Теория Галуа для дедекиндовых структур тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТЛЕТЕЕБУРГСгаШ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИБЕРСШЕТ

На правах рукописи

СШОНЯН МОТ ЗАШНОВИЧ

ТЕОР1Н ГАЛУА ДЛЯ ДЕДЕЮЭДОШХ СТРУКТУР

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1992

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математических наук,

профессор Л.В.Яковлев

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор физико-математических наук,

профессор А.В.Михалёв

кандидат физико-математических наук А.В.Степанов

ВЕДУ1ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Киевский государственный университет им. Т.Г.Шевченко.

' Занята диссертации состоится

и24 » 40 1992 г.

в часов на заседании Специализированного Совета

К 063.57.45 по присуждению ученой степени кандидата (¡иапко-ма-тематпческих наук в Санкт-Петербургском государственном упивер ситете ( адрес Совета: 198904, С.-Петербург, Ст.Петергоф1, Библиотечная пл., 2, математико-моханичзекпй факультет СПбГУ > .

Защита будет проводиться по адресу: 1910Н, С.Летог.-урч'; наб. реки Фонтанки, 27, З-ц отач;, зал заседаний 311 (помещение СПОЖ ) .

С диссертацией мозло ознакомиться. в библиотеке им. Л.М.Горького Санкт-Петербургского университета (Университетская наб., ' Д. 7/9 ) .

Автореферат разослан "47 " 00_ 1992 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент

Р. А.шмидт

БИБЛИЙ к А _ з _

. ОБИ|АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМИ. В диссертации рассматривается задача построения аналога теории Галуа .для дедекшдоЕкгс структур и его применение к исследован™ подгрупп линейных групп.

Классическая теория Галуа устанавливает соответствие между подгруппами группы автоморфизмов расширения полей и промезуточ-ньп.!И полями. Наличие этого соответствия позволяет многие вопросы теории полей сводить к теоретико-групповым вопроса;,I и решать их. Так, вопрос об условиях разрешимости уравнения в радикалах удалось решить только при помощи группы Гачуа расширения.

Естественной поэтому является попытка установить аналогичное соответствие в других'ситуациях. Хорошо известны не только такие классические соответствия Галуа, как теория Галуа бесконечных расширений, теория двойственности Понтрягина, соответствие между накрытиями топологического пространства и подгруппами его фундаментальной группы и другие, но и теория Галуа для различных классов колец, теория Галуа для пучков множеств.

Однако не всегда удается построить хорошую теори»' Галуа для всех подобъектов данного объекта и всех подгрупп его группы автоморфизмов. Иногда приходится прибегать к установлению соответствия между малыми частями - решетки подобъектов ¡1 решетки подгрупп. Подобная теория Галуа может помочь либо в исследовании подобъектов, либо в исследовании подгрупп группы,автоморфизмов. Такая постановка не 'является искусственной: она встречается, например, при описании подполей расширения поля, не являющегося нормальным расширением. Теория Галуа расширений полей, не являющихся нормальными, разрабатывалось, например, М.Краснером, и им же была предложена абстрактная теория Галуа, во многом похожая на описанную ситуацию.

Разумеется, поиски аналогов теории Галуа нельзя считать завершенными, и поэтому построение теории Галуа для структур явля-• ется актуальной задачей.

ЦЕЛЬ РАБОМ. Цель«) работы является построение аналога теории Галуа для дедекиндовкх структур, т.е. установление соответствия между подструктурами дедекиндовых структур и подгруппами их групп автоморфизмов, а также его применение к исследовании подгрупп линейных групп.

ЖГ0ДЗл& ЯХЛЩШ1Ш. 3 работе использованы ызтодч и рзэуль-

таты из теории структур и теории групп.

'НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми. Из них отметим следующие:

1. Для трех классов дедекиндовых структур, а именно, для структур длины 2,'для структур длины 3, тлеющих специальный вид, и для дедекиндовых структур конечной длины построен ана- ' лог теории Галуа.

2. В терминах структур получено описание подгрупп полной линейной группы над полем, содержащих группу диагональных матриц. Показано, как из этого описания следует известный результат 3. И. Боревича.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в теории структур и в теории групп, в частности, при изучении подгрупп групп автоморфизмов структур.

АПРОБАЦШ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на совместном семинаре лаборатории алгебраических методов'Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН"и кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета, а также на XVIII Всесоюзной алгебраической конференции (Кишинев, 1985 ) и на II Мездуиа-родпой конференции по алгебре памяти А.И.Ширшова (Баргаул, 1991) .

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликованы & работ: [I] -

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и трех глав и занимает 73 страницы машинописного тенета. Библиография содержит 28 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Пусть 1_ - некоторая структура, Сг - подгруппа группы всех автоморфизмов 1_ . Для подгруппы р группы Ст и подструктуры ГЛ. структуры |_ положим 1_ СР) -= (бе 1_| для всех { е Р $ ,

для всех ГЛ е ГА ^ . Ясно, что Сг(_1-(.Р)) => р » 1_(£-(м>) = ГЛ » но для достаточно слогшк структур трудно ожидать, что близка к р , близка к /М . Поэтому ес-

\

тественно шбрать подструктуру 1_0 структуры 1_ и установить соответствие между подструктурами структуры и подгруппами группы Сг , содержащими группу СгО-<Л = 14 .

Это и делается в работе для ряда случаев. При этом типичной является такая ситуация: незамкнутая подгруппа £ оказывается более близкой не к своему замыканию ( в сшсле соответствия Галуа ) , а к наибольшей замкнутой подгруппе, содержащейся в ней, причем эта замкнутая подгруппа является нормальным делителем Р и равна СгС^оОг.)) , где = ^ Ьо для всех (ер] .

В первой главе работы строится теория Галуа для дедекиндо-вых структур малой длины.

В §§ 1-2 рассматривается структура длины 2 и доказывается следующая теорема.

ТЕОРЕМА (теоремы 1.1, 1.2 диссертации ) . Пусть ' I_

структура длины два с 0 и I,- Сг - подгруппа ее группы автоморфизмов, 1_0 - подструктура 1_ , состоящая из О, I и двух различных атомов , ; Н = Сг(_1_о) - подгруп-

па Сг , состоящая из всех элементов, не двигающих пи ^^ , ни , причем для любых атомов эс. структуры

отличных от еи , • , существует единственный элемент V» е- И , такой, что ^ . Предположим, что в группе

О существует элемент 3" , такой, что 4 .^г '» е^ ^ &1. . Тогда, если группа Н отлотна от групп первого, второго, четвертого порядков, симметрической группы 2>3 и знакопеременной группы Д ц , то ,

I_оСА-О''*)) = М Для любой промежуточной группы р, Цс^с & ,

и любой подструктуры (Ч структуры 1_0 , содер-кащей 0 и I. При этом, если, подгруппа Р отлична от.нормализатора М^(Н) группы Н в Сг- , то ; .(,1о(р)) - Г - Сг(ЫЯ) , а для Ь ^ ЫаСН) будем иметь &(и(Я) = Ь- . &Ц-оСР)) = Н и ^УСгСися>) ■ - циклическая группа порядка 2.

Следует отметить, что в случае, когда Н совпадает с одной из перечисленных в теореме групп, в группе С- имеется ровно одна подгруппа ' Р , содержащая И и отличная от и , МссСИ) , СгОМ , СгО^О , где Мг-{0.^1,1],

Иг-(о.ехД] . Для нее 1_оО~) = 1_оСР) ^{рд], и потому соотношение . 1- з )) - О- ке выполняется.

В третьем параграфе доказывается утверждение о полупрямых

- б -

расширениях, которое впоследствии применяется в построении теории Галуа для одного класса структур длины 3.

ПРЕДДОШШЕ 1.2. Пусть (х- т. группа, ¿Ь и И -такие ее подгруппы, что ТД - нормальный делитель' ,

П "И - ± , (х = ¿Ь ЯД ., причем для любых неединичных элементов е и существует единственный элемент <Д¿6 , такой, что - Мг. . Если существует такой автоморфизм @ группы Сг , что Ъ! - инвариантная относительно © подгруппа Сг , и для всякого Л® в Л^о^Ц), то ¿Ь - группа порядка I, 2' или 3, а И - соответственно группа порядка 2, 3 или нециклическая группа четвертого порядка.

В §§ 4-5 устанавливается соответствие Галуа для конечной структуры 1_ длины 3, имеющей вцц:

ТЕОРЕМА ( теореш 1.3, 1.4 диссертации ). Пусть L0 - подструктура L , состоящая из элементов . О , , ^ , ^ , X, > ! Сг - группа автоморфизмов (не обязательно

всех ) структуры L. ; и пусть в Сг есть такой элемент

_ а а

g- , что е^ 4 , . Предположим далее, что

группа Ц - Cc-CLo) действует транзвдивно как на элементах

^ структуры L. , таких, что4 эсс.^^1 , е^ , гс+ег, так и на элементах 2<e- , таких, что' О ^ 2. эс + , Ъ ж- > ^г , причем в обоих случаях стационарные подгруппы элементов ^ и g тривиальны.. Кроме того, предположим, что существует принадлежащий нормализатору Cr в группе всех подстановок- элементов структуры такой антиавтоморфизм t ; что

fej.' , — , и для любых и) е L , Ц Н

справедливо соотношение (саз)ь — (i^ot)W1 t Тогда, если Сг конечна и порядок- И больше трех, то для любой подгруппы F

группы (х , содержащей И , выполняется соотношение Ь-0-о(Я) = р = Ь(СДЯ) , а для любой^подструктуры ГА структуры 1—о , содержащей структуру -{О.^.эс.зс-! —

1_о(.СгСт) -гл .

Основная цель второй глаЕЫ - построение теории Галуа для 1ары структур 1_ , I—, где Ь- - дедекиндова структура конечной длины, - ее" подструктура той же длины, 1вляющанся булевой алгеброй.

Т20И1.1А 2.1. Пусть 1_ - дедекнндова структура конетаой ;лины, \_о - ее подструктура той же длины, причем -

5улева алгебра, й- - группа автоморфизмов структуры I— , ц > причем совпадает с множеством 1-СВ)

всех инвариантных относительно И элементов из . 1'ог-

ца при выполнении сформулированных ниже условий 1-5 любая подгруппа 1г з Н группы Сг содержит группу Сг^СоС^)) в качестве нормального' делителя конечного индекса, а любая подструктура М структуры , содержащая. О и I, совпадает с иССгСп>) •

В формулировке условий, наложенных на структуру и группу, используется следующее обозначение. Пусть ,- • - , -все ато;гы 1_0 ; для атома ос структуры через Ср^З будем обозначать наименьшее подмножество X, множества , • • - , п , такое, что "2_.

I. Для любого I , I, - X., 2, ^ ' существуют, по

крайней мере, три различных элемента из Н , не меняющих атомы , для которых [рс] I или'(рсЛ^г.^ и меняющих все

остальные атомы, причем мнонество, состоящее из таких автоморфизмов и тоздествегаюго автоморфизма, является подгруппой Сг .

Если С^] = С^З , то существует и & Н , такой, * что ос.^ -' .

3. Существует атом Ы ь 1_ , такой, что ■ >

4. Ег. : автоморфизм ' V» ь И но двигает атом ¿к, , то Чг - для любого атома . , у которого . е [»-З .

5. Дтя любые ¡.4.] , лью, и для любого элемента ^ е- Сг , такого, что е^^е^ , ьФ^Л , [еП-^1-.^ , множество Ц^гНиИи Н не является подгруппой О , где И = • ь + о.з, , = , = .

В третьей главе работы показано, как теория Галуа структур может применяться" в исследовании подгрупп линейных групл.

Если & - некоторое поле, "V - векторное пространство размерности m над к , то структура L (\Г) подпространств пространства V - дедекиндова структура длины

vi . Ее группа автоморфизмов - проективная группа PGL(«,(i). Фиксация базиса пространства "\Г влечет выделение булевой подалгебры L_0 длины л в структуре 1_ С5Л) , и элементы из GrCt-O - это как раз элементы из CrL (lt) , которые в данном базисе задаются диагональными матрицами. Подструктуры L-„ обозреть очень легко, поэтому теорема 2.1 дает описание подгрупп OLi/bfO ,'содержащих группу диагональных матриц. Это описание состоит в следующем.

ТЕОРЕМА 3.Т. Пусть fv - поле, причем саг а к 7, *, \Г - к" - пространство п -мерных строк над- ¡ч. ; ,

бх > ■ ■ • • ^«л -линейные оболочки векторов -•,о) ,

= (0>>± ,0, - • ■ ,0) , • - • '0,1), L- L-O/) - струк-

тура подпространств пространства "V" » \~с - подструктура структуры 1_ , порожденная элементами , ■ • • > .

Тогда для любой промежуточной подгруппы |р , CrL(fl,ti)=>lF существует однозначно определенная подструктура структура,

\_о , содержащая 0 и I, такая, что Cr СЮ с Ь с NСг(£гОО), где N (Cr С.К-0 - нормализатор подгруппы СгО^ ) в группе

CrLO, к) . '

В конце диссертации показано, как из теоремы 3.1 следуст известный результат З.К.Еоревича об описании подгрупп полной линей-' ной группы, содержащих группу диагональных матриц, в терминах понятия сети идеалов.

. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕЖ ДЖСЕРГАЦИИ

1.Симонян А.З. Соответствие Галуа для дедекиндовых структур с дополнениями.- В кн. XVIII Всесоюзная алгебр, конф. Тезисы сообщ., 4.2,' Кишинев, 1965,С.169.

2.Сиыонян А.З., Яковлев A.B. Теория Галуа для дедекиндовых структур.- Деп. ВИНИТИ, К768-Е87 от 18 сентября 1987г., 21с.

3.Симонян А.З. О подгруппах группы автоморфизмов структура длины 2.- Б кн. Международная конф. по алгебре памяти А.И.Ширшова, Тезисы докладов по логике и универс. алгебрам, прикл. алгебре, Барнаул, IS9I, С.131.

4.Симонян А. 3. О группах автоморфизмов структур,- В кн. , Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула: '1'ул. гос. пед. ин-т, 1991, С.ГОГ-Ш.

б.Сш.юнян А.З. Теория Галуа для дедекиндовых структур.II.-Вестн. С.Петерб. ун-та, Сер.1, 1992, Вып.З, С.