Свободные разрешимые алгебры в многообразиях с одной тернарной мальцевской операцией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ДОСОВСКИМ ГОСТДАРСТВЕНШЙ УНИВЕРСИТЕТ яывгш У.В.ЛОЖНОСОВА

Мехаяихо-ыа те магический факультет

На правах рукос«са Щ 512.572

СПЕТА ЧАКРАБАРТИ

СВОБОДНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ АЯГЕБЕЫ В МНОГООБРАЗИЯХ С ОДНСЙ ТЕРНАРНОЙ ШШВСКОЙ ОПЕРАЦИЙ?

Специальность - 01.01.06 - математическая

логшса, адга<5ра я георая чисвя

Автореферат диссертация на соискание ученой степени кандидата $изек о-мателатячвсхих яаун

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-иа-' тематического факультета Московского государственного университета ям. М.В.Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

доцент В.А.Артамонов Офигиальйыо оппоненты -доктор фазшсо-ыатематяческнх наук,

профессор С.В.Пчелянцев

нандздат фззико-ыатематдчосних наук, доцант ¡З.А.Кодмаков

Ведущая организация - Уральский государственный

университет

Завита диссертаций состоится ^даиг^Уи/ 1993 г. в 16 час 00 мне. яа заседании Специализированного Совета Д 053.05.05 по математики при Московском государственной университете иы. Ю.Ломоносова по адресу: П9899, Москва, Лвнян-скиа горы, Ж?, ыэхаяико-ттаиатичеетслй факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-ыатематического факультета МГУ

Автореферат разослав » </ •СШЯШЙЪ! 1993 г.

Учений секретарь

Специализированного Совета Д С53.05.05 по математике при ШУ, доктор фязико-

ыагеыатичеекггх наук, профессор В.Н.Чуйариков

ОБЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность.темы. Универсальная алгебра - это теория финитарных операций па множестве. Цель исследований в этой области - найти и изучить такие свойства, которые является общими для разных алгебраических систем, например, груш, колец, решеток, модулей и т.д.

К настоящему времени теория универсальных алгебр ужо сформировалась как обширный раздел общей алгебры с самостоятельной проблематикой и методикой. Основными монографиями по универсальным алгебрам являются известные книги. В настоящее время появились новые интересные монографии по

с л о а тр

этой теме, например.

1 Курош А.Г. Теория групп. - !Л.: Наука, I9S7.

2 Курош А.Г. Общая алгебра. Лекции I959-1970 учебного года. - М.: Наука, 1974.

Кгч П. Универсальная алгебра. - M.: bîap, 1968. Gtrabïër G • Universel — VwSftj , 1Г»Ч.

5 Мальцев A.И. К общей теории алгебраических систем. -Мат. сб. ("новая сарая), 1954. Г.35, £77. С.3-20.

Bupf>ls s. > Su.nU»V>aria.vor H • "Р- A соитп-e. In UnWnsti. Al^e^a-S.-

sv-r^y-r.- vi*i>3 .14817 Общая алгебра. Под общей редакцией П.А.Скорнякоза. - И.: , Наука, Тоы 1,2, 1991.

8 !>««■»« R. , UcktTvxlc R . -П.м-7 >• CnfnUK* Ho^Mlar УкхЛх*.—

L«iuU M »A. Soc. , UcW«. tftUs Se*. , 1197 , \W.lisr.

q

Пину с A. Г. Конгруэнц - модулярные многообразия алгебр. -Изд-во Иркутского ун-та, Иркутск, I98S.

^ Uoti>y D.jMtko«»« R • "ТКе sWactupe <Л jinit oOgeWs--Gsnlcmj». ПЛ.,

me, Ml. 7i •

Теория многообразий универсальных алгебр развивается как под влиянием "внутренних" идей в русле обшей теории, таг и под влиянием развития теории многообразий конкретных классических алгебр: групп, колец, решеток s др.

Теория коггмутаторов в конгруэнц-модулярных многообразиях является одни.: из Еажяь'Х направлений соврамокнои универсальной алгебра. № рассматриваем общее определение коммутатора, которое совпадает с ухе известным определением' для алгебр с одной операцией. Коммутатор является в-эська полезный инструментом. для получения Банных алгебраических результатов. В начале семидесятых годов Де.Д.О.иг был первым математиком, начавшим работать в этом направлении. Он рассматривал алгебра в конгруэнц-лерестанозочкых многообразиях, которые являются одниы из важных подклассов коягузнц-ыодуяярннх многообразий. В конце 70-х годов его работа была обобщена на конгруэнц-мо-дулярные многообразия в работах Дк.Хагеианн, С.Харрманн. Далее в этой области работали X.ïï.Iïiaa, У.Тейлор и др. Много основных результатов в теории комаутагоров в их весьма важных пралокений получены Ыаккензи и др. В книге® Маккензи и Фриз ввели понятия абелевнх, нильпотентнцх к разравшыых'алгебр, которые являются обобщением аналогичных понятий в грушах и кольцах.

В настоящей работе ыы рассматриваем алгебры с обноЗ тернарной операцией Р в многообразии с двумя тождествами ¡Мальцева - PC»-«'у) » у® PC?'*'*) • По теореме Мальцева 2.1. из книги,® это многообразие будет перестановочным и, следовательно, конгрузйЦ-модулярныц. Ma знаем Tasse, что теорема

Мальцева - это частный случай теорема Гугяла 6Я. из книга. 'Этот подкласс хонгру энц-модулярннх шогообразяй является достаточно интересный я важным, поскольку можно применять гооряв КОКМуТЭТОрОВ ДЛЯ конгруЭИД-МОДУЛЯрнЫХ многообразий. В силу лемма 5.6. и предложения 5.7. из книга8 каждая группа является элементом этого многообразия я обратно, каждая абе- . левая алгебра с одетой ■тернарной операцией Р принадлежит этому шогообразию и, следовательно, ока абелева группа. Отметим, что класс таких алгебр, изучался, например, в работе Д^.Лаибека.11,12

В настоящей работе решается задача построения свободной разрешимой алгебры в многообразиях с одной тернарной операцией Р н о двумя уоздестваш Мальцева. С помощью этого построения исследуются автоморфизмы свободных разрешимых алгебр, свойство Хспфа, доказывается нильпотевая алпроксяруеыость а тривиальность центра.

Метода исследования. Б настоящей работе использована теория кош:утаторов в жонгруэнц - модулярных многообразиях, диф-Фаренцирования Фокса свободных ассоцнативвШс колец, теория колец и модулей с несколькими объектами.

Новизна работа. Все основные результаты диссертация являются'новыми. Основными результатами данной работы ыояно считать следугашэ:

Тоол&Дт и&ячЬек . Ссдеи^* ол^ Кв^« . ВиХ1 Ц Ат«!1 • Ней»-1Ч5Т.

12 Т- . Он 1Кв. о} Нй1'се»- О^-^^*

»ш.» ы. ш , та. О***).

1. Найдана Еонструкдая свободной разрешимой алгебра в иногообразаи с одной тернарной отзрацией Р с двуия тоаде-ствааи А.И.Мальцева (тесрока 2.1.1.).

2. Изучены аатоморфззыы ев ой одних разрешимых аггебр указанного многообразия (шага Ш).

3. Доказана свойство Холфа в свойство регулярности свободных разредншых аггебр конечного ранга (гаореиа 3.0.4. в 3.0.1).

4. Доказана шшдонтная аштрсксишруемость и тривиальность. центра свободной иетаб&юой алгебр (глава 17).

Теоретическая в практическая данность. Работе носит теоретический характер. Еерозультаты и метода ногут быть еспсйь-зовалы дяя исследований в универсальной алгебре, творив групп, лалац я модулей. Оне ыогут быть полезна спецяадистаа в ртих областях, райотагазы в ИГУ, НГУ, УГУ, С1У, в др.

Адробашя работы. Основана результата дассертацгз докаа-дивалвсь на нау чно-исйледовательас оы сеижнаре кафедры алгебры 1Л7, на ешивера по кольцам г ыодуляа ИГУ, на алгебраической сеиянар® Уральского увнвэрсятбта, а тшоса в ооебщэнжях неадународной конференция во алгебра а Краеноярехе в в Берклэ (США.).

Пгбдисатт. Результаты дгссертадан опубликована в трех работах автора (1-3), сстсоз которых праведен в к ища автореферата.

Объем работы. Диссертация наясазна на % страницах в состоят из введения в четирех нтв. Бабхвографаа содерхат 45 кашзпавшяй;

Первая глава состоит из шесхя параграфов, в тх указана все фундаментальные результаты я теоремы теории каииутаторов, теория дайвреяцированай фокса групповая колец, теории автоморфизмов относительно свободных групп и их свойств Хшфа, теории налыготентно ашроксямяруеиях падалняши идеалов, используемых во всей работе. Доказательства этих фактов можно найти в гЕзгах.8'13»14'15»16

В первой параграфе первой славы указана определения модулярного и перестановочного многообразия универсальннх алгебр, приведены Мальцевские характеристики »тих многообразий. Именно для таких многообразий применяется теория коииутаторов.

Во второй параграфе первой главы приведены определения коммутатора и различные его свойства, которые потребуются в дальнейшем.

Третий параграф первой главы содержит основные результата об абелеЕых алгебрах в хонгрузнд-ыодулярзых многообразиях, которые ыь' попользуем дал того, чтобы построить свободную разрешимую алгебру с одной тернарной шераотвй Р в многообразия с двумя тождествами Мальцева.

Четвертый параграф первой главы состоят из некоторых основных результатов о дифференцированиях факса групповых колец а вложении Иагвуса в теории групп.

13 Холл И. Теория групп. - Изд. иностр. лит., 1962.

14

Я.«.,ре* Ц.В. ХеЫ-ЬхШт Ь» V®* , ГЧ63.

15

К. Рр«« Кя^в. — С«,Кгг>. м»А>. СЬ.

Хб

Мватап* у. Уа*,«Л,"<1в ^ $»«4« • — . ПС?.

В иятш паргарафе первой главы указаны некоторые результаты об автоморфизмах относительно свободной группы и свойства Хояфа. Некоторые из этих результатов о коыоморфизмах и свойстве Хояфа ш обобщаем в трэтьей главе на случай свободной разрешимой алгебры с одной Мальцевой операцией.

Шестой параграф первой главы.состоит из определения пополнения и шш>потент:то аппроксимируемых идеалов. Этот параграф такке содэрЕПт теорему о нсльнотентно аппроксимируемых пополняющих (й'ндамэнтальных) идеалах. Эту теорему ш используем в главе 17.

Вторая глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе содержится определение Р - алгебр, разрешимых'алгебр степени 1í ( ) , конструкция свободной разрешимой Р -алгебры степени V- (теорема 2.1.I.) и некоторые свойства это£ конструкции.

Во втором параграфа главы П конструкции свободной paspo-» шазой Р - алгебры рассматриваем с другой, г очка зрения. Крс&е того, дается определение дифференцирования фокса ассоциативных колец и некоторые их свойства Слеша и теореиа 2.2.1).

Глава Ш посвявша ивучони» гшож>рфазыов свободных разра-шиых Р - алгебр степени * . В этой главе доказывается, что свободная разрешшаз Р «erraбра степени i ранга ij , не вкадщвазЕСя в свободную разрешимую Р - алгебру стелена fe ранга ^ , вели > (теореш 3.0.1). Индуцированный автонорфаам фактор алгебры свободной разрешимой Р -алгебры степени к над х * | * ? . по конгруэнции задаэгея перестановкой ьиохеезва , где }Г -

- образ х а фактор алгебра (теорема 3.0.2). ЭДы используем 'еледуэдие обозначения да коммутатора конгруэнция на алгебре А из конгруэнц-модулярного многообразия:

»З-к.й -К'1. .

Каждый автоморфизм свободной метебелезой Р - алгебры ранга * пндущгруег автоморфизм вэ факгороалгебру по конкрузнции , но обратное утверждение неверно (теорема 3.0.3). Доказывается, также, что свободная разрешимая Р - алгебра степени к г-1 конечного ранга обладает свойством Хопфа (3.0.4).

В главе 17 рассматривается проблема нильпотентной аппроксимируемости свободной метабелэвой Р - алгебры (теорема 4.0.2).

В заключение автор выраяаег глубокую благодарность своему научному руководителю В.А.Артамонову за постановку задачи и пос? тоянное внимание к работа. Автор также высказывает благодарность все;.: членам кафедры высшей алгебры за поддерзку и внимание в .течение 4 лет учебы в МГУ.

РАБОТЫ АВТОРА ГО ТЕШ ДИССЕРТАЦИИ

1. Чакрабарти С. Свободная иетабелевая алгебра с одной тернарной операцией в многообразии с двумя тождествами Мальцева. -Вести. МГУ, сер Л. .Математика, механика, 1993 6).

2. Чакрабарти С. Гомоморфизмы свободных разрешимых алгебр с одаой Мальцевой операцией. Успехи мат.наук. 1993, т.48. й 3.

3. CioWU.tr s. Co^vutnce-t о» al^w

IdiBv trr\<. WVcev'a . --C**jtTtno.

on . ViTO-snftyo-rsU \HH3•

Подп. в печать 7.07.93 г.

Зак. 599. Тир. 100

внииимт