Структурная теория уравнений и спецфункций класса Гойна тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУЛАРСтаЕнМй УНИВЕРСИТЕТ , „ т т

на правах рукописи

СЛАВЯНОВ Сергей Юрьевич

Структурная теория уравнений и спецфункций класса Гойна

( 01.01.03. - математическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена на кафедре вычислительной физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук доктор физико-математических наук доктор физико-математических наук

С-А.Абрамов

В.М.Бабич

Ю. К. Л емьянович

Ведущая организация - Институт Атомной Энергии им. Л.В.Курчатова

Защита состоится в 15.30 час. на заседании диссертационного совета Л 063.57.15 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан Щ? 1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

А.Н.Васильев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Начиная с конца шестидесятых годов для описания моделей в различных областях математической физики, таких как задача двух центров в квантовой механике, модель Керра в общей теории относительности, модель инстантонов в ядерной физике стали очень активно использоваться функции, являющиеся решениями уравнений второго порядка более сложных, чем принадлежащиие к гипергеометрическому классу.

С течением времени полнилась небходимость в том, чтобы разрозненные результаты, возникшие в ходе исследования разных физических задач, систематизировать и оформить как некоторую математическую теорию спецфункций, выходящую за рамки стандартных книг по этой теме.

Эта идея была частично реализована в рамках проекта, задуманного проф. А. Зеегером из Штуттгарта и проф. А.Ронво из Намгора, которые собрали на миниконференцию, приуроченную к столетию написания Карлом Гойном первой фундаментальной работы, ряд ученых, проводящих исследования в этой области. В качестве продолжения было принято решение написать первую книгу, полностью посвященную уравнениям класса Гойна.

Однако в ходе написания книги выяснилось, что индивидуальное исследование каждого уравнения класса Гойна неэффективно, и в гигантском море сложных формул пользователю книги трудно разобраться. В связи с этим автор диссертации наряду с участием в написании уже аннонсированной книги, начал разрзботывать свою версию вывода и представления формул по уравнениям и функциям Гойна. При этом он опирался на технологии структурирования, принятые в современной информатике. Имелось в виду помимо чисто математического исследования создать пакет прикладных программ, позволяющий в диалоговом режиме получить доступ к требуемой информации. Важность такого подхода определяется с одной стороны тем, что книг по специальным функциям являются одними из наиболее часто цитируемых в мировой научной литературе, так с другой стороны и тем что в последнюю декаду происходит революционный переход к безбумажным эффективно организованным, электронным технологиям общения с информационными ресурсами. Таким образом, диссертационная работа находится на стыке прикладной математики (математической физики)

и информатики.

Цель диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка структурной теории уравнений класса Гойна и специальных функций класса Гойна.

Уравнение Гота - это линейное однородное уравнение второго порядка с четырьмя правильными особыми точками. Уравнения, получа-мые из уравнения Гойна путем специализированного выбора значений параметров или путем конфлюенции особых точек, составляют класс уравнений Гойна. Определенным образом выбранные решения уравнений класса Гойна являются специальными функциями класса Гойна. Класс специальных функции Гойна является следующим по сложности по сравнению с классом гипергеометрических функций.

Под структурной теорией понимается:

• Установление структурных взаимосвязей между основными классами дифференциальных уравнений, порождающих специальные функции: гипергсолюприческим классом, классом Гойна и классом Пепле в е.

• Введение классификации уравнений для специальных функций и классификации самих специальных функций, на основе выделения внутри каждого класса типов уравнений, для которых свойства решений имеют свою характерную индивидуальность.

• Установление преобразований зависимой и независимой переменной, сохраняющих тип уравнения, и выявление инвариантов этих преобразований. Уравнения одного типа образуют класс эквивалентности, Рассмотрение каждого индивидуального уравнения, как формы уравнения внутри заданного типа.

• Выяснение роли конфлюенции (слияния особых точек и предельных переходов в пространстве параметров, характеризующих урав некие,) на свойства решений вышеопределенных типов уравнений.

• Разработка единых методов, позволяющих исследовать свойства решений уравнений класса Гойна и структурированное представление этих свойств.

Научная новизна. Первоначальный вклад автора в теорию функций класса Гойна был сделан в 60-70-ых годах, когда он в связи с задачей двух кулоновских центров в квантовой механике получил ряд новых

результатов по асимптотике функций, являющихся частными случаями специальных функций класса Гойна. Была получена асимптотика сфероидальных функций, кулоновских сфероидальных функций, функций, описывающих эффект Штарка на водороде, открыты квазипересечения кривых собственных значений в зависимости от параметра в случае угловых кулоновских сфероидальных функций, найдены логарифмические поправки к разложению собственных значений при малых значениях параметра в случае радиальных кулоновских сфероидальных функций, исследованы асимптотики фаз рассеяния и матричных элементов, найдены асимптотики лакун в задачах с периодическим потенциалом.

Большинство из этих результатов получило отражение в книге И.В.Комарова, Л.И.Пономарева, С.Ю.Славянова "Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции".

Общие приемы построения асимптотик вместе с примерами также из теории специальных функций класса Гойна вошли в книгу С.Славянова "Асимптотика решений одномерного уравнения Шредингера".

В 1989 году автора пригласили на Рабочее Совещание по уравнениям класса Гойна, организованного профессором А.Зеегером в замке Рингберг. С тех пор автор целенаправленно занимался вопросами, связанными с уравнениями класса Гойна. В сотрудничестве с ним работали проф. А.Зеегер и др. В.Лай из Германии и А .Я.Казаков, Н.А.Вешев, А.Б.Пирожников, А.М.Акопян, В.И.Золотарев из России. Автор диссертации был координатором и идейным руководителем этих работ. Работы финансово были поддержаны Институтом Макса Планка и Фондом Сороса. В результате были написаны две главы в книге " Лифференциальные уравнения Гойна" и порядка десяти статей.

Достоверность результатов. Значительная доля результатов диссертации оформлена в виде лемм и теорем, основанных на введенных определениях и строго доказанных в тексте. В ряде случаев доказывается только одна из однотипных теорем, касающихся разных уравнений - доказательство других аналогично приведенному. В отдельных случаях идеи схема доказательства известны, однако в тексте их нет (см., например, гл. 7), поскольку это привело бы к сильному увеличению текста и отходу от общей концепции диссертации.

Практическая значимость. Специальные функции математической физики служат тем инструментарием, которым пользуются физики для исследования модельных задач. Время вхождения в новую

предметную область ограничено в нынешних условиях сроком не свыше полугода. Поскольку модельные задачи все время усложняются, приходится обращаться все к более экзотическим специальным функциям. В традиционном подходе изучение теории требует кропотливого изучения литературы, увязания в формульных дебрях. Структурный подход, предложенный в диссертации, ускоряет и облегчает вхождение в теорию, позволяет эффективно получить индивидуальный результат.

Апробация работы. Общая концепция диссертационной работы и отдельные ее главы докладывались на международных конференциях в Санкт-Петербурге, Нижнем Новгороде и Кембридже, а также на научных семинарах в Курчатовском институте Атомной Энергии в Москве, в Институте Теоретической Физики в Париже, в Санкт-Петербургском Отделении Математического Института и в Институте Эйлера в Санкт-Петербурге, в Институте Исаака Ньютона Математических Исследований в Кембридже, в Институте Физики Макса Планка в Штуттгарте, в университетах Санкт-Петербурга, Москвы, Эссена, Брайтона, Намюра, Леувена, Гейдельберга, Штуттгарта.

Публикации. Первоначальный этап подготовки диссертации -этап накопления информации путем выполнения " описательных" исследований длился с 1968 по 1990 год. Он был дважды подытожен в книгах [1], [2], и в списке публикаций в автореферате не отражен, кроме указания на сами эти книги. Второй этап - структурирования информации длился с 1991 года и полностью отражен в списке публикаций. Две работы были доложены на Евроконференции в Кембридже, но полные их тексты пока не опубликованы. Получен грант Немецкого научного Общества на написание книги по материалам диссертации.

Структура и обьем диссертации. Лиссертация состоит из введения, девяти глав текста, разбитых на разделы, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 198 страниц. Лиссертация содержит 5 рисунков. Список публикаций включает 129 ссылок.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Ведение включает в себя общую характеристику диссертационной работы, исторические комментарии, как по истории исследования уравнений класса Гойна, так и по личному вкладу диссертанта в эти исследования, а также глоссарий терминов, необходимых для понимания основного текста диссертации.

В первой главе рассмотрены некоторые общие вопросы теории фук-совых уравнений второго порядка и уравнений, возникающих из них при конфлюенции особых точек - конфлюентных уравнений и редуцированных конфлюентных уравнений. Введены понятия я-ранга особой точки - числовой характеристики особой точки, в-гомотопного преобразования уравнения - преобразования, порождающего класс эквивалентности уравнений, в-мультисимвола уравнения - набора чисел однозначно задающего тип уравнения. Эти понятия определяют классификационную структуру для линейных ОДЕ второго порядка. Основными объектами этой структуры являются класс уравнений -совокупность уравнений возникающих из заданного фуксового уравнения с п регулярными особыми точками при конфлюенции особых точек и специализации параметров, тип уравнений - совокупность уравнений с зафиксированными характеристиками особых точек и форма уравнений - отдельный представитель класса эквивалентности уравнений -типа.

Доказаны теоремы о сумме характеристических показателей (обобщение теоремы Фукса). Одна из теорем гласит:

Теорема 1.5. Пусть среди особых точек конфлюентиого неприводимого уравнения нет элементарных, ■число регулярных точек равно пг, число иррегулярных певетвящихся точек равно щ, а число иррегулярных ветвящихся точек равно щг, и уравнение записано в естественной форме. Тогда выполняется тождество

тгГ 2 гч-{-п1г 2 пг-\-пг

ЕЕм^-) + Е = Е ад-2. (1)

^ = 1 т=1 j=l т=1

В левой части тождества суммируются все характеристические показатели нулевого порядка как для решений Фробениуса ) в окрестности регулярной точки, так и для решений Томе (ртв окрестности иррегулярной особой точки, а в правой части все в-ранги (Я,^)) син-гулярностей уравнения.

Доказана также теорема о субадцитивности я-ранга при конфлюенции (при сильной конфлюенции, что соответствует сохранению максимального числа свободных параметров - аддитивности).

Теорема 1.7. Пусть имеется конфлюентное уравнение в нормальной форме, у которого одна особая точка 2] = 0 - в нуле характеризуется ъ-рапгом К\, а другая особая точка. — с характеризуется в-рангом Дг-

Порождаемый предельным переходом с —> 0 процесс сильной конфлю-енции приводит, к появлению результирующей сингулярности гс — О с Б-рангом Яс = Л1 + Яг-

В заключе1гае рассматривается комбинаторная задача о числе типов уравнения внутри каждого класса. Задача решается в терминах теоремы.

Теорема 1.8. Число различных типов уравнений, которое может быть получено путем специализации и конфлюенции фуксова уравнения второго порядка с п особыми точками при п > 3, равно п-ому коеффи-циенту ряда Тейлора в нуле функции

ехр V . Ъ3 .ч = 1+2г+5г2+Ю23+20И+Зб25+65г6+1Ю27+185г8+О(г9).

Во второй главе для рассмотренных в первой главе уравнений вводится обобщенный символ Римана (ОСР) в виде записи - таблицы со столбцами переменной длины, элементы которой характеризуют локальные свойства решений в окрестности особых точек. Многие формулы в терминах элементов обобщенного символа Римана выглядят проще и нагляднее, чем выраженные непосредственно через коэффициенты дифференциального уравнения. В терминах ОСР сформулирован ряд теорем. Приведем для примера ОСР для уравнения

ф3\с- а,р : в)у(г) = (2В2 + {-г2 - рг + с)И + (-аг + Х))у(г) = 0, (2)

входящего в класс Гойна и называемое биконфлюентным уравнением Гойна

/ 1 3 \

0 оо

0 а

1 — с с+ 1 — а

0

Р

0

V 1 /

В третьей главе описан непосредственно сам класс Гойна дифференциальных уравнений. Выписаны входящие в него типы уравнений,

характерные для каждого типа э-гомотопные преобразования, отвечающие отношению эквивалентности между уравнениями, предельные переходы по параметрам, отвечающие конфлюентным процессам и обобщенные схемы Римана. В первом разделе представлен для сравнения гипергеометрический класс. В заключительном разделе дан вывод разностных уравнений для классических ортогональных полиномов.

В четвертой главе выводятся интегральные уравнения Фредголь-мовского типа и интегральные соотношения для собственных функций, порожденных краевыми задачами, связанными с уравнениями класса Гойна. Широко используется принцип "конфлюентности". Ищутся интегральные уравнения вида

/■С(г,£)гу(г)<й, (4)

где

А^МНЖ^ОНОД-ЧОД-1. (5)

Перечислены все типы уравнений, входящих в класс Гойна, которые при простейших мономах ф(г^) = 2 + ф(г,1) = г£ порождают такие интегральные уравнения.

Пример интегрального соотношения дается теоремой:

Теорема 4.7. Предположим, что £ < 0, <1 > а, с > 1, а+6 > с+<1, а < 1. Пусть {г>п(8)} - набор собственных функций для задачи на собственные значения на интервале [0,1] для уравнения Гойна с коэффициентами а',Ь',с',(1' (ьп(в) ограничена в г — 0 и в г — I). Тогда соотношение

уп{г) = Я-(°Ч = / О - *)-°уп(в)с18. (6)

порождает набор собственных функций задачи на собственные

значения на интервале /¿,0/ для уравнения Гойна (уп(г) ограничена в г = 0 и в г — I).

В пятой главе дифференциальным уравнениям сопоставляются разностные уравнения. Здесь систематизированы и упрощены идеи, пер-воначално предложенные В.Лаем, с которым у автора есть совместные публикации.

Следующие три главы посвящены асимптотикам.

1Связь коэффициентов а.,Ь,с,(1 и а',Ь',с',с1' дана в тексте диссертации

гф) = А / Л

В шестой главе описаны некоторые методы, развитые автором для построения асимптотик собственных функций и собственных значений в задачах, где имеются кластеры точек перехода. Предложенные общие методы конкретизируются для уравнений класса Гойна. Примером теоремы, на которую опирается вычисление асимптотик, является следующая: Теорема 6.1.

Асимптотика спектра задачи па оси, связанной с уравнением

/А/ (г) + 2Неф) - 2У(г)ф) = 0. (7)

при /г —► 0 и п — 0(1) определяется решениел1 дисперсионного уравнения

т

- £ /г*-111ез||о4О) = (п+ 1/2)(1 + 0(Ьт)), (8)

к = 1

квазиклассическим правилом квантования для введенных потенциалов. Функции 8'к(г) находятся с помощью рекуррентной процедуры.

Седьмаяглава посвящена изучению эффекта квазипересечений кривых собственных значений. Показано, что это эффект, характерный для всех нередуцированных конфлюентных уравнений класса Гойна, за исключением дважды конфлюентного. Доказаны его свойства: периодичность по параметру и наличие бесконечного числа квазипересечений при соответствующем значении параметра.

В восьмой главе устанавливается взаимосвязь между уравнениями класса Гойна и уравнениями Пенлеве. Каждый тип уравнений класса Гойна характеризуется символом, который можно рассматривать как квантовый гамильтониан, зависящий от импульса- оператора дифференцирования, координаты - оператора умножения на независимую переменную, и параметра (скейлингова), которому приписывается смысл времени. Такому гамильтониану можно сопоставить классический гамильтониан, зависящий от классических канонических переменных. Уравнения движения Эйлера-Лагранжа для этого последнего совпадают с одним из уравнений Пенлеве. Доказана исследованием конкретных уравнений теорема:

Теорема 8.1. Для любого уравнения Пенлеве может быть найдено порождающее линейное уравнение второго порядка, принадлежащее классу Гойна, для которого это уравнение Пенлеве является уравнением движения.

В девятой главе проводится общий структурный анализ классов специальных функций и обсуждаются принципы реализации базы знаний, основанной на описанных классификациях и свойствах. Для этой базы знаний уже написан интерфейс и ряд составляющих программ.

В заключении перечисляются основные положения диссертации, выносимые на защиту, и выражаются благодарности.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

1 Предложена новая классификация особых точек обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с полиномиальными коэффициентами, основанная на введенном понятии я-ранга особой точки. В терминах э-ранга доказана теорема об су б а дцит иш [ о с г и в-ранга при конфлюенции особых точек ( в неспециализированных случаях - аддитивности) и обобщение теоремы Фукса о сумме характеристических показателей в особых точках.

2 Введена классификация обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с полиномиальными коэффициентами, основанная на введенном понятии э-мультисимво ла уравнения и эффективно представляемая с помощью предложенного обобщения схемы Римана и включающая классы, типы и формы уравнений. Выведена формула, позволяющая вычислить число типов уравнений, входящих в заданный класс, и выписаны типы уравнений, составляющие гипергеометрический класс и класс Гойна.

3 Определено понятие в-гомотопного преобразования, как линейного преобразования зависимой переменной, сохраняющего тип уравнения. Показано, что уравнения одного типа образуют класс эквивалентности относительно »-гомотопного преобразования и изоморфизмов комплексной плоскости независимой переменной. Определено понятие канонической естественной формы уравнения, как наиболее простого представителя внутри класса эквивалентности.

4 Единым методом выведены интегральные уравнения Фредголь-мовского типа и интегральные соотношения для собственных функций, порожденных задачам Штурма-Лиувилля для уравнений класса Гойна.

5 Единым методом выведены разностные уравнения, эквивалентные дифференциальным уравнениям класса Гойна. Поставлены граничные задачи для разностных уравнений, эквивалентные определенным задачам Штурма-Лиувилля для уравнений класса Гойна. Редукция разностного уравнения к конечномерным алгебраическим задачам может служить эффективным методом численного расчета спецфункций класса Гойна.

6 С помощью предложенного автором диссертации варианта метода эталонного уравнения и формулы квазиклассического квантования выведены асимптотические формулы для решений ряда уравнений класса Гойна. для собственных значений с "малыми" номерами. С ее помощью получены асимптотики собственных значений для ряда задач Штурма-Лиувилля для уравнений класса Гойна.

7 Показано, что для кривых собственных значений в зависимости от определенного параметра в ряде задач Штурма-Лиувилля для уравнений класса Гойна характерны квазипересечения, которые имеют "полупериодическую" структуру.

8 Показало, что урапнеия Пенлеве можно рассматривать, как классические уравнения движения, порожденных гамильтонианами уравнений класса Гойна, рассматриваемых как уравнения Шре-дингера.

9 Проведен общий структурный анализ теории специальных функции, и предложена базирующаяся на нем информационная модель базы знаний по специальным функциям. Соответствующий пакет программ находится в стадии реализации.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Комаров И. В., Пономарев Л.И., Славянов С. Ю. Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции. 1976, М., Наука.

1 Славяне« С. Ю.

Асимптотика решений одномерного уравнения Шредингера. 1991, Изд-во ЛГУ.

Перевод на английский язык: Slavyanov S Yu.

Asymptotic solutions of one-dimentional Schrodinger equation. 1996, New York, American Math. Soc.

2 Две главы в книге."Heun's Differentia] equation" , под ред. A. Ronveaux. 1995, Oxford university press Slavyanov S. Yu. Lay W., Seeger A. Classification. Slavyanov S. Yu. Confluent Heun equation.

3 Коэн Si., Славянов С. IO.

Квазиклассическая асимптотика спектра для нижних состояний ангармонического осциллятора. Алгебра и анализ, т. 3, с. 132.138, 1991.

4 Lay W., Slavyanov S., Smirnov A.

Asymptotic solutions of a Schrodinger equation with a second order pole, Physics Letters A 172, pp. 305-312,1993.

5 Slavyanov S.Yu.

A "differential" derivation of the recurrence relations for classical orthogonal polynomials, Journ. Сотр. and Appl. Math., 49, pp. 251-254, 1993.

6 Славянов С.Ю., Золотарев В.И.

Принципы организации базы знаний по специальным функциям, Вестник СПбГУ, сер. мат., 1993 .

7 Зеегер А., Лай В., Славянов С.Ю.

Вырождение фуксовых уравнений второго порядка, ТМФ, T.1D4, N 2, с. 233-247, 1995.

8 Казаков А.Я., Славянов С.Ю.

Интегральные представления для специальных функций класса Гойна, ТМФ, т. 105. N 6. 1996.

9 Казаков А.Я., Лай В., Славянов С.Ю.

Задачи на собственные значения для уравнений класса Гойна, Алгебра и анализ, т. 8 N 2, с. 129-141, 1996.

10 Slavyanov S Yu.

Painleve equations as classical analogues of Heun equations, J. Phys. A., 1996.

11 Kazakov A. Ya., Slavyanov S.Yu.

Integral equations for Heun class special functions, Methods, and Applic. of Ana]., 1996.

12 Акопян A. M., Пирожников А. В., Славянов С. Ю., Золотарев В. И.

Элементы базы знаний по специальным функциям, конференция Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика, ИТА РАН, Санкт-Петербург, 1993.