Теоретическое изучение динамики нелинейных структур и нестандартного переноса в замагниченной плазме тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

Федеральное государственное учреждение Российский научный центр «Курчатовский институт»

г*

На правах рукописи УДК 533.9

ПОПОВ Павел Владимирович

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СТРУКТУР И НЕСТАНДАРТНОГО ПЕРЕНОСА В ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ

Специальность 01.04.08 — физика плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ои347Ь44сз

Москва —2009

003476443

Работа выполнена в Институте ядерного синтеза РНЦ «Курчатовский институт»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук К. В. Чукбар

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук С. А. Урюшш кандидат физико-математических наук А. В. Звонкоп

Ведущая организация:

Институт космических исследований РАН, г. Москва

Защита состоится «_»_ 2009 г. в_час._мин. На заседании

диссертационного совета Д 520.009.02 при РНЦ «Курчатовский институ».

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ «Курчатовский институт»

Автореферат разослан «_»_2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 520.009.02 кандидат физико-математических наук

А. В. Демура

Общая характерстика работы

Актуальность темы. Рассмотренные в данной диссертации задачи посвящены изучению нестандартных явлений переноса и динамики магнитного поля в комплексных средах: в многокомпонентной плазме, слоистых и гетерогенных средах, имеющих сложные по геометрии включения. Транспортные процессы, а также динамика нелинейных (в том числе, вихревых) структур в указанного рода средах не описывается а рамках привычной классической теории, а потому их теоретическое описание является важной на сегодняшний день задачей, в том числе для адекватного описания лабораторной и космической плазмы.

Наличие нескольких сортов заряженных частиц в плазме может нетривиальным образом изменить характер ее поведения. Присутствие третьего, пусть даже не заряженного, типа частиц означает появление сильной зависимости проводимости от магнитного поля [1] (эффект, известный в теории полупроводниковой плазмы под названием магнетосопротпивление). Наличие заряда приводит к необходимости дополнительного учета взаимного сноса компонентов, при этом взаимная динамика поля и вещества определяется законом вмороженности поля в один из компонентов. В результате процесс проникновения магнитного поля в глубь плазмы описывается системой нелинейных диффузионных уравнений, и это приводит к его существенному изменению и усложнению динамики по сравнению с классическими задачами о скин- или пинч-эффекте.

Рассмотрение процессов стохастического переноса в нестандартных условиях, как, например, перенос частиц в турбулентных потоках, перколяционных системах и других средах с фрактальной геометрией [2, 3, 4, 5], в стохастическом магнитном поле [6] или перенос излучения в линиях в корональной плазме, приводит к законам, отличным от классических диффузионных (скейлинг для среднего смещения частиц есть {х2) ос ¿а, где а ф 1), что вызвано наличием в рассматриваемых системах пространственных или временных нелокальностей в микроскопическом поведении частиц: например, медленно спадающих по координате или времени корреляций в их движении. Если частицы могут подолгу задерживаться в каких-либо «ловушках» (среднее время ожидания бесконечно), то это порождает временную нелокальность и замедляет макроскопическое движение (субдиффузия, а < 1). В качестве примера такого рода замедленного переноса можно привести задачу о диффузии частиц в конвективных вихревых ячейках, для описания которой была впервые предложена модель, соответсвующая простейшей из рассматриваемых в данной диссертации гре-бешковых структур. С точки зрения практического приложения именно для физики плазмы, отметим, что одной главных проблем в реализации УТС часто называют аномальные потери энергии ввиду переноса частиц и энергии поперек удерживающего магнитного поля, в связи с чем крайне важна разработка теории диффузии

в неравновесных условиях в плазме с развитой сильной турбулентностью с учетом эффектов памяти и нелокальной природы транспортных процессов, и, в частности, корректное описание участков с субдиффузионым режимом переноса типа «барьеров» (см. обзор [7]).

Что касается математического аппарата, одним из возможных способов описания такой эволюции оказываются линейные интегро-дифференциальные уравнения, представляющие из себя модификации классического уравнения диффузии, записанные терминах производных дробных порядков [8, 9]. Рассматриваемые нами гре-бешковые структуры различных конфигураций представляют собой пример систем, для которых соответствующие макроскопические уравнения могут быть получены строго, а также являются удобным «полигоном» для анализа закономерностей и особенностей (в частности, в постановке начальных и граничных условий) для субдиффузионного транспорта, при том что предлагаемый в нашей работе подход и набор структур позволяют моделировать широкий класс такого рода явлений с показателем 0 ^ а < 1, а также рассчитывать взаимодействие находящихся в контакте между собой участков с различными а.

И наконец, в динамике замагниченной плазмы важную роль играют нелинейные вихревые структуры с сильно локализованной завихренностью, которые также могут наблюдаться в самых разных физических системах и представляют значительный интерес с точки зрения физики плазмы, теории сверхпроводимости и гидродинамики. Особое внимание в вихревой динамике привлекает, в частности, возможность получения универсальных ответов независимо от природы и внутренней структуры вихрей, и одно из важнейших мест здесь занимает модель вихревых нитей. Динамика таких объектов хорошо изучена в обычной несжимаемой жидкости [10, 11], а также в ЭМГ плазме и сверхпроводниках Н-го рода [12], где существуют уравнения движения нити в терминах ее кривизны и кручения (справедливые в приближении локальной индукции), которые сводятся к нелинейным уравнениям типа НУШ. Использование универсального уравнения вмороженности ротора обобщенного импульса в течение среды позволяет распространить задачу о динамике вихревой нити на анизотропный случай, в результате чего изменяется тип уравнений, и появляются такие эффекты, как неустойчивость вихревой нити при сильном наклоне и при конечной толщине керна. Такой подход, по-видимому, имеет непосредственное отношение к физике ВТСП-керамик, которые как известно имеют слоистую структуру, и для их описания широко применяется модель двумерных точечных вихрей («pancake vortices»), движущихся в слоях образца (см. обзор [13]).

Цель работы.

1. Исследование модели динамики проникновения магнитного поля в пылевую плазму и выявление эффектов, связанных с нелинейной зависимостью прово-

димости от магнитного поля и с дополнительной свободой течения компонентов по сравнению с двухкомпонентной плазмой.

2. Построение общего подхода и модельных структур, транспорт в которых описывается уравнениями в дробных производных, в целях изучения влияния участков с недиффузионным «дробным» переносом на характер транспорта в целом и выявления особенностей в постановке начальных и граничных условий при решении таких уравнений.

3. Распространение решения классической задачи о динамике вихревой нити на случай анизотропной бесконечно проводящей среды.

Научная новизна. Диссертационная работа содержит ряд новых результатов.

1. Получено численное и аналитическое решение задачи о проникновении магнитного поля в трехкомпонентную (пылевую) плазму для различных знаков заряда пыли. Рассмотрены эффекты, возникающие из-за возможности взаимного сноса компонентов плазмы ввиду квазинейтральности и явления вмороженно-сти магнитного поля. Найдены решения соответствующей граничной задачи для системы нелинейных диффузионных уравнений и установлено наличие быстрой трансляции поля вглубь плазмы при отрицательном заряде пыли и полная ее остановка при положительном.

2. Предложен строгий подход для описания стохастического переноса в сложных гребешковых структурах, в рамках которого получены уравнения в дробных производных, корректно учитывающее начальные и граничные условия. Предложены новые структуры «гирлянды» позволяющие описывать более медленный, чем субдиффузионный, перенос. Получены решения этих уравнений для находящихся в контакте структур с сильно отличающимися дробными показателями.

3. Получено динамическое описание поведения вихревой нити в слоистой беско-нечнопроводящей среде. Установлена неустойчивость вихревой нити при углах наклона, превышающих критический. Рассмотрены эффекты, возникающие в связи с конечностью керна вихря, и получены дисперсионные соотношения для волн на вихревом столбе в линейном приближении. Обращается внимание на особенность знака энергии взаимодействия вихрей, которая может приводить к неустойчивости нити с конечным керном.

Практическая и научная ценность. Решение задачи о динамике магнитного поля в трехкомпонентной плазме указывает на эффекты, которые могут возникать

ввиду зависимости проводимости от магнитного поля (эффект магнетосопротивле-ния), вмороженности и возможности одновременного переноса нескольких компонентов без нарушения квазинейтральности. Полученные результаты важны для описания характерных особенностей транспорта магнитного поля в многокомпонентной замагниченной плазме, в том числе в лабораторной и космической пылевой плазме, или, например, в установках инерциального УТС при наличии тяжелых сортов ионов.

Проведенное рассмотрение гребешковых структур позволяет корректно учитывать начальные и граничные условия, а также влияние конечных вставок участков с нестандартным субдиффузионным переносом на общий характер транспорта (в том числе при численном моделировании), что важно для описания транспортных процессов в неравновесных условиях в плазме с развитой сильной турбулентностью, а также в других средах где необходим учет эффектов памяти и нелокальной природы соответствующих процессов.

Результаты, полученные для динамики вихревой нити, являются распространением классической задачи на случай анизотропной бесконечнопроводящей среды, причем общность использованного подхода, основанного на гамильтоновости вихревого течения и уравнения вмороженности ротора обобщенного импульса, позволяет надеяться, что результаты могут найти применение для широкого класса сред, таких как ВТСП-керамики, гетероструктуры или стратифицированный разряд в низкотемпературной плазме.

Автор выносит на защиту:

1. Численное и аналитическое решение задачи о проникновении магнитного поля в пылевую плазму для различных знаков заряда пыли.

2. Исследование субдиффузионного стохастического переноса в сложных гребешковых структурах и «гирляндах» в терминах уравнений в дробных производных.

3. Описание динамики вихревой нити, в том числе конечной толщины, в слоистой бесконечно проводящей среде.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях: III, IV и V Курчатовская молодежная научная школа (Москва, 2005, 2006, 2007), XLVII и XLVIII Научная конференция МФТИ (Долгопрудный, 2004, 2005), XXXV Международная Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2008), 373 WE Heraeus Seminar Anomalous Transport: Experimental Results and Theoretical Challenges (Bad-Honnef, Germany,

2006), на XV и XVI научной сессии Совета РАН по нелинейной динамике (Москва, 2006, 2007) и на семинарах ИЯС РНД «Курчатовский институт».

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 3 научные работы в журналах, входящих в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, трёх глав и заключения, изложенных на 62 страницах, включает 12 рисунков, а также список литературы из 54 наименований.

Содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность диссертационной работы, указывается структура и основные результаты диссертации.

В первой главе рассмотрена задача о проникновении магнитного поля в комплексную (например, пылевую) плазму. Следуя [1] и [14], рассматривается модель трехкомпонентной плазмы, основанная на двужидкостной МГД, в которой движение электронов и ионов происходит на неподвижном однородном фоне заряженных частиц, пренебрегается инерционными членами и газокинетическим давлением, а также учитывается взаимное трение только двух самых тяжелых компонентов. С учетом сделанных предположений, уравнения движения примут следующий вид:

0 = —еЕ — - [ve х В], (1)

с

Z е.

0 = Z„-eE + [v,- х В] - vutmivi. (2)

где 1/ц — частота столкновений ионов с пылевыми частицами.

^ + V . ПрУр = 0, /3 = г, е, (3)

Ziiii + Zdnd - ne = 0, (4)

где Zi и щ — заряд и плотность пыли, которые считаются неизменными в пространстве и во времени. А также

Атт

VxB = —(e-ZiiiiVi — enevc), (6)

с

Уравнения (1)-(6) в одномерном случае сводятся к виду

где В = —mic2l'iíl/('l^!^e2ZiZ¿n¿), и введены безразмерные магнитное поле Ь = B2Zie¡{l'i¿mic) и концентрация электронов п = —Полученная система описывает нелинейную диффузию с коэффициентом, зависящим от величины магнитного поля и плотности ионов и электронов, причем весьма существенным здесь является то, что в такой системе невозможно обойтись одним нелинейным уравнением для Ь, и возникает необходимость рассматривать совместную динамику поля и концентрации.

Рассматриваемый эффект носит название магнетосопротивление и соответсвует зависимости диагональных членов в тензоре сопротивления

Е = ^

Ь2 + п2

п

п + 1 -г+Ь

П I ,

т-Ь п+1 о

(9)

от магнитного поля. Этот эффект хорошо известен физике полупроводников (где, в частности, задачи подобные нашей, уже рассматривались в стационарном и линейном случае [15]); в физике плазмы этот термин не получил особого распространения, хотя сам эффект неоднократно переоткрывался, например в работах, посвященных пинч- [16] и скин-эффекту [17], в том числе при описании динамики плазмы с несколькими сортами ионов [18, 19].

Обращается внимание на эффекты, возникающие из-за возможности независимого переноса заряженных компонентов без нарушения квазинейтральности, и необходимости в связи с этим решения задачи с подвижной границей. Для выявление указанной особенности рассмотрена граничная задача о проникновении магнитного поля внутрь плазмы.

Если пыль заряжена отрицательно, 2& < 0, то ввиду ухода электронов из приграничной области, уравнения в ней поменяют свой вид, превращаясь в стандартное уравнение диффузии: — = ПРИ 0 < х < МО- Если же пыль заряжена поло-

жительно, то в процессе сгребания плазмы магнитным полем при 0 < х < /г должна образоваться область, в которой присутствуют только электроны и пыль. Уравнение для эволюции поля в ней тривиально: дЪ/дЬ = 0, а из условия непрерывности тангенциальной составляющей электрического поля получено, что граница должна оставаться неподвижной.

Для указанных случаев получены как численные, так и некоторые аналитические

решения соответствующей системы нелинейных диффузионных уравнений с учетом наличия подвижной границы А(4) (нелинейная «задача Стефана»). Характер этих решений оказывается существенно зависящим от параметров плазмы, а также рода начальных и граничных условий. Установлено наличие быстрой трансляции поля внутрь плазмы при отрицательном заряде пыли, а также полная остановка проникновения при положительном. Для < 0 приведены решения в различных режимах, в частности решение с классическим диффузионным скейлингом Л ос \Д, справедливое в асимптотическом пределе при условии сохранения полного магнитного потока, а также отличающимися от такового: например, к ос при Ь ~ п ~ 1 или

решение с почти постоянной скоростью к ос Ь0 9^1 при п 1, Ъ п.

Во второй главе предлагается единый строгий подход, с с помощью которого выводятся уравнения в дробных производных, описывающие субдиффузионный перенос в гребешковых структурах различной геометрической сложности.

41!

Рис. 1. Гребешковая структура.

Для диффузии вдоль простой гребешковой структуры, представленной на рис. 1, найдено строгое асимптотическое уравнение полного числа частиц на единицу длины структуры ЛГ, корректно учитывающее начальные условия как на хребте N0, так и в отростках п10 (что является уточнением уравнения, полученного в [20]):

с»

о

Этот результат представляет из себя уравнение субдиффузии, записанное в терминах производных дробного порядка (в данном случае 1/2). Обращается внимание на общую нетривиальность вклада начального распределения частиц на всю последующую эволюцию, а именно, что при пю ^ 0 не существует никакого макроскопиче-

ского уравнения переноса в терминах полного числа частиц N.

Рассматривается транспорт в разветвленных гребешковых структурах, и показывается, что он имеет субдиффузионный характер и происходит медленнее, чем в обычных гребешковых структурах, причем порядок дробной производной в описывающем его уравнении стремится к нулю по мере увеличения степени разветвленности к как а = 1/2к.

N. /ту»

Рассматривается также переход к бесконечной степени разветвления. Также при помощи предложеного подхода повторены известные результаты [21] для гребешковых структур с конечными и случайно распределенными длинами отростков, чтобы показать, что существуют структуры, которые покрывают весь диапазон субдиффузионного транспорта, описываемого в дробных производных с показателем 0 < а < 1.

Предлагаются и исследуются структуры — подобие елочных «гирлянд», в которых на хребет насажен диски или шары. Ответвления такого рода могут вбирать в себя частицы значительно более эффективно и эволюция концентрации N вдоль оси в них будет осуществляться медленнее (для них формально а = 0). Эти отростки нестандартной формы могут являются моделями реальных структур (например, фрактальных), которые обладают соответствующей емкостью и могут также эффективно впитывать в себя частицы и способны также хорошо впитывать в себя частицы. В частности, для дисков имеем интегродифференциальное уравнение, соответствующее в лаплас-представлении «логарифму» прозводной:

о

А для шаров получаем полную остановку эволюции ввиду слишком интесивного вбирания шарами частиц внутрь себя:

"<*.<>-ад <13>

Предложенные структуры используются для рассмотрения типичных задач, возникающих ввиду необходимости учета влияния конечной «вставки» субдиффузионного участка переноса на фоне обычной диффузии, а также возможного взаимодействия участков с сильно различающимися дробными показателями. При этом рассматривается вопрос об особенностях постановки граничных условий для уравнений в дробных прозводных: они должны быть заданы в нелокальном по времени виде.

В частности, решена задача о взаимодействии двух конечных структур: оказы-

вается, что более разветвленная структура асимптотически впитывает в себя все частицы по стеменному закону:

Г"» а-0 п

гда7 = —>0. (14)

Рассмотрено влияние конечной вставки, существенно замедляющей прохождение потока частиц <5 сквозь нее, по сравнению с потоком д, заданном на входе:

1 ( 1 ~~ гТТ—^ если 7 = а - /?/2 > 0,

г(1-7)у ' " (15)

I р

ц—---если 7 < 0,

Г(1 -7)

Также рассматривается вопрос о влиянии конечных «вставок» на поток в случае его идеального «усвоения» на правой границе: приближение к д происходит весьма медленно по степенному закону (/ <5 сЙ расходится), и дефицит при этом связан с непрекращающейся пропиткой структуры в целом.

В третьей главе описывается гамильтонова динамика непрерывной вихревой нити в бесконечно проводящей слоистой среде (проводимость по оси г равна 0) в рамках классической вихревой динамики, на основе уравнения вмороженности. При этом ее самосогласованное движение как единого целого оказывается возможным за счет взаимодействия между слоями посредством электромагнитного поля. Получено, что скорость течения среды V определяется сверткой

/(г, г) = е2 х |- г'|, |г - г'|)Я(г', г')

(16)

где азимутальная компонента скорости течения есть

2) = (2Аф) -ехр (-т)+ ехр (-^х11)) • <17)

где (} — завихренность, вмороженная в течение среды, а А — лондоновская глубина проникновения магнитного поля.

Получено уравнение движения нити в случае произвольного угла наклона.

а

¿¿ + По^(г5(|г|)) =0, т = т,-Нт„ (18)

где {тх,ту} — проекция касательного к вихревой нити вектора, а

3(И) = ^(1-(1 + |г|Т,/2). и

Проводится сравнение полученных выражений с известными результатами в гидродинамике [11] и изотропной плазме [12]. Выявлено, что наличие существенной анизотропии приводит, с одной стороны, к линеаризации уравнения движения в случае, когда нить перпендикулярна слоям, а с другой — к появлению существенной нелинейности (и, по видимому, неинтегрируемости) в общем случае наклонной нити, а также к неустойчивости малых колебаний при превышении критического угла наклона 1/ сое 9 - (\/5 + 1 )/2.

Найдено выражение для энергии вихревого течения в такой среде и показано, что она имеет разные знаки, в зависимости от того, находятся ли взаимодействующие вихри в одной плоскости или в разных. В связи с чем рассматривается вопрос о возможной неустойчивости нити с конечным размером керна. Выводятся дисперсионные соотношения для волн на вихревом столбе в линейном приближении и производится сравнение с классическим результатом для волн на вихревой нити (волны Кельвина, см., напр., [22]). Найденые моды оказываются устойчивы в линейном приближении. На основе полученного спектра рассматривается возможность нелинейного взаимодействия между модами, и делается вывод о том, что неустойчивость оказывается возможной, если радиус керна нити больше или сравним с лондоновской глубиной проникновения магнитного поля.

В Заключении кратко перечислены основные результаты работы.

Основные результаты работы

1. Полученные в первой главе решения описывают динамику проникновения магнитного поля внутрь замагниченной трехкомпонентной плазмы при условии, что магнитное поле можно считать вмороженным в электроны, а диссипация происходит за счет трения тяжелых ионов о неподвижные частицы пыли. Помимо того, что проводимость плазмы зависит от величины поля, что делает уравнения сильно нелинейными, существенное различие в подвижности компонентов приводит к необходимости учета их взаимного движения под действием УВ2, вплоть до ухода одного из них из приграничной области. В результате, режим проникновения определяется параметрами плазмы (которые могут изменяться в результате эволюции системы) и зависит от характера начальных и рода граничных условий. При этом изменение знака заряда пыли кардинальным образом меняет картину явления, так что при > 0 оказывается возможной полная остановка проникновения.

2. Последовательное использование предложенного во второй главе метода позволило

• Получить асимптотические уравнения, описывающие макроскопическую

эволюцию частиц вдоль гребешковых структур различной конфигурации и степени разветвленности. Выли получены уравнения в дробных производных, учитывающие наличие начальных данных. В частности, для простейшей структуры выписано выражение, учитывающее микроскопические особенности начального распределения полной концентрации.

• Показать, что транспорт в разветвленных гребешковых структурах также имеет субдиффузионный характер и происходит медленнее, чем в обычных гребешковых структурах, причем показатель а при дробной производной в описывающем его уравнении стремится к нулю по мере увеличения степени разветвленности (а = 1/2*). Предельный переход к бесконечно разветвленным отросткам показал, что диффузия в них эквивалентна уходу частиц с хребта с постоянной скоростью — это приводит к полному прекращению переноса вдоль структуры.

• Предложить структуры («гирлянды»), описывающие более медленную эволюцию (для которых формально а = 0). Случай, когда на хребет насажены диски является переходным — распространение частиц по оси не прекращается, но происходит медленнее, чем по степенному закону. В «гирлянде» шаров транспорт вдоль структуры прекращается за характерные времена диффузии частиц между ее элементами, поскольку шары впитывают в себя частицы с экспоненциальной скоростью.

• Рассмотреть вопросы постановки и решения некоторых общих задач для субдиффузионных уравнений в дробных производных. Показано, что граничные и начальные условия для них приобретают нелокальный по времени вид. Для двух находящихся рядом участков с различными показателями а, более разветвленная структура (с меньшим а) впитывает в себя почти все частицы из менее разветвленной. Участок структуры, обладающий более разветвленными отростками, чем ее основная часть (то есть когда показатель субдиффузии на этом участке в два раза меньше) становится эффективным барьером на пути частиц, не пропуская через себя входящий поток.

3. В рамках использованного в третьей главе гидродинамического подхода, основанного на универсальном для гамильтоновых сред уравнении вмороженно-сти, удалось выявить важные детали динамики уединенной вихревой нити в слоистых бесконечнопроводящих средах. Наличие существенной анизотропии в рассмотренной задаче приводит, с одной стороны, к линеаризации уравнения движения в случае, когда нить перпендикулярна слоям, а с другой — к появлению существенной нелинейности (и, по-видимому, неинтегрируемости) в общем

случае наклонной нити, а также к неустойчивости малых колебаний при превышении критического угла наклона. Кроме того, оказывается, что энергия взаимодействия вихрей меняет свой знак в зависимости от того, находятся ли они в одной плоскости или в разных. Это необычное свойство, в частности, может приводить к неустойчивости нити с конечным размером керна, особенно если его радиус больше или сравним с лондоновской глубиной п]

Список работ, опубликованых по теме диссертации

1. Стохастический транспорт в сложных гребешковых структурах / В. Ю. Забур-даев, П. В. Попов, А. С. Романов, К. В. Чукбар // ЖЭТФ. - 2008. - Т. 133, №5. - С. 1140.

2. Попов П. В., Романов А. С., Чукбар К. В. Динамика вихревой нити в слоистой среде // Физика плазмы. - 2009. - Т. 35, №3. - С. 258.

3. Попов П. В. Динамика магнитного шля в пылевой плазме // Физика плазмы. — 2009. - Т. 35, №8 - С. 737.

Список цитируемой литературы

[1] Брагинский С. И. Явления переноса в плазме // Вопросы теории плазмы / Под ред. М. А. Леонтовича. - М.: Госатомиздат, 1963. - Т. 1. — С. 183.

[2] Montroll J. W., Schlesinger M. F. Random walks and their applications in the physical and biological sciences // Studies in Statistical Mechanics / Ed. by J. Leibowitz, E. W. Montroll. — North-Holland, Amsterdam, 1984. - Vol. 2. - P. 1.

[3] Bouchand J.-P., Georges A. Anamalous diffusion in disordered media: statistical mechanics, modeles and physical applications // Phys. Rep. — 1990.— Vol. 195. —

[4] Isichenko M. B. Percolation, statistical topography, and transport in random media 11 Rev. Mod. Phys. - 1992. - Vol. 64. - P. 961.

[5] Metzler R., Klafter J. The random walks guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys. Rep. - 2000. — Vol. 339. - P. 1.

[6] Zaburdayev V. Y. Theory of heat transport in a magnetized high-temperature plasma // Plasma Physics Reports. — 2004. — Vol. 31. - P. 1091.

магнитного поля.

P. 127.

[7] Bakunin О. G. Correlations and anomalous transport models // Reviews of Plasma Physics / Ed. by V. D. Shafranov.- Springer-Verlag, Berlin, 2008.- Vol. 24.— P. 53.

[8j Чукбар К. В. Стохастический транспорт и дробные производные // ЖЭТФ.— 1995.-Т. 108.-С. 1875.

[9] Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск, Наука и техника, 1987.

[10] Сэффмэп Ф. Д. Динамика вихрей. — М.: Научный мир, 2000.

[11] Hasimoto Н. A soliton on a vortex filament // J. Fluid Mech. — 1972,— Vol. 51. -P. 477.

[12] Uby L., Isichenko M. В., Yankov V. V. Vortex filament dynamics in plasmas and superconductors // Phys. Rev. E. - 1995. - Vol. 52. - P. 932.

[13] Vortices in high-temperature superconductors / G. Blatter, M. V. Feigel'man, V. Geshkenbein et al. // Rev. Mod. Phys. - 1994. - Vol. 66. - P. 1496.

[14] Забурдаев В. Ю. Скиновые явления в пылевой плазме // Физика плазмы. — 2001.-Т. 27, № 5. — С. 432.

[15] Комюх А. Г., Малозовский Ю. М,, Малютенко В. К. Пинч-эффект в электронно-дырочной плазме с несобственной проводимостью // ЖЭТФ.— 1986.-Т. 89.-С. 1018.

[16] Rudakov L. Magnetodynamics of multicomponent plasma // Physics of Plasmas. — 1995. - Vol. 2. - P. 2940.

[17] Smolyakov A. I., Khabibrakhmanov I. Nonlinear diffusion of the magnetic field in a weakly ionized plasma 11 Phys. Rev. Lett. — 1998. - Vol. 81, no. 22. - P. 4871.

[18] Гордеев А. В. Об особенности динамики быстрого лайнера с несколькими сортами ионов // Физика плазмы. — 1987. — Т. 13. — С. 1235.

[19] Гордеев А. В. Гидродинамическая модель проникновения магнитного поля в плазму с двумя сортами ионов // Физика плазмы. — 2001. — Т. 27. — С. 700.

[20] Архинчеев В. Е., Баскин Э. М. Аномальная диффузия и дрейф в гребешковой модели перколяционных кластеров // ЖЭТФ. — 1991. - Т. 100. — Q. 292.

[21] Лубашевкий И. А., Земляное А. А. Континуальное описаний аномальной диффузии по гребешковой структуре // ЖЭТФ. - 1998. - Т. 114. - С. 1284.

[22] Ламб Г. Гидродинамика. - М..ТИТТЛ, 1947. - С. 290.

Подписано в печать 21.07.2009. Формат 60x90/16 Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0 Тираж 70 экз. Заказ 71.

Отпечатано в РНЦ «Курчатовский институт» 123182, Москва, пл. Академика Курчатова, д. 1

Введение

1 Динамика магнитного поля в пылевой плазме

1.1 Уравнения движения.

1.2 Граничная задача.

Отрицательно заряженная пыль.

Положительно заряженная пыль.

2 Стохастический транспорт в сложных гребешковых структурах

2.1 Транспорт в гребешковых структурах.

2.2 Разветвлённая гребешковая структура.

2.3 «Гирлянды».

2.4 Типичные задачи о контакте.

3 Динамика вихревой нити в слоистой среде

3.1 Уравнение движения.

3.2 Вихревая нить.

3.3 Керн конечного размера.

Рассмотренные в данной диссертации задачи посвящены изучению нестандартных явлений переноса и динамики магнитного поля в комплексных средах: в многокомпонентной плазме, слоистых и гетерогенных средах, имеющих сложные по геометрии включения. Транспортные процессы, а также динамика нелинейных (в том числе, вихревых) структур в указанного рода средах не описывается в рамках привычной классической теории, а потому их теоретическое описание является важной на сегодняшний день задачей, в том числе для адекватного описания лабораторной и космической плазмы.

Наличие нескольких сортов заряженных частиц в плазме может нетривиальным образом изменить характер её поведения. Присутствие третьего, пусть даже не заряженного, типа частиц означает появление сильной зависимости проводимости от магнитного поля [1] (эффект, известный в теории полупроводниковой плазмы под названием магнетосопротивление). Наличие заряда приводит к необходимости дополнительного учёта взаимного сноса компонентов, при этом взаимная динамика поля и вещества определяется законом вмороженности поля в один из компонентов. В результате процесс проникновения магнитного поля в глубь плазмы описывается системой нелинейных диффузионных уравнений, и это приводит к его существенному изменению и усложнению динамики по сравнению с классическими задачами о скин- или пинч-эффекте.

Рассмотрение процессов стохастического переноса в нестандартных условиях, как, например, перенос частиц в турбулентных потоках, перколяцион-ных системах и других средах с фрактальной геометрией [2-5], в том числе в космической плазме [6], а также, например, в стохастическом магнитном поле [7-9] или при переносе излучения в линиях в корональной плазме [10,11], приводит к законам, отличным от классических диффузионных (скейлинг для среднего смещения частиц есть (а:2) ос £а, где а ф 1), что вызвано наличием в рассматриваемых системах пространственных или временных нелокально-стей в микроскопическом поведении частиц: например, медленно спадающих по координате или времени корреляций в их движении. Если частицы могут подолгу задерживаться в каких-либо «ловушках»' (среднее время ожидания бесконечно), то это порождает временную нелокальность и замедляет макроскопическое движение (субдиффузия, а < 1). В качестве примера такого рода замедленного переноса можно привести задачу о диффузии частиц в конвективных вихревых ячейках, для описания которой была впервые предложена модель, соответствующая простейшей из рассматриваемых в данной диссертации гребешковых структур. С точки зрения практического приложения именно для физики плазмы, отметим, что одной главных проблем в реализации УТС в установках типа токамак часто называют аномальные потери энергии ввиду переноса частиц и энергии поперёк удерживающего магнитного поля, в связи с чем крайне важна разработка теории диффузии в неравновесных условиях в плазме с развитой сильной турбулентностью с учётом эффектов памяти и нелокальной природы транспортных процессов, и, в частности, корректное описание участков с субдиффузионным режимом переноса (см. обзор [12]).

Что касается математического аппарата, одним из возможных способов описания такой эволюции оказываются линейные интегро-дифференциальные уравнения, представляющие из себя модификации классического уравнения диффузии, записанные терминах производных дробных порядков [13,14]. Рассматриваемые нами гребешковые структуры различных конфигураций представляют собой пример систем, для которых соответствующие макроскопические уравнения могут быть получены строго, а также являются удобным «полигоном» для анализа закономерностей и особенностей (в частности, в постановке начальных и граничных условий) для субдиффузионного транспорта, при том что предлагаемый в нашей работе подход и набор структур позволяют моделировать широкий класс такого рода явлений с показателем 0 ^ а < 1, а также рассчитывать взаимодействие находящихся в контакте между собой участков с различными а.

И наконец, в динамике замагниченной плазмы важную роль играют нелинейные вихревые структуры с сильно локализованной завихренностью, которые также могут наблюдаться в самых разных физических системах и представляют значительный интерес с точки зрения физики плазмы, теории сверхпроводимости и гидродинамики. Особое внимание в вихревой динамике привлекает, в частности, возможность получения универсальных ответов независимо от природы и внутренней структуры вихрей,- и одно из важнейших мест здесь занимает модель вихревых нитей. Динамика таких объектов хорошо изучена в обычной несжимаемой жидкости [15,16], а также'в ЭМГ (см. [17]) плазме и сверхпроводниках И-го рода [18], где существуют уравнения движения нити в терминах её кривизны и кручения (справедливые в приближении локальной индукции), которые сводятся к нелинейным уравнениям типа НУШ. Использование универсального уравнения вмороженности ротора обобщенного импульса в течение среды позволяет распространить задачу о динамике вихревой нити на анизотропный случай, в результате чего изменяется тип уравнений, и появляются такие эффекты, как неустойчивость вихревой нити при сильном наклоне и при конечной толщине керна. Такой подход, по-видимому, имеет непосредственное отношение к физике ВТСП-керамик, которые как известно имеют слоистую структуру, и для их описания широко применяется модель двумерных точечных вихрей («pancake vortices»), движущихся в слоях образца (см. обзор [19]); при этом общность используемого подхода позволяет надеяться, что наши результаты могут найти применение и для более широкого класса сред, таких как гетероструктуры или стратифицированный разряд в низкотемпературной плазме.

Изложим кратко содержание работы. В первой главе рассмотрена задача о проникновении магнитного поля в комплексную (например, пылевую) плазму. Рассматривается модель трёхкомпонентной плазмы, основанная на двухжидкостиой МГД, в которой движение электронов и ионов происходит на неподвижном однородном фоне заряженных частиц, пренебрегается инерционными членами и газокинетическим давлением, а также учитывается взаимное трение только двух самых тяжёлых компонентов. Данная модель может быть адекватной для описания, например, пылевой плазмы, а также плазмы полупроводников. Обращается внимание на эффекты, возникающие из-за возможности независршого переноса заряженных компонентов без нарушения квазинейтральности, и необходимости в связи с этим решевшя задачи с подвижной границей. Получены как численные, так и некоторые аналитические решения соответствующей системы нелинейных диффузионных уравнений. Характер этих решений оказывается существенно зависящим от параметров плазмы, а также рода начальных и граничных условий. Установлено наличие быстрой трансляции поля внутрь плазмы-при отрицательном заряде пыли (в различных режимах), а также полная остановка проникновения при положительном.

Во второй главе с помощью единого строгого подхода выведены уравнения в дробных производных, описывающие субдиффузионный перенос в гре-бешковых структурах различной геометрической сложности. Обращается внимание на общую нетривиальность вклада начального распределения частиц на всю последующую эволюцию. Рассматривается транспорт в разветвлённых гребешковых структурах, и показывается, что он имеет субдиффузионный характер и происходит медленнее, чем в обычных гребешковых структурах, причём порядок дробной производной в описывающем его уравнении стремится к нулю по мере увеличения степени разветвлённости как а = 1/2к. Предлагаются и исследуются структуры — «гирлянды», проявляющие ещё более медленную эволюцию (для них формально а = 0). Приводятся решения этих уравнений для находящихся в контакте структур с сильно отличающимися дробными показателями, имеющие качественные важные для практики особенности.

В третьей главе в рамках гидродинамического подхода, основанного на универсальном для гамильтоновых сред уравнении вмороженности, даётся динамическое описание поведения вихревой нити в слоистой бесконечно проводящей среде. Выявлены, что наличие существенной анизотропии приводит, с одной стороны, к линеаризации уравнения движения в случае, когда нить перпендикулярна слоям, а с другой - к появлению существенной нелинейности (и, по видимому, неинтегрируемости) в общем случае наклонной нити, а также к неустойчивости малых колебаний при превышении критического угла наклона. Рассматриваются эффекты, возникающие в связи с конечностью керна вихря, и выводятся дисперсионные соотношения для волн на вихревом столбе в линейном приближении. Обращается внимание на то, что энергия взаимодействия вихрей меняет свой знак в зависимости от того, находятся они в одной плоскости или в разных, в связи с чем рассматривается вопрос о возможной неустойчивости нити с конечным размером керна, особенно если его радиус больше или сравним с лондоновской глубиной проникновения магнитного поля.

В Заключении перечислены основные результаты работы.

Итак, автор выносит на защиту:

1. Численное и аналитическое решение задачи о проникновении магнитного поля в пылевую плазму для различных знаков заряда пыли.

2. Исследование субдиффузионного стохастического переноса в сложных гребешковых структурах и «гирляндах» в терминах уравнений в дробных производных.

3. Описание динамики вихревой нити, в том числе конечной толщины, в слоистой бесконечно проводящей среде.

Заключение

Перечислим кратко основные результаты работы.

1. Полученные в первой главе решения описывают динамику проникновения магнитного поля внутрь замагниченной трёхкомпонентной плазмы при условии, что магнитное поле молено считать вмороженным в электроны, а диссипация происходит за счёт трения тяжёлых ионов о неподвижные частицы пыли. Помимо того, что проводимость плазмы зависит от величины поля, что делает уравнения сильно нелинейными, существенное различие в подвижности компонентов приводит к необходимости учёта их взаимного движения под действием VВ2, вплоть до ухода одного из них из приграничной области. В результате, режим проникновения определяется параметрами плазмы (которые могут изменяться в результате эволюции системы) и зависит от характера начальных и рода граничных условий. При этом изменение знака заряда пыли кардинальным образом меняет картину явления, так что при Z¿ > 0 оказывается возможной полная остановка проникновения.

2. Последовательное использование предложенного во второй главе метода позволило

• Получить асимптотические уравнения, описывающие макроскопическую эволюцию частиц вдоль гребешковых структур различной конфигурации и степени разветвлённости. Были получены уравнения в дробных производных, учитывающие наличие начальных данных. В частности, для простейшей структуры выписано выражение, учитывающее микроскопические особенности начального распределения полной концентрации (то есть, в данном случае, распределение при I = 0 частиц в отростках) — оно приводит к зависимости правой части от времени, что ещё раз доказывает необходимость его учёта при решении субдиффузионных уравнений любого вида.

• Показать, что транспорт в разветвлённых гребешковых структурах также имеет субдиффузионный характер и происходит медленнее, чем в обычных гребешковых структурах, причём показатель а при дробной производной в описывающем его уравнении стремится к нулю по мере увеличения степени разветвлённости (а = 1/2к). Предельный переход к бесконечно разветвлённым отросткам показал, что диффузия в них эквивалентна уходу частиц с хребта с постоянной скоростью — это приводит к полному прекращению переноса вдоль структуры.

• Предложить структуры («гирлянды»), описывающие более медленную эволюцию (для которых формально а = 0). Случай, когда на хребет насажены диски является переходным — распространение частиц по оси не прекращается, но происходит медленнее, чем по степенному закону. В «гирлянде» шаров транспорт вдоль структуры прекращается за характерные времена диффузии частиц между её элементами, поскольку шары впитывают в себя частицы с экспоненциальной скоростью.

• Рассмотреть вопросы постановки и решения некоторых общих задач для субдиффузионных уравнений в дробных производных. Показано, что граничные и начальные условия для них приобретают нелокальный по времени вид. Для двух находящихся рядом участков с различными показателями а, более разветвлённая структура (с меньшим а) впитывает в себя почти все частицы из менее разветвлённой. Участок структуры, обладающий более разветвлёнными отростками, чем её основная часть (то есть когда показатель субдиффузрш на этом участке в два раза меньше) становится эффективным барьером на пути частиц, не пропуская через себя входящий поток.

3. В рамках использованного в третьей главе гидродинамического подхода, основанного на универсальном для гамильтоновых сред уравнении вмороженности, удалось выявить важные детали динамики уединённой вихревой нити в слоистых бесконечнопроводящих средах. Наличие существенной анизотропии в рассмотренной задаче приводит, с одной стороны, к линеаризации уравнения движения в случае, когда нить перпендикулярна слоям, а с другой — к появлению существенной нелинейности (и, по-видимому, неинтегрируемости) в общем случае наклонной нити, а также к неустойчивости малых колебаний при превышении критического угла наклона. Кроме того, оказывается, что энергия взаимодействия вихрей меняет свой знак в зависимости от того, находятся ли они в одной плоскости или в разных. Это необычное свойство, в частности, может приводить к неустойчивости нити с конечным размером керна, особенно если его радиус больше или сравним с лондоновской глубиной проникновения магнитного поля.

Результаты представленной диссертации опубликованы в работах [52-54] и докладывались на следующих российских и международных конференциях: III, IV и V Курчатовская молодёжная научная школа (Москва, 2005, 2006, 2007), XXXV Международная Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2008), 373 WE Heraeus Seminar Anomalous Transport: Experimental Results and Theoretical Challenges (Bad-Honnef, Germany, 2006), на XV и XVI научной сессии Совета РАН по нелинейной динамике (Москва, 2006, 2007) и на семинарах ИЯС РНЦ «Курчатовский институт».

Автор выражает благодарность коллективу Отделения прикладной физики, и в особенности своему научному руководителю К. В. Чукбаоу.

1. Брагинский С. И. Явления переноса в плазме // Вопросы теории плазмы / Под ред. М. А. Леонтовича. — М.: Госатомиздат, 1963. — Т. 1. — С. 183.

2. Montroll J. W., Schlesinger M. F. Random walks and their applications in the physical and biological sciences // Studies in Statistical Mechanics / Ed. by J. Leibowitz, E. W. Montroll. — North-Holland, Amsterdam, 1984. — Vol. 2. — P. 1.

3. Bouchand J.-P., Georges A. Anamalous diffusion in disordered media: statistical mechanics, modeles and physical applications // Phys. Rep. — 1990. Vol. 195. - P. 127.

4. Isichenko M. B. Percolation, statistical topography, and transport in random media // Rev. Mod. Phys. 1992. - Vol. 64. - P. 961.

5. Metzler R., Klafter J. The random walks guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys. Rep. — 2000. — Vol. 339. — P. 1.

6. Зеленый JI. M., Милованов А. В. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // УФН. 2005. - Vol. 174. - Р. 809.

7. Kadomtsev В. В., Pogutse О. P. Electron thermal conductivity across "shaggy"magnetic field // Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion. — Vol. 1. — Proceedings of the 7th International Conference, Innsbruck, 1979. — P. 649.

8. Rechester А. В., Rosenbluth M. N. Electron heat transport in a tokamak with destroyed magnetic surfaces // Phys. Rev. Lett — 1978. — Vol. 40. — P. 38.

9. Zaburdayev V. Y. Theory of heat transport in a magnetized high-temperature plasma // Plasma Physics Reports. — 2004. — Vol. 31. — P. 1091.

10. Биберман Л. M., Воробьев В. С., Якубов И. Т. Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы. — М.: Наука, 1982.

11. Коган В. И., Лисица В. С. Радиационные процессы в плазме // Итоги науки и техники «Физика плазмы» / Под ред. Б. Б. Кадомцева. — ВИНИТИ, Москва, 1983. Т. 4. - С. 194.

12. Bakunin О. G. Correlations and anomalous transport models // Reviews of Plasma Physics / Ed. by V. D. Shafranov. — Springer-Verlag, Berlin, 2008. — Vol. 24. P. 53.

13. Чукбар К. В. Стохастический транспорт и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. - Т. 108. - С. 1875.

14. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск, Наука и техника, 1987.

15. Сэффмэн Ф. Д. Динамика вихрей. — М.: Научный мир, 2000.

16. Hasimoto Н. A soliton on a vortex filament // </. Fluid Mech. — 1972. — Vol. 51.-P. 477.

17. Кингсеп А. С., Чукбар К. В., Янъков В. В. Электронная магнитная гидродинамика // Вопросы теории плазмы / Под ред. Б. Б. Кадомцева. — М.: Энергоатомиздат, 1987. — Т. 16. — С. 209.

18. Uby L., Isichenko М. В., Yankov V. V. Vortex filament dynamics in plasmas and superconductors // Phys. Rev. E. 1995. - Vol. 52.- P. 932.

19. Vortices in high-temperature superconductors / G. Blatter, M. V. Feigel'man, V. Geshkenbein et al. // Rev. Mod. Phys. 1994. - Vol. 66. - P. 1496.

20. Пылевая плазма / В. E. Фортов, А. Г. Храпак, С. А. Храпак и др. // УФН. 2004. - Т. 174. - С. 495.

21. Владимиров В. В., Волков В. В., Мейлихов Е. 3. Плазма полупроводников. — М.: Атомиздат, 1979.

22. Коллюх А. Г., Малозовский Ю. М., Малютенко В. К. Пинч-эффект в электронно-дырочной плазме с несобственной проводимостью // ЖЭТФ. 1986. - Т. 89. - С. 1018.

23. Rudakov L. Magnetodynamics of multicomponent plasma // Physics of Plasmas. 1995. - Vol. 2. - P. 2940.

24. Smolyakov A. I., Khabibrakhmanov I. Nonlinear diffusion of the magnetic field in a weakly ionized plasma // Phys. Rev. Lett. — 1998.— Vol. 81, no. 22.— P. 4871.

25. Гордеев А. В. Об особенности динамики быстрого лайнера с несколькими сортами ионов // Физика плазмы. — 1987. — Т. 13. — С. 1235.

26. Гордеев А. В. Гидродинамическая модель проникновения магнитного поля в плазму с двумя сортами ионов // Физика плазмы. — 2001. — Т. 27. — С. 700.

27. Забурдаев В. Ю. Скиновые явления в пылевой плазме // Физика плазмы. 2001. - Т. 27, № 5. - С. 432.

28. Crank J. The Mathematics of Diffusion. — 2nd edition. — Oxford University Press, 1975. P. 286.

29. Zaslavsky G. M. Fractional kinetic equation for hamiltonian chaos // Physica D. 1994. - Vol. 76. - P. 110.

30. Sokolov I. M. Thermodynamics and fractional Fokker-Planck equations // Phys. Rev. E. 2001. - Vol. 63. - P. 056111.

31. Lutz E. Fractional transport equations for Levy stable processes // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86. - P. 2208.

32. Havlin S., Ben-Avraham D. Diffusion in disordered media // Adv. Phys.— 1987,- Vol. 36.-P. 695.

33. Архинчеев В. Е., Баскин Э. М. Аномальная диффузия и дрейф в гребеш-ковой модели перколяционных кластеров // ЖЭТФ.— 1991.— Т. 100. — С. 292.

34. Baskin Е., Iomin A. Sup er diffusion on a comb structure / / Phys. Rev. Lett. — 2004,-Vol. 93.-P. 120603.

35. Baskin E., Iomin A. Negative superdiffusion due to inhomogeneous convection // Phys. Rev. E. 2005. - Vol. 71. — P. 061101.

36. Учайкин В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // УФН. 2003. - Т. 173. - С. 847.

37. Золотарев В. М., Учайкин В. В., Саенко В. В. Супердиффузия и устойчивые законы // ЖЭТФ. 1999. - Т. 115. - С. 1411.

38. Забурдаев В. Ю., Чукбар К. В. Эффекты памяти в стохастическом транспорте // Письма в ЖЭТФ. 2003. - Т. 77. - С. 654.

39. Лубашевкий И. А., Земляное А. А. Континуальное описание аномальной диффузии по гребешковой структуре // ЖЭТФ. — 1998,— Т. 114. — С. 1284.

40. Кондратенко П. С., Матвеев А. В. Асимптотические режимы и структура «хвостов» концентрации в модели Дыхне // ЖЭТФ. — 2007. — Т. 131, № 3. С. 494.

41. Петвиашвили В. И., Янъков В. В. Солитоны и турбулентность // Вопросы теории плазмы / Под ред. Б. Б. Кадомцева. — М.: Энергоатомиздат, 1985. Т. 14. - С. 3.

42. Данилов Ю. А., Петвиашвили В. И. Солитоны в плазме // Итоги науки и техники «Физика плазмы» / Под ред. Б. Б. Кадомцева. — ВИНИТИ, Москва, 1983.-Т. 4. С. 5.

43. Чукбар К. В., Янъков В. В. Нелокальность вихревых нитей в слоистых сверхпроводниках // Письма в ЖЭТФ. — 1995. — Т. 61. — С. 487.

44. Lawrence W. E., Doniach A. Proceddings of the 12th International Conference on Low Temperature Physcis, Kyoto / Ed. by E. Kanda. — 1971. — P. 361.

45. Artemeneko S. N., Kruglov A. N. Structure of 2d vortex in a layered high-Tc superconductor // Phys. Lett. A. — 1990. — Vol. 143, no. 9. — P. 485.

46. Clem J. R. Two-dimensional vortices in a stack of thin superconducting films: A model for high-temperature superconducting multilayers // Phys. Rev. B. — 1991.-Vol. 43.-P. 7837.

47. Clem J. R., Benkraouda M. Instability of a tilted vortex line in magnetically coupled layered superconductors // Phys. Rev. B. — 1996. — Vol. 53. — P. 438.

48. Сэффмэн Ф. Д. Динамика вихрей. — М.: Научный мир, 2000. — С. 258.

49. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. Интегралы и ряды. Специальные функции. — М.: Наука, 1983.

50. Ламб Г. Гидродинамика, М.:ГИТТЛ, 1947. - С. 290.

51. Дикасов В. М., Рудаков Л. И., Рютов Д. Д. // ЖЭТФ. 1965. - Т. 48.

52. Стохастический транспорт в сложных гребешковых структурах / В. Ю. Забурдаев, П. В. Попов, А. С. Романов, К. В. Чукбар // ЖЭТФ.-2008. Т. 133, № 5. - С. 1140.

53. Попов П. В., Романов А. С., Чукбар К. В. Динамика вихревой нити в слоистой среде // Физика плазмы. — 2009. — Т. 35, № 3. — С. 258.

54. Попов П. В. Динамика магнитного поля в пылевой плазме // Физика плазмы. 2009. — Т. 35, № 8. - С. 737.1. С. 913.