Правила ветвления аффинных алгебр Ли и приложения в моделях конформной теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Санкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

¿7

Назаров Антон Андреевич

Правила ветвления аффинных алгебр Ли и приложения в моделях конформной теории

поля

01.04.02 - Теоретическая физика АВТОРЕФЕРАТ

/

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 НОЯ 2012

Санкт-Петербург - 2012

005055297

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор,

Ляховский Владимир Дмитриевич Официальные оппоненты: Кулиш Петр Петрович

доктор физико-математических наук, профессор,

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН, заведующий лаборатории математических проблем физики; Мудрое Андрей Игоревич кандидат физико-математических наук, Университет Лестера (Великобритания), преподаватель Ведущая организация: Объединенный институт ядерных ис-

следований

с - !/уС>

Защита состоится Ь » J е. сс^др-ч- 2012 г. в 'у часов на заседани диссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государ ственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр. В.О., д. 41/43, ауд. 304

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургскогс

государственного университета.

Автореферат разослан «У » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,д.ф.-м.н.

Аксенова Е.В

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Последние тридцать лет конформная теория поля в двух измерениях привлекает большое внимание исследователей. Конформная теория поля используется для описания критического поведения в двумерных статистических системах и обладает большой практической ценностью с се использованием было получено значительное количество результатов и численных предсказаний. Методы двумерной конформной теории поля с успехом применяются также: при изучении эффекта Кондо и дробного квантового эффекта Холла. Благодаря наличию бесконечномерной алгебры симметрии двумерная конформная теория поля может быть сформулирована аксиоматически.

Поиски строгого математического доказательства для предсказаний двумерной конформной теории поля в последние годы привели к большому количеству новых идей и результатов в дискретном комплексном анализе [1].

Теория представлений бесконечномерных алгебр Ли является важным инструментом изучения моделей конформной теории поля. Помимо алгебры Вирасоро, наличие которой обязательно в двумерной конформной теории поля, большую роль играют аффинные; алгебры Ли. Изучение; аффинных алгебр Ли было начате) Виктором Кацем и Робертом Муди в 1900-х годах с попытки обобщения классификации простых конечномерных алгебр Ли на бос-конечномерный случай [2, 3]. Интерес к этим алгебрам был связан с модулярными свойствами характеров их модулей. После возникновения двумерной конформной теории поля были предложены модели Вееса-Зумино-Новикова-Виттена (ВЗНВ), а зятем и совеЪ-модели, п которых теория представлений аффинных алгебр Ли играет определяющую роль.

ВЗНВ-модслям, сонек-моделям и теории представлений аффинных алгебр Ли посвящены тысячи работ. Однако многие проблемы по-прежнему не имеют простых решений. Так, задача вычисления коэффициентов ветвления

3

для представлений алгебр Ли стоит уже многие десятилетия. Она актуальна для физических приложений в cosct-моделях конформной Теории поля. Для вычисления коэффициентов ветвления, в отличие от проблемы нахождения кратноетей весов, не существовало особенно эффективных алгоритмов.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертации впервые решены следующие задачи:

• Получено эффективное рекуррентное; аютношение для коэффициентов ветвления модулей аффинных и конечномерных алгебр Ли на модули не максимальных подалгебр. Алгоритм вычисления коэффициентов ветвления реализован в пакете Affine.m для популярной системы компьютерной алгебры Mathematica.

• Установлена прямая связь инъективного еплинта и ветвлений. Доказано, что при определенных условиях кратности весов вспомогательного модуля иньективного еплинта совпадают с коэффициентами ветвления в редукции на вложенную подалгебру. Наличие расщепления приводит к существенному упрощению при вычислении коэффициентов ветвления.

• Исследовала связь процедуры редукции с обобщенной резольвентой Берн штейна-Гсльфанда-Гельфанда (БГГ). Показано, что разложение сингулярного элемента определяет как коэффициенты ветвления, так и обобщенную БГГ-резольвенту, так как действие веера вложения на компоненты разложения порождает обобщенные модули Верма, которые образуют точную последовательность.

• Построена модель обобщенного стохастического процесса Шрамма-Лёв-нера для систем с калибровочной инвариантностью, соответствующих cosct-моделям конформной теории поля.

Отметим, что пакет Affine.ш может быть использован для решения задач теории представлений конечномерных и аффинных алгебр Ли. возникающих

в различных областях физики, начиная от изучения атомных и молекулярных спектров и заканчивая конформной теорией поля и интегрируемыми системами.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

• Получены новые рекуррентные соотношения на коэффициенты ветвления представлений аффинных алгебр Ли на представления произвольных редуктивных подалгебр, с использованием разложения сингулярных элементов

• Установлено, что разложение сингулярного элемента определяет как коэффициенты ветвления, так и обобщенную БГГ-резольвснту, так как действие веера вложения на компоненты разложения порождает обобщенные модули Верма, которые образуют точную последовательность

• Доказано, что при определенных условиях кратности весов вспомогательного модуля иньективного еплинта совпадают с коэффициентами ветвления в редукции на вложенную подалгебру. Наличие расщепления приводит к существенному упрощению при вычислении коэффициентов ветвления.

• Показано, что условие для мартингала, определяющее классификацию операторов изменения граничных условий в наблюдаемых стохастического процесса Шрамма-Лёвнера. задает ограничения на структуру сингулярных элементов представлений аффинной алгебры Ли, порожденных граничными состояниями. Изучение; структуры сингулярных элементов существенно упрощает поиск операторов смены граничных условий. Построена модель обобщенного стохастического процесса Шрамма-Лёвнера для систем с; калибровочной инвариантностью, соответствующих соне^модслям конформной теории поля и показано, что такое обобщение совместно с сонек-рсализацией минимальных моделей.

• Разработан пакет программ АШпе.т, реализующий различные алго-

ритмы для вычислений в теории представлений конечномерных и аффинных алгебр Ли

Апробация работы Материалы диссертации докладывались на трех международных конференциях, а также; на семинарах кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц СПбГУ, на семинарах в лаборатории имени П.Л. Чебышсва математико-механического факультета СПбГУ, на семинаре лаборатории теоретической физики ОИЯИ (Дубна).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах, из них 5 статей в рецензируемых журналах [А1, А2, АЗ, А4, А5], 5 статей в сборниках тезисов и трудов конференций [Аб, А7, А8, А9, А10|.

Личный вклад автора. Вес; основные результаты и выносимые на защиту положения получены автором самостоятельно. Личный вклад автора в работы с соавтором составляет 50 процетнов. в работы без соавторов 100 процентов.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения и шести глав, содержит 160 страниц и 30 рисунков. Список литературы включает 151 наименование.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные; положения.

Глава 1 носит обзорный характер. В ней приводится аксиоматическая формулировка конформной теории поля, описываются ВЗНВ-модели и соне^ модели. Затем демонстрируется роль аффинных алгебр в описании этих моделей и вводятся основные понятия теории представлений, использующиеся в диссертации. Мы указываем на то, что основные; свойства интегрируемых

модулой старшого веса определяются структурой сингулярного элемента, что выражается в формуле; Вейля-Каца для формальных характеров. Мы обсуждаем конформную теорию поля на области с границей, так как она оказывается связана со стохастическим описанием решеточных моделей.

В главе 2 выводится основное рекуррентное; (»отношение на коэффициенты ветвления. Сначала доказывается лемма о разложении сингулярного элемента. Структура сингулярного элемента определяет свойства модуля алгебры Ли, поэтому разложение определяет правила ветвления и позволяет (^формулировать рекуррентную процедуру редукции. Основные результаты данной главы опубликованы в работе [А1].

Формула Вейля-Каца для формальных характеров интегрируемых модулей старшего веса конечномерных и аффинных алгебр Ли имеет вид сЪУМ =

где фМ сингулярный элемент модуля, а Д = ПаєД+(1 - е"а)ти1'(а) знаменатель Вейля. Здесь Д+ множество положительных корней алгебры, а р вектор Вейля. Сингулярный элемент определяется набором сингулярных весов модуля и имеет разный вид для разных типов модулей старшего веса. Например, Ф^ = ХГюеИ' для неприводимых модулей (ТУ

группа Вейля). Знаменатель Вейля Я является универсальным объектом, характеризующим корневую систему алгебры Ли, а свойства модуля определяются сингулярным элементом.

Процедура редукции состоит в разложении модуля алгебры Лид в сумму модулей некоторой подалгебры а: = ф Ь^Ьиа.

Используя оператор проекции 7Г0 (на весовое пространство перепишем это разложение для формальных характеров:

иЄР?

Нас интересуют коэффициенты ветвления

Для любой алгебры д и подалгебры а С 0 можно построить подалгебру

7

Ох такую, что Лах —

Обозначим через \¥а± подгруппу группы Всйля IV, порожденную отражениями тюр, соответствующими корням /3 6 Д+ . Подсистема Д0х определяет подалгебру е подалгеброй Картана ^0х.

Пусть ^ := {г] € € »7 (Ь) = 0}, тогда имеет место разложе-

ние подалгебры Картана 1) = [}0® ()ах ® ¡)±- Для подалгебр из ортогональной пары (а, а±) рассмотрим соответствующие векторы Всйля ра и ра±, и образуем так называемые "дефекты" вложения Т>а := ра — 7Гар, РЯх := ра± — 7гах/?.

Рассмотрим сингулярные веса {(ги(р, + р) — р) € И^} модуля старшего веса и их проекции на (дополнительно сдвинутые на дефект —Т>а±):

Среди весов {/-1а1 е 1У} выберем находящиеся в главной каморе Всйля

Щ. Множество и := {и € ц^ (и) е Сах} состоит из элементов группы Вейля, переводящих старший все в главную камеру Вейля подалгебры о! (с учетом сдвига на /э и на дефект). Элементы С/ являются представителями классов смежности \¥/\¥а±. Каждому элементу и поставим в соответствие вес ра (и) := 7гао [и{р, + р) — р] + Т>а±. Аналогичным образом определим ц-а (и) := 7га \и{р + р)~ р]+ VaL и /V (и) := тг0х [и{ц +р)-р}+ 2>0х- Мы докрываем следующую лемму о разложении сингулярного элемента: Лемма 1. Пусть (а, а л.) ортогональная пара редуктивпых подалгебр д и а± = йх © Ь±, 5= а® , ^ модуль старшего веса с сингулярным элементом, Ф^ , В.а± .знаменатель Вейля для подалгебры а±. Тогда элемент = тгц М001С11° разложит,ь в сумму по и 6 17 сингулярных весов

еда(и) с коэффициент,ам,и б(«)сНт ^ •'

ф!1)= = р) \-аох/ „с г/

Введем "веер вложения", который необходим для формулировки рекуррентных соотношений:

Определение 1. Рассмотрим произведение

(l _ e-jr«,a-jmult(Q)-mult0(7raa) _ _ s^e~7 (3)

аєД+\Д+_ 7ЄРо

и носитель Фас0 С Ра функции s(7) = det (7) : ФаС0 = {7 Є Pa\s{f) ф 0} Упорядочение корней в Д0 индуцирует естественное упорядочение весов в Ра. Обозначим черга 70 наименьший вектор ФаСв-

Множество Го^0 = {£ — 7о|£ є Фас0І\{О} называется веером влооїсения, Веер вложения универсален и зависит только от вложения a -4- 0 и не зависит от модуля

Введем сингулярные коэффициенты ветвления следующим образом:

kf = bf если

kf = фи)ъ^+ра/)_ра где w Є Wa : + pa) - pa Є Ca.

Теперь можно сформулировать основную теорему, которая позволяет ре-куррентно вычислять коэффициенты ветвления.

Теорема 1. Для сингулярных коэффициентов ветвления к¡¡^ выполняется соотношение

к? = (Enet/e(w) dim (¿~±(U))

+ Е7ЄГм^(7 + 7о )к&).

Далее мы анализируем пары (а, ах) Для простых алгебр Ли. Оказывается, что для "ортогональной пары" (о, йх), вообще; говоря, a © ax 't- 0. В частности, для серии простых конечномерных алгебр В„ существуют "ортогональные пары" подалгебр Вп-ь)-

На основании рекуррентного соотношения (4) сформулирован алгоритм вычисления коэффициентов ветвления. Остальные разделы главы 2 содержат

примеры вычислений с: использованием предложенного алгоритма, а также

9

описание роли функций ветвления в формулировке конформной теории поля на торе и в сояой-модслях конформной теории поля.

В главе 3 мы используем разложение сингулярного элемента, чтобы показать связь ветвления с (обобщенной) БГГ-резольвентой. Данные; результаты опубликованы в работах [А2, А7].

Для полупростой конечномерной алгебры 0 и полупростой конечномерной подалгебры а алгебра а± является регулярной. Отношение знаменателей Вейля порождает параболические; модули Верма. Сингулярный элемент Ф^. может быть разложен в сумму по и € V сингулярных элементов с

коэффициентами е(и)еД2!^:

Мы доказываем следующее утверждение, демонстрирующее!, что разложение! сингулярного элемента связано с разложением характера неприводимого модуля в комбинацию характеров обобщенных модулей Верма Утверждение 1. Для ортогональной подалгебры Ях о 0 (являющейся ортогональным партнером редуктивной подалгебры а д) характер интегрируемого модуля старшего веса Ь^ мооїсет быть представлен в виде комбинации (с целочисленными коэффициентами) характеров параболических модулей Берма, распределенных по мноокеству весов (и) :

где и := {?« € (и) € <?„_,_} и I такое подмножество в 5, что Д|

.эквивалент,но .

Связь редукции и (обобщенной) резольвенты БГГ дается следующим утверждением:

Утверждение 2. Пусть д-.модуль со старт,им весом ц € Р+, и пусть регулярная подалгебра ах 0 является ортогональным, партнером редук-

(5)

(6)

иеи

тивной подалгебры Я <-» 0. Тогда разложение (5) определяет как обобщенную резольвенту IУ по от,ношению, к сц, так и правила ветвления Ь* по от,ношению к а±, так и правила ветвления Ь^ по отношению к а .

Глава 4 посвящена сплинтам расщеплением корневой системы алгебры и в объединение образов корневых систем двух алгебр, не; обязательно являющихся подалгебрами данной алгебры. Если одна из алгебр является подалгеброй, то сплинт приводит к резкому упрощению в вычислении коэффициентов ветвления они совпадают с кратностями весов в модуле; другой алгебры.

сновная часть главы посвящена доказательству этого факта. Кроме; того, ;плинт корневой системы прсзстой конечномерной алгебры Ли приводит к вш-шкновению новых соотношений на струнные; функции и функции ветвления оответствующего аффинне)го расширения. Эти соотношения обсуждаются в азделе 4.4. Данные; результаты опубликованы в статьях [АЗ, А10]. Определение 2. Пусть Д0 и Д корневые системы с е:еютве;те:твующими боковыми решетками Р0 и Р. Отображение ф : {Д0 м- Д, Р0 <-)• Р} называется ложением", е;е;ли ф вкладывает Д0 в Д и действует гомоморфно по отноше-[ию к группам сложения векторов в Р0 и Р: ф(7) = ф(а) + ф(/3) для любой ■ройки а, /3, 7 Є Р0, такой, что 7 = а + /3.

Вложение ф индуцирует вложение формальных алгебр: £0 £ и для об-іаза Єі = Іш,р (£0) можно рассмотреть обратное отображение ф"1 : —► ужне) различать два класса вложений: "метрические", если скалярное; произведение (заданное фе>рме>й Киллинга) в ке)рне;ве>м пространство Р0 инвари-нтно по отношению к ф и "неметрические", если оно не; «¿-инвариантно.

Будем говорить, что корневая система Д "расщепляется" на (ДЬД2), :ли существует два вложения фх : Аг ^ Д и ф2 : Д2 <-> Д. где (а) Д несвязное объединение образов <¿1 и ф2, и (Ь) ни ранг Дь ни ранг Д2 не эевоеходит ранга Д. Можно сказать, что (Дъ Д2) "сплинт" (расщепленис:) и мы можем обозначить его через Д « (Дь Д2). Каждая из компонент Ді

11

и Д2 называется "стеблем" сплинта (Ді, Аг)-

Покажем связь веера вложения и "инъоктивного" сплинта, когда один из стеблей Ді - Д„ является подсистемой корневой системы, соответствующей регулярной редуктивной подалгебре а0. В »том случае знаменатель Всйля, соотвествующий второму стебелю Д5 : = Д2 = А\Д„, может быть переписан в виде произведения (аналогично формуле (3)) и определяет веер вложения Гв^в. Обозначим через Дя0 кообраз второго вложения ф : Аг0 Да. Верно следующее утверждение.

Утверждение 3. Каждый иппсктивный сплиит, Д да (Да, Аз) определяет, веер вложения с носителем подающимся произведением

В случае инъежтивного сплинта можно сказать, что подалгебра а 0 расщепляет Д. Сплинты были классифицированы в работе [41 (см. Приложение в конце главы) и первые три класса сплинтов в этой классификации инъективны. Если выполнено техническое; требование на структуру сингулярного элемента, то верно следующее свойство:

Свойство 1. Любой вес с ненулевой кратностью, входящий в правую част равенства:

__ = £ М^-М-П = £

равен одном,у из старших весов в разлооюении. Кратность веса V € ТУГ

определяет, коэффициент ветвленияЪдля старшего веслу = (м - ф(р - I

Заключительная глава 5 посвящена практическим приложениям резул

татов диссертации. В разделе 5.1 мы применением алгебраические методы I

проблеме поиска соответствия между квантовополевым и решеточным опис*

нисм критического поведения. Результаты опубликованы в работах [А4, АС

12

Стохастический процесс, удовлетворяющий уравнению =

ді '

называется эволюцией Шралша-Лввперо, (ЭЬЕ) на верхней полуплоскости И. Здесь & Броуновское движение, к параметр процесса. Динамика конца гг критической кривой (конец следа эволюции Шрамма-Левнера) описывается уравнением = д^(^). Нам удобнее использовать отображение

М*) = -

Мы обобщаем анализ соответствия между эволюцией Шрамма-Левнера конформной теорией поля на случай сойсі-модслєй. Такие модели задаются лгеброй Ли 0 и ее подалгеброй а.-(?/Л-сонск модель конформной теории оля может быть реализована, как ВЗНВ-модель (с калибровочной группой ), взаимодействующая с чисто калибровочными полями, с калибровочной группой А С О. Действие записывается через поля 7 : С -» <3 и а, а : С Л:

8тг +2

І^2

/ дуі1 ду\

<Рг (К(а, у~1ду) - К(а, +Ца, 7"1й7) - К{а, а))

■ (7)

1ерез К. обозначена форма Киллинга в алгебре Лид, соответствующей группе 7и О. После фиксации Л-калибровки останется й/А калибровочная инвариантность. Поэтому надо добавить случайные калибровочные преобразования : эволюции Шрамма-Левнера. Обозначим через {Щ) генераторы представ-:ения алгебры д (соответственно, представления а), соответствующего при-гарному полю щ.

Рассмотрим наблюдаемые в присутствии следа эволюции Шрамма-Лев-ера. Математическое ожидание решеточной наблюдаемой О на верхней по-уплоекости можно вычислить как сумму ожиданий этой наблюдаемой в присутствии (конечной части) траектории эволюции Шрамма-Левнера7( вплоть

до некоторого времени £, умноженных на вероятность этой траектории:

-<; О >-н— Е[-< О ь»] = -< О уъ

ъ

Решеточная наблюдаемая -< О Уп не зависит от І, следовательно -С О

мартингал. Это должно выполняться и для ее непрерывного предела, даю щегося комбинацией корреляционных функций в конформной теории поля

х О н*-* л {*»* = Мы ^-"м, ЧТО г <™жит

некоторый набор примарных полей ц>і с конформными весами К Так как м рассматриваем конформную теорию с границей, необходимо добавить объе ные поля в сопряженных точках Операторы смены граничного условия 4 находятся на конце следа эволюции Шрамма-Левнера и на бесконечности.

Исследуем, что происходит с: наблюдаемыми при эволюции следа БЫ 7( с: момента Ь до і + М. Пусть & генераторы инфинитезимальных прсоС разований примарных полей с^МЫ = втЫ- Нормируем дополнитесь ное (сііт0)-мерное Броуновское движение следующим образом: Е [сЮа <ШЪ] = Генератор преобразования поля равен £ = - у^б) д«ч /V , „ . Мы фиксировали А-калибровку, разрешив случа*

нос: блуждание только в направлении, ортогональном подалгебре о.

Формула Ито дает выражение для дифференциала ЛI, который равняй е:я нулю в силу условия мартингала. Это равенство можно переписать в ви^ дифференциального уравнения на корреляционные функции, эквивалентно алгебраическому условию на граничное состояние ф(0) |0).

(/сИтд шш и \ \

-2Ь_2 + ^ + \т Л^ - £ ^ ] ) • *<0>1° >

является нулевым состоянием, то есть соответствуют сингулярному весу представлении алгебры Вирасоро. Действуя повышающими операторами получаем соотношения, связывающие параметры стохастического процесса

14

сііт о

œset-модели конформной тгарии поля:

(Зк - 8)h(п ¡л — с + r(fcdimg - хек dim а) = О

(9)

-12hM + 2nhM (2hM + 1) + r(CM - Cv) = 0,

здесь С^ = + 2p) и CV = (v, и + 2pa) собственные значения квадратич-ых операторов Казимира " Еь^ алгебр Ли g и а. Из уравнения

(9) мы сразу получаем значения к, т для каждой пары весов {ц, у) алгебр g а. Для cosct-реализаций минимальных и параформионных моделей эти результаты совпадают со значениями, полученными в работе [5] путем введения стохастического процесса с дискретным случайным блужданием.

Остальная часть главы представляет собой описание; пакета Affine.m, предназначенного для вычислений в теории представлений аффинных и конечномерных алгебр Ли и реализующего предложенные в диссертации методы. Вычислительным методам посвящены работы [А5, А9, А81. Список публикаций

[Al] V. Lyakhovsky, A. Nazarov. Recursive algorithm and branching for nonmaximal ombeddingH // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 2011. Vol. 44, no. 7. P. 075205(20).

[A2] В.Д. Ляховский, А. Назаров. Рекуррентные свойства ветвления и резольвента Бернштейна Гельфанда Гельфанда // Теоретическая и ■математическая физика, 2011. Том 1G9, вып. 2. Стр. 218 228. [А31 V. Lyakhovsky, A. Nazarov. Fan, splint and branching rules // Записки

научных семинаров ПОМИ. 2012. Том 398. Стр. 162 178. [A4] A. Nazarov. SLE martingales in coset conformai field theory // Письма в

ЖЭТФ 2012. Том 90, вып. 2. Стр. 93 9G. А5] A. Nazarov. Affine.m - Mathematical package for computations in representation theory of finite-dimensional and affine; Lie; algebras // Computer Physics Communications. 2012. Veil. 183. Pp. 2480 2493.

15

[А6І A. Nazarov. Algcbraic properties of CFT coset construction and Schramm-Locwner evolution // Journal of Physics: Conference Series. 2012. Vol. 343, no. 1. P. 012085(10).

[A7j V. Lyakhovsky, A. Nazarov. Branching functions generated by the in.jectio fan for Lie algebras. (The; role of BGG-resolvent) // Models in Quantum Field Theory /SPbSU. 2010. P. 12

[А8І А.А. Назаров. Сравнение эффективности алгоритмов построена представлений алгебр Ли // Физика и прогресс / СПбГУ. 2008. Стр. 71 76.

[А9І A. Nazarov. Computational tools for representation theory of affine Lii algebras // Second Workshop on Advanced Computer Simulation Method for Junior scientists / EIMI. ACSM. 2009. P. 4

[AM] V. Laykhovsky, A. Nazarov. On affine extension of splint root, systems /, Physics of Particles and. Nuclei. 2012. Vol. 43, no. 5. Pp. 676 678.

Цитированная литература

[1] S. Smirnov. Critical percolation in the plane: Conformai invariance;, Cardy formula, scaling limits // Comptes Rendus de Г Académie des Sciences-S cric I-Mathematics. 2001. Vol. 333, no. 3. Pp. 239 244.

[2] V.G. Кас. Simple irreducible grade.d Lie algebras of finite growth // Math, matics of the USSR-Izvestiya. 1968. Vol. 2. P. 1271.

[31 R.V. Moody. A new class of Lie algebras // Journal of algebra. 1968. Vol. 10, no. 2. Pp. 211 230.

[4] David Riehter. Splints of classical root, systems // Journal of Geometry. 2012. Vol. 103. Pp. 103 117.

[51 R. Santachiara. SLE in self-dual critical Z (N) spin systems: CFT prod tions // Nuclear Physics D. 2008. Vol. 793, no. 3. Pp. 396 424.

1G

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 19.10.12 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л.1. Тираж 90 экз., Заказ № 1629. 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Введение

Глава 1. Конформная теория поля и аффинные алгебры Ли

1.1. Аксиоматическая формулировка конформной теории поля

1.2. Конформная теория поля на торе

1.3. Конформная теория поля на области с границей

1.4. Аффинные алгебры Ли в моделях Весса-Зумино-Новикова-Вит-тена

1.5. Собє^модєли конформной теории поля

Актуальность работы

Последние тридцать лет конформная теория поля в двух измерениях привлекает большое внимание исследователей. Эта теория используется для описания критического поведения в двумерных статистических системах. Благодаря наличию бесконечномерной алгебры симметрии двумерная конформная теория поля может быть сформулирована аксиоматически. Помимо математической красоты теория обладает огромной практической ценностью с ее использованием было получено большое количество результатов и численных предсказаний в изучении критического поведения в двумерных системах [1, 2]. Методы двумерной конформной теории поля с успехом применяются также при изучении эффекта Кондо [3, 4] и дробного квантового эффекта Холла [5].

Поиски строгого математического доказательства для предсказаний двумерной конформной теории поля [6] в последние годы привели к большому количеству новых идей и результатов в дискретном комплексном анализе [7-9].

Теория представлений бесконечномерных алгебр Ли является важным инструментом изучения моделей конформной теории поля. Помимо алгебры Вирасоро, наличие которой обязательно в двумерной конформной теории поля, большую роль играют аффинные алгебры Ли. Изучение аффинных алгебр Ли было начато Виктором Кацем и Робертом Муди в 1960-х годах с попытки обобщения классификации простых конечномерных алгебр Ли на бесконечномерный случай [10, 11]. Первоначально интерес к этим алгебрам был связан с модулярными свойствами характеров их модулей [12, 13]. После возникновения двумерной конформной теории поля были предложены модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена [14], а затем и соэе^модели [15], в которых теория представлений аффинных алгебр Ли играет определяющую роль.

Моделям Весса-Зумино-Новикова-Виттепа, cosct-моделям и теории представлений аффинных алгебр Ли посвящены тысячи работ. Однако многие проблемы по-прежнему не имеют простых решений. Например, задача вычисления коэффициентов ветвления для представлений алгебр Ли стоит уже многие десятилетия. Она актуальна для различных физических приложений в coset-модолях конформной теории поля. При этом, в отличие от проблемы вычисления кратностей весов, для вычисления коэффициентов ветвления не существовало особенно эффективных алгоритмов.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертации впервые решены следующие задачи:

• Получено эффективное рекуррентное соотношение для коэффициентов ветвления модулей аффинных и конечномерных алгебр Ли на модули не максимальных подалгебр. Алгоритм вычисления коэффициентов ветвления реализован в пакете Affine.m для популярпой системы компьютерной алгебры Mathematica.

• Установлена прямая связь инъективного сплинта и ветвлений. Доказано, что при определенных условиях кратности весов вспомогательного модуля иньективного сплинта совпадают с коэффициентами ветвления в редукции на вложенную подалгебру. Наличие расщепления приводит к существенному упрощению при вычислении коэффициентов ветвления.

• Исследована связь процедуры редукции с обобщенной резольвентой Берн-штейна- Гельфанда-Гельфанда (БГГ). Показано, что разложение сингулярного элемента определяет как коэффициенты ветвления, так и обобщснную БГГ-резольвенту, так как действие веера вложения на компоненты разложения порождает обобщенные модули Верма, которые образуют точную последовательность.

• Построена модель обобщенного стохастического процесса Щрамма-Лёв-нера для систем с калибровочной инвариантностью, соответствующих eoset-модслям конформной теории поля.

Отметим, что пакет Affine.m может быть использован для решения задач теории представлений конечномерных и аффинных алгебр Ли, возникающих в различных областях физики, начиная от изучения атомных и молекулярных спектров и заканчивая конформной теорией поля и интегрируемыми системами.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

• Получены новые рекуррентные соотношения на коэффициенты ветвления представлений аффинных алгебр Ли на представления произвольных редуктивных подалгебр, с использованием разложения сингулярных элементов

• Установлено, что разложение сингулярного элемента определяет как коэффициенты ветвления, так и обобщенную БГГ-резольвенту, так как действие веера вложения на компоненты разложения порождает обобщенные модули Верма, которые образуют точную последовательность

• Доказано, что при определенных условиях кратности весов вспомогательного модуля иньективного сплинта совпадают с коэффициентами ветвления в редукции на вложенную подалгебру. Наличие расщепления приводит к существенному упрощению при вычислении коэффициентов ветвления.

• Показано, что условие для мартингала, определяющее классификацию операторов изменения граничных условий в наблюдаемых стохастического процесса Шрамма-Лёвнера, задает ограничения па структуру сингулярных элементов представлений аффинной алгебры Ли, порожденных граничными состояниями. Изучение структуры сингулярных элементов существенно упрощает поиск операторов смены граничных условий. Построена модель обобщенного стохастического процесса Шрамма-Лёвнера для систем с калибровочной инвариантностью, соответствующих coset-модвлям конформной теории поля и показано, что такое обобщение совместно с coset-реализацией минимальных моделей.

• Разработан пакет программ Affine.m, реализующий различные алгоритмы для вычислений в теории представлений конечномерных и аффинных алгебр Ли

Апробация работы Материалы диссертации докладывались на трех международных конференциях, а также на семинарах кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц СПбГУ, на семинарах в лаборатории имени П.Л. Чебышева математико-механического факультета СПбГУ, на семинаре лаборатории теоретической физики ОИЯИ (Дубна).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах, из них 5 статей в рецензируемых журналах [16-20], 5 статей в сборниках тезисов и трудов конференций [21-25].

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения и пяти глав, содержит 160 страниц и 30 рисунков. Список литературы включает 151 наименование.

Заключение

В данной диссертации были решены следующие задачи, возникающие в конформной теории поля и при изучении критических явлений.

Во-первых, мы рассмотрели проблему разложения модуля аффинной алгебры Ли в прямую сумму модулей редуктивной подалгебры. Данная задача возникает в конформной теории поля при построении модулярно-инвариаит-пых статсумм в ВЗНВ-моделях методом конформных вложений и статсумм в соэе^моделях рациональной конформной теории поля. Мы показали, что техника веера вложения может использоваться для работы с произвольными редуктивиыми подалгебрами, как максимальными, так и не максимальными. Использование данной техники и разложение сингулярного элемента позволили нам вывести рекуррентные соотношения на коэффициенты ветвления, которые можно решать последовательно. Эти соотношения позволяют эффективно вычислять коэффициенты ветвления, что было продемонстрировано иа различных примерах.

Во-вторых мы исследовали связь ветвления и обобщенной резольвенты Бернштейна-Гельфапда-Гельфанда. Мы показали, что действие веера вложения на компоненты разложения сингулярного элемента порождает обобщенные модули Верма. Эти модули образуют точную последовательность обобщенной резольвенты Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда. Характер исходного неприводимого модуля выражается через характеры обобщенных модулей Верма посредством формулы Вейля-Верма. Коэффициенты в этой формуле равняются коэффициентам разложения сингулярного элемента. Таким образом, разложение сингулярного элемента определяет как коэффициенты ветвления, так и обобщенную резольвенту Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда. Кроме того, мы показали, что в случае когда ортогональный партнер подалгебры является алгеброй Л\, коэффициенты ветвления определяют обобщенную резольвенту Бернштсйпа-Гельфапда-Гельфанда.

Также нами была установлена связь инъективного сплипта и ветвлений. Для сплинта ф : Д+ и А^ —> доказано, что при условии включения образа ф(Фд^) сингулярного элемента вспомогательного модуля алгебры 5 в главную камеру Вейля Са подалгебры а кратность веса вспомогательного модуля определяет коэффициент ветвления Ь„1\ Это свойство сплинта представляет очень эффективный инструмент для вычисления коэффициентов ветвления, так как определение правил ветвления модулей старшего веса сводится к вычислению кратпостей весов для модуля с теми же индексами Дынкина алгебры Ли 5. В этом случае для вычислений коэффициентов ветвления можно применять не только общий алгоритм (раздел ), но и формулу Фрейденталя, позволяющую быстро вычислять кратности весов. Для вложений Иг Вг , Д- ^ Сг и Лг-1 ф и (1) М- Лг существование сплинта ведет к появлению правил ветвления Гельфанда-Цейтлина: редукция свободна от множественности (все ненулевые коэффициенты ветвления равны 1). Кроме того, мы продемонстрировали, что сплинт для аффинных алгебр Ли ведет к новым соотношениям па тета-функции и функции ветвления для редукции на модули конечномерных подалгебр.

Наконец, мы исследовали классификацию операторов изменения граничных условий в моделях Весса-Зумино-Новикова-Виттена, соответствующих стохастическим моделям с эволюцией Шрамма-Левнера с дополнительным блужданием на группе Ли Было показано, что условие для мартингала, определяющее классификацию операторов изменения граничных условий, задает ограничения на структуру сингулярных элементов представлений аффинной алгебры Ли, порожденных граничными состояниями. Изучение структуры сингулярных элементов существенно упрощает поиск операторов смены граничных условий, так как отсекается большое количество лишних вариантов. Далее мы обобщили эволюцию Шрамма-Левнера путем введения дополнительного случайного блуждания па факторпространстве G/A и показали, что такое обобщение эволюции Шрамма-Левиера совместно с coset-реализацией минимальных моделей конформной теории поля.

Полученные рекуррентные соотношения на коэффициенты ветвления и свойства сплинта были нами использованы при реализации пакета программ Affine.m для вычислений в теории представлений конечномерных и аффинных алгебр Ли. Этот пакет он может использоваться для изучения групп Вейля, корневых систем, неприводимых модулей, модулей Верма и параболических модулей Верма конечномерных и аффинных алгебр Ли. Большое число иллюстраций и вычислений в данной работе выполнены с использованием пакета Affine.т. Однако применения пакета не ограничиваются задачами, возникающими в конформной теории поля, он может быть полезен и при изучении интегрируемых систем, исследовании атомных и молекулярных спектров и в других областях физики, где используется теория представлений конечномерных и аффинных алгебр Ли.

Теоретические идеи и методы данной работы могут быть в дальнейшем использованы при изучении представлений более широкого класса алгебр -расширенных алгебр Каца-Муди. Кроме того, в теории критического поведения большой интерес вызывает задача описания нарушения конформной инвариантности при выходе из критической точки. При этом возникают квантовые теории поля типа аффинной теории Тоды, в которых алгебраическая структура частично сохраняется и теория представлений аффинных алгебр Ли остается важным инструментом. Кроме того, может быть расширена и область применения пакета Affine.m, в частности, планируется улучшение интерфейса и непосредственная поддержка вычисления коэффициентов разложения тензорных произведений представлений на неприводимые.

1. P. Di Francesco, P. Mathieu, D. Senechal Conformai field theory. — Springer, 1997.

2. M. Henkel. Conformai invariance and critical phenomena. — Springer Verlag, 1999.

3. G. Moore, N. Read. Nonabelions in the fractional quantum Hall effect // Nuclear Physics B. 1991. - Vol. 360, no. 2. - Pp. 362-396.

4. J.L. Cardy. Critical percolation in finite geometries // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1992. - Vol. 25. - P. L201.

5. S. Smirnov. Critical percolation in the plane: Conformai invariance, Cardy's formula, scaling limits // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics. 2001. - Vol. 333, no. 3. - Pp. 239-244.

6. H. Duminil-Copin, S. Smirnov. Conformai invariance of lattice models // Arxiv preprint arXiv:1109.1549. — 2011.

7. S. Smirnov. Discrete complex analysis and probability // Arxiv preprint arXiv:1009.6077. 2010.

8. V. G. Кас. Simple irreducible graded Lie algebras of finite growth // Mathematics of the USSR-Izvestiya. 1968. - Vol. 2. - P. 1271.

9. R.V. Moody. A new class of Lie algebras // Journal of algebra. — 1968.— Vol. 10, no. 2,- Pp. 211-230.

10. V.G. Кас, D.H. Peterson. Infinite-dimensional Lie algebras, theta functions and modular forms // Adv. in Math.— 1984.-- Vol. 53, no. 2.— Pp. 125-264.

11. I. G. Macdonald. Affine root systems and Dedekind's^-function // Inventions Mathematicae. 1971. - Vol. 15, no. 2,— Pp. 91-143.

12. E. Witten. Non-abelian bosonization in two dimensions // Communications in Mathematical Physics. — 1984. — Vol. 92, no. 4. — Pp. 455-472.

13. P. Goddard, A. Kent, D. Olive. Virasoro algebras and coset space models // Physics Letters B. 1985. - Vol. 152, no. 1-2. - Pp. 88 - 92.

14. V. Lyakhovsky, A. Nazarov. Recursive algorithm and branching for nonmaximal embeddings // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. —2011. Vol. 44, no. 7. - P. 075205(20).

15. А. Назаров В.Д. Ляховский. Рекуррентные свойства ветвления и резольвента Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда // Теоретическая и математическая физика. — 2011. — Vol. 169, по. 2. — Pp. 218-228.

16. V. Laykhovsky, A. Nazarov. Fan, splint and branching rules // Zapiski Nauchnykh Seminarov РОМІ. 2012. - Vol. 398. - Pp. 162-179.

17. A. Nazarov. SLE martingales in coset conformal field theory // JETP lett. —2012. Vol. 96, no. 2. - Pp. 93-96.

18. A. Nazarov. Affine.m Mathematica package for computations in representation theory of finite-dimensional and affine Lie algebras // Computer Physics Communications. - 2012. — Vol. 183. - Pp. 2480-2493.

19. A. Nazarov. Algebraic properties of CFT coset construction and Schram-m-Loewner evolution // Journal of Physics: Conference Series.-— 2012,— Vol. 343, no. 1.— P. 012085(10). http://stacks.iop.org/1742-6596/ 343/i=l/a=012085.

20. V. Lyakhovsky, A. Nazarov. Branching functions generated by the injection fan for Lie algebras. (The role of BGG-resolvent) // Models in Quantum Field Theory / SPbSU. 2010. - P. 12. http: //hep. niif. spbu. ru/conf / mktp2010/.

21. А.А. Назаров. Сравнение эффективности алгоритмов построения представлений алгебр Ли // Физика и прогресс / СПбГУ. — Физика и прогресс. 2008. - Pp. 71-76.

22. A. Nazarov. Computational tools for representation theory of affine Lie algebras // second Workshop on Advanced Computer Simulation Methods for Junior scientists / EIMI. ACSM. - 2009. - P. 4.

23. V. Laykhovsky, A. Nazarov. On affine extension of splint root systems // Physics of Particles and Nuclei. 2012. - Vol. 43, no. 5. - Pp. 676-678.

24. J. Lepowsky. A generalization of the Bernstein-Gelfand-Gelfand resolution // J. Algebra.- 1977. Vol. 49, no. 2,- Pp. 496-511.

25. J. Bernstein, I.M. Gel'fand, S.I. GeVfand. Category of g-modules // Funk-tsionaVnyi Analiz і ego prilozheniya. — 1976. — Vol. 10, no. 2. — Pp. 1-8.

26. Alexander M. Polyakov. Conformal symmetry of critical fluctuations // JETP Lett. 1970. - Vol. 12. - Pp. 381-383.

27. AA Belavin, AM Polyakov, AB Zamolodchikov. Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory // Nuclear Physics. — 1984. — Vol. 241.-Pp. 333-380.

28. G. Moore, N. Seiberg. Taming the conformal zoo // Physics Letters B.— 1989. Vol. 220, no. 3. - Pp. 422-430.

29. O. Schramm. Scaling limits of loop-erased random walks and uniform spanning trees // Israel Journal of Mathematics. — 2000.— Vol. 118, no. 1.— Pp. 221-288.

30. M. Bauer, D. Bernard. SLE kappa] growth processes and conformal field theories // Physics Letters B. 2002. - Vol. 543, no. 1-2,- Pp. 135-138.

31. M. Bauer, D. Bernard. Conformal field theories of stochastic Loewner evolutions // Communications in mathematical physics. — 2003. — Vol. 239, no. 3,- Pp. 493-521.

32. M. Bauer, D. Bernard. SLE martingales and the Virasoro algebra // Physics Letters B. 2003. - Vol. 557, no. 3-4. - Pp. 309-316.

33. M. Bauer, D. Bernard. CFTs of SLEs: the radial case // Physics Letters B. 2004. - Vol. 583, no. 3-4. - Pp. 324-330.

34. M. Bauer, D. Bernard. SLE, CFT and zig-zag probabilities // Arxiv preprint math-ph/0401019. — 2004.

35. M. Bauer, D. Bernard. Conformal transformations and the SLE partition function martingale // Annales Henri Poincare / Springer.— Vol. 5.— 2004. Pp. 289-326.

36. G. Felder, J. Fröhlich, G. Keller. On the structure of unitary conformai field theory. I. Existence of conformai blocks // Communications in mathematical physics. 1989. - Vol. 124, no. 3. - Pp. 417-463.

37. M. Schottenloher. A mathematical introduction to conformai field theory. — Springer Verlag, 2008.

38. G. Segal. The definition of conformai field theory // Differential geometrical methods in theoretical physics (Como, 1987).— 1987.— Vol. 250.— Pp. 165-171.

39. V. G. Kac. Vertex algebras for beginners: Victor Kac. — Amer Mathematical Society, 1998. Vol. 10.

40. G. Moore, N. Seiberg. Classical and quantum conformai field theory // Communications in Mathematical Physics. — 1989. — Vol. 123, no. 2. — Pp. 177-254.

41. A.B. Zamolodchikov. Conformai scalar field on the hyperelliptic curve and critical Ashkin-Teller multipoint correlation functions // Nuclear Physics B. 1987. - Vol. 285. - Pp. 481-503.

42. J.L. Cardy. Conformai invariance and surface critical behavior // Nuclear Physics B. 1984. - Vol. 240, no. 4. - Pp. 514- 532.

43. J.L. Cardy. Boundary conditions, fusion rules and the Verlinde formula // Nuclear Physics B. 1989. - Vol. 324, no. 3. - Pp. 581-596.

44. J.L. Cardy. Effect of boundary conditions on the operator content of two-dimensional conformally invariant theories // Nuclear Physics B. — 1986. — Vol. 275, no. 2,- Pp. 200-218.

45. K. Gawedzki. Boundary wzw, g/h, g/g and cs theories // Annales Henri Poincare / Springer. Vol. 3. - 2002. - Pp. 847-881.

46. H. Ishikawa, T. Tani. Novel construction of boundary states in coset con-formal field theories // Nuclear Physics B. — 2003. — Vol. 649, no. 1-2. — Pp. 205-242.

47. J. Fuchs, A. Wurtz. On the geometry of coset branes // Nuclear Physics B. 2005. - Vol. 724, no. 3. - Pp. 503-528.

48. S. Fredenhagen, V. Schomerus. D-branes in coset models // Journal of High Energy Physics. 2002. - Vol. 2002. - P. 005.

49. S. Elitzur, G. Sarkissia,n. D-branes on a gauged WZW model // Nuclear Physics B. 2002. - Vol. 625, no. 1-2. - Pp. 166-178.

50. G. Felder, J. Fröhlich, J. Fuchs, C. Schweigert. The geometry of WZW branes // Arxiv preprint hep-th/9909030. — 1999.

51. A.Y. Alekseev, V. Schomerus. D-branes in the WZW model // Physical Review D. 1999. - Vol. 60, no. 6. - P. 061901.

52. C. Mercat, P.A. Pearce. Integrable and conformal boundary conditions for k parafermions on a cylinder // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2001. - Vol. 34. - P. 5751.

53. Mark Walton. Affine Kac-Moody algebras and the Wess-Zumino-Witten model. 1999.

54. J.E. Humphreys. Introduction to Lie algebras and representation theory. — Springer, 1997.

55. J.E. Humphreys. Reflection groups and Coxeter groups. — Cambridge Univ Pr, 1992.

56. D.B. Fuks, I. Gelfand, A.B. Sosinskij. Cohomology of infinite-dimensional Lie algebras. — Consultants bureau, 1986.

57. Д.Б. Фукс. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. — Наука, Глав, ред. физико-математической лит-ры, Москва, 1984.

58. Б.Л. Фейгин, Д.Б. Фукс. Когомологии групп и алгебр Ли // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». — 1988. — Т. 21, № 0.— С. 121-209.

59. V. G. Кас. Infinite dimensional Lie algebras. — Cambridge University Press, 1990.

60. M. Wakimoto. Infinite-dimensional Lie algebras. — American Mathematical Society, 2001.

61. M. Wakimoto. Lectures on infinite-dimensional Lie algebra. — World scientific, 2001.

62. S. Kass, RV Moody, J. Patera, R. Slansky. Affine Lie algebras, weight multiplicities, and branching rules. — SI, 1990.

63. W. Fulton, J. Harris. Representation theory: a first course. — Springer Verlag, 1991,- Vol. 129.

64. N. Bourbaki. Lie groups and Lie algebras. — Springer Verlag, 2002.

65. I.E. Humphreys. Representations of semisimple Lie algebras in the BGG category 0. — Amer Mathematical Society, 2008.

66. R. Carter. Lie algebras of finite and affine type. — Cambridge University Press, 2005.

67. IN Bernstein, IM GeVfand, SI Gel'fand. Structure of representations generated by vectors of highest weight // Functional Analysis and Its Applications. 1971. - Vol. 5, no. 1. - Pp. 1-8.

68. M. Win, P.P. Kulish, V.D. Lyakhovsky. Folded fans and string functions // Zapiski Nauchnykh Seminarov POMI. 2010. - Vol. 374. - Pp. 197-212.

69. P. Kulish, V. Lyakhovsky. String Functions for Affine Lie Algebras Integrable Modules // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. — Vol. 4.

70. T. Gannon. The Classification of SU(3) Modular Invariants Revisited. — 1994.

71. T. Gannon. Towards a classification of su(2)+.+ su(2) modular invariant partition functions // Journal of Mathematical Physics. — 1995. — Vol. 36. Pp. 675-706.

72. AN Schellekens, NP Warner. Conformal subalgebras of Kac-Moody algebras // Physical Review D. 1986. - Vol. 34, no. 10. - Pp. 3092-3096.

73. D. Altschuler, M. Bauer, C. Itzykson. The branching rules of conformal embeddings // Communications in Mathematical Physics. — 1990. — Vol. 132, no. 2. Pp. 349-364.

74. VG Kac, M. Wakimoto. Modular and conformal invariance constraints inrepresentation theory of affine algebras // Advances in mathematics (New York, NY. 1965). 1988. - Vol. 70, no. 2. - Pp. 156-236.

75. M.A. Walton. Conformal branching rules and modular invariants // Nuclear Physics B. 1989. - Vol. 322. - Pp. 775-790.

76. R. Coquereaux, G. Schieber. From conformal embeddings to quantum symmetries: an exceptional SU (4) example // Journal of Physics: Conference Series / Institute of Physics Publishing. Vol. 103. - 2008. - P. 012006.

77. A. Gawdzki et al. G/H conformal field theory from gauged WZW model // Physics Letters B. 1988. - Vol. 215, no. 1. - Pp. 119-123.

78. A.N. Schellekens, S. Yankielowicz. Field identification fixed points in the coset construction // Nuclear Physics B. — 1990.— Vol. 334, no. 1.— Pp. 67-102.

79. I.I. Kogan, A. Lewis, O.A. Soloviev. Knizhnik-Zamolodchikov-type equations for gauged WZNW models // Arxiv preprint hep-th/9703028. — 1997.

80. IN Bernstein, M. Gelfand, SI Gelfand. Differential operators on the base affine space and a study of 7-modules, Lie groups and their representations // Summer school of Bolyai Janos Math.Soc. — Halsted Press, NY, 1975.

81. B. Fauser, P.D. Jarvis, R.C. King, B.G. Wybourne. New branching rules induced by plethysm // J. Phys A: Math. Gen.- 2006.- Vol. 39,-Pp. 2611-2655.

82. Stephen Hwang, Henric Rhedin. General branching functions of affine Lie algebras // Mod. Phys. Lett. 1995. - Vol. A10. - Pp. 823-830.

83. T. Quella. Branching rules of semi-simple Lie algebras using affine extensions // Journal of Physics A-Mathematical and General. — 2002. — Vol. 35, no. 16. Pp. 3743-3754.

84. B. Feigin, E. Feigin, M. Jimbo et, al. Principal $\hat{sl}(3)$ subspaces and quantum Toda Hamiltonian. — 2007.

85. M. Ilyin, P. Kulish, V. Lyakhovsky. On a property of branching coefficients for affine Lie algebras // Algebra i Analiz. — 2009. — Vol. 21. — P. 2.

86. VD Lyakhovsky, S. Y. Melnikov et al. Recursion relations and branching rules for simple Lie algebras // Journal of Physics A-Mathematical and General. 1996. - Vol. 29, no. 5. - Pp. 1075-1088.

87. Anna Felikson, Alexander Retakh, Pavel Tumarkin. Regular subalgebras of affine Kac-Moody algebras // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2008. - Vol. 41, no. 36. - P. 365204.

88. E.B. Dynkin. Semisimple subalgebras of semisirnple Lie algebras // Matem-aticheskii Sbornik. 1952. - Vol. 72, no. 2. - Pp. 349-462.

89. Juan Martin Maldacena, Hirosi Ooguri. Strings in AdS(3) and SL(2,R) WZW model. I // J. Math. Phys. 2001. - Vol. 42. - Pp. 2929-2960.

90. Juan Martin Maldacena, Hirosi Ooguri, John Son. Strings in AdS(3) andthe SL(2,R) WZW model. II: Euclidean black hole // J. Math. Phys.-2001. Vol. 42. - Pp. 2961-2977.

91. Juan Martin Maldacena, Hirosi Ooguri. Strings in AdS(3) and the SL(2,R) WZW model. Ill: Correlation functions // Phys. Rev. 2002. - Vol. D65. -P. 106006.

92. Juan Martin Maldacena, Gregory Winthrop Moore, Nathan Seiberg. Geometrical interpretation of D-branes in gauged WZW models // JEEP. — 2001. — Vol. 07,- P. 046.

93. Ofer Aharony, Steven S. Gubser, Juan Martin Maldacena et al. Large N field theories, string theory and gravity // Phys. Rept. — 2000. — Vol. 323. — Pp. 183-386.

94. David C. Dunbar, Keith G. Joshi. Characters for coset conformal field theories // Int. J. Mod. Phys. 1993. - Vol. A8. - Pp. 4103-4122.

95. S. Lu. The Branching Rules for Affine Lie Algebras // Advances in Mathematics. 1994. - Vol. 105, no. 1. - Pp. 42-58.

96. S. Derkachov, A. Manashov. Noncompact sl(N) spin chains: Alternating sum representation for finite dimensional transfer matrices. — 2010.

97. S.E. Derkachov, A.N. Manashov. Factorization of-matrix and Baxter-operators for generic si (N) spin chains // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2009. - Vol. 42. - P. 075204.

98. G.J. Heckman // Invent. Math. 1982,- Vol. 67. - Pp. 333-356.

99. H.D. Doebner, 0. Melsheimer. Graded contractions // Nouvo Cimento. — 1967. Vol. 306.

100. A. Nijenhuis, R.W. Richardson. Deformations of algebras // Bull. Amer. Math. Soc. 1966. - Vol. 71. - Pp. 1-60.

101. David Richter. Splints of classical root systems // Journal of Geometry. — 2012. Vol. 103. - Pp. 103-117.

102. T. Gannon. Moonshine beyond the Monster: The bridge connecting algebra, modular forms and physics. — Cambridge Univ Pr, 2006.

103. M. Nesterenko, J. Patera, A. Tereszkiewicz. Orthogonal polynomials of compact simple Lie groups. — 2010.

104. D. Chelkak, S. Smirnov. Universality in the 2D Ising model and conformai invariance of fermionic observables // Inventiones Mathematicae. — 2009. — Pp. 1-66.

105. S. Smirnov. Towards conformai invariance of 2D lattice models // Arxiv preprint arXiv:0708.0032. — 2007.

106. John L. Cardy. SLE for theoretical physicists // Annals Phys.— 2005.— Vol. 318. — Pp. 81-118.

107. R. Friedrich, W. Werner. Conformai restriction, highest-weight representations and SLE // Communications in mathematical physics. — 2003. — Vol. 243, no. 1,- Pp. 105-122.

108. S. Rohde, O. Schramm. Basic properties of SLE // Annals of mathematics. 2005. - Pp. 883-924.

109. M. Bauer, D. Bernard. 2D growth processes: SLE and Loewner chains // Physics reports. 2006. - Vol. 432, no. 3-4. - Pp. 115-221.

110. E. Bettelheim, I A Gruzberg, A WW Ludwig, P. Wiegmann. Stochastic Loewncr evolution for conformal field theories with Lie group symmetries // Physical review letters. 2005. - Vol. 95, no. 25. - P. 251601.

111. Jorgen Rasmussen. On SU(2) Wess-Zumino-Witten models and stochastic evolutions // Afr. J. Math. Phys. 2007. - Vol. 4. - Pp. 1-9.

112. A. Alekseev, A. Bytsko, K. Izyurov. On SLE martingales in boundary WZW models // Letters in Mathematical Physics.— 2011.— Vol. 97.— Pp. 243-261.

113. R. Santachiara. SLE in self-dual critical Z (N) spin systems: CFT predictions // Nuclear Physics B. 2008. - Vol. 793, no. 3.— Pp. 396-424.

114. M. Picco, R. Santachiara. Numerical study on Schramm-Loewner Evolution in nonminimal conformal field theories // Physical review letters. — 2008. — Vol. 100, no. 1.- P. 15704.

115. J.L. Cardy, D.C. Lewellen. Bulk and boundary operators in conformal field theory* 1 // Physics Letters B. 1991. - Vol. 259, no. 3. - Pp. 274-278.

116. J.M. Figueroa-O'Farrill. The equivalence between the gauged WZNW and GKO conformal field theories // ITP Stony Brook preprint ITP-S-B-89-41. 1989.

117. O. Schramm. Conformally invariant scaling limits (an overview and a collection of problems) // Arxiv preprint math/0602151. — 2006.

118. VA Fateev, AB Zamolodchikov. Conformal field theory and purely elastic S-matrices // Physics and mathematics of strings: memorial volume for Vadim Knizhnik. 1990. - P. 245.

119. T. Eguchi, S.K. Yang. Deformations of conformal field theories and soliton equations // Physics Letters B.~ 1989.- Vol. 224, no. 4.- Pp. 373-378.

120. T.J. Hollowood, P. Mansfield. Rational conformal field theories at, and away from, criticality as Toda field theories // Physics Letters B. — 1989. — Vol. 226, no. 1.- Pp. 73-79.

121. R. Coldea, DA Tennant, EM Wheeler et al. Quantum criticality in an Ising chain: experimental evidence for emergent E8 symmetry // Science. — 2010,- Vol. 327, no. 5962.- Pp. 177-180.

122. I. Bakas, Q.H. Park, H.J. Shin. Lagrangian formulation of symmetric space sine-Gordon models // Physics Letters 5.— 1996.— Vol. 372, no. 1-2.— Pp. 45-52.

123. T.J. Hollowood, J.L. Miramontes, Q.H. Park. Massive integrable soliton theories // Nuclear Physics B. 1995. - Vol. 445, no. 2. - Pp. 451-468.

124. Q.H. Park. Deformed coset models from gauged WZW actions // Physics Letters B. 1994. - Vol. 328, no. 3. - Pp. 329-336.

125. M. Bauer, D. Bernard, L. Cantini. Off-critical SLE (2) and SLE (4): a field theory approach // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2009. - Vol. 2009. - P. P07037.

126. J.D. Stevenson, M. Weigel. Domain walls and Schramm-Loewner evolutionin the random-field Ising model // EPL (Europhysics Letters). — 2011. — Vol. 95. P. 40001.

127. J.G.F. Belinfante, B. Kolman. A survey of Lie groups and Lie algebras with applications and computational methods. — Society for Industrial Mathematics, 1989.

128. TA Nutma. SimpLie. http://code.google.eom/p/simplie/.

129. MAA Van Leeuwen. LiE, a software package for Lie group computations // Euromath Bull. 1994,- Vol. 1, no. 2.- Pp. 83-94. http://www-math. univ-poitiers.fr/~maavl/LiE/.

130. J.R. Stembridge. A Maple package for symmetric functions // Journal of Symbolic Computation. — 1995. — Vol. 20, no. 5-6. — Pp. 755-758.

131. J.R. Stembridge. Coxeter/Weyl packages for Maple, http://www.math. lsa.umich.edu/~jrs/maple.html.

132. T. Fischbacher. Introducing LambdaTensorl. 0-A package for explicit symbolic and numeric Lie algebra and Lie group calculations // arXiv preprint hep-th/0208218. 2002.

133. J. Fuchs, A. N. Schellekens, C. Schweigert. A matrix S for all simple current extensions // Nucl. Phys.- 1996,- Vol. B473. Pp. 323-366. http:// www.nikhef.nl/~t58/kac.html.

134. RV Moody, J. Patera. Fast recursion formula for weight multiplicities // AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY.- 1982,- Vol. 7, no. 1.

135. JR Stembridge. Computational aspects of root systems, Coxeter groups, and Weyl characters, Interaction of combinatorics and representation theory, MSJ Mem., vol. 11 // Math. Soc. Japan, Tokyo.- 2001.- Pp. 1-38.

136. W.A. Casselman. Machine calculations in Weyl groups // Inventiones math-ematicae. 1994. - Vol. 116, no. 1. - Pp. 95-108.

137. T. Gannon. Algorithms for affine Kac-Moody algebras. — 2001.

138. L. Shifrin. Mathematica programming: an advanced introduction. — 2009. http://mathprogramming-intro.org/.

139. R.E. Maeder. Computer science with Mathematica. — Cambridge University Press, 2000.

140. WA Casselman. Automata to perform basic calculations in Coxeter groups // Representations of groups: Canadian Mathematical Society annual seminar, June 15-24, 1994, Banff, Alberta, Canada / Canadian Mathematical Society. Vol. 16. - 1995. - P. 35.

141. Wilberd van der Kallen. Computing ShortLex rewite rules with Mathematica. http://www.staff.science.uu.nl/~kallel01/ickl/shortlex. html.

142. D. Kazhdan, G. Lusztig. Tensor structures arising from affine Lie algebras. Ill // AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. 1994. - Vol. 7, no. 2.

143. D. Kazhdan, G. Lusztig. Tensor structures arising from affine Lie algebras.1.// Journal of the American Mathematical Society. — 1993. — Vol. 6, no. 4. Pp. 905-947.

144. D. Kazhdan, G. Lusztig. Tensor structures arising from affine Lie algebras.1. // AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. 1993. - Vol. 6, no. 4.

145. P.P. Kulish, V.D. Lyakhovsky, OV Postnova. Tensor powers for non-simply laced Lie algebras B2-case // Journal of Physics: Conference Series / IOP Publishing. Vol. 346. - 2012. - P. 012012.