Свойства типа линдлефовости и топологические произведения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

ч" - 3 • На правах рукописи

, п „ . ^ , УДК 515.12

Ч а г.и'л <. -I

Карпов Александр Николаевич

Свойства типа линделёфовости

и топологические произведения 01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена на кафедре Общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель —

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор А. В. Архангельский.

доктор физико-математических наук, профессор В. И. Малыхин; кандидат физико-математических наук И. В. Яхценко.

Московский педагогический университет

Защита диссертации состоится 2000 г. в 16 ч. 15 мин. на

заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан

2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор I у / В.Н. Чубариков

5а fJ оз

д {$ 2, и'2. ¡ 02.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Свойство Линделёфа является одним из основных обобщений компактности. Введенное в классическом труде [AU], оно к настоящему времени хорошо изучено.

Важность класса линделефовых пространств связана, в частности, и с тем, что он одновременно охватывает класс сепарабельных метрических пространств и класс компактов. Но в отличие от компактности, которая сохраняется любыми произведениями (теорема Тихонова [27], один из фундаментальных результатов общей топологии), и в отличие от сепарабельности и метризуемости, которая сохраняется конечными произведениями, произведение двух линделефовых пространств уже не обязано быть линделефовым. Классическим примером является "стрелка Зоргенфрея" [SJ. Особое значение поэтому приобретает вопрос об условиях, при которых линделефовость и ее обобщения сохраняются при (хотя бы конечных) произведениях.

Хорошо известно, что произведение линделефова пространства и линделефова локально компактного пространства является линделе-фовым. В работах [Fl], [Eni] доказано, что произведение счетного семейства полных по Чеху линделефовых пространств является лннделефовым пространством. В работе [Arl] было введено понятие р-пространства. Класс ^-пространств содержит в себе все метризуемые и все полные по Чеху пространства. Все локально полные по Чеху пространства также являются р-пространствами. Из результатов работы

[AU] Alexandroff P.S., Urysohn P.S., Memoire sur les~espaces topologiques compacts. — Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, 14 (1929), X-96.

[T] Тихонов A.H., Uber die topologische Erweiterung von Räumen, — Math. Ann., 102 (1930), 544-561.

[S] Sorgenfrey R.N., On the topological product of paracompact spaces. —Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 631-632.

[Fl] Fiolik Z., On the topological product of paracompact spaces. — Bull. Acad. Polon. Sei. Sér.Math. 8 (1960), 747-750.

[Eni] Engelking R.,On functions defined on Cartesian products. —Fund. Math. 59 (1966), 221-231.

[Arl] Архангельский A.B., 06 одном классе пространств, содержащем все метрические и see локально бикомпактные пространства. — Матем. сб. 67(109):1 (1965), 55-85.

[Arl] вытекает, что свойство Линделефа сохраняется счетными произведениями в классе р-пространств. Однако, как показал Э.Майкл [Мс], произведение сепарабельного метрического пространства и линделефова пространства не обязано быть линделефовым пространством. Тем более, произведение линделефова пространства и линделефова р-пространства не обязано быть линделефовым.

Еще один важный подкласс класса линделефовых пространств был выделен в работе [Ng] — это так называемые линделефовы Е-про-странства — непрерывные образы линделефовых р-пространств. Из предыдущего результата и того факта, что линделефовость сохраняется непрерывными отображениями, следует, что произведение счетного семейства линделефовых Е-пространств является линделефовым. В частности, поскольку каждое сг-компактное пространство является линделефовым Е-пространством, то произведение счетного семейства сг-компактных пространств является линделефовым.

Наряду со свойством Линделефа, существует ряд других более слабых свойств. Одно из них — слабая линделефовость, введенная в работе [F2]. Первый пример, показывающий, что слабая линделефовость не сохраняется конечными произведениями, был построен с привлечением дополнительных теоретико-множественных предположений в работе [U]. Позднее в работе [HJ] был построен "наивный" пример линделефова пространства, квадрат которого не является слабо линделефовым.

Среди положительных результатов, касающихся произведений слабо линделефовых пространств, отметим следующую теорему [U]: произведение бесконечного семейства пространств является слабо линделефовым тогда и только тогда, когда произведение любого конечного

[Мс] Michael Е., Paracompactness and the Lindelöf property in finite and countable Cartesian products. — Comp. Math. 23 (1971), 199-214.

[Ng] Nagarai 1С, Z-spaces. — Fund. Math. 61 (1969), 169-192.

[F2] Frolik Z., Generalisations of compact and Lindelöf spaces. — Czech. Math. Jour. 9 (84) (1959), 172-217.

[U] Ulmer M., Products of weakly-ü-compact spases. — Trans. Amer. Math. Soc. 170 (1972), 279-284.

[HJ] Hajnal A., Juhâsz I.. On the product of weakly Lindelöf spaces. — Proc. Amer. Math. Soc. 48 (1975), 454-456.

подсемейства этого семейства слабо линделефово.

Отсюда, в частности, вытекает, что хотя произведение несчетного семейства линделефовых р-пространств может не быть линделефовым, оно всегда будет слабо линделефовым.

Как показано в [D], слабая лпнделефовость сохраняется произведениями в массе Р-пространств (т.е. таких пространств, в которых каждое множество типа G$ является открытым). Аналогичный результат для счетных произведений линделефовых пространств был установлен в [Nb].

В диссертации доказано, что слабая линделефовость сохраняется произведениями в классе локально полных по Чеху пространств. Вопрос о том, будет ли слабо линделефовым произведение слабо линделефовых р-пространств, остается открытым.

Некоторым усилением слабой линделефовости является квазилинде-лефовость, введенная в работе [Аг2]. Вопрос о сохранении квазилинде-лефовости произведениями изучается в §2 главы 1.

В несколько другом направлении обобщает линделефовость еще одно свойство — линейная линделефовость. Несмотря на то, что определение линейной линделефовости было дано еще в работе [AU] (тогда она называлась финальной компактностью в смысле точек полного накопления), первый пример линейно линделефова пространства, которое не является линделефовым, был построен лишь спустя десятки лет в работе [М]. Следующий вопрос, поставленный на семинаре П.С. Александрова в начале 1960-х годов до сих пор открыт: существует ли нормальное линейно линделефово не линделефово пространство? Поскольку каждое счетно паракомпактное пространство линейно линделефово пространство является линделефовым [M],[R], контрпример к этому во-

[D] Dissariayake U.N.B., Weakly [ru. ¡¡¡-compact spaces. —Math. Japon. 27:4 (1982), 401-408.

[Nb] Noble N.. Products with closed projections, IL — Trans. Amer, Math. Soc. 1G0 (1971), 169-183.

[Ar2] Архангельский A.B., ОН на теорема о мощности. — УМН, 34:4 (208) (1979), 177-178.

[M] Мищенко A.C., О финально компактных пространствах. — Докл. АН СССР, 145 (19G2), 1224-1227.

[R] Ruditi M.Б., Some Conjectures. — in: J. van Mill and G.M.Reed, Editors, Open

к этому вопросу явил бы собой особенно удивительный, яркий пример Даукеровского пространства. Не известен также ответ на вопрос A.B. Архангельского: существует ли локально компактное линейно линделефово не линделефово пространство? В недавней работе [AB] доказано, что каждое локально метризуемое линейно линделефово пространство является линделефовым.

Легко заметить, что линейная линделефовость не сохраняется конечными произведениями — квадрат "стрелки" не является линейно линделефовым. В диссертации доказано, что линейная линделефовость сохраняется счетными произведениями в классе локально полных по Чеху пространств. Стоит отметить, что метод доказательства аналогичной теоремы для линделефовых пространств не работает в случае линейно линделефовых пространств.

Наконец, самым слабым из рассматриваемых здесь свойств типа лннделефовости является о-лннделефовость, введенная несколько лет назад A.B. Архангельским и пока слабо изученная. В §2 главы 2 будет доказан ряд теорем, касающихся поведения о-линделефовости при операции произведения.

Цель работы. Работа посвящена изучению ряда свойств, более слабых, чем свойство Линделефа, с точки зрения их сохранения топологическими произведениями.

Методы исследования. В работе используются различные методы и результаты общей теории топологических пространств, теории кардинальных инвариантов.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Построены примеры, показывающие, что произведение квазилинде-лефова пространства и компакта может не быть квазилинделефовым. Указано необходимое условие того, что произведение данного квази-

problems in topology, (1990), 184-193, North-Holland, Amsterdam.

[AB] Arhangel'skii A.V., Buzyakova R.Z., On some properties of linearly Lindelöf spaces. — Top. Proc. 23 (1998), 1-11.

линделефова пространства на любой компакт является квазилинделе-фовым.

2. Доказано, что произведение счетного семейства локально полных по Чеху линейно линделефовых пространств является линейно линделефо-вым. Аналогичный результат получен и для инициально компактных пространств.

3. Построен пример линделефова пространства, квадрат которого не является о-линделефовым. Показано, что о-компактность не сохраняется конечными произведениями. Доказано, что следующие свойства счетно мультипликативны в классе локально полных по Чеху пространств: о-линделефовость, о-компактность, т-псевдокомпактность в смысле точек полного накопления.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны специалистам в области общей топологии и функционального анализа.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре по общей топологии им. П. С. Александрова и на семинаре "Общая топология и топологическая алгебра" под руководством профессора A.B. Архангельского и профессора В.И. Малыхина.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав основной части и заключения. Текст диссертации изложен на 52 страницах. Список литературы содержит 31 наименование.

Содержание работы

Во введении дан обзор известных результатов, касающихся произведений линделефовых пространств, приведены определения рассматриваемых свойств, описана структура и краткое содержание диссертации, оговорена терминология и обозначения, используемые в работе.

В дальнейшем тексте под пространством мы всегда понимаем тихоновское топологическое пространство.

Глава 1.

§1 посвящен слабо линделефовым пространствам. Топологическое пространство X называется слабо линделефовым, если каждое его открытое покрытие содержит счетное подсемейство, объединение которого всюду плотно в Л'.

Класс слабо линделефовых пространств довольно широк. Он включает в себя все линделефовы пространства и все пространства со счетным числом Суслина.

Основным результатом этого параграфа является следующая

Теорема 1.5. Произведение любого семейства локально полных по Чеху слабо линделефовых пространств является слабо линделефовым пространством.

Это вытекает, из того, что линделефовость сохраняется счетными произведениями в классе линделефовых Е-пространств и следующего результата:

Теорема 1.4. Каждое локально полное по Чеху слабо линделефово пространство содержит всюду плотное линделефово ^-пространство.

В §2 рассматриваются квазилннделефовы пространства. Пространство X называется квазилпнделефовым, если для любого замкнутого в X множества М и для любого семейства 7 открытых в X множеств, такого, что и~у Э М, найдется счетное подсемейство ц С 7, объединение которого плотно в М.

Очевидно, каждое квазилинделефово пространство является слабо линделефовым. Обратной импликации нет (замечание 1.12). Однако, в классе нормальных пространств эти два свойства равносильны [Аг2]. Они равносильны также и в классе Р-пространств (предложение 1.8).

Оказывается, даже произведение квазилинделефова пространства X на компакт К может не быть квазилпнделефовым. Причем помимо квазилинделефовостн, пространство X может обладать дополнительными "хорошими" свойствами: быть локально компактным (пример 1.11) или нормальным (пример 1.13). Однако, если не только пространство А", но и произведение ХхК является нормальным пространством,

то оно является и квазилинделефовым (теорема 1.14). Своего рода необходимое условие сохранения квазнлинделефовости произведениями на компакты дает следующая

Теорема 1.15. Если произведение данного квазплпаделефова пространства X п любого компакта К является квазилинделефовым, то X — линейно липделефово.

Следующий вопрос остается открытым: верно ли, что при условиях последней теоремы пространство X линделефово?

Глава 2.

Пространство А' называется линейно линделефовым, если каждое его линейно упорядоченное по включению открытое покрытие содержит счетное подпокрытие. Это свойство равносильно следующему: каждое подмножество пространства Л', мощность которого является несчетным регулярным кардиналом, имеет точку полного накопления в Л'.

В §1 рассматриваются произведения линейно линделефовых пространств. Очевидно, линейная лцнделефовость не сохраняется конечными произведениями (в качестве примера достаточно рассмотреть "стрелку Зоргенфрея"). Однако, произведение линейно линделефова и линейно лннделефова локально компактного пространства всегда является линейно линделефовым (теорема 2.1).

Одним из основных результатов диссертации является следующая

Теорема 2.6. Произведение счетного семейства локально полных по Чеху линейно линделефовых пространств является линейно линделефовым пространством.

Ввиду того, что как и линейная линделефовость, инициальная компактность характеризуется в терминах точек полного накопления, то же рассуждение позволяет получить аналогичный результат, касающийся инициальной компактности: произведение счетного семейства локально полных по Чеху инициально г-компактных пространств является инициально т-компактным (следствие 2.8). Напомним, что про-

странство Аг называется инициально г-компактным, если каждоё\шо-жество М С X, такое, что \М\ < г, имеет точку полного накопления в X.

Еще одно свойство, близкое к линделефовости, было введено в работе [АгЗ]: пространство X называется дискретно линделефовым, если замыкание любого дискретного подпространства А пространства X является линделефовым. В этой же работе показано, что каждое дискретно линделефово пространство является линейно линделефовым. Очевидно, каждое линделефово пространство является дискретно линделефовым, но до сих пор открыт вопрос: верно ли, что каждое тихоновское дискретно линделефово пространство линделефово? Как показывает предложение 2.3, если окажется, что дискретная линделе-фовость отлична от свойства Линделефа, то она "плохо" сохраняется произведениями, а именно — в этом случае произведение дискретно линделефова пространства и компакта может не быть дискретно линделефовым.

В §2 обсуждаются недавно введенные A.B. Архангельским свойства: о-компактность и о-линделефовость. Пространство X называется о-компактным (о-линделефовым), если каждое семейство {Ua : а < т} непустых открытых в X множеств, где г — бесконечный кардинал (соответственно, несчетный регулярный кардинал), имеет точку полного накопления в А', т.е. такую точку х е Аг, для любой окрестности V которой справедливо равенство

К« < т : V (Л Utt ф Щ\ — т.

Очевидно, каждое линейно линделефово пространство является о-линделефовым. Класс о-лннделефовых пространств достаточно широк. Имеет место следующая

Теорема 2.13. Каждое слабо линделефово пространство является о-линделеф овым.

Следует отметить, что обратить последнюю теорему нельзя, поскольку существует линейно линделефово пространство, которое не

[АгЗ] Arliangel'sliii A.V., A generic theorem in the theory of cardinal invariants of topological spaces, — Comment. Matii. Univ. Carol. 36:2 (1995), 303-325.

слабо линделефово (замечание 2.14). Очевидно также что, из о-лин-делефовости не следует линейная линделефовость (в качестве примера достаточно взять любое сепарабельное не линейно линделефово пространство).

Таким образом, о-линделефовость является самым слабым из рассматриваемых свойств типа линделефовости. Импликации между этими свойствами можно изобразить в виде следующей диаграммы (наименования сокращены до первых букв):

КЛ —» СЛ

/ \ Л ол

\ / дл лл

В работе указан пример линделефова пространства, квадрат которого не является о-линделефовым (пример 2.18). Пример 2.19 показывает, что о-компактность также не является конечно мультипликативным свойством.

Переходя к положительным результатам, отметим следующее утверждение:

Теорема 2.20. Если X — о-лпяделефоао (о-компактное) пространство, Y — о-лпнделефово (о-компактное) локально компактное пространство, то X xY о-лннделефово (о-компактно).

В монографии [CN] вводится следующее определение: пространство X называется псевдо-(а, /3)-компактным (где а, (3 — бесконечные кардиналы, а ^ /?), если для каждого индексированного семейства непустых открытых в А' множеств {Uç : £ < а} найдется точка х € X, для любой окрестности V которой справедливо неравенство < а :

Пространство является о-компактным (о-линделефовым), если оно псевдо-(г, т)-компактно для любого бесконечного кардинала г (соответственно, для любого несчетного регулярного кардинала г).

[CN] Coinfort W.W., Negrepontis S., Chain conditions in topology. — Cambridge University press, 1982.

Доказана следующая теорема: Теорема 2.25. Произведение счетного семейства локально полных по Чеху псевдо~(т, т)-компактных пространств является псевдо-(т, т)-компактным пространством.

Из этой теоремы вытекает следующий результат: Теорема 2.26, Следующие свойства счетно мультипликативны в классе локально полных по Чеху пространств:

(1) о-компактность;

(2) о-ланделефовость;

(3) т-псевдокомпактность в смысле точек полного накопления.

Свойство (3) рассматриваюсь в работе [Ш], оно является аналогом инициальной г-компактности для случая о-компактных пространств.

Наконец, отметим, что в классе паракомпактных пространств все свойства, отображенные на нашей диаграмме, равносильны свойству Линделефа (предложение 2.15).

В заключении даны определения кардинальных инвариантов типа числа Линделефа, обобщения некоторых результатов диссертации на эти кардинальные инварианты, а также отмечены нерешенные задачи по теме диссертации.

Благодарности. Автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору Александру Владимировичу Архангельскому за постановку задач, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения результатов. Автор выражает благодарность сотрудникам кафедры общей топологии и геометрии профессору В. В. Федор-чуку, профессору В. И. Пономареву, доцентам С. А. Богатому, К. Л. Козлову, А. Н. Якивчику, с. и. с. О. В. Сипачёвой за поддержку и ценные советы.

[Rt] RettaT., Some cardinal generalizations of pseudocopmactness. — Czech. Math. Jour. 43(118) (1993), 385-390.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Карпов А.Н., Некоторые ослабления линделефовости и произведения. — Вестник Моск. ун-та, Сер. 1 Математика, механика. N 5 (1998), 22-25.

[2] Карпов А.Н., О счетных произведениях полных по Чеху линейно линделефовых и инициально компактных пространств. — Вестник Моск. ун-та, Сер. 1 Математика, механика. N 5 (2000), 7-9.