Строение обобщенных модулей Верма тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ол

Київський університет імені Тараса Шевченка

На правах рукопису

Мазорчук Володимир Степанович

УДК 512.553.1

Будова узагальнених модулів Берма

(01.01.ОС — алгебра та теорія чисел)

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізнко-математичних наук

Кшн - І!>!1()

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Київському університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник:

• доктор фізико-математичних наук, професор Ю.А.Дрозд Офіційні опонентп:

• диктор фізико-математичних наук Клімик Анатолій Улянович;

• кандидат фізико-математичних наук Цильке Андрій Альфредович;

Провідна установа:

• Інстітут математики АН України.

Захист відбудеться “ ^ 1996 року о 14 год. на засіданні спеціалізо-

ваної вченої ради Д 01.01.01 при Київському університеті ім. Тараса Шевченка за адресою: 252127, м. Київ-127, пр. акад. Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського університету ім. Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано риКу

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

Овсієнко С. А.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми

Однією з областей математики, які найбільш інтенсивно вивчаються та мають широке застосування у різних галузях математики, фізики та біології є теорія зображень алгебр Лі над полем нульової характеристики.

Повна класифікація незвідних зображень алгебри Лі відома лише у випадку алгебри зЦ2), а у випадку алгебри s/(3) отримано повну класифікацію так званих вагових зображень, тобто зображень, що розкладаються в пряму суму скінченновимірних вагових підпросторів відносно підалгебри Картана.

_ Класичним розділом теорії зображень напівпростих скінченновимірних алгебр Лі над алгебраїчно замкненим полем нульової характеристики можна вважати теорію модулів, породжених векторами старшої ваги, яка походить з оригінальних робіт Берма1 та робіт Бернштейна - Гельфанда - Гельфанда (2, 3, "* ).

Відлуння результатів досліджень зображень, породжених елементами старшої ваги (модулів Верма), доходить і до теперешніх часів. Ці дослідження дали поштовх до виникнення нових гілок алгебраїчної теорії, наприклад, квазіспадковнх алгебр, теорію БГГ-категорій та інше.

Класичні результати, такі як БГГ-критерій існування нетривіальних гомоморфіз-мів між модулями Верма, БГТ-резольвента скінченновимірного модуля, дуальність в категорії О, формула Вейля для характерів, за останні 20 років узагальнювалися на різні випадки зображень як скінченновимірних алгебр Лі, так і алгебр Каца-Муді.

У 1986 році, в своїй дисертаційній роботі, В.М. Футорннм було розглянуто зображення напівпростих скінченновимірних алгебр Лі, що взагалі не мали елементів старшої ваги. В роботі було вивчено основні властивості таких модулів та описана явна конструкція у найпростішому випадку індукування з і/(2)-розширення стандартної підалгебри Бореля. Надалі було побудовано категорію 0„ таких модулів та доведено, що Оа є БГГ-категорією.

Більше того, за допомогою техніки, запропонованої в цій та подальших роботах, виятшося можливим будувати та вивчати зображення, вагові простори яких є нескін-

^erma D.N. Structure of certain induced representations of complex scinisimple Lie algebras, Dull. Amer. Math. Soc., 74(1968), p.ICO-1(^3

гИ.ІІ.Бернштепн, И.М.Гельфанд, С.И.Гельфанд, Структура представлений, порожденных векторами старшего веса, Фуикц. анализ п его прилож., 5(1971), с.1-0

3I.N.Bernstein, I M.Gelfand, S.I.Gelfand, Differential operators on the bnse аПІпе space and the study of Ö-modules, in:I.M.Gelfand, ed., Publ. of 1971 Summer School in Matli., Janos Bolyai Math. Soc., Budapest, p.21-64

4И.Н.Бериштейн, И.М.Гельфанд, С.И.Гельфапд, Об одной категории tf-модулей, Функуц. анализ и его прплож., т.10, вып.2, 1976, c.1-8

ченнови мірними.

Ллє побудована теорія виявилася набагато складнішою за класичну, що одразу спричинило виїшкнення багатьох питань, які очевидним чином розв'язувались у класичному випадку. Найпростішим для вивчення виглядає випадок алгебри зЦп, С), який має деякі особливі риси щодо вивчення вагових зображень з скінченновимірниші ваговими підпристорами (5).

Мета роботи

Дослідити будову а-розшарованих узагальнених модулів Верма над алгеброю Лі яІ(п, С), отримати критерій існування нетривіальних гомоморфізмів між узагальненими модулями Верма, отримати критерій незвідності узагальненого модуля Верма, побудувати БГГ-резольвенту та обчислити формулу Вейля для характерів для незвід-шіх факторів узагальнених модулів Верма. '

Методи досліджень

Використовуються методи теорії зображень алгебр Лі, методи алгебраїчної геометрії та методи гомологічної алгебри.

Наукова новизна

Основні результати дисертаційної роботи є новими. Побудовано узагальнену групу Вейля, яка діє на множині параметрів а-розшарованих узагальнених модулів Верма, що узагальнює дію класичної групи Вейля на множині параметрів модулів Верма. В термінах дії цієї групи отримано критерій нетривіальності гомоморфізмів між двома о-розшарованими узагальненими модулями Верма, що узагальнює відомий критерій БГГ для модулів Верма. Отримано критерій незвідності узагальненого а-розшарова-ного модуля Верма. Для певної множини параметрів побудовано слабку тасильну БГГ-резольвенту модуля L{,\,p). Обчислено узагальнену формулу Вейля для характера незвідного модуля L(X,p).

Теоретичне і щшкладне значення

Отримані результати мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані при дослідженні зображень напівпростих скінченновимірних комплексних алгебр Лі.

5D.Fernando, Lie algebra modules with finite-dimensional weight spaces I, Tr ans. Amor. Math. Soc., .T_'2, 11)90, p.757-781

Апробація роботи

Результати, отримані в дисертації доповідались на конференції молодих науковців Київського університету в 1994 та 1995 роках, на студентськіх наукових конференціях (Київ, КДУ 1992, 1993 рр.), на науковому семінарі кафедри алгебри та математичної логіки Київського університету імені Тараса Шевченка та на Київському алгебраїчному семінарі.

Робота була нагороджена медаллю з премією Академії Наук України, як краща наукова робота серед робіт молодих вчених у галузі математики у 1995 році.

Публікації

Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1, 2, 3].

Структура і обсяг дисертації

Робота складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку літератури із 43 найменуванні». Обсяг роботи СО сторінок.

Автор висловлює глибоку поляку своєму науковому керівникові, професору Ю.А. Дрозду, а також В.М. Футорному та С.А. Овсієнко за плідні співбесіди та постійну увагу до роботи.

Зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність проблематики дисертації, наводиться короткий огляд робіт за темою дисертації, характеризується зміст роботи.

§2.1 носить допоміжний характер. Він містить основні поняття та визначення, та також класичні результати стосовно модулів Берма та модулів, породжених: векторами старшої ваги.

У §2.2 наводиться конструкція узагальнених модулів Верма та їх основні властивості.

Позначимо через 0 просту алгебру Лі і/(п,С), через із — її шдапгебру Картана, Д = Д_ и Д+ — систему коренів алгебри (9 з базою іг. Фіксуєм в (5 деяку стандартну базу Шевалле Хр, /З Є Д; Нр, /З Є тг.

Для фіксованої алгебри Лі Я, з фіксованою підалгеброю Картана, позначатимемо через {/(21) універсальну обгортуючу алгебру алгебри 21, через і/(2І)о — нейтралізатор підалгебрн Картана в [/(21) та через 2(21) — центр алгебри (/(21).

Фіксуємо корінь а Є тг. Нехай Б позначає підалгебру алгебри (5, породжену елементами Л'/?, Р Є Д+; іі/і, ¡3 Є тг; А'-„.

:!

Позначимо П = іУ х С. Нехай (А,р) Є її та ра = -а. Розглянемо іЗ-модуль Л^((Лв - рс,)(//а), ]>)■ Поклавши, для довільного Л 6 ¡у* та для довільного V Є /V((Ла — р*)(На),р), ІIV = (Аа-ра)(’На)и, ми перетворюємо N([^a-pa)(Ha)lp) в (5° + *>модуль. Більше того, поклавши аи = 0 для довільних а 6 91!}. та V Є 7У((Ав — Ра)(На)іР), ми перетворюємо N(1 ,\а — ра){На),Р) В 0-МОДулЬ.

Модуль

А4(А,Р) = Щ0) (X) Щ\,-ра)(І/а),р).

У(С)

називається узагальненим модулем Берма ассоційованим з а, А та р.

Основні властивості модулів Л/(А,р):

1. Л/(А,р) є ваговим, ні-вільним модулем з скшченновнмірними ваговими підпро-

сторами. .

2. М(\,р) має єдиний максимальний підмодуль.

3. М(\,р) Є Л'а.

4. М(\,р) є а-розшарованнм тоді та тільки тоді, коли ЛГ((А„ - ра)(На),р) с незвід-ннм.

5. М(\,р) ~ Л/(А 4- ка,р) для довільного к Є %.

6. Л/(Л,р) ~ Л7(Л,-р).

§2.3 присвячений визначенню дії узагальненої групи Вейля П'',* на множині £)‘ фС, яка є аналогом дії класичної групи Вейля Н’ на множині У)* — множині параметрів модулів Верма. Розглянемо розбиття іг = {а} и и ігп, де

їїі ={)ЗЄіг: (а,/3) ф 0} \ {о},

їг2 = {/З Є 7г : (а, /?) = 0} . •

Для кожного (А,р) Є Г2 та /3 6 я-) позначимо пр = ^-(А(На + 2Нр) —р). Для кожного ¡3 Є тг визначимо такі лінійні перетворення иір в її:

«^(А.р) = (А, -р), якщо ¡3 = а;

^(А,р) = (А - п/)(А,р)/3,р + пр{Х,р)), якщо ¡3 Є !гі;

^(А,р) = (¿’¿зА, р) якщо /З Є зг2.

Позначимо ІГа групу породжену всіма елементами иір для /3 £ іг. Очевидно Н'а < СУЦЇЇ)

Обгрунтуванням доцільності введення групи є

Твердження 1. Нехай (Л,р) € Q“ та ß Є я. Якщо

-/}- /і Є знррЛ/(Л,/)), тоді іскі^е а-примітивньй е*іемент v € АД*\,р)м.

В §2.4 проводиться більш глибоке вивчення властивостей введенної групи ІГ„. Основним результатом цього параграфа є аііалого відомої Харіш-Чандри про орбіту групи Вейля

Теорема 1. Нехай г 6 С та елементи (А ,р) і (/¡, q) належать Ür. Модулі М(\,р) та q) мають однаковий центральний характер тоді та лише тотді, коли існує елемент ш Є И'а такий, що w(\,p) — (/і,<]).

Глава 3 присвячена вивченню підмодульної будови а-розшарованих узагальнених модулів Верма.

■ §3.1 містить допоміжні леми, що грають важливу роль у доведенні основної теореми

2.

У §3.2 сформульовано та доведено основний результат глави — теорему 2, яка дає критерій існування нетривіальних гомоморфізмі в між двома узагальненими модулями Верма у термінах дії групи ІГ» на просторі параметрів.

Теорема 2. Нехай (А ,р) та (/(, //) з її,. Наступні умови рівносильні:

1. М(А, р) С Л/(/і, ?).

2. ¿(А,р) є ЛЦЩи.ч)).

3. ¡снує послідовність елементів ßit Д>,.. ., ßk, які належать Д+, та

(/М) ^ Ч) 5 5 ^ ■■ -щАч,?) = (*.Р)-

4. dim Ьош(Л/(А,р), Л/(/і, q)) = 1.

§3.3 містить два наслідки з теореми 2. Перший з них описує необхідні та достатні умови того, що модуль М(Х,р) е незвідішм.

Теорема 3. Наступні твердження еквівалентні:

1. М(\,р) є незвідним.

2. Для довільного’S Є Д+. иіікоііуі-оіься iuj(,\,;j) •£. (Л,р).

3. Для довільного^ Є Д+, -модуль f/(l5(|3,)u е незвідним.

Другий наслідок описує критерій вкладання одного узагальненого модуля Верма в інший у термінах порядку Брюа на класах суміжності групи у випадку, коли параметри модулів належать "домінантній решітці” Р(а).

Теорема 4. Нехай (Л,р) Є Р++(сі) та ги j, хи2 Є Wa. Наступні умови рівносильні:

І. Л/(и?і(Л,р)) С Л/(ш2(Л,р)).

C. ггЛГ(о) <в tj/|IV(«).

Главу 4 присвячено побудові сильної та слабкої БГГ-резольвентн узагальнених модулів Верма, та обчисленню формули Вейля у частковому випадку, коли параметр, що задає незвідний модуль для якого проводяться обчислення, має вигляд (/і, ?) = Wniui (А,р), де (А ,р) Є Р++(а), tu і — найдовший елемент групи \Va, awj — найдовший елемент її підгруппи, породженої всіма елементарними відбиттями, крім відбиття, що відповідає кореню а при стандартному ізоморфізмі з класичною групою Вейля.

У §4.1 наводяться деякі відомості з теорії когомологій алгебр Лі. Для А Є 9)' будується комплекс К(0,ф, А, а), який узагальнює відомий комплекс І'((5,ф, А, о) має вигляд:

Д, £ 0, fc Я, & ... ■

де для і ^ 0 через Di позначено (3-модуль

V- ® Д<Р.

иіедч?)

та гомоморфізми dk задаються формулами

к

dk(X © А'і Л Л'2 Л • • • Л Л'*) = ^(-1),+1 Л'А, 0 А] Л • ■ • Л Л", А • • • Л Хк +

1=1

X ® №. -ЭД Л Л', Л • • • А Л', Л • • • Л Xj Л • • • Л хк.

Теорема 5. Комплекс К(©,ф, а, А) е точним.

В §4.2 за допомогою комплекса V((5,43, А, а) будуєтьс’я слабка БГГ-резольвента модуля L(tt,q), для вищеописаних параметрів (¡і, д).

Теорема 7. Нехай (А, р) 6 Г2“ПР++(а) та [fi,q) = ш2и>і(А,р). Тоді для модуля L()i,q) існує точна резольвента l7(/i,q) вигляду

О «- Цц,ч) /Jj 7) <— Dm(n,q) t- П,

иЄ(Н’+)‘

У §4.3 наводиться конструкція сильної БГГ-резольвенти модуля Цц, ¡¡).

Нехай С, = Л/(гг(/і, ?)). Позначимо

матрицю відображення класичної БГГ-резольвенТи6.

Теорема 8. Послідовність І sirt/«,1?), иІ° мас вигляд

о <- Ціt,q) 4- M(ii,q) ‘U’ ф ... £’ M[w2{n,q)) <- 0

e точною.

У §4, грунтуючись на результатах двох попередніх параграфів, отримано формулу Вейля для характеру модуля L(/i, }), їло узагальнює класичну формулу Вейля скін-ченновимірного модуля ([6, теорема 7.5.9]). Основним результатом є

Теорема 10. .

Ch(iOil9)) = e'( £ е'А І y.

\| = -Х) / \u6ll +

Ц* J (¿s J

Як допоміжний результат, обчислено характер узагальненого модуля Верма (лема

35).

м(/і+р і)

6I.N.Benis»teiu, l.M.Gelfand, S.I.CSclfanri. DjHerenlKil operators oa the base affine space and the btudy of (^-modules, iml.M.Gelfand, ed , Pull, of 1(j71 Summer School in Math., Janos Bolyai Math. Soc., Budapest, p 21-0-1

Роботи автора за темою дисертації

[1] В.С.Мазорчук, о-расслоённые модули над алгеброй Ли sl(ti,C), Укр. мат. журн., 1993, т.45, №9, с.1215-1224

[2] Мазорчук B.C. БГТ-резольвента та формула Вейля для узагальнених модулів Верма, Збірник праць студентів та аспірантів Київського університету (природничі науки), Київ-1994, с.36-44

[3] Mazorchuk V.S. On the structure of an ostratified generalized Verma Module over Lie algebra іф), C), Manuscripta Mathematica S8 , 59-73(1995)

Ключові слова: алгебра Лі, модупь Верма, група Вейля, точна послідовність, резольвента, формальний характер.

Мазорчук B.C., Строение обобщенных модулей Верма. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 — алгебра и теория чисел. Киевский университет имени Тараса Шевчеика, Киев, 1996.

В диссертации исследуются строение обобщенных модулей Верма над алгеброй Ли зЦп, С). Построено обобщенную группу Вейля, которая действует на множестве параметров »-расслоенных обобщенных модулей Верма. В терминах действия этой группы получен критерий существования нетривиальных гомоморфизмов между двумя а-расслоенны.ми обобщенными модулями Верма. Получено критерий неприводимости обобщенного модуля Верма. Для некоторого множества параметров построено глабую и сильную ПГГ-резоньв'-пту модуля /.(Л,/')- Получено обобщенную формулу 13. • й л я для характера неприводимого модуля L{\. /.>)■

Mazorchnk V.S., The structure of generalized Verma modules. Manuscript. Thesis of dissertation for obtaining of the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.OS—algebra and number theory. Kiev Taras Shevchenko university, Kyiv, 1996

There are investigated the structure of the generalized Verma modules over the Lie algebra sl(n,C). There were constructed the generalized Weyl group, acting on the set of parameters of the a-stratified generalized Verma modules. A critérium of the existence of non-trivial homomorphisms between given generalized Verma modules was obtained in terms of the action of this group. There was obtained a critera of iireducibility of generalizrd Verma module. For a certain set of parameters weak and strong BGG-resolution of the module L(A,p) was constructed and the generalization of the Weyl characters formula of the module £(A,j>) was obtained.

'Зам. №8-1 Тираж 75 ВГ1Ц “Кшвськии ушверснтет"