Теория дифракции рентгеновских лучей на латеральных структурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Колосов Сергей Иванович

Теория дифракции рентгеновских лучей на латеральных структурах

Специальность 01.04.07 — физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 3 СЕН 2015

Сыктывкар - 2015

005562562

005562562

Работа выполнена в Отделе математики Федерального государственного бюджетного учреждения науки Коми Научного центра Уральского отделения РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Пунегов Василий Ильич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, Орешко Алексей Павлович

доктор физико-математических наук, Мухамеджанов Энвер Хамзяевич

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Физико-технологический институт РАН, Москва

.,2 ^Ур* ¿¿¿Г -е

щонного сове .В. Ломоносо:

Защита состоится

на заседании диссертационного совета Д 501.002.01 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 110001, ГСП-1, Москва, Ленинские горы,

С диссертацией можно ознакомиться в Отделе диссертаций Научной библиотеки МГУ имени Ломоносова (Ломоносовский проспект, д. 27).

Автореферат разослан _2015 г.

Ученый секретарь / ¿ *

Диссертационного Совета Д 501.002.01

кандидат физико-математических наук Лаптинская Т.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Среди многочисленных методов исследования структуры вещества наиболее универсальными и перспективными являются методы, основанные на дифракции рентгеновского (синхротронно-го) излучения. Эти методы характеризуют высокая чувствительность к структурным нарушениям кристаллической решетки и экспрессность в получении результатов. Проблеме дифракции рентгеновских лучей в конденсированной среде посвящено большое количество работ. Вместе с тем, на каждом этапе развития новых физических подходов и технологий ставятся новые экспериментальные и теоретические задачи, связанные с рассеянием рентгеновского излучения. Наблюдается тенденция к исследованиям, с одной стороны, к объектам все более малых размеров и, с другой — все более сложных по своему химическому строению. Наряду с традиционными исследованиями планарных структур возрастает интерес к латеральным объектам. Использование новых современных источников синхротронно-го излучения предоставляет дополнительные возможности в исследовании одиночных латеральных наноструктур. В настоящее время для расчетов рассеяния рентгеновских лучей в латеральных кристаллах преимущественно используется метод конечных элементов в рамках кинематического приближения. Однако это не всегда приводит к правильным результатам. Поэтому необходимо развивать новые, более строгие теоретические подходы.

Это дает основание утверждать, что научная проблема, сформулированная в диссертации: исследование дифракции рентгеновских лучей на латеральных структурах является актуальной и своевременной, способствует дальнейшему развитию представлений в изучении латеральных объектов.

Целью работы является развитие теории дифракции рентгеновских лучей на латеральных кристаллических структурах, то есть на структурах, однородность которых нарушается не только вглубь кристалла — вдоль нормали к поверхности, на которую падает рентгеновская волна, — но и вдоль самой этой поверхности.

Конкретными задачами были следующие:

1. Построение динамической теории дифракции на кристаллах прямоугольного сечения с применением различных методов, а именно: метода преобразования Лапласа, численного метода Рунге-Кутта на разностной сетке и метода двумерных рекуррентных соотношений динамической дифракции.

2. Развитие динамической теории дифракции на полупроводниковом кри-

сталле с поверхностной металлической решеткой.

3. Разработка кинематической теории дифракции на кристаллах трапецеидального сечения с нарушениями кристаллической решетки.

Научная новизна.

1. Научная новизна работы заключается в том, что в рамках динамической дифракции впервые разработаны методы и выполнены расчеты углового распределения интенсивности рассеяния в кристаллах прямоугольного сечения с использованием уравнений Такаги и метода рекуррентных соотношений.

В отличие от одномерной теории Дарвина, впервые получены новые двумерные рекуррентные соотношения, описывающие динамическую дифракцию в латеральном кристалле.

2. Впервые построена динамическая теория рентгеновской дифракции на кристалле с учетом пространственной модуляции падающей рентгеновской волны.

3. Впервые разработана кинематическая теория дифракции и выполнены расчеты углового распределения интенсивности рассеяния в обратном пространстве для кристаллов трапецеидального сечения с учетом хаотически распределенных дефектов и крупномасштабных деформаций кристаллической решетки.

Практическая ценность. Практическая ценность работы состоит в том, что разработаны новые и эффективные методы расчетов рентгеновской дифракции для кристаллов прямоугольного и трапецеидального сечения. Эти методы используются и могут использоваться в будущем в различных прикладных задачах для анализа экспериментальных данных.

На защиту выносятся:

1. Динамическая теория рентгеновской дифракции в кристалле прямоугольного сечения на основе уравнений Такаги с использованием:

а) метода преобразования Лапласа; б) численного метода Рунге-Кутта. Численное моделирование кривых дифракционного отражения в зависимости от размера кристалла.

2. Динамическая теория дифракции в латеральном кристалле на основе двумерных рекуррентных соотношений. Численное моделирование карт распределения интенсивности рассеяния в обратном пространстве и рентгеновских пучков в объеме латерального кристалла.

3. Дииамическая теория рентгеновской дифракции в кристалле с металлической поверхностной решеткой. Численное моделирование углового распределения интенсивности рассеяния и рентгеновских полей внутри кристалла.

4. Кинематическая теория дифракции в несовершенном кристалле трапецеидального сечения. Численное моделирование карт интенсивности дифракции в обратном пространстве для когерентной и диффузной составляющих.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены на международных научных семинарах "Современные методы анализа дифракционных данных (топография, дифрактометрия, электронная микроскопия)", (Великий Новгород, 2006, 2008, 2011, 2013), на XVIII Международном симпозиуме «Нанофизикаи наноэлектроника», (Нижний Новгород. 2014)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 23 работы, из них 5 статей из списка ВАК, 3 статьи в сборниках трудов и 17 тезисов докладов на научных конференциях.

Личный вклад автора. Все оригинальные результаты диссертационной работы получены автором лично либо при его непосредственном участии. Автором осуществлялось построение теоретических моделей, проведение расчётов в аналитической и численной форме, обсуждение, анализ и интерпретация результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Вторая глава разделена на три раздела. Объем диссертации составляет 101 страницу, в том числе 34 рисунка. В конце диссертации приведен библиографический список из 108 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы основные цели, приводится краткое содержание диссертации по главам.

Первая глава содержит обзор литературы по теме диссертационной работы. Кратко рассмотрена теория Дарвина и основные рекуррентные соотношения этой теории, используемые для расчета амплитуды отраженной волны, рассмотрены основные результаты этой теории.

Достаточно подробно изложена динамическая теория дифракции рентгеновских лучей в рамках уравнений Такаги-Топена.

Проанализированы основные положения динамической теории дифракции, представлен вывод уравнений дифракции Такаги и Топена.

Дано описание метода трехосевой дифрактометрии для получения карт интенсивностей рассеяния рентгеновских лучей в обратном пространстве.

Во второй главе рассматривается динамическая дифракция на идеальных латеральных структурах. Глава состоит из трех разделов, каждый из которых посвящен изучению дифракции на латеральных структурах с использованием разных методов.

В первом разделе рассмотрен метод уравнений Такаги применительно к кристаллу прямоугольного сечения. Показано, что для данной задачи уравнения Такаги могут быть решены двумя методами: 1) численно на разностной сетке и 2) путем преобразования Лапласа. На рис. 1 изображена

Рис. 1. Геометрия системы. Жирной линией показано сечение кристалла. Штриховые линии условно изображают отражающие плоскости. Eq — падающая волна, £л — отраженная волна.

геометрия рентгеновской дифракции: на идеальный кристалл прямоугольного сечения падает плоская монохроматическая волна. Плоскость падения рентгеновской волны лежит в плоскости xz. Рассмотрим отражение от системы кристаллических плоскостей, перпендикулярных оси z. Математическое описание данной задачи дается уравнениями Такаги в декартовой системе координат

icos + sin вв-т^) Eq{x,z) = ijxo Ео(х, z) + ijx-gC Eh(x, z),

x

z

COS - SÍI10B

где Ео(х, z) — поле проходящей волны, Е^(х, z) — поле дифракционной волны, а = —2 sin 10в Д0, 0в — точный угол Брэгга исследуемого кристалла, АО — отклонение угла падения рентгеновских лучей от угла Брэгга, С — фактор поляризации, А — длина волны рентгеновского излучения, Хо,д,-д ~ фурье компоненты рентгеновской поляризуемости.

Поскольку дифракционная задача является двумерной, необходимо задать 4 граничных условия:

Eo(x = 0,z) = l, Eh{x = 0,z) =0, Eo(x,z = 0) = l, Efl(x,z = Lz) = 0.

Численное решение задачи сводится к следующей процедуре. Вдоль оси z вводится разностная сетка из Nz узлов, на которой частные производные по z аппроксимированы разностными производными. В итоге вместо системы двух уравнений в частных производных (1) получена система 2NZ обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменной х, которая решается методом Рунге-Кутта.

Данный метод достаточно гибок, может быть обобщен для расчета рентгеновской дифракции на кристаллах сложной формы, со сложными граничными условиями, с дефектами структуры. Недостаток метода — низкая скорость счета. Для идеальных кристаллов прямоугольного сечения более эффективным методом расчета оказывается подход с использованием преобразования Лапласа.

Применим преобразование Лапласа к уравнениям Такаги (1)

оо

Eo(s, z) = L [Eq{x, 2)] = J Eo(x, z)e~sxdx,

(2)

Eh(s,z) = L[Eh(x,z)] = j Eh(x,z)e~sx dx. o

В результате этого преобразования система уравнений Такаги перейдет в систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

= (ai - s)E0(s, z) + biEh(s, z) + 1,

(3)

dEh(s, Z) \ L rw ч

--= -(a2 - s)Ek(s, z) - b2EQ(s, z)

с граничными условиями Eq(s, z = 0) — 1/s и Eh(s,z = Lz) = 0. Здесь ai, ü2, bi, 62 — коэффициенты, не зависящие от s и z.

Эти уравнения легко интегрируются аналитически. Окончательное решение находится в виде ряда по полюсам функций Eq(s, z) и Eh(s, z) в комплексной плоскости 5:

Ео(х, z) = Res [£o(s, z), s*] eätI, Eh(x, z) = ^ Res [ЯЛ(я, z), sk} eSkX, к к

где Res [f(s), s*] — вычет функции /(s) в полюсе sk.

Результаты расчетов по этим формулам и численно методом Рунге-Кутта представлены на рисунках 2 и 3.

На этих же рисунках для сравнения показаны кривые дифракционного отражения для бесконечно протяженной вдоль осей х и у плоскопараллельной пластинки соответствующей толщины. По абсциссе отложены отклонения от угла Брэгга в угловых секундах. По ординате отсчитывается интенсивность отражения в произвольных единицах, в которых максимум каждой кривой нормирован на единицу. Из этих рисунков видно, что при малой протяженности кристалла вдоль оси х (Lx/Lz < 1) кривые дифракционного отражения (рис. 2(а) и 3(а)) по форме мало отличаются от тех, что были получены в кинематическом приближении. При возрастании протяженности Lx на кривой отражения появляются дополнительные осцилляции, обусловленные интерференцией волн с боковой поверхности (ж = 0) и с верхней поверхности (z = 0) кристалла (рис. 2(Ь е) и З(Ь-е)). При дальнейшем увеличении латерального размера кристалла Lx вклад волн, входящих в кристалл через боковую поверхность, уменьшается по сравнению с вкладом волн с верхней поверхности. В итоге кривая дифракционного отражения асимптотически приближается к соответствующей кривой для плоскопараллельной пластинки (рис. 2(f) и 2(f)).

Во втором разделе рассмотрена динамическая дифракция в рамках рекуррентных соотношений. Вначале приведены рекуррентные формулы Дарвина для плоскопараллельной пластинки и их точное аналитическое решение. Сравнение этого решения с решением уравнений Такаги для такой же пластинки позволяет связать коэффициенты, входящие в рекуррентные формулы с фурье компонентами поляризуемости, входящими в уравнения Такаги.

Далее рекуррентные формулы обобщаются для расчета дифракции на латеральных структурах. На рисунке 4 схематически показан ход лучей внутри кристалла. Проходящие и дифрагированные лучи частично проходят через кристаллические плоскости и частично отражаются от этих плоскостей. Вклад всех этих лучей в некоторой точке, отмеченной черным

(а) 1.0

0.8

0.6

0. 4

0.2

0.0

00

1.0

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

Ь2 = 5 цт Ьх = 5 цт

(Ь) Ьг = 5 цт 1.0 -Г

О 20 40 Цт ьх=20 цт

10 цт (с) Ьг = 5 цт Ь, = 15 цт

-40 0 20 40

(е) Ь. = 5 цт Ьх=25 цт 1.0 -ч-

- 1

л! [

20 40 ь„=150 цт

Рис. 2. Кривые дифракционного отражения для кристалла толщиной Ь2 - 5 мкм при различных протяженностях Ьх. Серой линией изображена кривая дифракционного отражения для бесконечной плоскопараллельной пластинки.

(с) Ьг = 10 цт Ьк= 15 цт 1.0 ■

(Ь) Ьг=10 цт 1.0 -

-40 0 20 40

(е) 1,г=10 цт Ьх = 25 цт 1.0 -I-

0 20 40

Ьх=150 цт

20 40

Рис. 3. Кривые дифракционного отражения для кристалла толщиной Ьг = 10 мкм при различных протяженностях Ьх. Серой линией изображена кривая дифракционного отражения для бесконечной плоскопараллельной пластинки.

кружочком, показан на рисунке 4. Согласно этой схеме рекуррентные соотношения запишутся в виде

= ¿С"1 + Ь^-1, 8

Рис. 4. Схематическое изображение отраженных и проходящих рентгеновских пучков в подходе Дарвина.

где а = (1 - ¿<7о)ехр(%), Ь\ = -г<уехр(г^/), Ь2 = -г'дехр(г<#). Параметр 1п1 = г-, входящий в выражения для коэффициентов а и 6^2, учитывает разность фаз, возникающую при распространении рентгеновского пучка в кристалле от одного узла до другого. В системе алгебраических уравнений (4) индексы тип нумеруют координаты узлов в горизонтальном и вертикальном направлениях, соответственно.

Расчет по формулам (4) позволяет найти значения амплитуд проходящей и дифрагированной волн в любой точке сечения кристалла. Амплитудный коэффициент отражения рентгеновской волны от кристалла находится суммированием амплитуд на верхней и правой боковой поверхности прямоугольного сечения кристалла с учетом разности фаз.

На рис. 5 представлены результаты расчетов карт интенсивностей для кристалла прямоугольного сечения толщиной Ь1 = 3,27 мкм и различной ширины Ьх. В случае кристалла с малым латеральным размером карта имеет вид, отвечающий кинематической дифракции (рис. 5 а), и распределение дифракционной интенсивности соответствует известному закону

2

БтдхЬх/2 2 slnqzLz|2

ЧхЬх/2

С увеличением латерального размера кристалла угловое распределение интенсивности рассеяния в ^-направлении становится все более узким, уменьшается также период латеральных осцилляций. Этот период обратно пропорционален латеральному размеру кристалла.

Полученные результаты полностью согласуются с теми, что получены решением данной задачи путем интегрирования уравнений Такаги.

В третьем разделе второй главы рассматривается дифракция на кристалле с металлической поверхностной решеткой. Пусть штрихи решетки, выполняющие роль поглотителей рентгеновского излучения, представляют собой полосы шириной в полпериода поверхностной решетки и направлены вдоль оси у, то есть перпендикулярно плоскости дифракции (рис. 6). Наличие металлических полос уменьшает рентгеновское поле в направлении прохождения и дифракции.

Дифракционная задача решается в рамках уравнениий Такаги (1). Считаем, что на плосконараллельную пластину из кремния падает плоская волна единичной амплитуды, промодулированная ступенчатой функцией /(г), указанной на рисунке 7. Эта функция моделирует периодически расположенные металлические поглотители рентгеновского излучения.

Решение уравнений Такаги ищем в виде разложения амплитуд проходящей и дифрагированной волн в интеграл Фурье

ос

Ео(х,г)= 1

— ОО эо

Ек(х,г)= I ^

—ОО

с граничными условиями £(ы,0) = д(ш) и г (со, Ь2) = 0. Здесь д(и) — фурье-образ ступенчатой функции, изображенной на рис. 7.

В итоге получаем решение для дифрагированной волны при г — 0:

ОО

Ек(х, 0) = Ь2 I ^^ 9(Ш) е™ (6)

— ОО

где С? = (з+р)ер-(з-р)е"р, р = ^/я2 - Ьфч, в = ио - («ц + а2)/2.

Вычисляя амплитуду отражения, учтем, что дифрагированная волна на выходной поверхности пластины должна ещё раз пройти через решетку, то есть, амплитуда Е^(х, 0) из (6) умножается на /(х) и интегрируется по

Рис, 5. Карты интенсивностей для кристалла прямоугольного сечения толщиной Lz = 3.27 ¡im и разной ширины Lx: а) 1,35 ¿im, Ь) 5,39 /im, с) 13,5 ßm, d) 53,9 ßт.

Рис. 6. Схематическое изображение геометрии системы. /(*)

L

г--1

Рис. 7. Функция пропускания излучения решеткой. 7 - доля излучения, пропущенного металлической полосой, I — ширина полосы, Ь — период решетки.

выходной поверхности пластины: NL/2+1/2

R= J Eh(x, 0) e~^xf(x) dx =

-NL/2—1/2

00 NL/2+1/2 >

= Ъг\% 9{Ш) J dx.

-oc -NL/2-1/2

Множитель e~'4lX учитывает изменение фазы волны при смещении вдоль оси х. В итоге получим

ос

Г dio ер - е~р

R = b2J — g flHffH. (8)

—ОО I

где о/ = -(w - <&).

В третьей главе рассмотрена кинематическая теория дифракции рентгеновских лучей на неидеальных латеральных структурах. Исследованы особенности дифракции в кристаллах трапецеидального сечения с деформациями решетки и хаотически распределенными дефектами. Поскольку

Ях(мти) 15 -15 ях(йт1)

Рис. 8. На левом рисунке — экспериментальная карта распределения интенсивности рассеяния, на левом — расчетная карта для когерентной составляющей.

описание дифракции в таких системах существенно усложняется, то результаты представлены в кинематическом приближении.

В кинематическом приближении для амплитуды когерентно рассеянной волны от кристалла толщиной I в обратном пространстве получено общее решение, которое для трехосевой дифрактометрии с учетом пренебрежения эффектами преломления и поглощения рентгеновских лучей в среде может быть записано в виде

I Пг(г)

= сЬе*" у сЬсеЪ'Ф(х,г), (9)

о ад

где коэффициент аЛ определяет отражательную способность кристалла. Ф(х,г) = ехр(гЪ(и(х, г))) — фазовый фактор кристалла, описывающий крупномасштабные (неслучайные) деформации. Параметр Г2(г) введен как функция формы кристалла и задает пределы интегрирования по осям х и 2.

Распределение интенсивности диффузного рассеяния в обратном пространстве задаётся следующим выражением

I

1*к{ч) = I Лг I <Ь I (¿уЫг^^-Лт^Щг)^,^. (10)

о

ь

Рис. 9. Поле атомных смещений внутри сечения кристалла трапецеидальной формы.

Здесь

оо

т(г'ч) = (2^ / ехрС« (ЧР + Ь[(и(г + р)> - <и(г)>]))

—оо

является корреляционным объемом, зависящим от корреляционной функции

(ехр(гЬ[(5и(г + р) - ¿и(г)Щ - /(г)2 1 - /(г)2

Выражения (9) и (10) описывают когерентное и диффузное рассеяние от латеральных структур произвольной формы, которая задается функцией П(г).

Примем модель латерального кристалла в виде, в котором поле атомных смещений Ь(и(х, г)) = Ь((щ(х))+ (111(2:))) формируется за счет изгиба отражающих плоскостей Ь(и6(х)) = —жз?¡Ь\ и линейного изменения межплоскостного расстояния в глубь кристалла Ь(и;(г)) = -ттг2/1\ (рис. 9). По аналогии с оптикой мы ввели характерные параметры Ь\ = \jRdhki/2 и /1 = \fldhkiТе!, которые представляют размеры первых зон Френеля в

латеральном и вертикальном направлениях. Здесь Я — радиус кривизны

Дй

атомных плоскостей и £г = —--максимальная деформация кристалли-

«ш

ческой решетки по толщине кристалла. Введенная модель нарушений кристаллической решетки соответствует постоянному градиенту деформации вдоль осей х и г.

Для выявления закономерностей формирования дифракционной картины от неидеального латерального кристалла были проведены численные расчеты карт распределения интенсивностей когерентного и диффузного

С г ,р

рассеяний вблизи узла обратной решетки. В расчетах использованы параметры (004)-отражения перпендикулярно поляризованного СиКп излучения для кристалла 1пР. В процессе численного моделирования в качестве постоянных характеристик приняты: толщина кристалла I = 100 нм, размеры первых зон Френеля в латеральном Ьх = 80 нм и вертикальном ¿1 = 80 нм направлении, корреляционные длины Като тх = 10 нм, т2 = 50 нм, статистический фактор Дебая-Валлера / = 0.9, а также площадь поперечного сечения кристалла 5(.

На рис. 10 представлены карты распределения интенсивности когерентного (рис. а, в, д) и нолного (когерентного и диффузного (рис. б, г, е)) рассеяний от кристалла трапецеидального сечения (а = с = 100 нм, Ь = 200 нм). Карты (а) и (б) соответствуют модели кристалла, в котором отсутствуют непрерывные деформации решетки. Наличие линейного изменения межплоскостного расстояния по толщине кристалла (рис. в, г) приводит к незначительному изменению дифракционной картины. В данном случае из-за деформаций решетки наблюдаются смещения карты интенсивности вдоль оси qz на величину Адг — тт1/1\. Добавление деформаций, вызванных упругим изгибом атомных плоскостей (рис. д, е), сильно видоизменяет распределение интенсивности рассеяния в обратном пространстве. Похожие по виду дифракционные картины наблюдались при исследовании с использованием синхротронного излучения нанокристаллических островков 81Се, когерентно выращенных на кремниевой подложке.

Рис. 11 демонстрирует угловые распределения интенсивности диффузного рассеяния от сильно деформированных кристаллов с сечениями одной и той же площади в форме треугольника (рис. а), прямоугольника (рис. б) и параллелограмма (рис. г).

Карты распределения интенсивностей с учетом когерентного и диффузного рассеяний от кристаллов с сечениями в виде прямоугольника (Ь = 300 нм) и параллелограмма (а = -с = 100 нм, Ь = 300 нм) показаны на рис. 12 (а и б соответственно). Как видно из рисунков, дифракционные картины имеют характерные особенности в зависимости от формы сечения. В случае дифракции на кристалле равнобедренного трапецеидального сечения (рис. 10 е) и прямоугольного (рис. 12 а) сечений распределения интенсивности рассеяния имеют вертикальную ось симметрии. Более того, для прямоугольного сечения существует и горизонтальная ось симметрии, смещенная в вертикальном направлении на величину Адг. Симметрия когерентного и диффузного рассеяния нарушается в случае кристалла с сечением в виде параллелограмма (рис. 11в, 126).

-500 500

-500 5(Ю

-500 . 500

Г]^, мкм

Рис. 10. Карты распределения интенсивности рассеяния от кристалла трапецеидального сечения (а = с = 100 нм, Ь = 200 нм). Слева (а, б, д) — когерентное рассеяние; справа (б, г, е) — когерентное и диффузное рассеяние, а. б — кристалл с идеальной решеткой; в, г — кристалл с линейным изменением межплоскостного расстояния; д, е — кристалл с линейным изменением межплоскостного расстояния и упруго изогнутыми атомными плоскостями.

-500

-500 500

<7,. нкм"1

Рис. 11. Распределение интенсивностей диффузного рассеяния от сильно деформированных кристаллов в форме треугольника (а), прямоугольника (б) и параллелограмма (в). Контуры равной интенсивности представлены в линейном масштабе, различие в интен-сивностях между соседними линиями составляет 0.02.

Рис. 12. Карты распределения интенсивностей полного (когерентного и диффузного) рассеяния от кристаллов с сечениями в виде прямоугольника (а) и параллелограмма (б).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработана динамическая теория дифракции для латеральных структур и условиях динамической дифракции. Для кристаллов прямоугольного сечения метод разработан в двух вариантах:

• численное решение уравнений Такаги на разностной сетке,

• решение уравнений Такаги с использованием преобразования Лапласа.

Выяснено, что численный метод на разностной сетке обладает большой гибкостью и может быть применен к более сложным задачам, как: кристаллы с трапецеидальным сечением, слоистые латеральные структуры.

2. На основе теории Дарвина разработан метод расчета динамической дифракции для кристаллов прямоугольного сечения.

3. Получены уравнения Такаги, пригодные для расчета карт интенсивности дифракционного рассеяния. На основе этих уравнений проведены расчеты для кристаллов прямоугольного сечения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1. Колосов С.И., Пунегов В.И. Методы численного интегрирования уравнений Такаги-Топена для кристалла прямоугольного сечения. // Кристаллография. 2005. Т.50. Вып. 3. С.401-406

2. Пунегов В.И., Колосов С.И, Павлов K.M., К теории дифракции рентгеновских лучей на латеральном кристалле с упруго изогнутыми атомными плоскостями // Письма в ЖТФ, 2006, том 32, в. 18. С.65-72

3. Пунегов В.И., Колосов С.И, Теория дифракции рентгеновских лучей на неидеалыюм кристалле трапецеидального сечения // Кристаллография. 2007. Т.52. № 2. С. 215-222

4. Пунегов В.И., Максимов А.И., Колосов С.И, Павлов K.M., К расчету дифракции рентгеновских лучей от многослойных латеральных кристаллических структур произвольных композиционного состава и формы. // Письма в ЖТФ, 2007, том 33, в. 3. С.64-71

5. Punegov V.l., Kolosov S.I., Pavlov K.M. Darwin's approach to X-ray diffraction on lateral crystalline structures. ,// Acta Cryst., 2014. V. A70. N.l. P.64-71

6. Колосов С.И., Пунегов В.И. Обобщение теории Дарвина для латераль-но ограниченных структур. // Алгебра, геометрия и дифференциальные уравнения. Труды Коми научного центра УрО РАН. Сыктывкар. 2007. №182. С.118-124.

7. Колосов С.И., Пунегов В.И. Метод расчета кривых дифракционного отражения от латерально-периодических структур. // Проблемы математики и теоретической физики. Труды Коми научного центра УрО РАН. Сыктывкар. 2011. №186. С.113-120.

8. Колосов С.И., Пунегов В.И. Математическая модель рентгеновской дифракции на кристалле кремния с металлической поверхностной решеткой. // Проблемы математики и теоретической физики. Труды Коми научного центра УрО РАН. Сыктывкар. 2014. № 187. С.133-137.

9. Пунегов В.И., Карпов A.B., Колосов С.И., Мытниченко С.В., Коваленко Н.В., Чернов В.А. Влияние различных факторов на рассеяние синхротронного излучения от многослойной дифракционной решетки. // Современные методы анализа дифракционных данных (топография, дифрактометрия, электронная микроскопия) / Материалы второго научного семинара с международным участием, 26-28 мая 2004 г. / Великий Новгород, НовГУ, С.109-111.

10. Пунегов В.И., Карпов A.B., Колосов С.И. Вычислительная диагностика многослойных дифракционных решеток: влияние формы штриха на угловое распределение отраженной интенсивности. // Материалы международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника», Нижний Новгород, 25-29 марта 2005 г. / ИФМ РАН. Т.2. С.275-276.

11. Колосов С.И., Пунегов В.И. Методы расчета латералыю ограниченных многослойных рентгеновских зеркал. // Материалы международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника», Нижний Новгород, 25-29 марта 2005 г. / ИФМ РАН, Т.2. С.277-278.

12. Пунегов В.И., Карпов A.B., Колосов С.И. Теория дифракции рентгеновского излучения от многослойного зеркала с синусоидальным поверхностным рельефом. // Материалы международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника», Нижний Новгород, 13-17 марта 2006 г. / ИФМ РАН, Т.2. С.392-393.

13. Пунегов В.И., Карпов A.B., Колосов С.И. Теория рассеяния рентгеновских лучей на многослойной дифракционной решетке со случай-

ным расположением штриха в периоде. // Материалы международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника», Нижний Новгород, 13-17 марта 200G г. / ИФМ РАН, Т.2. С.394-395.

14. Колосов С.И., Пунегов В.И. Динамическая теория Дарвина для латеральных структур. // Современные методы анализа дифракционных данных (топография, дифрактометрия. электронная микроскопия) /' Материалы международного научного семинара, 22-25 мая 2006 г. / Великий Новгород, НовГУ, С.170-172.

15. Колосов С.И.. Пунегов В.И. Карты распределения интенсивности рассеяния от латеральных кристаллов в условиях динамической дифракции. //' Современные методы анализа дифракционных данных (топография, дифрактометрия, электронная микроскопия) / Материалы четвертого международного научного семинара. 6-11 сентября 2008 г. / Великий Новгород, НовГУ, С. 124-126.

16. Колосов С.И., Пунегов В.И. Численное решение рентгеновской дифракции на кристалле с металлической фазосдвигающей решеткой. // Современные методы анализа дифракционных данных и актуальные проблемы рентгеновской оптики /' Материалы шестого международного научного семинара, 19-27 августа 2013 г. / Великий Новгород, НФСПбГУСЭ, С.183-185.

17. Колосов С.И., Пунегов В.И. Рекуррентные соотношения в динамической теории рентгеновской дифракции на латеральных системах. // Труды XVIII Международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника», Нижний Новгород, 10-14 марта 2014 г. / ИФМ РАН, Т.1. С. 331-332.

18. Колосов С.И., Пунегов В.И. Динамическая теория дифракции рентгеновских лучей в латералыю ограниченном кристалле. // Рентгеновская оптика — 2014 (материалы совещания 6-9 октября 2014 г., Черноголовка), ИПТМ РАН, С.43-45.

19. Punegov V.l., Karpov V.A.. Kolosov S.I., Mytnichenko S.V., Kovalenko N.V., Chernov V.A. The coherent and diffuse synchrotron x-ray scattering from multilayer gratings. // Abstracts of 7th Biennial Conference on High Resolution X-ray Diffraction and Imaging. Prague. 2004. P.69.

20. Punegov V.l., Kolosov S.I., Irzhak D.V., Roshchupkin D.V. High resolution X-ray diffraction from a semiconductor crystal with the metallic surface

grating: theory and experiment. /7 Book of Abstracts «12th Biennial Conference on High Resolution X-ray Diffraction and Imaging» (XTOP 2014), Villard de Lans, France, September 14-19, 2014, P.169.

21. Колосов С.И., Пунегов В.И. Динамическая дифракция на латераль-но ограниченном кристалле прямоугольного сечения. // Тез. доклада IV Национальной конференции по применению Рентгеновского, Син-хротронного излучения, Нейтронов и Электронов для исследования материалов (РСНЭ-2003). Москва. ИК РАН, 2003. С.340.

22. Пунегов В.И., Карпов А.В., Колосов С.И., Пунегов Д.В. Рассеяние рентгеновского излучения на рельефных и деформированных поверхностных решетках. // Тез. доклада V Национальной конференции по применению Рентгеновского, Синхротронного излучения, Нейтронов и Электронов для исследования материалов и наносистем (РСНЭ-2005). Москва. ИК РАН, 2005. С.251.

23. Колосов С.И., Пунегов В.И. Динамическое рассеяние рентгеновских лучей от кристалла прямоугольного сечения: карты распределения интенсивности в обратном пространстве // Тез. доклада VI Национальной конференции по применению Рентгеновского, Синхротронного излучения, Нейтронов и Электронов для исследования материалов (РСНЭ-2007). Москва. ИК РАН, 2007. С.425.

Заказ №13

Тираж 100

Редакционно-издательский отдел Коми НЦ УрО РАН 167982, ГСП, г. Сыктывкар, ул. Первомайская, 48

V

2 2 /