Теоретико-полевой подход в задачах о случайных блужданиях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГСХТУДАРСГГВЕШНЙ УШВЕРОНТЕТ

На правая рукотхси

ТЕОРЕТЫКО-КОЛЕВОЙ ПОДХОД ' В ЗАДАЧАХ О СЛУЧАЙНЫХ БЛУШДАИМЯ

•Сзияв»ям8ов1л: 01.04.02. .

тмрттачгсгиа фижм.

Ависфвфгр&г шгггртааая к» сач<г»б1»я» углггЗ сгтгпв ветйвдагга «ЁетнЕ^тютскахвчФгаяа яауа

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ юг

PeSoira выгеотквяа на гафсарв stuxosî хиляей ш «¡aties-rapaus ta-

ostra фгсегтасвогэ (gesyiavrero Сашт-Кетгр^гртошго tro-îyRapcrasîaïiiro укв-

¡¡¡oíivop фаош^шнкшткч&скш Ватакпыао A. iL

Офсздййьгогв вшшгш: RCSTO|J tss&s

Сэшдав А. И.

кглэдада? ||пзитк>-да,1Г®мата\"Эага2 Kays Аотоков Й.В.

Фетижо-'тшадегай шсетегут • ЕМ А.Ф. Иоффе if. Coar^EerépSjri» . '

у ~ '.. '

«осиягтеа * Í&B2? Б иегов ш вегфша свщггеяп- ■

варвазивогв соггтл K.WÎ.ST.17 сс repscyERsaao jrcaadS сркззшв Евяррякт $sat¡aa-m№&ívmi№<ams K¿y¡c о Casinr-Ils^epöytwesosä гссзгЕьрстЕнязезь« уин-■ tejpeawre ES» sjçpsey:

19ÍCS4 Оыит-Оетврбург, Ука&^сшготвш! ига&^гхояш, Т/9

О кв»г«ртагаип1 saosи© оагаговввтьев s гп&ктю СШбГУ

At*aj»i<£«j»v pssocaœ * Ob ÎPSSr

Учшмш osspKsrsjja. епгщшяЕваровазшсео еоэгте - ,

' С. iL Можвда

г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Аггуелгсзсгь рзботц.

Мйсптгбявя игагртггпостц паз сесхтеуг. наб-иэдаетсд во изоггз фз-сэтеегнз процессах. Для геоиетрачесжого оязсэдла схещшнгсяш сзойетя пстю-чьеуетса со:!зтвг <|рагга.тх По Е.Маядгдьброта, ргАтжл

— геомгтра^есгяа объмт, Есторид о пеютсрси емиеле ошскогзбев. Г?о-кгтрпчостыа хьрвхтерзспкмга ггажютсд раслачяцэ <':рглтзл>-

таа р^аиерпоста. С рругса стсроаы. ягиньоа мхегпЕбяо-

тпгагрезлтвого реасвка преграсяэ откгызаетсл ил языае реисри-гру яды. Крем; гэтестзеялоа жартниы, ргг.эри-групг.а прс тстьЕллет «скз?ые тл;етчте.ть-ехге методы (еД/Л* - р&злозеизл) дл» рт-ст^-тл *р»т:п?с1п:1 апсегсоэ. ТЬгттм обреэои, ми вмгги дза, ка кер^ыз взгдлд рзасми, гпыга. длл спясглаа мае-штабзоа паваряапткостг. В это 5 езтуаязв очепь ц.чтсресниъг с£Ь»е*тсы для изучения ггягкгтед рззлз"п:ые «одела случит« Тра^Еторгя б^у-

гдаю'сдез частями валггтел фрагтпиэт!«, а в то ж» грс;и исза*.о до гопдз тгро-гг-ста ргксри-групяогса Кгатзчзсгяз пикете, с^реллжк'гта агси-

птоткку рпсстогнпа от "гагтесы го "еггртокез точка", ггростии обргэом СЕгпьй с фрагтатыгез рютпрвэстъю тръмторзл. Т>?гг?1 сОрмгщ. бгукцаааа с замзтъю пр^гсгаглгют собс! своео?рго;г}-!э мглу для т:л~?> стр«дяэ !гето?,сз оп.цсая.а» гаапгзй »обратимся агрегшуга. Сяуздгиил р^-г-<пга рвг;зх>тсл прз втои жал ггжггачегжза г.рсаегс сбрьзог^уаз тотгелога*;?-пз ••твевиих вгргтьтез. Трагхтсрт.я блузд-ю-^геа гслгется ;

гстд, позтсыу приставляет цятсрес воу-ч«« тег оссб^гаостга мс^езгы сяу-чгйаыа бяузкдгянз, юторы? .тгхат в основ« фрмтмыилх сэе ~"ггз, С ррутез етсровы. чзгдг.тъ езутзкгч бзужязА&И ебьияо сгоззтся г игжотсрся сто-этетечесгоз оздатз. готоетлг, в гзезо очередь.

Х'.срг-Ъср-гуптфоЕгу.Таз;ЕЫ обркюи. яогзлжгтеа вооможяоет* цяа прда&гЕеква мощны* тмзрет^го-гтгргь« ггето-ов,з тасткоста, иггезь рггеретр^лзи. Р1 Еормгр>ми, во-первых, псоколггт о&ьлсяптъ с&мопогебпе фра1тала (ызпзта-£е<вя аввароаптвость), а оо-втерых, ярепостаадл?-г когазые ягтогы для рес-чгга его рвомерностеа. Тсляы обрэоом, блуагмгез с^иогсгтрвр^Етт

ТРсну» связь фряа1 .илоз а ргЕСретру-язы.

Крои? оттого, сяучадиые &т}жд=н!:з нсгтлпругп ыяожмтео (^ззчеяи прояессоя: от роста па»ни?рсз да сроса-гавалм оагряокеяуюй эггжостя черта <»-зхьтр. Прыавова» гзрсгэт»П1югть о^эчтрсаов в г.035тгрск53?пг1к* ига елграцпа вссптоиоа в мапе»)ляркых «риггиллги глуажт прамграми распро-страп«яял чагтжц во вягшиса ср<пе- В упорязогеппоа гяэт ¿г.^лг-

впе ыоз^лнртетгя случаннымя бпуязяятгия я и 1ягпр^рыгяог1 сво-

дятся 1 *ллггичс«оя диффупвв. Праяидпаа.чы1ии сртастаздяе-гся эсярсс о вдиянжп сляйого беспоряда» в срез» я» ий^'мт^р дяффгоип. Онааалось, что сяабыя Л^споркзсч с заяьяозеяггвтюодп^я еорргаапяяма сущестпеятго вяп-яет не характер лнффтшгв. что вп^рвы» <5ы.то отыгчетто Д^ррязой в Лкзюм.

Важный вопрос - настолько это влшшие уинверсьльпо, то есть хп.к? хяраь. к.-.. рпстнгп бесиор-аяга существенны. Подводя: «тог, можно сказать, что модель-случайных блуждышй интересны сак с чисто теоретической точки сренвк (сеейяняг, фракталы,...), та« г: своп«!! фтоЕческпме крвменекнямп (пршхко-ьоя крсБоякмость, фликхер юум,...).

О а дат.; диссертации. Задачами: диссертации являются вьгаоя тсореткко-пагагБой формулпровщ модели " Истшшых самонепересекающяхм бсужданЕ-ё"; еяалко ренорг-шруемостет соответствующей модели: Бычлсязкяе грятячесхого яксегса с двух-петлевом тонкостью; оп&лшз перехода от модели с дэлыюдей-станем к ста::'Д(фтко:з моцгшг. расчет Е«де1Са в модели случайных блужкышй в случайная среде с трскпетмвой тонкость»;?:

Наугавл ковизиа дассертмши. Научная ношюиа ДнссертзпЕИ состоят в следующем: Предложен ковъгй метод переформулнровкЕ сто;;пег/, чос юй "вк-пачи с памягъю" ааяоы*е теории поля. Долизана пеп.ереиормнру?мостъ сгеп-ййртпоа модели, Вычкслеглл ргноршрушгааке фунютш с даухпетде&оц точностью с модглц с дальшвдействг.сы. ГЕокьоанс, что в процессе перехода от ш>-Сгяа с кйпъподеастгкем к ст-аг.^.-ртпой кодеяи фиксированная точка рекорл-гругааы становится ШС-аеустойчява£. В модели сауча-лпих бгужданли в сл/~ ч&кеэя среда полу«;а>.1 тржпетягеок отвгт дал вндеясп. Рвовг.т иовыв. метод рмчгта даирамм содержащих "ьзхтсриьгс1* жккпи. Да,ио точнее одкомгрноа решеиае проблемы.

Осаоанкс рсоупьтЕТМ работы.

1. Прср:сх;е1,- новый метод переформулировки стсхастачгекай "оедгля с

памятью" па пош;® теории иола. *

3. Прсзе^ел иошшй 1»меэ рсасрмяруемоста соответствующей тгортя повд.

3. Пошзано, что существуют три чьсишх случая, югда тоорвд р«нор-мвруеиа: в одном случае иидекс иаэгадется точко, в другой случае показывается, чго модель охваваяектиа коделн случайных блуждашга в сл учалкой ергдг, в третьем случ&г пржкаед падеже с двух-нетлгоой тонкость».

4. Вычислена мьтряща смешивания для семейства состаоаыж операторов ■. нага вэапкюкелствая с сдп.опгттгок тсг.аа<гп.к>.

$. Получено точное одномерное решение в о а деле о случайных средах.

8. Получено трея-ветгеоое выражение для пкдегга отон эадачк п прок;*-вол>вом чнепп гомгреиив.

7. Рвзвпт копий метод распета дяагро&т: рекуррентное соотношение по роомерности пространства.

Практическая nemiecrb работы. 1'аовытым метод расчета дпяграмм может бить исисльооваи для расчетов в теориях с иекторшчыя полями, peiyppen-Tijoe соотношение молет бить испольооз&ио для расчете полюсной части диаграмм п раоиерной регуляризации, т.к. сатоывает расходящуюся диаграмму с пнахр&ммой а мгимкем числе жшерепл J, которая ыодет оказаться ver -- Апробацпя рвботы. Материалы диссертации до'-ладьгяаллсъ на c?i»;uiape хафеяри фиаикп иысокнк энергий а онемептарних частиц фгкшческото факультет1» СШбГУ, Международной конференции " Рецорм-групта 91" (Дубна 1891).

Публпгаццп. По материалам ¿гвссертпшш опубля&озаиа I рпботн.

, • Структура н объем работы. Диссертант состоят »о введения, двух глая, шзух приложений a cp.uceí литературы. Обгдм ее об!,«1 - 105 стрюттга машинописного текста. Библиография содержат 70 названии.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ .

Введение. Во виеярлиц р?.с«гатрпв?.етсЕ сталдгртць:« способ пергжда от стстсстачесЕоа задачи тяг.а случалких блужданий х тесретнио-полевоа. 13 £й;кяоя Еояхретиоа отдаче, конечно, есть свои особенности, но стратеги сстаете* об'.р.ей. Псточ ираподтзтея обзор результатов, псл>"ченньп другкка авторами, "л ,маюиеп, реоультати нястояп'зй работы.

Гдаыа 1. Структура отод глапи c.ií дуыщ»..ч. В нервом пкрагра-Ф? ш граио рассматриваем обичлн? случайные блуждания (Сроунслсхсз движение) для шкгострацяз евши с ((ра.ктс.тоши, в блуждания с жскечг.оа памятью. Do втором г.зр>агр-.'{><? опислна мол ель eiMontueptceiaroínaxc.i Лауядансй (СЛВ) к егмосоглйеованкьга поазод, чего >xtj переходам I модели "истянлыя*

•саыонмгергсехаао'киясяйтуягдглай (ÍICEÍ Б) а сакоссг.тзсов^кюяу подзолу Лье-■ тронеро. Третий параграф воезягдеи олзс&яезо игярерывцой Еерснп мокега HGIIB я ее "дальнояайствувлцег©" обобизеняя, 'л та*асг ^мкоат^льству oie3-кшентисстя стохаетпчесгой о&двчн некоторой теорас сои. В четвертом параграфе приведен анализ репсрияруеыости соответствующей теория пода н РГ-анализ рсиормвруемой " я ал ы i оя ей ггву ю зде.ч" версии модели с точностью до яеух петель. Л -ятом параграфе рассмотрена реиормаровЕа соствпиых операторов, отвгчакядах эважмодетствию, а переход s стандартной модели

пепв.

В непрерывном претеле, ИСНБ отшсыввютсяедадукмцей сястемси уравнения

éMa.9iVp{R(t).l) + nW, (j)

(2)

где ¡i радаус-ьегоор блуждающей -частицу» ,37- Гпуссоэ шум с нулевым срезппм в коррелятором r¡m(t)ij,{C) = С — ')'««> ГД° Dt "гатей" сооф-фяпнетгг диффуови.Отя уравнения описивакгг стандартную иоаелъ 1ГСЛБ. В

кзагпг; с йг-тьЕвде&товем (1) ОЕзаекзгггсз урагггаигм

где {-¿папой ф с р сиеаукяцгы оореооьг

сгтргдваггтся раггвсткш

«И'/Й^- <4>

Егугмтгз слотсость рагареяалгвса крса-геоспхй Р[г,<| Бяукдагэг^аЗ г> сгвдь:, старт?ЕзыуД ша в&чьк» юсрЕЗзг&т

гк? Л(() рсихкг? трйг.г;ггЕн{1),(2)с саэглыгшл^"дпеи Щ'Э) » {-упядеа Гргги

в £2йа фтгЕЦдсшгыюго езтстрг-за «зяуи!«« тагаа

= / «ГО» П . I*)'

+ /¿1,1* + ') + №

- + «(с.ОДвЛЖМ)} .

*

Вергвва «рктагаггсия расштргость & тесреа соха (5) резва дауы, к екгкгз рвомерагктгса ветзошмет что, кроне вставкой 4-точмион вершат валамо-девстш, срцгствуют со)! цве с тичю тагов же раомериостыа. Т.о. юа-и» версвдт иогут поваатк« в тятрчзевы. Оакшгетяевза расчет шжшш-гает что п^йстсгтегьпо с^щгетуют раехохтооетв этого тана. Чтобы сдеаатъ творя» ыувь<павшхсПЕЯ0-р«80р)0ф]та03| иуаяю ежклать допсшштеяыгыэ

вгрсппм о Ес^ззэое дейспгаз» тго с всйамскеяйтсот

5;,, = ¡ШПт - О.'(-.«')] +

+ - £'}?(?, ГУЯх.Г) + (Т)

гея Езястгяты сглзя. ссоттететпухжт« егоеим обазяэкеси я

й- Стандартная иоя®зь ПС1Ш спаяется иглътаигягатякгэ-реторхпфуской тсзыо есггз g¡ =гьй =0, а! отсм ся^чаз ее гсзттгсттгчгсизз поят^епяо есэт9я.агт с ссгггягстзги тет^ята, слтсмЕагжсц случаштые бтуздагза в случайной Нсгтаь Е1СИБ с дальиодеЗспгага М7льтзпязггаггт«!»-р«зср»яру«ка тояьст а сяуч-з С1 ~ 1Ьпсрь предстеазл реяормгрупп'грта «-пет Е.С!Ш : с гг-гысг« ф 0, ^ = = 0}. Ргх-геты РГ-^уатагЗ сш»п-?2и

с Егухйгтзгпсй гсгзгостьгэ. Км обпчпо, сэеть кекру рогор;шр«яш:са я их-^'щ^-гр^'-^гсл ^геттаня ^якз гргготггг с урмгягзжз

^+7о0ш)С1"'т' "" 1,1 ^ 3 9- (3)

Зеяяичил сггэд пз (35 з сбнчзего наоттибяом урэвя:жи8 т»зу« Грз бегъггя грс?яя»х. Ятз бтев-фуггпвз сггзувзск«® выр-айтежэ

ПК-устсЗ'пта % с^оезтегьио, спрсгеяйзт есяистота^сгз^ 1и,дада«'те

ОотчеНШ«

в фдгсы роедпиоЗ точж* ренаркгруппы определяет лпгутхьпую рзамсряость ХоофЗвщгеят* яяффуова. Пра ё < « 2 + 9®, ым получаем

, .1 3 . 1 + 3сг I

Черео иоимьиу» раоыьркоеть ило-И.'.цяеита даффуоив выра^гется вкдеЕС V ,определяющий &СЕ1Штотнчгс£ог повевеаве при больших временах: v — 1 /(2-iTti). Для среднего хвадрата расстояния блуждающей частицы от центра получгли

-V ~ {l + '/'-U-Sa-Ja'^/i^y + Ojl _

Csrjiy.^pKMa spa а — 0 плои в формулг для бетагфункции огрвцатеаеи, повтору i'f-.: aocm.Toin игишх а <¡f'3tciipcsai¡uaa тсчха (10) становятся нгсть-билыюц. До1спш.т«го>ио. из (0) и (10) пояучаеи

eui 1,1=.; Ьа(1 + а)

к в пределе о -» 0 ото выражение Meiumr CHas upa а* — 2t/9. . ,,. Гд!А1:>. 2. Структура отой главы следующая. В параграфе 1 приводится .CZEjrefJKL'Tun.a ехохпствчгсхоп проблеме теоретихо-поясвия <{>ормудировжй и ро^лоивас.-сз мудь'хиилигатпЕпкл реиорхларуамостъ саответствующей теории пола. Кр;,ыа того, 2-й о».ьзип&"лтс* разни между собой, что приводит х тр«вв£.тьна=.~1л 0 - фу mu:: п. В параграфе 2 ми bubo дчы другое прекеташю-щве дм шгхересующей кзе функции Грииа, оказавшееся более удобным lipa расчета* Одссь же приводится одномерно? решевиг проблемы и реоульт&ти тре ютжього расчета и J - мереей задаче, iío этих реауям г.тоа следу ет, что то*шив овжиетлевса с г ист дал нндгка-), получек« ив в одаоы и двух u:¡uv}n-;i;¡í;s, из рас.^гтрглшгтся ль высшие соыеренаг. Ллл расчета диаграмм был раазнт HoíüiB метод, жоторьш лодробао обсуждается э трвтъеы параграфе. Tüm ке приведены детали трекпетиевих' втггеяпшз. ДвОДузяя в потеивд-сяыюл случгаяам полг csopocrea стакивается еяедующгу уравдеапеы

-Г. . . (12)

1,т? е - еяоткосгк дяффундяруювдах частей, Da голый (цгреаорылрошишьйг) ксгффвваект ¿шффуогаг, в if случ&йццд потеицкая с uy.icaux средней ц корре-яадаоияещ фупжцаея. являющейся Фурье-преобраоозгигаем F стеиеип 1/|р|,+г°:

Г о этой формул? - гашга-фупецця п (неотрицательная) ойтравочная констант» связь gt харахтержйует силу беспорядка- Mu буией считать оапаозь-вг£)Щуы функцию Грсыа уравнения (12), усредненную цо случайному потенця-иу НсмкАм переменную t при помощи Фурье-преобраоования п испать-оуя фукгшюнальиые представления для среднего но v п Для функции I'puira

Ga, получаем сооттошеин« (G„(r,z'))0 = D¿lG¥j(x,s'\ ríe кг.ж про-' птеатор п теория полл, определяемо": EfñcrSKcn

S ~ -

+ + v(v + (М)

Тсоршг поля (И) му.тьтяплг.хптпв!10 ркпорюгруеиа п, бол»г того, спи -.-гозтггГ; быть рвяормпруеяа врп ломота едпистп^-гпсн роггогяшрс.тачгтоз ггснстгктгх. Вводя И№!цт!>б!гип параметр /¿ >и г.га.кен пвяздагь ргйст^пз в аг^угочки ВИЛ?

Sñ = 4 фг + 7V(r + , (15J

где "репормяреттгавд* коррслддиомм фуитция С яслучепа на ovrt мкггяой С;, при ггсгга'Дй пэмспи gj —» д. Ркорьшропочндп ю:::тпцт:\ Z окрсделк^т аномпльяую рвом?ргюсть 7¿> есс'Иштимггз /гагффуокн to — ->;iÚ:s. г?е wsancc 0 оои8.чает, что кропзв<дам1 берется крч фэтгсроготтаг шга-•it:vi?x голнл яерамстротз. В,-:: • .чг.т/:: трпв::сяьп;>с?а 0'пт.-г>;;г!'::;" - г"-"«га (14), ее аспыатотячосюе иозггяеиие вг укяэерсвяьно: рмюругрсэгтя» х ron-craivra. саязл д остается сноботпш пяргмгтроп, от которого егл-ея-' uno-ютямая рад;«р«огть id- ВЛзде п«я<мы»уется рчзмсркзд: рм-уляргвпя-л п параметрам t ? + 2в - И, где J - рпи.'«*ркость простропатва (ггркчк.т iptsn-

4sci«s рвомгряость de = 2 + ?а). Приведем рсоулилт дя.т

_+

J S «(4*}Sfí«r(2 + o)'r ' X |l'{2 4 а)\аг - За, 4 1Щ2 + а) 4 (а'- а - -{- я; - c'(í ¡] -! : j ,

txe Ф' трпгсчка-фуккявя» a fi(<) Фуктам, прегеплпкеа с-ггяуедиз;» „¿ухкв-тзсг-им GeowaccOBHíj графом, который мы. г ссзсалеяаю, пэ еисгла лгггаыяттг» ti еамгпутой форме. Определение фунгцггп fi еяеяугошее

X1 / 1

fi(') 3 / Г5Г>(Г1 _ ,,}П«-Ч(,г - ,,)*(* - „)>!«-»>

где размерность пространства í = '!<.. Одатю, иожяо сосчатать еяачеяпе стой фугштк пря чялтдых омичеяадж псрсипшой i - ?,3,..., гл:грз?1?р,Л(2) ~ Сч'(З) ГЗ 7.J12, tad h{~) = <(3) -1/3 « 0.3387, гпе С .тттг.-^-уГ:птптп.Гl-ы!а. По этого, о чяспгостя, еяедует, что раапост^ - т:? извет б- 'Тг» тозк-стс-ппо равна пупк>. Спотдаатепыго, ееяпд ewcramt ппряятоа з ».ломальнуо рсшк-рпость юоф^гпцггнта цпфф^пп /уп танке иё обргщагтея т«тздестЕ«п:о в

Для мы получаем

То =

(4г)>+«Г(2 4<г| 43(4г)»+»Т(2 4 а)' 1«

(1С)

X |г(1 + oj'ía* — 3a + 1}Ц2 +о)+(а*-а- Jjfr'U + a) - iMU + 2 j ■

^рсхЕетлеесв выад обращаетса s s.o.u, в двуь сзуч&ах: м-сдгрsus, пра a = 0,что соответствует двумерен, в , шьвторыз, cpu a = —1/2. что еоотват-«вует d, — 1. Ургшаенав (12) в едяоаераа вргзздгт Е простому jpacziiano Bis Фуи»а:г.:> Грзва

Ф^идаывптйдьное регашае wicro уравнения

Ji

усредненное но случайно^ потсяцаьау, йзгт caoмуо Грана —

j¡) -- (Oj(í,y)). 5'о-оа юго, что реамгриость врострьгствз <£овсвроьава, мы не -j вэлмоезтьсд разыеркоа регуааразаццги. Бзсака сдснуЕяцугэ удобную регулвряведяю для коррелятора

-SF+í^--■

Усрепная ^>уеда5лгата.тьаог реггеи-ве, возучаеи

О {г - s) * ~Z~X f'¿t с!г;С,ч(0) - С„г( С - г)] Jr

что приводят t сзздихцсму tupesesaso - ¿<) = -Z'1^"'¿í]í — ílt+,'f* (где Д - suKCTwrra, te освосяцдо от А) сосет переезда х пределу р -» О Е отбора раезвиишгася со А часта. При содходац;ги еыйсре ренормярогочаса юнетанты 2 иагупаеы „ *

С яруген стрр. ни, pírnopíirpycca npesciaouHyr G[s - у) ~ [л — iíJ*"***", сагдоЕагел!.лО| в олиодоркя внои&лькаа раааершзсть J¡j — j¡/* Toniro, что кЗг ходите« ь паакоы catnbtDü с (16). Одесь яг ыесто обсугагть детали »ычвглэ-ошз дп&гра^ол, одяак> приведен две ключевые формулы для того, что-бы 6 uso ясно, отхуда псяыя5угся определители Гр&ыыа ti i&kyu роль оия птрат. В предстия.'аензя, удобном дла расчетов, липни в ДЕагр&шаевел-тг* на дэзтопа; обычные сьалариые а теязорвые, ирог.српаоиалыгые 5ш»(я) = í.. — 1ршрч/р*-Для ы^чяслгкпа дквгредм необходимо уметь еыччве.ит. след от произведения яеезолыгх S«,,. Типичный формулы выгллялт ты:

Тг 5(4) = d-t Ti S(fc)S(p) = ("I

TTS(4)S(P)S(V) «

к'у'»]'

iî Or íifc.pj я Gr (fe, р, <[) - снгредггаптсея Грамма дауя s rpre мтгерся, еоывет- ■ гаеино. Джя аачасгзеавя шктггркдав с опреяеюгоежаага ГУшьаг» ateoxuiyvKS . крутащгя Л'емжи

fetässa " < .

*ормута размеряете tipeoSpaoocKtaa

_ (rf — 8 [{<? — î 1

' я/(с,гг 4 cjgs -f а^г2 4 4 îa^z 4

>ушщда f пря «том ш«а что вге ият«гр®1т вмеате «mot.

В одоом пршюжеитп втряве^шэ доиоатепьст» етоя Лензш, а. » щрут&ш-читц регурреатедао соотиовоеккя. Пг: tsaï<5s!wwas ег7&а::»гзяа «^кухьг»

I. Dejbcho? g Ê. Hoaltoaea J, ВДаЫаеа Ё sad VasáH'«* A M Ш9 ß«a*wseßse5tl>iff »/ тфамИтд retsiora ©sSí /. Ffts«. à.-

Math. 0гя. 22 ЬШ-Ш! . ,

X. Deîfoduw 3 Ê, НдазЬвм) 3 £a<î Vesü'er 4 W.'lSOO $*а«гя«&'з.- a tf

w»¿»ra¡ ®е£Ь «Ш wíwerj Рйро. Д.- Sfoíft. Gen, 88.2flT9-J4M »

3.' Derbíchov S Ê, НоаЬовиа í Bad Fii'rasA Ye M Î9ÎC Г&пг-Ьо? eeïetAfcW о/ (he asoramíooo ¿iяшм if ¿t^aeiv.'îç /в; £ в/ в rsaifjsa шве: «г а • *w>ümäi«f ro«rf®m $М !вя/-пя$г ecmhtieUQ Pâpi. Л; *?гв.

S3 LT3S-LW ' .

£ Desba&ov S Ê, ЕсаЬоалэ J bscE Pia'aaà Yo M ISSO f Ьггг-foî/ гг&зЬгми «/ ¿йе rais¿эta reníet» ooîipreJfe-sS:. ай tgpüestiaa of imeaehetl trewfgrûeliae «ni 8лг acifeïB«* ncttal i7. J>Äy». i; ¿fttó. <7ею. SS íí$S-lí?3

Ципжруем&й гжтгрктуръ.

s . -

l. J. Znri-Jtistiii 1989 geeeofara Лг/f Tktors'aai C'niictl Pâewemeae (Ciaría(fcH Prasa, Oxford) 913p.

î. Sfsncîelbrot В В 198Î Tke Fractal Gronttr/ в//feiere (PSfeemaa. San Francisco) 900p

'S, Леи!. 1) J, Paissi G osul Peîiii L 1Ш AsymploMt Mania? «f Si* "¿roi" veli /¿pi. £ 8? 1Ô3S-8S4S

4, PsEU 1 aad Zîssag "Y-0 1S3S Reuonziîùt'iitn «/ tie Se'irai' tiij aitïibf с»11 J. Pki». A; i/aii. G«». 10 ИОИШ

5. 1)«шЬ В, Lusi. J M 1Ш Phf,A:i.D M T183

S. ArsiKTiU J A s^J JïekfJ) D В 3034 Fijj. Зи. A 20 mS-lCJ-i

7. Кралщоз В E, Лерисз» il В, îOrcoh В H 1526 ¿a®

, eptàii ta <,*.«&№ «iiîuc • ЖЭТФЪЪ КЭ-tM

t Ssd 93-100 ïTfl Ж GiEB, MoesoBsKgfl nP;26