Свойство локализации функций с классов типа S' и W' тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

v ЛЬВШСЬКИИ ДЕРЖАВ НИИ УН1ВЕРСИТЕТ IMEHI IB AHA ФРАНКА

Готинчан Тетяна 1вашвна

УДК 517.98

ВЛАСТИВЮТЬ ЛОКАЛ13АЦИ ФУНКЦГЙ 3 КЛАС1В ТИПУ S' IW'.

01.01.01 - математичний анал1з

АВТОРЕФЕРАТ дисертадп на здобуття паукового ступеня кандидата ф1зико-математичних наук

Льв1в- 1998

Дисертащоо е рукопис.

Робота внконана в Чершвецъкому державному ушверситет1 ¡м.Ю.Федьковича, Млшстерства освт! УкраУни, на кафедр! математич-ного aнaлiзy.

Науковий кер1вник - доктор ф i з и к о- м ате м ат ич н и х наук, професор Городецький Василь Васильевич

Чершвецький державний ушверситет ¡м.Ю.Федьковича, завщувач кафедри.

Офш^йн] опоненти : доктор ф1зико-математлчних наук, професор Кондратюк Андрш Андршович, Льв1вський державний ушверситет iMeHi 1вана Франка, завщувач кафедри;

кандидат ф b и ко-м атем;п ич них наук, доцент Житарюк 1ван Васильевич, Чершвецький державний ушверситет [м.Ю.Федьковича.

Провщна установа 1нститут математики HAH УкраУни, м, Кшв.

Захист вщбудеться «/?>> 7XCGQ/TU4U 199>Рр. о 1520 на засщанш спещагпзованоУ вченоТ ради Д 35.051.07 у Льв1вському державному ун1верситет! 1'меш 1вана Франка за адресою : 290602, м.Льв1в, вул. Ушверситетська, 1, аудитор1Я 377.

3 дисертащею можна ознайомитись у 6i6jnoTeui Львшського державного ушверситету ¡меш Гвана Франка (вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розкланий « //» ßc/lZQf'bJ. 199<^р.

Вчений секретар спсщашзованоУ вчено'У ради

Микитюк Я.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ДИСЕРТАЦН '

Актуалыпсть теми. Для ряд ¡в Фур'е сумовних на [0, 1л] функцш добре вщомий принцип локашзацп Р1мана: зб1жшсть або розб1жшсть ряду Фур'е функцп/е 1]([0, 2тг]) у точщ залежить титьки вщ поведшки / у оксш ц1сУ точки (самий же ряд Фур'е визначаеться «глобальними» властивостями функцИ /). Точнше, якщо функцп {/¡, /2} с ¿,([0, 2л]) зб1гаються на ¡нтервал1 (а, Ь) с [0, 2л], то на будь-якому проложку [а + е, Ь - е] а (а, Ь), г, > 0, р1зниця Тхшх ряд1в Фур'е р1вно,\прно зб1гаеться до нуля. Цей принцип для ряд1'в Фур'е був сформульований ще в середиш минулого столгпя у працях Фур'е, Остроградського, Лобачевського, Р1мана. Свш подальший розвиток вш дктав у численних працях матема-тикт з тригонометричних ря;ин, доошдження яких стало одним з основ-них об'ек'пв математичного анал1зу I призвело до виникнення багатьох важливих понять сучасноГ математики (зокрема, до них можна вщнести поняття узагальненоУ функцП').

Тригонометричш ряди з необмежено зростаючими коефщкнтами /и стал и природну штерпретацио у рамках георп узагальнених функцш. Наприклад, якщо коефщенти тригонометричного ряду зростають степе-невим способом, то вш е рядом Фур'е перюдичного розподшу С.Л.Соболева-Л.Шварца. Теор!'я ультрарозподшв I пперфункщй, розви-нсна в працях Комацу, М.Л.Горбачука, В.Г.Горбачук, дозволяе вивчати тригонометричш ряди з коефщкнтами, шо зростають швидше за будь-який стешнь. Там ряди ототожнюються з узагальненими перюдичними функщями - лппйними неперервними функцюналами над простором тригонометричних полшом1в.

У багатьох просторах узагальнених функцш мае змют поняття «функцюнапи Т7! 1 зб1гаються на вщкритш множит О», тобто можна говорити про «локальну» р1вшсть узагальнених функцш. Це дае мож-лив!сть сформулювати проблему локалгзацп для ряд1в Фур'е нерюдичних узагальнених функцш. Оскшьки коефщснти таких ряд]в необмежен]', то з урахуванням вщомоУ теореми Кантора-Лебега (такий ряд не може збнатись на множит додатно'У \при), шд сумою ряду слщ розумпи не фаницю Гюго частинних сум, а шдсумовувати ряди певними лнпйними методами; то;н принцип локал1зацп може виконуватись для ря/пв Фур'е узагальнених функщй з рпних простор1в. Особливо широкий клас таких узагальнених функцш вдалося вид ¡лиги для метод1в ш'дсумовування Абеля-Пуассона та Гаусса-Вейерштрасса. ВЛ.Горбачук 1 М.Л.Горбачук довели, що принцип локалпащУ у цьому випадку мае мкце у клаЫ ряд1в

Фур'е улътрарозподипв Жевре. У працях А.Ю.Петровича встановлено, що при пщсумовуванш ряд1в методами Абеля принцип локашзацн вико-нуеться для ряд1в Фур'е одного класу пперфункщй, який складаеться з регуляризацш ycix звичайних функцШ сынченним числом

нештегровних особливостей. В.В.Городецьким та 1.1.Дршь аналопчний принцип встановлено для рядш Фур'е-Ермгга та Фур'е-Лагерра узагаль-нених функщй типу ультрарозподшв Жевре, просумованих методами типу Гаусса-Вейерштрасса.

Зазначимо, що у вигляд1 лнпйних перетворень ряд1в Фур'е пода-ються розв'язки деяких крайових задач для р1внянь з частипними похщними (наприклад, розв'язок задач1 Д(р1хле для ртняння Лапласа в круз! представляе собою перетворення Фур'е граничнсм функци). Якщо лшШне перетворення задовольняе природш умови регулярности, то се-редш методу гпдсумовування, що визначаються цим перетворенням, ма-ють вигляд Р*К„ де {К„ I е Т} с.Х- ам'я осиовних функшй з простору X (ядер Фур'е методу шдсумовування), Т - деяка множина з граничною точкою (0, F 6 X' - лшшний неперервний функщонал на X. Поряд з простором першдичних узагальнених функцш проблему локал1зацп можна формулювати для будь-яких шших простор1в, у яких визначена операщя згортки узагальнених функшй з основними 1 поняття «функщонал /•' р1вний нулю на вщкритш множиш О». 1.Г. 1звеков описав класи функцш, для яких виконуеться аналог принципу локашзацн Р1мана у просторах X, яы м1сять ф1н1та1 функчд, зокрема, у класах Жевре типу Рум'е (Берлина) порядку р> 1. 1ншими словами, знайдеш умови, яо повинна задоволь-няти с1м'я основних функщй {К„ (еТ}з простору X, щоб (Г*К,)(х) => О при / /0, Де х е К с (К - компакт), для довшьноТ узагальненоУ функцп F е X', яка р1вна нулю на Q (у цьому випадку ам'ю функщй {К„ / е 7}с с X називатимемо ам'ею функщй класу ЛХ)). Тод1, якщо функщонал К е X' збцасться на вщкритШ множиш 0 з гладкою функщею / (така ситуащя е типовою для функцюнал1в-регуляризащй функцш з неште-гровними особливостями), то Г*К, зб!гаеться до / р1вном!рно при I -> /0 на довшьному компакт! Кс().

Скориставшись аналпгичним зображенням пперфункщй - линйннх неперервних функцюнал1в над простором аналпичних перюдичних функщй - ГГЛзвеков встановив також аналог принципу локал1зацп Р1мана у клаа Жевре типу Рум'е порядку ¡5 = 1. Таким чином, сфор-мульована вище проблема залишаеться нерозв'язною у випадку непе-рюдичних клаав кваз1аналггичних функцш. Тому дослщження власти-востей амей функщй класу АХ), де X - певний прост1р анал1тичних функцш, заданих на К,, представляе науковий ¡нтерес \ е акгуальним.

Центральними моментами при цьому е введения поняття «анал!тичний функцюнал Г р1вний нулю на в1дкритш множит £?» та встановлення формул для представления узагальненоТ функцп за допомогою ТУ аналгтичного зображення. При цьому досшджуються властивосп бшншних форм /, = {Ру, К,¿(у)), де К,х(-) е X (якщо К,^(у) = К,(х - у), ( е Т, {х,у} с Л, то

Дх) = К,(х - у)) = (Р*К,)(х), х е К, / е Т, тобто^ у цьому випадку - згортка розглядуваного внще вигляду).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертацн пов'язана з науковими дослщженнями кафедри ма-тематинного анализу Чершвецького державного ушверситету ¡м. Ю.Федьковича, ГГ результата використаш при виконанш держав ноТ теми за номером № иА01002494Р.

Мета i за/игп дослщкення. Метою дисертацн е :

- введения поняття «функцюнал Р р!вний нулю на вщкритш множит <2 а 1Ъ> на просторах кваз1анал1тичних клаав функцш;

- встановлення властивост! регулярное^ такого поняття;

- подання узагальнених функшй з клаЫв (5') , а > О, через Тх аналпгичне зображення;

- встановлення ощнок поведшки похщних цших анал1тичних функцш з простор1в IV" 1 IV" на дшснш оа;

- одержання необхщних 1 достатшх умов надежное^ ам'У ос-новних функцш {К,¿(у), / е Г, {х, у} сЯ} (Г - множина ¡ндекЫв з единою граничною точкою /0, М * - параметри) до класу ЛХ), на X -один з простор1в типу IVчи 5.

Наукова новизна одержаних результатов. У дисертацн :

- отримано представления довшьноТ узагальненоТ функцп з проспав (в%) , а> 0, р> 1, за допомогою ТУ анал1тичного зображення;

- дослщжено поведшку цишх анал1тичних функцш з простор1в IV" [ ]¥а на дшснш осц

- обгрунтовано \ встановлено регуляршсть означення р1вност! нулю узагальнених функцш з простор1в , V") , (я") , 0 < /?< 1,

I (з^) , а> 0, 0 < Р< 1, на вщкритих множинах;

- встановлено необхщш i достатш умови надежное™ сукупносп ядер {K,Jy), t е Т, {дг, j>} с. R} до класу J(X), де X - один i3 npocTopiß типу 5 чи W.

Практичне значения одержаних результатов. Результати дисерта-uii" мають теоретичний характер, i можуть бути використаш в певних роздшах анализу та математично!" ф1зики.

Особистий внесок здобувача. У<п науков1 результати, включен! в дисертацно, одержано здобувачем особисто. У сшльиих працях Горо-децьому В.В. належить постановка задач та ¡дейне спрямування дослщжень.

Апробацы результате дисертацп. Результати дисертацп доповь дались на м1жнародшй математичпш конференцп, приспячешй памлят1 Г.Гана (м.Чершвщ, 1994 р.), 6 та 7 м1жнародних конференщях ¡меш М.Кравчука (м.КиУв, 1997 р., 1998 р.), лпжнародшй пауковой конференцп «Сучасш проблемы математики» (м.Чершвщ, 1998 р.), семшарах кафед-ри математичного моделювання та факультетському ceMiHapi математич-ного факультету Чершвецького державного ушверситету ¡м. Ю.Федько-вича (1995 - 1998 рр.), ceMiHapi «Сучасш проблеми математики» (м. Чер-швщ, 1996 р.), на засщаннях вщдшу 1нституту прикладних проблем ме-хашки i математики ¡м. Я.С.Шдстригача HAH Укра'ши (м.Чершвщ, 1996р.), UbBiBCbKOMy региональному ceMiHapi з математичного анал!зу (мЛьв1в, 1998 р.).

Публжацп. OcHOBHi результати дисертацп опублшоваш у шести роботах, список яких подано у кшщ автореферату, i з яких три надруковаш у виданих з перелшу № 1, затвердженого ВАК Укра'ши.

Структура i об'ем роботи. Дисертацшна робота складаеться з вступу, трьох роздшн, висновгав i списку використаних джерел, що на-раховуе 57 наймень. Повний обсяг роботи - 119 сторшок, яю набраш i надруковаш в редактор! ТЕХ.

Автор висловлюе щиру подяку В.В.Городецькому за наукове Kepie-ництво, шдтримку та постшну увагу до роботи.

ЗМ1СТ РОБОТИ

У встут обтрунтовуеться актуалыисть теми, дано короткий огляд результата!, що мають безпосередне вщношення до теми роботи.

У першому роздШ дисертацп наведено огляд праць, у яких проблема локесшацн для ряд1в Фур'е дослшжуеться у випадку ряд1в Фур'е ль ншних неперервних функцюнал1в над р1зними просторами некваз1аналь тичних функщй, просумованих лшшними регулярними методами, а та-кож праць, що стосуються питания аналтмного зображення узагальне-них функщй.

У другому роздт дисертацп перш за все вводяться необхщш по-няття та означения. Нехай X - локально опуклий л1шйний тополопчний прост1р несю'нченно диференщйовних числових функщй, задан!« на К. Такий просп'р ми називатимемо основним, а його елементи - основними функциями. Через X' позначимо тополопчно спряжений простф до простору X. Елементи простору^' називатимемо узагальненими функщями.

Якщо серед елемештв основного простору X е фнптш функцп, то природно ввести наступне означення р1вносп нулю узагальненоТ функцп на вщкритш множит.

Означення 2.1.1. Узагалънена функщя Г е X' р\вна нулю на в1дкри-тш множит () с К, якщо для довтьноИ основно! функцп (р е X такоХ, що, Бирр <р с (), внконусться тотож1Псть (/% <р) = 0. Дв1 узагальнеш фуикци {/*"!, /^г) аХ' зб^гаються на множит <2, якщо ¡хня раниця Г] - Р2 р/виа нулю на цш множит.

Через Xу тдроздшах 2.1 - 2.3 позначено один ¡з простор1в типу а саме , а > 0, ¡3 > 0. Зазначимо, що серед елементш простор1в 5а,

, а > 0, ¡3 > 1, ще е фпптш функшУ, а елементи простор]в ,

при а>0, /3< 1, допускають вже аншптичне продовження у комплексну площину, причому для р < 1 - на всю комплексну площину. Отже, доцшьно було б ввести шше означения р1вност1 нулю функшоналу на вщкритш множит. Так, для узагальнених функщй вводиться поняття «Ым'Т шдикатрис».

Означення 2.2.1. Сш"сю шдикатрис (або аналтичним зображен-

пям) фуикци Т7 е (.5') , а> 0, назвемо функцп вигляду

г}вг(х)= г е еЯ^е (0,1), афункцЫ еЯ^ така, що

х-г

/ ч_ Гехр{-<55с""}, Ма = 2к,

МХ)~\ ехр{-4 + х2Г}, \/а*2к, Зе (0,1], 8' е (0,<5],лге Я, А е N.

Сформульовано 1 доведено наступи твердження.

Лема 2.2. 1) Для кожного бе (0, 1] функцш с аналтичною на

С\К.

2) Для довЫьного фтсованого £>0 Нт^(*±нг)=0,£е (0, 1].

Терема 2.2. Нехай F е ), ¡}> 1, а > 0. 7од( для кожноИ функци

/?> 1, а> 0, /снуе ё е (0, 1] таке, що

=+- •

Застосовуючи анал1тичне зображення узагальнених функцш Fe (5^) , а> 0, вводиться таке означення.

Означения 2.3.1. Узагальнена фупкцт Р е , а > 0, ргвна нулю на (идкрптш множит якщо шдикатриса F] функци Г про-

довжуеться аналтично на ¡2- Дв1 узагальнет функци с: (5^) ,

а > 0, збггаються на (), якщо Ихня р1зниця Fl - р1впа нулю на цш множит.

Мають мюце наступш ланцюжки неперервних вкладень: е 5Г с5"с5сВДс5'с(5')'с ($„')' с

^ с 5>а с^с5сХ2(а)с5'с (5„)'с: (5;)' с де а> 0, /?> 1.

У теоремI 2.3.1 встановлено, що нове означення 2.3.1 волод!е влас-тивктю регулярности зокрема для довшьно!' функци е ) (^е^

, ($а) ), а > 0, > 1, означення 2.1.1 1 2.3.1 екв1валентш. Бшьш того, як зазначено у зауваженш 2.3.1, якщо узагальнена функщя Г е ) , а > 0, р > 1, р1вна нулю на вщкритш множиш Q, то кожне и

лшШне неперервне продовження на один з можливих простор!в типу 5 чи 5 також р1*вне нулю на

Аналопчне означення р1вносл нулю на вщкритш множит 0, с Я

введено й обгрунтовано у випадку, коли Г е (51) .

Нехай со : [0, -н») -> [0, +со) - неперервна зростаюча функщя, при-чому <и(0) = О, а(\) > 1, 1ппгу(х)=+оо. Для х > О локладемо

= \ <Л(-х) = ОД. Поруч розглянемо функщю ц : [0, +оо) ->

о

—> [0, +оо), яка волод1е тими ж властивостями, що \ функщя со. Нехай

г

М(х) = , М(-лг) = М(х), х > 0.

о

У тдроздшах 2.4 - 2.6 вивчаються властивост! функщй простор1в типу IV \ IV', як1 побудоваш за опуклими функщями П 1 М. Простори типу Ш е узагальненням (¡з замшою степеневих функщй на довшьш опукш) простор1в типу 5, яю вщповщають значениям {от, /?} с (0, 1), але завдяки використанню довшьних опуклих функцш заметь степеневих функщй здатш точнше констатувати особливосп спадання на несшнченностк Основш функци з простор1в 1 IVп с щлими, тому спочатку дослщжуеться поведшка 1'хшх похщних на К.. Мають мгсце так) тзердження.

Теорема 2.5.1. Для функци ср е наступи! твердження р'ыно-силып : 1) ЭС = СО) > 0 За = а{ср) >03Ь= Ь(ср) > 0 Уг = х + /> еС:

\(р(г)\< Сехр{-М(ях) + П(Ьу)}; 2) 3 С = С {ср) > 0 3 5 = а {ср) > 0 3 Ь = Ъ {ср) > 0 V« > 0 Зр„ е [0, и),

/7Ь = 0, Ух е К.: |50(")(х)(<С^-ехр{-М(ах)+О(р„)},

Р"

де р„ - розе'язок р'шняиня ха(х) = п, п е Z+.

Теорема 2.5.2. Для функци ср е И^1 наступн1 твердження р1вно-сильш : 1)3 Ь = Ь{ср) > 0 V к е 3 Ск= С£<р)> 0 V г = х + ¡у еС :

\гф)\<Скехх>{П(Ьу)}-, 2)ЗЬ' = Ь'{(р)>0\/ кеХ+ 3 С'к = С[ {ср) > 0 V п е Зр„ е [0, п),

р0 = 0, V г = х + ¡у еС : |х>(п)(х)1 < С'„ ^^ехр{п(р„)},

Р"

де р„ - розе'язок р 'юняння хсо(х) - п, п е

Теореми 2.5.1 I 2.5.2 е узагальненням вшомих результате для простор ¡в , 0 < а, ¡3 < I, ям були введе!» та вивчались Г.С.Шиловим (1955).

У тдроздт 2.6 будуються нов1 простори (У^(К.\ 0, \ 0,

а> О, 0 < /? < 1, де К. г> 0 - обмежена вщкрита множина. Так, наприклад, \ <2) - сукупшсть неоконченно

диференцшовних функщй з простору 5, яи на збггаються з

функщями з простору IV,", 1 для яких на R \ <2 виконуються оцшки з теореми 2.5.1. У простор!' ^ц?(К\0 визначено загально прийняту то-полопю. Очевидно, що : 1) IV^с 1Г,"(К\0; 2) К(0 с де

К ((У) - сукупшсть фпптних функщй з 5, носи яких мктяться в Аналогично визначаеться решта простор1в.

Означення 2.6.1. Узагальнена фупкцхя Р е (и^") р/ена нулю на в1д-критт множим/ (), якщо ¡с ну с продовження Рд е \ 0) , /?/«//е ну-

лю на Q. Двг узагапъжт функцп , Р?) е ) збггаються на якщо 1Хня р'пниця У7! - Р2 ргвна нулю на цш множим.

У теорем! 2.6.1 доведено регуляршсть даного означення.

Аналопчш означення р!вност! нулю на вщкритих обмежених мно-

жинах, введено 1 обгрунтовано у випадках, коли Ре(я/П) (Ре (5,/5) , Ре^ ,сс>0,0</]< 1).

Означення 2.6.4. Узагстьнена функцт Ре (Ре ((У") ,

Ре (5^) ,а> 1,0 <р< 1), або а> 1, /?= 0, Ре , 0 </?< 1)ргвна нулю на необмежент вгдкритт множит 0 с К, якщо вона р1вна нулю на до-втьнт обмежент вгдкритш множит Qc: <2.

Кр]'м того, мае мюце таке зауваження.

Зауваження 2.6.2. Якщо узагальнена функцт Ре (й^") (Ре ,

Ре (И'м) , Ре (б*) , Ре (б"), Ре а> 0, 0 < /?< 1)pie.ua нулю на в1д-критт множит (). то кожне и лнпйне неперервне продовження на проатр 5 ни на можливий простер типу Б або № також р'юне нулю на цш множит.

Отже, у просторах типу IV' чи S' обгрунтовано поняття «функцю-нал р)вний нулю на шдкритш множит».

У третьему роздт дисертацп розглядаються сукупносп функщй {К,ЛУ), t е Т, {х, у} с R} (Т - множина шдекст з единою граничною точкою to, t i х - параметри), яи при Bcix (t, х) е Т х R належать до класу типу W чи S i HenepepBui по змшншх.

НехайХ-один ¡з основних npocTopie типу S чи IV.

Озиачення 3.1.1. Сукупшсть функцш {К'.щ(у), t е Т, {х, у} с R} належишь до класу Л(Х), якщо для довшьного про.тжку (с, d) с R та довтьног узагальненоИ функцп F е X', pieuoi нулю па (с, d) вжонуеться аналог принципу локалиацй Ршана, тобто

KpiM класу Л можна ввести in mi класи сукупностей основних функщй.

Означения 3.1.2. Сукупшсть функцш {Klx(y), t е Т, {х, у} с R} належишь до класу Л*(Х), якщо для довигьного про.тжку (с, d) cz R та довшьно'С узагальненоЛ функцй F е X', pieno'i нулю на (с, d) виконуеться умов а

d).

Очевидно, що J(X) с J?{X).

З'ясовуеться, що довшьна ам'я функцш {К1х(у), t е 7', {х, у} с R} с с jf(X), яка задовольняе умову

У (с, d)czK V<5e р] VAT с R \ (с, d)\/q eX+ :

max max |D"K,(y\- >0,

vefctS.iMj.K/l'cRKt.rfll ' : 'I

(де К - компакт) належить до класу Л(Х).

У тдроздШ 3.2 встановлюються необхщш та достатш умови належ-носп сукупност1 функцш {K,Jy), t 6 Т, {х, у} с R} з простору X для Bcix (?, х) е Т х R до класу Л(Х), коли Х - npocTip типу W.

Зрозумшо, щотеореми 3.2.1 - 3.2.3 у випадках простор1в ^правиль-Hi i для npocTopie Sa, S'\ S*, {a, /3} a (0,1). Проте, як з'ясовуеться у теоремах 3.3.1 - 3.3.4, дат результата мають мюце в ycix просторах типу S.

Отже, отримано повну характеристику сукупностей функцш {К,гХ(у), t е 1\ {.г, у} с R} з npocTopie типу IV i S, як1 належать до класу X

висновки

У дисертащйнш робот! :

- подано представления узагальнених функцш з npocTopie (sf ) ,

а> 0, ß> 1, через ïxHi ¡ндикатриси;

- встановлено ощнки гкшдних цших аналггичних функцш з просторов типу W на дшснш oci;

- обгрунтовано корекгшсть поняття «функцюнап р1вний нулю на вцщритш множиш» в класах типу IV i S' порядку ß< 1;

- отримано повну характеристику сукупностей функцш {К1уХ(у\ t е Т, {х, у) с R} з iipocTopiß типу W i 5, як1 належать до класу Л,

- встановлено, що лшшш методи шдсумовування типу Гаусса-Вейерштрасса порядку у> 1 ряд1в Фур'е-Ермта мають тип j"(s'/2).

OCHOBHIРЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦПОПУБЛ1КОВАН1 В ПРАЦЯХ :

1. Городецький В.В., Готинчан T.I. Властивкть локашзацп для Jii-ншних метод ¡в сумування формапьних ряд! в Фур'е-Лагерра // Во-линський математичний bïchhk. - PiBHe, 1996. - Випуск 2. - С. 55 - 57.

2. Готинчан T.I. Про аналггичне зображення ультрарозподшв типу S ' II BicHHK Кшвського ун-ту. Сер ¡я ф1зико-математичних наук. - Вип. 1 -1998.-С. 37-41.

3. Городецький В.В., Готинчан T.I. Про нулыш множини узагальнених функцш з простору // KpaKoßi задач! для диференщальних р1внянь: Зб.наук.пр. - Кшв: 1н-т математики HAH Украши, 1998. - Вип. 1 (17).-С. 79-89.

4. Городецький В.В., Готинчан T.I. Сумування формальних ряд1в Фур'е-Ермга та Фур'е-Лагерра лшшними методами // 1нтегральш пере-творення та ïx застосування до крайових задач: Зб.наук.пр. - Кшв: 1н-т математики HAH Украши, 1996. - Випуск 13. - С. 24 - 34.

5. Готинчан Т.1. Про pißHicTb нулю узагальнених функцш з просторов типу W' на вщкритих множинах // Сьома М1жнародна наук. конф. iM. акад. М.Кравчука: Матер1али конференцн. - Кшв, 1998. - С. 123.

6. Готинчан T.I. Сукупносп функцш класу J у просторах типу WII Сучасш проблеми математики. Материи м1жнародноУ наук.конференци. Частина I. - Кшв: 1н-т математики HAH Украши, 1998. -С. 152- 155.

АНОТАЦН

Готинчан T.I. Властишсть локал1заци функцШ з miaciB типу S'i IV. - Рукопис.

Дисертащя на здобуття вченого ступеня кандидата ф[зико-матема-тичних наук за спешальшстю 01.01.01 - математичний анатз, Чернгвецький державний ушверситет, Чершвщ, 1998.

У дисергацшнш poôori одержано представления довшьно'Г узагаль-

нено!' функип з простору (sf) , а > Q, ft > 1, за допомогою ïï аналпичного зображення. Обгрунтовано i доведено регуляршсть означения piBHOCTi нулю узагальнених функцШ з npocTopie типу W ' i S '. Встановлено необхщш та достатш умови надежное™ сукушюст1 ядер до класу X.

Ключов1 слова : узагальнена функщя, основна фу н к in я, шдикатриса, принцип локал1зацп', функцюнал piennti нулю на вщкритш множиш.

Готинчан Т.И. Свойство локализации функций с классов типа S ' и W. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ, Черновицкий государственный университет, Черновцы, 1998.

В диссертационной работе получено представление произвольной

обобщенной функции из пространства (sf ) , а > 0, ¡} > 1, с помощью ее аналитического представления. Обосновано и доказано регулярность определения равенства нулю обобщенных функций из пространств типа W' и S'. Получены необходимые и достаточные условия принадлежности совокупности ядер к классу X

Ключевые слова : обобщенная функция, основная функция, инди-катрисса, принцип локализации, функционал равный нулю на открытом множестве.

Gotyntchan T.I. The localization property of functions from classes of S' and W' type. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - The Chernivtsi State University, Chernivtsi, 1998.

The presentation of generalized function from the space (sf) , a > 0, p > 1, by means of its analytic presentation has been obtained in the thesis. The regularity of the notion on the equality to zero of generalized functions from spaces of W' and S' type is based and is proved. Necessary and sufficient conditions of the belong to the »/class of a family of kernels have been established.

Key words : generalized function, basic function, indicator, localization principle, functional is equal to zero on the open set.