Свойства гиперкомплексного аналога интеграла с ядром Коши и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

одеський детдома університет

‘ ІМЕНІ 1.1.ЫЕЧШКОВА '

На правах рукопису

ІІІТЕЛЬМАН Ігор Михайлович

ВЛАСТИВОСТІ ГІПЕРКОМПЛЕКСНОГО АНАЛОГА ІНТЕГРАЛА З ЯДРОМ КОШІ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ .

01. ОІ.ОІ - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кшдидата фізико-математичних наук >

Одеса 1994

. Дисертацією в рукопис. .

Робота виконана на кафедрі математишого аналізу Одеського державного університету імені 1.1.Яєчникова. '

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук,

. . доцент

** • ' ' - • . . ШАПІРО Михайло Беніамінович

Офіційні опоненти: доктор$ і зико*математичних наук,

професор

. КАКІЧЕВ Валентин Андрійович

кандидат фізико-математичних наук, доцент

СКОРОХОД Сергій Федорович Провідна організація: Харківський державний університет

Захист відбудеться 1994 року о & год

на засіданні Спеціалізовано! вченої ради Д 05.01.01 по фізико математичним неукам /математика/ в Одеському державному університеті за адресою: 270100, м,Одеса, вул. Петра Великого, 2

З дисертаціеш можна ознайомитися у науковій бібліотеці Одеського державного університету /270100, ц.Одеса, вул. Радянсько! Армії, 24/.

Автореферат розісланий ”30” к Ішил 1994 року.

• Вчений секретар Л ____

Спеціалізованої вченої ради О.М.Стоколос

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Поряд з класичною теорією голоморфних функцій багатьох комплексних змінних, яка знайшла багаточислен- • ні застосування у різноманітних галузях математики, механіки, теоретичної фізики, в сучасному математичному аналізі розвива-бться /В.С.Виноградов, R.Deta»^l\e. F.Bracicx, F .Sommeri, J.E.Git-Bert» M.A.Murrey,/.Souchek.H.MotoaeK та ін./ і інший - г^перкомплй-ксний - підхід до багатовимірної ситуації, при якому здійснюється дослідження властивостей функцій із значеннями в алгебрах Кліффорда. .

Тіло дійсних кватерніонів ІН утворює кліффордову алгебру найменшої /після поля комплексних чисел <Е/ вимірності - сдину асоціативну некомутативну скінченномірну алгебру над И без дільників нуля. При цьому задачі кватерніонної теорії функцій е змістовною та адекватною моделлю для багатьох проблем багатовимірного аналізу. Тому клас гіперголсморфних /моногенних/ кватер-ніоннозначних функцій» що визначаються як ядро запровадженого І^з.К.Мойсилом, Н.Теодореско, Р.Фуетером аналога оператора Ксші-Рімвна, а також їх інтегральні зображення, гіперкомплексні аналоги інтеграла з ядром Коші, оператори сингулярного інтегрування, аналоги крайової задачі Рімана та деяких П узагальнень, крайові задачі для відповідних диференціальних операторів, варіанти формул Гільберта вивчалися у матричн.'й та кватерн іонній формі багатьма авторами /А. В.Біцадзе, іО.ВасилевськиР, В. С.Виноградов,

А.Д.Джураев, М.М.Крллов, М.В.Шаліро, В.І.Шевченко, F.Bracitx,

С. А.Деауоигэ ; К.&ІИевеск,- K.Nono, W.Spross іу , А.сМвегу та ін./. Под ал ьа і узагальненім ідей Г^р.К. Мойсила, Н.Теодореско, Р.Фуетера розглядалися також і в роботах В. С. Владимирова, І.В.Еоловича, Д.6.<2реЯдензона. .

Інтерес до ідей та методів теорії гіперголомор(Тних кзатер-кіокнозначних функцій, інтегралів з квагерніонним ядром Коші ш-клякай їй не тільки їх застосуванням в багатовимірному комплексному алалізі /В.А.Байков, М.Л.Василевсыгай, B.C.Виноградов, И.Насер, Н.В.Шапіро, К.Ноїю, F.Sonir.en та ін./, теорії крайових задач для еліптичних систем диференціальних рівнянь у частинних . похідних /В.б.Балабаев, А.В.Біцадзе, А.Д.Дяуразв, М.М. Тарханов»

. А. І.Янушаускас, К.&їїгІевек, І^.ЗргЬм ід та ін./, але Й Тх застосу-венням: в теорії геофізичних полів /Ы.Л.ВасилевськиЙ, М.С.Жда-нов, И.В.ІІІаліро/, в теорії пружності, мехеніці суцільних середовищ /Б.Д./ннін, в.М.І^нгор"єв, В.М.і^трунов, В.В.Наумов,

A. Ы. Далі к та ін./. В роботах В.В.Кравченко, М.В.Шапіро встановлений природний зв"язок спеціального класу гіперголоморфних бікватерніонних функцій із гармонічними у часу електромагніти-ми полями в однорідних ізотропних середовищах. За допомогою інтегральних зображень функцій з згаданого вище класу гіперго-ломорфності були отримані нові інтегральні зображення для електродинамічних характеристик. Гіперкомплексними /у тому чис- • лі і кватерн іонними/ методами факторизуються /В. В. Кравченко,

B.Г.Кравченко, М.В.Шапіро, К.йііг Грвеск, Ниаі^ІЛеіе, Р.^олінеп, \tf.Spross ід та ін./ деякі диференціальні оператори, які грають важливу роль у математичній фізиці /наприклад - оператор Гельмгольца/, досліджуються відповідні крайові задачі.

Гіперкомплексний варіант голоморфних функцій, інтеграла з ядром Коші, які будуються у межах кватерн іонного аналізу, е точними структурними аналогами відповідних понять теорії функцій одного комплексного змінного. Цей факт дозволяє застосовувати при дослідженні властивостей гіпергодоморфних кватерніоннозначних функцій та їх інтегральних зображень, сингулярних інтегралів методи, адекватні'розвиненим в $4-аналізі; звідки вже як наслідки одержуються розв'’яски найрізноманітніших задач багатовимірного аналізу. І якщо такі задачі удається зв"язати з задачами гіперкомплексного /зокрема - кватерніонного/ аналізу, то доцільність застосування зазначеного підходу продемонстрована в багатьох роботах. Крім того, перенесення понять, методів одновимірного аналізу на гіперкомплексну ситуацію маз суттєво-самостійне значення та супроводжується отриманням і в межах останнього нових результатів. , ,

■Беручи до уваги означене вище, тема дисертації, що є частиною досліджень кафедри математичного аналізу Одеського державного університету за комплексно» темою "Ваг .товимірні інтегральні оператори, теорія гіперкомплексних функцій та деякі

питання комплексного аналізу" /державний реєстраційний номер 0187.0002903/, являв собою актуальну.

Объект дослідження. У даній дисертації досліджуються певні властивості інтегралів з кватерніонним ядром Коші

Зі*'\ £ * у* хк /І/

/щіІЗ; 4},ІХл''\-(!Л-0 - вимірний обпвм одиничіої сфери 5"'"*в 1ЯЛ,

- структурний Я -вектор - упорядкований набір кватерніонів /грипг=3 - суто уявних/, які утворюють вК4, орто-нормовену систему, йди,ч» вважається рівним +1 або -і в залежності

від погодженості орієнтації базису \ каноничного базису в И’У.

Такі інтеграли з одного боку зв”яз8ні з теорією /ліво-/ ^ -гі-

герголонорфнизс функцій, що складають ядро еліптичного диференціального оператора з лг

■■ • /2/

а з іншого, при відповідному виборі класу гіперголоморфності, -з інтегральними операторами, кожний з яких звичайно а предметом самостійного вивчення в межах "традиційних" підходів: '

з інтегральним оператором з двохвимірним ядром Мартінеллі-Бохнера Ш^(^и)^(4тсги-Щ4Г<[(^'й,ийМ^г:-(г;г-а1^[г]лс1г,], /З/

з інтегральним оператором

який розглядшться в теорії лапласових в області Лсії^ полів.

Крім цього, при 3, ЧУ-: оператор ЬГГ:=

2 м оператор кватерн іонного спрякення/ - кватерн і они а форма запису диференціального оператору Мойсила-Теодореско. Аналог інтеграла Коші, який виникав у теорії голсыерфних за ІІойсилом-Теодореско вектор-функцій трьох дійсних змінних, вивчався Л.В.Біцадзе, У його роботах дослід-аувезся /у матричній термінології/ трьохвимірний аналог інтегральної формули Ксаі, властивості сингулярних інтегралів /формули Сохсцького-Пяеиелі, формула Пуенкаре-Бертрана/, відповідні крайові задачі та їя практичне застосувсння.

Мета роботи.

а/ Впровадження поняття гіпердифереьційовності 1Н -значних функцій вздовж гіперплоцини в К.* , яке погоджується з гіперголомор-

фністо, що визначазться за допомого» кватерніонного оператора Коші-Рімана'*'Х) .

б/ Установлення характеру взаємозв'язку між V -гіперголомор^ні-ств К'—*"И -функцій та голоморфаісто С2—- С2 -відображень, між інтегралами з ядром Зі'у та інтегралами з ядром (0^2 з

+1\ /ь/

вивчення властивостей інтегралів з ядром • в/ Здобуття формул для гіперпохідних інтегралів /у тоцу числі і сингулярних/ з кваїерн іонним ядром Жі, як наслідків, відповідних властивостей інтегралів з двохвимірним ядром Мартінеллі-Бохнера.

г/ Здобуття аналога форцули Цу анкере-Бертран а для повторних сингулярних інтегралів з кватерніонним ядром /І/ і як насліків цього - формул переставлення порядку інтегрування та обернення для ряду багатовимірних сингулярних інтегралів, іноих властивостей останніх.

Петою дисертаційної роботи е і розвиток нових для гіперкомплексного аналізу та його застосувадь технічних прийомів, зв"язаних, зокрема, із застосуванням гіперкомплексних методів до досліджень властивостей голоморфних функцій кількох комплексних змінних, їх інтегральних зображень.

Методика досліджень. В основному ~ застосовуються апарат гіперкомплексного /каатерніс.дого/ аналізу та методи теорії сингулярних інтегралів; при розгляданні застосувань кватерні-онного аналізу використовуються елементи теорії голоморфних функцій кількох комплексних змінних та їх інтегральних зобра-кень; використовуються такса і елементи класичної теорії потенціалу, властивості гармонічних,функцій.

Наукова новизна та основні результати, які виносяться

на захист»

Основними результатами роботи о такі:

1. Наведено узагальнюючих рівність (І? =Ц<1г+- співвідно-

шень для И -значних диференціальних форм (тм) -вимірного об'єму в Ц*71 /т€ ^.3; 4} /, що погоджені із класами V -гіперголо-морфності. Указан прийом, який надаз можливість у подальших міркуваннях позбутися певної асиметрії у комплексних та дійсних наслідках кватерніонної теорії функцій.

2. Сформульовано означення гіперпохідної кватерніоннозначної

функції чотирьох дійсних змінних вздовж гіперплоцини В № , доведені теореми про властивості цієї гіперпохідної. Зокрема, установлений аналогічний комплексно-одновимірному випадку зв"язок між гіперголоморфністю і гіпердиференційовністю вздовж гіперпло-щини. . . '

3. Описано класи 9 -гіперголоиорфяих -функцій, які міс-

тять в собі, як властиву підмножкну клас А(<!Г; Є*) голоморфних ■ С^-*-5^-в'ідображень. Доведено, що ’А(С^; {£) є перерізом двох таких різних класів у -гіперголоморфності.

4. Отримані формули для гіперпохідних інтегралів /у тому числі

і сингулярних/ з кзатерніонним ядром Нові і. як наслідків, . відповідних властивостей інтегралів з двохвимірним ядром Марті-неллі-Бохнера. >

5. З'ясовано, при яких умовах форма я комплексною складовою •

кватерніонної форми Колі ^ '

6. Доведено .теорему про зведення інтеграла з ядром СО до по-

тенціалу простого шару у Г та критерій голоморфного продовження з межі одноов"язної області А с Гу термінах інтегралів з ядром £0С2' , який поясгазз деікі уствновлені ішими авторами вла-

стивості таких інтегралів.

7. Доведено за класичною "коїтлексно-одновимірнов" схемою

В.Д. /(утрадзе єналог формули Душкаре-Бертраяа для повторних сингуллршіх інтегралів з кзатерніонним ядром /І/. Як наслідки цього розультату одсрлвлі формули переставлення порядку інтегрування та обернення для сингулярних інтегралів, зв”язаних із системами типу систем Ііойсила-Теодореско /при цьому узагальна- ‘

7 •

ний результат А. В.Біцадзе, отриманий їм іншим методом/, із теорі-єв лапласових полів; одержані також і певні властивості повторних сингулярних інтегралів з ядрами 6)^ * С0е>. Показано також, як у межах кватерніонного аналізу доводиться двохйимірний варіант теореми Аронова-Китманова про голомррфність функцій, які зображені свої^ інтегралом Мартінеллі-Вохнера. '

Результати, які виносяться на захист, в новими. Крім того, у дисертації розглянуті змістовні приклади застосування гіперкомплексних /кватерніонних/ методів для розв"язання деяких задач багатовимірного аналізу; при цьому одержані нові доведення відомих фактів, а також - ряд нових результатів.

Теоретична та практична цінність. Дана дисертація носить теоретичний характер. Результати дисертаційного дослідження, • - . ' методи, які розвинені в роботі, можуть використовуватися у гі-перкомлленсному аналізі, лри вивченні гіперкомплексними методами властивостей голомор^иих функцій багатьох комплексних змін- . них та їх інтегральних зображень; при вивченні властивостей бвгй-> ’ товимірних сингулярних інтегральних операторів. Крім того, результати дисертації можуть знайти практичне використання при дослідженні задач математичної та теоретичної фізики, теоретичної механіки. ■

Публікації і апробація роботи. Основні результати дисертації відображені в 5 опублікованих роботах, список яких наведено в кінці автореферати. Результати, які включено до дисертаційної •роботи, одержані автором самостійно. В спільних публікаціях науковому керівнику належать постановки задач та підходи до розв"язення деяких а них. Безпосередні доведення теорем проведені автором даної дисертації.

Основні результати дисертації доповідалися на конференції молодих вчених Одеського деркавного університету /Одеса, 1938 р./, на конференціях "Гаховські читання"/Одеса, 1990 р. і 1991 р./, на Всесоюзній школі з теорії функцій /Одеса, 1991 р./, на шістнадцятій Всесоюзній школі з теорії операторів в функціональних просторах /Нижній Новгород, 1691 р./, на міжнародній

О

конференції, присвяченій пам"ягі академіка М.П.Кравчука /Київ, 1992 р./, на семінарі "Лінійні оператори" Одеського держуніверситету /керівник - професор Еасилевський М.Л./, на семінарі з теорії функцій Одеського держуніверситету /керівник - професор Стороженко Е.О./, на Одеському міському семінарі з крайових задач та сингулярних інтегральних рівнянь /керівник - професор Литвинчук Г.С./, на семінарі з теорії функцій Харківського держуніверситету /керівник - член-кореспондент АН України,, професор РонкіН Л, 1./.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складаються із вступу, трьох глав, які поділені на дванадцять параграфів, списку літератури, який містить 79 найменувань. Зазначимо, що теореми, твердження і т.п. в дисертації завжди виділяються в окремі пункти: наприклад, запис "теорема ЗЛО" означая, що ця ' теорема розтаиована у пункті 10° третього параграфа.

Робота викладена на 133 сторінках.

ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі наводиться стислий огляд робот за темоо дисертації, а також викладаються основні результати, які були отримані автором.

У першій главі вивчаються ^-гіперголоморіїні і гіпердиферен-ційовні кватерніоішозначні функції чотирьох дійсних змінних, впроведауеться необхідне для подальшого-поняття похідної за трьох-вшірнии "напрямком", який виділяється гіперплощиною, розглядаються класи гіперголоморфшх функцій, які містять сім"ю усіх го.-* лоиорфних $£—>-С -відображень. '

У 51 містяться деякі позначення і основна інформація яро різноманітні способи зображення кватерніонів. Зазначимо, що допоміжні результати, які використовуються у роботі, наводдться в основному у початку-кожної з глав.

У §2 наводяться означення кватерніонних операторів Колі-Рімана 41 ЗО ,2)1,1 та Щ -значних диференціальних форг? вимірного об "ему в Кт' , які узгод-зені із структурним !Н-£ЄК-’ 9

тором Ф , в якому один з кватерніонів ^ я^о «а решта -суто уявні, тобто 5ь('}''с)в 0, к * р. Причому для позбавлення певної асиметрії в результатах, 40 отримуються далі, запропоновано визначати диференціальну форму 6\^ за допомогою формули, яка залежить від того, який з хватерніонів структурного 1Н -вектора ф дорівняв дійсній одиниці і© :

-М'^СііОІ+^оІхІїіС'І-^гСїібЗ , р=о

^•4кСоИігЛ*&;А+«г\і*,С4іі]і -./б/

- Со*,а1+у “«іх [іДЗ-уМх їі;23, р = я ^ V <1х ІОіЗН {Ь в-ДИМ* Сі і ІЗ, р » І.

_(2І

До цього розглядався лише випадок р » 0*

У цьому ж параграфі виписується необхідна для подальших міркувань форцула .

ааСЛх)<Г^9(х))=^^|](х)б4^Сх)+2і'І'«К^хЗІ*^ ■ /V

+ кх)бу;ї^Єф(хУ^и*)^У5)[ЗіН, ' '

яка узагальнює співвідношення /М.Л.Василєвський, М.В.Шапіро/

/8У

що е у свао чергу кватерніонним варіантом рівності .

(}£*2£с1а+££(1ї із С1 -аналізу.

Ьї 'ЙЗ •

Крім того, розгортаються техніка застосовуванім результатів юза-терніоннсго аналізу до теорії фунщій двох комплексних змінних: наводиться комплексна форма запису квакери їоішііх операторів .

' Коиі-Рімена, рівяостой для диференціальний форм »^х •

• Центральним у партій главі е §3, в якому надсло означення

/лівої/ Ч» -гіпарпояідної функції |ос-х°І<Б}-*-Н

ВЗДОВЖ ГІПОрПЛОіЦННИ ^(ХЇїт^^ІІ^Хц+сі=о}

/<І еЯ- Д®Сл..,Лі,п.2,па) - одиниадий вектор нормалі до А у томі х°€ Л /.

" Функція І називааться ліво-У -гіпордиференційовноЕ'у

точці Х° вадовя А , якщо існує ІгеІН такий, що для ксяної послідовності невиродаених оріентовннх 3-паранелопіпедів (Па)“,

/Пп. <У+Е*,,

^ЛгДз^€Э([0;Ш}/, які задовольняють умовам її^сД Та (ІіатПц— О,

. Л—»оо , виконується співвідношення

ni* f ( ' W^'* f (*)3 = k • /9//

Нватерніон fu=:/fy^x0) називasться лівою У -гіперпохідною функції f у точці х° вздовж Л . .

Беручи до уваги геометричний зміст диференціальних форм б^х і , можна інтерпретувати і SгтгЛ^Чтс$W

як "приріст аргументу" та "приріст Функції" відповідно /зазначимо, що таке тлумачення використовувалося A.Sudeery, але не набуло у нього посутнього розвитку/.

. Далі у §3 доводяться .

Теорема З.ІО. Будь-яка функція?ЄСЧ'Дхс)-,1Н) /VCx°) - чотирьохви-нірннй окіл точки Xе / є ліво-Ч' -гіпердиференційовна у точці ‘£° вздовя кожної гіперплощини /\эх° , причому

І _ /ю/

П7:= Z .

. к=о

І

TeOTfiHit3.il. Нехай ТШссЧУ(х‘ИЛ і ИЛПУСхЧ = g|ЛrWVX0)■

Tадi "f и\'л($) -

Творена 3.13 устеновлюб аналогічний комплексно-одновимірному випадкові зв"яеок міг> гіперголоморфйстю і гі пердиф.еренці Fob -ністю вздовж гіперплоідини: .

Функція -?£'*$Ш(х0);ЇІ):=кег'%<У(ха))

в тому і тільки в тому випадку, коли для будь-якої точки ^eV(ac) 'fу,д(^) не залежить від вибору гілерплощини Лэ^ •

Зазначимо, що в пункті 3.12° указано /для стандартно-гі-перголоморфного випадку і A^txsCXo.x^ac^iCjKlR*: ж0 = о}^ 1RS / на природний зв"язок операції гіпердиференціюввння вздовж Л з класичними диференціальними операціями grai , div , rot в V?.

В пунктах 3.15° - 3.19° описаю класи ^‘ЗЗсг іу -гіперголо-норфності /Ч,р =іо при деякому ре (0, 3} , Sс0і*к) = 0, к f р/, 'які містять в собі всі голоморф»і І2—- -відображення. Доведе' II ■

но, що для коленого такого класу існує таке 06 [0; 21) , що у 9Ї&- = '*'в , де ¥0:={ісЛл»І4Єч9І2і

При цьому для Ч'2)[4К^')= Iі (^’

г= (ас0 + і4х,; Іі+цос^ес2. р

В деяких роботах з кватерн іонного аналізу виділявся /але один/ к-гас гіперголоморфності, який містить як властиву підинажи ну А(ї£; Ш2), В дисертації ж доводиться .

Твердження 3.17. Нехай {0<; с [0;2і),

Тоді А (Сг;І2) її **гШ-

У другій главі у розвиток ідей та методів §§2-3 доводять ся формули диференціювання інткг ллів

у К[{](х): = $ОС(г-X)Є^т •?(г) /II/

з кватерн іонним ядром Коші, тобто переноситься на кватерніонну ситуацію відомий результат теоріі інтегралів з комплексно-од-новимірним-ядром К аг: •

($^('г)(т-и.т<а*гу^^тіт-и.гМг, /і2/

де |Р с С- зімкнений контур. При'И^у у лівій частині /12/ -дохідна голоморфної Функції, прй ІІЄ^ -похідна сингулярного інтеграла вздовж контура інтегрування. Розв'язання цієї задачі у межах гіперкомплексного підходу вимагає застосування і результатів §2, і впровадженої у §3 операції гіпердиференціввання вздовж гіперплоцини.

Основний гіперкомплексний результат другої глави -Теорема 4.3. Нехай _ скінченна однозв"язна область,

3£1:=(хе!ііА:рСх)=о>>реСЧ^'і;и'і,9гаауІйа^)*0 УіеЗа.

Тоді при {€ С4(аД-,ІН) і хідй ГКЕ^(х) = 'уК:[%іТ](ж). /із/

Д(г1 - дотична гіперплощина до с)у точці тє<Щ /.

. Із цієї теореми отримані аналоги формул Сохоцького-Племеля для граничних значень гіпєрпохідної інтеграла /II/. Як застосування попередньої теореми у §5 доводиться-формула для гіперпо-хідної вздовж поверхи і > інтегрування сингулярного інтегр&га з ядром

Теорема 5.3. Якщо в умовах теореми 4.3 РЄС2’-^№ 6 (ОИ),

С^<ВД, то дня І€ЗПГК[Ш,Т(І^= /І4/

В пункті 5.5° зазначено, що для області

■ ' 12 "

теорема 5,3 в відбиттям властивостей сингулярних інтегралів з ядрами Рісса.

§6 роботи присвячений умовам, гри яких форма е комплексною складовою кватерніонної форми Коші.

Формула

2Л5/ / ^(ї>,и) - (}тундаментальний розв"язок оператора Лапласа Дсі /,

яка доведена в пункті 7.2°, показує, що інтеграл з двохвимірним неголоморфним ядром Мартінеллі-Бохнера /подібно до логарифмічного потенціалу подвійного шару в ІЛ2 / за допомогою потенціалу простого шару в добудовується до гіперголоморфного в інтеграла /II/.

Тим сачим стая можливим вивчати інтегральне зображення Мартінеллі -Бохнера в ^ гіперкомплексними методами, які аналогічні розвиненим в (С4-аналізі.

Особливість комплексно-двохвимірного випадна, яка описана у §7, надав, наприклад, можливість довести теорему 7.5 - критерій голоморфного продовження з межі скінченної однозв"язної області £1 с і* у термінах інтегралів з ядром Сі)іг) • .

У §§8 - 9 дисертації за допомогою результатів §§3 - 5 отримані формули диференціювання інтегралів з ядрами і : Теорема 8.5. Нехай II с - скінченна однозв"язна область з межою ЗЛ = {2єСг:р(.ї-) = 0>, реСЧііЛіНЦгасі рІМІ^О tїєдn.

Тоді при всіх ЦдГі для feC43.fi;С) здійснюються рівності

МИ; 2} /:

І иг* ъ* 1 /І6/

до - оаерагор комплексного спряження,

ІЗ

НДО:в$5Л«®^Ш • Ї Нгда^глЛ-2)Кг}.

Відповідні формули виписані в дисертації для формальних похідних по гк .

Одночасно з роботою І.М.Мітельмана і М.В.Шапіро її] '

О.М.Китманов анонсував аналогічний результат для інтегралів з и-вимірним ядром Іііартінеллі-Бохнера, який спирається на зв'язок інтеграла Мартінеллі-Бохнера з потенціалами. В запропонованій дисертації реалізуєтьсяочевидно, із структурної точки зору зовсім інший - більш адекватний, на наа погляд, ролі інтегрального зображення Мартінеллі-Бохнера - підхід. Зазначимо мимохідь, що в роботах 0,М.Китменова остаточні рівності для формальних похідних інтегралу иартІнеллі-Бохнера наведені із спотворенням. ;

Нехай ,6-к /ке (і; 2} / - формальні диференціальні оператори, лкі визначені рівностями ■

гк{к,^ии),-Ч уі я ^а. га

І

Тоді для рє , /*б(0; і) , С^ЗД;®) при всіх (ШІІІ

здійснюються такі співвідношення /к€ (1; 2} / .

^ІНШ^-\ЄЕ[Ьсдаіа> Н4ІРКШЇЦ-ЇСМ*^ОД1№>»

Співвідношення /17/ становлять зміст теореми 9.1, яка отринша як комплексний наслідок теореми 5.3, і е новими властивостями сингулярних інтегралів з ядром .

Третя глава дисертації присвячена кватерн іонному аналогу формули Пуанкаре-Бертрана й отриманню із нього формул переставлення порядку інтегрування та обернення для багатовимірних сингулярних інтегралів, які зв"язані з інтегралами з ядром /І/.

У §10 отримана формула Пуанкаре-Вертрана для сингулярних інтегралів з ядром /І/, причому доведення проводиться за схемою, яка відмінна від застосованої,. А.В.Біцадзе при вивченні аналога інтеграла Коші, звпязаного з теорією системи Мойсила-Теодореско. А саме: реалізується "комплексно-одновимірна" схема В.Д.Купрад-

• зе, яка грунтується на використовуванні кватерніонного варіанта

рівності ^Сг-іГ'Сг-х.г^х -о , ^ .хЛсШ , і ^

Ця рівність у ї* -аналізі легко доводиться розкладанням підін-тегральної функції на найпростішідробі; проте, в роботах А.І.Сербіна була допущена помилка, яка полягала якраз у тому, що для інтегралів з ядром Мартінеллі-Бохнера аналог /18/ насправді не здійснюється. Точний аналог важливого співвід-

■ новення /18/ установлюється- в межах саме гіперкомплексного

підходу: . . •

Теорема 10.3. Нехай Г - гладка гіперповерхня без краю, яка •

обмежує скінченну однозв"язну область О. с йі^/те^З; 4} /.

Тоді для {і і'Мс Г /-Ь ^т, / виконується рівність

<У$° ЗС^(т-г4) =0. /19/

Сама к формула Пуанкаре-Бертрана для інтегралів з кватер-

■ ніонним ядром Коші становить зміст теореми 10.8: якщо Г -ляпуновська гіперповерхня без краю в К.,іг /т.е(3; 4} /, то для ?€ С°’Г(Г х Г;И) у кожній точці Г здійснюється рівність

- \ Нт,ДЬ’

Ч *4,

Теоремі 1,0.8 передують традиційні /за МЛ.Цусхелішвілі, А. 1.Серб інин та ін.; у максимально загальній постановці - за С. І’.Міх-ліним/ міркування.щодо переставлення сингулярного інтегрального оператора з ядром /І/ і інтегрального оператора із слабкою особливістю.

Результати 510 надали можливість у §11 виписати формули .15

X -®. '^2-М |°>

Iі* $о 4'

ь з>, ъ-®.

переставлення порядку інтегрування та обернення для сингулярних інтегралів, які зв"язані з зображенням розв'язків еліптичних систем лінійних диференціальних рівняні у частинних похідних із сталими коефіцієнтами .

VII чЛ*Л‘»Е.¥$С4, Кб{іі2;3}, =0- ї*'»

~ 1 Ц)°хі0 /припи = 4/,

що узагальнюють систему Мойсила-Теодореско. Ярім того, у §11 розглянуті наслідки теорем 10,3 і 10.6 для сингулярних інтегралів, які зв"язані з теорією ге їйзивдих полів.

У §12 дисертації йдеться про застосування результатів §10 до вивчення властивостей сингулярних інтегралів з ядрами і С0(2) . В пункті 12.2° наведені співвідношення Г,2*£/

Л*-*! иад«-«,

за допомогою яких установлений взаємозв'язок результатів §10 дисертації з рівностями, що отримані раніше Ы.Л.Василевським

і М.Р.Шаліро. VI,+ ісМг Щ =о. /23_24/

Із результатів §§10, 12 і результатів, які нещодавно були отримані 0.М.Китмановии, Б.Б.Ореновии, іі.М.Тархановим, випливав, наприклад, така властивість інтегралів з ядром 6)(а> :

$ 5ь>Чї4)й«»(н)?(5,й=ї и<г1С?*2)^>ЇЇТ)К?>П,гєГ. /25/

» 5 ' Г4Г5

Крій того, у §12 за допомогою рівності /23/ і результатів §7 у межах гіперкомплексного еиаліггу отримано просте доведення деохвииірного варіанту теореми Аронова-Китиєнова про голо-морфність и Д ^ г функції f Є С*(Я ; С) , яка эобрвкенв своїм інтегралом Нертілеллі -Бохнєра.

Автор вдячний науковому корівник Шхайлові Веніаміновичу Шапіро за постановку задач та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ВІД0ЕРА5ЕНІ В ПУБЛІКАЦІЯХ:

1. Уительман И.Ы., Шалиро М.В. Производные интегралов с ядром

Ыартинелли-Бохнера и кватернионная теория функций// ХУI Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах: тезисы докладов. - НижниР Новгород, 1991. - С.І54. -

2. Митедьман И.М. КватернионныЙ интеграл Коши и некоторые свойства интегралов с двумерным ядром Мартинелли-Бохнера// Международная конференция, поев, памяти акад. М.Ф.Кравчука: тезисы докладов. - Киев, 1992. - С.І32.

3. hlitefntatv ІД., Skapiro №.Y . Differentiation, of tRe marta^-ftoclmer ijvie^rafi and the notion of fiypertlervtraf.-Ttteof tco, 4992.- 29 p. -(Preprint / Deport, of mcutft., CiilVEST^V dd IPit; tu> (ОТ).

4. Uliteffflan 1.Ш., SKa.ptrt>m.V.Tormafae of tliatv^Cn^ of Litt^rutiott order and of inversion for aome muttidimeuiionat 4iruju?ar integral atvd. KypercompEex analysis.- tflexico, 1993.- 47p.

(Preprint /Separt. of matfi., CldVESTAV de£ LPU; tto -НЄ). а також опубліковано у Journo^ of flatu.rftt Geometry (.Lortdoft).-, 1994, По S.- P. M - 27.

5. Мительман И.М. Пшерпроизводная сингулярного интеграла с кватернионнии ядром Коши и некоторые свойства сингулярных интегралов с ядром Мартинелли-Бохнера в-и£/ Одесский ун-т.-Одесса, 1993. - 34 с. - Деп. в ППБ Украины 06.12.93

№ 2371 - Ук93.