Тау-функция Бергмана на пространствах разветвленных накрытий сферы и абелевых дифференциалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах

003063353

Кокотов Алексей Юрьевич /

Тау-функдия Бергмана пространствах разветвленных накрытий сферы и абелевых дифференциалов

Специальность 01 01 03 - математическая физика

автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических паук

Санкт-Петербург - 2006

003069353

Работа выполнена в Государственном Университете Телекоммуникаций имени проф В А Бонч-Бруевича

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук П Г Зограф доктор физико-матемагических наук А О Смирнов доктор физико-математических наук Н А Тюрин

Ведущая организация кафедра математической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Защита состоится х— $' ' 2007 I в . часов

па заседании диссертационного совета Д 002 202 01 в Санкт-Петербургском 01делсиии Математического института им В А Стеклова РАН по адресу Санкт-Петербург, наб реки Фонтанки 27, коми 311

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им В А Сгеклова РАН

Автореферат разослан 2-/ ^ 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

А Ю Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Теория изомонодромных деформаций фуксовой системы дифференциальных уравнений

уже почти сто лет (если вести отсчет с работы Шлезингера 1912 года, где впервые появилась система уравнений, описывающая изомонодромные деформации) служит как областью приложений так и источником новых математических идей Как было показано в основополагающей работе Мива и Джимбо, с системой Шлезингера естественно связана замкнутая 1-форма и>, определяющая так называемую изомонодромпую тау-функцию т равенством ш = йт Объяснение аналитической природы изомоиодромной тау-функции было найдено Мальгранжем Оказалось, что тау-функция совпадает с фред-гольмовым детерминантом некоторого теплицева оператора В работе Книжника было высказано предположение, что для некоторых изомонодромных деформаций, связанных с разветвленным накрытием сферы компактной ри-мановой поверхностью, изомонодромная тау-функция допускает явное выражение через тэга-функции накрывающей римановой поверхности

Уже первый шаг, сделанный в направлении, указанном в работе Книжника, оказался плодотворным Именно, сначала в работах Китаева и Короткииа и (независимо) Дейфта, Итса, Капаева и Жоу было построено изомонодром-ное семейство решений задачи Римана-Гильберта, связанной с гиперэллиптическим накрытием сферы при этом в работе Китаева и Короткииа была явно найдена соответствующая изомонодромная тау-функция Затем в работе Короткииа эти результаты были радикально обобщены была решена задача Римана-Гильберча с произвольными квазиперестановочными монодромиями связанная с общими разветвленными накрытиями произвольной степени и рода Соответствующую изомонодромную тау-функцию найти тогда не удалось однако основная аналитическая трудность в ее вычислении была выделена и сформулирована- дело свелось к необходимости проинтегрировать следующую систему уравнений

(0 1)

м

(0 2)

где Бв - проективная связность Бергмана на накрывающей поверхности, - локальный параметр в окрестности простой точки ветвления М - число точек ветвления

Сходные системы уравнений, связанные с проективными связностями на римановых поверхностях, в несколько другом контексте (производящие функции для акцессорных параметров) были проинтегрированы в серии работ Зографа и Тахтаджяна Производящие функции акцессорных параметров в этих работах были выписаны в терминах регуляризованного интеграла Лиу-вилля

В работе [6] было обнаружено, что некоторый аналог интеграла Лиувил-ля (интеграл Дирихле, регуляризованный в точках ветвления и бесконечностях) дает вещественнозначное решение системы (0 2) Более того, в случае накрытий младшего рода интеграл Дирихле допускает явную голоморфную факторизацию, что приводит к замкнутому явному выражению для изомо-нодромной тау-функции В этой же работе был найден правильный контекст для описания решения системы (0 2) Оказалось, что естественно определять его, как горизонтальное сечение некоторого линейного расслоения над пространством Гурвица разветвленных накрытий сферы Это сечение получило название тау-функции Бергмана на пространстве Гурвгща От изомоно-дромной тау-функции работы Короткина тау-функция Бергмана отличается некоторым явно вычисляемым тэта-функциональным множителем

В случае кривых старшего рода подход с использованием интеграла Дирихле, соответствующего фуксовой униформизации поверхности, не оказался достаточно эффективным - голоморфная факторизация этого интеграла невозможна а рпоп Тем не менее этот подход был применен в [6] для выражения квадрата модуля тау-функции через детерминант лапласиана в метрике Пуанкаре

В работе [8] была обнаружена связь тау-функции Бергмана с теорией фро-бениусовых мно! ообразий Именно для фробениусовых структур на пространствах Гурвица, введенных Дубровиным, изомонодромная тау-функция полупростого фробениусова многообразия была опознана в [8] как некоторая степень тау-функции Бергмана В младших родах это привело к построению явного решения уравнения Гетцлера - так называемой б-функции фробениусова многообразия и доказательству гипотезы Стропа о фробениусовых структурах, связанных с группами Якоби

Другое применение бергмаповской тау-функции было найдено в работе [4] Оказалось, что первая поправка к свободной энергии в эрмитовой двухмат-ричной модели совпадает (с точностью до некоторых простых добавочных слагаемых) с логарифмом тау-функции

В полной общности (для накрытий произвольного рода и степени) бергма-иовская тау-функция была вычислена в работе [9] Это немедленно привело к явной формуле факторизации детерминанта лапласиана в метрике Пуанкаре, являющейся альтернативой известному представлению этого детерминанта через дзета-функцию Сельберга, принадлежащего Докеру и Фонгу (Позже нам стало известно о существовании неопубликованной рукописи Зофафа, в которой явная факторизация детерминанта лапласиана в метрике Пуанкаре была выписана в терминах образующих группы Шоттки )

К сожалению и формула Зографа и наша формула, выражающие детерминант лапласиана в метрике Пуанкаре через квадрат модуля некоторой голоморфной функции (на пространстве Шоттки в контексте Зографа на пространстве Гурвица в нашем контексте) обладают существенным недостатком -- трудно вычислимый вещественнозначный множитель содержащий интеграл Лиувилля (Дирихле), препятствует полной голоморфной факторизации детерминанта лапласиана При этом ясно, что полная голоморфная факторизация и невозможна - она запрещена теоремой Белавина-Книжника

Попытка устранить этот недостаток привела к обобщению бергмаповской тау-функции на случай пространств абелевых дифференциалов на римано-вых поверхностях [12] Оказывается, что если в качестве конформной метрики взять не метрику Пуанкаре (г е метрику с равномерно распределенной кривизной), а сингулярную метрику с кривизной сосредоточенной в конечном числе точек римановой поверхности, то соответствующий этой метрике лапласиан допускает полную явную голоморфную факторизацию (с точностью до двух простых вещественнозначных множителей определителя мнимой части матрицы Ь-периодов и площади поверхности) В качестве такой сингулярной метрики естественно взять метрику, задаваемую квадратом модуля какого-либо абелева дифференциала Эта метрика - плоская коническая, конические точки суть нули абелева дифференциала Детерминант лапласиана в этой метрике (г точностью до простого множителя) совпадает г квадратом модуля голоморфной функции на пространстве абелевых дифференциалов (Последнее пространство недавно было изучено в работе Зорича и

Концевича ) Эта голоморфная функция (получившая название тау-функции Бергмана на пространстве абелевых дифференциалов) удовлетворяет системе уравнений, являющейся прямым обобщением системы (0 2) со случая пространств разветвленных накрытий на случай пространства абелевых дифференциалов Оказывается, что явное интегрирование этой системы, как и в случае системы (0 2), возможно и приводит к явным формулам для детерминанта лапласиана в плоских конических метриках

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ В работе изучаются современные вопросы теории изомонодромных деформаций, фробениусовых многообразий и спектральной теории римановых поверхностей Найдено явное выражение для изомонодромпой функции Джимбо-Мива, свя данной с фробепиусовыми структурами Дубровина на пространствах Гурвица разветвлепных накрытий сферы произвольной степени и рода Квадратичные гамильтонианы Дубровина выражены через значения проективной связности Бергмана в критических точках накрывающего отображения, что дает возможность связать изомо-нодромную тау-функцию с так называемой тау-функцией Бергмана - горизонтальным сечением некоторого расслоения над пространством Гурвица Квадрат модуля тау-функции Бергмана представляется в виде интеграла типа Дирихле по накрывающей римановой поверхности, последний интеграл допускает явную голоморфную факторизацию, приводящую к выражению тау-функции через главную форму и тэта-функции накрывающей римановой поверхности В диссертации также вводится аналог тау-функции Бергмана для пространств модулей абелевых дифференциалов на римановых поверхностях изученных в недавних работах Зорича Концевича, Мазура, Вича и Ланно Соответствующая тау-функция играет важную роль в спектральной теории римановых поверхностей в диссертации показано, что регуляризо-ванный детерминант оператора Лапласа в плоской конической метрике на компактной римановой поверхности иредставим в виде ирозведения площади поверхности, детерминанта мнимой части матрицы Ь-периодов и квадрата модуля тау-функции Как и в случае пространств Гурвица, тау-функция на пространстве абелевых дифференциалов явно вычисляется через главную форму и тэта-функции, что приводит к замкнутому выражению для детерминанта Лапласиана в плоской конической метрике на компактной римановой поверхности Отметим что один из основных результатов настоящей работы - вычисление регуляризованного детерминанта оператора Лапласа - является

обобщением классической формулы Рая и Зингера для детерминанта лапласиана на плоском торе

ЦЕЛЬ РАБОТЫ 1) Вычисление изомонодромной тау-функции для задачи Римана-Гильберта, связанной с разветвленным накрытием сферы Римана компактной римановой поверхностью произвольного рода

2) Вычисление изомонодромной тау-функции произвольного гурвицева фро-бениусова многообразия

3)Изучение аналогов тау-функции на пространстве Гурвица возникающих в теории пространств модулей абелевых дифференциалов

4)Выяснение связей тау-функций со спектральной теорией оператора Лапласа на римановых поверхностях

5)Явное вычисление регуляризованного детерминанта лапласиана в плоских конических метриках

НАУЧНАЯ НОВИЗНА В работе определена и изучена тау-функция на пространствах разветвленных накрытий сферы (пространствах Гурвица) и пространствах модулей абелевых дифференциалов на компактных римановых поверхностях Описаны связи этого объекта с теориями изомонодромных деформаций, фробениусовых многообразий, случайных матриц, а также со спектральной теорией римановых поверхностей Получены явные формулы для детерминантов лапласианов в плоских конических метриках на компактных римановых поверхностях произвольного рода

ДОСТОВЕРНОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ обеспечивается полнотой и строгостью приводимых доказательств апробацией результатов работы на многочисленных конференциях и семинарах проверкой части результатов в работах других авторов

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ Полученные результаты применимы в теории интегрируемых систем, теории модулей (римановых поверхностей мероморфных функций на римановых поверхностях, абелевых дифференциалов на римановых поверхностях), спектральной теории римановых поверхностей и теории рассеяния

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ По материалам диссертации были сделаны доклады на семинарах ряда институтов и университетов Германии (Институты Макса Планка в Бонне и Лейпциге Берлинский Технический Университет) Англии (Математический инеттут в Оксфорде Университет Глазго) США (Университеты Ныо-Хэмппшра и Огайо - ежегодные сессии Американского

математического общества 2005 и 2006 годов) и Канады (цикл докладов в университете Мак-Гилл и Центре математических исследований Монреальского университета), а также на международных конференциях

- конференция по интегрируемым системам (Фаро, Португалия, 2004)

- конференция по современным вопросам математической физики (Санкт-Петербург, 2005)

- конференция по теории случайных матриц (Монреаль, 2005)

- конференция по теории римановых поверхностей (Лейпциг 2006) ПУБЛИКАЦИИ На тему диссертации опубликовано 13 работ. СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ Диссертация состоит из шести глав, разбитых по параграфам и списка литературы Работа занимает 174 страницы машинописного текста, список литературы содержит 70 названий

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Опишем содержание диссертации по главам

ПЕРВАЯ ГЛАВА состоит из общего введения к диссертации и краткого литературного обзора

Во ВТОРОЙ ГЛАВЕ вводится тау-функция Бергмана на пространствах Гурвица и приводится ее явное вычисление для накрытий младшего рода Здесь же проясняются ее связи с голоморфной функцией Зографа на пространстве Шоттки и доказывается формула факторизации детерминанта лапласиана в метрике Пуанкаре (или, что эквивалентно) формула для квадрата модуля тау-функции общего накрытия произвольного рода и степени

В ТРЕТЬЕЙ, основной, главе диссертации проведено вычисление бергма-новекой тау-функции для общих пространств Гурвица

Опишем здесь наши результаты, касающиеся вычисления бергмановской тау-функции для накрытий старшего рода (ограничившись для краткости случаем накрытий с простыми точками ветвления, ни одна из которых не лежит над бесконечностью)

Пространство Гурвица Ич у состоит из классов эквивалентности пар (£ ж), где С. - компактная Риманова поверхность рода д и ж - мероморфная функция степени N Пространство Гурвица стратифицированно в согласии с кратностями полюсов и критических точек функции ж, для краткости ограничимся здесь лишь рассмотрением старшего страта 1,. , 1), для которого все критические точки и полюса функции ж просты (В теории фро-

бепиусовых многообразий возникают страты //^(/гь , км) состоящие из мероморфпых функций с полюсами порядка к д/, их рассмотрение не

вызывает дополнительных трудностей)

Обозначим критические точки отображения тг через Р\, Рм, критические значения Хт — ~к{Рт) представляют собой локальные координаты на Нч у(1, , 1) Отображение 7г определяет реализацию римановой поверхности С как Аг-листного разветвленного накрытия СР1, обозначим точки над бесконечностью через ОО], . оод В окрестности точки ветвления Рт введем локальный параметр хт(Р) — у/я{Р) — К>, т = 1 ,М, в окрестности точек оо,, в качестве локального параметра выбирается С,п = хм+„{Р) = 1/тг(Р) п = 1, , Аг

Выберем канонический базис циклов (а„, Ьа) на £ и введем главную форму Е(Р, <5) на С и канонический мероморфный бидифференциал

\\''{Р.0)=(1р(1<з\пЕ(Р О) (0 3)

Бидифференциал IV имеет полюс второго порядка при (} — Р, при этом справедлива асимптотика

wi.ro) _ 1 15вМР)) + о(1Ь

ёт{Р)йх{0) (г (Р)-х(<5))2 6 где т(Р) - локальный параметр, а Бв{х{Р)) - бергмановская проективная связность

Бергмановская тау-функции для пространства Гурвица, 1, 1) определяется, как голоморфное решение г следующей системы дифференциальных уравнении

О 1

^-1пг = --5в(1т)|Г111=о, т = 1, А/ (0 4)

Введем дивизор V мероморфного дифференциала йтг V = '^к-С' А. где Д„ = Рго , с1т — 1 для т = 1, , М и Дм+„ = ооп , ¿ц+п = -2 для п = 1, Аг Здесь и везде ниже мы принимаем следующее соглашение если аргумент тензора (в данном случае дифференциала) совпадает с какой-либо точкой Д> дивизора V, то имеется в виду значение этого тензора в данной точке по отношению к локальному параметру х/, В частности мы будем использовать следующее соглашение для значений главной формы

Е(А-, А) = Е(Р. О)^/ЩF)^/ЩQ)\p=Dí о^д , (0 5)

для к, I = 1, , М+Лг Следующая система обозначений соответствует главным формам вычисленным в точках дивизора Т> относительно только одного из аргументов _

=£>, , (0 6)

к = 1, , М + Лг, в противоположность значениям Е(В^, В/), которые представляют собой скаляры, выражение Е(Р, есть —1/2-форма относительно Р

Разрежем риманову поверхность С, вдоль базисных циклов, получившийся фундаментальный многоугольник обозначим через ¿, выбрав некоторую начальную точку Ре£ введем вектор римановых констант

К = \ + - (г5(0) Г уп) , а = 1, (0 7)

и отображение Абеля \Лр\п(0) — /р ь'а пути интегрирования предполагаются не пересекающими границу д£

Теорема 1 Предположим, что фундаментальный многоугольник С, выбран так, что

Л{р) + 2КР = 0 (0 8)

Тау-функция Бергмана на пространстве Гурвица ,1) задается

следующим явным выражением

г=п (оз)

А (=1 к<1

где величина Т, определенная равенством

[Фг(Р)]^ А &>Э{КР)

(0 10)

не зависит от точки Р е С Здесь © - тэта-функция поверхности С,

\У{Р) =ае^<а/к,||^1)(Г)|| (0 11)

— значение вронскиана базисных голоморфных дифферетщалов в точке Р

Ю

Введение бергмановской тау-функции (в работе [6]) было мотивировано чисто технической необходимостью - частный случай системы 0 4 возник при вычислении изомонодромной тау-функции Джимбо-Мива для некоторого специального класса задач Римана-Гильберта Впоследствии оказалось, что введенный объект появляется сразу в нескольких на первый взгляд довольно далеких друг от друга, областях математической физики теории фробе-ниусовых многообразий, теории случайных матриц теории изомонодромных деформаций фуксовых систем дифференциальных уравнений, спектральной теории римановых поверхностей Более того, его естественные обобщения играют важную роль в теории пространств модулей абелевых и квадратичных дифференциалов на римановых поверхностях и, (Корее всего, список дальнейших обобщений и приложений тау-функции на этом еще не кончается

В ЧЕТВЕРТОЙ главе диссертации описаны приложения тау-функции Бергмана к различным задачам математической физики (фробениусовым многообразиям, эрмитовым одно и двухматричным моделям, спектральной теории римановых поверхностей)

Опишем здесь приложение к теории фробениусовых многообразий и спектральной теории римановых поверхностей

Тау-функция Бергмана как изомонодромная тау-функция фробепиусова многообразия Пусть ¡р - примарный дифференциал на римановой поверхности С Ему соответствует структура полупростого фробениусова многообразия Л/у„ на Нд ^-(к\, ,к[) Инвариантная плоская метрика £(г> ш) = гс) на М^ в координатах Аь . Ад/ диагональиа £ = £)т=1 £г»т(<ААт)2 €тт — Коэффициенты вращения, -)„„, (т ф п), этой метрики

определены равенством

_ д\п т/£1пт "Ути — /у— УЯпт)

Коэффициенты вращения 7„,„ не зависят от примарного дифференциала р,т е они одни и те же для всех фробениусовых структур на пространстве Гур-вица Нд,у(ки ,1а)

Пусть Г = ]|7шп||т71=1, Ы = ¿1а^(Аь -А-1/) и

Изомонодромная тау-функция г/ полупростого фробениусова многообразия

Л/, определяется системой уравнений

^Ii = Hm, m = l, М. (012)

олт

где квадратичные ёймилъшони&иы Hfix даются соотношениями

н™= Е Т~Т~> т=1> м (°13>

пфт,1<п<М Ап Ат

Справедлива следующая теорема

Теорема 2 Йзомонодромная тау-функция Тг полупростого фробениусова многообразия Мф совпадает с тау-функцией Бергмана на пространстве Гурви-цаНд\'(ки ,ki}

Детерминант Лапласиана в метрике Пуанкаре В случае g > 1 риманова поверхность £ биголоморфна фактор-пространству Н/Г, где Н = {z € С $sz > 0} Г - строго гиперболическая фуксова группа. Обозначим через тг> Н —г £ естественную проекцию Пусть а - локальный параметр на £ Введем стандартную метрику постоянной кривизны —1 па £

eW2 = iS>

где гбИ, (г) = Р, а = х(Р)

Введем вещественнозначные функции х(А), х'"'( ^т), м = 1, М и х* (СО, гг = 1, , АГ спецификацией локального параметра х = А, х = хт и х — („ в формуле (0.14)

Введем области £рП\ полученные вырезанием из я-го листа накрытия £ дисков радиуса р вокруг точек ветвления и диска {Л > 1 /р} вокруг бесконечности

Определим регуляризованный интеграл Дирихле как

к

Г = - lim ( J2 [ |(?лх!2йА + (8N + М)ъ lap) (0 15)

1

тг Р~0 I

и введем функцию S/-- равенством

м .v

SF(AX , Хм) = -1^2 Х,п =0 + IЕ ^(Сп)| =0 , (0 16)

т=1 л=1 "

Теорема 3 Рассмотрим пространство Гурвица Пду(1, . ,1) Пусть пара (£, 7г) принадлежит 1, ,1) Тогда детерминант оператора Лапласа на £ (действующего в тривиальном линейном расслоении) в метрике Пуанкаре задается следующим выражением

с!еЬ Д = ся,х {det О-В} е^ |т|2 (0 17)

где сд N - константа не зависящая от точки (£, тт) € , 1), В -

матрица Ь-периодов С, т - тау-фунщия Бергмана на , 1)

Формула (0 17) может рассматриваться, как некоторое обобщение известной формулы Рэя-Зингера для детерминанта лапласиана на плоском торе с периодами 1 и <т

deiA = С^а^а)]4 (018)

где г) - функция Дедекинда Важной чертой (0 18) является то обстоятельство, что функция

А

{Зсг}{Лге«(£)}

представима в виде квадрата модуля голоморфной функции на пространстве модулей В случае старшего рода это уже неверно в (0 18) присутствует множитель <-§г/6, не допускающий голоморфной факторизации производные второго порядка по голоморфным и антиголоморфным переменным отличны от нуля

В ПЯТОЙ главе диссертации обсуждаются пространства абелевых дифференциалов, вводится и явно вычисляется тау-функция Бергмана па этих пространствах

Пространство Нд абелевых диффереициалов на римановых поверхностях рода д определяется как пространство модулей пар (£ ги), где С - компактная риманова поверхность рода д, & и> - голоморфная 1-форма на £ Это пространство стратифицировано по кратпостям нулей ги

Обозначим через Н.д{к] , к_ц) страт пространства 'Нд, состоящий из дифференциалов ги с М нулями на £ кратностей (А,-!, , км) Обозначим эти нули из через р, Рд/, дивизор пулей дифференциала ¡г записывается в виде (и>) = Х)т=1 к-тРт Выберем канонический базис циклов (а0 Ьа) на римано-вой поверхности £ и рассечем £ вдоль этих циклов (предполагая их проходящими через общую точку) Получим фундаментальный многоугольник £

Внутри £ выберем M — 1 ( классов гомологий) путей 1т на £ \ (w), соединяющих нуль Pi с остальными пулями Рт дифференциала w, m — 2, , M Тогда локальные координаты на 7ig(ki, , км) могут быть выбраны следующим образом

Аа = Ф w , В„ = <Ь w , zm = / и, , а< = 1,. ,д, т = 2, ,М J о„ Jb„ //,„

(О 19)

Площадь поверхности £ в метрике |ш|2 выражается через эти координаты формулой

9 _

Vol(£) = З^/Ц^

n=l

Если все нули w просты, то M = 2д — 2, и, стало быть, размерность старшего страта Нд(1, , 1) равна Ад — 3 Абелев интеграл z(P) = Jp w дает локальную координату на поверхности в окрестности любой точки Р € £ за исключением нулей Pi, , Р_м В окрестности нуля Рт локальная координата дается выражением (z(P) — -гт)1^"т+1)

Для удобства обозначений будем рассматривать координаты {А,, Ва, zm} все вместе Далее мы обозначаем их как Çj., к = 1,. ,2g + AI — 1, где

Со = Ai , Q+a .= Ва а = 1, .,д , Çhj+m = ->»»+1 ш = 1, ,М — 1

(О 20)

Введем также соответствующие этим координатам циклы s/-, к = 1, , 2д+ AI — 1 следующим образом

= -ba , sg+n = аи, а = 1, , g , (0 21)

циклом S2д+т, m = 1. M — 1 считается (положительно ориентированная) малая окружность вокруг точки Pm+i

Определение 1 Тау-фупкция Бергмана t(£,w) на cmpame 7iq(k\, , k\i) пространства абелевых дифференциалов определяется локально следующей системой дифференциальных уравнений

dlnr(C,u.)=_J_ Г Ss-S^

00: 12пг L ги J

где к = 1, ,2g + М — 1, Sb - проективная связност,ь Бергмана, Sw(С) = w с}, разность двух проективных связностей Sb и Sw — мероморфный квадратичный дифференциал с полюсами в нулях w

Введем голоморфный (многозначный) g( 1 — д)/2-дифференциал на С, обладающий мультипликаторами 1 и ехр{— тп(д — l)2Bart — 2т(д — вдоль базисных циклов аа и Ьа соответственно

где W(P) - вронскиан базисных голоморфных дифференциалов Лемма 1 Следующее выражение не зависит от выбора точки Р

? = | Д[ВД Дп)]^} С(Р), (0 24)

где целочисленный вектор г определен равенством

Д(Н) + 2КР° + Вт + гх = 0 (0 25)

Гх - некоторый другой целочисленный вектор

Теорема 4 Решение системы (0 22), определяющей тау-функцию Берглш-на дается следующим выражением

1

{М 6(»-1)

ПС*га(Д»)| > (0 20)

где Т определено формулой (0 24)

Выражения для тау-функции могут быть слегка упрощены в случае старшею страта. Hg(l, 1)

Следствие 1 Рассмотрим старший страт Н(1, 1) пространства Лд, содержащий абелевы дифференциалы и> с npoi тыми нулями Выберем фундаментальный многоугольник С так, что A((w)) + 2КР = 0 Тогда бергма-иовская тау-фуищия на Н{ 1, Л) записывается следующим образом

1ff-2

t(C.W)=^ П ЩРп,т1'Ь (0 27)

т 1—1 гп<1 13

где множитель

Т = МР))^С(Р) Д [ЩР, (0 28)

т=1

не зависит от Р, главные формы в нулях Рт вычисляются в локальном, параметре хт(Р) = ( ич

В последней, ШЕСТОЙ, главе диссертации обсуждается спектральная теория лапласианов в плоских конических метриках на римановых поверхностях и доказываются явные формулы для детерминантов таких лапласианов

Любой голоморфный абслев дифференциал гг определяет плоскую метрику |ги|2 па £ В нуле кратности к дифференциала гс эта метрика имеет коническую сингулярность с коническим углом 2 (к + 1)7г Неограниченный симметрический оператор 4\и<\~'2дд т Ь>(С, |ш|2) с областью определения С^(£.\(и>)) допускает замыкание и обладает самосопряженным расширением по Фридрихсу, которое мы тоже будем обозначать через ДМ Известно, что спектр сг(Д!" !2) самосопряженного оператора

ДМ2

дискретен Операторная

дзета-функция определенная как сумма по положительным собствен-

ным значениям С(5) = хл >о Для ^ > допускает аналитическое продолжение до функции, мероморфпой в С причем известно, что точка 6 = 0 не является полюсом этого аналитического продолжения Следовательно регу-ляризованный детерминант оператора Д'11'' возможно определить обычным образом

ск^Д1"1" = ехр{-С'(0)}

Введем обозначение

-{йегдаяв} (»29>

где Уо1(£, g) обозначает площадь римановой поверхности £ в метрике g Теорема 5 Имеют место следующие вариационные формулы

(030)

дО. 12тг? Т ы у '

где к = 1 ,2д + М — 1, в/з - бергмаповская проективная связность, Бм-- проективная связность, задаваемая шварцевой производной | [Р ги

~~ - мероморфный квадратичный дифференциал с полюсами второго порядка в нулях Рт абелева дифференциала и'

Следующая теорема может рассматриваться, как естественное обобщение формулы Рэя-Зингера на случай кривых старшего рода

Теорема 6 Пусть пара (С, и:) принадлсокит пространству Н(к\, . . к^) Тогда детерминант лапласиана ДМ2 , действующего в тривиальном линейном расслоении над римановой поверхностью С, дается следующим выражением

с^ Д,и'12 = С Уо1 (С, И2) с!е^В |т(£, ш)|2, (0 31)

где Уо1(£, |ш|2) — 1• |2 - плогцадь С, В - матрица Ь-периодов, постоянная С не зависит от точка связной компоненты страта Л:д/) Здесь

г(С ю) — бергмаповская тау-фуикция на пространстве Лд{к\ ,к\[), даваемая формулой (0 26)

Список литературы

[1] Кокотов А Ю., Тау-функция Бергмана на пространствах разветвленных накрытий сферы и абелевых дифференциалов, 2006, ПОМИ препринт, 2006/16, с 1-95

[2] Кокотов А Ю , Короткий Д А , Шрамчснко В А, Неавтономные интегрируемые системы, связанные с пространствами Гурвица для родов 0 и 1, Теоретическая и математическая физика, 137 (1) 153-160 (2003)

[3] A Kokotov, D Korotkin, "Bergman tail-function from Hurwitz spaces to spaces of quadratic differentials", J Ph A, 39(2006), 8997-9013

[4] В Eynard, A Kokotov, D Korotkin, Genus one contribution to free energy in Hermitian two-matrix model, Nucl Phys B, (694) 443-472 (2004)

[5] Yu Klochko, A Kokotov, Genub one polyhedral surfaces, spaces of quadiatic differentials on tori and deteimmants of Laplacians, Manuscripta Mathematica 122, N2 (2007), 1-22

[6] A Kokotov, D Korotkm, Tau-functions on Hurwitz spaces, Mathematical Physics, Analysis and Geometry", 7 (2004), no 1, 47-96

[7] A Kokotov, I Strachan, On the isomonodromic tau-function foi the Hurwitz spaces of branched coverings of genus zero and one, Math Res Letters, 12, 857-875 (2005)

[8] A Kokotov, D Koiotkin, Oil G-function of Fiobcnius manifolds related to Huiwitz spaces, Internat. Math Res Notices, 2004 N 7, 343-360 (2004)

[9] A Kokotov D Korotkm, Isomonodromic tan-function of Hurwitz Frobenius manifold and its applications, Intern Math Res Notices, 2006, (N18746). 1 34

[10] В Eynard, A Kokotov, D Korotkin, 'l/N2 conection to free energy m hermitian two-matiix model", Lett Math Phys , 71 199-207 (2005)

[11] A Kokotov, D Korotkin 'Invariant Wirtmger projective connection and tau-Functions on spaces of branched coverings'' CRM Proceedings and Lecture Notes, AMS, vol 37 (2004) p 91-97

[12] A Kokotov, D Korotkin, Tail-functions on spaces of holomorphic differentials ovci Riemann surfaces and determinants of Laplacians in Strebel metrics of finite volume, math SP/0405042, preprint of Max-Planck Institute for Mathematics in the Science, Leipzig, 46/2004

[13] A Kokotov, D Korotkin, Bergman tau-function on Hurwitz spaces and its applications, math-ph/0310008, Max-Planck-Institut fur Mathematik preprint 03-101

1 Введение

2 Тау-функция Бергмана на пространстве разветвленных накрытий сферы Римана

2.1 Пространства Гурвица.

2.1.1 Проективные связности Бергмана и Виртингера.

2.1.2 Вариационные формулы.

2.1.3 Проективные связности Бергмана и Виртингера на разветвленном накрытии сферы. 2.2 Тау-функции Бергмана и Виртингера разветвленных накрытий сферы.

2.2.1 Тау-функция Виртингера.

2.2.2 Тау-функция Бергмана.

2.3 Рациональный и эллиптический случаи.

2.3.1 Плоские метрики на римановой сфере и торе.

2.3.2 Регуляризованный интеграл Дирихле.

2.3.3 Факторизация интеграла Дирихле и тау-функции рациональных и эллиптических накрытий.

2.3.4 Тау-функция двулистного рационального накрытия

2.3.5 Тау-функция двулистных эллиптических накрытий

2.4 Случай старшего рода.

2.4.1 Интеграл Дирихле и униформизация Шоттки.

2.4.2 Плоская метрика на /З^е^её.

2.4.3 Регуляризованный интеграл Дирихле.

2.4.4 Действие Лиувилля и фуксова униформизация.

2.4.5 Квадрат модуля тау-функций Бергмана и Виртингера для накрытий старшего рода.

Вычисление тау-функции Бергмана для накрытий старшего рода

3.1 Доказательство основной теоремы.

3.1.1 Вариационные формулы на пространствах разветвленных накрытий.

3.1.2 Интеграл Дирихле: его вариация и голоморфная факторизация

3.2 Вычисление тау-функции.

3.2.1 Род 1.

3.2.2 Тау-функция на произвольном страте пространства Гур-вица.

Теория изомонодромных деформаций фуксовой системы дифференциальных уравнений уже почти сто лет (если вести отсчет с работы Шлезингера 1912 года, где впервые появилась система уравнений, описывающая изомонодромные деформации) служит как областью приложений так и источником новых математических идей. Как было показано в основополагающей работе Мива и Джимбо [26], с системой Шлезингера естественно связана замкнутая 1-форма и, определяющая так называемую изомонодромную тау-функцию т равенством и = ¿т. Объяснение аналитической природы изомонодромной тау-функции было найдено Мальгранжем. Оказалось, что тау-функция совпадает с фредгольмовым детерминантом некоторого теилицева оператора. В работе Книжника [29] было высказано предположение, что для некоторых изомонодромных деформаций, связанных с разветвленным накрытием сферы компактной римановой поверхностью, изомонодромная тау-функция допускает явное выражение через тэта-функции накрывающей римановой поверхности.

Уже первый шаг, сделанный в направлении, указанном в работе Книжника, оказался плодотворным. Именно, сначала в работах Китаева и Корот-кина [28] и (независимо) Дейфта, Итса, Капаева и Жоу [10] было построено ал) изомонодромное семейство решений задачи Римана-Гильберта, связанной с гиперэллиптическим накрытием сферы, при этом в работе Китаева и Ко-роткина была явно найдена соответствующая изомонодромная тау-функция. Затем в работе Короткина [36] эти результаты были радикально обобщены: была решена задача Римана-Гильберта с произвольными квазиперестановочными монодромиями, связанная с общими разветвленными накрытиями произвольной степени и рода. Соответствующую изомонодромную тау-функцию в работе [36] найти не удалось, однако основная аналитическая трудность в ее вычислении была выделена и сформулирована: дело свелось к необходимости проинтегрировать следующую систему уравнений д 1п т ¿ = 1,.,М (1.2)

Xj=0 где Бв - проективная связность Бергмана на накрывающей поверхности, х$ - локальный параметр в окрестности простой точки ветвления А^-, М - число точек ветвления. Совместность этой системы была одним из попутных результатов работы [36].

Сходные системы уравнений, связанные с проективными связностями на римановых поверхностях, в несколько другом контексте (производящие функции для акцессорных параметров) были проинтегрированы в серии работ Зографа и Тахтаджяна [67], [63], [62]. Производящие функции акцессорных параметров в этих работах были выписаны в терминах регуляризованного интеграла Лиувилля.

В работе [30] было обнаружено, что некоторый аналог интеграла Лиувилля интеграл Дирихле, регуляризованный в точках ветвления и бесконечностях) дает вещественнозначное решение системы (1.2). Более того, в случае накрытий младшего рода интеграл Дирихле допускает явную голоморфную факторизацию, что приводит к замкнутому явному выражению для изомонодром-ной тау-функции. В этой же работе был найден правильный контекст для описания решения системы (1.2). Оказалось, что естественно определять его, как горизонтальное сечение некоторого линейного расслоения над пространством Гурвица разветвленных накрытий сферы. Это сечение получило название тау-функции Бергмана на пространстве Гурвица. От изомонодромной тау-функции работы [36] тау-функция Бергмана отличается некоторым явно вычисляемым тэта-функциональным множителем.

В случае кривых старшего рода подход с использованием интеграла Дирихле, соответствующего фуксовой униформизации поверхности, не оказался достаточно эффективным - голоморфная факторизация этого интеграла невозможна a priori. Тем не менее этот подход был применен в [30] для выражения квадрата модуля тау-функции через детерминант лапласиана в метрике Пуанкаре.

В работе [33] была обнаружена связь тау-функции Бергмана с теорией фробениусовых многообразий. Именно для фробениусовых структур на пространствах Гурвица, введенных в работе Дубровина [6], изомонодромная тау-функция полупростого фробениусова многообразия была опознана в [33] как некоторая степень тау-функции Бергмана. В младших родах это привело к построению явного решения уравнения Гетцлера - так называемой (^-функции фробениусова многообразия и доказательству гипотезы Строна о фробениу-совых структурах, связанных с группами Якоби.

Другое применение бергмановской тау-функции было найдено в работе [14]. Оказалось, что первая поправка к свободной энергии в эрмитовой двух-матричной модели совпадает (с точностью до некоторых простых добавочных слагаемых) с логарифмом тау-функции.

В полной общности (для накрытий произвольного рода и степени) бергма-новская тау-функция была вычислена в работе [35]. Это немедленно привело к явной формуле факторизации детерминанта лапласиана в метрике Пуанкаре, являющейся альтернативой известному представлению этого детерминанта через дзета-функцию Сельберга, принадлежащего Докеру и Фонгу. (Позже нам стало известно о существовании неопубликованной рукописи Зографа [65], в которой явная факторизация детерминанта лапласиана в метрике Пуанкаре была выписана в терминах образующих группы Шоттки.)

К сожалению и формула Зографа и наша формула, выражающие детерминант лапласиана в метрике Пуанкаре через квадрат модуля некоторой голоморфной функции (на пространстве Шоттки в контексте Зографа, на пространстве Гурвица в нашем контексте) обладают существенным недостатком - трудно вычислимый вещественнозначный множитель, содержащий интеграл Лиувилля (Дирихле), препятствует полной голоморфной факторизации детерминанта лапласиана. При этом ясно, что полная голоморфная факторизация и невозможна - она запрещена теоремой Белавина-Книжника.

Попытка устранить этот недостаток привела к обобщению бергмановской тау-функции на случай пространств абелевых дифференциалов на римано-вых поверхностях [32]. Оказывается, что если в качестве конформной метрики взять не метрику Пуанкаре (т. е. метрику с равномерно распределенной кривизной), а сингулярную метрику с кривизной, сосредоточенной в конечном числе точек римановой поверхности, то соответствующий этой метрике лапласиан допускает полную явную голоморфную факторизацию (с точностью до двух простых вещественнозначных множителей: определителя мнимой части матрицы Ь-периодов и площади поверхности). В качестве такой сингулярной метрики естественно взять метрику, задаваемую квадратом модуля какого-либо абелева дифференциала. Эта метрика - плоская коническая, конические точки суть нули абелева дифференциала. Детерминант лапласиана в этой метрике (с точностью до простого множителя) совпадает с квадратом модуля голоморфной функции на пространстве абелевых дифференциалов. (Последнее пространство недавно было изучено в работе Зорича и Конце-вича [38].) Эта голоморфная функция (получившая название тау-функции Бергмана на пространстве абелевых дифференциалов) удовлетворяет системе уравнений, являющейся прямым обобщением системы (1.2) со случая пространств разветвленных накрытий на случай пространства абелевых дифференциалов. Оказывается, что явное интегрирование этой системы, как и в случае системы (1.2), возможно и приводит к явным формулам для детерминанта лапласиана в плоских конических метриках.

Важную роль в наших вычислениях играют технические методы, содержащиеся в мемуаре Фэя [16], обобщающем и переизлагающем с единой точки зрения результаты работ Альвареса-Гоме, Мура, Докера и Фонга, Дугана и Соноды, Бейлинсона и Манина, Бисмю, Жийе, Суле и других.

Опишем содержание диссертации по главам. Во второй главе вводится тау-функция Бергмана на пространствах Гурвица и приводится ее явное вычисление для накрытий младшего рода. Здесь же проясняются ее связи с голоморфной функцией Зографа на пространстве Шоттки и доказывается формула факторизации детерминанта лапласиана в метрике Пуанкаре (или, что эквивалентно) формула для квадрата модуля тау-функции общего накрытия произвольного рода и степени.

В третьей, основной, главе диссертации проведено вычисление тау-функции Бергмана для общих пространств Гурвица.

В четвертой главе диссертации описаны приложения тау-функции Бергмана к различным задачам математической физики (фробениусовым многообразиям, эрмитовым одно и двухматричным моделям, спектральной теории римановых поверхностей).

В пятой главе диссертации обсуждаются пространства абелевых дифференциалов, вводится и явно вычисляется тау-функция Бергмана на этих пространствах.

В последней, шестой, главе диссертации обсуждается спектральная теория и лапласианов в плоских конических метриках на римановых поверхностях и доказываются явные формулы для детерминантов таких лапласианов.

Диссертация основана на следующих работах.

1. Кокотов А. Ю., Тау-функция Бергмана на пространствах разветвленных накрытий сферы и абелевых дифференциалов, 2006, ПОМИ препринт, 2006-16, с. 1-95

2. Кокотов А. Ю., Короткин Д. А., Шрамченко В. А, Неавтономные интегрируемые системы, связанные с пространствами Гурвица для родов 0 и 1, Теоретическая и математическая физика, 137 (1) 153-160 (2003)

3. A. Kokotov, D. Korotkin, "Bergman tau-function: from Hurwitz spaces to spaces of quadratic differentials", J. Ph. A, 2006, 2 №

4. B.Eynard, A.Kokotov, D.Korotkin, "Genus 1 correction to free energy in herrnitian two-matrix model", Nucl. Phys. B, 694 443-472 (2004)

5. A.Kokotov, D.Korotkin, "Tau-functions on Hurwitz spaces", Mathematical Physics, Analysis and Geometry, 7 47-96 (2004)

6. A.Kokotov, D.Korotkin, "On G-function of Frobenius manifolds related to Hurwitz spaces", Int.Math.Res.Notices, 2004 343-359 (2004)

7. A.Kokotov, D.Korotkin, "Isomonodromic tau-function of Hurwitz Frobenius manifold and its applications", Intern. Math. Res. Noticcs, 2006, (N18746), 1-34

8. A.Kokotov, I.Strachan, "On the isomonodromic tau-function for the Hurwitz ' spaces of branched coverings of genus zero and one", Math.Res.Letters, 12 (2005), N6, 857-876 9. Yu. Klochko, A.Kokotov, Genus one polyhedral surfaces, spaces of quadratic differentials on tori and determinants of Laplacians, Manuscripta Mathematica, 122, N2(2007), 195-216 10. B. Eynard, A. Kokotov, D. Korotkin, "1/7V2 correction to free energy in hermitian two-matrix model", Lett.Math.Phys., 71 199-207 (2005)

11. A.Kokotov, D.Korotkin, "Invariant Wirtinger projective connection and taut Functions on spaces of branched coverings". CRM Proceedings and Lecture

Notes, AMS, vol. 37 (2004), p. 91-97

12. A.Kokotov, D.Korotkin, "Tau-functions on spaces of Abelian and quadratic differentials and determinants of Laplacians in Strebel metrics of finite volume", math.DG/0405042, preprint of Max Planck Institute for mathematics in the sciences, Leipzig (2004) 13. A.Kokotov, D.Korotkin, "Bergmann tau-function and its applications", math-ph/0310008, preprint No.101 of the Max Planck Institute for Mathematics, Bonn (2003)

1. Bertola, М., Free energy of the two-matrix model/dToda tau-function, Nucl.Phys. B669 (2003) 435-461

2. Briining, J. and Seeley, R., The resolvent expansion for second order ► operators, J. Funct. Anal. 73 369-429 (1987)

3. Burghelea, D., Friedlander, L., and Kappeler, Т., Meyer-Vietoris type formula for determinants of elliptic differential operators, J. of Funct. Anal., 107 3465 (1992)

4. Cheeger, J., On the spectral geometry of spaces with cone-like singularities, » Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 76 2103-2106 (1979)

5. Chekhov, L., Marshakov, A., Mironov, A., Vasiliev, D., DV and WDVV, Phys.Lett. B562 (2003) 323-338

6. Dubrovin В., Zhang Y., Bihamiltonian hierarchies in 2D topological field theory at one-loop approximation, Commun. Math. Phys., 198 (1998), 311361

7. Dubrovin B., Zhang Y., Frobenius manifolds and Virasoro constraints, Selecta Math. (N. S.) 5 (1999), 423-466

8. Deift, P., Its, A., Kapaev, A., Zhou, X., On the algebro-geometric integration of the Schlesinger equation, Comm. Math. Phys., 203 (1999), N3, 613-633

9. P. Di Francesco, P.Ginzparg, J.Zinn-Zustin, "2D Gravity and Random matrices", Phys.Rep. 254, 1 (1995)

10. D'Hoker E., Phong, D.H., Functional determinants on Mandelstam diagrams. Comm. Math. Phys. 124 629-645 (1989)

11. Dugan, M., Sonoda, H., Functional determinants on Riemann surfaces, Nuclear Phys. B289 227-252 (1987)

12. B.Eynard, A.Kokotov, D.Korotkin, Genus one contribution to free energy in Hermitian two-matrix model, Nucl.Phys B694 443-472 (2004)

13. Fay, John D., Theta-functions on Riemann surfaces, Lect.Notes in Math. 352, Springer (1973)

14. Fay, John D., Kernel functions, analytic torsion, and moduli spaces, Memoirs of the AMS (464), 1992

15. Fulton, William, Hurwitz schemes and irreducibility of moduli of algebraic curves, Annals of Math., 90 (1969), 542-575

16. Forman R., Functional determinants and geometry, Invent. Math. 88 447493 (1987)

17. Enolskii, V., Grava, T., Singular Z^ curves, Riemann-Hilbert problem and modular solutions of the Schlesinger equation, IMRN, 2004 1619-1683 (2004)

18. Grubb G., Singular Green operators and their spectral asymptotics. Duke Math. J., 51(1984), N3, pp. 477-528

19. Givental, A., Elliptic Gromov-Witten invariants and the generalised mirror conjecture, in "Integrable systems and algebraic geometry" (Kobe/Kyoto, 1997), 107-155, World Sci. Publishing, River Edge, NJ (1998)

20. Getzler E., The jet-space of a Frobenius manifold and higher-genus Gromov-Witten invariants, arXiv: math.AG/0211338

21. Hawley, N. S., Schiffer, M., Half-order differentials on Riemann surfaces, Acta Math., 115 (1966), 199-236

22. Hala Khuri King, Determinants of laplacians on the space of conical metrics on the sphere, Transactions of AMS, 339, 525-536 (1993)

23. Hassell, A., and Zelditch, S., Determinants of laplacians in exterior domains, IMRN, 1999 N18, 971-1004 (1999)

24. Jimbo, M., Miwa, M., Ueno, K., Monodromy preserving deformations of linear ordinary differential equations with rational coefficients, I, Phys. D 2 306-352 (1981)

25. Karol' A. I., Asymptotics of the parabolic Green function for an ellipticoperator on a manifold with conical points, Math. Notes, 63 N1, 28-36(1998)169

26. Kitaev, A., Korotkin, D., On solutions of Schlesinger equations in terms of theta-functions, International Mathematics Research Notices No. 17 p. 877905 (1998)

27. Knizhnik, V.G., Multiloop amplitudes in the theory of quantum strings and complex geometry, Sov.Phys.Usp. 32 (11) 945-971 (1989)

28. Kokotov A., Korotkin D., Tau-functions on Hurwitz spaces, "Mathematical Physics, Analysis and Geometry", 7 (2004), no. 1, 47-96

29. Kokotov, A., Strachan, I., On the isomonodromic tau-function for the Hurwitz spaces of branched coverings of genus zero and one, Math.Res.Letters, 12, 857-875 (2005)

30. Kokotov A., Korotkin D., On G-function of Frobenius manifolds related to Hurwitz spaces, Internat. Math. Res. Notices, 2004 N 7, 343-360 (2004)

31. Kokotov A., Korotkin D., Bergman tau-function on Hurwitz spaces and its applications, math-ph/0310008, Max-Planck-Institut fur Mathematik preprint 03-101

32. Kokotov A., Korotkin D., Isoraonodromic tau-function of Hurwitz Frobenius manifolds and its applications, IMRN (2006), M 6 ,

33. Korotkin, D., Solution of matrix Riemann-Hilbert problems with quasi-permutation monodromy matrices, Math.Ann., 329 (2004), N2, 335-364

34. Kontsevich, M., Zorich, A., Connected components of the moduli spaces of holomorphic differentials with prescribed singularities, Invent. Math. 153 631-678 (2003)

35. Kontsevitch, M., Zorich A., Lyapunov exponents and Hodge theory, hep-th/9701164

36. Yoonweon Lee, Mayer-Vietoris formula for determinants of elliptic operators of Laplace-Beltrami type (after Burghelea, Friedlander and Kappeler), Differential Geometry and its Appliccations 7(1997), 325-340

37. H. Masur, Interval exchange transformations and measured foliations, Ann. of Math., 115 (1982), 169-200

38. Mumford, D., Tata Lectures on Theta, Birkhauser, 1984

39. Manin Yu. I., Frobenius manifolds, quantum cohomology, and moduli spaces, AMS, 1999

40. Nagase, N., The fundamental solution of the heat equation on Riemannian spaces with cone-like singular points, Kodai Math. J. 7 382-455 (1984)

41. Natanzon S., Hurwitz spaces, in "Topics on Riemann surfaces and Fuchsian groups", Madrid, 1998, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 287, 165-177

42. Natanzon S., Turaev V., A compactification of the Hurwitz space., Topology 38 (1999), N 4, 889-914

43. Natanzon, S.M., Topology of 2-dimensional coverings and meromorphic I functions on real and complex algebraic curves, Selecta Mathematica (formelySovietica), vol. 12 (1993), N.3, 251-291

44. Polyakov, Quantum geometry of bosonic strings, Phys.Lett. 103B, 211-213 (1981)

45. Polchinski J., Evaluation of the one-loop string path integral, Comm. Math. Phys., 104 37-47 (1986)

46. Ray, D. B.; Singer, I. M. Analytic torsion for complex manifolds. Ann. of Math. (2) 98 154-177 (1973)

47. Rauch, H.E., Weierstrass points, branch points, and moduli of Riemann surfaces, Comm. Pure Appl. Math. 12 543-560 (1959)i172

48. Rauch, H. E., A transcendental view of the space of algebraic Riemann surfaces. Bull. Amer. Math. Soc., 71 (1965), 1-39

49. V.Shramchenko, Deformations of Frobenius structures on Hurwitz spaces, IMRN 2005 N0.6 339-387 (2005)

50. Sonoda, H., Functional determinants on punctured Riemann surfaces and their application to string theory. Nuclear Phys. B294 157-192 (1987)

51. Strebel, K., Quadratic differentials, Springer, 1984

52. V.Shramchenko, "Real doubles"of Hurwitz Frobenius manifolds, Commun.Math.Phys. 256 635-680 (2005)

53. Strachan I. A. B., Symmetries and solutions of Getzler's equation for Coxeter and extended affine Weyl Frobenius manifold, Intern. Math. Research Notices (2003) No 19, 1035-1051 (2003)

54. Tyurin, A.N., Periods of quadratic differentials (Russian), Uspekhi Mat. Nauk 33 , no. 6(204), 149-195 (1978)

55. W. Veech, Gauss measures for transformations on the space of interval exchange maps, Ann. of Math., 115 (1982), 201-242

56. Voros A., Spectral Functions, Special Functions and the Selberg Zeta Function, Commun. Math. Phys., 110, 439-465 (1987)

57. R.Wentworth, Asymptotics of determinants from functional integration, J.Math. Phys., 32(7), 1991, 1767-1773173

58. Zograf, P. G.; Takhtajan, L. A. On the uniformization of Riemann surfaces and on the Weil-Petersson metric on the Teichmiiller and Schottky spaces. Math. USSR-Sb. 60 (1988), no. 2, 297-313

59. Zograf P. G., Takhtajan, L. A., Potential of the Weil-Peterson metric on Torelli space, J. Sov. Math., 52(1990), 3077-3085

60. Zograf, P. G. Liouville action on moduli spaces and uniformization of degenerate Riemann surfaces. Leningrad Math. J. 1 (1990) no. 4, 941-965

61. Zograf, P., Determinants of Laplacians, Liouville action, and an analog of the Dedekind 77-function on Teichmiiller space, unpublished manuscript (1997)

62. Zograf, P., Takhtajan, L., On the Liouville equation, accessory parameters and the geometry of Teichmiiller space for Riemann surfaces of genus 0. Math. USSR-Sb. 60 No.2 297-313 (1988)

63. Zograf, P., Takhtajan, L., A local index theorem for families of d-operators on Riemann surfaces (Russian) Uspekhi Mat. Nauk 42 (1987), N6 (258), 133-150

64. Zverovich, E.I., Boundary value problems in the theory of analytic functions in Holder classes on Riemann surfaces, Russ. Math. Surveys 26 117-192 (1971)