Течения вращающихся газовзвесей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

санкт-петербургский государственный университет

На правах рукописи

Петров Дмитрий Александрович ТЕЧЕНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ ГАЗОВЗВЕСЕЙ 01 02 05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003168Э10

санкт-петербург 2008

003168910

Работа выполнена на Кафедре гидроаэромеханики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Цибаров Валерий Афанасьевич

Официальные оппоненты доктор технических наук,

профессор Стасенко Альберт Леонидович

кандидат физико-математических наук, доцент Рябикова Татьяна Владимировна

Ведущая организация Санкт-Петербургский государственный

технологический институт (технический университет)

Защита состоится 5 июня 2008 г. в /6 часов на заседании совета Д 212 232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр, 28, математико-механический факультет, ауд 405

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб, д.7/9

Автореферат разослан «_»_2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор С А Зегжда

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Актуальность рассмотрения газовзвесей и их течений, в том числе вращательных, обусловлена тем, что вблизи поверхности Земли саму атмосферу, вообще говоря, нужно рассматривать как газовзвесь из-за наличия взвешенных частиц разных типов — частичек почвы, капель конденсировавшейся влаги, аэрозольных частиц, образующихся в результате человеческой деятельности Атмосферные аэрозоли важны для понимания механизмов изменений погоды и климата Облака, туманы и дымы, смог — вот лишь несколько примеров природных аэрозолей, играющих важнейшую роль в создании облика Земли, в жизни на ней Несколько более концентрированные искусственно созданные аэрозоли человек использует в своей повседневной жизни и деятельности В аэрозольной форме выпускаются лекарства и удобрения, создается оружие Газовзвесью является и загрязненная воздушная среда с частицами ядовитых веществ в твердом и жидком состояниях, которая, конечно, отрицательно влияет на здоровье человека С этим связано отнесение обеспечения чистоты воздуха, вдыхаемого человеком, к одной из наиболее важных проблем экологии Следует иметь в виду, что взвешенные частицы обладают «сильно развитой» поверхностью, на которой могут протекать химические реакции, процессы горения и адсорбции, а также взаимодействия с электрическим полем «Развитость» поверхности влияет на гигроскопичность вещества Поэтому газовзвеси активно используются в химической промышленности Многие промышленные выбросы также имеют аэрозольную форму При этом поведение аэрозолей и вообще газовзвесей остается недостаточно изученным, наука о течениях взвесей частиц продолжает развиваться

Вращательные (вихревые, циркуляционные) течения являются одним из основных видов движения жидких и газообразных сред В частности, для метеорологии весьма важной задачей является исследование структуры и поведения атмосферных смерчей

Вращательные течения газовзвесей могут быть использованы для сепарации частиц На таких принципах работают, в частности, аэрозольные центрифуги Возможно использование в технике закручивания потока за счет столкновения встречных течений, как это

происходит в природе при образовании мезоциклонов и смерчей на атмосферных фронтах Пузыреобразование в псевдоожиженном слое также может привести к циркуляционным течениям взвесей

При построении в дисертации моделей рассматриваемой среды учитываются процессы испарения — конденсации и агрегирования — распада взвешенных частиц Учет испарения и конденсации важен не только для описания природных процессов (круговорот воды в природе, облачность, туманы) Он требуется для использования результатов работы в химической промышленности В качестве примеров промышленного применения испарения и конденсации можно привести производство порошкового молока и кофе Процессы испарения и конденсации приводят к изменению распределения аэрозолей по размерам На практике атмосферные аэрозоли обычно описывают с помощью некоторой средней величины размера частиц, но не всегда такое описание достаточно точно. Процессы агрегирования и распада, учитываемые в диссертации при построении моделей газовзвеси, важны при решении экологических задач, при исследовании динамики явлений в атмосфере (например, град), изучении течений коллоидных растворов, а в промышленности — процессов спекания взвешенных частиц при высокой температуре. Проблема сочетания простоты и точности при описании таких процессов в природе и в промышленности пока далека от завершения

Актуальность математического описания течений вращающихся газовзвесей связана с необходимостью расчета и предсказания значений макропараметров Это особенно важно для прогноза погодных явлений Применение кинетического подхода позволяет получить замыкающие соотношения и граничные условия для уравнений переноса, а его область применимости существенно шире области применимости традиционно используемых гидродинамических подходов

Цель работы Целью работы является построение модели газовзвеси (двухфазной в гидродинамическом смысле среды) с учетом процессов испарения — конденсации и агрегирования — распада, выделяя для описания взвешенной фазы как одну, так и две компоненты Замкнутая модель газовзвеси должна быть построена на ки-

нетическом уровне с последующим переходом на сокращенное гидродинамическое описание и упрощением получившейся на континуальном уровне системы уравнений для описания атмосферного смерча (торнадо) в предельном приближении с учетом крупномасштабное™ явления Целью моделирования смерча является нахождение формы поверхности его идеального ядра, полей скоростей, плотности и давления среды внутри воронки смерча

Основной метод исследования Для описания газовзвеси используется кинетический подход и его реализация из монографии В А Цибарова «Кинетический метод в теории газовзвесей» (СПб Изд-во СПбГУ, 1997 - 192 с) При этом подходе явление моделируется на «микроуровне», а замыкающие соотношения для уравнений переноса получаются в результате приближенного решения кинетических уравнений по модифицированному аналогу асимптотического метода Чепмена — Энскога, что позволяет получить замыкающие соотношения для системы гидродинамических уравнений сплошных сред на уровне минимального числа макропараметров

Применяемое обобщение метода Чепмена — Энскога, в отличие от традиционного метода, приводит к зависимости коэффициентов переноса не только от частот соударений частиц фаз, но и к их зависимости от гидродинамических полей

Научная новизна В рамках кинетического описания всех фаз газовзвеси с принятой схемой рассеяния молекул несущей фазы на поверхностях включений путем проведения последовательного учета испарения и конденсации с получением соответствующих замыкающих соотношений для кинетических уравнений построена новая замкнутая кинетическая модель среды со взвешенными частицами Впервые выписан оператор обводнения — сушки включений Новыми являются и замыкающие соотношения для макроскопических уравнений переноса в первых двух приближениях по модифицированному методу Чепмена — Энскога, а также расширение замкнутой макроскопической системы уравнений переноса при рассматриваемых в диссертации процессах Получено обобщение классического точного локально равновесного решения кинетического уравнения

применительно к уравнению взвешенной фазы в условиях слабой неравновесности и нестационарности течения, наличия процессов испарения — конденсации, агрегирования — распада и обводнения — сушки включений, а также с учетом конечности размеров включений. Впервые полностью кинетическое описание всех фаз газовзвеси применено к решению задачи об атмосферном смерче

Достоверность полученных результатов обусловлена достоверностью результатов кинетического подхода в теории газовзвесей, применением апробированного асимптотического метода решения кинетических уравнений, положительным опытом применения данного подхода к широкому кругу явлений, а также качественным совпадением полученных результатов с известными экспериментальными данными и особенностями явлений

Практическая цепность Построенные в данной работе кинетические модели могут быть применены для описания ряда течений любых газовзвесей с наличием испарения и конденсации на взвешенных в потоке частицах, а также агрегирования и распада самих этих частиц Полученные из них газодинамические системы (сокращенные описания) позволяют непосредственно рассчитывать такие течения в случае слабого отклонения от равновесия Они применимы в задачах метеорологии и химической промышленности, в других областях науки и техники

Апробация результатов работы Результаты данной диссертации были доложены на конференции «Третьи Поляховские чтения» (СПб, СПбГУ, 2003), XX Международном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (СПб, СПбГУ, 2004), конференции «Четвертые Поляховские чтения» (СПб, СПбГУ, 2006), IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (№Ш-2006, СПб, СПбГУ, 2006), Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике, посвященном 90-летию со дня рождения Сергея Васильевича Валландера (СПб, СПбГУ, 2008), а также на научных семинарах кафедры гидроаэромеханики и лаборатории аэродинамики СПбГУ.

Публикация результатов По теме диссертации имеется десять опубликованных работ, которые содержатся в списке на стр. 14 -15 В совместной публикации [1] диссертанту принадлежат результаты по модели торнадо обзор приводимых в литературе данных о параметрах атмосферных смерчей, постановка задачи, формула для радиуса идеального ядра смерча в зависимости от расстояния по высоте (форма поверхности ядра смерча), выражения для тангенциальной и угловой скоростей на поверхности воронки смерча

В статье [4] диссертанту принадлежат исторический обзор и участие в отработке физической и математической постановки задачи

В совместной публикации [5] диссертанту принадлежат подборка материала по смерчам и их особенностям, участие в отработке постановки задачи, численные оценки вклада вязких членов в уравнения переноса, решение для компонент скорости течения в воронке смерча

В статье [7] диссертанту принадлежит, постановка задачи о течении трехкомпонентной газовзвеси при описании на уровне функций распределения в рамках предложенных соавтором схемы рассеяния молекул газа и пара на включениях, а также рассмотрения операторов парных взаимодействий между молекулами газа и пара, молекулами пара друг с другом и молекулами газа друг с другом как операторов быстрой стадии процесса

В совместной публикации [9] диссертанту принадлежат постановка задач о течении трех- и четырехкомпонентной газовзвеси на кинетическом и континуальном уровнях описания, оценка вклада различных членов в кинетические уравнения, получение вида источников в уравнениях диффузии и уравнении для функции распределения по размерам включений в соответствии с предложенной соавтором схемой взаимодействия между молекулами газовой фазы и включениями Модификация формы записи оператора агрегирования — распада при одно-двухчастичных взаимодействиях произведена совместно обоими авторами

Остальные результаты в статьях [1, 4, 5, 7, 9] принадлежат соавторам В подготовке 5 докладов и материалов на различных кон-

ференциях (см [2 — 3, 6, 8, 10]) вклад соавторов одинаковый. Статьи [5] и [9] опубликованы в рецензируемом научном журнале, входящем в перечень ВАК на момент публикации

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы Она изложена на 129 страницах текста Список литературы содержит 79 наименований Работа содержит 1 таблицу и 13 рисунков

Положения, выносимые на защиту:

1 Модификация и конкретизация кинетической модели газовзвеси В.А Цибарова, позволяющая учесть процессы испарения и конденсации, обводнения и сушки в рамках принятого закона рассеяния на частицах и эффективных корреляционных функций, зависящих от объемной доли всех включений

2 Классификация режимов течения газовзвесей в зависимости от эффективного диаметра включений и их объемной доли

3 Замкнутая на основе принятой кинетической модели постановка о "макроскопическом" (континуальном) течении газовзвеси, учитывающая процессы испарения и конденсации, агрегирования и сушки в приближении идеальных фаз (включая предельную задачу) и вязкой взвешенной фазе

4 Точное слабо неравновесное решение кинетических уравнений взвешенной фазы, обобщающее классические результаты для точного локально равновесного режима на нестационарные и рассматриваемые в диссертации процессы

5 Решение приближенной (предельной) задачи о течении газовзвеси внутри идеального ядра смерча, включая нахождение его границы

2. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержатся сведения о структуре текста диссертации, определения основных используемых понятий. Здесь же размещены замечания об актуальности исследования и различных его моментов, целях работы, основаниях достоверности полученных результатов и об их практической ценности. В заключительном параграфе введения приводится краткий обзор истории исследований газодисперсных сред, процессов испарения и конденсации, применяемого метода исследования — моделирования на кинетическом уровне

Полностью кинетический подход к описанию всех фаз газовзвеси не является единственным С 1960-х развивался полукинетический подход (кинетическое моделирование взвешенной фазы и континуальное описание несущей среды), в становлении которого можно отметить работы В П Мясникова и его школы, БЕС Сикс, Г Л Бабухи, А А Шрайбера, В С Галкина, Ю М Циркунова и др Описанием газовзвесей на континуальном уровне с применением феноменологического подхода занимались X А Рахматулин, Н А Слезкин, Р И Нигматулин, А Л Стасенко и др. Такой подход внутренне не замкнут Метод осреднения в теории гетерогенных сред развивался, в основном, в работах Р И Нигматулина Но его также нельзя отнести к замкнутым методам Впервые подход, основанный на кинетическом описании всех фаз газовзвеси, был предложен в 1974 г В А Цибаровым. Полностью кинетический подход также разрабатывался В В. Струминским и Ю П Лунькиным В настоящее время он продолжает развиваться в трудах их школы и в работах В Я Рудяка с соавторами Эти результаты относятся к кинетическому описанию мелкодисперсных слабо концентрированных газовзвесей. Применительно к задачам химической технологии кинетическое описание концентрированных газовзвесей продолжает развиваться в работах И О Протодьяконова, В А Цибарова, Ю.Г Чеснокова и их учеников.

В диссертационной работе производится попытка описания гетерогенных процессов конденсации и испарения в газовзвеси Очень сложным проблемам нуклеации и конденсации — испарения посвящено значительное число работ в нашей страде и за рубежом

В частности, применительно к задачам аэродинамики таким проблемам уделялось большое внимание в ЦАГИ и МФТИ (Б В Егоров, А Л. Стасенко и др )

В диссертации тонкие вопросы теории нуклеации не рассматриваются В ней процессы испарения и конденсации учитываются в операторе взаимодействия газ — взвешенные частицы в сравнительно огрубленном приближении в рамках принятой схемы рассеяния газа и пара включениями.

В первой главе на основе кинетического подхода, примененного к описанию всех фаз газовзвеси, строятся 5 моделей газовзвеси, каждая из которых детальнее и сложнее предыдущей. После рассмотрения монодисперсной газовзвеси без учета обмена веществом между ее компонентами, последовательно подключаются сначала только процессы испарения и конденсации, затем — только процессы агрегирования и распада взвешенных в потоке частиц При этом взвесь уже описывается как трехкомпонентная среда Затем выписывается модель трехкомпонентной среды с учетом как испарения и конденсации одной из компонент несущей фазы, так и агрегирования — распада взвешенных частиц Наконец, строится кинетическая модель двухфазной четырехкомпонентной агрегирующей газовзвеси с учетом испарения и конденсации пара, а также вызванных испарением и конденсацией спонтанных переходов включений из одного сорта в другой После этого проводится анализ вклада различных членов в кинетические уравнения наиболее общей, четырехкомпонентной модели. При этом производится классификация режимов течения газовзвесей в зависимости от эффективного диаметра включений и их объемной доли Выписываются локально-равновесные функции распределения Завершает главу параграф о применении принципа отбора к построенным кинетическим моделям, те учет граничных условий и «микродинамических» законов сохранения

Вторая глава посвящена построению сокращенного гидродинамического описания для рассматривавшихся в первой главе моделей, описания сред на континуальном уровне Для каждой модели выписываются системы газодинамических уравнений, замкнутые с

помощью соотношений, получаемых из соответствующих кинетических моделей Рассмотрение непрерывного распределения включений по размерам и массам приводит к иным, чем в работах В А Ци-барова выражениям для коэффициентов переноса В формуле для коэффициента псевдотепловопроводности коэффициент сдвиговой вязкости, вычисленный по модели Больцмана, теперь следует делить на поправочный коэффициент % Во всех остальных коэффициентах переноса для учета отклонения от монодисперсности взвешенной фазы коэффициент сдвиговой вязкости, вычисленный по модели Больцмана, делится на Вычисленные значения поправочных

коэффициентов приведены в тексте диссертации. Затем уравнения для четырехкомпонентной модели, описывающие 2 взаимопроникающих континуума, преобразуются в эквивалентную систему для среды в целом и межфазовой диффузии Выписывается решение для разности скоростей фаз При условии малости этой величины (соблюдение этого условия затем проверяется) по сравнению с характерными скоростями взвешенных частиц с указанной степенью точности система уравнений подвергается дальнейшему упрощению для непосредственного использования в третьей главе с целью моделирования смерча и решения задачи о сепарации взвешенных частиц Завершает вторую главу анализ преимущества полученных из кинетического подхода газодинамических систем уравнений перед уравнениями, записанными феноменологически или полученными методом осреднения.

Третья глава содержит примеры применения построенных моделей газовзвеси В ней строится точное слабо неравновесное решение кинетических уравнений взвешенной фазы, обобщающее классические результаты для точного локально равновесного режима на нестационарные и рассматриваемые в диссертации процессы Затем рассмотрена задача о моделировании атмосферного смерча (торнадо)

Рис 1 Зависимости безразмерных тангенциальной скорости (на графике слева) вдоль внутренней поверхности смерча и плотности среды (справа) внутри воронки смерча от безразмерной высоты (отнесенной к высоте

Рис 2 Зависимости безразмерных вертикальной (на графике слева) и радиальной (справа) компонент вектора скорости внутри воронки смерча от безразмерной высоты (отнесенной к высоте смерча) Для радиальной ско-

Рис 3 Зависимости безразмерной (отнесенной к значению при г=0 и г=Но) тангенциальной скорости внутри смерча от безразмерного радиуса (отнесенного к радиусу воронки смерча) и параметра Аей- (слева построено несколько кривых при указанных около них значениях Ае(Т) в плоскости г=0

Задача о смерче изложена в двух постановках, в «классической» параметры в наименьшем (нижнем) сечении воронки смерча считаются известными В приближении крупномасштабного квазистационарного течения идеальной газовзвеси (с эффективными, учитывающими примесь, параметрами) по ним строится форма границы воронки, отыскиваются параметры течения внутри смерча Затем рассматривается «неклассическая» постановка задачи, в которой решение для тангенциальной скорости ищется на основании решения в вязком слое на неизвестной границе воронки смерча с учетом антисимметричных напряжений в среде, вызванных наличием примеси «Неклассическая» постановка позволяет определять параметры течения в атмосферном вихре без наличия данных измерений под воронкой, в зоне вызываемых смерчем разрушений По построенному решению найдены линии тока

После этого указываются возможности применения полученных в ходе моделирования смерча результатов к промышленным задачам, связанным с сепарацией взвешенных частиц, устанавливается применимость результатов к задаче о выбросах загрязнений

Заключение В диссертации построена конкретизация кинетической модели газовзвеси, разработанной В А Цибаровым Модернизированная модель последовательно учитывает испарение и конденсацию, агрегирование и распад взвешенных частиц, обводнение и сушку включений. Непрерывный характер распределения включений по объемам приводит к несколько иным значениям коэффициентов переноса по сравнению с приведенными в работах В А Циба-рова Попарное подключение взаимно обратных процессов влечет наличие в каждой из этих пар состояний динамического равновесия В ходе анализа вклада в кинетические уравнения операторов, описывающих различные пары рассматриваемых процессов, получена диаграмма, определяющая вид первого приближения к решению задачи о течении газовзвеси от объемной доли примеси и диаметра взвешенных частиц Все вычисления новых замыкающих соотношений в построенных моделях газовзвеси проводились в рамках только самой системы кинетических уравнений и принятой обобщенной диффузной модели испарения — конденсации на включениях По-

строенная в работе модель двухфазной четырехкомпонентной газовзвеси с учетом выше упомянутых процессов после перехода к сокращенному гидродинамическому описанию применяется для исследования вращающихся течений газовзвеси В качестве основной задачи выступает построение математической модели атмосферного смерча Получена форма границы течения и решение для скорости, плотности и давления среды внутри. Проанализирован ход процессов испарения и конденсации (при постоянной вероятности поглощения молекул), агрегирования и распада включений Показано, что со временем происходит релаксация этих процессов, выход на равновесие, что соответствует известным положениям термодинамики и реально наблюдаемой картине явлений Результаты соответствуют качественным наблюдениям, описанным в литературе. Решения, полученные в задаче о смерче, проиллюстрированы графиками (см рис 1 — 3 на стр 12) Дополнительным примером применения модели среды выступает течение, задаваемое точным локально равновесным решением кинетических уравнений Решение уравнений взвешенной фазы обобщает классические результаты на случай нестационарного течения с возможностью учета процессов испарения — конденсации и агрегирования — распада включений

3. ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Лутов Н Н , Петров Д А , Цибаров В А Течение вращающихся газовзвесей // Аэродинамика / Под ред Р Н Мирошина СПб НИИ Химии СПбГУ, 2002 С 82-89

2 Петров Д А , Цибаров В А Математическая модель смерча (торнадо) // Третьи Поляховские чтения Тезисы докладов СПб . НИИХ СПбГУ, 2003 С 154

3 Петров Д А., Цибаров В А Течение газовзвеси внутри торнадо // Тезисы докладов XX Международного семинара по струйным, отрывным и нестационарным течениям. СПб • ИПЦ СПбГУТД, 2004. С. 207

4. Петров Д А , Цибаров В.А Стохастическая модель торнадо с учетом агрегирования и конденсации // Аэ-

родинамика / Под ред Р Н Мирошина СПб «ВВМ», 2005 С 48-56

5 Петров Д А , Цибаров В А Течение аэрозоля внутри торнадо // Вестник СПбГУ Сер 1, Вып 3 (№15),

2005 С 95-101

6 Петров Д А , Цибаров В А. Стохастическая модель трехфазной конденсирующей газовзвеси // Четвертые Поляховские чтения Тезисы докладов Международной научной конференции по механике, Санкт-Петербург, 7 — 10 февраля 2006 г СПб Издательство «ВВМ», 2006 С 163

7 Петров Д А , Цибаров В А Стохастическая модель трехфазной конденсирующей газовзвеси // Четвертые Поляховские чтения Избранные труды СПб Издательство «ВВМ», 2006 С 409-414

8 Петров Д А , Цибаров В А Модель трехкомпонент-ной агрегирующей газовзвеси // Материалы VI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2006), 26 июня — 1 июля 2006 г, Санкт-Петербург, М. Вузовская книга,

2006 С 268

9 Петров Д А , Цибаров В А Стохастическая модель взвеси пыли и капель во влажном воздухе // Вестник СПбГУ Сер 1 Вып 4 (№22), 2007 С 38-46

10 Петров ДА, Цибаров В А Описание испарения и конденсации в стохастическом моделировании газовзвесей // Всероссийский семинар по аэрогидродинамике Тезисы докладов, Санкт-Петребург, 5 — 7 февраля 2008 г , СПб Санкт-Петербургский государственный университет, 2008 С 48

РИЦ СПГГИ 23 04 2008 3 164 Т 100 экз 199106 Санкт-Петербург, 21-я линия, д 2

Введение

§ 1. Расположение материала.—

§ 2. Основные понятия

§ 3. Краткий исторический обзор

Глава 1. Кинетическое описание газовзвеси

§ 1.1. Кинетическая модель неконденсирующей неагрегирующей монодисперсной газовзвеси .—

§ 1.2. Построение трехкомпонентной модели.

Учет испарения и конденсации

§ 1.3. Учет агрегирования и распада включений

§ 1.4. Трехкомпонентная модель

§ 1.5. Кинетическая модель взвеси пыли и капель во влажном воздухе (четырехкомпонентная модель)

§ 1.6. Оценка вклада членов кинетических уравнений

§ 1.7. Предельные функции распределения

§ 1.8. Принцип отбора решений кинетических уравнений

Глава 2. Континуальное описание газовзвеси

§ 2.1. Уравнения переноса для монодисперсной модели .—

§ 2.2. Учет процессов испарения и конденсации

§ 2.3. Учет агрегирования и распада включений

§ 2.4. Уравнения переноса трехкомпонентной модели.

§ 2.5. Уравнения переноса для четырехкомпонентной модели

§ 2.6. Уравнения для среды в целом и диффузии фаз

§ 2.7. Предельная система и ее свойства

§ 2.8. Связь с уравнениями переноса, получаемыми феноменологически и методом осреднения.

Глава 3. Примеры течений вращающихся газовзвесей

§ 3.1. Точное решение кинетических уравнений взвешенной фазы газовзвеси.—

§ 3.2. Задача о смерче (торнадо)

§ 3.3. Возможное применение результатов работы к другим задачам

§ 1 Расположение материала

Работа посвящена построению математической модели крупномасштабного вращательного течения газовзвеси на длительных интервалах времени с учетом процессов испарения и конденсации, слипания и распада взвешенных в потоке твердых частиц и капель.

Введение содержит сведения о структуре текста диссертации, определения основных используемых понятий. Здесь же размещены замечания об актуальности исследования и различных его моментов, целях работы, основаниях достоверности полученных результатов и об их практической ценности. В заключительном параграфе главы приводится обзор истории исследований газодисперсных сред, процессов испарения и конденсации, применяемого метода исследования — моделирования на кинетическом уровне.

В первой главе модель строится поэтапно на основе кинетического подхода к описанию газовзвесей, изложенного в монографии [67]. В качестве последовательных по мере возрастания сложности модели приближений рассматриваются задачи о течении монодисперсной газовзвеси (§ 1.1), полидисперсной газовзвеси с учетом только испарения и конденсации водяного пара (§ 1.2) и только агрегирования и распада включений (§ 1.3). В §1.4 приводится комбинация предыдущих двух — модель трехкомпонент-ной газовзвеси с испарением и конденсацией, агрегированием и распадом взвешенных частиц. Наконец, в § 1.5 строится стохастическая (кинетическая) модель двухфазной четырехкомпонентной агрегирующей газовзвеси с учетом испарения и конденсации пара, а также вызванных испарением и конденсацией спонтанных переходов включений из сорта капель и обводненных частиц, принимаемых за капли, в сорт сухих частиц и обратно. Последнее связано с тем обстоятельством, что процесс частичного осушения (обводнения) твердых включений в диссертации исключен из рассмотрения. Далее идет § 1.6, в котором проводится анализ вклада различных членов в кинетические уравнения наиболее общей, четырехкомпонентной модели. В § 1.7 приведены локально-равновесные функции распределения, получаемые независимо методами статистической физики. Завершает главу § 1.8, рассматривающий применение принципа отбора к построенным моделям, т.е. учет граничных условий и законов сохранения.

Вторая глава посвящена описанию рассмотренных в первой главе моделей на континуальном уравне. Для каждой модели выписываются системы газодинамических уравнений, замкнутые с помощью кинетического подхода. В § 2.6 изложен результат записи уравнений двухфазной среды в форме системы уравнений для среды в целом и диффузии. Эти уравнения упрощаются в § 2.7 введением дополнительных обоснованных предположений. Завершает главу § 2.8, анализирующий преимущества полученных из кинетического подхода газодинамических систем уравнений перед уравнениями, записанными феноменологически или полученными методом осреднения.

Третья глава содержит примеры применения построенной модели газовзвеси с учетом испарения — конденсации, агрегирования — распада включений и их обводнения — сушки. Рассмотрены точные решения кинетического уравнения взвешенной фазы, задачи о структуре торнадо и выходе процессов испарения — конденсации и агрегирования — распада на равновесие, некоторые технологические задачи.

§ 2 Основные понятия

Для лучшего понимания материала читателем следует остановиться на встречающихся в работе терминах. Большая часть вещества во Вселенной, и на Земле в частности, находится в дисперсном состоянии, то есть в виде пыли. Гетерогенной называется макроскопически неоднородная система, состоящая из различных по своим свойствам частей, разграниченных поверхностями раздела [54]. Эти части системы называются фазами. Вне зависимости от количества агрегатных состояний вещества в рассматриваемой среде, фаз выделяется всего две — взвешенная и несущая. Взвешенную фазу составляет вещество, находящееся в дисперсном состоянии. Эта фаза взвешена в потоке газа (в гидровзвеси — в потоке жидкости), называемого несущей фазой. Последняя также „разделяет" переносимые инородные включения, а потому может называться дисперсионной. Взвешенная фаза, соответственно, является дисперсной („разделенной").

Золями называют гетерогенные среды, в которых дисперсионной фазой является жидкость [54]. Но аэрозолями по традиции называют газовзвеси, в которых несущей средой является воздух. Газовзвесь — гетерогенная среда, образованная потоком газа, в котором взвешены твердые и/или жидкие частицы (далее просто частицы).

Таким образом, только в случае нахождения всей взвешенной фазы в одном агрегатном состоянии число агрегатных состояний и фаз в системе будет совпадать. В указанном смысле в данной работе рассматриваются двухфазные системы, но агрегатных состояний рассматривается три — твердое, жидкое и газообразное.

Как это обычно делается, сухой воздух рассматривается в качестве простого газа. Оставаясь смесью газов, он считается одним сортом молекул, но с эффективными теплофизическими свойствами, учитывающими свойства смеси. Пористостью (порозностью) называется доля объема, занятого газом.

Взаимодействия между объектами среды бывают упругими (внутренняя энергия вступающих в них объектов не меняется), неупругими (внутренняя энергия не сохраняется, но сохраняется химический сорт) и реактивными (изменяется и химический сорт).

При кинетическом описании среды употребляются также следующие термины. Функция распределения — плотность математического ожидания числа объектов в момент временив со значениями индивидуальных случайных переменных из заданного интервала. Случайная, переменная — переменная, точное значение которой указать невозможно, но можно говорить о вероятности обнаружения ее значений из заданного интервала. Внутренняя трансформанта — плотность вероятности образования в момент времени t объектов со значениями индивидуальных случайных переменных из заданного интервала в результате достоверного соударения объектов с заданными значениями случайных параметров. Граничная трансформанта (граничная ударная трансформанта, граничная функция рассеяния) — плотность вероятности образования в момент времени t объектов со значениями индивидуальных случайных переменных из заданного интервала в результате достоверного соударения объектов с заданными значениями случайных параметров с элементом поверхности (dS) обтекаемого тела.

Среди терминов, встречающихся в цитируемой литературе (а поэтому иногда и в диссертации) и требующих пояснения, следует указать термины «стохастические законы сохранения», «стохастические системы», «стохастические функции», «стохастические (они же кинетические) модели». Для них принимаются определения из публикаций [7, 13, 30].

Стохастические системы — это системы (ансамбли), эволюция которых описывается набором случайных (индивидуальных случайных) переменных. Это, вообще говоря, предмет теории случайных процессов (случайных функций).

Стохастические модели — это модели стохастических систем, в которых предсказываемые значения зависят от распределения вероятностей. Другое название — кинетические модели.

Стохастические законы, сохранения— это математическая формулировка, описывающая стохастическую систему, при обобщении понятия закона сохранения, принятом в [13].

Стохастические функции — функции от набора случайных переменных, характеризующие случайный (стохастический) процесс. Реализацией случайного процесса является не случайная (не стохастическая, детерминистская) функция.

Стохастические уравнения — это, строго говоря, уравнения особого вида, описывающие стохастические процессы (например, уравнение Ланже-вена, уравнение движения броуновской частицы). В диссертации, как и в [13], это понятие трактуется расширительно. Под ними подразумеваются уравнения для отыскания любых стохастических функций и функций распределения. В последнем случае термины стохастический и кинетический можно считать эквивалентными.

Детерминистские модели — это модели, с помощью которых предсказываемые значения могут быть вычислены точно.

Актуальность рассмотрения течений газовзвесей обусловлена использованием таких течений в технических процессах, а также их распространенностью в природе. Аэрозоли в настоящее время являются объектом растущего внимания специалистов в различных областях знания. Это обусловлено той огромной ролыо, которую аэрозоли играют в повседневной жизни человека. В виде загрязненной воздушной среды они могут отрицательно влиять на здоровье, а в виде лекарств — спасать жизнь. Аэрозоли могут быть оружием и удобрениями. Они важны для понимания механизмов изменений погоды и климата. Обеспечение чистоты воздуха, вдыхаемого человеком, следует отнести к одной из наиболее важных проблем экологии. Следует иметь в виду, что взвешенные частицы обладают „сильно развитой" поверхностью, на которой могут протекать химические реакции, процессы горения и адсорбции, а также взаимодействия с электрическим полем. „Развитость" поверхности влияет на гигроскопичность вещества. Поэтому газовзвеси активно используются в химической промышленности. Облака, туманы и дымы, смог — вот лишь несколько примеров природных аэрозолей, играющих важнейшую роль в создании облика Земли, в жизни на ней.

Вращательные (вихревые, циркуляционные) течения являются одним из основных видов движения жидких и газообразных сред. В частности, для метеорологии весьма важной задачей является исследование струкру-ры и поведения атмосферных смерчей и подобных (огненные смерчи) или внешне похожих (смерч-вихри, пыльные вихри) на них явлений [37]. Смерчи (обычные и огненные) связаны с завихренностью некоторого материнского облака, возникают в нем и затем опускаются к земле. В отличие от них, смерч-вихри и пыльные вихри представляют собой вертикально развивающиеся вверх завихрения, зарождающиеся у земной поверхности. При этом смерч-вихри образуют над собой сильно завихренные облака, из которых могут опуститься настоящие смерчи [37]. Пока литература о смерчах (см., например, [37, 53]) носит, в основном, описательный характер. О попытках объяснения и моделирования торнадо будет сказано в исторической справке.

В приближении осесимметричного течения гидродинамически идеального аэрозоля нельзя ответить достаточно строго на вопрос о зависимости тангенциальной скорости смерча от расстояния до его центра. Для этого требуется учет вязкости в слое между идеальным ядром вихря и внешней его границей. При этом доля примеси может оказаться столь высокой, что возможно появление в среде антисимметричных напряжений [67, 69]. Это, в свою очередь, может исказить профиль тангенциальной скорости. В диссертации делается попытка исследования и этого актуального вопроса.

Вращательные течения газовзвесей могут быть использованы для сепарации частиц. На таких принципах работают, в частности, аэрозольные центрифуги. Возможно использование в технике закручивания потока за счет столкновения встречных течений, как это происходит в природе при образовании мезоциклонов и смерчей на атмосферных фронтах. Пузыре-образование в псевдоожиженном слое также может привести к циркуляционным течениям взвесей [45].

Учет испарения и конденсации важен для описания природных процессов (круговорот воды в природе, облачность, туманы). Облака и туманы оказывают влияние на температуру воздуха вблизи Земли. Динамика облаков существенна для долгосрочных прогнозов погоды [13]. Туманы, взаимодействуя с промышленными отходами, образуют токсичные вещества. Многие промышленные выбросы имеют аэрозольную форму. А процессы испарения и конденсации приводят к изменению распределения аэрозолей по размерам. И хотя в монографии [46] отмечается, что некоторые высоко расположенные облака монодисперсны как раз по причине испарения и конденсации, здесь, скорее, учитывается развитие конденсации в вертикально восходящем потоке, что приводит к установлению примерного равенства размеров капель на опреденной высоте. На практике атмосферные аэрозоли обычно описывают некоторой средней величиной размера частиц, но не всегда такое описание достаточно точно. Процесс испарения широко используется в химической технологии, например, при производстве порошкового молока и растворимого кофе.

Процессы агрегирования и распада важны при решении экологических задач, при исследовании динамики явлений в атмосфере (например, град), изучении течений коллоидных растворов, а в промышленности — процессов спекания взвешенных частиц при высокой температуре. Проблема сочетания простоты и точности при описании таких процессов в природе и в промышленности пока далека от завершения.

Актуальность математического описания течений вращающихся газовзвесей связана с необходимостью расчета и предсказания значений макропараметров. В частности, это необходимо для предсказания поведения таких течений в природе.

Отсутствие математической постановки задачи о влиянии антисимметричных напряжений во вращающейся среде и, соответственно, исследования их влияния на гидродинамические величины, а также необходимость сочетания простоты и точности при описании процессов испарения — конденсации и агрегирования — распада, наблюдающихся в природе и в промышленности, лишний раз подчеркивает математическую актуальность рассматриваемой в диссертации задачи в случае большого числа элементов системы.

Актуальность применения кинетического подхода к исследованию течений вращающихся газовзвесей связана с тем, что подход этот позволяет теоретическим путем получить замыкающие соотношения и граничные условия для уравнений переноса, а его область применимости существенно шире области применимости традиционно используемых гидродинамических подходов.

Ранее многими авторами уже рассматривалось явление смерча. Как правило, работы носят описательный характер. Исследований с последовательным применением кинетического подхода (тем более для всех фаз) для описания такого типа явлений автором найдено не было.

Актуальность математического описания процессов и течения внутри смерча связана с отсутствием необходимых прямых экспериментальных данных и невозможностью их получения на современном уровне развития экспериментальной базы. Это приводит к неизбежности построения сравнительно простых гипотетических моделей, основанных на достаточно обоснованных методах, в том числе кинетическом подходе.

Цель работы. Целью работы является построение модели газовзвеси (двухфазной в гидродинамическом смысле среды) с учетом процессов испарения — конденсации и агрегирования — распада, выделяя для описания взвешенной фазы как одну, так и две компоненты. Замкнутая модель газовзвеси должна быть построена на кинетическом уровне с последующим переходом на сокращенное гидродинамическое описание и упрощением получившейся на континуальном уровне системы уравнений для описания атмосферного смерча (торнадо) в предельном приближении с учетом круп-номасштабности явления. Целью моделирования смерча является нахождение формы поверхности его идеального ядра, полей скоростей, плотности и давления среды внутри воронки смерча.

Достоверность полученных результатов обусловлена достоверностью результатов кинетического подхода в теории газовзвесей, описанного в работе [67], применением апробированного асимптотического метода решения кинетических уравнений, положительным опытом применения данного подхода к широкому кругу явлений, а также качественным совпадением полученных результатов с известными экспериментальными данными и особенностями явлений.

Основной метод исследования. Для описания газовзвеси используется кинетический подход (в терминах публикации [13] — методология статистических законов сохранения) и его реализация из монографии [67]. При этом подходе явление моделируется на „микроуровне", а замыкающие соотношения для уравнений переноса получаются в результате приближенного решения соответствующих кинетических уравнений. Приближенное решение кинетических уравнений осуществляется по методу Чепмена — Энскога, что позволяет получить замыкающие соотношения для системы гидродинамических уравнений сплошных сред.

Применяемое обобщение метода Чепмена — Энскога, в отличие от традиционного метода, приводит к зависимости коэффициентов переноса не только от частот соударений частиц фаз, но и к их зависимости от гидродинамических полей [67].

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Модификация и конкретизация кинетической модели газовзвеси В. А. Цибарова, позволяющая учесть процессы испарения и конденсации, обводнения и сушки в рамках принятого закона рассеяния на частицах и эффективных корреляционных функций, зависящих от объемной доли всех включений.

2. Классификация режимов течения газовзвесей в зависимости от эффективного диаметра включений и их объемной доли.

3. Замкнутая на основе принятой кинетической модели постановка о „макроскопическом" (континуальном) течении газовзвеси, учитывающая процессы испарения и коидепсации, агрегирования и сушки в приближении идеальных фаз (включая предельную задачу) и вязкой взвешенной фазе.

4. Точное слабо неравновесное решение кинетических уравнений взвешенной фазы, обобщающее классические результаты для точного локально равновесного режима на нестационарные и рассматриваемые в диссертации процессы.

5. Решение приближенной (предельной) задачи о течении газовзвеси внутри идеального ядра смерча, включая нахождение его границы.

Практическая ценность результатов. Построенные в данной работе кинетические модели могут быть применены для описания ряда течений любых сред с наличием испарения и конденсации на взвешенных в потоке частицах, а также агрегирования и распада самих этих частиц. Полученные из них газодинамические системы (сокращенные описания) позволяют непосредственно рассчитывать такие течения в случае слабого отклонения от равновесия. Они применимы в задачах метеорологии и химической промышленности, в других областях науки и техники.

Аппробация результатов. Основные результаты работы были представлены на ряде конференций: Третьи Поляховские чтения (СПб, СПбГУ, 2003), XX Международный семинар по струйным, отрывным и нестационарным течениям (СПб, СПбГУ, 2004), Четвертые Поляховские чтения (СПб, СПбГУ, 2006), IV Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2006, СПб, СПбГУ, 2006), Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике, посвященном 90-летию со дня рождения Сергея Васильевича Валландера (СПб, СПбГУ, 2008), а также докладывались на научных семинарах кафедры гидроаэромеханики и лаборатории аэродинамики СПбГУ. Всего публикаций — десять. По теме диссертации имеются 2 публикации (статьи [42, 44]) в рецензируемом научном журнале, входящем в перечень ВАК на момент публикации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации построена конкретизация кинетической модели газовзвеси, разработанной В. А. Цибаровым. Модернизированная модель последовательно учитывает испарение и конденсацию, агрегирование и распад взвешенных частиц, обводнение и сушку включений. Непрерывный характер распределения включений по объемам приводит к несколько иным значениям коэффициентов переноса по сравнению с приведенными в работах В. А. Цибарова. Попарное подключение взаимно обратных процессов влечет наличие в каждой из этих пар состояний динамического равновесия. В ходе анализа вклада операторов, описывающих различные пары рассматриваемых процессов, в кинетические уравнения получена диаграмма, определяющая вид первого приближения в решении задачи о течении газовзвеси от объемной доли примеси и диаметра взвешенных частиц. Все вычисления новых замыкающих соотношений в построенных моделях газовзвеси проводились в рамках только самой системы кинетических уравнений и принятой обобщенной диффузной модели испарения — конденсации па включениях. Построенная в работе модель двухфазной четырехкомпо-пентной газовзвеси с учетом выше упомянутых процессов после перехода к сокращенному гидродинамическому описанию применяется для исследования вращающихся течений газовзвеси. В качестве основной задачи выступает построение математической модели атмосферного смерча. Получена форма границы течения и решение для скорости, плотности и давления среды внутри. Проанализирован ход процессов испарения и конденсации (при постоянной вероятности поглощения молекул), агрегирования и распада включений. Показано, что со временем происходит релаксация этих процессов, выход на равновесие, что соответствует известным положениям термодинамики и реально наблюдаемой картине явлений. Результаты соответствуют качественным наблюдениям, описанным в литературе. Решения, полученные в задаче о смерче проиллюстрированы графиками. Дополнительным примером применения модели среды выступает течение, задаваемое точным локально равновесным решением кинетических уравнений. Решение уравнений взвешенной фазы обобщает классические результаты на случай нестационарного течения с возможностью учета процессов испарения — конденсации и агрегирования — распада включений.

1. Базаров И. П. Термодинамика. М.: ГИФМЛ, 1961. 292 с.

2. Борис А. Ю., Галкин В. С. Кинетическое описание броуновского движения нагретых частиц в разреженном газе // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 2. С. 95-101.

3. Бубнов В. А., Мартыненко О. Г., Солоду хин А. Д. и др. Гидродинамическая структура тайфуна: (Теорет. часть). Минск: ИТМО, 1983, 32 с.

4. Буевич Ю. А., Ендлер B.C., Щелчкова И. Н. Континуальная механика монодисперсных суспензий. Реологические уравнения состояния. // М., ИПМ АН СССР, препринт №85, 1977. 52 с.

5. Бусройд F. Течение газа со взвешенными частицами. М.: Мир, 1975. 378 с.

6. Валландер С. В., Нагнибеда Е. А., Рыдалевская М. А. Некоторые вопросы кинетической теории химически реагирующей смеси газов. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. 280 с.

7. Вентцелъ Е. С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Наука, 1991. 384 с.

8. Веригин А. П., Щупляк И. А., Михалев М. Ф. Кристаллизация в дисперсных системах. Л.: Химия, 1986. 248 с.

9. Волощук В. М. Кинетическая теория коагуляции. Л.: Гидрометеоиз-дат, 1984. 284 с.

10. Галкин В. С., Русаков С. В. Кинетическое уравнение Фоккера Планка для броуновских свободномолекулярных термически неравновесных частиц в неоднородном газе // Изв. АН. МЖГ. № 2. 2007. С. 204-208.

11. Горонооский И. Т., Назаренко Ю. П., Некряч Е. Ф. Краткий справочник по химии. Киев: Наукова думка, 1987. 829 с.

12. Далевская О. П., Цибаров В. А. Влияние антисимметричных напряжений на гидродинамические профили газовзвеси // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: "ВВМ", 2004. С. 24-31.

13. Дулов В. Г, Цибаров В. А. Математическое моделирование в современном естествознании. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2001. 244 с.

14. Ейтс Дж. Основы механики псевдоожижения с приложениями. М.: Мир, 1989. 336 с.

15. Ивлев JI. С., Довгалюк Ю. А. Физика атмосферных аэрозольных систем. СПб.: НИИХ СПбГУ, 1999. 194 с.

16. Ильин И.Е., Фомина О.Н., Цибаров В.А. Массоперенос в гидро- и газовзвесях // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2001. С. 20-39.

17. Киперман С. Л. Основы химической кинетики в гетерогенном катализе. М.: Химия, 1979. 352 с.

18. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Л.-М.: РТТЛ, 1938. 456 с.

19. Краткий справочник химика / Под ред Б. В. Некрасова. М.-Л.: Госхи-миздат, 1951. 675 с.

20. Крюков П. А. Кинетический анализ процессов испарения и конденсации на поверхности // Кинетическая теория процессов переноса при испарении и конденсации: Материалы международной школы-семинара, Минск: АНК „ИТМО ИМ. А. В. Лыкова АН БССР", 1991. С. 3-21.

21. Кунии Д., Левеишпиль О. Промышленное псевдоожижение. М.: Химия, 1976. 447 с.

22. Кухлинг X. Справочник по физике. М.: Мир, 1983. 520 с.

23. Кушин В. В. Смерч. М.: Энергоатомиздат, 1993. 126 с.

24. Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. М.: Машиностроение, 1975. 328 с.

25. Лунькин Ю. П., Мымрин В. Ф. Применение кинетической теории для получения замкнутой системы уравнений динамики газовзвеси // Письма в ЖТФ. 1979. Т. 5. Вып. 3. С. 146-149.

26. Лутов Н. 11., Петров Д. А., Цибаров В. А. Течение вращающихся газовзвесей // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. С. 82-89.

27. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: ГИТТЛ, 1952.

28. Маренок В. М. Склабинский В. И. Вихревой псевдоожиженный слой и его практическое применение // Физика аэродисперсных систем. Вып. 41. Одесса: "Астропринт", 2004. С. 86-91.

29. Матвеев С. К. Классификация режимов и расчетных моделей обтекания тел газовзвесью // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997. С. 205-220.

30. Мирошин Р. Н. Случайные процессы и поля. СПб.: НИИ Химии СПб-ГУ, 2003. 284 с.

31. Мясников В. П. О динамических уравнениях движения двухкомпо-пентных систем // Журн. ПМТФ. 1967. № 2. С. 56-67.

32. Мясников В. П. О распределении взвешенных в кипящем слое // Журн. ПМТФ. 1968. № 3. С. 115-120.

33. Мясников В. П. Статистическая модель механичекого поведения дисперсных систем // Механика многокомпонентных сред в технологических процессах. М., 1978. С. 70-101.

34. Мясников В. П., Рождественская М. С. О теплообмене между поверхностью и псевдоожиженном слоем // Журн. ПМТФ. 1968. № 6. С. 139-144.

35. Нагнибеда Е. А., Кустова Е. В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003. 272 с.

36. Накоряков В. Е., Кашинский О. Н. Турбулентная структура двухфазных газожидкостных потоков // Теплофизика и аэромеханика. Т. 4. № 2. 1997. С. 115-127.

37. Наливкин Д. В. Смерчи. М.: Наука, 1984. 111 с.

38. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.

39. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. 1, 2. М.: Наука, 1987. 464, 360 с.

40. Николаевский В. Н. Тензор напряжений и осреднение в механике сплошных сред // ПММ. 1975. Т. 39. № 2. С. 374-378.

41. Петров Д. А., Цибаров В. А. Стохастическая модель торнадо с учетом агрегирования и конденсации // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: "ВВМ", 2005. С. 48-56.

42. Петров Д. А., Цибаров В. А. Течение аэрозоля внутри торнадо. // Вестник СПбГУ. Сер. 1, Вып. 3, 2005. С. 95-101.

43. Петров Д. А., Цибаров В. А. Стохастическая модель трехфазной конденсирующей газовзвеси // Четвертые Поляховские чтения. СПб.: "ВВМ", 2006. С. 409-414.

44. Петров Д. А., Цибаров В. А. Стохастическая модель взвеси пыли и капель во влажном воздухе // Вестник СПбГУ. Сер. 1. Вып. 4, 2007. С. 38-46.

45. Протодьяконов И. О., Чесноков Ю. Г. Гидродинамика псевдоожижен-ного слоя. JL: Химия, 1982. 264 с.

46. Райст П. Аэрозоли. М.: Мир, 1987. 280 с.

47. Разумов И. М. Пневмо- и гидротранспорт в химической промышленности. М.: Химия, 1979. 248 с.

48. Разумовский Л. А., Стрижов Н. Г., Цибаров В. А. Столкновение кристаллов во взвешенном слое // Изв. высш. учебп. заведений. Химия и хим. технология. 1987. Т. 30. Вып. 12. С. 117-121.

49. Рудяк В. Я. Статистическая аэрогидромеханика гомогенных и гетерогенных сред. Т. 2: Гидромеханика. Новосибирск: НГАСУ. 2005. 468 с.

50. Рудяк В. Я., Кроснолуцкий С. Л. К кинетической теории описания диффузии наночастиц в разреженном газе // Оптика атмосферы и океана. Т. 16. 5-6. 2003. С. 508-511.

51. Рыдалевская М. А. Аэродинамические свойства течений газа с физико-химическими процессами // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2000. С. 82-92.

52. Рыдалевская М. А. Статистическая и кинетические модели в физико-химичечекой газодинамике. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003. 248 с.

53. Скорер Р. Аэродинамика окружающей среды. М.: Мир, 1980. 540 с. (Пер. с англ. R. S. Scorer. Environmental Aerodynamics. New York, London, Sydney, Toronto. 1978.)

54. Советский энциклопедический словарь. M.: Сов. энциклопедия, 1983. 1600 с.

55. Стасенко А. Л. Модели дисперсных сред // Модели механики сплошной среды. Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 1983. С. 139-161.

56. Стасенко А. Л. Физическая механика многофазных потоков. М.: МФТИ, 2004. 136 с.

57. Струминский В. В. Применение методов кинетической теории газов к решению некоторых задач химической технологии // Тр. IV Всесоюзн. конф. по ДРГ. М.: Изд. отд. ЦАГИ, 1977. С. 184-196.

58. Тодес О. М. Кинетика коагуляции и укрупнения частиц в золях // Проблемы кинетики и катализа. Статистические явления в гетерогенных системах. M.-JL, 1949. С. 137-172.

59. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976. 554 с.

60. Физический энциклопедический словарь / гл. ред А. М. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 1983. 928 с.

61. Филиппов Б. В. Аэродинамика тел в верхних слоях атмосферы. JL, 1973. 127 с.

62. Фомин В. М., Федоров В. М. v др. Волновая динамика реагирующих и нереагирующих газовзвесей // Теплофизика и аэромеханика. Т. 4. № 2. 1997. С. 129-158.

63. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. JI: Наука, 1975. 592 с.

64. Хирс Д., Паунд Г. Испарение и конденсация. М.: Металлургия, 1966. 196 с.

65. Цибаров В. А. Приближенный метод решения задач аэродинамики простого слабо разреженного газа. JI., 1969. 155 с.

66. Цибаров В. А. Кинетический метод в теории газовзвесей: Докт. дис. СПб., 1995. 380 с.

67. Цибаров В. А. Кинетический метод в теории газовзвесей. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997. 192 с.

68. Цибаров В. А. Стохастические законы сохранения в теории неньютоновских сред // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2000. С. 93-119.

69. Цибаров В. А. Модель сред с особыми свойствами // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: "ВВМ", 2004. С. 83-113.

70. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИИЛ, 1960. 510 с. (S. Chapman, Т. G. Cowling. The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases. Cambridge: University Press, 1952.)

71. Шрайбер А. А., Милютин В. Н., Яценко В. П. Гидродинамика двух-компонентных потоков с твердым полидисперсным веществом. Киев: Наук, думка, 1980. 249 с.

72. Яворский Б. М., Пинский А. А. Основы физики, т.1, М.: Наука, 1974. 496 с.

73. Янков Я. Д. Кинетическая теория дисперсных систем // Изв. АН СССР. МЖГ, 1980. № 1. С. 128-133.

74. Янков Я. Д. Граничные условия на твердой поверхности, обтекаемой двухфазным потоком // Изв. АН СССР. МЖГ, 1980. № 3. С. 46-51.

75. Burnett D. The distribution of velosities in slightly non-uniform gas // Proc. Lond. Math. Soc., 1935. Vol. 39. P. 385-430.

76. Burnett D. The distribution of molecular velosities and the mean motion in non-uniform gas // Proc. Lond. Math. Soc., 1935. Vol. 40. P. 382-435.

77. Chahine M. N., Narasimha R. The integral /0°%nexp{—(u — v)2 — x/v} dv // Jorn. Math, and Phys., 1964. Vol. 43. № 2. P. 163-168.

78. Culic F. E. C. Boltzman equation applied to problem of two-phase flow // Phys. of Fluids, 1964. Vol. 7. № 12. P. 4493-4500.

79. Pai S. J. Fundamental equations of mixture of gas and small spherical solid particles from simple kinetic theory // Rev. Roum. sci. techn. mech. appl., 1974. Vol. 19. № 4. P. 605-621.