Свойства некоторых нелинейных псевдодифференциальных операторов в пространствах функций дробной гладкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Диссертационная работа посвящена изучению свойств некоторых нелинейных операторов в пространствах дифференцируемых функций дробной гладкости и нахождению условий разрешимости (как достаточных, так и необходимых) связанных с ними краевых задач. При этом основное внимание уделяется нелокальным операторам, которые в линейном случае (на Кп) суть обычные псевдодифференциальные операторы, а в нелинейном обладают рядом аналогичных свойств. Отдельная глава посвящена нелинейным локальным операторам (значения таких операторов на функции и в точке х Е Мп определяются значениями самой функции и и ее производных в точке х). Найдены достаточные условия непрерывности и дифференцируемости по Фреше таких операторов (обобщающие известные ранее условия) и условия разрешимости задач на собственные функции для операторов смешанного типа (т.е. для суммы локального и нелокального операторов).

В настоящее время теория краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений является одним из интенсивно развивающихся направлений. При этом основное внимание в современных исследованиях уделяется теории полулинейных и квазилинейных операторов и уравнений с частными производными в пространствах С.Л. Соболева и различных их обобщениях (весовые пространства, пространства Орлича-Соболева, пространства дробной гладкости и т.д.). А именно, рассматриваются операторы вида и->{и, Ы(х) = /(ж, и(х), Чи(х),., Ути(х)), (1) или более общего дивергентного вида

Е (-1)Н£>а/а(ж, и{х),\/и{х):., Ути(х)), жео, (2) а\<т

- 4 где через Х7ти условно обозначена совокупность всех частных производных Ваи функции и порядка |а| = т. Оператор (1) можно охарактеризовать как общий нелинейный оператор суперпозиции или "обобщенный оператор Немыцкого" (мы будем придерживаться второго названия).

Квазилинейные дифференциальные операторы являются важным классом нелинейных дифференциальных операторов, при этом они имеют более простую структуру и легче поддаются исследованию. Достигнутый прогресс в их изучении частично объясняется тем, что некоторые методы, разработанные для линейных уравнений, удалось применить и в случае квазилинейных (например, методы априорных оценок [22, 75, 26, 33], конечномерных аппроксимаций [25], принципы максимума и сравнения [65, 10]). Однако активное развитие теории квазилинейных уравнений за последние полвека связано с появлением принципиально новых методов, среди которых сравнительно с линейным случаем большую роль играют уже не аналитические, а геометрические (топологические) методы исследования (Г. Аманн [44], А. Бёрлинг и А. Ливингстон [51], Ф. Браудер [57, 58, 60], X. Брезис [52], М.М. Вайнберг [4], Ю.А. Ду-бинский и С.И. Похожаев [15], Р.И. Качуровский [19], Г. Минти [78], И.В. Скрыпник [34, 36]). Следует упомянуть также известную монографию М.А. Красносельского [20]; методы, разработанные там для интегральных уравнений, нашли применение и для дифференциальных.

Некоторые продвижения имеются и в изучении общих существенно нелинейных задач [90]. Однако серьезные трудности здесь связаны с тем, что к ним неприменимо большинство известных методов.

В диссертации существенно используются методы теории нелинейных монотонных операторов. В развитие этой теории большой вклад внесли работы М.С. Бергера [49, 50], Ф. Браудера [55, 59], X. Брези-са [52, 54], М.М. Вайнберга [5], М.И. Вишика [7, 8, 9], Ю.А. Дубинско-го [12, 13, 15], Р.И. Качуровского [18, 19], Ж. Лере [73], Ж.-Л. Лион-са [25, 76], Г. Минти [78, 79], С.И. Похожаева [28, 30, 31], И.В. Скрыпни-ка [34, 36], Н.С. Трудингера [88, 89] и других авторов. Для нас в первую очередь важны достаточные условия разрешимости задач с монотонными операторами и существования собственных функций таких операторов. Заметим, что одновременно ведется поиск и необходимых условий (см., например, Э. Митидиери и С.И. Похожаев [26]). Большое внимание современных исследователей привлекает также направление, посвященное

- 5 регулярности решений краевых задач с монотонными операторами, однако оно затрагивается в диссертации лишь косвенным образом. Среди близких к диссертации по тематике, кроме упомянутых выше, отметим работы Г.Н. Агаева [1], Л. Верона [91], П. Драбека [64], И. Каждана и Р. Крамера [71], Г.И. Лаптева [23, 24], Н. Левинсона [74], Дж. Серри-на [85], П. Хартмана и Г. Стампаккьи [69] и монографии П. Драбека, А. Куфнера и Ф. Николози [63], Р. Шолтера [86].

Напомним, что оператор А, действующий из нормированного пространства X в сопряженное пространство X*, называется монотонным, если

Аи - Ау, и - у) > О V и, V е X.

Простейший квазилинейный монотонный оператор (типа р-лапласиана) имеет вид (1 < р < оо) д

3=1 &хз аз (х) ди дхз

2 аЛ дхз;

3) где а,- — измеримые положительные функции, отграниченные от нуля п, это просто оператор 1, и бесконечности. При р = 2 ж аj = 1, ] = 1,. Лапласа. Согласно общей теории для любого Н 6 где О — достао точно регулярная область, существует единственная функция и € У/^ такая, что Аи = /г (точное определение пространств с отрицательной гладкостью см. ниже).

Переходя к описанию результатов, полученных в настоящей диссертации, заметим, что перенесение теории квазилинейных эллиптических дифференциальных уравнений на пространства дробной гладкости сталкивается с определенной проблемой. Монотонные квазилинейные операторы вида (2) не могут обладать такими же хорошими свойствами, как в случае целой гладкости, поскольку эти операторы сами имеют целый порядок и этот порядок не согласуется с порядком гладкости функций из рассматриваемого пространства. Например, такие операторы не могут быть коэрцитивными. В этой ситуации есть два возможных подхода к изучению нелинейных операторов в пространствах дробной гладкости. Во-первых, несмотря на все вышесказанное, можно изучать операторы вида (1) или (2), и это представляет интерес для приложений. Во-вторых, можно отталкиваться от желаемых свойств и искать операторы, которые этими свойствами обладают (они, конечно, уже не будут иметь вид (2)).

- 6

Первый подход реализован в главе 2 и частично в главе 4. Нами получены достаточные условия непрерывности обобщенного оператора Немыцкого, действующего из пространства Ст(Г2) дифференцируемых функций на ограниченной области О в лебегово пространство Ьр(0,). Известные ранее достаточные условия

Л£а})\<Ъ1(х)-Ь2({£а}), хеп, \а\ < т, (4) носят очевидный характер и впервые встречаются, по-видимому, у Бра-удера. Здесь Ъ\ Е ЬР(П), а &2 — непрерывная функция аргументов где а = (ах,., ап) — мультииндекс, |а| < т. Условия (4) являются необходимыми только при т = 0. Еще раз подчеркнем, что рассматриваются операторы, значения которых на функции и Е Ст{0) локально определяются значениями как самой функции и, так и всех ее частных производных до порядка т включительно. Полученные нами достаточные условия ослабляют условия (4) и в некоторых частных случаях являются необходимыми даже при т = 1. Эти результаты с помощью теорем вложения переносятся на функциональные пространства дробной гладкости и применяются в главе 4 при исследовании разрешимости задач на собственные функции. Отметим, что первые важные результаты о непрерывности операторов Немыцкого в пространствах Ьр(£1) принадлежат М.М. Вайнбергу [4] и М.А. Красносельскому [20]. Из современных исследований на эту тему выделим работы Ю. Аппеля [46], Ю. Аппе-ля и П.П. Забрейко [47], М. Гёбеля [68], П. Драбека [62], В. Зикеля [87], Д.А. Лабутина [72], Р. Нугари [81], Т. Рунета и В. Зикеля [84], Р. Чиап-пинелли [61], И.В. Шрагина [42].

Второй подход используется в главе 3, где за основу взяты так называемые порождающие норму операторы, действующие из пространства 5 > 0, в сопряженное пространство. Здесь — шкала пространств, зависящая от непрерывного параметра гладкости в. При целых в — это пространства Соболева, при нецелых в и р = 2 — пространства Слободецкого [37, 38], а при р ф 2, я ^ N — это частный случай пространств О.В. Бесова В® (О) с совпадающими показателями р ид (см. [2]). При р ф 2, я ^ N эти пространства также часто называют пространствами Слободецкого. Следует отметить, что важная роль в их начальном изучении принадлежит Гальярдо [66].

Нами получена общая формула для порождающих норму операторов в \¥р(0,), 5 > 0, которая позволяет выделить среди них важный подкласс операторов, являющихся аналогами операторов типа р-лапласиана в пространствах Соболева И7^, й £ N. В случае гильбертова пространства И7"!, й > 0, и Г2 = Мп рассматриваемые операторы суть обычные линейные псевдодифференциальные операторы. В общем же случае р ф 2 и в (£ N они нелинейны и нелокальны. В этой же главе изучены уравнения вида Аи = К.

Порождающие норму операторы были введены Ю.А. Дубинским и С.И. Похожаевым [15]. Операторы более частного вида (отображения двойственности) рассматривались ранее А. Бёрлингом и А. Ливингсто-ном [51], Ф. Браудером [56] и другими. Отметим, что порождающие норму операторы близки по своим свойствам к монотонным операторам, а отображения двойственности просто являются подклассом класса монотонных операторов. В качестве примера отображения двойственности можно привести упомянутый выше р-лапласиан (3) в весовом пространстве Соболева Выбор в качестве предмета изучения операторов, порождающих норму, обусловлен тем, что, как показано в [15, 13], порождающие норму операторы задают достаточно простую структуру отображения X —X* (см. теорему 2.3), где X, X* — пара сопряженных нормированных пространств. Эта структура позволяет свести задачу о разрешимости интересующего нас уравнения Аи = к к некоторому алгебраическому условию (см. теорему 2.4). В частности, если оператор А является однородным по и (т.е. А(Хи) = XяАи при всех Л > 0 и некотором q > 0), мы сразу получаем однозначную разрешимость.

В главе 4 рассмотрены задачи на собственные функции

Аи + ХВи = 0 для потенциальных и некоторых близких к ним типов (в том числе для порождающих норму) операторов А в пространствах И^(П), в > 0. Оператор В локальный и имеет вид (2). Для ограниченной области с регулярной границей с помощью вариационного метода найдены достаточные условия существования по крайней мере одной (нетривиальной) собственной функции. Эти условия включают как ограничения на рост функций, порождающих операторы вида (2), так и условия типа эллиптичности, коэрцитивности, непрерывности того или иного рода и т.д. Полученные результаты развивают исследования Ф. Браудера [57], М. Бергера [48], Н. Трудингера [88], С.И. Похожаева [31] и других, относящиеся к пространствам Соболева. Отметим также работу П. Драбека и др. [63], в

- 8 которой рассматривались операторы, имеющие вырождения или сингулярности по х в пространствах Соболева с соответствующим (вырожденным или сингулярным) весом, и работу [67], в которой использованы пространства Орлича-Соболева.

В этой же главе показано отсутствие глобальных (т.е. определенных во всем Мп) собственных функций для некоторых аналогичных операторов. При этом используются метод вариационных тождеств, предложенный в работах С.И. Похожаева (см., например, [31]), и метод пробных функций (см., например, совместные работы С.И. Похожаева с Э. Митидиери [26], Л. Вероном [83] и А. Тесеем [82]).

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 13 разделов, и списка литературы. Нумерация разделов сквозная по всему тексту диссертации. Нумерация формул и утверждений (теорем, лемм, следствий и т.д.) двойная: первое число представляет номер раздела, второе — порядковый номер формулы или утверждения в этом разделе. Так, например, (1.3) означает третью формулу в разделе 1, а теорема 5.2 — это вторая теорема раздела 5.

1. Агаев Г.Н. О разрешимости нелинейных операторных уравнений в пространстве Банаха // ДАН СССР. 1967. Т. 174, №6. С. 66-73.

2. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.

3. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. М.: Изд-во иностр. лит., 1959.

4. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956.

5. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972.

6. Вайнберг М.М., Качуровский Р.И. К вариационной теории нелинейных операторов и уравнений // ДАН СССР. 1959. Т. 129. С. 11991202.

7. Вишик М.И. О разрешимости первой краевой задачи для нелинейных эллиптических систем дифференциальных уравнений // ДАН. 1960. Т. 130, №4. С. 749-752.

8. Вишик М.И. О разрешимости первой краевой задачи для квазилинейных уравнений с быстро растущими коэффициентами // ДАН СССР. 1963. Т. 151, №4. С. 758-761.

9. Вишик М.И. Квазилинейные сильно эллиптические системы дифференциальных уравнений, имеющие дивергентную форму // Тр. Моск. мат. о-ва. 1963. Т. 12. С. 125-184.

10. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.- 74

11. Гольд май M.JI. О вложении обобщенных пространств Никольского-Бесова в пространства Лоренца // Тр. МИАН. 1985. Т. 172. С. 128139.

12. Дубинский Ю.А. Некоторые интегральные неравенства и разрешимость вырождающихся квазилинейных эллиптических систем дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1964. Т. 64, №3. С. 458-480.

13. Дубинский Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка // УМН. 1968. Т. 23, №1. С. 45-90.

14. Дубинский Ю.А. Нелинейные параболические уравнения высокого порядка // Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1990. Т. 37. С. 89-166. (Итоги науки и техники).

15. Дубинский Ю.А., Похожаев С.И. Об одном классе операторов и разрешимости квазилинейных дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1967. Т. 72, №2. С. 226-236.

16. Дэй М.М. Нормированные линейные пространства. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.

17. Егоров Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. М.: Наука, 1984.

18. Качуровский Р.И. Нелинейные уравнения с монотонными и другими операторами // ДАН СССР. 1967. Т. 173, №3. С. 515-519.

19. Качуровский Р.И. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах // УМН. 1968. Т. 23, №2. С. 121-168.

20. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1956. (Современные проблемы математики).

21. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1958. (Современные проблемы математики).

22. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1963.

23. Лаптев Г.И. Монотонные операторы в пространствах непрерывных функций // Тр. науч.-иссл. инст. мат. ВГУ. 1975. Вып. 20. С. 39-45.- 75

24. Лаптев Г. И. Первая краевая задача для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка // Диф. уравн. 1994. Т. 30, №6. С. 1057-1068.

25. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

26. Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных. М.: Наука, 2001. (Тр. МИАН; Т. 234).

27. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

28. Похожаев С. И. Собственные функции уравнения А и + А/(и) = 0 // ДАН СССР. 1965. Т. 165. С. 1408-1411.

29. Похожаев С.И. О теореме вложения Соболева в случае pl = п // Докл. науч.-техн. конф. МЭИ (сек. мат.). 1965. С. 158-170.

30. Похожаев С.И. О разрешимости нелинейных уравнений с нечетными операторами // Функц. анал. 1967. Т. 1, №3. С. 66-73.

31. Похожаев С. И. О собственных функциях квазилинейных эллиптических задач // Мат. сб. 1970. Т. 82, №2. С. 192-212.

32. Похожаев С.И. Об уравнениях вида А и = f(x,u, Du) // Мат. сб. 1980. Т. 113, №2. С. 324-338.

33. Похожаев С.И. Об априорных оценках решений квазилинейных эллиптических уравнений произвольного порядка // Диф. уравн. 1983. Т. 117, №1. С. 101-110.

34. Скрыпник И.В. Применение топологических методов к уравнениям с монотонными операторами // Укр. мат. ж. 1972. Т. 24. С. 69-79.

35. Скрыпник И. В. Дифференцируемость интегральных функционалов // ДАН УССР. Сер. А. 1972. С. 1086-1089.

36. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990.

37. Слободецкий Л.Н. Пространства С.Л. Соболева дробного порядка и их приложения к краевым задачам для дифференциального уравнения в частных производных // ДАН СССР. 1958. Т. 118, №2. С. 243246.- 76

38. Слободецкий JI.H. Обобщенные пространства C.JI. Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных // Учен. зап. Ленингр. пед. ин-та им. А.И. Герцена. 1958. Т. 197. С. 54-112.

39. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

40. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985.

41. Харди Г.Г., Литлвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Изд-во иностр. лит., 1948.

42. Шрагин И. В. О непрерывности оператора Немыцкого // Функциональный анализ и его применение (Тр. V Всесоюз. конф. по функциональному анализу и его применению). Баку: Изд-во Акад. наук АзССР, 1961. С. 272-277.

43. Юдович В.И. О некоторых оценках, связанных с интегральными операторами и решениями эллиптических уравнений // ДАН СССР. 1961. Т. 138, №4. С. 805-808.

44. Amann Н. Lusternik-Schnirelman theory and non-linear eigenvalue problems // Math. Ann. 1972. V. 199. P. 55-72.

45. Amann H., Crandall M.G. On some existence theorems for semilinear elliptic equations // Indiana Univ. Math. J. 1978. V. 27, N 5. P. 779-790.

46. Apell J. The superposition operator in function spaces—A survey // Expos. Math. V. 6. P. 209-270.

47. AppellJ., Zabrejko P.P. Nonlinear superposition operators. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990.

48. Berger M.S. Orlicz spaces and nonlinear elliptic eigenvalue problems // Bull. Amer. Math. Soc. 1965. V. 71. P. 898-902.

49. Berger M.S. An eigenvalue problem for nonlinear elliptic partial differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. V. 120, N 1. P. 145-185.

50. Brezis H., Browder F.E. Strongly nonlinear elliptic boundary value problems // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa. CI. Sci. Ser. 4. 1978. V. 5, N 3. P. 587-603.

51. Brezis H., Browder F.E. Linear maximal monotone operators and singular nonlinear integral equations of Hammerstein type // Nonlinear analysis (collection of papers in honor of Erich H. Rothe). New York: Acad. Press, 1978. P. 31-42.

52. Browder F.E. Nonlinear elliptic boundary value problems//Bull. Amer. Math. Soc. 1963. V. 69. P. 862-874.

53. Browder F.E. On a theorem of Beurling and Livingston // Canad. J. Math. 1965. V. 17. P. 367-372.

54. Browder F.E. Variational methods for nonlinear elliptic eigenvalue problems // Bull. Amer. Math. Soc. 1965. V. 71, N 1. P. 176-183.

55. Browder F.E. Infinite dimensional manifolds and nonlinear elliptic eigenvalue problems // Ann. Math. 1965. V. 82. P. 459-477.

56. Browder F.E. Nonlinear eigenvalue problems and Galerkin approximations // Bull. Amer. Math. Soc. 1968. V. 74. P. 651-656.

57. Browder F.E. Degree theory for nonlinear mappings // Nonlinear functional analysis and its applications, Part 1 (Berkeley, Calif., 1983). Providence (R.I.): Amer. Math. Soc., 1986. P. 203-226. (Proc. Sympos. Pure Math.; V. 45).

58. Chiappinelli R., Nugari R. The Nemitskii operator in Holder spaces: Some necessary and sufficient conditions //J. London Math. Soc. (2). 1995. V. 51, N 2. P. 365-372.

59. Drabek P. Continuity of Nemickij's operator in Holder spaces // Comment. Math. Univ. Carolin. 1975. V. 16. P. 31-51.- 78

60. Drabek P., Kufner A., Nicolosi F. Quasilinear elliptic equations with degenerations and singularities. Berlin; New York: W. de Gruyter, 1997.

61. Drabek P., Simader C.G. Nonlinear eigenvalue problem for quasilinear equations in unbounded domains // Math. Nachr. 1999. V. 203. P. 5-30.

62. Douglas JJr., Dupont T., Serrin J.P. Uniqueness and comparison theorems for nonlinear elliptic equations in divergence form // Arch. Rat. Mech. Anal. 1971. V. 42, N 3. P. 157-168.

63. Gagliardo E. Caratterizzazione delle trace sulla frontiera relative ad al-cune classi di funzioni in n variabili // Rend. Sem. Mat. univ. di Padova. 1957. V. 27. P. 284-305.

64. Garcia-Huidobro M., Le V.K., Manasevich R., Schmitt K. On principal eigenvalues for quasilinear elliptic differential operators: an Orlicz-Sobolev space setting // Nonlin. Diff. Eq. and Appl. 1999. V. 6, N 2. P. 207-225.

65. Goebel M. Continuity and Frechet differentiability of Nemitskij operators in Holder spaces // Monatsh. Math. 1992. V. 113. P. 107-119.

66. Hartman P., Stampacchia G. On some nonlinear elliptic differential-functional equations // Acta Math. 1966. V. 115, N 3-4. P. 271-310.

67. Kartsatos A.G., Skrypnik I.V. Normalized eigenvectors for nonlinear abstract and elliptic operators //J. Diff. Equat. 1999. V. 155, N 2. P. 443-475.

68. Kazdan I.L., Kramer R.I. Invariant criterion for existence of solutions to second-order quasilinear elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1978. V. 31, N 5. P. 619-645.

69. Labutin D.A. Superposition operator in Sobolev spaces on domains // Proc. Amer. Math. Soc. 2000. V. 128, N 11. P. 3399-3403.

70. Leray J., Lions J.-L. Quelques resulatats de Visik sur les problemes elliptiques nonlineaires par les methodes de Minty-Browder // Bull. Soc. Math. France. 1965. V. 93. P. 97-107.

71. Levinson N. Positive eigenfunctions for Au + Af(u) = 0 // Arch. Rational Mech. Anal. 1962. V. 11. P. 258-272.

72. Lions P.-L. Resolution de problemes elliptiques quasilineaires // Arch. Rat. Mech. Anal. 1980. V. 74, N 4. P. 335-353.- 79

73. Lions J.-L. Sur quelques problèmes de calcul des variations // Sympos. Mat. 1968. V. 22. P. 125-144.

74. Lions J.-L., Lukkassen D., Persson L.-E., Wall P. Reiterated homoge-nization of monotone operators // C. r. Acad. sci. Paris. Sér. 1. 2000. V. 330, N 8. P. 675-680.

75. Minty G.J. On a "monotonicity" method for the solutions of nonlinear equations in Banach spaces // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1963. V. 50. P. 1038-1041.

76. Minty G. J. On the solvability of nonlinear functional equations of 'monotonic' type // Pacific J. Math. 1964. V. 14. P. 249-255.

77. Muramatu T. On Besov spaces and Sobolev spaces of generalized functions defined on general region // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 1974. V. 9, N 2. P. 325-396.

78. Nugari R. Further remarks on the Nemitskii operator in Holder spaces // Comment. Math. Univ. Carolin. 1993. V. 34. P. 89-95.

79. Pohozaev S.I., Tesei A. Existence and nonexistence of solutions of nonlinear Neumann problems // SIAM J. Math. Anal. 1999. V. 31, N 1. P. 119-133.

80. Pohozaev S., Veron L. Nonexistence results of solutions of semilinear differential inequalities on the Heisenberg group // Manuscr. Math. 2000. V. 102, N 1. P. 85-99.

81. Runst T., Sickel W. Sobolev spaces of fractional order, Nemytskij operators, and nonlinear partial differential equations. Berlin; New York: W. de Gruyter, 1996.

82. Serrin J. A priori estimates for solutions of the minimal surface equation // Arch. Rat. Mech. Anal. 1963. V. 14. P. 413-496.

83. Showalter R.E. Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. Providence: Amer. Math. Soc., 1997.

84. Trudinger N.S. On imbeddings into Orlicz spaces and some applications 11 J. Math, and Mech. 1967. V. 17, N 5. P. 773-483.

85. Trudinger N.S. On Harnack type inequalities and their applications to quasilinear elliptic equations // Comm. Pure and Appl. Math. 1967. V. 20. P. 721-747.

86. Trudinger N.S. Boundary value problems for fully nonlinear elliptic equations // Proc. Centre Math. Anal. Austr. Nat. Univ. 1984. V. 8. P. 65-83.

87. Veron L. Premiere valeur propre non nulle du p-laplacien et equations quasi lineaires elliptiques sur une variete riemannienne compacte // C. r. Acad. sci. Paris. Ser. 1: Math. 1992. V. 314, N 4. P. 271-276.

88. Whitney H. Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets // Trans. Amer. Math. Soc. 1934. V. 36. P. 63-89.

89. Zeidler E. Nonlinear functional analysis and its applications. II/A: Linear monotone operators. New York; Berlin: Springer, 1990.Работы автора по теме диссертации

90. Бесов К. О. Порождающие норму псевдодифференциальные операторы в пространствах W1) // Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 58-71.