Структурные задачи синтеза на основе второго метода Ляпунова и их применевне в механических системах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ' ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопису

ПОЛОЖИЙ Тетяна Георгіївна

СТРУКТУРНІ ЗАДАЧІ СИНТЕЗУ ІІА ОСНОВІ ДРУГОГО МЕТОДУ ШЇПУНОВА ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ В МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМАХ

01.02.01 - теоретична механіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на одобуття наукового стуйеая кандидата фіопко-матемаїичних наук

Дисертацією с рукопис Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник: доктор фіоико-математичних наук

новицький в.в.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук

ЛИМАРЧЕНКО О.С.

доктор фіоико-математичних наук МАЗКО О.Г.

Провідна установа: Київський Національний університет ім. Тараса Шевченка .

Захист відбудеться " $ ” Х&’С/ЇЇУШ* 1997 р. о І5 ~ІІ годині на оасіданні спеціаліоов шої вченої ради Д 016.50.02

при Інституті математі чи НАН України оа адресою:

252601 Київ, МСП, вул. Терешенківська, 3.

З дисертацією можна оанапомиткся в бібліотеці інституту.

Автореферат розіслано 1997 року.

. #

Вчений секретар спеціалізованої ради

доктор фіоико-математнчних наук ЛУЧКА А.Ю.

Актуальність теми.

Дисертаційна робота присвячена структурним задачам синтезу зворотного зв’язку па основі другого мечтоду Ляпунова та їх застосуванню для оціпісп стану та керування деяких моделей механічних систем.

Існус багато методів побудови функцій Ляпунова, як для задач аналізу так і спптсзу стійких мехапічннх систем. Відомо, що більшість з них-не є конструктивними. Після виходу в 1970 р. роботи А.М.Лєтова, який запропонував нові підходи у задачах керування динамічними системами, значно зріс інтерес до конструктивного застосування другого методу Ляпунова в керованих системах. ■ ' ,

Зокрема, алгоритми знаходження функції Ляпунова та зворотного зв’язку було отримано D.M. Кунцсвпчем та М.М. Личаком, В.Д. Фурасо-віім та ш., які розв'язували відповідне матричне рівняння Ляпунова, О.С. Яковлевны, який використовує в алгоритмі побудови функції Ляпунова нерівності Сільвестра.

Однак задача онаходжсипя досить простого, особливо в аналітичних випадках, та конструктивного алгоритму визначення функції Ляпунова та відповідного зворотного зв’язку залишається актуальною, зокрема в прикладних задачах, де суттєво мохпа зменшити похибки обчислень.

Один з підходів до ефективної побудови функції Ляпунова та відповідного зворотного зв’язку ґрунтується на дскомпозиції лінійної керованої системи до блочної форми Гесснберґа. Дослідження В.В. Новпцького показали, що саме ця канопічпа форма керованих систем дозволяє реалізувати ідею використання результатів декомпознції початкової задачі для ефективнішого розв’язання задач синтезу стаціонарних та нестаціонарних систем. '

Одною о основних проблем прп спнтезї керування є проблема одержати аналітичних розв’язків. Вопа конструктивно розв’язується, якщо система має пешу капонічпу форму, зокрема, Гесенбсрґаабо Фробеніуса. Залишаються актуальними пптанпя досліджень різноманітних модифікацій форми Гесепбсрґа та побудови для них функції Ляпунова та відповідного зворотного зв’язку, а також різноманітні практичні застосування.

Мета роботи:

— побудова конструктивного алгоритму ¡знаходження зворотного зв’язку та функції Ляпунова для моделі механічної системи в формі Фробепіуса

о одним керуванням;

— знаходження точних аналітичних розв’язків для матриць підсилення зворотного зв’язку та функції Ляпунова через розв’язки відповідної системи різницевих рівнянь;

— узагальнення алгоритму на блочні канонічні форми Фробеніуса та Гесенберґа систем в д керуваннями;

—застосування алгоритму синтезу в задачах керування механічними системами.

Загальна методика досліджень. В дисертаційній роботі використовуються методи Ляпунова, структурної декомпозиції, теорії лінійних різницевих рівнянь та матричної алгебри.

Наукова новис.на результатів дисертаційної роботи полягає у тому, що в ній вперше:

е для моделі механічної системи у формі Фробеніуса з одним керуванням знайдено алгоритм побудови аналітичних розв’язків для матриць підсилення зворотного зв’язку та функції Ляпунова;

• встановлено, що розглянутий клас задач зводиться до системи різницевих рівнянь; знайдено аналітичні розв’язки цих систем; •

• доведено теорему про структуру та аналітичний вигляд матриць зворотного зв’язку для керованих систем в формі Фробеніуса;

• отримано узагальнення алгоритму синтезу на блочні канонічні форми Фробеніуса та Гесенберґа ¿пстем о д керуваннями;

• в аналітичній формі розв’язано задачу про побудову фільтра для моделі похибок інерціальної навігаційної системи;

• проведено структурні дослідження керованих рівнянь руху моделі

супутника на орбіті та побудовано керування для різних режимів роботи. ' .

Теоретична та практична цінність. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Отримані результати є новими. Побудовані алгоритми використовуються в учбовому процесі Національного технічного університету України ’’Київський політехнічний інститут” та викладені в навчальному посібнику В.В. Новицького, В.В. Ясінського ’’Прикладні задачі декомпозпції та керування в динамічних системах” для студентів

втцих учбових закладів, які навчаються за фахом ’’Припади та системи керування літальними апаратами та комплексами” та ’’Прилади Та системи орієнтації, навігації та керування рухом у просторі”.

Результати можуть бути використані фахівцями при дослідженнях різноманітних керованих динамічних систем в Інституті математики НАНУ, Інституті механікпНАНУ, Інституті прикладної математики та механіки НАНУ, інших паукових та вищих учбових закладах. .

Апробація роботи. Основні положення та результати, що викладені в дисертаційній роботі, доповідались на семінарах відділу аналітичної механіки Інституту математики НАН України, а також на Республіканській, конференції ’’Динаміка твердого тіла та стійкість руху” (Донецьк, 1990 р.), на Українській конференції ’’Моделювання та дослідження стійкості систем” (Київ, 1995 р.), на Другій Українській конференції з автоматичного керування (’’Автоматика'- 95”, Львів, 1995 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-9]. Роботи [2,3,6-9] належать автору особисто.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційну роботу викладено па 93 сторінках машинописного тексту. Вона складається зі вступу, двох глав, висновків та списку використаної літератури.

Зміст роботи.

У вступі дано обгрунтування актуальності роботи, формулюється мета дослідження, його теоретична та практична цінність. Проводиться короткий огляд робіт за даною темою та результатів дисертаційної роботи.

ІУіапа 1 присвячена структурним задачам синтезу зворотного зв’язку на основі другого методу Ляпунова.

В § 1 сформульовано постановку задачі та подано в загальному вигляді метод синтезу зворотного зв’язку, запропонований В.В. Новицьким.

В § 2 розглядається найпростіший випадок — керована система з одним керуванням в канонічній формі Фробеніуса. В цьому випадку огаданпп Метод дозволяє задачу керування звести до системи різницевих рівнянь, спеціальний вид якої дає можливість побудувати її аналітичний розв’язок.

Розглядається система '

. х = Ах + Ви, (1)

де ї(і) € Я”, А - матриця в формі Фробеніуса порядку п х п, В - матриця порядку п х 1, и(і) Є Я1 - керування,

З

Зворотний зв'язок для системи (1) будується таким чипом:

и = -Кх, (2)

а функція Ляпунова для оамхненої системи (1)-(2) вибирається у вигляді додатно визначеної квадратичної форми

V = хгРх > 0

так, щоб виконувалась умова .

V — -2/3V, /3 ав const > 0.

Відповідне рівняння Ляпунова має вигляд

(A + pIn-BK)TP + P(A + ()In-BK)~Q. (3)

Позначило через К' матрицю коефіцієнте оворотіюго зв'язку длл системи (1) порядку і' + І

К< = \КЇЇ, К$, ... к\і, ••• КЦ К‘п].

В.В.Новпцькіш встапоплгпі рекурентні співвідношеная міх; К'~К ІС‘ та А'1+1, які випливають а рівняння Ляпунова (3):

К‘ = [Л-‘„Л'У, Kb~0 + K£l,

КЦ1 = Si+illi'-1,1] + ЩС + [0, К1п], (4)

і = І, •••,« — 2,

де .

К° = /з і= кп; = Si + p2. ’

Заміна змінних

К[ f = х,_г(г) (5)

дозволила перейди від рпкурептних співвідношень (4) до системи різницевих рішшпь, яка і с основним об’єктом досліджень § 2.

zjt(l) = Si+]a;t_2(l) + /?x*_i(l), Mi) = si + jß2 + xo{j - 1), xi{j) = jSj+ф M ßxa(j) + xi(j - 1),

...........;......... (6)

Xk(j) = Sj+iXk-î{j) + ßxk-\(j) + *i(j - 1),

xn(n) = S„+iafn_2(n) + ßx„-i(n) + ж„(п - 1),

Де .

і

•т0(1) = Si -bß2; x}(l)-ß3+ß(Si + Si), j — 2,3,n к = 2,3,...,n. Лема 1. Розв'язок рівпяііші

■Tjt = ßXk-\ + Sk+lXk-i

Сі початковими умовами . •

го = ß"1 + Su ai — ß3. + ß{S\ + Sj)

має вигляд

Ш i+i

zk-ß^ + Zß1-* £ fis,,.

¡=0 1+2Í < ;'i < l+l (=1 3+2(1-І) < i, S ji-i-2, npn f>l

Лема 2. Розв’язок системи (6) має вигляд

Ш " í+i

*»(і) = с$+1/?*+а + £ ,/?*-»• ■ £ п

• ?=0 1+2} £ л < Jfc+J /=1

3+2(ї-/) ¿ іі < /і-і-2, при />1

при j = 1,2,3, ...,n, &==(),1,2, ...,п.

. Э пемп 2 та (5) випливає таге співлідношеяня:

,.и+1 1 d?K$ , , .

Лп “¿1 dß> ’ ^ї=1’-’г-

Позначимо І ~ 1,...,*' через (Аз')^).

ТЬорема. Нехай дала лінійна керована система

' і = Ах + Ви,

де я(<) Є Дп, Л - матрице у формі Фробеніусапорядку пхп, В - матриця порядку п х 1, и(і) Є Л1 - керування та довільні константи > 0, і —

1,п та ¡3 > 0. Тоді нульовий розв’язок відповідної ¡замкнутої системи

х = (А-ВК)х,

буде асимптотично стійким, якщо перший елемент матриці коефіцієнтів зворотного зв’язку К має вигляд

■ (“і1) ,+і ' л-^=г+х>п-2-2ї Е П5л- -

5=0 1+2« < іі < п-1 1=1

3+2(|-/) < /Г< і,-1-2, при І> 1

Де П = 1,2,...,

. Зп = (Р^Г'РЙ-1,

а ініші елементи /{* визначаються оа формулою

к»Л-і _

~ї! ДО '

¿(Зі

до і = 1, ...п-1. При цьому матриця для функції Ляпунова Р знаходиться таким чином: '

Р ш

де £> = і^(Р^2, Р|2, • • •, Ріг), •

' 1 0 * • • 0 0 0 '

а:1 1 • • 0 0 0

ь = /<■2,1 7121 • 0 0 0

А'"“1'- .“21 (А'?,-1*1)'«.1 • (АГ?,-1’1)!"“1! 1.

Де

(ОІ"-Ч = К£.

В § 3 подано декілька узагальнень результатів, отриманих для систем у формі Фробепіуса, на динамічні системи в інших канонічних формах.

1. Для дппамічдої системи порядку п о одним керуванням у такій ка-понічпій формі ■■

- х = Рх + Ви,

де * Є 8ї„,и Є Є 3г„х„,В Є

/і2> /2З1 ‘’ і /п-1,п = СОПвї ф 0. .

До канонічної форми Фробепіуса цю систему сводить таке лінійне перетворення вектора стану

і « Та, •

•0 /» 0 ... 0 ■ ■0‘

0 0 /23 ... 0 0

0 0 0- ... о 0

: ; ,в =

0 0 0 ■ ‘ ‘ /п- 1,п ? 0

.0 0 0 ... о , ; .1.

Де.

Т = <ііа.5(іц, І22> • • • І^-І.п-І) ^пп))

*11 ~ /із1 /й1 '' ■ /п-1,п> *22 “ /23і/34і ‘' ■ /л~1,я>

*п-1,п-1 — /п-1,п>

Матриця К коефіцієнтів підсилення (зворотного зв'язку та матриця Р для функції Ляпунова матимуть вигляд:

. К » К% Р = Т^Р‘Т~\

2. Для дппамічної системи порядку п х д з д' керупапнями у такій бяочпіп формі:

(7)

х =* А ® Ічх + В ® Ци а* Ачх •+ Вяи,

Де

'0 л 0 • ■ О' '0‘

0 0 л • • 0 0

0 0 0 . • 0 0

1 ! В<1 — :

0 0 0 • ■ л 0

.0 0 0 • • 0. ' .лі

и = -КцХ,

/, -одинична матриця порядку д, значок ® - добуток оа Кронекером, X Є

Для системи (7)-(8) матриця Кч коефіцієнтів зворотного ов’язку та матриця Р, для функції Ляпунова матимуть вигляд

КЧ = К®1Ч, Р, = Р®/,.

3. При розгляді динамічної системи порядку п х д о д керуваннями вигляду

*х = Ах + Ви и — -К х,

де * Є

А =

де А\2, Аг з, ■ • •, А„_ііП Є Зї,х? - невироджені матрпці, оа аналогією о попереднім, матимемо ' .

К = КЧТ, Р = Т~ТР,Т~\

де ' . '

г — Тх,

Г = diag(Tl] Т22Г• • іТ„_і,і,-ьТпп),

Ти = <пА„Іг „_1 ; • • Аи1, Т22 = ЛПІ!|ПАпі2,„_1 ‘ • ' А^ ,

■ ' ' І ТП_1іП-1 = ^п~1 ,П> Тпп = Л> ^ ^?Х5-Гйава 2 присвячена застосуванню отриманих результатів до розв’язку конкретних задач фільтрації та керування.

В § 1 розглянуто задачу побудовп фільтра для моделі інерціальної навігаційної системи (ІНС) вигляду .

а — • П/3 + <5^о,

/І = —Ііп + 6{ о, _ . .

0 Аі 2 0 • • 0 ' '0'

0 0 Аіз • • 0 0

0 0 0 • • 0 ,Б = 0

0 0 0 • ’ АП-1(П 0

.0 0 0 • • 0 . л.

ДА = \АірІд<р + ДУ£/Ясо5уз + гп\Х +• є^е/Пспя^,

А ф = Д Улг/Я + т^ф + Єглг/Л,

ДУХг = <7/3 - дАр + єн,

АУе = —давтір — дАХсоБ(р — дАфсоз<р+ єеі

ТУт а, (3 - похибки моделювання інсрціальпого трпгранппка, П = V +

А,11 — 7.292116 х 10~51/с - кутова швидкість Землі, 6(о, ¿п0,6(0 ~ швидкості відхилень гіростабіліоовапої платформи навколо осей Со> ^Оі £о- По направлена по осі обертання Землі, а Со>£о лежать в екваторіальній площипі, Ф — д = 978.049см/с2 - прискорення сили тяжіння, Я = 6378245м -радіус Землі; ір та А - широта і довгота місця, Єм,£е ~ дрепфи акселерометрів та першпх інтеграторів; Є2К,Є2Е -дрейфп других інтеграторів; іп\,т<р - маштабні похибки акселерометрів та перших інтеграторів; ДМу, ДУц - похибки відповідно у північній та східній складових швидкості об'єкта, Д<р, ДА - похибкп координат місця.

В матрпчпін формі

і = Р(і)х + иі,

де а; Є Л?,Р Є Є Л3, •

' 0 s(f) 0 0 0 0

-5(0 0 0 0 0 0

0 0 0 n(t) 0 m(t)

0 0 0 0 с 0

0 9 0 ~9 0 0

.-/(0 0 ~r(t) 0 0 0

= («і, W2, u>3, V>5 ™б]\

де _

c—1/R, s = U + A, f(t) = gsimp, m(t) = l/i?cos<^,

п(<) ='Xtgp, г —gc.os ¡р,

Щ - ¿(0, u>2 = 6(0, Щ = тцк + єі£/Псо5<р,

иц — т9ф + Єчн/R, Щ = £ц, = -дАф cosip +Єе,

о таким вектором етапу:

г = [о, /З, ДА, Ар, AVn, AV'£]r.

Вважається, що на борту є можливість отримувати інформацію оі стабілізованого лага про похибки північної та східної складових швидкості об’єкта Д1/\г и ДІ/е-

Уі - ДVN + Avn = хь + AvN, _

2/2 = AVe + Д ve = ze + Д ve

Тут Avn и Ave ~ похибки вимірювання швидкості відносними лагами, відповідно північним та східним.

В результаті матриця коефіцієнтів підсилення фільтра матиме вигляд

K=K®h+

0 0 0 с 0 0

]■

[О 0 ffl 0 0 OJ

/C = [/33 + /3(S, + S2), 2/32 + (S, + S2), 2/3], а матриця Ляпунова буде такою: .

Р = LTDL

Де

L =

h О О

10 h о

К2 h

/$г1 = /с1®/2 +

К2 = К?®12 +

О -(/s + nr)/g]

Á9ñ/(fs + nr) 0 J’

ООО nr/g"!

О 'О 0. 0 J'

де

К'шр, /С3 = [/35 + 5Ь2/?}.

В § 2 за допомогою синтезу керування на основі другого методу Ляпунова розв’язано задачу стабілізації стаціонарного руху супутника, утвореного а двох твердих тіл - зовнішнього та внутрішнього.

Досліджувана модель супутника така, що (зовнішнє тіло супутника має сферичну каверну, центр якої збігається о центром мас тіла, а внутрішнє тіло знаходиться в цій каверні. Вважаєм?, що обидва' тіла мають осі динамічної симетрії, які збігаються й яезбуреному русі.

Розглянемо рух центра мас супутника круговою орбітою з кутовою швидкістю и>о = const. Положення супутника відноспо орбітальної системи координат визначається кутами Еплера фі, 9і, ірі (і = 1,2), і = 1 відноситься до зовнішнього, а і = 2 до внутрішнього тіла. Кути 0; визначають положення осей симетрії тіл в орбітальній системі координат. Відносний рух тіл у першому наближенні відбувається під дією спли о потенціалом

Ф2? + (9і-02 )*].

Супутник може рухатися стаціонарно, шо має назву циліндричної прецесії. Цьому стаціонарному рухові (незбуренпй рух) відповідають такі значення координат:

Фі = 7Г,

У обуреному русі покладаємо

<?,• = = 0, і — 1,2.

„Я- . 7Г

"1 = 2' + Чи °2 = ^ ,+ 92,

t/>i = т + д3і ф2 = 7Г + <j4.

При цьому, без втрати загальності, обмежимося розглядом випадку п = г2 = г (кутові швидкості внутрішнього та зовнішнього тіл в незбуреному русі однакові).

Рівняння збуреного руху центра мас супутника круговою орбітою з кутовою швидкістю cjo = const в першому наближенні можна подати у вигляді

Aq + hGlq + Klq = V.

Тут

9 = (71,92,93,94), Ь = —і A = diag(Ai,A2,Ai,A2),

G =

'0 0 -h\ 0 ' fcJi fcj2 0 0 ‘

0 0 0 -h\ V 11 Ц2 0 0

Ч 0 0 0 0 0 ^33 ^'34

.0 hi 0 0 . . 0 0 ^34 ^44.

V =

0

V2

о

о

о

о

уз

0

- матриця керування,

Ь1=А1)1, Ъ'2 - Мі,, Щ = , и4 = М^2.

Клас керувань, які дозволяють не тільки експомеїіцішіо стабілізувати рух суиутпика, але й змінювати структуру діючих сил, буде таким:

и = — [Л"21 К22] х,

Де

К,

22 :

(2а +1)/2 «і2 /¡і + «із «14

— и 12 (2а + 1)/2 Ы23 /¡2 -|- «24

-(/її + иіз) —«23 (2а 4-1)/2 «34

—«14 -(Л2 + У24) “«з! (2а + 1)/2_

-Ьц + 1/2 а а«]2 — /;і2 а« із а«м

-(а«і2 + &і2) —^22 + 1/2а а«гз аи24

—а«із — а«2з ~А.'зз + 1/2а а«34 “ ^зі

-а«!4 —а«24 -(оИ34+^34) -/.’44+1/20

Цей клас характерний саме наявністю вільних параметрів «у, які і Дозволяють ¡змінити структуру діючих сил.

У третьому параграфі розв’язано задачу стабілізації стаціонарного руху супутника на основі структурного підходу викладеного в гл. 1 §

2 оі спеціальним вибором матриці (?, а саме С) — 2[ЗР та керування

Кп =

ы = ы’ — [А', £?)*,,

Де.

“*11 ^-ки 0 0 0 0 /і] 0‘

“&22 0 0 0 0 0 /г2

0 0 -Ьз -кзі -Лі 0 0 0

0 0 ~^34 -кн 0 -/і2 0 0 .

и' в К,«'5,и'з,«'4]Г,

тоді модель набуде вигляду

42 о].* = й-

Виходячи а результатів глави 1, отримуємо матрицю коефіцієнтів підсилення у вигляді .

/^ми - кі2

/З’ + й-/^

-£¿«23

К-г і =

/З2 + - кп

-Д^«і2 - *12

“0£«із

~/£«м

Рі

-0£«и

із

/З£и23

/32+5,-*3з

Р^и

£¿«34 - *34

34 “ ¿34 /З2 + 5і - ¿44

^22 =

2/3 -«12 —Лі — «із -«14

«12

2/3

—«23 -/і2 - «24

Ы +«13 «23 20 -«34

«14

/і2 + «24 «34

2/3

Розглянутий випадок покапав, яким чином розв’язок задачі керування високої розмірності (восьмого порядку) можна отримати о допомогою відомих розв’язків для систем ппзьких порядків (в даному випадку систем другого порядку).

В четвертому параграфі розв’язано задачу синтезу для супутппка у випадку виходу з ладу одного керування (для зручності пехай це буде «і); тоді система матиме вигляд

х — Ах + Ви,

Де

А =

0

-К

-в]-в =

05x3

/з

а О5Х3- нульова матриця розміру 5 х 3 , Із -одинпчна матриця третього порядку та

« = [«2,»'з,«4ІТ-

Якщо и вибрати у вигляді

и = и-{К,С]х, де 1

— *22 0 0 0 0 0 V

[К',С’\ = 0 0 ~*зз -*34 -!ц 0 0 0

. 0 0 —*34 ~*44 0 —/і2 0 0 .

то

и' ~[и'2,ь!3,и'4]т, х = Ах + Ви',

Де

0 0 0 0 1 0 0 0'

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

-*11 -*12 0 0 0 0 А| 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0.

А =

Після ¡зведення системи до нижньої блочної форми Гессенберґа та ¡застосування результатів глави 1, знайдено керування и, матрицю коефіцієнтів підсилення та матрпцю для функції Ляпунова

Кіх

—Ац —*12 0 0

011 - *12 «12 - *22 віз о

021 а 22 —*33 ~*34

О 0 —¿34 аз4 —

0 0 Лі 0 '

К-22 «15 аіа 017 Ні

«25 - « а 2в а27 0

. 0 0 «38.

>11 Р12 Різ 0 Р15 £і6 Р17 0 •

Р12 Р22 Р23 0 Р25 Р2в Р27 0

Різ Р23 Рзз 0 Р35 Рзв 0 0

0 0 0 Р44 0 0 0 Р43

Рі5 Р25 Р35 0 Р55 Рів Р57 0

Рів Р28 Рзв 0 Рбв 1 0 0

Р17 Р27 0 0 Р5Т 0 І 0

. 0 0 0 Р43 0 0 0 1.

р =

де параметри оу та р*,/ приймають відповідні значення.'

Бведеяня довільної кососиметричної матриці ие змінює ступеня стійкості системи, але дозволяє змінювати структуру діючих сип.

Основні реоультати та висновки

1. Запропоновано конструктивний алгоритм аналітичної побудови оборотного ов’яоку та функції Ляпунова для механічної системи в формі Фро-беніуса о одшш керуванням.

2. Доведено теорему про структуру та аналітичний вигляд матриць оворотного ов’яоку і функції Ляпунова для керованих систем в формі Фробеніуса.

3. Отримано узагальнення запропонованого алгоритму синтеоу на блочлі канонічні форми Фробеніуса та Гесенберґа систем о q керуваннями.

4. В аналітичній формі роов’яоано оадачу про побудову фільтра для моделі похибок іиерціальної навігаційної система.

5. Проведено структурні дослідження керованих рівнянь руху моделі супутника на орбіті та побудовано керування для ріоних режимів роботи.

Основні реоультати дисертації опубліковані в таких роботах:

(1] Положил Т.Г., Новицкий В.В. Построенне обратной п функции Ляпунова й лшеавых управляемых системах // Республ. конф. ”Динаміка твердого тела п устойчивость движения”: Тео. докл. - Донецк, 1990. С. 44.

[2J Положил Т.Г. Управление линейной нестационарной ИНС // Фильтрация п управление в механических системах. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1991. - С.86-97.

[3] Положлй Т.Г. Структурные оадачп синтеза обратной связи вторым методом Ляпунова - Киев, 1993.- 24с. - (Препр. / АН Украины. Ин-т математики; 93.43).

[4] Положпй Т.Г., Новпцкий В.В. Структурные задачи синтеза и треугольник Паскаля // Укр. конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем” (Моделирование систем): Тез. докл. -(Киев, 1995.—

С. 77.

[5] Положші Т.Г., Ногшцкіяі В.В Структурные оздачії сидтеоа л треугольник Паскаля // Друга Українська конференція о автоматичного керування (’’Автоматика- 95”). Теои дон. - Львів, 1995. - С. 9.

[6] Положив Т.Г. Керування не стаціонарною моделлю похибок 1НС // ІІовнцькпп В.В., Ясінськші В.В. ’’Прикладні задачі декомнозиції та керування в динамічних системах.” - Київ: НТУУ ’’Київський політехнічний інститут", 1995. - C.4S-57

[7] Положив T.F. Узагальнення иа багатовимірні система // Новицькіш В.В., Ясінсьепй В.В. ’’Прикладні вадачі декомпознції та керування в динамічних системах.” - Київ: НТУУ "Київський політехнічний іиституї”, 1935. С.67-70

[8] Положий Т.Г. Алгоритм сіштеоудші форма Фробепіуса // Іїошіцький

В.В., ЯсінськиЇ! В.В. ’’Прнкладні падачі декомпоонції та херування в динамічних системах.” НТУУ ’’Київський політехнічний інститут”, 1995. C.70-9G

[9] Пододжй Т.Г. Алгорг-ms аобудот оворотиого оп’яоху для капотчпої ' форми Фробепіуса керозтіах систем - Київ, 1996.- 32с. - (ІІрснр,

НАИ України. Ін-т ммгемахнкп; 95.10).

Положип Т.Г. ’.’Структурные оадачи синтеза на основе второго метода Ляпунова п их применение в механических снсте-

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физпко-матема-тпческих наук по специальности 01.02.01 — теоретическая механика. Институт математики НАН Украины, Киео, 1997. ,

Диссертация посвящена решению задач синтеза обратной свяоп для ' линейных систем в канонических формах Хессенберга и Фробенпуса на основе второго метода Ляпунова н их применению в задачах механики. Построены и обоснованы конструктивные алгоритмы вычисления обратной святш и функции Ляпунова. Найдены аналитические выражения матрицы усиления обратной связи и матрицы функции Ляпунова через решение соответствующей системы разностных уравнений. Полученные . результаты применены для построения фильтра в модели ошибок нпер-цпальной навигационной системы и для исследования задачи управления спутником па орбите.

Polozhii T.G. ’’Structural problems of synthesis based on Lia-> punov second method and their application to the mechanical sys-

Thesis for the degree of Doctor of Philosophy in Physics and Mathematics, speciality 01.02.01 - Theoretical Mecanics. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences oT Ukraine, Kyiv, 1997.

Thes is is devoted to solution of the problems of synthesis of feedback for linear systems in Hessenberg and FVobenius canonical form based on Liapunov second method and their application to the mechanical problems. The constructive algorithmes of calculation of feedback and Liapunov function were constructed and substantiated. Analytical expressions for matrix of strengthening of feedback and matrix of Liapunov function over solution of core-sponding systems of difference equations were found. Obtained results were applieded for construction of filter in the model of error of thé inertial navigational system and investigation of control problem of the satellite on the

мах”

terns”.

orbit.