Существование вязкостных решений параболических полностью нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка общего вида тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Санкт - Петербургский Государственный Университет.

На правах рукописи.

Существование вязкостных решений параболических полностью нелинейных дифференциальных уравненй второго порядка общего вида.

01.01.02-дифференциальные уравнения.

Автореферат . диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Гликг - Петербург 1947 год

Работа выполнена на кафедре высшей математики Санкт -Петербургского Архитектурно - строительного университета.

' Научный :

руководитель ■ доктор физико - математических наук,

профессор Ивочкина Нина Михайловна.

Официальные

оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор Осмоловский Виктор Георгиевич, кандидат физико - математических наук, доцент Мкртычян Павел Зорикович. .

Ведущая

организация: Санкт - Петербургское отделение

Математического института им. В.А.Стеклова.

Защита состоится 199.5года в ,/.3 час. мин.

на заседании диссертационного совета К 063.57.49 по защите диссертации на сойскание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, д. 2 , математике - механический факультет Санкт -Петербургского государственного университета.

С диссертацией можно ознакомиться по адресу: г. Санкт -Петербург, Университетская набережная д. 7/9, научная библиотека СПбГУ.

Автореферат разослан -/Я?-'.... ......... 199.?г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико - математических наук, ' доцент А.И. Шепелявый .

•з

Общая характеристика работы..

Актуальность темы.

Последние годы актуальным направлением теории полностью нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка стали уравнения параболического типа.

Уравнения .

Q [г/] = «(-V, I, и, и,) , и = u(x,t) , могут быть нелинейными не только относительно производных

Функции '«v,,)eС''7Д.), Qr*fo-J),Q

пространственным переменным , но и по и^. Осюда ясно, насколько богат класс параболических нелинейных, уравнений. Одна из главных задач при исследовании таких уравнений состоит в поиске множества D допустимых функций к(л-,/)для оператора Q .

Особый интерес последнее время вызывает теория вязкостных решений параболических и- эллиптических нелинейных уравнения. Построение таких решений позволяет обойти трудности , связанные с построением априорных оценок вторых производных решений и(лл) неравномерно параболических

уравнений. Вязкостная теория находится в центре внимания многих математиков последние годы. Построение в этой диссертации вязкостного липшнцева решения параболического нелинейного уравнения является дополнением к результатам, полученным п работах U.M. Ивочкиной, O.A. Ладыженской, И.О. Крылова. Н.С. Трудннгера. " ' '

/

\

к

Цел- работы.

Целью данной работы является исследование разрешимости • первой начально-краевой задачи для полностью нелинейного параболического уравнения в вязкостном смысле.

Научная новизна.

Результаты, полученные в диссертации.являются новыми. Методы исследования.

Методы, используемые для построения априорных оценок решения:

. I) для оценки нормы допустимого решения в пространстве Чр (йг) развиваются идеи Н.М. Ивочкиной, JI. Каффарелли, Н. Ниренберга, Дж. Спрука, Н. Трудингера;

2) для оценки максимума вторых производных допустимого решения равномерно параболического уравнения использованы идеи Н. Трудингера;

3) для оценки нормы Гёльдера вторых производных решения применены методы, разработанные Н.В.Крыловым, М.В.Сафоновым.

Для доказательства теорем существования использованы методы, предложенные Н.М. Ивочкиной, O.A. Ладыженской, метод регуляризации операторов Крыпова - Трудингера, а также . известный метод непрерывного продолжения* по параметру.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинаре им. В.И. Смирнова в Санкт - Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова, на кафедральном научном семинаре по нелинейным уравнениям под руководством Н.М. Ивочкиной.

,£Г

Публикации.

Основное содержание работы опубликовано в статьях [1-3].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, и списка использованной литературы. Библиография содержит 30 названий Общий объем работы - 106 страниц, напечатанных в редакторе "Word 7".

Краткое содержание работы.

Во введении дан краткий обзор литературы и освещены уже известные результаты по теме диссертации.

В главе 1 изложена постановка задачи и условия согласованности данных задачи.

Рассмотрим функцию G-.J)B>—g\ J)ecRfx Sym(n), Sym ( n ) - множество симметричных матриц порядка пш, и область D, которая Является выпуклой компонентой связности пересечения D,f]D,. где Di- область вогнутости функции (7, Di-область монотонности функции G:

/>: = ((•«. S) € D ■ С ( V- «T.S+ I/ )> С(А, > ().,, > 0 },

// - любая неотрицательно определенная матрица. Всегда предполагаем, что (- J)<sl) несли (s, S)gJ) .той

(s,ccS)<='D «ри «г 1. (s,£+rj)eD.

Мы рассматриваем также только области D и функции G, -которые инвариантны относительно ортогональных преобразовании в Sym ( п). и CZ(D),

Функциям G сопоставим дифференииальные операторы G в С "'(с,) • Q: - iTv [о,-/] , Q с JZ'1, последующему правилу:

G M = g (s H,5[«])Sf?(í,sX4 Í lu] =,a0u,,

SM^u^-a^I + WI.

(O

Здесь постоянные а, >0, а, >о, £^>0. Функция И задана в 2Г * Л х /? " и предполагается достаточной гладкой. По определению матрица

(2)

где и„ - матрица Гессе по пространственным переменным функции . а(х,1)е Сг (вг)< А-А{их) - положительно определенная гладкая матрица вида

/, j = 1,н, s>l, а >0 . (3)

Определение |,

Функцию «(x,i) назовем допустимой для оператора (1), если

(s.S}l4U)e£>, zeQr.

Определение 2.

Оператор С называется равномерно параболическим, если найдется

, • допустима

функция Л такая, что на любой функции . выполняется

неравенство:

X I ) . J

где о о, л (л,Л) [«] > о, к 7> , Определение 3.

Оператор О называется равномерно невырижОе/шыи, если

л и5)[и]2;Л„><}', (5)

Для уравнения

С, (s,S^)[l,]=g(x,/.u,uJ (6)

поставлена первая начально-краевая задача:

//(л',0) = Ч'(л). 1\ . = Ф (*,»). (7)

Требования, предъявляемые к параболической границе сводятся к условиям на границу области . Предположим,

что ьа - замкнутая поверхность класса С " для любой

точки Х,<£ ЭЙ

существует число Гв >0 такое, что внутри шара граница д£2 в декартовой системе координат с началом в точке х0 задается графиком функцн'и :

хп = а)(х1.....хл"),

ось л" направлена по внутренней нормали к в точке ли.

Функция , определенная в

окрестности точкн(Х<>,.) при достаточно большом /?>0 являсгся допустимо!'} для оператора П). Тогда- границуЗЯна ювем

<)'»т ПШМГ'Н.

В п. 3 главы 1 сформулирована теорема существования классического решения задачи (6), (7). Приведем ее, считая для простоты здесь и далее, что £ = £ (хД) <= С'^'Тф^ММ^.Г) €

Условия собственности, о которых пойдет речь в теореме 1, гарантируют непротиворечивость «рунКЦИМ ЧК, Ф,

допустимое! и. решения

Теорема 1

Предположим, что для задачи (6), (7) выполнены следующие условия:

I) Оператор С, порождаемый функцией О, являегся равномерно параболическим и равномерно невырожденным на множестве допустимых функций;

» /Г"'

3) Начально-краевые условия (7) согласованы вплоть до второго порядка;

4) Функции Ч',Ф,£ являются собственными;

5) Границ л является допустимой.

Тогда существует единственное допустимое решение

и(2) .1Сг"и%Ш задачи (6), (7).

Главное ' внимание в диссертации уделяется построению априорных оценок допустимого решения в С2" '• Этому посвящена вся глава 2.

В п.п. 1-4 главы 2 для допустимых решений задачи (6), (7) строится - априорная оценка в С "(&г)- Сформулируем соответствующее предложение, считая

Теорема 2.

Предположим; что выполнены следующие условия ;

, -

11 Л >,,;

» о •

2) Граница эО

допустима;

3) при .

Тогда для любого допустимого решения И (Х^)бС (0)

1з) ^

^задачи (6), (7),имеется следующая оценка:

В ri.ii. 5-8 главы 2 для равномерно параболического полностью нелинейного уравнения (6) построены априорные опенки вторых производных допусгимого решения. Для этого используются обозначения:

-А/,

[м;0г] = 5ир ( | « | + | их|),

От

Мг[и-,йт\= А/, + вир ( | и« ( + | и, |

От

( 1 [ | «,(г.)-«,(г2) |

! ¡г, -г,Г (г, }

гС

Теорема 3.

Пусть и е С " (<2г)ПС " (бг) - допустимое решение задачи (6), (7), (4),(5)'

МгМ=£=<;ле,..

Тогда найдутся числа е(о,|) и Л>0 такие, что при любом 2„ чд 2Г выполняется неравенство:

Теорема 4.

Предположим, что «(г) еС4,(бг)ПСг'(2г) * допустимое решение задачи (6), (7), (4), (5).

Тогда для всякого Й.>0 , ~ выполняется

неравенство: :

И-Л* СМ * (|+«г л£,.,<=)), (9)

где постоянная /? = /?(к)</? «, = С*П&, Мгм=Мг

В процессе доказательства теорем 3 и 4 прослеживается зависимость мажорант для Л/,.^«; СЛ(~<,)П^'(?7| и

Сл(г )П&] от радиуса Я и от М2 К. Это дает возможность в

п.8 воспользоваться интерполяциолным неравенством, доказанным Сафоновым М В.:

мк[у;фк <£ (Ю)

где ' V € С ' 1(С}) ^ звездная область в

При выводе оценки мг[»; <7, ] в неравенстве (Ю) взяты:

е = Св(г> = Ся(-)П2г, У = и,,-< = 1Я а =рт,с1~ЛатС1.

Введем обозначения':

+1И1С^) +1И1с1&)■ .

у^тЫ^А^),' В, -£>г*{!ц! + Ы< М,}. .

Теорема 5.

Предположим, что выполнены следующие условия:' . () оператор <7 - типа (1), (4), (5);

2)а,-а< >0;

3) условии (7) согласованы вплоть до Г1 порядка;

0 собсгвенгздгг

5) границя

допустима.

I о! да ячн любого допустимого решения )

».'дачи (6), (7) пгрп;1 оценка:

мш^УХМ^ЯМ

Глава 3 диссертации посвящена доказательству существования липшицевых вязкостных решений задачи (6), (7). В п.1 даны основные определения вязкостной теории. Здсь же приведены основные полученные результаты по решению параболических уравнений в вязкостном смысле.

В п. 2 применен метод регуляризации данного оператора (1) для построения вязкостного решения задачи (б), (7) для неравномерно параболического полностью нелинейного уравнения.

В результате доказана теорема.

Теорема б.

Если для задачи (б), (7) выполнены условия:

2) Начально-краевые условия (7) согласованы вгагогь до второго поря д., г,

3) Функции являются собственными;

4) Граница ЭО является допустимой.

Тогда существует и единственное допустимое решение н(г) е Ир(дт) задачи (6), (7) в вязкостном смысле.

Заключение.

Основные результаты работы:

1. Для допустимых решений первой начально - краевой задачи для параболических полностью нелинейных уравнении построены априорные оценки максимумов модулей решений и их первых производных.

2. Построены априорные оценки вторых производных допустимых решений первой начально-краевой задачи для равномерно . параболических полностью нелинейных уравнений.

3. Доказано существование 'допустимых ' решений класса. £,г">2 первой начально - краебой задачи для равномерно параболических полностью нелинейных уравнений.

Ц. Доказано существование вязкостных липшицевых решений нерпой начально - краевой задачи для неравномерно параболических полностью нелинейных уравнений.

Основные резумтаты, выносимые на защиту, опубликованы в следующих работах:

1. Ивочкина Н.М., Прокофьева С.И., Якунина Г.В.. Об одном классе уравнений типа Монжа - Ампера., Проб. мат. анализа., СПб., 1992. вып. 13, стр. 89-106. .

2. Прокофьева С.И., Якунина Г.В.. О разрешимости задачи Дирихле для уравнения типа кривизны., Деп. в ВИНИТИ . №220-В-94 от 26.01.94.

3. Прокофьев*. С.И.. Оценка градиента решени -задачи Дирихле для уравнений типа Монжа - Ампера в области с негладкой границей.. Пробл. маг. ан., СПб., 1995, вып.14 стр. 110121. .

Диссертация написана при частичной финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований 96-01-(11199я.