язку нелокальної задачі для гіперболічн

системи першого порядку //Тези доповідей Всеукр. наук. конф. "Нові підхо; до розв'язання диференціальних рівнянь"_______Дрогобич_______ 1997.___С. 82.

8) Оліскевич М.О. Стійкість за Ляпуновим гіперболічної системи

нелокальними крайовими умовами II Тези доповідей Міжнарод. нау конф."Сучасні проблеми математики", Частина 2._________Чернівці-Київ._____199

— С. 177-180

9) Oliskevych М.О. The solution behaviour of an unlocalic problem for hyperbol system of the first order // Proc. International Conf. on Nonlinear Partial Different! Equations. — Kiev. — 1997. —P. 138-139.

Оліскевич М.О. Стійкість розв’язків мішаних задач для гіперболічних рівнянь і систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціатьністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. -Львівський державний університет ім. Івана Франка, Львів, 1998.

Дисертацію присвячено вивченню стійкості за Ляпуновим мішаних задач для гіперболічних систем першого порядку, коефіцієнти яких залежать від х, або х і и або х, у і 1, з нелокальними інтегральними, нерозділени.ми чи багатоточковими умовами. Досліджено питання існування та єдиності розв’язків таких задач, а також коректність мішаної нелокальної задачі для параболічної системи другого порядку.

Ключові слова: стійкість за Ляпуновим, гіперболічна система першого порядку, нелокальна задача.

Олискевнч М.А. Устойчивость решений смешанных задач для гиперболических уравнений и систем. - Рукопись. __

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Львовський государственный университет им. Ивана Франко, Львов, 1998.

Диссертация посвящена изучению устойчивости по Ляпунову смешанных задач для гиперболических систем первого порядка, коэффициенты которых зависят от х, или х і г, или х, у і і, с нелокальными интегральными, неразделенными или многоточечными условиями. Исследован вопрос существования и единственности решений таких задач, а также корректность смешанной нелокальной задачи для параболической системи второго порядка.

Ключевые слова: устойчивость по Ляпунову, гиперболическая система первого порядка, нелокальная задача.

Oliskevych M.O. Liapynov’s stability of solutions of mixed problems for hyperbolic equations and systems. - Manuscript.

Thesis for a candidate of physical-mathematical degree by speciality

01.01.02 - differential equations — Ivan Franko State Universisy of Lviv, Lviv, 1998.

The dissertation is devoted to studing the Liapunov’s stability of mixed problems for hyperbolic systems of the first order, which coefficients depend on x, or x i t, or x, y i t, whith unlocalic integralic, undivided or multi-point conditions. The existence and uniqueness of solutions such problems, and correction of mixed problem for parabolic system of the second order are considered.

Key words: Liapunov’s stability, a hyperbolic system of the first order, unlocalic problem.

Підписано до друку 5.10.98. Папір офсетній Умов, друк арк 2. Умови, фарбовід. 2.

Тираж 100. Зам.

Видрукувано у Видавниче®^ центрі Львівського державного університету ім. Івана Франка