Сверхпроводимость с нетривиальным куперовским спариванием и точки Ван Хова в двумерных моделях Хаббарда с отталкиванием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ УНИВЕРСИТЕТ

СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ С НЕТРИВИАЛЬНЫМ КУПЕРОВСКИМ СПАРИВАНИЕМ И ТСЧКИ ВАН ХОВА В ДВУМЕРНЫХ ' МОДЕЛЯХ .ХАББАРДА С ОТТАЛКИВАНИЕМ

(специальность 01.01.03 - математическая физика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 538.945

МАЛЫШЕВ Кирилл Леонидович

Санкт-Петербург

1993

Работа выполнена в Санкт-Петербургском отделении Математического института им.В.А.Стеклова (Российская Акацемия наук)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Б.Н.ПОП СБ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

А .Б .ЛЯПЦЕВ;

кандидат физико-математических наук Б.С.КАПИТОНОВ-

Ведущая организация - Физико-Технический институт

, им.А.З.Иоффе , (Российская Академия наук)

Защита состоится - • 1993 г. в

часов на заседании специализированного совета Н 053.ЭТ.17 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по асресу: 199034 Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9,

С диссертацией можно ознакомиться.в научной библиотеке

спбгу. ' ' ; " "

Автореферат разослан " "_ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета доцент .

С.Н.Манида

0Б11]ДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. ;Открытие И.Г.Беднорцем и К.А.Мюллером сверхпроводящих окскдев

одно из самых интригующих событий, произошедших в физике за последнее десятилетие. Это открытие вызвало новый всплеск интереса к теоретическим исследованиям в области физических механизмов высокотемпературной сверхпроводимости.

Отсутствие выраженного изотопического эффекта »

отличие от предсказываемого БКШ-теорией отношения энергетической щели к величине критической температуры» сама по себе возможность аномально высоких критических температур (стандартный механизм БКШ с запаздывающим электрон-электронным притяжением за счет обмена фононами может объяснить Тс =30°К для лантановых соединений, но не Тс =90°К для иттриевых) вынуждают привлекать в рассмотрение нестандартные механизмы сверхпроводимости.

Известно также, что высокотемпературные сверхпроводники (купраты меди) относятся к сильно коррелированным веществам -веществам, у которых характерная энергия кулоновского отталкивания электронов больше или порядка ширины зоны. Благодаря этой корреляции высокотемпературные сверхпроводники близки к переходу металл-диэлектрик. В сильно коррелированных системах имеется тенденция и к магнитному, и к сверхпроводящему упорядочению, вследствие чего проблему высокотемпературной сверхпроводимости естественно рассматривать в контексте изучения магнитных состояний.

Успешная модель высокотемпературной сверхпроводимости должна прояснить и следующий вопрос: какой тип спаривания реализуется в оксидных сверхпроводниках и обеспечивает заряд носителей *2е? Действительно, здесь возможна конденсация изначально существовавших в нормальной фазе бозевских возбуждений или механизм типа БКШ в системе фермионов, описываемых теорией нормальной ферми-жидкости Ландау.

В работах ( рох/, 1990/92) в формализме температур-

ных функций Грина исследована однозонная модель Хаббарда с отталкиванием ^Ц >СЛ на квадратной решетке и показано, что при достаточно низкой температуре и малых значениях ренорми-рованного параметра допирования ("малость" подразумевает близость^ половинному заполнению, когда на узел приходится, в среднем, один электрон) в системе реализуется неелевское антиферромагнитное упорядочение. При увеличении параметра допирования антиферромагнитный дальний порядок разрушается и система может перейти в сверхпроводящее состояние, если уровень Ферми проходит через седловую точку функции энергии квазичастиц (точку Ван Хова). При этом спаривание носителей происходит не в. 5-состояние, как в стандартном подходе БКШ, а в суперпозицию состояний с нечетными угловыми моментами.

Настоящая диссертация содержит дальнейшее развитие работ < УД Ророу,1990/92) и посвящена изучению однозонной и трех-зонной двумерных моделей Хаббарда с отталкивающим кулоновским взаимодействием. В диссертации использован единый подход на основе темпер'атурных функций Грина. В рамках данного подхода используется модифицированная теория возмущений с аномальными функциями Грина, позволяющая учесть спонтанное нарушение симметрии в модели. В работе рассматривается возможность возникновения сверхпроводящего состояния с нетривиальным куперовсшм спариванием при условии, что уровень Ферми проходит вблизи одной из точек Ван Хова функции энергии квазичастиц.

ЦЕЛИ И ЗАДОМ РАБОТЫ. .

1. Исследование возможности сверхпроводимости с нетривиальным куперовским спариванием в однозонной модели Хаббарда

в случае, когда уровень Ферми пересекает малую окрестность седловой точки (точки Ван Хова) функции энергии.-

2. Описание антиферромагнитного (неелевского) упорядочения в трехзонной модели Хаббарда с. отталкиванием в «формализме температурных функций Грина.

3. Изучение возможности'сверхпроводящего состояния с нетривиальным кулерорским спариванием в-трехзонной.модели'Ха*- .

!арца в случае, когда уровень Ферми пересекает малую окрест-юсть точки Ван Хова функции энергии.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ. В аналитической форме изучена юзможность сверхпроводящего фазового перехода в однозонной к ррехзонной моделях Хаббелда с отталкиванием. Показано, что $сли уровень Ферми проходит вблизи точки Ван Хова функции жергии квазичастиц, то в указанных системах возникает сверх-1роводимость за счет спаривания с нечетными угловыми моментами (нетривиальное куперовское спаривание). Развита процедура югарифмически точного решения уравнения Бетте-Солпитера при температуре, равной критической температуре соответствующего разового, перехода.

НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ. Полученные в хиссертации результаты способствуют лучшему пониманию физики магнитных и сверхпроводящих состояний в моделях типа Хаббар-

отталкивающим кулоновским взаимодействием. Дальнейшее развитие полученных в диссертации результатов будет способст-ювать более детальному пониманию как моделей указанного тиха, так и их применимости к описанию высокотемпературной гверхпроводимости.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Зимней Школе фиэиков-георетиков "Коуровк; ХХУ1" (1992 г.), на семинарах Физико-Гехнического института им.А.Ф.Иоффе и Санкт-Петербургского >тделения Математического института им.В.А.Стеклова.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликова-ы в 3 печатных работах, список которых приведен в конце реферата.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Материалы диссертации пложены на 103 страницах машинописного текста и иллюотриро-5аны 4 рисунками. Диссертация состоит из введения, трех глав, включения, пяти приложений и списка литературы из I16 найме-говений.

ОСНОВНОЕ СОДЕШНЯЕ РАБОТЫ

'Во Введении дан обзор литературы по теме диссертации, перечислены пели и задачи работы, а также изложено краткое содержание диссертации.

В Главе I рассмотрена однозонная модель Хаббарда с отталкиванием (¿Ц > на квадратной решетке. (В рззд,1.7 приведены аргументы в пользу того, что результаты, получаемые в режиме слабой связи Щ/Ь <<Т4. » сохраняют свою силу .и в промежуточной области параметров А.2* ^ .

Раздел 1.1 содержит форк^улировку модели. В разделе 1.2 приведена короткая сводка известных результатов (V//. Роро\/, 1990). касающихся неелевского упорядочения в модели. Эти сведения необходимы для замкнутости дальнейшего изложения. Известно, что однозонная модель.Хаббарда вздет себя как антиферромагнетик при половинном заполнении. Дальний порядок разрушается при допировании системы дырками. Это установлено как аналитически ( Ъ~ 3- модель), так к в численных расчетах CJ.H-.rscl, ЯТа^ 51569). В работах ( У Л ?ороу; 1990) этот результат воспроизведен с помощью температурных функций Грина к, в частности, показано, что нормальная'функция Грина вне области антиферромагнитного упорядочения имеет исчезагоще малый знаменатель при достаточно низких температурах. Малость знаменателя может привести к сингулярности амплитуд рассеяния с импульсами в окрестности слоя Фбрми. Отталкивательный характер взаимодействия и сингулярное поведение нормальной функции Грина на уровне Ферми приводят к тому, что модель оказывается неустойчивой по отношению к образованию пар с ненулевым! угловыми моментами.

Следует указать, что возможность сверхтекучего фазового перехода в трехмерном слабо неидеальном рерми-газе с отталкиванием рассмотрена в работе О'-.Ю.Каган, А.В .Чубуков, 19Ш). Сверхпроводимость собственно в двумерной модели.Хаббарда с о1: тялкивянием при мялом заполнении и рассмотрена в

С VN.?ЬроV,1990/92; Н.А.Баранов, М.Ю.Кагвн, 15ГЛ; С.

\/М \bfx3Vj 1991). Установлено, что при малом заполнении сверхпроводимости с моментами £=0 и не возникает.

Проблема высших спариваний может быть решена при вычислениях с большей точностью.

В разделе 1.3 рассматривается уравнение Бете-Солпитера для двухчастичной (четырехточечной) амплитуды рассеяния частиц с противоположными импульсами. На линии фазового перехода в сверхпроводящее состояние соответствующее решение должно обращаться в бесконечность, что дает возможность перейти к Однородному уравнению, связывающему ренормированный параметр допирования *х и критическую температуру Т^ • 2 этом же разделе вычислена двухчастично-неприводимая амплитуда рассеяния (она играет роль ядра уравнения Бете-Солпитера) в простейшем нетривиальном приближении - до второго порядка включительно. Вычисление проведено способом, который позволяет не разлагать энергии по степеням импульса и формально пригоден при любом заполнении X . ' -

В разделе 1.4 проводится логарифмически точное решение однородного уравнения, полученного в 1.3. Решение удается получить в окрестности сецловой точки функции энергии (точки Ван Хова), где заполнение уже не является малым ( С. У.Ы.Ро ро\/^1991). В связи с пионерскими работами И.Е.Дзяло-шинского (И.Е.Дэялошинский, 1987), где было предложено связать высокую темперг?уру сверхпроводящего перехода в оксидных керамиках с наличием логарифмической особенности плотности состояний вблизи точек Ван Хова, возник значительный интерес к роли точек Ван Хова в сверхпроводимости. Например, в работах (с.С Л1ие1 3>. м. Нгш^ е! о1.} 1990 ;Х>М. Меню ^ ?. С.

«Д991) логарифмическое поведение плотности состояний в окрестности точки Ван Хова используется для объяснения высоких температур сверхпроводящих переходов в рамках фононного механизма типа БКИ1.

Решение однородного уравнения получено в двух случаях:^ ±. Ь С , где ^ - приведенная ширина зоны ( Ь" ^ я - амплитуды электронных перескоков с узла на бли- 3

жайшй узел в направлениях I и 2, соответственно), ос» ос0 является заполнением, при котором уровень Ферми проходит точно через точку Ван Хова, С4 - малый параметр, характеризующий отклонение уровня Ферми от точки Ван-Хова. В случае з>ОС0+,ЬС. решение однородного уравнения оказывается антисимметричной ступенчатой функцией в импульсном пространстве^меняющей знак в седловой точке. Случай •х=осс>-'Ъсг' более сложен. Ограничиваясь вычислением с логарифмической точностью, можно приближенно свести интегральное однородное уравнение к системе двух алгебраических уравнений,решение которых уже гэ составляет труда. В обоих случаяхудается определить два "критических" параметра: максимальную температуру сверхпроводящего перехода ""Г,, и максимальные значения сдвига допирования Сх с*х • Например, для авОСо+ЬС.2, максимальное значение «"у

Тсх = (вхь/ог) ехр (- 64ЯГ* (-ъМ'1)

достигается при сЬ"0 » ЭДя *2С» - ■ЬСг максимальное значение

достигаетсй при некотором специальном значении С% ■ С*»л 3 С^ < С^ Сг-ц- (здесь &г\УеС,- постоянная Эйлера). Ясно, что П"1 ПР

1 с.х 1 са

Качественно полученный результат означает, что на плоскости зе-Т существует не только'антиферромагнитный пик, отвечающий половинному заполнению ОС= 0 » нг и сверхпроводящие пики для 0:= ЗСо ± ь Г?ис. .

Каждой седловой точке отвечают два пика, изображающие два найденных решения. Кривые сверхпроводящего фазового переходя пересекаются при \эс|= 0Со • Максимальная критическая температура достигается не при С1*» О П*!" > 5 ЛРИ специальном значении (СЛЛа^ч/, М.Ророу, 1^1).

В разделе 1.5 рассматриваются уравнения Дайсонз-Горькова отягчающие спонтанному нчрушент симмзтрии слореходом в, сверхпроводящее состояние.; В тс время, кпк анализ уравнения

Рис.1

типа Бете-Солпитера (разд.1.3, 1.4) позволяет изучить модель ня линии фазового перехода, анализ решений уравнений Дайсона-. Горькова позволяет попасть "внутрь" сверхпроводящей области на фазовой диаграмме ОС-Т. • В разделе 1.5 используется скелетная диаграммная техника с нормальными и аномальными .функциями Грина, соответствующими "сверхпроводящим" аномальным средним. В этой технике линиям отвечают полные функции Грина, а вершины - такие же, как и в обычной теории возмущений. При этом следует учитывать лишь диаграммы, не содержащие поддиаграмм типа собственно энергетических частей. Полные функции Грина связаны с затравочными функциями Грина и собственно энергетическими частями системой линейных уравнений, которые для фермионных моделей называются уравнениями Дайсона-. Горькова. Вид собственно энергетических частей требует конкретизации и в диссертации использовано приближение Хартри.

В разделе 1.6 проведено логарифмически точное решение одного из уравнений Дайсона-Горькова, а именно того, которое определяет параметр порядка (энергетическую щель) "внутри" сверхпроводящей области. Действуя в полной аналогии со случаем однородного уравнения (разд.1.3, 1.4), удается получить зняч^нйя щели, отвечающие двум случаям отклонения поверхности Фервд/от седловоП точки Вян Хова +-ЬС- ). Дяя решения

+ 1Дель достигает своего максимального значения

при сг«Ь , при а> ос0—"ЬС максимум щели -приходится наСгаСгм. В обоих случаях выполняется соотношение типа БЮ:

-ю -

' Сверхпроводящие решения I и П, отвечающие

С£-= 0Со±."Ьс.2, , могут существовать одновременно только призе достаточно близких к .

Главы вторая и третья диссертации посвящены исследованию более реалистичной, с физической точки зрения, модели ВТСП, основанной на трехзонном гамильтониане Хаббарда. Как уже сказано, этот гамильтониан предложен в работе{\/7 Етеъу^ 1987) при построении кислородного сценария сверхпроводимости.

В Главе второй рассмотрен вопрос об антиферромагнитном (неелевском) упорядочении в трехзонной модели Хаббарда с отталкиванием на всех узлах. Численные расчеты 1992) показывают, что антиферромагнетизм в модели существует при половинном заполнении и разрушается при допировании с переходом модели в несоизмеримую магнитную фазу. Способ исследования антиферромагнетизма в диссертации - тот же, что и в разделе 1.2. Решение уравнений Дайсона-Горькова дает выражения для нормальных и аномальных функций Грина (каждой из трех зон отвечают одна нормальная и одна аномальная функции Грина). Подстановка функций Грина, в выражения для собственно-энергетических частей дает уравнения согласования, связывающие между собой параметры допирования зон, антиферромагнитную щель и температуру. Эти уравнения согласования и рассматриваются в разделе 2,2 диссертации. Раздел 2.1 посвящен формулировке ' модели. В разделе 2.2 получены уравнения в общем случае, когда заполнения кислородных зон ( и ) и медной зоны (сс) разные и не зависят от спинового индекса ^ • Рассмотрен случай неелевского порядка на медной подрешетке приу^у^а

. При этом магнитные моменты на кислородных узлах не индуцируются. Основное отличие (и усложнение) от случая одно-зонной модели Хаббарда заключается в матричном характере задачи. Раздел 2.2 содержит также случай равных заполнений всех зон .. Особенно прост случай половинного заполнения модели оей^е О , сохраняющий качественно основные свойства более общих случаев. Существенное отличие от однозонного случая при описании антиферромагнетизма таково: в однозонном слу-

чае неелевское упорядочение возникает при любом отношении 11 /ь , а в трехзонном - должно выполняться неравенство

^ ¿¡/¿'.Основной результат однозонного случая сохраняет силу: вблизи половинного заполнения существует неелевское упорядочение на медной подрешетке, которое разрушается при допировании и система может перейти в сверхпроводящее состояние. Нули знаменателя функций Грина при нулевой частоте определяют поверхность Ферми.

Глава третья содержит изучение сверхпроводимости в трех-зонной модели Хаббарда. В разделе 3.1 получено уравнение Бете-Солпитера дня двухчастичной амплитуды рассеяния в окрестности точки Ван Хо?а. Так же, как и в разд.1.3, на линии фазового перехода можно перейти к однородному уравнению, допускающему логарифм, чески точную процедуру решения. В разделе 3.2 вычислена двухчастично неприводимая амплитуда рассеяния электронов на медных узлах. В разделе 3.3 прозедено логарифмически точное решение однородного уравнения и получены два сверхпроводящих решения в случае "Ьй= Ь • Качественный вид сверхпроводящей диаграммы на'плоскости х-*Т остается таким же, как и в однозонном случае (рис.1). В работе определены "критические" значения параметров с2, и ПР , характеризующие вид сверхпроводящих пиков. Соответствующие выражения сложны и приведены в диссертации.

В Заключении сформулированы основные научные результаты ■ и выводы диссертационной работы:

I. В однозонной двумерной модели Хаббарда с отталкиванием существует куперовское спаривание с нечетными угловыми моментам;; при условии, что уровень Ферми проходит вблизи одной из точек Ван Хова функции энергии. При этом оказываются возможными два сверхпроводящих решения (рисЛ). Данные решения существуют при таких значениях ренормированного параметра до-пироэяния, когда уровень Зерми проходит вблизи одной из точек Зан Хова и ||х|-ос0| ^ "Ьс^ («0 означает допирование, при

котором точка Бпн Хова точно лечит на уровне Ферми). В случая, когда ^с^4|!*1-х0| ^ ( сх и ^Х - пара-

- 12 -

метры, вычисленные в диссертации) возможно существование только одного из полученных решений. При [loct—тзс0 | ^ t-C-^д '

сверхпроводящие решения не существуют. Максимальная температура сверхпроводящего фазового перехода достигается при ||х|- а:. | = t< ¿1 < Сд Эта максимальная температура принимает значение <~Ю0°К при v/t и (при этом х» Jo отвечает температура гРс'~80оК). . Сверхпроводящим решениям соответствует параметр порядкаД , модуль которого при нулевой температуре удовлетворяет соотношению БКШ: (это установлено явно при эс0 и при с\ Проведенная в разд.1.7 диссертации оценка мнимой части спектра кваэичастиц показывает, что полученное в режиме слабой связи описание нетривиального куперовского спаривания с нечетными -гловыми моментами сохраняет свою силу и для более реалистичных значений отношения

<ИД~ 10*12.

2. В трехзонной двумерной модели Хаббарда с отталкиванием существует антиферромагнитный дальний порядок на медных узлах при половинном заполнении и при достаточно низкой температуре. Дальний порядок разрушается при допировании системы дырками, если параметр допирования превышает некоторое критическое значение. Антиферромагнитный порядок реализуете^ при условии, что отношение не является малым ^lij/t^ 4/iT в выбранном приближении Хартри для собственно энергетических частей). При половинном заполнении X» = 9а г*О возникает известная по- однозонному случаю оценка для максимальной температуры антиферромагнитного перехода: М. Знаменатель нормальной (матричной) функции Грина при• нулевой температуре обращается в нуль на линии, являющейся уровнем . Ферми рассматриваемой модели. Это служит указанием на возможность сингулярности амплитуд рассеяния в окрестности уровня Ферми и неустойчивости системы относительно куперовского спа-" ривания.

3. В трехзонной двумерной модели Хаббарда с отталкиванием существует- сверхпроводящее состояние с нечетными угловыми •

- 13 _

моментами при условии, что уровень Ферми близок к одной из точек Ван Хова функции энергии квазичастиц (по аналогии с од-нозонным случаем). Качественно картина сохраняется такой же, как и в однозонном случае (рис.1). Теперь характеристика заполнения модели - произведение заполнений "медной" и "кислородной" подрешеток СС^ . Обозначим Досу. отклонение заполнения от величины, при которой уровень Ферми проходит через седловую точку функции энергии. Тогда при ^ "tC-^x

возможны два сверхпроводящих решения в модели, при -j-

ЗС - одно из полученных решений и при

ЗЕ сверхпроводящие решения исчезают. Максимальная температура сверхпроводящего перехода Тс. достигается при некотором специальном положении уровня Ферми по отношению к седловой точке. Своеобразие сверхпроводящего состояния в трехзонном случае заключается в том, что значение С-^-х, оказывается порядка единицы и кривые сверхпроводящих фазовых переходов приобретают, своеобразный затухающий "хвост", который может проникать в-область антиферромагнетизма на фазовой диаграмме.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

C.Malyshev, V.H.Popov On Superconductivity in the Ivro-_ . Dimensional Repulsive Hubbard Model // P0i.ll Preprint

HE-9-91. - St.-Petersburg. - 1991. -34 p. К.Малышев, В.М.Попов. Сверхпроводящие состояния в двумерной модели Хаббарда с отталкиванием // Зап.научн.семин. П0Ш1. С.-Петербург.-Наука. 1992. Т. 199. С. 147-175. рJ G.i.Ialychcv, V.M.Popov Antiierr©magnetism ад4 Superconductivity, in the Three Band Repulsive Hubbard Llodel // POMI • ;. 'Preprint 3-C-92. - St.-Petersburg. - 1992. - 54 p.

РТП га;ЯФ,зэкЛ15,ткрЛ00,уч,-изд.л.0,б; I6/II-I993r. Бесплатно