Теоретическое изучение нестандартных явлений переноса в плазме тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

Российский научный центр «Курчатовский Институт»

На правах рукописи

УДК 533.9

ЗАБУРДАЕВ Василий Юрьевич

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ

01.04.08. - Физика плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА- 2003

Диссертация выполнена в Институте ядерного синтеза Российского научного центра «Курчатовский Институт».

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук К.В.Чукбар

доктор физико-математических наук, профессор Н.С.Ерохин

доктор физико-математических наук, профессор В.И.Оселедец

Институт теоретической физики РАН им. Л.Д.Ландау.

Защита состоится «_»_2003 года в часов на

заседании Диссертационного совета Д 520.009.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Российском научном центре «Курчатовский Институт по адресу: 123182, Москва, пл. Курчатова 1, зал Заседаний Ученого Совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ «Курчатовский институт».

Автореферат разослан « »_2003 года

Ученый секретарь „

диссертационного совета Д 520.009.02 Л.И.Елизаров

( 6 з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРЦСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы исследования. Процессы переноса в плазме представляют робой отдельную большую область исследований. Механизмы и законы, лежащие в их основе чрезвычайно разнообразны, сильно различаются и сами переносимые субстанции. Это могут быть обыкновенные нейтральные или имеющие заряд частицы, пассивные или активные примеси, излучение, тепло, магнитное поле, волны. В данной диссертации рассмотрены примеры таких транспортных процессов, которые выходят за рамки классического переноса, и поэтому могут быть названы нестандартными, но при этом они отнюдь не являются экзотическими. Эти примеры различны природой исследуемых объектов, но едины средой, в которой они происходят - это, прежде всего, плазма.

Для транспортировки сильноточных пучков легких ионов чрезвычайно важно поведение их собственного магнитного поля, которое может приводить к развороту пучка и его разрушению. Рассмотрение подобных процессов в рамках ЭМГ [1] позволило обнаружить множество интересных фактов, остававшихся скрытыми при использовании классической теории скин-эффекта [2,3]. В диссертации эта задача рассмотрена с учетом инерции электронов, которая приводит к специфическому поведению фронта проникновения. На малых временах и масштабах задачи наблюдается отклонение от классической теории скин-эффекта и обычной диффузии магнитного поля.

В настоящее время одним из актуальных объектов - исследования являются плазменно-пылевые структуры, хорошо известные, например, в космической плазме - это планетные кольца, межзвездные облака и хвосты комет. Пыль неизбежно присутствует в плазме экспериментальных, а также промышленных установок. Например, присутствие пыли, ухудшает качество компьютерных микросхем, изготовленных методом плазменного травления. Важность и сложность решения этих проблем заставили экспериментаторов и теоретиков заняться целенаправленным изучением плазменных процессов, обусловленных влиянием пыли [4]. При наличии пылевого компонента в плазме поведение магнитного поля описывается уравнением нелинейной диффузий с коэффициентом диффузии, зависящим от его величины (магнетосопротивление), что вновь соответствует более сложной динамикё^^е^^^^ддйЙЩ^й ситуации.

БИБЛИОТЕКА С. Петербург А. / 09 МО ^шяарО!

Исследуя процесс перенрса излучения в линиях в корональной рлазме, можно обнаружить, что наличие далеких корреляций в полетах фотонов приводит к нелокальности транспорта [5], и более ■ быстрому, чем обычная диффузия, «расплыванию» начального возмущения. Оказывается, что. новый класс уравнений . стохастического переноса, который активно использует математический язык дробных производных, позволяет существенно продвинуться в аналитическом исследовании асимптотик, такого процесса. Существует обширная литература, в которой обсуждаются возможные причины возникновения нелокальности и интересных свойств этих уравнений (см., напр., обзоры [6,7]). Часто такой " причиной являются микроскопические особенности случайных флужданий, служащих моделью для описания макроскопического транспорта. Среди них конечная скорость движения отдельных частиц и сильные эффекты памяти, рассмотренные в диссертации. Обсуждаются также и физические механизмы, которые приводят к уравнениям с временной нелокальностью и более медленной, чем диффузионная, эволюцией. Примером служит «двойная диффузия» замагниченных заряженных частиц поперек сильного магнитного поля, имеющего малую случайную поперечную составляющую.

Динамика двумерных точечных вихрей является еще одной популярной областью исследования, которой посвящены множество работ и обзоров [8,9,10]. Причина этого в широкой распространенности данного объекта в различных физических явлениях. А также его необычные свойства, ответственные за специфическую динамику и волновое движение в такой среде, которые становятся еще богаче при учете нелинейных эффектов.

Как мы видим, в основном базой для сравнения служит классическая диффузия, которая действительно хорошо описывает многие процессы переноса, происходящие в плазме. Однако более тонкое изучение некоторых явлений показывает, что для их адекватного объяснения необходимо использование новых типов зависимостей, которые должны быть получены с должным уровнем строгости, исходя из физической сути задачи. Можно сказать, что развитие и претворение в жизнь такого подхода и является связующей нитью содержания диссертации.

Цель работы. Целью диссертационной работы является:

1. Решение в рамках ЭМГ задачи о вносе в плазму магнитного поля пучком заряженных частиц с учетом инерции электронов плазмы.

2. Классификация скиновых явлений в пылевой плазме, где пыль считается точечной и имеющей постоянный заряд.

3. Обобщение модели ускоренной супердиффузии на случай конечной скорости движения отдельных частиц.

е 4. Описание эффектов «памяти» в стохастическом транспорте.

5. Рассмотрение нелинейной динамики решетки электронных вихрей.

• Научная новизна»

1. Учтено влияние инерции электронов плазмы на динамику проникновения начального скачка магнитного поля при инжекции пучка заряженных частиц в плазму.

2. Для изучения динамики магнитного поля в пылевой плазме было использовано приближение многокомпонентной МГД. Было показано, что в случае однородного распределения концентрации пыли поведение такой системы, описывается нелинейными уравнениями диффузионного типа.

3. Модель случайных блужданий была обобщена с учетом конечной скорости движения отдельных частиц. В результате, для баллистического режима получены уравнения с новым типом нелокального оператора - дробным аналогом субстанциональной производной.

4. Было продемонстрировано, что субдиффузионные уравнения обладают сильными эффектами памяти, которые выражаются в зависимости вида уравнения переноса от макроскопического времени и микроскопических деталей. Специальный выбор начального условия может привести к проявлению таких эффектов даже при диффузионных параметрах задачи.

5. Описана нелинейная динамика двумерной треугольной решетки электронных вихрей. Рассмотрены нелинейные волны в такой среде. Исследовано возникновение и классы особенностей в рамках основного динамического уравнения, продемонстрирована его связь с дифференциальной геометрией поверхностей.

Научная и практическая ценность. Результаты работы могут быть

использованы для описания эффектов инжекции пучка заряженных

частиц в проводящую среду, динамики магнитного поля в много-

компонентной плазме, а также в физике полупроводников. Изученные особенности математической модели случайного блуждания имеют общий характер и широкий круг применимости не только в физике (например, перенос излучения в плазме), но и биологии, экономике. Проведенный анализ решетки вихрей свидетельствует о качественных отличиях в нелинейно-дисперсионной иерархии «вихревой» плазмы ' по сравнению со стандартными «волновыми» средами и может быть важен во многих задачах, где имеют место регулярные вихревые структуры.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на российских ц международных конференциях: 30-ая Европейская конференция по УТС' и физике плазмы (Санкт-Петербург, Россия, 2003), 11-ая Международная конференция по физике неид^альной плазмы (Валенсия, Испания, 2003), Международная конференция «Микроскопический харе и транспорт в системах многих частиц» (Дрезден, Германия, 2002), Европейская ме^сдисциплинарцая школа по нелинейной динамике «Евроаттрактор 2002» (Варшава, Польша, 2002), Российская научная школа «Нелинейные волн>1 2002» (Нижний Новгород, Россия 2002), XVIII,XXVII, ХХЕХ Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС (Звенигород, Россия 20002002>. ■

Публикации по теме работы. По теме диссертации опубликовано 6 статей в научных журналах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех глав и Заключения. Объем диссертации составляет 84 страницы, включая 72 страницы основного текста, 9 рисунков и список литературы, который состоит из 60 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введения обоснована актуальность темы исследования, и кратко, по главам, изложено содержание диссертационной работы.

Первая глава посвящена вопросам динамики магнитного поля в плазме.

В первой ее части рассмотрена задача о быстром вносе магнитного поля пучком заряженных частиц.

Геометрия задачи выглядит следующим образом: Ось Ох ||/ь, где }ъ сторонний ток, моделирующий ток пучка. Плазма занимает область пространства 0<г. Вдоль оси Оу система однородна: д!ду = 0. В начальный момент времени t=0 обратный ток в плазме точно компенсирует сторонний ток (т.е. ток пучка) и поле Л == 0. Вне плазмы В - В0, где В0 собственное поле пучка. В широком диапазоне параметров - малые времена и малые масштабы задачи: Яр,» » «V,еот; с!а>р1 ,рН1»а»с!соре,рНе

мы можем пренебречь массовой скоростью вещества и рассмотреть квазинейтральное течение электронной жидкости на фоне неподвижных ионов. То есть мы попадаем в область, где справедлива электронная магнитная гидродинамика.

В нашем случае, с учетом инерционного члена в уравнении движения для электронов, а также при постоянной концентрации и проводимости плазмы получаем одномерное уравнение, описывающее данную физическую модель:

Ы

С Д2 ЕЛ

В-а

д2в

к

В-а

о>

В(2,0) = Вов(-*) (2)

В = Ву,о=л/пе, а2 ¿> =

4 пег

С учетом начального условия (2) можно представить, точное решение уравнения (1) в виде интеграла Фурье.

Специфический вид начального условия и самого уравнения позволяет проследить за распространением начального скачка поля (2), воспользовавшись методом Лэкса разложения решения по гладкости. Для этого представим точное решение уравнения в виде суммы разрывной и гладкой функции: В=ВМпв+Всо„. Получим следующее выражение для Вя>в:

Откуда следует, что начальный разрыв (2) распространяется с токовой скоростью т), экспоненциально при этом затухая. Диффузия не сглаживает профиль, но уменьшает амплитуду разрыва.

Таким образом, мы имеем дело с генерацией масштаба с/соре, но не в виде солитона, а в виде затухающего во времени разрыва. Эффективная длина пробега этого скачка равна

/ „ ]ь _ Л . " ^ пе пеV«

Некоторым обобщением на случай многокомпонентной плазмы можно назвать задачу о скиновых явлейиях в пылевой плазме, которым посвящена вторая часть главы, потому как многие ее результаты имеют свои аналогии в работах по скин-эффекту в ЭМГ.

Наличие третьего компонента в плазме вносит существенные дополнения и изменения в привычную картину двухкомпонентной МГД. В стационарном и линейном случае подобные задачи уже были рассмотрены в физике твердого тела, где аналогами компонент плазмы служили электроны и дырки, а аналогом пыли - кристаллическая решетка полупроводника. В данной работе получены уравнения описывающие динамику магнитного поля в пылевой плазме.

Основное отличие от стандартных уравнений двухкомпонентной МГД заложено в условии электронейтральности:

г{п1+гапа-пе = о, (з)

2ц и Па заряд и концентрация пыли. Теперь концентрации ионов и электронов не связаны жестко между собой, а могут перераспределяться в пространстве таким образом, чтобы их разность оставалась равной заданному распределению концентрации пыли.

Если есть градиент концентрации пыли, перпендикулярный магнитному полю и параллельный границе плазмы, мы попадаем в ситуацию, которая аналогична описанной в работе [3], где в рамках ЭМГ авторами было получено решение о проникновении (или запирании) магнитного поля в плазму за счет градиента ионной концентрации, направленного поперек магнитного поля. В нашем случае градиент ионной концентрации заменяется градиентом концентрации заряженной пыли. Магнитное поле проникает в плазму в виде ударной волны, движущейся с постоянной скоростью

4 т дг

Для того чтобы выяснить, к чему приводят столкновения компонент плазмы с пылью, рассмотрим простейшую одномерную

Щ , с д и-—-,к =

задачу, пренебрежем инерцией компонентов и положим для простоты

(7=00.

Так как масса ионов во много раз превышает массу электрона М »т, мы . будем учитывать только столкновения ионного компонента с пылью (из уравнения с учетом обеих частот столкновений получено более строгое условие). Магнитное поле направлено вдоль оси Оу, В=ВУ, и эволюционирует только вдоль направления Ох. Пыль распределена в пространстве равномерно. Тогда

Следует отметить, что магнитное поле вморожено в электронный компонент плазмы, но вследствие того, что под действием магнитного давления электронный и ионный компоненты вынуждены «протискиваться» сквозь неподвижную пыль, мы имеем Дело с уравнениями диффузионного типа, где коэффициенты диффузии зависят от величины магнитного доля и концентрации компонент плазмы. Следовательно, сопротивление плазмы тоже зависит от магнитного поля. Этот эффект в физике получил название магнетосопротивл ения.

Далее можно рассмотреть множество предельных случаев в зависимости от соотношений между концентрациями компонентов, их зарядами, частотой столкновения с пылью. Некоторые из них сводятся к автомодельным уравнениям нелинейной диффузии..

Таким образом, при наличии пылевого компонента в плазме и при пренебрежении столкновениями электронов и пыли, магнитное поле оказывается вмороженным в электроны, которые движутся под действием магнитного давления. В силу нейтральности плазмы электроны связаны с ионами, хотя и имеют большую свободу чем в случае обычной двухкомпонентной МГД. В результате трения ионов о неподвижную пыль происходит выделение тепла. Поведение магнитного поля и компонент плазмы в этом случае описывается нелинейными уравнениями диффузии.

дБ 1 д

Ы %л2]пгаМуы дх

Во второй главе рассматриваются уравнение и свойства стохастического транспорта и их применение для описания переноса излучения в корональной плазме и переноса тепла в сильном магнитном поле, имеющем малую случайную поперечную компоненту.

В первой части на примере задачи о транспорте излучения изучается процесс расплывания в однородной и изотропной среде макроскопического облака микроскопических пассивных (т.е. не влияющих на среду) частиц, характеризуемых некоторым «внутренним» законом случайного блуждания.

Стандартная модель блужданий заключается в следующем. Рассматриваемся одномерное движение частиц по прямой х, характеризуемое вероятностными законами g(\x\) и f(t): частицы, находящиеся в любой точке могут совершать мгновенный перескок в соседние точки, длина этих скачков определяется функцией g(x). Это перемещение происходит после некоторого процесса ожидания, время которого определяется f(t). Для дальнейшего важны только степенные хвосты этих функций: g(x) ос x~(1+2,S), f(t) ос .

Конкретным вопросом, решению которого посвйщена работа, является определение влияния на расплывание «облака» частиц конечности их фиксированной скорости движения и, т.е. учет отклонения от стандартной модели.

В общем случае асимптотическое уравнение переноса выглядит как

г? п

У± = -К(гАУп (4)

где постоянная К, равно как и показатели у<1 и р<1 связаны со степенями «хвостов» / и g. Характерная ширина облака n(x,t) эволюционирует по закону:

xccta,cc = (yl2p). (5)

Очевидное влияние конечности скорости полетов заключается в том, что функция Грина эффективного уравнения тождественно обращается в 0 при \x\>vt. В случае а<1 граница №0 движется быстрее характерного автомодельного параметра (5), так что асимптотически формируется, старая функция Грина с искажением лишь на далеких хвостах. Совсем по-другому обстоят дела с ускоренной супер диффузией (а>1). Здесь, наоборот, быстрее

эволюционирует автомодельная ширина облака, поэтому асимптотическое условие катастрофически меняет вид О и

перестраивает саму структуру уравнения (4). Яркий физический пример такой возможности как раз и демонстрирует лучистый перенос в корональной плазме.

Конечная скорость движения приводит к естественному разделению частиц на два типа: сидящие и летящие. В случае <|х|>=оо число летящих частиц асимптотически возрастает, т.е. в процессе такого переноса происходит необратимая «конверсия» сидящих частиц в летящие.

Помимо известной перенормировки коэффициента К в (4) при конечных значениях о происходит также замена дробной степени лапласиана на дробный аналог субстанциональной производной (11и-дШ±д1дх)гр (при этом нагляднее проявляется обязательное условие <3=0 для |х|>уГ). Каким же образом такая трансформация операторов сказывается на структуре функции Грина уравнения переноса? Поскольку нас интересует именно перестройка ее автомодельности • (т.е. максимально сильное воздействие), будем изучать автомодельную связь характерного масштаба х с ^ При не

слишком больших I мы получим (4) с зависимостью х ос (для определенности положим у>1). Однако, по прошествии времени t ~ о 2р/(1-гр) ситуация кардинально меняется, и устанавливается новая автомодельность х~л>и Функция Грина в этом случае действительно удовлетворяет объявленным условиям тождественного обнуления на' больших расстояниях и асимптотического убывания полного числа сидящих частиц.

Для представления о характере нового вида функций Грина приведем для нее пример одного из выражений в обычных переменных (анализ задачи наиболее просто проводить после Фурье и Лаплас преобразований, в этих же терминах получены основные ответы). Это вариант с /£=1/4, что соответствует очень часто встречающемуся на практике лоренцовскому контуру линий в физической задаче о транспорте излучения:

0те,г •

Итак, в диссертации были получены новые макроскопические уравнения, описывающие кинетику процесса переноса с учетом

конечности скорости движения части и исследованы их основные свойства: «переключение» автомодельности функций Грина, . «вымирание» сидящих частиц и нетривиальность влияния размерности задачи. Все они могут иметь самое непосредственное ' отношение к практике, в частности, к транспорту излучения в плазме.

Во второй части второй главы рассмотрены эффекты • «памяти» в стохастическом переносе - зависимость вида описывающих его уравнений, содержащих дробные временные производные (4), от макроскопического времени. *

Очевидно, что у любых физических процессов, удовлетворяющих принципу причинности, следует ожидать преемственности эволюции: если решение описывающих процесс "" 41 уравнений функционально связано с начальным состоянием через функцию Грина G,: п(х, t)~Gt* n(t = 0), то

<Л+h*n(t = 0) = Gi2*n(t = tl)~Gti* (Gk * n(t = 0)). (6)

Иными словами, рассматривая достигнутое в какой-либо момент tj состояние как новое начальное условие, мы не нарушаем плавности эволюции. Тем не менее, уравнения, обсуждаемые во всех известных нам работах, посвященных нелокальному недиффузионному транспорту с дробной временной производной, таким свойством в строгом смысле не обладают.

Попытка разобраться в явлении приводит к парадоксальному выводу о том, что даже в тех случаях, когда эффективное уравнение для макроскопической эволюции сводится к классическому уравнению диффузии с обычной первой производной по времени «

(очевидно удовлетворяющему (6)), дефект часто всего лишь скрыто заметен под ковер. На самом деле время выхода на макроскопический режим эволюции существенно зависит от начального условия и может . ^ быть много больше микроскопического времени характеризующего блуждание отдельных частиц. Тем более это характерно для субдиффузионных временных операторов.

Показано, что начальное распределение позволяет в значительной мере изменять первоначальную стадию эволюции системы, которая может быть весьма продолжительной, что мы и продемонстрировали на модельном примере, когда даже в случае диффузионных параметров эффективные уравнения отличны от классической диффузии. Частицы начального условия линейно убывают со временем и при этом формируют профиль, который

описывается уравнением диффузии с постоянным источником. В случае субдиффузионных параметров задачи учет микроскопического распределения позволяет выправить дефект - нарушение преемственности Эволюции в асимптотическом уравнении, и описать переходный процесс формирования профиля частицами начального условия с помощью уравнений субдиффузии, но с источником, зависящим от времени. ») Наконец, третья часть посвящена изучению транспорта

частиц в сильном магнитном поле, имеющем малую случайную составляющую. Рассмотренная задача является примером того, как из-за физических особенностей процесса естественным образом возникают уравнения с дробной производной по времени, его описывающие.

Поведение плотности ' магнитных линий подчиняется диффузионному (в общем случае супердиффузионному уравнению). Это означает следующее. Выбрав некоторый начальный контур, охватывающий пучок магнитных линий, и сместившись вдоль поля на некоторое z, мы видим, что усредненная по малой площади плотность линий изменилась. Это изменение как раз и подчиняется диффузионному закону, где роль времени играет модуль смещения |z|. Рассматривается транспорт замагниченных заряженных частиц. При этом поле считается настолько сильным, что частицы не покидают «своих» магнитных линий. Транспорт же вдоль линий описывается диффузионным уравнением. Такая модель носит название двойной ^ диффузии (double diffusion).

В этом приближении найдено выражение, описывающие v поведение концентрации частиц со временем в пространстве.

Оказалось, что в случае вытянутого вдоль магнитного поля начального распределения частиц эффективное уравнение, описывающее их транспорт в поперечном направлении, есть субдиффузионное уравнение. Проанализированы его основные и асимптотические свойства, границы применимости модели, а также вопросы,, связанные с рассмотренными в предыдущем разделе эффектами памяти.

Третья глава диссертации связана с изучением нелинейной . динамики регулярной решетки электронных вихрей в плазме.

В первой части главы вводятся основные понятия и уравнения, связанные с динамикой вихрей и формируемых ими регулярных решеток. Это интенсивность вихря до, различные типы

потоковых функций щ, которые создают вокруг себя циркуляционное несжимаемое течение сплошной среды: V = д0ег х V у/, динамические уравнения, гамильтониан системы, который демонстрирует совпадение фазового пространства с координатным. Далее рассматриваются только треугольные решетки вихрей, так как только^ они являются устойчивыми. В качестве потоковых функций рассматриваются потенциалы имеющие характерный внутренний масштаб (например, функция Мавдональда К(г/Ь), где Ь=с/сОр,г}.

Вторая часть главы посвящена нелинейной динамике решетки вихрей. И начинается с изучения стационарных бегущих слабонелинейных «звуковых» волн. Для них наблюдается нетривиальный эффект зависимости воздействия нелинейности от формы фронта. Для искривленного фронта существенным оказывается воздействие нелинейного «кручения». Сама волна оказывается чувствительной к знаку интенсивности вихря и к тому является ли волна сходящейся или расходящейся. Еще более интересной является сильнонелинейная эволюция. Уравнение для одного из потенциалов деформации имеет вид:

Ы

д2фд2ф ( д2ф^2

дх2 ду2

дхду

Для него продемонстрирована связь с уравнением Монжа-Ампера и дифференциальной геометрией поверхностей. Как правило, наибольшую информацию о специфике эволюции в рамках нелинейных уравнений дает исследование возможных особенностей решения, возникающих за конечное время. В данном случае можно выявить ровно три различных типа таких особенностей. Причем в одном из случаев особенность возникает не в точке, а на линии. Для него были найдены уравнения, сводящиеся к нелинейной диффузии и допускающие автомодельные решения, которые соответствуют либо монотонному расплыванию профиля, либо взрывному схлопыванию.

Таким образом, проведенный анализ свидетельствует о качественных отличиях в нелинейно-дисперсионной иерархии «вихревой» плазмы по сравнению со стандартными «волновыми» средами (описываемыми уравнениями типа Кортевега-де Вриза). Столь своеобразное поведение и чувствительность к внутренней киральности имеют, как представляется, и вполне самостоятельный интерес.

В Заключении кратко перечислены основные результаты работы ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В рамках 5МГ была рассмотрена задача о быстром проникновении магнитного поля сидьноточного пучка заряженных частиц при его инжекции в плазму. Э условиях, когда инерция электронов доминирует над возможной нелинейностью, получено решение, описывающее эволюцию начального скачка магнитного поля в виде бегущего о токовой скоростью разрыва, который экспоненциально затухает во времени.

2. В приближении многокомпонентной МГД также была решена задача о динамике магнитного поля в пылевой плазме. Движение ионного и электронного компонентов рассматривалось на фоне неподвижной заряженной пыли. Были получены основные уравнения, описывающие динамику такой системы, рассмотрены их предельные случаи, получены соответствующие решения. Указаны пределы их применимости. Полученные результаты могут быть испоЛьзованы для описания процессов в физике твердого тела, где аналогами компонент плазмы могут служить электроны и дырки полупроводника, а аналогом пыли - кристаллическая решетка и атом^ примеси.

3. Благодаря строгому йыводу уравнений стохастического переноса из модели случайных блужданий удалось учесть эффекты конечной скорости движения частиц. Для ускоренной супердиффузии в эффективном трансцортном уравнении получен дробный аналог субстанциональной ■ производной. Асимптотический анализ позволил обнаружить •'такие' новые свойства переноса как переключение автомодельное™, вымирание сидящих частиц, нетривиальная зависимость от размерности задачи. Их физическая важность явно проявляется при применении модели для описания

• конкретной задачи, в данном случае это перенос излучения в линиях в корональной плазме.

4. Детальный анализ микроскопических уравнений транспорта в свою очередь позволил обнаружить в них эффекты памяти, заключающиеся в сильной зависимости уравнений от начального распределения и самого вида уравнения от макроскопического времени задачи. Точные уравнения неизбежно должны учитывать

микроскопические детали, и вследствие этого достаточно сложны. Однако на начальном этапе эволюции можно предложить макроскопическую альтернативу, учитывающую следующий момент функции распределения и существенно повышающую точность уравнений.

3. Задача о транспорте заряженных частиц в стохастическом поде является примером субдиффузионного характера поведения и демонстрирует естественность возникновения и использования языка дробных производных для описания физических явлений, в особенности стохастического переноса.

6. Регулярные вихревые структуры являются чрезвычайно интересными объектами. Даже их линейная динамика существенно отличается от привычной кристаллической. Рассмотренные же нелинейные эффекты распространения волн в такой среде и исследование образования особенностей за конечное время еще ярче демонстрируют отличие вихревых решеток от стандартных волновых сред.

Список работ по теме диссертации:

1. В.Ю.Забурдаев, «К теории недиффузинного проникновения магнитного поля в проводящую среду», Физика плазмы, том 26, №5, с.494-496, 2000.

2. В.Ю.Забурдаев, «Скдаювые явления в пылевой плазме», Физика плазмы, том 27, №5, с.432-436, 2001. 0

3. В.Ю.Забурдаев, К.В.Чукбар, «Ускоренная супердиффузия и конечная Скорость полетов Леви», ЖЭТФ, том 121, вып.2, с.299-307,2002. ^

4. В.Ю.Забурдаев, К.В.Чукбар, «Эффекты «памяти» в стохастическом транспорте», Письма в ЖЭТФ, т. 77, № 10, с. 654-658, 2003.

5. K.V.Chukbar, V.Yu.Zaburdaev, "Comment on "Towards deterministic equations for Levy walks: The fractional material derivative", Physical Review E, 68, 033101,2003.

6. В.Ю.Забурдаев, В.В.Смирнов, К.В.Чукбар, «Нелинейная динамика решетки электронных вихрей», Физика плазмы, том 30, №2, 2004.

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] А.С.Кингсеп, К.В.Чукбар, В.В.Яньков, Электронная магнитная гидродинамика. - В сб. Вопросы теории плазмы, вып. 16, под редакцией Б.Б.Кадомцева., М.:1987, с.209-250.

[2] А.С.Кингсеп, Л.И.Рудаков, К.В.Чукбар, «О недиффузионном механизме проникновения магнитного поля в плазму»,

1 Доклады АН СССР, т.262, с.1131,1982

[3] А.С.Кингсеп, Ю.В.Мохов, К.В.Чукбар, «О нелинейных скиновых явлениях в плазме» Физика плазмы, вып.4, т10, с,854,1984

[4] В.Н. Цытович, «Плазменно-пылевые кристаллы, капли и облаку», Успехи физических наук, т.167(1), с.57,1997

[5] Л.М.Биберман, В.С.Воробьев, И.Т.Якубов, «Кинетика неравновесной низкотемпе-ратурной плазмы», Наука, М.: 1982, с.1.

[6] E.W.Montroll and M.F.Schlesinger, in Studies in Statistical Mechanics, ed. by J.Leibowitz and E.W.Montroll, Noth-Holland,

, . Amsterdam (1984), Vol.2, p.l.

[7] J.Klafter, R.Metzler, "The Random Walk's Guide to Anomalous Diffusion: a Fractional Dynamics Approach", Phys.Rep., 339, pp.1-77., 2000

[8] Ф.Дж.Сэффмэн, «Динамика вихрей», Научный мир, М.: 2000, с.1.

[9] В.В.Козлов, «Общая теория вихрей», Изд. дом «Удмуртский университет», 1996, с.1.

[10] G.Blatter, M.V.Feigel'man, V.B.Geshkenbein et al., "Vortices in high-temperature superconductors" Rev.Mod.Phys., 66, p.l 125, 1994.

I «

>

I

I»

I

/I

1 Подписано в печать 27.10.2003

Формат 60x90/16. Печать офсетная ' Усл. печ. л. 1,06.Тираж 50 экз. Заказ 55

" Отпечатано в РНЦ "Курчатовский институт"

123182, Москва, пл. Академика Курчатова

PI 62 74

- А

Введение

Глава 1. Скиновые явления в плазме

1.1 К теории проникновения магнитного поля в проводящую среду

1.2 Скиновые явления в пылевой плазме.

Глава 2. Стохастический транспорт в плазме

2.1 Ускоренная супердиффузия и конечная скорость полетов Леви.

2.2 Эффекты памяти в стохастическом транспорте.

2.3 К теории теплопереноса в замагниченной высокотемпературной плазме

Глава 3. Нелинейная динамика решетки электронных вихрей

3.1 Исходные уравнения и общие свойства.

3.2 Нелинейная динамика решетки электронных вихрей.

Процессы переноса в плазме представляют собой отдельную большую область исследований. Механизмы и законы, лежащие в их основе чрезвычайно разнообразны, да и сами переносимые субстанции различны по своей природе. Это могут быть обыкновенные нейтральные или имеющие заряд частицы, пассивные или активные примеси, излучение, тепло, магнитное поле, волны. Ввиду очевидной важности этих явлений в плазме, они подробно изучаются в течение многих лет, накоплен богатейший экспериментальный материал и сопровождающая его теория. Однако в результате постоянно растущей точности, усовершенствования методики и постановки экспериментов, уменьшения характерных времен и пространственных масштабов появляются результаты, которые не могут быть объяснены хорошо известной, привычной теорией и требуют нового рассмотрения и более детального анализа.

В данной диссертации рассмотрены примеры таких транспортных процессов, которые выходят за рамки классического переноса, и поэтому могут быть названы нестандартными, но при этом они отнюдь не являются экзотическими. Эти примеры различны природой исследуемых объектов, но едины средой в, которой они происходят - это прежде всего плазма. Ниже следует их краткий обзор.

Мы будем обсуждать теорию скин-эффекта и, следовательно, изучать транспорт магнитного поля при некоторых дополнительных условиях -в присутствии пучка заряженных частиц и в случае наличия пылевого компонента. Инжекция пучка в плазму приводит к быстрому вносу его собственного магнитного поля, а учет инерции электронов приводит к специфическому поведению фронта проникновения. Тем самым, на малых временах и масштабах задачи наблюдается отклонение от классической теории скин-эффекта или обычной диффузии магнитного поля. При наличии пылевого компонента в плазме поведение магнитного поля описывается уравнением нелинейной диффузии с коэффициентом диффузии, зависящим от его величины (магнетосопротивление), что вновь соответствует более сложной динамике, чем в стандартной ситуации.

Исследуя процесс переноса излучения в линиях в корональной плазме, можно обнаружить, что наличие далеких корреляций в полетах фотонов приводит к нелокальности транспорта и более быстрому, чем обычная диффузия, расплыванию начального возмущения. Оказывается, что новый класс уравнений стохастического переноса, который активно использует математический язык дробных производных, позволяет существенно продвинуться в аналитическом исследовании асимптотик такого процесса и обладает нетривиальными и интересными свойствами. Эти уравнения существенно обобщают и дополняют диффузионные, а их решения расширяют класс так называемых устойчивых законов. Существуют механизмы, которые приводят к уравнениям подобного же типа, но с временной нелокальностью и более медленной чем диффузионная эволюцией. Примером служит рассмотренная в диссертации "двойная диффузия" замагниченных заряженных частиц поперек сильного магнитного поля, имеющего малую случайную поперечную составляющую.

Двумерные решетки электронных вихрей являются примером регулярных структур в плазме и обладают целым рядом важных свойств, отличающих их от обычных двумерных кристаллов и обычных волновых сред. Они являются причиной специфической динамики и волнового движения в такой среде. Эти особенности становятся еще более выразительными при учете нелинейных эффектов.

Как мы видим, в основном базой для сравнения служит классическая диффузия, которая действительно хорошо описывает многие процессы, протекающие в плазме. Однако более тонкое изучение некоторых явлений показывает, что для их адекватного объяснения необходимо использование новых типов зависимостей, которые должны быть получены с должным уровнем строгости, исходя из физической сути задачи. Можно сказать, что развитие и претворение в жизнь такого подхода и является связующей нитью содержания диссертации, к краткому изложению которого мы переходим.

Первая глава посвящена вопросам динамики магнитного поля в плазме. В первой ее части рассмотрен процесс быстрого вноса магнитного поля пучком заряженных частиц.

Задача о транспортировке сильноточных пучков заряженных частиц имеет не только целый ряд физических особенностей, но и важное прикладное значение. Так, некоторое время назад активно обсуждалась идея их использования в программе УТС для подвода необходимой мощности к термоядерной мишени [1]. При этом их ток намного превышает альфве-новский, а это означает, что необходима токовая и зарядовая нейтрализация пучка, что может быть достигнуто, например, при транспортировке по плазменному каналу. Но даже слабая разбалансировка этой системы может привести к развороту пучка в собственном поле и его разрушению. Не менее важным является вопрос о динамике магнитного поля пучка при его инжекции в проводящую среду.

Малые характерные пространственные и временные масштабы этой задачи позволяют воспользоваться приближением электронной магнитной гидродинамики (ЭМГ)[2]. Рассмотрение подобных процессов в рамках ЭМГ позволило обнаружить множество интересных фактов, остававшихся скрытыми при использовании классической теории скин-эффекта, и вылилось в серию задач под общим названием: "Теория недиффузионо-го (нелинейного) проникновения магнитного поля в плазму". Как один из важных результатов, следует отметить работу [3], где авторами был предсказан механизм проникновения поля в плазму в виде нелинейной волны постоянной амплитуды, движущейся с постоянной скоростью.

Нашей целью является изучение особенностей поведения магнитного поля сильноточного пучка заряженных частиц при его инжекции в плазму с учетом инерции электронов.

Было получено одномерное уравнение, описывающее динамику поля, проведен его асимптотический анализ с помощью метода Лэкса разложения решения по гладкости, который показал, что начальный разрыв магнитного поля распространяется в глубь плазмы с токовой скоростью, экспоненциально при этом затухая.

Некоторым обобщением на случай многокомпонентной плазмы можно назвать задачу о скиновых явлениях в пылевой плазме, которым посвящена вторая часть главы, потому как многие ее результаты имеют свои аналогии в работах по скин-эффекту в ЭМГ.

Плазменно-пылевые структуры хорошо известны в космической плазме - это планетные кольца, межзвездные облака и хвосты комет. Пыль неизбежно присутствует в плазме экспериментальных, а также промышленных установок. Например, присутствие пыли ухудшает качество компьютерных микросхем, изготовленных методом плазменного травления. Важность и сложность решения этих проблем заставили экспериментаторов и теоретиков заняться целенаправленным изучением плазменных процессов, обусловленных влиянием пыли [4].

Целью этой части диссертации стало изучение динамики магнитного поля в пылевой плазме, выполненное в приближении многокомпонентной МГД. Движение электронного и ионного компонента рассматривалось на фоне неподвижной, произвольно заряженной пыли. В случае наличия градиента концентрации пыли, но при пренебрежении инерцией ионов и электронов, а также диссипацией, связанной со столкновением компонент с пылью, мы, как и в работе [3], имеем дело с нелинейной волной конвективного проникновения поля в плазму. В случае однородного распределения концентрации пыли поведение такой системы описывается уравнениями нелинейной диффузии. В зависимости от параметров задачи (частоты столкновения ионов и электронов с пылью, различное соотношение концентраций компонентов плазмы) рассмотрены предельные случаи этих уравнений и найдены некоторые их решения, включая автомодельные режимы. Полученные результаты применимы также и для описания процессов в физике твердого тела, где аналогом компонентов плазмы могут выступать электроны и дырки полупроводников, а аналогом пыли -кристаллическая решетка и атомы примеси [5].

Во второй главе рассматриваются уравнение и свойства стохастического транспорта и их применение для описания переноса излучения в корональной плазме и переноса тепла в сильном магнитном поле, имеющем малую случайную поперечную компоненту.

Стохастический транспорт - это также одно из чрезвычайно популярных в настоящее время направлений в физике процессов переноса. Возросший интерес к нему связан с развитием математического аппарата дробных производных [6], которые характеризуют и отражают нелокальность изучаемых явлений. Существует обширная литература, в которой обсуждаются возможные причины возникновения такой нелокальности, соответствующие уравнения и их свойства (см., напр., обзоры [7, 8, 9, 10]). Часто такой причиной являются микроскопические особенности случайных блужданий, которые служат моделью для описания макроскопического транспорта.

В первой части главы рассмотрена модель случайных блужданий с непрерывным временем и учетом конечности скорости движения отдельных частиц. Выведено уравнение в дробных производных (аналог субстанциональной производной дробного порядка), описывающее процесс "переключения" стохастического переноса с быстрого расплывания х ос ta, а > 1 на псевдоволновой режим а = 1 за счет конечности скорости движения отдельных частиц. Обсуждены качественные особенности нового режима, а также возможность применения данной модели для описания переноса излучения в линиях в корональной плазме, где блуждающими частицами являются фотоны и возбуждения ионов, в которые они преобразуются при поглощении, а дальность полета фотонов определяется формой контура линии.

Во второй части обсуждаются эффекты памяти в стохастическом переносе - зависимость вида описывающих его уравнений от макроскопического времени. Получены уравнения, явно учитывающие микроскопические особенности задачи, без которых невозможно адекватное описание процесса переноса, предложены способы их решения и проанализированы их асимптотические свойства. На модельном примере было продемонстрировано, что начальное условие может сильно изменить эволюцию даже в случае диффузионных параметров задачи - эффективным уравнением будет диффузия, но с постоянным источником. Аналогичная замена имеет место и для субдиффузионных режимов.

Субдиффузия обладает целым рядом интересных свойств. Ее возникновение связано с наличием временной нелокальности процесса переноса. Примером субдиффузионного поведения может служить модель случайных блужданий с ловушками [11], когда среднее время нахождения частицы в одной точке бесконечно. Однако примеров, когда субдиффузия оказывается строгим следствием обоснованной физической модели, не так уж и много. Таковым, по нашему мнению, также является процесс теп-лопереноса в стохастическом магнитном поле, рассмотренный в третьей части главы. Начало данной тематике было положено в известных работах [12, 13]. Используя общепринятое диффузионное приближение для описания плотности магнитных линий, а также предположив диффузионный закон движения замагниченных частиц вдоль них, мы получим так называемую "двойную диффузию" частиц со скейлингом х ос t1/4. В диссертации показано, что в случае "вытянутого" начального распределения частиц эффективное уравнение для их плотности будет иметь субдиффузионный характер. Были проанализированы границы и условия применимости данной модели, также рассмотрены различные формы начального распределения, обсуждены эффекты памяти.

Третья глава диссертации связана с изучением нелинейной динамики регулярной решетки электронных вихрей в плазме.

Динамика двумерных точечных вихрей является еще одной популярной областью исследования, которой посвящены множество работ и обзоров [14, 15, 16, 17]. Причина этого - широкая распространенность данного объекта в различных физических явлениях и его необычные свойства.

Первая часть главы посвящена выводу основных уравнений (следуя работе [18]), описывающих динамику решетки вихрей, кратко обсуждаются основные свойства ее поведения и важные отличия от обычных двумерных кристаллических решеток обычных частиц: отсутствие массы у отдельного вихря, динамические уравнения низшего порядка, совпадение фазового пространства с координатным, чувствительность к геометрии решетки и др.

Во второй части проанализированы слабо- и сильнонелинейные эффекты, определяющие эволюцию регулярных ансамблей электронных вихрей в замагниченной плазме: нетривиальный эффект зависимости воздействия нелинейности от формы фронта, связь уравнений с геометрией поверхностей, возникновение различных типов особенностей за конечное время, один из которых может быть описан с помощью нелинейного уравнения диффузии. Выявлены качественные отличия в поведении такой среды от стандартных нелинейных волновых сред.

В Заключении коротко перечислены основные результаты работы.

Итак, автор выносит на защиту:

• Решение в рамках ЭМГ задачи о вносе в плазму магнитного поля пучком заряженных частиц с учетом инерции электронов плазмы.

• Классификацию скиновых явлений в пылевой плазме, где пыль считается точечной и имеющей постоянный заряд.

• Обобщение модели ускоренной супердиффузии на случай конечной скорости движения отдельных частиц.

• Описание эффектов "памяти" в стохастическом транспорте.

• Анализ нелинейной динамики решетки электронных вихрей.

Основные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в работах [19, 25, 44, 47, 54, 55] и докладывались на следующих российских и международных конференциях:

• 30th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Санкт-Петербург, Россия (2003).

• 11-th International Workshop on the Physics of Nonideal Plasmas, Валенсия, Испания (2003).

• International Workshop "Microscopic Chaos and Transport in Many-Particle Systems", Дрезден, Германия (2002).

• European Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis EUROATTRACTOR2002, Варшава, Польша (2002).

• Российская научная школа "Нелинейные волны 2002", Нижний Новгород, Россия (2002).

• XXVIII, XXVII, XXIX Международная Звенигородская Конференция по физике плазмы и УТС, Звенигород, Россия (2000-2002).

В заключение хотелось бы выразить благодарность всему коллективу Отделения прикладной физики, где автор начал свою научную деятельность под руководством А.С.Кингсепа, и в особенности своему учителю и научному руководителю К.В. Чукбару, без постоянного внимания и поддержки которого написание данной работы было бы невозможным.

Рисунки

7 = 0 t о = а0 а = 0

О h ве h х

Рис.1.2. Динамика проникновения магнитного поля (без учета инерции электронов). в

Рис.1.3. Динамика проникновения магнитного поля (без учета инерции электронов). X

Рис.1.4. Геометрия задачи. п(х) п(х)

Рис.1.5. Эволюция концентрации ионного компонента в случае, когда профиль магнитного поля имеет вид "горба" и "ямы". t\ < t2 < £3 •

G(xj)

0.8

0.6

0.4

0 2 Г=

- Мб

-6-4-2 2 4 6 flfy(x,t)

Рис.II.1. Функция Грина и распределение летящих частиц для /3 = 1/4.

G(x,t) t=I t=3 1=6

3

L J J a

-6 -4 -2 2 4 6 nfly(x,t) n2(x, t)

1

0.8

0.6

0.4 t=30 0.2 t—0 -------

-4-2 2 4 п(х, t)

Рис.11.3. Плотность частиц щ и п в случае задержки начального распределения по времени жизни to = 50, щ(х) = ехр(—х2), у = 2, ^(х) = (1/2)ехр(-|х|).

Рис.II.4. Трубка магнитного потока в магнитном поле со случайной составляющей .

Заключение

Еще раз кратко перечислим основные результаты работы.

1. В рамках ЭМГ была рассмотрена задача о быстром проникновении магнитного поля сильноточного пучка заряженных частиц при его инжекции в плазму. В условиях, когда инерция электронов доминирует над возможной нелинейностью, получено решение, описывающее эволюцию начального скачка магнитного поля в виде бегущего с токовой скоростью разрыва, который экспоненциально затухает во времени.

2. В приближении многокомпонентной МГД также была решена задача об эволюции магнитного поля в пылевой плазме. Движение ионного и электронного компонентов рассматривалось на фоне неподвижной заряженной пыли. Были получены основные уравнения, описывающие динамику такой системы, рассмотрены их предельные случаи, получены решения, отвечающие этим случаям. Указаны пределы их применимости. Полученные результаты могут быть использованы для описания процессов в физике твердого тела, где аналогами компонентов плазмы могут служить электроны и дырки полупроводника, а аналогом пыли - кристаллическая решетка и атомы примеси.

3. Благодаря строгому выводу уравнений стохастического переноса из модели случайных блужданий удалось учесть эффекты конечной скорости движения частиц. Для ускоренной супердиффузии в эффективном транспортном уравнении получен дробный аналог субстанциональной производной. Асимптотический анализ позволил обнаружить новые свойства переноса как переключение автомодельности, вымирание сидящих частиц, нетривиальная зависимость от размерности задачи. Их физическая важность явно проявляется при применении модели для описания конкретной задачи, в данном случае это перенос излучения в линиях в корональной плазме.

4. Детальный анализ микроскопических уравнений транспорта в свою очередь позволил обнаружить в них эффекты памяти, заключающиеся в сильной зависимости уравнений от начального распределения и самого вида уравнения от макроскопического времени задачи. Точные уравнения неизбежно должны учитывать микроскопические детали, и вследствие этого достаточно сложны. Однако на начальном этапе эволюции можно предложить макроскопическую альтернативу, учитывающую следующий момент функции распределения и существенно повышающую точность уравнений.

5. Задача о транспорте заряженных частиц в стохастическом поле является примером субдиффузионного характера поведения и демонстрирует естественность возникновения и использования языка дробных производных для описания физических явлений, в особенности стохастического переноса.

6. Регулярные вихревые структуры являются чрезвычайно интересными объектами. Даже их линейная динамика существенно отличается от привычной кристаллической. Рассмотренные же нелинейные эффекты распространения волн в такой среде и исследование образования особенностей за конечное время еще ярче демонстрируют отличие вихревых решеток от стандартных волновых сред.

1. А.С.Кингсеп, Л.И.Рудаков, К.В.Чукбар, "О недиффузионном механизме проникновения магнитного поля в плазму", Доклады АН СССР 262, с.1131 (1982).

2. А.С.Кингсеп, К.В.Чукбар, В.В.Яньков, Электронная магнитная гидродинамика. В сб. Вопросы теории плазмы, вып. 16, под редакцией Б.Б.Кадомцева., с.209-250, М.:1987.

3. А.С.Кингсеп, Ю.В.Мохов, К.В.Чукбар, "О нелинейных скиновых явлениях в плазме", Физика плазмы 10, вып.4, с.854 (1984).

4. В.Н. Цытович, "Плазменно-пылевые кристаллы, капли и облака", Успехи физических наук, 167(1), с.57 (1997).

5. А.Г.Коллюх, Ю.М.Малозовский, В.К.Малютенко, "Пинч-эффект в электронно-дырочной плазме с несобственной проводимостью", ЖЭТФ 89, вып.3(9), с.1018 (1985).

6. С.Г.Самко, А.А.Килбас, О.И.Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и техника, Минск (1987), с. 1.

7. J.-P.Bouchand and A.Georges, "Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanics, modeles and physical applications", Phys. Rep. 195, p.127 (1990).

8. M.B.Isichenko, "Percolation, statistical topography, and transport in random media", Rev. Mod. Phys. 64, p.961 (1992).

9. J.Klafter, R.Metzler, "The random walks guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach", Phys.Rep. 339, pp.1-77 (2000).

10. К.В.Чукбар, "Стохастический транспорт и дробные производные", ЖЭТФ 108, с.1875 (1995).

11. B.B.Kadomtsev,O.P.Pogutse, "Electron thermal conductivity across "shaggy" magnetic field", Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, Proceedings of the 7th International Conference, Innsbruck, Vol.1, p.649 (1979).

12. A.B.Rechester, M.N.Rosenbluth, "Electron Heat Transport in a Tokamak with Destroyed Magnetic Surfaces", Phys. Rev. Lett. 40, p.38 (1978).

13. Ф.Дж.Сэффмэн, "Динамика вихрейНаучный мир, Москва 2000, с.1.

14. B.В.Козлов, "Общая теория вихрей", Изд. дом "Удмуртский университет", с.1 (1996).

15. G.Blatter, M.V.Feigel'man, V.B.Geshkenbein et al., "Vortices in high-temperature superconductors", Rev.Mod.Phys. 66, p.1125 (1994).

16. R.N.Kraichnan, D.Montgomery, "Two-dimensional turbulence", Rep.Prog.Phys. 43, p.547 (1980).

17. Смирнов В.В., Чукбар К.В., "Фононы" в двумерных вихрервых решетках", ЖЭТФ 120, с.145 (2001).

18. В.Ю.Забурдаев, "К теории недиффузионного проникновения магнитного поля в проводящую среду", Физика плазмы, 26(5), с.494-496 (2000).

19. A.V.Gordeev, A.S.Kingsep, L.I.Rudakov, "Electron

20. Magnetohydrodynamics", Physics Reports, 243, p.221 (1994).21 2223