Существование и аналитичность предельного состояния Гиббса для одномерных решетчатых систем квантовой статистической механики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Р7 12 9 2

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ!! УНИВЕРСИТЕТ имени Л\. В. ЛОМОНОСОВА

Л\еханико-математнческий факультет

На правах рукописи ХУДОП НАЗАРОВ Нурилло Урпиор.ич

УДК г,17.13 : ЯЗО.МГ,

СУЩЕСТВОВАНИЕ И АНАЛИТИЧНОСТЬ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ГИББСА ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Специальность: 01.01.01 —Математический анализ

А п т о р е ф е р а т

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена па кафедре теории функций и фукци-ональиого анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научи ы и р у к о в о д и т е л ь

доктор физико-математических паук, профессор

Р. Л. Ммнлос.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Б. М. Гуревич, кандидат физико-математических наук К. М. Ханнн.

Ведущая организация — Институт Проблем Передачи Информации РАН.

„„„И ,

Защита состоится « 'г".—: » . /'С?. 1992 г. в 16 час.

05 мин. на заседании специализированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 10—24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

¿¿Г* А&Ш^Сс/

Автореферат разослан «

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.04 при МГУ,

доцент Т. П. Лукашенко

} I

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вопрос о существовании термодинамического предела состояния Гиббса является очень важным в квантовой статистической физике. В настоящее время этот вопрос почти полностью решен для квантовых решетчатых систем с конечным множеством значений спина. Однако для квантовых решетчатых систем с бесконочным множеством значений сшша существований термодинамического предела состояния Гиббса удалось доказать лишь .для некоторых специальных случаев. Диссертация посвящена изучению этого вопроса для некоторых классов одномерных квантовых решетчатых систем.

Цель рпботы,

1. Доказательство существования термодинамического предела состояния Гиббса для одномерных квантовых рошетчатых систем с Финитным и дальнодействующим потенциалом.

2. Исследование некоторых свойств предельного состояния Гиббса для рассматриваемых систем.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Построено предельное состоЬние Гиббса для исследуемых систем.

2. Доказано, что предельное состояние и свободная энергия исследуемых систем обладают важными свойствами (анали-

• '' . тичность по параметру р>>0 (обратной температуры), трансляционная инвариантность, убывание корреляций).

3. Получены кластерные разложения для статистической суши и приведенных матриц плотности для системы с дальнодеа-ствующим потенциалом.

Методы исследования. В работе используются модификация для квантового случая методов трансфер-матриц я кластерных разложений,' ранее разработанных для исследований классических статистических систем.

Приложения. Диссертация носит теоретический характер. Ео ре зультаты могут быть испол; зованы при изучении физических явлений а тшеао метода, разработанные в ной могут быть применены в дальнейшем при исследовании различных классов квантовых решетчатых систем.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на заседаниях: научно-исследовательского сеиинара по проблемам математической фИЗИКИ ПОД РУКОВОДСТВОМ Р.Д.ШШЛЭСа.

Лубликащи. Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов, и списка литературы, содержащего 38 наименований. Общий объем .диссертации 80 страниц.

Содержание диссертация.

Во Введении приводится краткое описание квантовых решетчатых систем, краткий обзор работ по изучаемой теме.

В первой главе, носящей вспомогательный'характер, подробнс излагается схема построения квантовых решетчатых систем и вводится формула Фейнмана-Каца СП. являющаяся основным средством наших исследований.

I. Ginibre J. Some applications of Functional Integrations in Statistical Mechanics.// Ins "Statistical Mechanics and qua: turn fiold theory" (Los Houshcs Summer School of theoretical physics) Uew-York, London, Paris. 1970.

- 2 -

Для любого коночного множества Дс 2. обозначим через тензорное произведение гильбертовых пространств

где - гильбертово пространство состояний частиш в узле

решетки X. (все пространства 'ítj предполагаются изоморфными). Далее, через Ot¿ обозначим С*-алгебру ограниченных операторов, действующих в Tit^ - При А с-Л' возникаот #-изо~ морфнов владение ОСл С». ОСл. , при котором Jt 6 (Кл переходит в , где fAU - единичный оператор, действующий в пространство %'vt • Это позволяет определить индуктивный предел С'-алгебр Шл при Л?Ж • Возникающую ^-алгебру обозначим через (Jl0 (алгебра локальных наблюдаемых) . Пополним Ot0 по норме и обозначим это пополнение чероэ (JL (алгебра квазилокальных наблюдаемых).

Через Нл обозначим гамильтониан системы - самосопряженный оператор, действующий в 7/д ввда

XS/1 }

где ф = -{Хс Z, lXl<oa} - потенциал системы, т.о. совокупность самосопряженных операторов, действующих каждый в Их . Состояние Гиббса на алгебре задается по формул«

vrw^sj1 S,

где величина

- з -

называется статистической суммой системы в А и параметр р>0 играет роль обратной температуря системы.

Если для каждого оператора ¿Дб (Л0 существует предел

(I)

то состояние ф^1 можно продолжить по непрерывности на всю алгебру (Л и это продолженное состояние называется предельным состоянием Гиббса.

Во второй главе рассматривается одномерная квантовая решет-яктая система с финитным потенциалом. В этом случае фазовое пространство кавдой частицы реализуется как = ¿г^"?) « Гамильтониан системы в конечном "объеме" Ас / имеет вид

где и ~ самосопряженные операторы импульса и координаты, действущие в , в I/ и "V/ , - измеримые фу| кции (потенциалы внешнего поля и парного взаимодействия). Относ, тельно функций V и "V/ , . - предполагается выполнен« «ли следующие условия:

>-оо , существует константа А ,0<А*С такая, что при ¡СС1>А 1/(х)- монотонна (при ■х<~А убивает, при С£>А возрастает); 2°. УёвО при ¿>£0 и .для любых зс}эс'е®

для некоторой константы С е (0,1) .

- 4 -

3°. функции U я Л/1 , ¿>¿,2,... принацлежат.-классу С1 и

luVx)UoL>O пр;всех

ТЕОРЕМА I. Пусть функции U я ~Vt , t'1,2,.--удовлетворяют условиям I0- 3°. Тогда для любого J3 существует предел

(в смысле определения (I)), задающий трансляционно-инвариантнов состояние на С* -алгебре (Л . Напомним, что состояние на алгебре Ot называется трансляционно-инвариантным, если оно инпаряантно относительно автоморфизма алгебры ОС , породненного сдвигом решетки 2 » для любого П£ Ж .

ТЕОРЕМА 2. Состояние ЦЭ^ удовлетворяет условии убывания корреляций, т.о. для любых конечных множеств Jj , JzcZ и любых Д £ (Л^ , 6 (ЛГг

lim j^U QnüЬ))-Ч>П4)Ч>П&)1=0.

Положительног-определенный ядерный оператор

r^r'^jxpw),

действующий в пространстве , называется приведенной мат-

рицей плотности состояния в множестве Je Л

Оказывается, что для доказательства существования предельного состояния достаточно доказать существование пределов

J ¿у/Ж

для любого фиксированного , причем сходимость в (2) по-

нимается в смысле сходимости по норме ГищЗерта-Шмидта в пространстве ЭД^ [27.

Это замечание служит технической основой доказательства теоремы I. При этом в доказательстве существенно используется формула Фойнмана-Каца и теорема Мерсера [3I. Кроме того, в доказательстве используется представление состояния, статистической суммы и приведенных матриц плотности в видо матричных элементов степеней некоторого оператора (трансфер-матчиш), действующего в некотором вспомогательном пространстве (пространство функций от наборов траекторий частиц на промежутке времени СО,р>3 ). 'Это представление является квантовой модификацией классического представления состояния с помощь» трансфер-матрицы.

В третьей главе .диссертации рассматривается одномерная квантовая решетчатая система с дальнодействующим потенциалом с дискретным пространством состояний частиц, в которой ^ =-/¿>(2). При этом пространство "На состоит из функций на |д/ -мерной решетке, суммируемые квадратом';

2. Сухов ü.M. Существование и регулярность продельного Гиббсов-ского состояния для одномерных кепрерывных систем квантовой статистической механики // Доклады АН СССР. T.I95, ü 5» (1970), с.1042-1045.

3. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных нгесамосо-пряяенных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965.

Гамильтониан системы в конечном "объеме" А задается формулой

т - дискретный аналог оператора кинетической энергии

о

(оператор второй разности в (Ж) ). действушдай в ^ , а л (7/ДО ~ оператор" умножения на'

функции

На функции и •' 22->18, нала-

гаются условия:

а) 1ш1

при лобых а^Л'б 2 и , где Я - монотонно

растущая функция, для которой

Л ик*1>1< ;

- 7 -

б) для любого конечного АСЖ и любого набора Х^йЖ!*'

Л1 + II гъ^ъл.) > д, г, ,

;бЛ 1,1. ¿л ЦА с

где А>0 И Д^/Р - константы.

Мы доказываем отсутствие фазовых переходов в наиболее сил ной форме: как аналитичность свободной энергии и состояния ГиС бса в следующей комплексной области изменения параметра уз

I (?е*>0; Г.>о} (3)

В случае квантовых систем при аьалитичоскоы продолжении в ком: лексную плоскость по параметру р>0 возникают существенны трудности. Для того, чтобы преодолеть эти трудности мы будем использовать специальную формулу типа формулы Фейнмана, котор позволяет работать с таким комплексным возмущением [4].

ТЕОРЕМА 3: При любом р>0 существует предел

= 1АГ1 Зл

(свободная энергия системы), причем функция , допуск

аналитическое продолжение в область Л (см. (3)).

ТЕОРЕМА 4. При любом р>0 и 'М(ЛВ существуе предел

ч>(р)ш « л* ,

¿»г * >

4. Suhov Yu.M. Sbuhov A.G. lealenko A.Y. Towards time-dy for bosonlc aystema in Quantura Statistical Mechanico. Pr print. Dublin X.A.3. 1989.

- 8 -

задающий состояние на С*-адгворо 1}L .

При этом ф'Л' является трвнсляционно-иивариантним, a¡)io-дическим и его значения ) и (fl'^f Pfy^ÍÉl)) ana; иче<:

ки продолжаются в комплексную область -О. (см. (3)), здесь В - любой оператор Гильберта-Шмидта из алгебры ülj , J - любое конечное множество решетки 2й Р' 1$ - любой полипом.

Доказательство теорем 3 и 4 помимо формулы Фейнмана-Капа использует дополнительно кластерные разложения.

Отметим, что из существования предельного состояния Гиббеа вовсе не следует сходимость приведенных матриц плотности в норма Пигьборта-Шмцдта, так что сходимость приведенных матриц плотности является лишь достаточным условием для существования предел!, ного состояния Гиббеа, причём очень сильным.

Автор считает своим фиятным долгом поблагодарить Р. А. Müh.io са и Ю.М.Сухова за постановку задачи и всестороннюю помощь в выполнении этой работы.

Й<?ДХЦ.йВХО,Са.„ДО..Хдмд,.диссертации;

Худойназаров Н.У. Состояния Гиббса для одномерных квантовю решетчатух бозонных систем // Теоретическая и математическг физика. Т.84. Л 2. (1990), с.239-249.

Худойназаров Н.У. Аналитические свойства гиббсовских состой ний для одного класса одномерных решетчатых квантовых сист // Рукопись депонирована в ВИНИТИ РАН 1392 г. № 31227в92 Лба.