Теорема единственности для рядов Вольфа-Данжуа и нормальные операторы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 ОА

2з

САНКТ-П ЕТЕР СУ 1' гски й ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СИБИЛЕВ Руслан Владимирович

ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ РЯДОВ ВОЛЬФА — ДАНЖУА И НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

( 01.01.01 — математический анализ )

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт- Петер бург 1997

Работа выполнена на кафедре ма гематичеекпго апалта Сапк'1-I lerepoy ргского государственного \ п пне ре и те Та .

Научные руководители

доктор ф.-м. наук, проф. A.B.Александрии доктор ф.-м. наук. проф. Н.К.Никольский

Официальные оппоненты

доктор ф.-м. наук, проф. Н.А.Широков кандидат ф.-м. наук, доцент И.В.Виденский

Ведущая организация

Российский Государственный Педагогический Университет им. А.И.Герцена

Защита состоится tVOG.'Jf- в -М 00 на заседании диссертационного совета К063.57.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Библиотечная пл., д. 2. математико-механический факультет СПбГУ, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Автореферат разослан ■j^ohJ 199 i г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических

наук, доцент О.И.Рейнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Пусть {Ад.}д.>| ограниченная последовательность точек ком илексной плоскости. Рассмотрим ряд

где Дд. £ С, [ |Да,-| < оо. Ряды такого вида называют рядами Вольфа — Данжуа. Ряды Вольфа — Данжуа интенсивно изучались в работах А.Пуанкаре, Э.Бореля, А.Данжуа, Ж.Вольфа, Т.Карлемана, А.Берлинга, А.Гончара, Т.Леонтьевой в связи с проблемами аналитического продолжения и квазианалитичности.

Не умаляя общности, можно предполагать, что Ад. £ О, где О = {г £ <С : |л| < 1} — единичный круг комплексной плоскости. Тогда сумма ряда Вольфа — Данжуа представляет собой функцию, аналитическую в |г|>1, и можно рассматривать вопрос о представимости аналитической функции в виде суммы такого ряда и о единственности этого представления.

Хорошо известно, что вопрос о единственности нетривиален: существуют последовательности {Дд}д.>1 £/', {Ад.}д.>! С В, Дд- ф О такие, что

Настоящая работа посвящена поиску наилучших возможных условий на коэффициенты Дд., при выполнении которых тождество (1) влечет Дд. = 0. в терминах быстроты убывания последовательности |Дд|.

Рассмотрим такую последовательность положительных чисел {сд. }д->1. что с д. | 0 и будем искать такие условия на £д., при которых из неравенства

и тождества (1) следует Дд. = 0, к > 1 (независимо от последовательности {Ад.}д.>| сЮ).

(1)

|.4д.| <сош^-д., А- > 1

(2)

Обозначим

lx(s) = {{Ak.)k.>t.Ak. € С : 3 С = const, С > Ц\Л,\ < С-г,, к > 1}.

Э.Ворель первым показал, что это последнее предположение оправдано, когда последовательность А к убывает очень быстро, а именно, если

= о(схр(- ехр(А:2))), к —> оо,

то условие (1) влечет А= 0.

Ж.Вольф (1921) впервые построил пример нетривиального ряда рассматриваемого типа, сумма которого тождественно равна нулю.

Позднее Т.Карлеман (1922) показал, что если

¿А,- = ехр(—(а + £ )к ■ log к),

то (1) влечет Ад. = 0 (здесь а = const, а > 1 зависит от .4*., а £>0 произвольно).

А.Берлинг (1934) уточнил этот результат и показал, что для единственности ряда (1) достаточно потребовать = ехр(— ак), и > 0 .

Этот результат вытекает из теоремы о квазианалитичности для классов функций, допускающих хорошее приближение рациональными.

Этот же результат о единственности рядов (1) можно найти в статьях А.Гончара (19G0). А.Гончар исследовал возможность аналитического продолжения таких функций, которые допускают быстрое приближение рациональными функциями.

В работах А.Данжуа (1924) приводятся примеры нетривиальных рядов (1) (т.е. рядов, для которых Aj,. ф 0), таких, что

\Ak.\ < const-ехр(-А-1/2-£).

где £>0 сколь угодно мало, а также исследуется вопрос о разложении голоморфных функций в ряд с коэффициентами А/,., убывающими с такой быстротой.

о

Т.Леонтьева (19GS 19G9) доказала теорему о представлении аналитических в closD функций [¡ядами Вольфа Данжуа с условием

£ > 0 сколь угодно мало. В диссертационной работе получен окончательный результат, завершающий эту серию классических результатов, состоящий в том, что единственность разложений в ряди Вольфа — Данжуа эквивалентна расходимости логарифмического интеграла:

Цель работы.

Найти наилучшие возможные условия убывания модулей коэффициентов рядов Вольфа — Данжуа, гарантирующие единственность разложения, а также возможность разложения функций некоторых аналитических классов в ряды Вольфа — - Данжуа.

Общая методика исследования.

Используется аппарат классического комплексного анализа функций одной комплексной переменной, линейного функционального анализа, теории операторов.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в теории операторов, а также в теории аппроксимации рациональными функциями в С.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на ПОМИ-СПбГУ по спектральной теории функций, на семинарах по теории операторов и по комплексному анализу университета Бордо (Франция), на семинаре по комплексному анализу университета Орсэ (Франция), на конференции по теории операторов в г. Лилле (1994 г.)

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1].

Л, |<ехР( -к1~е).

<;

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и пяти глав. подразделенных на 17 параграфов. Библиография содержит 18 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Общее описание.

Диссертационная работа посвящена изучению классических рядов Вольфа — Данжуа. В работе найдено необходимое и достаточное условие единственности для рядов Вольфа — Данжуа в терминах быстроты убывания коэффициентов. Полученное условие завершает цепочку известных классических результатов.

Кроме того в работе получены условия возможного убывания коэффициентов рядов Вольфа — Данжуа, представляющих функции, аналитические в единичном круге В с заданной быстротой убывания коэффициентов Тейлора, а также функции, аналитические в сЬэР.

Рассматриваемые вопросы находят приложение в теории операторов при изучении инвариантных подпространств нормальных диагональных операторов в /2.

В работе доказана теорема единственности для дискретных мер. ортогональных многочленам с неограниченным носителем в С в терминах быстроты убывания модулей нагрузок.

ОБЗОР ДИССЕРТАЦИИ ПО ГЛАВАМ

Глава 1. Введение.

Введение содержит постановку задачи, краткое содержание работы. а также краткую историю вопроса.

Глава 2. Эквивалентные переформулировки.

В этой главе рассматриваются эквивалентные переформулировки основного результата на языке рядов Дирихле и на языке мер. ортогональных многочленам.

Утверждение 1.

Пусть — комплексные последовательности, та-

кие что |Ад.| <1, {.4а.}а.>] 6 /'•

Слсдукщас утверждения равносильны:

п

Е

=0.

А>1

2) Мера

А*

А-> 1

ортогональна, многочленам, т.е. ¡п С"<1(40 = 11 — " С 2 (здесь Ь\ — - мера Дирака с един ичной массой, сосредоточенная в точке А).

3) Ик>\ Акс^р(хкг) = 0, :ес

Б §2.2 рассматривается вопрос о структуре множеств, несущих меры ортогональные многочленам и абсолютно непрерывные относительно некоторой конечной меры.

Утверждение 2.

Пусть (7 — односвязная и ограниченная Жорданова область, А -положительная борслевская мера а С. и пусть V. = С Р| аирр А -определяющее множество для С. Тогда найдется функция / € Ь'(А) такая, что мера (1/1 — /г/А нетривиальна и ортогональна, многочленам в С.

Это утверждение доказывается сведением к случаю С = Ю>, где доказывается операторным методом, а именно рассматривается оператор

Т ■ ¿'(А) —* Ь1 /

где Щ = {/.6 Я1 : /(()) = ()} . [/] = ./' + Я(| элемент фактор-пространства Ь1/Н{\.

В §2.3 рассматривается проблема моментов, т.е. вопрос существования меры /(, сосредоточенной на некотором множестве Л. такой что

г СМ0=р..,п> о

где {/.>„}'>>о -заданная последовательность. В этом случае {р,,}„>1 называется Л-моментной.

Утверждение 3.

Пусти А положительная бирслсвска.и мера, и, иусть№П аир/) А определяющее множество д.п,нЮ>. Следующие утверждения тма-валептны:

1) {р,,}ц>и — А-момсптпая последовательность.

2) {;.)„}„>о последовательность коэффициентов Фурье для некоторой (функции 1/'(Т).

В §2.4 приводятся формулировки хорошо известных результатов для важного частного случая, а именно для дискретной меры

Л = £*>„ <4

Заметим, что результаты главы 2 в основном хорошо известны, однако доказательства приведенные в настоящей диссертации содержат некоторые элементы новизны.

Глава 3. Скорость убывания зарядов.

Теорема 4.

Пусть £ = - убывающая последовательность последова-

тельность положительных чисел, и £/,- \ 0. Следующие утверждения эквивалентны: 1) Если

ЕтЗс-М'!»1

то А/; = 0. /,• > 1. 2)

е

Д->1

В §3.1 рассматриваются различные типы условий на убывание зарядов нетривиальных дискретных мер, ортогональных многочленам.

В §3.2 приводится доказательство достаточности теоремы 4. В §■3.3 приводится доказательство необходимости теоремы 4.

Глава 4. Разложение аналитических функций.

В главе -1 рассматриваете« вопрос о представимости функции, аналитических в единичном круге в виде рядов Вольфа Данжуа и о возможной быстроте убывания нагрузок соответствующих рядов.

§4.1 содержит общие результаты. С помощью результатов, полученных в главе 2 устанавливается справедливость следующего утверждения

Утверждение 5.

Пусть Л С Ю> — определяющее множество для О . и пусть // положительная борелевская мера сосредоточенная на лтожсстве

Л"1 .

Тогда для любой функции Г 6 Я1 найдется функции </ £ такая, что

т= Г «(ОМС)

В частности, если ¡1 — дискретна, а Л — определяющее в Ю> точечное множество, получается, что всякую функцию класса Н1 можно разложить в соответствующий ряд Вольфа — Данжуа.

Пусть .4 — некоторый класс аналитических в единичном круге функций, .4 6 Н1. Можно поставить вопрос: как быстро могут убывать коэффициенты разложений в ряды Вольфа - Данжуа функций класса .4 ?

В §4.2 рассматривается класс функций аналитических в замкнутом круге, .4 = Но1(с1о.чО). Пусть •/,, : /зс(£) —+ Но1(Р) - оператор.

•№*}*>■ = N<1

/,•>1 ■

Получен следующий результат Теорема 6.

Существует последовательность точек а = {<и}А,->ь £ С\ с!ояР. такая что

Но1(с1о.чО) С -/„/^(г)

К)

шогда и только то/да. ко/.ди,

/,■>1

< ОС. t А-

В §4.3 мы рассматриваем другие классы аналитических функций, а именно А — A(iun) = / G Но1(Ю>) : Х)«>о I./WI1"» < 00 > ГД1' {IVп}/i>o возрастающая последовательность положительных чисел.

Доказывается следующая теорема Теорема 7.

Пусть 0(.х), w(x). ^f^", пеубывают, в{х) > е,

El w(n) --f д/м <0°'

" W

(о"»))

< оо

Пусть W(N) = Лг ji log , Л'1Г(1 + [Ar0(IV)]) невозрастает

(здесь [л;] — целая часть числах). Тогда существует последовательность точек q = {<н.} С С \ closD, такая что

Л(и'М(»))ехр(сн1Г(1 + И(»)]))) С ./„

где с = const.

Рассматриваются частные случаи.

Глава 5. Приложения.

Глава 5 содержит приложения полученных результатов. В §5.1 рассматривается оценка возможного роста гармонических функций на определяющих множествах. В §5.2 дается интерпретация теоремы 4 в терминах инвариантных подпространств нормальных диагональных операторов.

Пусть Л : /-' —» I2 диагональный оператор:

Л(Г:. Г,... ) (Л, Г;.Л,. Г7.... )

Замкнутое подпространство Е С Е ф 0. Е ф I2 называется инвариантным, если АЕ С Е.

Подпространства е(о) = {.г € I2 : .г/;- = 0, приА' : Ад. ^ er f называются стандартными (п])ост1)анства, у которых на определенных местах стоят нули). Справедлива следующая теорема.

Теорема 8. Пусть s — {tд.-}а->о ~ последовательность положительных чисел. £д. \ 0 Следующие утверждения равносильны:

1) Для всех диагональных ограниченных операторов Л : I2 —> I2 и для любого вектора х 6 I2 П 1°°(£) подпространство ЕТ = .sp(iu(A".i: : п > 0) стандартно.

2)Z fc>izM°g£=oo

Глава 6. Меры с неограниченным носителем, ортогональные многочленам.

Глава С посвящена мерам, ортогональным многочленам, сосредоточенным на неограниченных множествах.

В §6.1 приводятся два доказательства того факта, что на любом неограниченном множестве можно сосредоточить меру, ортогональную многочленам.

Первое доказательство основано на решении соответствующей бесконечной системы уравнений типа Вандермонда.

Другое доказательство связывает меры, ортогональные многочленам в С с соответствующими рядами Вольфа --- Данжуа и позволяет конструктивно строить такие меры с нагрузками в нулях мероморфных функций.

В §6.2 рассматривается вопрос о возможной быстроте убывания нагрузок мер. ортогональных многочленам, сосредоточенных на неограниченных множествах.

Справедлива следующая теорема:

Теорема 9. Пусть {Лд}/;:>| неограниченная последовательность точек в С. пусть {tfc}t>i --- последовательность положительных чисел, такая что ^¡гд^Ад.р' < оо, р = 1,2,...

Пусть г„ = тах(|Aj |, |А-_»|.....|А„|). Предположим, что последовательность {c„''ü"}„>i убывает при всехр = 0.1,2,...;

lim iuf т-г^-7 < ос: »-зс |Л„|

Г 1 ^ 1 , 1 11111 Sll|> ----— > — И)" - = ОС'

Тогда всякая мера /I — -"^л» • ортогональная многочленам, с

условием {Ад:}д..>| £ 1°°(£). тривиальна, т.е. /1 = 0.

Публикации.

1. Сибилев Р.В., Теорема единственности для рядов Вольфа .....

Данжуа, Алгебра и Анализ, N1, 1995.

2. Sibilev R. Théorème d'unicité pour les séries de Wolff — Denjoy et opérateurs normaux, Thèse, Bordeaux, 1995.