Слабая обобщенная локализация в пространствах Орлича тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физико-математический факультет Кафедра математического анализа

На правах рукописи

ИВАНОВА Оксана Константиновна

СЛАБАЯ ОБОБЩЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ОРЛИЧА

Специальность 01.01.01 — "Математический анализ"

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель-

доктор физико-математических наук

профессор И.Л.БЛОШАНСКИН

Москва — 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.....................................4

Глава I. СЛАБАЯ ОБОБЩЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ ПОЧТИ ВСЮДУ ДЛЯ КРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ..............................29

Введение

§1. Критерий справедливости слабой обобщенной локализации в классе L(log+L)2 . ................37

1°. О поведении частичных сумм кратных рядов Фурье

функций из класса L(log+L)2 . . ..............37

2°. О справедливости слабой обобщенной локализации для

кратных рядов Фурье функций из класса L(log+L)2 . . 44

§2, Критерий справедливости слабой обобщенной локализации в классе Ф(£), где Ф(-и) = о(иlog+ log+ и) при и оо . . 47

1°. Вспомогательные утверждения...............47

2°. Слабая обобщенная локализация в классе Ф (L), где

Ф(и) = o(ulog+ log4" и) при и —У оо.............63

Глава И. МАЖОРАНТНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ЧАСТИЧНЫХ СУММ ДВОЙНЫХ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ИЗ ПРОСТРАНСТВ ОРЛИЧА, РАВНЫХ НУЛЮ НА НЕКОТОРОМ МНОЖЕСТВЕ.....................67

Введение

§1, Мажорантные оценки для двойных интегралов Фурье ... 69

§2. Мажорантные оценки для двойных рядов Фурье......74

Глава III. МАКСИМАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА СХОДИМОСТИ И МАКСИМАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА НЕОГРАНИЧЕННОЙ РАСХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУНКЦИЙ ИЗ ПРОСТРАНСТВ ОРЛИЧА.............75

Введение

§1. Структура и геометрия ММС и ММНР почти всюду кратных рядов Фурье функций, равных нулю на некотором множестве...............................78

ЛИТЕРАТУРА.................................79

ВВЕДЕНИЕ

1, Рассмотрим ТУ-мерное евклидово пространство элементы которого будем обозначать х = (х\,..., £дг), и положим ух = У\Х\ -+-... + г/дгж^, |а;| = (х\ + ... + ж|)1/2.

Для любого Л € К1 определим множество = {ж 6 : х1 > Л,^ = = 1,..., А^}. Введем также множество С всех векторов с целочисленными координатами и положим = Ъм П Кд •

Пусть Ф : [0, оо) —> [0, сю) - неубывающая функция. Через Ф(Ь)(ТН) обозначим множество суммируемых на Тн = {х € : —7Г < Xj < 7г, .7 = 1,..., ЛГ} функций / таких, что

I Ф(|/(ж)|)(1х < оо,

а через Ф(Ь)(КЛГ) — множество суммируемых на функций д таких, что

I Ф(|^(а?)|) ¿х < оо.

К*

Если Ф(и) = ир, то обозначим Ф(Ь) — ЬР(ТМ), р> 1, если Ф(п) = г/,

где и = logmax{l, и}, то Ф(Ь) = Ыо§+ Ь.

Пусть 27Г-периодическая (по каждому аргументу) функция f(x) 6 6 Ф(Ь)(ТЛГ), N > 1, разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье:

!(х) ~ £ скегкх. (0.1)

Для любого вектора п = (щ,..., Пдг) € рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда:

£„(*;/)= Е ••• Е (о.2)

частным случаем которой является квадратная частичная сумма 5По(ж; /), когда щ = П2 = ... = пдг = Щ- При этом под сходимостью ряда в (0.1)

по прямоугольникам будем понимать существование предела частичных сумм 5,2(ж;/) — (0-2) при п —>• оо (т.е. ^тш^пу оо), а под сходимостью ряда в (0.1) по квадратам — существование предела 5По(ж; /) при щ —» оо.

Пусть функция д(х) € Ф(Ь)(КДГ), N > 1, разложена в кратный интеграл Фурье:

д(х) ~ / Шег{х0 к"

Для любого вектора а = (ах,..., а^) € Е^ рассмотрим собственный интеграл Фурье:

1 «1 ам

и*;д) = т^г / • • ■ / • • • (о.з)

V ' —«1 —«ДГ

Интеграл (0.3) можно представить и в таком виде

1

ж1

1 г ~

Ъ(х;д) =—й I д(и)Ва(и - х) (0.4)

где Ва(и) - Па1(щ)... Ва](щ) - — одномерное упрощен-

ное ядро Дирихле.

Пусть д(х) — $(х) при х € Тн. Обозначим через Яа(х]следующую разность

/) = /;д) = 5м(ж; /) - #), (0.5)

где [а] = ([ах],..., [«ж}) Е , [агу] — целая часть ссу £ К1. Будем предполагать при этом, что

д(х) = 0 вне (0.6)

т.е. в (0.5) стоит частичная сумма усеченного интеграла Фурье:

1 г ~

9) = /) = -дГ / ¡(и)Ва(и - ж) ¿ад. (0.7)

Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С N > 1,

0 < ¡121 < (2^)^ (у, — ця — И-мерная мера Лебега), и пусть /(ж) = 0 на 21.

^В диссертации всюду рассматриваются такие функции д(х), для которых существует преобразование Фурье д(£).

В диссертации изучается поведение частичных сумм (0.2) при п оо и интегралов (0.3) и (0.6) при а —> оо функций из классов Ф(L), равных нулю на некотором множестве 21 положительной меры в зависимости от структуры и геометрии множества 21, а также от условий, накладываемых на функции f(x) и д(х).

2. Классическая теорема Римана о локализации утверждает, что сходимость или расходимость одномерного ряда Фурье функции / € L\ в точке х зависит от значения функции f(x) в окрестности этой точки, т.е., если N — 1, р = 1 и f(x) = 0 на интервале / С Г1, то ряд Фурье функции / сходится к нулю равномерно на каждом сегменте, целиком содержащемся в /.

Для кратных рядов такая локализация справедлива только для крестообразных окрестностей [1,с.458]. Для сферических окрестностей, как было доказано Л.Тонелли в 1928г. в работе [2], такая локализация неверна даже для непрерывных функций. Поисками окончательных условий справедливости классической локализации в различных функциональных пространствах, начиная с 1970г., занимались Ш.А.Алимов [3], В.А.Ильин [3,4], Е.М.Никишин [3], К.Гофман, Д.Ватерман [5], Л.В.Жижиашвили [6,7], Р.Р.Ашуров [8] и др. Из существовавших к 1975-1978гг результатов о классической локализации стало ясно, что для кратных радов Фурье, оставаясь в классах Lp, естественно ввести другое понятие локализации.

В работах [9] и [10] И.Л.Блошанским было введено следующее понятие обобщенной локализации почти всюду.

Определение 1. Пусть 21, 21 С TN - произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из классов Ф(L) (из класса Loo) справедлива на множестве 21 обобщенная локализация почти всюду (ОЛ ), если из условия f £ £ Ф(L)(TN) (f € £оо(Глг))? f(x) = 0 на 21, следует, что почти всюду

на 2i существует предел

lim Sn(x: f) = 0.

В одномерном случае ОЛ справедлива на любых измеримых множествах 21 С Т1 в классах Ьр, р > 1. Это следует из работ Л.Карлесона [11] и Р.Ханта [12]. Если же р = 1, то ОЛ справедлива в классе Ь\ на измеримом множестве % С Т1, /¿21 > 0, тогда и только тогда, когда это множество является открытым почти всюду.2) Достаточность этого факта следует из классического принципа локализации Римана, необходимость доказана И.Л.Блошанским (см.[13, теорема 2 для N = 1]).

При N > 2 исследования ОЛ были проведены И.Л.Блошанским в работах [9, 10, 13-17]. Так в случае N = 2 для функций / 6 1;Р(Т2) в работе [9] был доказан обобщенный принцип локализации почти всюду (п.в.), заключающийся в том, что сходимость или расходимость двойного ряда Фурье (функции /) п.в. в некотором круге не зависит от поведения / вне этого круга. Таким образом, для двойных рядов Фурье на открытых п.в. множествах ОЛ справедлива в классах Ьр, р > 1 (при суммировании по прямоугольникам).

Необходимо отметить, что усилить данный результат, доказав его в случае N = 2 и р > 1 для произвольного измеримого множества, оказалось невозможным, так как в работе [15] были построены измеримое множество % [М > 0 и функция /(ж) е Ь^Т2) такие, что / — 0 на 21, но Пт |5„(®;/)| = +оо п.в. на Г2.

В случае N > 3 ОЛ не справедлива ни на каком измеримом множестве 21 С Тм, не являющемся плотным в Тм(21 2 Тм, 21 — замыкание множества 21), при суммировании кратного ряда Фурье по прямоугольникам даже в классе С(Тм) (см.[16]).

^Множество Е будем называть открытым почти всюду, если существует открытое множество Е\ такое, что ¡1{ЕАЕ] ) ~ 0.

Если же рассматривать класс L\(TN), то (см.[13]), уже начиная с двумерного случая, OJI не справедлива вообще ни на каком измеримом множестве 21 С TN, 0 < /¿21 < (2tt)n, N > 2, даже при суммировании кратного ряда Фурье по квадратам.

Сформулированные выше результаты поставили вопрос о справедливости OJI в классах Ф(L)(TN) при N = 2.

Если / G L(log+ L)2 log+ log+ log+ L(T2), то как следует из работы [18] Н.Ю.Антонова, ряд Фурье функции / сходится п.в. на Т2 при суммировании по квадратам. (В случае суммирования по прямоугольникам, как известно [19], двойной ряд Фурье функции / может неограниченно расходиться п.в. на даже если / € С(Т2).)

Таким образом, в случае суммирования по квадратам OJI для двойных рядов Фурье справедлива в классе L{log+ L)2 log+ log+ log+ L(T2) на любых измеримых подмножествах Г2. ^

Если же рассматривать суммирование по прямоугольникам, то в работе [21] (см. также [22]) было установлено, что для двойных рядов Фурье OJI справедлива на открытых п.в. подмножествах X2 уже в классе Llog+ Llog+ log+ L(T2). Более подробно о результатах по OJT в классах Ф(L) см. в [22].

Определение обобщенной локализации для кратных рядов Фурье, рассмотренное выше, может быть аналогично сформулировано и для кратных интегралов Фурье.

Определение 2. Пусть 21 С TN — произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных интегралов Фурье функций из классов Ф(L) (из класса Ь^) справедлива на множестве 21 обобщенная локализация почти всюду, если из условия g €Е Ф(L)(R.N) (g 6 Ьоо(Е^))? g(x) — 0 на 21 следует, что почти всюду на 21 существует

Заметим, что при N = 1 OJI справедлива на любых измеримых подмножествах Т1 в классе Llog+ Llog+ log+ log+ L (это следует из работы Н.Ю.Антонова [20]).

предел

Jim Ja(x;g) = o.

Исследование OJI для интегралов Фурье было также проведено И.Л.Блошанским (см. [10,16,17]). При этом, основные результаты по ОЛ, сформулированные выше, удалось перенести и на интегралы Фурье. Более подробно на этих результатах мы остановимся позже.

3. Отсутствие ОЛ либо на любых измеримых множествах 2t С TN, N > 2 (в классе Li), либо на очень широком классе множеств {21}, Ш С ТЛ\ N > 3 (в случае €(ГЛГ)), привело И.Л.Блошанского к выводу, что, оставаясь в рамках классов Ф(L)(TN), естественно ввести более широкое понятие обобщенной локализации — понятие слабой обобщенной локализации почти всюду (СОЛ) для рядов Фурье. При этом стояла задача ввести такую локализацию, чтобы при N = 1 она, в той или иной степени, совпадала с классической, при N = 2 (где не справедлива классическая) она совпадала с ОЛ и, была бы справедлива при N > 3 (где не работает ОЛ). Введем, следуя работе [23], понятие слабой обобщенной локализации почти всюду.

Определение 3. Пусть 2t С TN - произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из классов Ф(Ь) (из класса Loa) справедлива на множестве 21 слабая обобщенная локализация почти всюду (СОЛ ), если для любой функции / е Ф(Ь)(Глг) (/ € L^T1^)), f(x) = 0 на 2t, существует подмножество положительной меры 2li множества 21 такое, что

Jiт>5п(ж;/) = 0 почти всюду на

Заметим, что если на множестве 2t справедлива ОЛ, то на нем справедлива и СОЛ. Обратное, вообще говоря, неверно. Следовательно, СОЛ справедлива при N = 1, р > 1 на произвольных измеримых множествах, а при N~l,p — lmN = 2, р > 1 - на открытых п.в. множествах.

С другой стороны, так как в примерах, показывающих несправедливость О Л на произвольных измеримых множествах в классе Ь^Т2) и на открытых множествах в классах Ь\(Т2) и С(ТМ), N > 3, доказано, что для функций из этих классов ^ка /)| = Ч-оо почти всюду на Тм

(см.[11], [15]), то указанные результаты, на самом деле, служат примерами несправедливости в этих же случаях и СОЛ. Однако, понятия О Л и СОЛ не совпадают. Так, в работе [14] было доказано, что для любых N — 1,р = 1иА/">2,1<р<оо существует измеримое множество положительной меры ЭД. = 21(ДГ,р) (в случаях АГ = 2, р ~ 1 ш N > 2, 1 < р < оо множество ЩМ,р) — открытое), на котором в классе Ьр справедлива слабая обобщенная локализация п.в. и не справедлива обобщенная локализация п.в.

4. Введем следующие обозначения. Пусть £1Х1 —- произвольное (не пустое) открытое множество на оси Ож^, 0,Х1 С [—тг, 7г), / = 1,..., N. Обозначим через Е° множество

N N

Е"=ПЕ1=П (ПХ1 X [-7Г, тг)^1), (0.8)

1

через Е* и Е - множества

= = 6(П4 (0.9)

г/=1\г=1 /

Е = Е(Е°) = б Еь (0.10)

Пусть 0,ХкХ1,£1ХкХ1 С [—71", тг)2, — произвольное (не пустое) открытое множество в плоскости (хь, £/), к < к, I = 1,..., N.

Положим

УТ^^П^х^*,*)"'2, к<1, М = (0.И)

и

= п (0.12)

к,1=1 к<1

Предполагая, что ф 0, рассмотрим множество

N

IV = ]¥(\¥°) = и УУХкХГ (0.13)

к,1=1 к<г

Далее, договоримся множество Е вида (0.10) называть (следуя работам [24] и [25]) "крестом из Л^-мерных плоскостей", Е° — (0.8) его центром, а множество IV вида (0.13) называть "крестом из ./У-мерных брусков" (УУХкХ, - "А^-мерный брусок"), И7"0 — (0.12) его центром.

Также следуя работам [24] и [25], дадим следующие определения.

Определение 4. Будем говорить, что множество Л вписывается почти всюду (вписывается с точностью до множества меры нуль) в множество В, если ¡л(А\ В) = 0.

Определение 5. I. Будем говорить, что множество 21 С Тм, N > 1, обладает свойством ЗВ1, если существует множество Е вида (0.10), которое вписывается п.в. в 21, причем свойствоШ\ есть свойство Ш^Е0), если Е = Е(Е°).

II. Свойство Ш>1(Е°) множества 21 будем называть максимальным свойством В>1 множества 21, если для любого множества Е° вида (0.8) такого, что ^(Е°\Е°) > 0, множество 21 не обладает свойством Ш^Е0).

Определение 6. I. Будем говорить, что множество 21 С Тм, N > 2, обладает свойством В2, если существует множество Ш вида (0.13), которое вписывается п.в. в 21, причем свойство В2 есть свойство В2(УУ°), еслиШ =

II. Свойство Вз^0) множества 21 будем называть максимальным свойством В2 множества 21, если для любого множества вида (0.12) такого, что \ > 0, множество 21 не обладает свойством

ыщ.

Обозначим через рг^{Р} ортогональную проекцию множества Р, Р С

С на ось Oxj, j = 1,... , ./V, N > 1; через — ортогональную

проекцию множества Р на плоскость (ж^, Х[), к < I, к>1 = 1,..., N > 2; через т1;(Р) — множество внутренних точек Р; через Р — замыкание множества Р и через ЕгР — границу множества Р.

В работах И.Л.Блошанского [13,14,23] было доказано, что на любом измеримом множестве 21 С , ¿¿21 > 0 в классах ЬР(ТМ) (р > 1, N > 1) справедлива СОЛ тогда и только тогда, когда множество % обладает свойством В&, к ~ к = 1,2, причем

а) в классе Ь\ при N > 1 тогда и только тогда, когда множество 21 обладает свойством В].;

б) в классах р > 1 при N > 2 тогда и только тогда, когда множество % обладает свойством ©2-

Заметим, что, в отличие от случая Ь\, необходимость в случае Ьр, р > 1, доказана в [14] при следующих дополнительных ограничениях на границу множества 21

\ нй(<8)) = 0, (0.14)

^Ргрг(м){т1(®)}=0, к < I, к,1 = (0.15)

где = Т^ \ 21, ¿¿2 — мера Лебега на плоскости.

Таким образом, справедливость слабой обобщенной локализации п.в. на тех или иных подмножествах 21 С Тм существенно зависит от степени суммируемости разлагаемых функций, а также от структуры и геометрии множества %.

Сформулированные выше результаты естественно ставят вопрос о справедливости СОЛ в классах, "лежащих между" Ь\ и р > 1. Точнее, встает вопрос в каких классах Фг(£) (Ф2(и) = о(ир) при и -» оо, £> > 1), гарантирующих справедливость СОЛ на измеримом множестве % 21 С Тдг, структура и геометрия этого множества должны определяться еще свойством ®2, а в каких классах Ф1Щ (Ф\(и) = о(Ф2(м)), и оо) для справедливости СОЛ на 21 структура и геометрия этого множества должны

определяться уже "более обременительным" свойством ®1?

В I главе диссертации мы даем частичные ответы на оба эти вопроса. Точнее, мы указываем "более широкий", чем Ьр, р > 1, класс Ф2(Ь) (Ф2(и) = г*)2) и "более узкий", чем Ь\, класс Ф\{Ь) (Фх : [0,оо) —)•

[О, оо)) — любая неубывающая функция, удовлетворяющая условию Ф^гг) =

и —> оо), в которых можем сформулировать критерии справедливости СОЛ на множестве 21 соответственно в терминах В>2 и ®1 свойств множества 21.

Как видим, на данный момент остается "зазор" между классами Ф\{Ь) и Ф2{Ь).

В §1 первой главы диссертации получена следующая теорема ("дающая" достаточные условия справедливости СОЛ на множестве 21 в классе Ь Ь)2(Т®) в терминах свойства множества 21).

Теорема 1.1. Пусть 21 - произвольное измеримое подмножество Тн, N > 2, /Ж > 0. Тогда, если для некоторого множества И^0 вида (0.12) множество 21 обладает свойством ®2(И/0)? то для любой функции / (Е € Ь (log+ Ь)2(ТН), такой, что /(ж) =0 на 21,

^пп Зп(х; /) = 0 почти всюду на IV0.

Как мы уже отмечали выше, в классах Ьр, р > 1, И.Л.Блошанским были получены необходимые и достаточные условия (в терминах ®2 свойства множества 21) справедливости СОЛ, точнее, была доказана следующая теорема (см. [14, теорема 2'], см. также [23]).

Теорема А. Пусть 21 - произвольное измеримое подмножество Тм, ТУ > 2, //21 > 0.

1. Если для некоторого множества IV0 вида (0.12) множество 21 обладает свойством ®2(И^°), то для любой функции / е ЬР(Т2), р > 1

такой, что f(x) = 0 на 21,

Jim Sn(x; /) = О почти всюду на W0.

Пусть дополнительно множество % удовлетворяет условиям (0.14) и (0.15), тогда

2. Если свойство ®2(Wr°) множества 21 является максимальным свойством В>2 множества 214), то существует функция / € Loo(TN), такая, что f(x) — 0 на 21, но

Jim^ (¿'„(ж; /)j = +оо почти всюду на TN \ W

3. В частности, если множество 21 вообще не обладает свойством ®2, то существует функция fi 6 L^T1*), такая, что fi(x) — 0 наШ, но

Jirn^ \Sn(x; fi)\ = +оо почти всюду на TN.

Учитывая теорему А, можем сделать вывод о необходимых и достаточных условиях справедливости СОЛ на множествах % С TN, N > 2 в классе Ф(L}(TN), когда Ф(г/) = i¿(log+i¿)2.

Теорема I.II. Пусть 21 - произвольное измеримое множество , 21 С С TN, N > 2, ¡л% > 0, и пусть 21 удовлетворяет условиям (0.14) и (0.15). Тогда на множестве 21 в классе L (log+ L)2{TN) справедлива слабая обобщенная локализация почти всюду тогда и только тогда, когда множество 21 обладает свойством ©2.

Принимая во внимание развернутую формулировку критерия СОЛ в классах Lpi р > 1 (теорема А), учитывающую, на каких подмножествах

С 21 существует предел Jira Sn(x;f) =0 при условии f(x) =0 на 21, а на каких нет, приведем развернутую �