Теоремы сравнения действительных и комплексозначных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ШШСПМРСШО НАУКИ, ВаСУКЛ ¿КОЛЫ И ШН.1ЧКСК0й иОМШН РОСо'ИИСлОЙ Ф^ДгРАДОИ

УРАЛЬСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАШЫ ГОСУДАР ОТВ. ¿ННЫЛ У1ШсРСИлТ ш.шш А.И.ГОРНОГО

На правах рукописи Длоприав НЛКОЛ1Л Ши»анович

УД1С 517.5

ЮТ^ыц СРА1ЛИш1Л ДййСГГи.ПЕЛДаХ

и кошшксноашчньх фунлц^й

01.01.01 - матеглитичосхкЛ анализ АВТОРЕФЕРАТ

ДИСОсфТиЦИИ НЬ СОИСКаНЛи УЧЛНОЙ ОТУОЭШ

кандидата физико-ля тематических 1шун

Зка1чр.шоург - 1992

Работа выполнена

в отдела теории ирибл"чозШ1Я функции Института математики и механики УрО РАН

Научные руководите ли

Официальные опионенты

Ведущая организация

доктор ^изико-ьатеьатических шук, профессор Ь.Н.СуООотин,' кандидат цязшючоа тематических шук, старлил шучнш сотрудник В.Н.ГаОуишн

•доктор ^иэико-матекатическшс шук, профессор Н.ИЛараых, кандидат 4нзцйо-ш тематических шук, старшин шучнш сотрудник А.Л.Агеев

Казахский государственник университет

"¿Г" №%1

Зацита состоится " ИЬ 1992 года на заседащщ

специализированного совета №63.76.03 до нрцсувдешш ученой с Тс! цени кандидата физико-математических наук а Уральской государственном университете по адресу:. 620083, г.^КЕТериноург, цр.Ленина, 51.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотоке Уральскою государственного университета.

Автореферат разослан

гета. .

еиТЩЯ 1992 года.

Ученьш секретарь специализированного совета

В.Г.Пименов

Актуальность теш. В теории 1грибли;;мнил цункций хорошо известна так называния теорема сравнения Колмогорова, указиваклдая на наличие таено Л связи мезду ди^фиренциальишн. и экстремальными свойствами действительных функщй, оиреда-лешшх ш всей чнелоьой иряыой. Полученная А. ¡{.Колмогоровы!-^ в 1936 году, эта теорема носила вспомогательны* характер и била использована им исключительно ь целях установления точного наравенстаг^мечду нормами функции и ее производных ь равномерной метрика.

Впоолидотшш оказалось, что теорема сравнения Колмогорова имеет глубокий смысл л представляв т самостоятельный интерес. ПрИШНЗИИе этой теоремы пезьолило получить рлд новых ТОЧ1ШХ результатов в теории приближения функций, а такмз в других науках.

Б настоите.! работе сформулирована и доказаны новые теоремы сравнении на классах действительных и кошигакснознач1шх функций, определенных на прямой или полупрямой, с охраничч-нияыи на область изменения самой функции ц о а старлей нроаз-ьодной. уолученняе теоремы прншнекц для вычисления некоторых точных оценок норм промежуточных производных.

Как ооычно, й - это числовая црямая, - полупрямая, С - комплексная плоскость. Пусть обозначает класс заданных на & действительных дифференцируемых функций (■<:),

''Колмогоров А.11. О неравенствах мааду верхними 1ранжи. последовательных производных произвольной функции на башш-нечно).ч>иитерь^ле // Учин. зап. Моск. универ-та. - 1у39. -выл.30. Математика. кн.З. - С.3-16.

3

y KOTOptCC -вя производная Jp^'^C-t) ЛОКй-ХЬНО аооолтно

непрерывна и ||.{? (Г'|| s ess sup 1-f оо,Иначе говоря,

ахо класс У-тих интегралов от иачеримых функций, суфстша-но ограниченных на & . Соответствующей класс ш Яч обозначим чере з "W + .

Пусть далее W обозначает класс заданных на Rr комд-лзкснозначных дифференцируемых функций

у которых производная локально абсолютно шнрерцв-

ца и = ess Su|3 l-f'''(-i) | < . Соответствующий класс

на &«. обозначим ijpoa "W" + ,

Относительно производных функций из этих классов примем

üíto|| .sup l-J^l-Ulш cR,e\{t(l"(-t) + Üm^'t-U)"*

■P('Vfc)s 4?C-fc), к хо,i,...,Г-1 i

Введем обозначение

t

где ("i) - комплекснозначная функция, определенная на неко-• тором множестве прямой,' ь частности, на'всей прямой шш полупрямой. Если область значений функции -j?(-t) содержится в кольце C(M,N) = {i6 С: Oiá с центром в начале

координат внешнего радиуса М и внутреннего N, то '

IIÍIKM,

В теории приближения функций давно известны пункция 4а-вара, являюшдася периодическими интегралами с нулевым средним значешам на периоде от S<)n SÍh"t. В современной литература эти функции называют идеальными сплайнами Эйлера. Обозначая их через (4) , положим ^ г

Следул Н.П.Корнейчуку, припадем классическую теорему сравнения в следующей .

Пусть И JTJJAl HdKOTopo:.» lLVdjuT ЫСТО ОГраНИ-

чзния Iii II й II -РД(ГК, ll-f ("|| 6 {. Крот ил-о,пусть точки й, Ь 6 R* такоьи, что £(й) = Г(Ь). Тогда справедливо хоч-ноа наравенство I ) I й | lb) I.

Ь Ь7б году не зависимо А.А.Лигуном " в сиязи с »w следованием ОДНОС'ШрОфОХ ПрИйЛИ«й1ЫД функции И b.H.r^Öyailljiif.l J> и автором при научении неравенств дли производных с односторонними ограничениями на старшую производную оыло о4ор.чу-JUipOBäHO OÖOÖuWHHd ТООреЫЫ CpUbnöRiW Колмогорова. AiüJUiOrHH-нна результаты Ошш получены такие Ь.Ф.Баоенко и сьлаи с изучением несимметричных приближений.

Помимо ycuajhoro использования ь теории ириоли»ания, теорема сравнения Колюгорова hüui.tü iipшшн.м и ь других науках, например, ь теории оптимального управления» и теории некорректных задач.

|1ЛЛгун A.A. Классы "W^C^ 'Vi наилучшее односторонне приолнлнше функция тригонометрическими полиномам // В сб.: Исследования но соврем. ироОл. суммирования и прн-олиженил функций. Днеиропетроьск. - 1976. - 0.34-üö.

1>ГабуиШН В.Н. Нераьинстьь меяду производными и приближение оператора дифференцированно // и кн.: Uuwpмыли Пятого оошт.-чэхоежж^п. сошолшш но щ>Юнамшш изтодоа.тио-рил функций и (JyiiKU. ышлиза к сдачам ь.атем. физики. Алиа-Ата. i<76. - Новосибирск. - 1978. - С.Ь4-Ы5.

Ь

Так в работах С.В.Емельяноваk) эта таореч <5шв использована для изучения управляемости нелинейных систем, в работах И.Д .Кочубиевского - для изучения быстродействия некоторых систем автоматического регулирования и их предельных возможностей. Отметши такке известные результаты O.E.Сточки на, В.В.Арестова, А.П.Буслаева по конструированию устойчивы формул чиолаиного ди^ранцироиания.

Точное нераванство шжду норками функции и ее пронзиод Uta в равномерной метрике, известное как неравенство Колыо гороьа, приведем ь следующей д;орме.

Для любой, функции $ feW справедливо неравенство

где

^r.« = ^г-к I ^ г ~

наименьшая возможная постоянная, причем само неравенство ар

вращается в равенство, если есть идеальный сплайн Эйлера Kj, j = 0,1,2,... - константы ¿leвара.

В 1977 году И.Шёнберг " распространил атот результат

Емельянов C.B., Коровин O.K., Никитин с!в. Уцравляс мость нелинейных систем. Двуыерные системы. -Ы.: ВИНИТИ. Техническая кибернетика. - 1987. - Т.21. - 65о.

^КочубиевскяЛ И.Д;, Король Е.Ь. Предельные ьозыошшс систем управления при ограничениях на шременныэ состояния М.: Наука. - 1979. - 160с.

"¿choenber^ 1.3. The Undau problem 1. The ca: wiottOMs en sets, // Prot. Scand. Acad. Sei. -

ш класс коыплэкснозначных функций Л^/4. Имеет место слзду-ощае утварвдвнла.

' ПусгьЛ V', причем П-рНб М, <1-р > ^ Ы, 1.

Тогда справедлива точная оценка

Отметши, что при К = 0 эта оценка совпадает'с оцэнкой, полученной ранее Н.А^марсм'" на классе действительных фикций УЛ °

Целью настоящей раооты является:

- распространить теоремы сравнения да новцэ классы долс-твительных функций с несимметричной мажорантой для старше* производной

- сформулировать и доиазать теоремы сравнения на классах комилекснозначных функций с ограничениями на область изменения функци/ и ее второй производной на прямой и полупрямой.

Методика исследования. Ь работе исаользуцтся о&цие ыетоды математического анализа и теории цриблиьсания функций, а такла специальные методы сравнения функций, введенные АЛ1.Колмогоровым И И.Шенбергом.

Структура раооты. Работа состоит из введения, двух глав, списка литература и зан-ьяет 116 страниц ьшшшюдйс-ного текста.

"НЫдшагс! 2. Зиг 1е пюсЫе с1ццг -(^пс-

^¿оп еЬ с}& ьт Лепчееь. // Зое. то^Н. Ргаисе Comptcs гспо^иБ Зелизеь. - Ш4. -41.- Р.&В-72..

?

(!одер;тание работы.

Глава I. Теорема сравнения действительных фумций. Пусть у^нлцли U(5C) и V(X) определены и шпрерыьнн на R» . функция С] (СС) называется функцией сравнения для-j^tx), если при любим действительном С разность ^ ~ -Рсх + С. ) имеет одну uepet.-eny знака ;ia каедом (.аксиальном интервале, монотонного изменения ^ С31 ) , ;гричем на ьяксимальном интервале неубывания а та разность меняет знак с минуса ьа плюс, а на максимальном интервала неьозрастиния - с плюса tía минус.

Пусть Ъ<(х) не возрастает, а \Г(.х) не убывает ш Rr. Полагая U(0) = V (С) = 0,определим

'т'.л {и(х), Vi ас-О)},' 0é3û<'6-

max (vrlx-0), и 1х-2л)},

Обозначим чарез ¿P(X), Г= 0, Г-тш периодический ин-

теграл от '¿10а. функц1Ш с нулевым средшм значением ва периоде Полоайш TäKiB ose $С<х) = ¿>up -f.(x)-tH-f (х). Далее вред-

к »'К зк

иоло^м, что функции U(x) и \Г(Х) обладают следуи-и^м свойством: функция и(.сс) /соотв. iTix.) / есть функция сравшни для Aulx) /соотв. olir(x) / для любого É 10, i). Приведем основной результат зтой главы. Если le СГ,Т-1, К- такова, что OS С i? pe) é 0SC £г (X.)

X г

и функции UIX) и 0ЧХ-) являются функциями сравнения для

ее производной, то ¿ (X) яаляатся функцией сравнен*

Д M

для промежуточной цроизводной 4- IX), К = i, 2., i.

- Ясно, что теорема сравнения Колмогорова очевидным образом вытекает из зюго результата ири Ulx)= х , \Г1х)«-5С.. Б этом случае функции £Г(Х) полностью совпадает со силайяь ш Эйлера -(> (X).

Другим следствием полученной теоремы сравнения является обобщение неравенства Колмогорова на классе действительных дифференцируемых функций со степенной ш коран то А для старшей производной. А именно,' выберем в качеств* оу-нкциЛ сравнения следухщм функции:

ГАссл. х < 0 f Ё>(-х)л, ос» О

xsû X-Ö

Если функция такова, что OSC. ose ^rC3C)t то справедливы точные неравенства :

/ Sup f toc) ! OSC -ИЗО \rTi flljf 4- 1*0 у*

1 5up ^l*)' ^ l ose çr(x) / JMl«)l

Отметим, что в доказанном утверждении содержится вы-

f\

писанное еще в 1954 году Л.Хермавдером w обобщенное дара-ад венство Колмогорова.

Глава 2. Теоремы сравнения комплакснозначних дунхцин. Положим

ЧгО

гдо (-t) - идеальные сплайны Эйлера, г - шш.ая единица,

цгю> - шкото-

•рые действительные функции параметра т). Ир о долгие.! cry 'функцию на всю прямую с помощью соотношения:

^Hörwanoler L. A new proo\ an&t ^eneraiisa"tioa o.f an inequality boor //Ma-th. Зсзио!. - 1954. -vol.4.-XI.- J).53-45.

Если функции выбирать по формуле

мЛ'?."«--«-'^»*»*.

где Яг, с известные константы Савара, то полу-

чанный сплайн ¿ГС-Ь,1П будет иметь минимальный дефект.

Ниш представлены графики значений этого, ошвйна при Г= 1,1,5 и некотором ■) .

Полоним ¿1,г("М>а Д>0.с помощью этих

сплайнов получены, двусторонние оценки норм промежуточных

производных длл малых Г . Так для И* д справедливы нерааея-

ства: . . .

»9»,»(•,«>»< II £ 1.059 Il3n.il»,*>П

«9^0,*»И «А * 1МЪ « 9А'» (,»<И1

Далее теорема сравнения Колмогорова распространяется с класса действительных функций на класс "V/1 кошмак-снозначных функций. При этом естественным образом возникает два типа теорем сравнения. Хоромы сравнения первого типа - это утверждения о сравнении функции из рассматриваемого клаоса а точках с одинаковыми значениями их модулой. Теоремы сравнения второго типа - это ¿1'вордоения, в ко.орых дополнительна предполагается, что ь этих точках графлкн сравниваемых меиду собой пункций имеют одну и ту ш касательную.

Положим ^уд ^t-t^jej^ jl-t^Je*. Справедлива слвдупдая . теорема сравнения второго типа. '

Пусть -ji б "W*, а параметры 5*, А таковы, что-.

N-P »Г"* 1-

Если относительно точек выполнены условия

то справедливо неравенство

С ломощыо этой теоремы, а та к «а с использованием экстремальных свойств сплайнов ^ j д ¿(-Ь^) доказывается теорема сравнения первого типа.

Пусть + , а параметры таковы, что

и-р И ^ Л

Если относительно точек выполнено условна

то справедливо неравенство

На более узком классе функций со значениями в кольца комплексной плоскости из этой теоремы вытекает такое следствие . .

Пусть "W*, а нараъетры 5*, А таковы, что

«-fimiji-u^vni, ufwsi.

Тогда , ,

п-f и^ ча^.л,».

. ¡)

Это следствие содержит в себе результат И.Шёнберга Наконец, были получены аналоги теорем сравнения первого и второго типов на классе

w;

комплексноэначных .функция, на полупрямой. Основнш результатом' этих исследований стало

II

следующее утверадениа.

Пусть £ 6 WÎ, причем li-ß H é M , 4 £ » £ M, S i.. Тогда справедлива точная оценка

ll-f'll* in +

Отметил, что нри*-Ы-0 зта оценка совпадает с оценкой, 9) »VI

полученной ранее Е.Ландау на классе W ♦ •

Аппробация раоотц. результаты диссертации докладывались автором на семинарах отАелов теории приблизили функции и теории аппроксимации и црило-лэниЛ Института математики и. механики УрО PAii, на кафедрах математического анализа Уральского госуниверситета и Курганского педагогического института, на ^арздре выслал математики Курганского машиностроительного института, на зимних математических школах в i9?34il годах ь Свердловске, на 111 Всесоюзном сове^нии но методам спльлн-фун/.цин в 2980 году в Новосибирске.

Основные результаты диссертации состоят в следуюцям:

1. Сформулировано и доказано ойойшние теоремы сравнения Колмогорова на классе действительных функций с несимметричной мааорантои для старшей цроизроднои.

2. Получен аналог неравенства ^Колмогорова на о том класса в случае степенной макоранты для старшей цропз'одной.

3. С<АОрмулировани и доказаны новш теоремы сравнения ш классе комплекснозначных (¡ункций, определенных, ни прямой и

прямой, с ограничениями на область их изменения.

"UÄHOUU £. UhgleultKHgen -fur zweimal cü^fe-

t-ew."tîûr*bare PimUtlowen //Pros. LohJou Math. Soc. • 1915. - 15.- P.4S-49.

Гг

4. G помощью получошшх теорем сравнения выгиоганн ые-. . которш оценка норм производных комшгакснозцачных функций. В частности, аолучэн аналог результата И..Шенберга на полупрямой. • ■

Основное содорганиэ диссертация излокено в следующих статьях:

1. ГабушинВ.Н., Дмитриев Н.П. О гзсро/лах сравнения // В кн. : Методы сплайн-функций. Вычисли то льнш система. -197Э. - выл.81. - С.55-62.

2. Дмитриев Н.П. Теоремы сревноння Еэктор-фушидай // Да п. в ВИНИТИ. - 1984. - & 487-65 Дап.

t

3. ДЕШхривв Н.П. Обобщение теоремы сравнения Колиого-posa //Цел. в ВИНИТИ. - 1932. - А 5758-62 Деп.

4. Дмитриев Н.П. Неравенства для производных ш классе функций с ласимметричной мажорантой для старшей пропэ-,, водкой //Двп. в ВИНИТИ. - 1987, - Jf 6650-Q7 Деп.

5. Дмитриев Н.П. Оценки коры промежуточных происзод-них яомшгокснозначних функций //Деп. в ВИНИТИ. - 198Э. -

Й 2I0-B90 Деп.

В заключение автор вирагаэт глубокую благодарность своим научным руководителям Юрхгэ Нянолаевичу Субботину и •Владиславу Николаевичу Га Сушину га постоянное внишша и помощь в работе.