Теория распространения звука в слоистых движущихся средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

а г ^

' \

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Институт океанологии км. П.П.Ширшова

На правах рукописи

ГОЛИН Олег Александрович

УДК 534. 21 + 551. 463. 21

ТЕОРИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА В СЛОИСТЫХ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ

специальность 01.04.06 - акустика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в форме научного доклада

Москва - 1992 г.

Работа выполнена в Институте океанологии ни. П.П.Ширшова РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.С.Болдырев доктор физико-математических наук, профессор Ю. П. Лысанов доктор физико-математических наук Н. Е. Мальцев

Ведущая организация: Институт прикладной физики РАН

(г. Нижний Новгород)

Защита состоится «_>_ 1992г. в _ час.

на заседании Специализированного совета Л 130.02.01 при Акустическом институте им. акад. Н.Н.Андреева по адресу: Москва, ул. Шверника, 4.

Научный доклад разослан «_>_ 1992г.

Ученый секретарь Специализированного совета канд. физ. - мат. наук

П. АГПятаков

. - 3 -

■ I. ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. исследования динамики океана, формирования погоды и изменений климата Земли, контроль переноса загрязнений требуют весьма летальной информации о физических параметрах водных масс. По экономическим и техническим причинам необходимый объем сведений о состоянии Мирового океана и его изменениях во времени может быть получен только сочетанием спутниковых наблюдений с дистанционным зондированием водной толщи при помоди звуковых волн [1]. Неотъемлемой частью глобального мониторинга динамики океана является дистанционное определение скорости движения и водных масс. Оно необходимо для исследования течений, измерений завихренности, апвеллинга, потока тепла и других важных океанологических характеристик.

Осушествление акустической томографии течений в океане, помимо трудностей, возникающих и в томографии скорости звука с, наталкивается на две серьезные проблемы. Одна из них связана с современным состоянием акустики движущихся сред. В то время как теория распространения звука в океане при и=0 глубоко и всесторонне разработана, кетоды количественного прогноза и интерпретации акустических полей ■ неоднородной движущейся жидкости развиты совершенно недостаточно. Отчасти это объясняется значительным усложнением математического аппарата теории при переходе от неподвижных сред к движущимся. Вторая проблема обусловлена медленностью океанических течений: их число Маха М=и/с не превышает 2«10~3. Для уверенного восстановления поля скорости и важно отделить сравнительно слабые акустические эффекты течений от влияния более «грубых» факторов (вариаций скорости звука, неопределенностей в положении источника и приенника и т.п.). Это оказывается возможным благодаря использованию физических явлений, вызванных течениями и отсутствующих при и=0. Из них наиболее перспективным для задач акустической томографии океана представляется нарушение акустической взаимности.

Теории распространения звука в неоднородных неподвижных средах уд»»тся далеко продвинуть [2], используя предположение о слоиствстк среды, т.е. о наличии некоторой выделенной координаты, преимущественно вдоль которой происходит изменение скорости звука и плотности р. При этом параметры среды могут зависеть и от других пространственных координат, однако эта заиисимость должна быть слабой либо плавной. Хорошим начальным приближением к условиям реального океана служит плоско-слоистая модель, в которой границы

раздела горизонтальны, а параметры среды зависят лишь . от вертикально! декартовой координаты г. Поскольку 'резкое отличие характерных горизонтальных и вертикальных пространственных масштабов неоднородностей р, с и и икеет место и в тех областях океана, где присутствуют интенсивные течения, при изучении акустических эффектов движения водных масс в океана среду целесообразно считать слоистой в определенном выше смысле. Задачи о распространении звука в слоистых движущихся средах актуальны также в атмосферной акустике и аэроакустике. В первом случае характерное значение числа Маха ветра значительно выше, чем в океане, хотя и остается калым по сравнению с единицей в приземном слое атмосферы; среда близка к плоско-слоистой. Во втором случае число Наха потока может быть сравнимо с единицей; хорошим начальным приближением является цилиндрически-слоистая модель среды [3].

Цель данной диссертационной работы состоит в обобщении на случай движущейся жидкости основных теоретических методов описания распространения звука, оказавшихся наиболее плодотворными в акустике неподвижных слоистых сред, а также в исследовании при помощи этих методов качественных особенностей звуковых полей, обусловленных наличием потока. Такими особенностями являются, в частности, усиление волны при отражении от сверхзвукового потока, анизотропия в горизонтальной плоскости акустического поля ненаправленного источника в плоско-слоистой движущейся жидкости, непараллельность фазовой И групповой скоростей моды, нарушение акустической взаимности при наличии потока. Хотя результаты, полученные в ряде разделов диссертации, относятся к движущимся средам весьма общего вида, основной областью их приложений, по замыслу автора, является акустическая томография течений в океане.

Научная новизна работы заключается в следующей:

предложен новый подход к выводу волновых уравнений из уравнений гидродинамики. На его основе получено приближенное акустическое волновое уравнение дпя трехмерно-неоднородной нестационарной движущейся среды, обладающее широкой областью применимости и содержащее своими частными случаями многочисленные волновые уравнения, использовавшиеся другими авторами. Впервые выведено точное волновое уравнение для звука в трехмерно-неоднородной нестационарной движущейся жидкости со слоистым потоком. Предложена новая форма одномерного волнового уравнения для квазиплоских волн, справедливая в плоско-слоистой движущейся среде с кусочно-гладкими параметрами и позволяющая при

отсутствии горизонтов синхронизма волны и потока легко перенести на среды с течениями существующую теорию квазиплоских волн в неподвижной жидкости;

- описан метод построения высокочастотных асимптотик решений олномерного волнового уравнения в случае, когда горизонт синхронизма может сближаться с одним или двумя горизонтами поворота. Для произвольного относительного расположения горизонта синхронизма и горизонтов поворота рассмотрено сверхотражение звука стратифицированным течением. Дана новая интерпретация физических процессов, определяющих направление энергообмена между звуком и потокам при их резонансном взаимодействии;

разработан метод анализа двумерных интегралов от быстроосциллируюших функций с особенность» типа точки ветвления в предэкспоненциальном множителе. С помощью этого метода построена равномерная по положению точки наблюдения высокочастотная асимптотика поля, возникающего при отражении сферической волны от движущегося жидкого полупространства. Впервые исследовано поле боковой волны и дана ее лучевая интерпретация в движущейся среде без предположений о малости числа Маха потока;

-построена корректная процедура выделения дискретного спектра из точного интегрального представления поля точечного источника в плоско-слоистой движущейся среде в условиях волноводного и антиволноводного распространения. Показано, что при наличии сдвиговых течений дискретный спектр поля точечного источника, вообще говоря, не является суммой конечного или счетного числа мод. Однако отдельные компоненты дискретного спектра могут рассматриваться как нормальные волны асимптотически, на больших по сравнению с длиной волны горизонтальных расстояниях от источника. Отмечены особенности поля мод, обусловленные непараллельностью их фазовых и групповых скоростей в движущейся среде. Установлен ряд универсальных свойств фазовых и групповых скоростей код в волноводах, заполненных движущейся жилкостью;

исследованы свойства сикметрии звукового поля в неоднородной движущейся среде относительно перестановки источника и приемника. Показано, что при определенных условиях принцип взаимности и теорема обращения потока (ТОП), будучи сформулированы относительно различных характеристик звукового поля, могут выполняться одновременно. Доказана ТОП для акустико-гравитационных волн в плоско-слоистой жидкости. Удобные для приложений локальные формулирована ТОП получены в трехмерно-неоднородной среде для высокочастотного звука и в рамках метода параболического

уравнения, а для плавно-нерегулярных волноводов - также в адиабатическом приближении метода двухмаситабных разложений;

найдена высокочастотная асимптотика поля в трехмерно-неоднородной движущейся жидкости при наличии простой каустики. Показано, что геокетро-акустическое решение, будучи само по себе непригодным в окрестности каустики, содержит всю информацию, необходимую для вычисления дифракционных поправок. Разработан эффективный алгоритм математического моделирования высокочастотных звуковых- полей в плоско-слоистой жидкости, основанный на явных формулах для фазы и амплитуды поля на луче в среде с кусочно-линейной аппроксимацией скоростей звука и течения и обеспечивающий дифракционную коррекцию лучевого результата в окрестности простой каустики. Предложен и реализован численно непертурбативный алгоритм решения кинематической обратной задачи восстановления скоростей звука и потока с и и в слоистых средах, сводящийся при и-?0 к известному преобразованию Абеля;

указана величина, остающаяся неизменной на захваченном плавно-нерегулярным волноводом луче при распространении звука в трехнерно-неоднородной движущейся жидкости. Показано, что наличие в среде отражавших и преломляющих границ не препятствует сохранению лучевого инварианта. Установлена адиабатическая инвариантность проинтегрированной по толщине волновода плотности волнового действия в моде. Построено обобщение теории «горизонтальные лучи - вертикальные моды» на плавно-нерегулярные волноводы в движущейся среде с кусочно-гладкими параметрами, наклонными икпеданснымн границами и потоком общего вида;

выведены двух- и трехмерные параболические волновые уравнения (ПУ), описывающие распространение монохроматического звука в океане с течениями и содержащие своими частными случаями ряд пу, предложенных другими авторами. Аналитически и численно исследованы свойства звукового поля в движущейся среде в рамках параболического приближения и границы применимости последнего. Методом ПУ впервые осуществлено численное моделирование распространения звука через мощные струйные течения в океане с учетом изменений скоростей звука и потока по трассе. Установлена важная роль зависимости и от горизонтальных координат в формировании акустического поля в реальных условиях. Рассмотрены приложения разработанного, математического аппарата к решению обратных задач определения местоположения источника и восстановления профилей с и и по данным акустических измерений на вертикальной антенне.

Практическая ценность. Разработанные в- диссертации теоретические методы позволяют описать распространение звука в океане с течениями я в атмосфере при налички ветра в широком диапазоне частот волн и расстояний, в том числе при учете горизонтальных иеоднородностей среды, а также установить границы применимости ряда широко распространенных приближенных способов учета движения жидкости. Предложено несколько схем акустической томографии мощных струйных течений в океане, опирающихся на результаты изучения соотношений взаимности в движущейся среде, и сформулированы требования к геометрии эксперимента, излучаемым сигналам и точности измерений, обеспечивающие надежное восстановление полей скоростей звука и течения. В Институте океанологии развитые в диссертации методы решения прямых и обратных задач и реализующие их компьютерные алгоритмы систематически используются в исследованиях по проекту «Акустика» Общегосударственной комплексной программы «Мировой океан». Основные положения построенной в диссертации теории вошли в курс лекций, читаемый студентам кафедры физики гидрокосмоса МФТИ.

Область применимости развитых в работе подходов к построению асимптотик двумерных интегралов от быстроосциллирующих функций с особенностями внеэкспоненциального множителя и решений уравнения Гельмгольца с близкими полюсом и нулями коэффициента при искомой функции далеко выходит за рамки задачи о звуковых полях в плоско-слоистой движущейся среде. Эти подходы могут быть использованы, в частности, при исследовании распространения электромагнитных волн в плазме и возбуждения поверхностных и боковых волн источником колебаний в анизотропных стратифицированных твердых телах.

В диссертации выносятся на защиту:

1. Волновое уравнение для звука в трехмерно-неоднородной нестационарной среде со стратифицированным течением.

2. Приближенное акустическое волновое уравнение для трехмерно-неоднородной нестационарной среды с потоком общего вида.

3. Модифицированное волновое уравнение для волн с гармонической зависимостью от горизонтальных координат и времени в плоско-слоистой жидкости, не содержащее производных от параметров среды, и полученное на его основе обобщение известной теории таких волн на среды с течениями.

4. Асимптотический анализ и физическая интерпретация

резонансного взаимодействия звука с потоком жидкости в случае, когда допускается сближение горизон синхронизма с горизонтаки поворота волны и, следовательно, усиление звука потоком может иметь значительную величину.

5. Соотношения типа взаимности для акустике-гравитационных волн, создаваемых источниками различных типов в плоско-слоистой движущейся среде.

6. Высокочастотная асинптотика поля, отраженного от движущегося жидкого полупространства при падении сферической волны.

7. Лучевая интерпретация и вычисление поля боковой волны в движущейся среде.

В. Вывод и анализ выражений для дискретного спектра звукового поля точечного источника в плоско-слоистой движущейся жидкости.

9. Оценки фазовых и групповых скоростей мод в волноводе с произвольной стратификацией плотности и скоростей звука и потока.

10. Равномерная высокочастотная асимптотика поля в трехмерно-неоднородной движущейся среде при наличии простой каустики.

11. Алгоритн и результаты математического прогноза высокочастотных звуковых полей в океане и атмосфере на основе лучевых формул с каустической коррекцией.

12. Метод непертурбативной инверсии времен распространения акустических сигналов для определения профилей скоростей звука к потока по схеме встречного ¿распространения.

13. Теорема обращения потока (ТОП) для высокочастотных звуковых полей в трехмерно-неоднородной среде и для поля моды в плавно-нерегулярном волноводе.

14. Адиабатическое приближение для поля точечного источника звука в нерегулярном волноводе в движущейся жидкости.

15. Обоснование сохранения <лучевого инварианта» на лучах, захваченных плавно-нерегулярным волноводом в трехмерно-неоднородной среде.

16. Вывод и анализ условий применимости параболических волновых уравнений (ПУ), описывающих распространение звука в океане с течениями. Доказательство закона сохранения акустической энергии и ТОП в рамках параболического приближения.

17. Численное моделирование распространения низкочастотного звука через мощные струйные течения в океане методом ПУ.

Апробация результатов. Материалы диссертационной работы

докладывались на IX * X Всесоюзных симпозиумах по дифракции и распространению волн (Телави, 1985; Винница, 1990), IV Всесоюзном симпозиуме по физике акусго-гидродинамических явлений и оптоакустике (Ашхабад, 1985), Всесоюзной конференции «Проблемы стратифицированных течений» (Юрмала, 1988), III, V и VI Школах -семинарах «Акустика океана» (Звенигород, 1984, 1988, 1990), XI Всесоюзной акустической конференции (Москва, 19Э1), Симпозиуме по подводной акустике 12-го Международного акустического конгресса (Галифакс, Канада, 1986), VII Симпозиуме по гидроакустике (Гдыня, Польша, 199Q), Международном семинаре по морской акустике (Пекин, КНР, 1990), XII Конференции по аоро- и гидроакустике (Шатильон, Франция, 1991), а также обсуждались на семинарах по проекту «Акустика» Общегосударственной комплексной программы «Мировой океан» и семинарах в АКИН, ИОАН, НПФ АН, ЛОМИ. АН.

Личный вклад автора. Отдельные результаты, относящиеся к геометрической акустике идеально-слоистых срая, получены совместно с Д. ю. Михиным. Все остальные аналитические исследования, вошедшие в диссертацию, выполнены лично автором. Результаты, связанные с численным моделированием звуковых полей, получены под руководством и при непосредственном участии автора совместно со студентами, а впоследствии - аспирантами Д. Ю. Михиным, С. Я. Молчановым и А. В. Моховым, которым автор, выражает искреннюю признательность.

Объем работы. По представленным на защиту материалам опубликовано 2 обзора, тезисы 12 докладов на всесоюзных и международных конференциях и 18 статей. В наиболее полном и

систематизированном виде результаты работы изложены в монографии * *

[12 ] и особенно в ее расширенном англоязычном варианте [14 , 34 ]. Список упомянутых работ помещен в конце диссертации. В ссылках номера этих публикаций отмечены звездочкой.

II. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДСТАВЛЕННЫХ К ЗАЩИТЕ МАТЕРИАЛОВ

Сформулируем основные допущения, систематически используемые в работе. Все рассмотрение ведется в рамках линейной акустики и ограничено задачами в детерминистической постановке. Диссипация волн описывается феноменологически путем придания положительной мнимой части волновому числу в уравнениях, которым подчиняется акустическое поле в отсутствие поглощения. Еслр не оговорено противное, на значение числа Маха потока не накладывается никаких

огранкчений. Повсюду течение считается устойчивым, что в случае стационарной (т.е. с независящими от времени параметрами) среды позволяет рассматривать монохроматические волны. При исследовании поля сосредоточенного источника дополнительно предполагается, что поток акусгичечской энергии направлен от источника.

Глава 1. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗВУКА В ДВИЖУЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ

* А

$1.1. Система уравнений линейной акустики [12 , §1; 34 ,§4,1]

Возмущения v. р, р' скорости частиц и, давления ро и плотности р в звуковой волне в линейном приближении по ее амплитуде удовлетворяют уравнениям .

dv/dt ч- (v7)u = -Vp/p + p'VP0/P2 -I- f/p, d/dt ■ a/at + u7, (l)

dp'/dt + p' div u t div(pv) = pa, (2)

которые - представляют собой линеаризованные уравнения Эйлера и непрерывности. Здесь t - время, Г и а - объемные плотности сторонней силы и объемной скорости, создаваемых источниками звука. В (1) мы пренебрегли вязкостью, а также действием отличных от источников звука сторонних сил, включая силу тяжести. Полное значение давления P=P0+P связано с плотностью р=р+р' и энтропией S единицы объема жидкости, а в многокомпонентной среде - и со значениями концентраций С различных примесей, уравнением состояния •р-р(р,3,с). Пренебрегая диффузией примесей и считая происходящие в жидкости термодинамические процессы адиабатическими, уравнение состояния удобно записать в виде

(d/dt + v7 J р = с2(d/dt 4 V7)p, с2 s <ap/3p)5 - . (3)

В линейном приближении по амплитуде волны (3) лает

V7p0 + dp/dt = с2 (dp'/dt + vVp) + (с2)' dp/dt, (4)

где с - значение с в отсутствие волны, (с2)' в с2- с2.

Уравнения (1), (2), (4) представляют собой систему уравнений линейной акустики движущейся среды. Если dp/dt = о, то эта система, насчитывающая 5 скалярных уравнений относительно пяти скалярных неизвестных (р, р' и трех компонент v), является полной. В общем случае система содержит дополнительную неизвестную величину (с2)'. Полноты системы можно добиться, используя вместо (4) уравнение состояния в виде линейной связи р с р' и возмущениями S' и С' плотности энтропии и концентрации примесей

[4]. Увеличения размерности системы и появления в ней

дополнительных термодицз.няческмг характеристик сресы типа

(3p/3S)~ * удается избежать, используя аналогичное (3) соотношенкэ

Р-с -а -

пропорциональности конвективных производных по времени от с яр.

Этот прием позволяет суиественно упростить преобразования системы

уравнений линейной акустики и систематически используется п

работе.

*

§1. 2. Неоднородная среда со слоистым потоком [27 ]

При анализе распространения волн в движущейся жидкости необходимо принимать во внимание, что физическим смыслом обладают только тэ модели среды, в которых зависимости от координат г к времени t плотности р и скоростей звука и потока сии» = (и^ и2, из) связаны между собой уравнениями гидродинамики, записанными для невозмущенного звуком состояния среды.

В рамках лучевой теории в большом числе работ рассматривалось влияние параллельной 7с компоненты и на рефракцию звука в стационарной плоско-слоистой среде (см. обзоры [5,6] и цитированную в них литературу). При этом реализуемость потоков с ц7с » о или вовсе не обсуждается, или условием существования потока с из*0 считается сфоркулировакноэ С. В. Чибисовым [7] на основании общих результатов исследования А.Л.Фридманом [8] динамически возможных движений сжимаемой жидкости соотношение dUj/dz = const du^dz. В работе [27 ] путем анализа уравнений гидродинамики для жидкости, находящейся в, однорядном поле силы тяжести, в пренебрежении вращением Земли показано, что для реализуемости потока с из*0 наряду с этим соотношением необходимо выполнение целого ряда дополнительных условий, налагаемых на с, р и и, которые в совокупности делают невозможным сколько-нибудь адекватное описание реальных океанских или атмосферных условий в такой модели. В частности, из предположений u=u(z) , из*0, p=p(z) вытекает daul2/dz2=0, pu3=const. В более общей ситуации, когда р=р(г) , из условия существования поля давлений pQ(г), удовлетворяющего уравнению Эйлера, вытекает линейная зависимость функций dut 2/dz, т.е. условие Фридмана-Чибисова, а также коллинеарность векторов du^/dz и V^p; из обращения из в нуль в «акой-либо точке, например, на поверхности земли или на границе морского дна, следует и^о. (Здесь и далее симвел а^ означает вектор с компонентами (а ,а ,0).)

Напротив, в случае u^O предположение • пл»ско-слоистом потоке: u=u(z) - совместимо с весьма общими

пространственно-временным! неоднородностями рис (требуется лишь <1р/с1Ъ«0, ас/аъ=0) я позволяет свести систему (1), (2), (4) к одному замкнутому волновому уравнение относительно акустического давления:

Ьр + 2

<3и Ш

И 1 ар

'Нртй

)

<1

йа

•аг [-аъ-

а IV

I1.)]-

(5)

где

4 г 4 / 1 4Р * /'Р ->1

ьР . _ Г _ ( —2 — I - — 1 •

«И: 1- <И: I рс* « I р

(6)

Ранее волновое уравнение было известно [5; "3, §1] при тех же предположениях о скорости течения для сред с независящими от х, у, t скоростью звука и плотностью. Влияние силы тяжести учтено при выводе тачных волновых уравнений в движущихся плоско-слоистых сжимаемых средах в работах [5 ,9].

Аналога -сформулированных выше утверждений могут быть установлены для цилиндрически-слоистых сред [27 ]. Так, если q(y, г) и VI у, г) - некоторые ортогональные криволинейные координаты на плоскости уг и и»(и (я) >0,0), то ограничения на допускаемые пространственно-временные зависимости с л р сводятся к требованиям йс/<1Ъ=0, <1р/аь= 0, и для акустического давления удается получить замкнутое волновое уравнение

(а, ЧЬИ--те ЫГ 2

Ы"

17 q Р

.(7)

Оно обобщает на трехмерно-неоднородные нестационарные жидкости известное уравнение Голдстейна [3, §1. 2], полученное для слоистой среда, в которой с=о(9), р=р(д).

§1.3. Приближенное волновое уравнение для звука в нестационарной движущейся жидкости [7*. 13*; 34*, §4- 1]

Аналитические и численные исследования распространения звука существенно упрощаются, когда систему уравнений линейной акустики удается свести к замкнутому уравнению для какой-либо скалярной величины. В общем случае нестационарной неоднородной движущейся среды получить замкнутое волновое уравнение не удается. Предположим, что число Маха течения М=и/с мало (М«1), а характерный временной масштаб т изменчивости и, р, с велик по сравнению с периодом ЗЕуковой волны. Чтобы формализовать эти

предположения, будем считать величины и, др/дЬ, 9 с/вЬ пропорциональными малому параметру ц, Эц/ас - пропорциональным дг и т.д., где (X « тах(Н,1/£т), { - характерное значение частоты звука. В работе [13 ] предложена регулярная процедура, позволяющая получить приближенное замкнутое уравнение для р с точностью до

членов, пропорциональных ц" с любым наперед заданным №1, 2, 3.....

В основе вывода приближенных волновых уравнений лежит соотношение

эи в , г ар ч <1 гаа /е п аи а ,

* + 2 ах; аЗГ [ Р ах; ] - [ж - рр]] " 2 -ах^ Д-р )-- 2 аЛ _! ВЛ + [( Р1 + -^111) 1 ^ . Г!£р1

ах( аъ ахк II р сг > р аъ рс.г -1 Г I р2 '

1 ар , аи с а Г р' ар , эи эу ч

+ (У7)--+—11 — -5 — " (у7) ик--— Г • <8)

р ас ^ ах I эх I- Р ах ^ ах ах >

к 1 г к I J

Здесь и далее по повторяющимся индексам 1, з. К, пробегающим значения от 1 до 3, подразумевается суммирование. Соотношение (8) суть точное следствие системы (1), (2), (4). Оно не является замкнутым уравнением относительно р, но коэффициенты при неизвестных величинах-V, о', (с2)' и производных от них в (8) стремятся к нулю при д->0.

Отбрасывая в (8) квадратичные по малому параметру члены, после несложных преобразований получаем приближенное замкнутое уравнение :

Эи 8 л ар, 1 с1 , <11, <3 Г * ЭиЭ ^ + 2 аЗГ эЗГ (р а>г) " р^В (р ж] + Ж &>) " 2 ^"эх, ЬГ

1 а(Рсг) , 1р , 1 г I <*Р > 1 г<^с2 ,г .

=--— - - ----- <31У - +

ос2 аъ V р > р р <31 > рс2 I- dt ( р '

1 + 0(цг) . (9)

р ас -I

*

При учете силы тяжести аналогичное уравнение было получено в [7 ] применительно к распространению звука в океане, рассматриваемом как стационарная движущаяся среда.

Анализ точного соотношения (8) показывает, что погрешность уравнения (9) обращает в • нуль не только при М-»0, т-*», но и в

ГУс2 ар

другок предельном случае плавных неоднородностей среды, когда пространственный масштаб Ь изменения р, с и и велик по сравнению с характерным значением с/£ длины звуковой волны. Выписанная в (9) оценка навязки 0( д2) будет справедлива и в этом случав, если под малым параметром м понажать м»вах(с/£Ь, 1/Гт). Б частности, в стационарной среде в условиях применимости геометрической акустики уравнение (9) правильно описывает геометрию лучей и фазовую структуру поля при любых М к приводит только к относительной ошибке не более 0( М ) в стараих приближениях для амплитуды поля на лучах, своими частными случаями, справедливыми при тех или иных упрощающих предположениях о среде, (9) содержит многочисленные приближенные волновые уравнения, использовавшиеся другими авторами [4, §4; 10, §34; 11, 12 и др.

глава 2. КВАЗИПЛОСКИЕ ВОЛНЫ

Звуковые поля, создаваемые произвольными источниками в стационарной плоско-слоистой среде, параметры которой изменяются только по вертикали, в широком круге задач целесообразно рассматривать как суперпозицию волн с гармонической зависимостью от горизонтальных координат и времени. Теория таких волн (для краткости будем называть их квазиплоскими) сравнительно проста.

§2.1. Модифицированное волновое уравнение [12*. §§1,3,8-10]

Акустическое давление в отдельной квазиплоской волне р( г, Ь)-р(г,о,и) „ехр(1зг-как функция г удовлетворяет вытекающему из (3) одномерному волновому уравнению

в2р а ар

—---(1п р(32) — + (к2/32 - э2)р = 0 , (10)

Зг аг зг

где к=и/с - волновое число, о и з=( вг, О) - частота волны и ее горизонтальный волновой вектор. Течения сказываются на поле через доплеровский фактор который равен отношению частоты

волны в системе отсчета, движущейся вместе с рассматриваемой частицей жидкости, к частоте в лабораторной системе отсчета. В соответствии с результатами §1.2 в идеально-слоистой среде

полагаем и го.

з

В коэффициентах уравнения ( 10) присутствуют производные от плотности среды и скорости течения. Это затрудняет использование уравнения для аналитических и численных расчетов, когда в среде присутствуют мелкомасштабные изменения р(г) и ц(г! или эти

величины известны лишь в небольшом числе точек. Чтобы получить волновое уравнение, не содержащее производных от параметров среды, перейдем к новой вертикальной координате [4,5]

г

С (2) = р~01 i р(и)(32(и) ЙЦ. (11)

г

О

Здесь Р0>о * нормировочная константа размерности плотности, 2о~сопвЪ - произвольно выбранный горизонт. В новых переменных волновое уравнение сводится к уравнению Гельмгольца

агр/зс2 + <ро/р|Зг)г<кг(Зг - зг) р = о (12)

с эффективным волновым числом, зависящим от скоростей звука и течения и плотности среды, а граничные условия на горизонтальных поверхностях раздела в жидкости состоят в требованиях непрерывности р и 3р/3<. Такой характер граничных условий позволяет описывать распространение звука в среда с кусочно-гладкими зависимостями с(г), Р(г), и(г) при' помощи уравнения (12) в цепом, т. е. без наложения условий сшивки на горизонтах, где не существуют производные от р(г) или а(г). Выполнение граничных условий гарантируется тогда уравнением (12) автоматически.

Для квазиплоских волн с фиксированным углом падения з~ш, /3 от и не зависит, а коэффициент при р в (12) пропорционален и2, как ж в неподвижной среде с р=сопэ!;. Это позволяет воспользоваться в случае движущейся среды хорошо разработанными для случая иао, p=const методами построения высокочастотных асимптотик поля. В частности, в [12 , §8] излагается приближение ВКБ, проанализированы условия его применимости и свойства высокочастотных квазиплоских волн; на движущиеся среды обобщен подход Ереммера к построению геометро-акустического приближения. В [12 , §9.1-3) на случай наличия потока распространен метод эталонного уравнения; подробно обсуждаются равномерные и локальные асимптотики решений волнового уравнения при наличии одного или двух горизонтов поворота.

Непрерывно-слоистые движущиеся среды, допускающие точные аналитические решения волнового уравнения ( 12) или «укороченных» волновых уравнений, справедливых в случае медленных (М«1) течений,

в терминах элементарных или известных специальных функций, *

рассматриваются в [12 , §3. 7).

Аналогичное (12) уравнение для квазиплоских акустико гравитационных волн обсуждается в (5 ].

§2. г. Отражение плоских волн

При помощи волнового уравнения ( 12) удается установить ряд универсальных свойств коэффициента отражения V плоских волн от

движущейся плоско-слоистой жидкости с кусочно-гладкими * *

параметрами. Так. в [12 , §§6.1, €.2; 14 , §6.1} проанализировано расположение точек ветвления V как функции компонент горизонтального волнового вектора в и исследована симметрия коэффициентов отражения и прозрачности для слоистых движущихся сред общего вида по отношению к обращению направления хода волны. Рассмотрено отражение высокочастотных плоских волн от

стратифицированной движущейся среды при наличии горизонтов

*

поворота и границ раздела, в т.ч. слабых, внутри жидкости [12 , §10.4]. Получены уравнения Риккати для импеданса квазиплоской

А

волны и ее коэффициента отражения как функции г [12 , §10.1].

Развиты два метода последовательных приближений для вычисления коэффициента отражения от неоднородного движущегося слоя. Од.ш из них [12 , §10.3] основан на сведении уравнения Риккати для V к интегральному уравнению и является прямым обобщением соответствующего подхода [2, §25.5], применяемого для неподвижных слоев. Он пригоден при отсутствии горизонтов поворота и синхронизма волны с потоком, а также мест, где р, с или и меняются скачкообразно. Итерационное решение интегрального

уравнения быстро сходится в случае слабоотражаюших слоев, когда * *

Другой метод [4 ; 12 , §10.2] пригоден для произвольных слоистых сред с кусочно-гладкими параметрами. (12) вместе с соответствующими условиями на бесконечности удается записать в виде интегрального уравнения Вольтерра, которое, как и исходное волновое уравнение, не имеет никаких особенности при сколь угодно больших значениях гралиентов параметров среды. Ряд, представляющий собой решение уравнения Вольтерра, быстро сходится в случае тонких слоев, когда фазовый набег волны в слое мал по сравнению с 1. Для тонких однородных слоев с профилями скорости течения специального вида полученные выражения для V сводятся к результатам работы [13], полученным из других соображений.

* *

§2.3. Резонансное взаимодействие звука с потоком [11 , 25 ; 12*, §9.4]

В отличие от случая неподвижной среды, при отражении от потока может происходить усиление звука благодаря излучению волн

отрицательной энергии в область сверхзвукового течения и вследствие резонансного взаимодействия волны с той частью потока, где проекция скорости частиц и на направление распространения звука равна его фазовой скорости. Отражение высокочастотного звука при наличии резонансного взаимодействия ранее рассматривалось [14] только при таких углах падения, что отличие модуля коэффициента

отражения от 1 экспоненциально мало по большому параметру задачи. *

В работе [11 ] предложен кетод, который позволяет

кайти высокочастотное поле квазкплоской волны при любых углах падения без предположений о малости усиления.

Резонансное взаимодействие квазиплоской волны со стратифицированным потоком происходит в окрестности горизонта синхронизма z=z , определяемого условием ßiz )=0. На этом

с /с

горизонте коэффициенты волновых уравнений (10), (12) обращаются в бесконечность. В математическом плане сложность задачи построения высокочастотной асимптотики звукового поля обусловлена тем, что с точкой z=z могут сближаться еще одна или две особые точки

с

волнового уравнения - горизонты поворота квазиплоской волны. Эталонное уравнение, обладающее таким набором особенностей ж допускающее решение в изученных специальных функциях, неизвестно.

Пусть жидкость безгранична, параметры среды являются гладкими функциями z, причем характерный пространственный масштаб L изменения с, р и du/dz удовлетворяет неравенствам L » k'^s"1. (Физический смысл этих неравенств состоит в требовании малости изменения указанных параметров среды на расстояниях порядка вертикального масштаба изменения звукового поля.) Предположим, что звуковая волна имеет единственный горизонт синхронизма и ровно два горизонта поворота z=zj 2- Тогда асимптотику поля, справедливую вне узкой окрестности горизонта z=zc> удается построить, используя в качестве эталонной точно решаемую в терминах функций параболического цилиндра задачу о поле квазиплоской волны в однородной жидкости с линейной зависимостью u(z). В окрестности горизонта z=z^ легко найти решение (10) в виде рядов по степеням

z-z . В совокупности эти решения позволяют отыскать поле при любых с *

z. Аналогично рассматриваются и другие случаи [12 , §9. 4] с одним или двумя горизонтами синхронизма, с каждым из которых могут сближаться 1-2 горизонта поворота.

В задаче с единственным горизонтом синхронизма и двумя горизонтами поворо.а энергетические коэффициенты отражения R и прозрачности Т, по' маемые как отношение вертикальной компоненты I среднего за период вектора плотности потока мощности в отраженной

и прошедшей в область г=-» волнах к значению I в падавшей волне, приближенно равны [25 ]

Я = 1 + ехр(-л(а1+аг)) + пк ехр(-яаг)/С{<*1) ;

Т = ехр(-п(а1+аг)) . (13)

Здесь а1 г=2п"1|(р(г1 |, 9 ~ фазовый интеграл, г(< гг,

Г 2 2 ^ 1/2 1 Г 60 /а/3 1 л

9(а»Ь) ■ 1 (к $ - в ) ¿г, ««__/_ +--

8Чгг'а> = '

в с

гс(а/2)1/2 па/г , 1 ч , ,3 ,

0(в)--- х + _ Г---

сЪ па V 4а ■> > М 2 -1

гс(а/2)1/2 па/г

е |х + _||Г|---|| , (14)

сп па

Г - гамма-функция. Предполагается, что с, р, и выходят на постоянные значения при |г)~к», и(+»)=о и что р>о при г>г и @<0 при г<гс-

Второе слагаемое в выражении ( 13) для И, равное Т, представляет собой вклад в усиление звука потока мощности, приносимого из области г=-« волнами отрицательной энергии. Влияние резонансного взаимодействия с потоком описывается третьим слагаемым. Оно может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака величины к (14). В отличие от притока энергии из бесконечности, резонансное взаимодействие чувствительно к стратификации плотности среды. При а1 <1 основную роль в энбргообмене звука и потока играет нерезонансный механизм. С ростом толщины «потенциального барьера» (области между горизонтами поворота, где звуковая волна неоднородна) амплитуда прошедшей волны быстро убывает и на первый план выходит резонансное взаимодействие. Если волна имеет лишь один горизонт поворота г=22 (Р(гг)>0), а также для ограниченных струй, когда и(+о>)=0, усиление звука целиком обусловлено резонансным

механизмом.

Резонансное взаимодействие волны с потоком жидкости принято считать [15, §41] гидродинамическим аналогом затухания (усиления) Ландау колебаний в бесстолкновительной плазме, причиной которого является конкуренция поглощения энергии волны в области синхронизма частицами, отстающими от следа волны, и передача волне энергии обгоняющими частицами. Суммарный эффект определяется .-отношением числа частиц, т.е. их функцией распределения по скоростям. Для частиц жидкости она равна п(г) = (<3й/йг)"1, где й-иБ/ ¡з - проекция и на плоскость падения волны. Согласно этой

интерпретации, направление энергообмена определяется значением при z=z производной dn/dz=-dzü/dz2 (dü/dz)"2, что при (dp/dz) * О

с

противоречит изложенным выше результатам. Причина этого, как *

показано в [25 ], заключается в том, *ч<го взаимодействие звука с течением зависят не только от п, но и от распределения поля при z-z^. Физический механизм, стоящий за этим эффектом, становится очевидным, если не только лоток, но и волну представлять как газ квазичастиц - фононов. Интенсивность взаимодействия должна определяться произведением концентраций кваэичастиц двух сортов. Эти соображения приводят [25 ] к тому же критерии k(z^)>0 усиления звука при резонансном взаимодействии, что и асимптотическая теория. Отметим, что, в отличие от внутренних гравитационных волн [16], критерий усиления для звука оказывается локальным: он содержит только значения р и производных от u(z) и р( z) на горизонте синхронизма.

глава 3. ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА В ПЛОСКО-СЛОИСТОЙ СРЕДЕ ПРИ НАЛИЧИИ ПОТОКА

* *

§3. 1. Соотношения взаимности [8 ; 12 , §15. 1] Для звуковых волн справедлив принцип взаимности, устанавливающий перекрестную связь между источниками и создаваемыми ими полями в местах расположения источников в одной и той же неподвижной среде. В случав однородной равномерно движущейся жидкости Л. К.Лямшевым [17] была доказана теорема обращения потока (ТОП), устанавливающая аналогичную перекрестную связь между источниками и полями в средах с противоположными направлениями течения.

* А

В работах [2 , 8 ] вопросы взаимности рассматривались для звука и акустико-гравитационных волн в плоско-слоистых движущихся средах общего вида. Жидкость предполагалась безграничной или имеющей идеальные (абсолютно мягкие, абсолютно жесткие) и импедансные границы. Для спектральных компонент полей (т. е.

квазиплоских волн) на основе линеаризованной по амплитуде волны

*

системы уравнении гидродинамики [8 ] или вытекающего из нее

* .

одномерного волнового уравнения [2 ] установлены соотношения взаимности и ТОП.

В координатном представлении для точечного монохроматического источника ТОП имеет, вообще говоря, нелокальный вид и связывает значения акустического давления в точках расположения источников и в точках, лежащих выше по потоку. Локальную формулировку можно

получить, перейдя к другим характеристикам волнового поля. Так, вводя величину Ф( г, t), определенную равенством p(r,t) = d®/dt = =(-iu + для точечного источника объемной скорости ТОП можно

записать в виде

а11' 5(г' (r^t) = i<2) «"'(r^t) • (15)

Здесь aIJ) - амплитуда источника, расположенного в точке r=rj, ®!J)- создаваемое пи поло; j-1,2. Тильда над буквой выделяет величины, относящиеся к среде с «обращенным потоком», т. е. со скоростью течения ü(z) = -u(z) и теми же профилями c(z) и р(г), что и в исходной среде. В ряде случаев локальную формулировку ТОП удается получить и для величин, икающих непосредственный фязический скысл. Так, если du/dz = 0 при z=z , то для точечного "источника сторонней силы справедливо тождество

Г(1'h'2'(г,»t) = r<a,hm<ra,t) . (16)

Здесь f(J! - амплитуда источника, hIJ>- смещение часткц жидкости от траектории их движения в невозмущеннок звуком потоке.

Долгое время было принято считать [17, 18], что принцип взаимности в движущейся среде не выполняется, и альтернативой ему служит теорема обращения потока. В [8 ] показано, что и для движущейся среды в некоторых случаях удается доказать соотношение взаимности, если надлежащим образом выбрать физическую величину, характер?-*/»®}/;. ^уковое поле. При этом соотношение взаимности и теорема обращения потока;' могут быть справедливы одновременно. Так, в цилиндрической области, ограниченной импедансной поверхностью и заполненной однородной жидкостью со скоростью течения u =(Мс,0,0), ii=const, величина Ер, Е £ ехр[2хкМх/(1-Мг) ], представляющая собой акустическое давление с фазовой коррекцией, инвариантна относительно перестановки излучателя и приемника. Само »е звуковое давление будет инвариантно, если одновременно с перестановкой изменить направление течения на обратное [8 ].

A *

§3.2. Отражение сферической волны [S ; 12 , §12.8]

В то время как отражение цилиндрических и сферических волн от

плоской границы двух однородных полупространств исследовано при

*

иго исчерпывающим образом (см. напринер, 2, гл.4; 12 , §12.1-5]), в случае движущихся сред глубоко изучена только двумерная задача [19, 20]. Для точечного источника известные результаты не выходили за раики первого приближения геометрической акустики [21]. Наличие потока жидкости нарушает аксиальную симметрию поля точечното

источника в слоистой среде. Усложнение структуры звукового поля делает переход от двух- к трехмерным задачак в движущейся среде гораздо более трудным, чем при и»0. В частности, при использовании разложений поля на квазиплоские волны вместо однократных приходится исследовать двойные интегралы от быстроосциллируюпшх функций с особенностями внвэкспоненци&льнрго множителя.

Адекватный математический аппарат, позволяющий находить асимптотики таких интегралов, еще только разрабатывается.

Отражение сферической волны, падающей из неподвижного

полупространства г > О на однородную равномерно движущуюся

*

жидкость, рассмотрено в работе [9 ]. Предполагается, что в среде сформировалось устойчивое течение, отличающееся от течения со скачком I тангенциальным разрывом) скорости лишь в тонком по сравнению с длиной звуковой волны слое в окрестности границы г=0. Влиянием последнего на отражение звука можно пренебречь. Разлагая падающую сферическую волну на плоские, нетрудно- получить точное решение задачи об определении отраженного звукового поля р в виде

г

суперпозиции отраженных плоских волн с горзонтальными волновыми векторами 8=кд(соз$, з1пф, 0), 0 я q < +«, 0 а ф г 2л, где к -волновое число звука в полупространстве г > 0. ф, а также азимут р точки наблюдения (г, (р. г) в цилиндрической системе координат с осью г, проходящей через источник (точку х=0, у=0, г=го), удобно отсчитывать от направления вектора и. Явные выражения для р , не

Г

содержащие квадратур, удается отыскать на больших по сравнению с длиной волны расстояниях II =[г2+(г+г )г],/г от мнимого источника.

Как функция ч коэффициент отражения V(q, ф) плоской волны имеет точки ветвления при q=±l и q=ql 2, ql ■с1/о(М соз^±1) , где М=и/с , с1 и и - значения скоростей звука и течения при г < О. Предполагается, что М < 1. Тогда коэффициент отражения может быть представлен в виде V=Vl(q,^) + Ч2(ц,ф) [ч - причем

функции V 2 не имеют особенностей в существенной области интегрирования. Асимптотику интеграла от V при к^ » 1 легко найти при помощи двумерного метода стационарной фазы. В подынтегральном выражении, содержащем V , может происходить сближение стационарной точки показателя экспоненты и точки ветвления q=q . Поэтому равномерная асимптотика интеграла по q от содержит функции параболического цилиндра После

ряда преобразований удается построить и асимптотику интеграла по ф от такого выражения. В результате для Рг получается соотношение, пригодное при М » 1 и любых значениях <р и угла в , где -агсз1п(г/11 ) . Разномерная асимптотика отраженного поля содержит

функции Dj/2 и D . При u-Ю она переходит в известный результат для неподвижных сред.

Если q]{«>) < 1, то вдали от задаваеиой уравнением е=5(#>), 4 (¥>) »arcsin (р) конической поверхности с вершиной в мнимом источнике полученное выражение для р допускает простую лучевую интерпретацию, в каждую точку наблюдения приходит единственный луч, отраженный по законам геометрической акустики (зеркально). Главный член асимптотики зеркально-отраженной компоненты поля соответствует решению задачи в первом приближении геометрической акустики. Последующие члены дают поправки порядка 1/kEj к амплитуде и фаза этого решения.. Именно поправки определяют отраженное поле в окрестности того отраженного луча, для которого V=0. Кроме того, они могут составлять значительную часть полного звукового поля вблизи границы раздела. Для применимости геометрической акустики необходимо, чтобы суммарное возвышение источника и приемника над границей было велико по сравнению с длиной волны. В области, где 0Q > отраженное поле

представляет собой результат интерференции зеркально-отраженной компоненты и вклада дифракционного (бокового) луча. Угол Иф) имеет смысл критического угла полного отражения для волн с фиксированным значением ф : |V| < 1 при q < sin 8 (ф) и |V| = 1 при q fc sin S (ф) . Ширина окрестности конуса во=5(р), где неприменимы лучевые соображения, стремится к нулю с ростом частоты пропорционально о~>/г. Главный член асимтотического разложения р

г

совпадает с главным членом разложения поля обычного луча, но

—1/4

поправка пропорциональна о , т. е. значительно больше, чем вдали от конуса 0o=5(f). Особенности поля в окрестности критического угла полного отражения, как и в случае неподвижной среды [12 , §14.2], можно объяснить формированием своеобразоной каустики,

образованной при участии семейства дифракционных лучей.

* *

§3.3. Боковые волны [9 ; 12 , §§12.6, 14.2, 14.4]

В движущихся средах рассматриваемые волны сохраняют многие

*

свойства, установленные ранее (см. например, [12 , §14]) применительно к неподвижной жидкости. В работе [9 ] боковая волна (БВ), возникающая при падении сферической волны на однородную движущуюся жидкость, была найдена как вклад в отраженное поле, связанный с точкой ветвления коэффициента отражения. В этой задаче амплитуда БВ обратно пропорциональна частоте волны. Когда вертикальная компонента волнового вектора БВ вещественна, ее фаза

пространства - и прямой волны. Поэтому при ккпульснон возбуждении HB является предвестником. Баковой волне можно поставить в соответствие семейство дифракционных (боковых) лучей. Вследствие сноса звука потоком и обусловленной им непараллельности волнового вектора и групповой скорости в движущейся среде, боковой луч не является, вообще говоря, плоской кривой. Он оказывается трехзвенной ломанной. Два ее звена лежат в полупространстве г > О и образуют с нормалью к границе угол, равный критическому углу полного отражения 5(^). (В §3.3 мы используем обозначения, введенные в §3.2.) Среднее звено идет вдоль границы раздела z=0 в нижней среде. Азимутальное направление ф волнового вектора на боковом луче, приходящем в заданную точку наблюдения, удовлетворяет уравнению

sin(^ - <р) = М [sin^ - ctg9o sin4 Ьдб(ф)) . (17)

* *

При асимптотическом анализе [9 ; 12 , §12. 5] оно возникает как уравнение стационарной точки. (17) может быть получено также из геометрических соображений как условие попадания выходящего из источника дифракционного луча в заданную точку [12*, §14.2]. БВ наблюдается в ограниченной области пространства. В . отсутствие поглощения и при вещественныхИ<р) область наблюдения 5(р) < 0Q s зп/2 заключена между поверхностью некругового конуса и границей раздела сред. На границах области наблюдения фронт БВ смыкается с фронтами зеркально-отраженной компоненты поля и преломленной волны. Для таких азимутальных направлений, что qt( ?>) > 1, HB неоднородна: ее амплитуда экспоненциально убывает с ростом z; область наблюдения в отсутствие поглощения определяется неравенством arcsin[ l/q (р) ] < &о s. п/2.

При отражении сферической волны от слоистого полупространства z < О, параметры которого выходят при z -» -« на некоторые постоянные значения, влияние стратификации параметров на поле БВ при kR( -> ю проявляется через -.'...ачения величины В (коэффициента

возбуждения БВ), равной производной от коэффициента отражения

*

плоских волн по вертикальной компоненте волнового вектора [12 ; §14.4]. Значение производной берется при угле падения, равном критическому углу полного отражения, и фиксированном значении ф. Отвечающее заданному расположению источника и приемника значение ф определяется из уравнения (17), где в роли М выступает предел отношения u(z)/c(z) при z-» -а, а углы ф и <р .отсчитываюгся от направления вектора ц(-»). На основе результатов, описанных в §2. 2, коэффициент возбуждения HB может быть легко вычислен в явном

виде для тонких и слабоотражающих слоев. В общем случае произвольной стратифицированной движущейся среды с кусочно-гладкими параметрами В удается выразить через поле,

возникающее в полупространстве г < 0 при отражении плоской волны

*

с углом падения б{ф) [12 , §14.4].

§3.4. Выделение дискретного спектра поля из его интегрального представления. Распространяющиеся коды [12*, §15.3; 16*; 17*; 34*. §4.4]

Поле точечного монохроматического источника звука в плоско-слоистой движущейся среде имеет точное интегральное представление

в»ЗГС/2 ш

1

р(г,г0)

с1|/1

<р-П/2

е ехр[1БГ соэ(ф-1р)] йэ . (18)

Кы предполагаем, что в среде происходит диссипация акустической энергии, хотя бы бесконечно малая. В (18) г и го - радиусы-векторы приемника и источника, г - г0 з (г созр, г Бл.пр, г-г0), б = = (в соб^т, а О), Т(е,ф) - функция Грина одномерной краевой

задачи, которой удовлетворяет спектральная компонента поля с гармонической зависимостью от горизонтальных координат. Аргументы г к 2о> от- которых зависит Р, для краткости записи будем опускать. Предполагается, что Р при любом фиксированном ¡р является аналитической функцией 5, а местоположение ее полюсов з = £ (й) -

п

гладкими функциями <р. Интеграл по з в ( 18) можно свести к сумме вкладов от полюсов Р, т. е. от дискретных собственных значений вертикального волнового оператора, зависящего от ^ как от параметра, и интегралов по разрезам, соединяющим точки ветвления функции Р. Как и в случае неподвижной среды, сумму вкладов в р( г, г ) от полюсов Г будем называть дискретным спектром поля рй-На больших горизонтальных расстояниях г от источника он является доминирующей составляющей поля в волноводе.

Преобразование внутреннего интеграла в ( 18) путем деформации контура интегрирования в комплексной плоскости 5 затрудняется тем, что интервал интегрирования полубесконечек. Эту трудность можно преодолеть, выражая в (18) экспоненту через функцию Бесселя при помощи тождества

1

Е1ПЧ = ч | з о (чд) (1 - яг) ~1/г <зд

о

и меняя порядок интегрирования по д и по э. Тогда интегралы по э имеют тот же вид, что и в неподвижной среде. В них легко выделить вклады полюсов поперечной функции Грина. В результате для дискретного спектра поля получаек [12 , §13.3]

р»п/2

«„ £гГ В'^) + В(,я)] йф, (19)

" ф-тг/г

Чп = 5пг соз^-р); FJ (э,^) = 0,5 э1" (? О, (4) - (-1) ^ГО^+л) ],

j = 1,2 . (20)

Здесь штрих означает производную от функции по ее аргументу, Fjn>-

вычет функции F в полюсе s = Ç (ф),

) п

1

B(q> = iq | Н^11 (qg) (l-g2)*"2 dg. (21)

о

Суммирование в (19) ведется по полюсам, лежащим в верхней полуплоскости. В движущейся среде вещественная часть Ç может быть

как положительной, так и отрицательной. Пр»*полагавтся, что все

* *

полюса - простые. Интеграл B(q) детально иссл«до*ан в [ 16 ; 34 . §4.4]. В( q) удовлетворяет уравнению В" + В = -2/ïrq и выражается через линейную комбинацию интегрального синуса и интегрального косинуса. Функция В( q) + 2n~'q lnq является целой. При Ira q г 0, q-*o имеет место асимптотическое разложение

2 , 21 4! . . B(q) = е 4 sgn (Req) - — ^ 1--- + — - ...j . (22)

Условимся называть отдельные слагаемые суммы в ( 19) модами. Поле отдельной моды удовлетворяет граничным условиям на обеих стенках волновода (или при |г|-*» в отсутствие границы). Согласно (19), (20), (22), поле каждой коды удовлетворяет также принципу предельного поглощения при г-*». При г-»0 звуковое давление в п-ой моде имеет логарифмическую особенность. В пределе и-»0 оно равно О, 51Г|п)£гН^1> (5пГ) , что совпадает с известным результатом для неподвижной среды.

Рассмотрим поле на больших расстояниях от источника. Основной вклад в ра при больших г вносят распространяющиеся, моды, т. е. те, у которых 1т$п=0 в отсутствие поглощения. Пусть 1го€п= +0 11 существует к > 0 такое, что (ф) | г к при всех ф. Тогда дли

вычисления главного члена асимптотики Р при г » 1/к достаточно

п п

заменить в (19) функцию В главным членом ее асимптотики (22). Применяя метод стационарной фазы, находим

р, - Е {I ¿Б Г/г р1п> ехр +

п

1* > + -Т (2 - эдп (Е О)) } (23)

4 п >Л=ф

п

где Г<п,= Р(п> + ? к'п> - вычет функции Р в полюсе в = £ (ф),

I п 2 • п

- соэ(^-р) [1+2 Ьдг{ф-р} - / а^2] , (24)

п п'

а стационарная точка является решением уравнения

Э |

tg(|(( -(р) = — 1п С , (25)

принадлежащим интервалу < п/2. Если при некотором п таких

решений нет, то соответствующая мода не дает вклада в (23). Если при некотором п существует несколько решений, то каждое из них дает свой вклад в сумму (23). Однако, когда для данного п имеются два близких значения или стационарная точка вырождена

( 10(ф^) | * 1 или Ыф^) = 0), метод стационарной фазы неприменим, и для оценки интеграла по ф следует использовать метод эталонных интегралов. В этих случаях с росток г поле моды убывает не по закону г~1/2, как в (23), а медленнее.

Входящая в (23) величина Г(п) может быть выражена через собственную функцию г, ф) краевой задачи для вертикального волнового оператора. Так, в волноводе с идеальными границами или без границ Р<г>|= - 0,5 £ {г.ф) I (г 1Ф) I . £ удовлетворяет

Г» ПО 1 п 1 п

волновому уравнению (Ю) при £=£^(0), а также условиям на стенках волновода (или при )г|-»<» в отсутствие границ), и нормирована условием

Р(го)02 (£п,|Д,го) | аг [^ + (1-0) 2 (afn/8z)г] / р$3 = эдп

(26)

Здесь интегрирование ведется по слою, занятому жидкостью. Принятый в (26) выбор правой части обеспечивает вещественность собственных функций при вещественных

Азимутальный угол ф задает направление горизонтального волнового вектора п-ой моды, групповая скорость которой направлена

к

от источника к приемнику. Уравнение (25) для угла между

волновым вектором и групповой скоростью моды можно получать также из простых геометрических соображений, используя общее выражение и = аы /За.

В случае, когда волновод представляет собой однородный, равномерно движущийся слой жидкости, заключенный между

параллельными идеальными границами, точное решение задачи о поле

*

точечного источника удается получить [22, 17 ] разными способами, отличными от изложенного выше. В таком волноводе звуковое поле не имеет непрерывного спектра, а для мод получаются не содержащие

квадратур явные выражения. Как в ближней, так и в дальней зонах

*

источника они согласуются [17 ] с теми, что вытекают из общих формул (19), (23).

Возбуждение мод точечным источником звука в волноводе в движущейся слоистой среде .рассматривалось еще в 60-х годах [23], однако корректное решение этой задачи, насколько нам известно, было впервые предложено в [12 ]. Критический анализ предшествующих работ содержится в [16*. 17*]. Для решений модельного волнового уравнения, совпадающего с истинным волновым уравнением в жидкости с р^сопэ-Ь, и=сопз-Ь, соотношения, аналогичные формулам (19), (23), были из других соображений получены в [24]. Описанные выше результаты позволяют оценить область применимости выражений для Рл, использовавшихся в работах [23, 23-27 и др. ] при моделировании влияния на распространение звука ветра в атмосфере и течений в океане. Эти выражения получаются из (23) формальной заменой ф на

п

Ф и й на 1. В случае медленных течений (М « 1) ф-р = 0(М), аг^узф2= 0(М). Поэтому сделанные в [23, 25-27] заключения о свойствах р^ в конкретных задачах справедливы постольку, поскольку можно пренебречь отличием от единицы множителя вида [ 1+0(М) ]ехр[3.£ г 0(Мг)] в поле каждой моды.

п

§3.5. Выделение дискретного спектра поля из его интегрального представления. Общий случай [34 , §4.4]

Пренебрежение вкладок окрестностей конечных точек ф=ч>± л/2 интервала интегрирования в (19), где аргунент функции В ц < 1 и асимптотика (22) неприменима, приводит к погрешности сопэ^к^г в оценке поля моды. Поэтому изложенный в §3. 4 анализ дискретного спектра поля, как и результаты работы [24], в которой предполагалось 1га(;п=о, пригоден только для отыскания главного члена асимптотики ра по степеням 1/г в области г1т^<, 1. Если коэффициент поглощения звука жидкостью отличен от нуля или если

волновод ккеет частично поглощающую границу, а также в случае антиволноводного распространения, 1т; >0 принимает конечные значения. Тогда правая часть (23), экспоненциально убывающая при г-*», ка больших расстояниях становится малой по сравнению с оценкой сопв-Ь/к г погрешности расчета.

Анализ дискретного спектра поля, пригодный при гО и

* п

произвольных г, проведен в [34 , §4.4]. Для оценки интеграла (19) при больших г вместо метода стационарной фазы используется более тонкий подход, опирающийся на предложенный в [34 , §4.4] метод построения асимптотических разложений интегралов вида

П/2 Л/2

г, -1в'

Т, - I В' (a cosa) Q(a) da, Т =

В(а cosa) S(a) da (27)

о о

при |а|» 1. Здесь Q и S - произвольные гладкие четные функции.

Заметим, что полюсами функций F 2( s, ф) (20) при фиксированном ф помимо полюсов s»£ (ф) функции F являются и точки в=£п( lii+Ti). Будем обозначать их ф). Пусть для каждого из рассматриваемых полюсов s=Cn * уравнение (25) имеет

единственное решение в интервале < л/2 и соответствующие

стационарные точки не вырождены. Тогда для суммарного вклада Ры полюсов £ я ? в р справедлива оценка [34 , §4.4]

n n a

Р(п>[1 + 0((с"2г"2)] = II ei)/2irrD|'/2Fl°'(í') (1 + d/ínr) х

J

х exp [ic Г cos(0-p) + in/4] i + h("'/ r + h<nl / r2 . (28)

n Jp.tf 1 г

n

Входящая в (28) величина d (зависит от z, zq и выражается

через 5 (í), Fln>($) и производные от этих функций в точке .

п . п

Коэффициенты h выражаются через интегралы по ф е (у-гс/2,

(Р+тг/2) от комбинаций функций £n<V>) и F(п|(^). Сопоставление (28) и (23) показывает, что при к^г » 1, +0 главный член

асимптотики Р1"' совпадает с n-ым слагаемым суммы (23). Уточнение приведенного в §3. 4 результата идет по двум линиям. Во-первых,

асимптотика Р(Ы содержит слагаемые вида h(nlr**, га=1,2,..., где

( ) m h " не зависит ог г. Они не возникают в случае неподвижной среды.

-1/2 .

Во-вторых, коэффициент при г exp[i£nr cos (Фа~<р)], как и при uso, представляет собой ряд по обратным степеням С г-

п

При суммировании отдельных компонент дискретного спектра слагаемые вида h'^'r"® взаимно уничтожаются [34 , §4.4]. На

ш

горизонтальных расстояниях от точечного источника, больших по сравнению с к*1, дискретный спектр звукового поля в движущейся

среде имеет вид

Л Sn V Sn ' •

х exp £ i^r cos(^-i>) + -4 ] | ' £29)

ф Ф ^

где суммирование ведется по лежащим в верхней полуплоскости полюсам функции Грина вертикального волнового оператора. Откатим, что вклады полюсов подынтегрального выражения не проявляются

в дальней зоне источника, в то время как в ближней зоне вклады полюсов 5 1ф) и ? ((й) имеют сопоставимую величину [17*]. Для вычисления коэффициентов dt, d2, ... при старших членах асимптотического разложения по степеням С г достаточно оценить по формулам метода перевала [12 , §11] вклад стационарной точки ф=ф

I » п

в интеграл по ф от функции exp[i<Snt (i) cos(ф-р)] 5п(Ф) Т ($) .

Величина, стоящая под знаком суммы в (29), представляет собой вклад в поле отдельного горизонтального луча соединяющего источник и приемник. Поэтому описанный в [34*. 54.4] вывод формулы (29) из точного интегрального представления поля можно рассматривать как обоснование использования подхода «горизонтальные лучи вертикальные моды» в случае волновода, заполненного движущейся средой.

По общепринятому определению, нормальной называют такую волну, т. е. удовлетворяющее граничным условиям решение волнового уравнения, которая при распространении сохраняет свою форму [28, §59]. Применительно к слоистым волноводам это означает, что при различных значениях горизонтальных координат поле нормальной волны имеет одну и ту же зависимость от z. Нетрудно убедиться, что в движущейся среде ни Рс"' (28), ни отдельные слагаемые суммы (29) не удовлетворяют этому определению. Более того, путем анализа

решений волнового уравнения (5) , сохраняющих при распространении

*

свою зависимость от г, в [34 , §4.4] показано, что слоистой среде с du/dz * О, дискретный спектр поля точечного источника (в отличие от поля точечного источника в неподвижной среде или линейного источника в движущейся жидкости), вообще говоря, нельзя п эдставить в виде суперпозиции конечного или счетного числа нормальных волн.

Сказанное относится к точным решениям волнового уравнения. Разбиение на непрерывный и дискретный спектры используется, как правило, при описании поля на больших по сравнению с длиной волны

горизонтальных расстояниях от источника. Е этой области отдельные слагаемые суммы (23) могут асимптотическим, при кг» 1, рассматриваться как нормальные волны. Действительно, они удовлетворяют граничным условиям, распространяются от источника, сохраняя свою зависимость от г, и, как нетрудно проверить, асимптотически удовлетворяют волновому уравнению. Это позволяет оперировать понятием нормальной волны при рассмотрении звукового поля в дальней зоне сосредоточенного источника в движущейся слоистой жидкости.

§3.6. Свойства нормальных волн в движущейся среде [12 , §15.3; 15*; 17*; 34*, §4.5]

В неподвижной слоистой среде, моделирующей условий распространения звука в океане и атмосфере, вертикальное распределение акустического давления в коде, ее фазовая V и групповая V скорости в общем случае могут быть найдены только численно. При наличии течений задача существенно усложняется, поскольку появляется зависимость параметров моды от азимутального угла ф, задающего направление ее горизонтального волнового вектора. Тем не менее удается установить ряд универсальных, т.е. на зависящих от конкретного вида стратификации среды, свойств нормальных волн.

Рассмотрим звуковое поле в полупространстве 2<0 со свободной границей г=0. Будем считать, что при г<-Н среда однородна и и=сопэ-Ь. Материальной дисперсией булек пренебрегать. Обозначим г) вертикальную зависимость акустического давления при ,

и=и())(г), р=р)(г) в коде с 5=3^, э=1,2; ¡3 г Ьзо1"/!). Предполагается, что /3>0 при всех рассматриваемых б. Используя

волновые уравнения, ко' * *

получить [15 ; 34 , §4.5] о

ар ар , 1 1 , X

12 1 | . _ ( 1 2

волновые уравнения, которым удовлетворяют р ( г), нетрудно •к * 1,2

<3.2

Г (__ - ___] + р Р

1- аг аг 1р (зг р /зг> 1 р р э2 р Р2'-*

2 2 'Г! "2 2 2 1

(30)

Соотношение (30) справедливо для сред с произвольными кусочно-гладкими профилями р^, сц^1. В неподвижной среде /3^1 и при к^к^ Рх'Рг (30) выражает ортогональность (с весом 1/р1) вертикальных зависимостей поля в модах разных номеров. При цаО ортогональность, вообще говоря, не имеет места.- Обобщенное соотношение ортогональности (30) позволяет легко найти изменения постоянной распространения коды э под влиянием малых изменений

параметров среды, частоты и или угла ф.

Пусть известны собственное значение 5(0) краевой задачи для вертикального волнового оператора и соответствующая вертикальная зависимость акустического давления р(г,ф) в среде с определенными профилями р(г), с(2) и и(г). Изменение «э постоянной распространения, вызванное возмущениями 5р(2), 5с(г) и 5и( г) параметров среды, равно

-1

53 =

1(3,0) Я ¿и г, Эр

< ™ Гр*(кУ-3>) - П

2р ^ аг > -I

ар ас

+ (Зк ' — р ' + с

(31)

с точностью до квадратичных по возмущению величин. Здесь

Г(в,0) = в < р2 + в'2 (Х-р)(др/дг)г > . (32)

Мы предполагаем здесь и далее, что 1(Б,ф)*о, и используем

о

обозначение <Г> для интегралов вида X Р( г) (р(93)

-СО

В частности, если известны э=£о и р=р(£о, г) для некоторой нормальной волны при и=0, то из (30) для азимутальной зависимости постоянной распространения в среде с медленными течениями получаем

8(ф)[1 + о(м )] = 50 - -

аг Г, ар

— (и1 СОвф + и2 в!п*) И аг ] +

аг

(33)

где и - компоненты вектора и. Поскольку и р не зависят от ф, то для нахождения функции согласно (33), достаточно

вычислить два независящих от ф коэффициента, которые представляют собой определенным образом осредненные по глубина х- и у-компоненты скорости течения.

Согласно (31), влияние малого поглощения акустической энергии •в среде, описываемого добавной 1а(г), а^О к квадрату волнового числа, приводит к возмущению а5=1<аЭ3рг>/21(з,0) постоянных распространения. Для распространяющихся нормальных волн в среде без поглошения собственные функции р(г,э,ф) можно выбрать веществеинозначными. Тогда условие смещения собственного значения

с вещественной оси в верхнею полуплоскость записывается в виде Кг, (г)>0. Сформулированные результаты позволяют выделить распространяющиеся нормальные волны, возбуждаемые сосредоточенным источником в непо глотающей среде, и определить величину их затухания при наличии диссипации, вычисляя только вещественные

собственные значения и соответствующие як собственные функции, что

* *

существенно упрощает компьютерные расчеты. В [17 ; 34 , §4.5] показано, что принцип предельной акплитуды и принцип причинности приводят к тону же правилу отбора 1>0 мод, дающих вклад в поле, что и использованный в §§3.4,5 принцип предельного поглощения. При и»0 правило отбора сводится к простому условию а>0.

Для величины, стоящей в правой части (25), из (30) следует

5 ( Щ )ы их [(?« Г * ЕЬг ]> /(3,0) . (34)

где чА=и2 соз(й - - перпендикулярная вектору а компонента

скорости потока и. Хотя значение г(0) зависит только от параллельной в компоненты и, производная дв/аф пропорциональна осреднвнному по 2 значению и^ и зависит, вообще говоря, как от поперечной, так и от параллельной г компонент скорости и. Удобные для анализа и численных расчетов выражения для частных производных дисперсионного соотношения моды э,ф) имеют вид:

(ды/аф)^ = е < и [ (ар/аг)2 + сгрг] > / < (зр/зг)2 + 5грг >,(35)

J

(ди/д&) = шЦв',ф) / < (Эр/Эг) 2 + Б2р2 > . (36)

Они позволяют, в частности, по известным э я , О) =

= (3^,3 ,0) и р(г,в,ф) отыскать групповую скорость моды V а аы/дв = э" в(эи/аэ)^ + Б_2(-зу , £^,0) (аы/ а ф)^ избегая численно неустойчивой процедуры дифференцирования по параметрам э, ф. При иэО направления V и фазовой скорости у=из/52 совпадают. В движущейся среде при фиксированном ф краевая задача для уравнения (10) может иметь отрицательные собственные значения э. Поскольку 1>0, то (36) показывает, что для соответствующих мод угол между « и V тупой или равен л. При э>0 угол между « и V острый или равен нулю.

* *

Сформулируем, следуя [15 ; 34 , §4.5], свойства фазовых и групповых скоростей мод в полубесконечном волноводе со свободной границей в движущейся слоистой среде. Будем считать, что и(г) < <с( 2) при -Н<2<0 и что собственное значение б>0. Более общий

случай, а также волноводы с иными граничными условиями рассматриваются в [34 , §4.5]. Обозначим сц и ин значения сии при z<-H. Величина фазовой скорости заключена в пределах

[c(z) + û(z,!»]„,„ s v(uî сн + йиМ . (37)

Здесь и далее û»' us/s, v^eu^/si минимум берется по z при фиксированном ф. v монотонно убывает с ростом частоты. На критической частоте моды данного номера обращается в

равенство правое, а при и-н-п - левое неравенство в (37). В этих двух предельных случаях групповая скорость v(Q+0,|i) = CH3/S + UH< w(u=»,iû) » cfz^s/s + uizj, где z{ - значение г, доставляющее минимум функции c+û. В общем случае зависимость w от частоты не монотонна. Проекция групповой скорости на направление фазовой

ws ws/s s v(o. (38)

В отличие от неподвижной среды, в волноводе с течениями неравенство з у[и,ф), вообще говоря, несправедливо,

поскольку w может иметь ортогональную к s компоненту и , в отличие от w и V, зависит не только от и, но и от компоненты иА скорости течения. В частности, на критической частоте выполнено противоположное рассматриваемому неравенство wev. Отметим, что оценки (37), (38) нельзя улучшить, заменив найденные границы изменения и и w какими-либо другими независящими от и величинами

глава 4. ЛУЧЕВАЯ ТЕОРИЯ

§4. 1. Геометрическая акустика [12*, §16; 22*; 31*] Традиционно для исследования высокочастотных звуковых полей в движущейся среде широко применяется метод геометрической акустики. Лучи, соответствующие звуковой волне, являются характеристиками уравнения эйконала

c2q2 = (со - uq)2 (39)

и могут быть найдены из системы уравнения [12*, §16.1]

dr/dt = c~'qu + q, dq/dr = -q2<7 lnc - c",q[(q7)u + qxrotu].(40)

Здесь cQ=const, q=ve - вектор волновой нормали, 6(r) - эйконал, т - лучевой параметр. В первом приближении геометрической акустики монохроматическое акустическое давление в точке г(т) на луче

- 34 -

* -1 дается формулой (см. например, [12 , §16.1]) р = exp[iwco 0(r)] х

х е(г), где

Т dr

в(г(т)) = e(r(Tt) ) + j q ^ dr , (41)

г Р(г) я (г) c"(r) D<t ) ,1/2

e(r(r)) = е(г(т )) -----— , (42)

1 Р(г ) Ч (г,) с (г ) D(т) -I

если известны значения эйнонала и анплитуды поля в некоторой начальной точке rJ=r(xi) на луче. В (42) О я д (х, у, г)/д (г,«0,7а) -якобиан перехода от декартовых координат к лучевым. В качестве параметров ао и го> характеризующих рассматриваемый луч, можно, например, взять значения в источнике углов а и г, задающих направление вектора q = q(cosa cos-jr, siria cosr, sin?). Тогда для точечного монопольного источника звука единичной амплитуды, который в однородной равномерно движущейся жидкости создает поле с е(г) = [ (г-г0)а(1-иг/с2) + с"г(и(г-г0) )2]"1/г [12*, §15.2], из (42) следует

в(г (т)) = [р(г) q2(r) с2 (г) cosr0 / D(t) p(rQ) c(rQ)co]1/2. (43)

Здесь через г0 обозначена точка, в которой находится источник звука.

В плоско-слоистой среде легко отыскать решения уравнений луча .(40) в квадратурах и найти траекторию луча и эйконал как функции °о' »о и z' дифференцирование уравнения траектории луча по <*о и jr после ряда преобразований приводит к сравнительно компактным явным выражениям для якобиана D и, следовательно, амплитуды поля. Вдали от точек поворота луча аналогичные результаты можно получить также

не путем решения геометро-акустического уравнения переноса, как в *

[12 , §16.1], а при помощи вычисления асимптотики интегрального

*

представления поля методом стационарной фазы [6; 12 , §16.2].

Для моделирования влияния течений на распробтранение высокочастотного звука в слоистой среде был разработан алгоритм расчета поля в лучевом приближении. В окрестности каустик, где геометрическая акустика перестает быть применимой, в алгоритме предусмотрен учет дифракционнкых эффектов. Это достигается методом, описанным в §4.3. Отличительной особенностью алгоритма, обеспечивающей его быстродействие, является использование явных алгебраических выражений для траектории луча, времени распространения звука вдоль него и амплитуды поля на луче с произвольным числом точек поворота и отражения от границ. Такие

выражения удается получить при кусочно-линейной аппроксимации скоростей звука и течения. На значения числа Маха потока и относительного изменения скорости звука не накладывается никаких ограничений.

При помоши описанного алгоритма были проведены количественные исследования структуры звукового поля в условиях, характерных для Гольфстрима, Южного пассатного течения в Атлантике и экваториальных течений в Индийском океане, а также для некоторых типичных профилей скоростей звука и ветра в приземном слое атмосферы. Показано, что, несмотря на малость числа Маха, струйные течения заметно влияют на параметры звукового поля в условиях глубокого океана, и вызываемые ими изменения поля надежно измеримы

в экспериментах по встречному распространению. Так, в моделирующем

*

условия Гольфстрима примере, рассмотренном в [31 ], при расположении источника на глубине 500н разница расстояний до начала третьей зоны конвергенции при распространении звука по потоку и против него составляет 2,5км на глубине 250м. В третьей зоне изменение интенсивности поля частотой 100Гц доходит до 25дБ.

Во многих работах для описания влияния движения жидкости на звуковое поле при М«1 используется приближение эффективной скорости звука СПЭСЗ), состоящее в замене движущейся среды неподвижной с некоторой эффективной скоростью звука с^, зависящей от скорости потока. Как правило, с^ полагают равной алгебраической сумме скорости звука и проекции и скорости течения на вертикальную плоскость, проходящую через источник и приемник. При помощи сравнения точного выражения (41) с аналогичным соотношением, справедливым в рамках ПЭСЗ, была получена оценка

б « < 0,5 М х2 ~ Мзх - М^ > +• 0(М* + М^а) (44)

для относительной ошибки определения времени распространения. Здесь угловые скобки означают осреднение по лучу, х « 1 " его угол скольжения, а - угол горизонтальной рефракции при и=0, М3 и М -числа Маха, определенные по вертикальной компоненте скорости течения и по горизонтальной компоненте, нормальной к вертикальной плоскости, содержащей источник и приемник. Как правило, основной вклад в S дает первое слагаемое в правой части (44), пропорциональное И. В амплитуде поля на пуче вдали от каустик главный член погрешности пропорционален разности значений и в точках излучения и приема. Эту ошибку можно устранить, если вместе с эффективной скоростью звука ввести эффективную плотность среды р = р(qc/c )г. Е условиях многолучевости основной вклад в

погрешность определения- интенсивности поля в точке вносит накапливающаяся с расстоянием ошибка в значении набега фазы на луче. Как показывают аналитические оценки и численные эксперименты, проведенные при помощи описанного выше компьютерного алгоритма, в реальных океанических условиях именно эта погрешность ограничивает сверху частоту звука (при заданной геометрии задачи) и расстояние между источником и приемником (при фиксированной частоте), на которых можно использовать ПЭСЗ для вычисления анплитуды и фазы поля. Конкретные значения допустимых частот или расстояний зависят от многих факторов: типа лучей, дающих основной вклад в поле, вычисляемой характеристики поля, необходимой точности расчета и т.п..

AAA

§4. 2. Кинематическая обратная задача [22 , 23 , 29 ]

Кинематическая обратная задача (КОЗ) геометрической акустики движущихся сред состоит в восстановлении полей скоростей звука и потока по известным временам распространения звука вдоль лучей и координатам точек их выхода на некоторую заданную поверхность. В акустической томографии океана для решения таких обратных задач (03) применяется метод линейной инверсии, в котором вносимые движением среды и возмущениями Ас скорости звука поправки к временам распространения сигнала оцениваются как интегралы от и и 5с здоль некоторого базового луча. Лял струйных течений в океане (и тем более в атмосфере) такая линеаризация задачи может оказаться недопустимой. Другой подход [29 ] состоит в том, чтобы обобщить на случай движущейся жидкости некоторые из результатов, полученных для неподвижных слоистых сред при помощи интегрального преобразования Абеля.

Пусть в плоско-слоистой движущейся среде на горизонте источника z=z0 известен годограф Т(х,у) некоторого семейства рефрагированных лучей. Предположим, что в среде нет горизонтов, не являющихся горизонтами поворота рассматриваемых лучей. Тогда КОЗ однозначно разрешима, но в замкнутом виде решение известно лишь в специальном случае, когда одна из компонент вектора и(г) постоянна [7]. Однако даже в этом решении исходные данные задаются в виде двумерного годографа Т(х, у), измерение которого в эксперименте

трудноосуществимо. Решение КОЗ удается выразить через одномерные *

годографы [29 ] - значения Т на двух горизонтальных прямых, проходящих через источник, если воспользоваться наличием малых параметров: в океане и приземном слое атмосферы это число Маха М и угол скольжения ж рефрагированных лучей.

Согласно (40), (41), вышедший из источника в направлении положительных г рефрагированный луч возвращается и плоскости г=го через время 2

Г

т = 2 | аг (с0 - ичЛ) (с2|Чз|)" (43)

о

и смещается относительно источника на вектор

х

г

<1=21 Аг [<со - иЧх) и + с2Ча](с2|Чз|)"1 , (46)

*о

где - горизонт поворота, ЧЭ(ЧХ»Ч3)/ Ч3°±[ (с()-ич1)гс"г- ч2]1/г-вертикальная компонента волновой нормали. Параметр д входит в знаменатели (45) и (46) как линейно, так и квадратично, поэтому (за исключением указанного выше специального случая) выражения (45), (46) и их комбинации не приводятся к виду интегрального уравнения Абеля, т. е. подкоренное выражение не удается преобразовать к форме Ь (дх) - Ь2(г), где Ь - некоторые функции. Сведение к уравнению Абеля удается осуществить приближенно, используя малость М и х- В работе [29 ] описаны три приближенных способа решения интегральных уравнений относительно ц(2) и с(г) и исследованы границы их применимости. Наиболее точный из предложенных способов обеспечивает восстановление скоростей

потока и ззука с относительной погрешностью О(М) и 0(М2) *

соответственно. В [29 ] рассмотрены также три другие возможные постановки КОЗ, отличающиеся способом задания входных данных. Представлены результаты численных экспериментов по восстановлению профилей ц(г) и с(г) в океане и атмосфере, исследованы точность полученных решений КОЗ, возможность использования дискретных входных данных, устойчивость полученных формул по отношению к ошибкам экспериментальных измерений; рассмотрена специфика обработки реального годографа.

Основной особенностью описанного выше подхода к КОЗ является его непертурбативный характер: при инверсии не предполагаются известными какие-либо «начальные» профили сии, близкие к восстанавливаемым. При акустической томографии струйных течений в океане непертурбативные способы решения КОЗ целесообразно использовать для получения начальных оценок сии, которые в дальнейшем могут быть уточнены, включая определение зависимости с и и от горизонтальных координат, методом линейной инверсии.

Непертурбативный метод решения КОЗ геометрической акустики

для цилиндрически-слоистой среда, параметры которой зависят только от расстояния R от некоторой оси, предложен в [22 ]. В случае чисто осевого потока с произвольным числом Маха и скоростью звука, удовлетворяющей условию d(cR~l)/dR < О, получено точное аналитическое решение КОЗ и предложены приближенные способы инверсии для более общего случая, когда скорость потока имеет отличную от нуля, но малую по сравнению с с азимутальную компоненту.

★

В работе [23 ] задача восстановления профилен скоростей звука и течения в океане рассматривалась в модовой постановке. Входными данными являлись значения групповой скорости нормальной волны фиксированного номера как функция частоты либо мод разных номеров при фиксированной частоте. В приближении ВКБ определение профилей сии сводится к решению тех же интегральных уравнений, что возникают при лучевом подходе и были рассмотрены в [29 ]. Результаты [23 ] обобщают на случай движущейся жидкости анализ, проведенный в [29] применительно к неподвижной плоско-слоистой среде.

§4.3. Асимптотика поля в окрестности простой каустики [18*, 21*; 34*, §Е.2]

На каустике входящий в выражения <42), (43) якобиан D( т) обращается в нуль, а амплитуда поля на луче е - в бесконечность. Поэтому геометро-акустическое приближение оказывается непригодным в окрестности каустики. Высокочастотная асимптотика звукового поля

при наличии не имеющей особых точек каустики в произвольной „ * *

движущеисл жидкости была построена в работах [18 , 21 ] методом эталонных функций.

Будем предполагать, что параметры среды не зависят от времени, являются гладкими функциями координат и мало меняются на расстояниях порядка длины звуковой волны. По аналогии со случаем неподвижной среды акустическое давление в монохроматической волне при наличии простой каустики целесообразно искать в виде

Р(г) = к1/6 exp[iko(p-iut-iTr/4J [A<nv(Tk2/3)-ik;1/3A<2iV (тк^3)],

СО

A(1,(u,r) = ^ (iko) "JA]l>(r) , 1 = 1,2. (47)

Здесь v - функции Эйри, v' - ее производная, ko=w/cQ - формальный большой параметр задачи, <р(г), т(г), а" (г) - новые неизвестные функции. Исходные формы решений для колебательной скорости и

возмущения плотности отличаются от (47) лишь заменой А^11 на В^"(г) и D^"(r). Подстановка этих выражений в систему уравнон*® линейной акустики и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях к приводит при каждом j к системе алгебраических уравнений относительно A t bJu и dJ1'. при j-О в алгебраической системе правые части равны нулю; при jal они отличны от нуля а выражаются через амплитудные функции А^1' , , D^1' с n a j-1. Допустим, что

ос2 + r(uVr)2 * 0, где а s со - uVp . (48)

Физический смысл этого предположения заключается в отсутствии точек синхронизма звука и потока. Тогда условие существования нетривиальных решений алгебраической системы с j=0 принимает вид

au'Jx + c2V(pVr = О, c2[(Vp)2 - t(Vt)2] = а2 - т(и7т)2 . (49)

Уравнения (49) можно свести к двум уравнениям эйконала (39). В результате tp и х удается выразить через значения 1>1г(г) эйконалов на двух лучах, приходящих в точку г:

<p(r) = [0t(D + 0г<гП/2, т(г) = -( 3[02(г) - ^(г)]/4 )г/3.(50)

Лучи нунеруются таким образом, что когда эйконалы

вещественны.

Аналитически каустическая поверхность задается уравнением

т(г)=0. Она язляатся огибающей семейства лучей. Согласно (50), в

отличие от случая неподвижной жидкости, волновые фронты, вообще

говоря, не ортогональны каустике. Это является следствием

неортогональности луча и волнового фронта в движущейся среде.

Уравнения для определения амплитудных функций А^11 п-ого

приближения вытекают из условий разрешимости алгебраической

системы с j=n+l. При п=0 условия разрешимости удается свести к

уравнениям переноса для амплитуд поля аг(г) нулевого приближения

геометрической акустики на лучах с эйконалами ф и выразить а'° * 1,2 0

через е [18 ] :

д«'» = (-т) ' /4(е, + ег), А'21 = (-г) ",/4 (et - ej . (51)

Значительно проще, минуя анализ условий разрешимости алгебраических систем большой размерности, соотношения (50), (51) можно получить [21*], если исходить не из уравнений линейной акустики, а из приближенного волнового уравнения (9). Его невязка 0(д2) не сказывается на главных членах асимптотики. Однако для анализа старших членов асимптотики подход, использующий систему

уравнений линейной акустики, представляется более удобный.

Такик образок, ны приходим к весьма простому результату [18*]. Функции (р(г), т(г) и А",г>(г), входящие в главный член равномерного асимптотического разложения акустического давления в окрестности простой каустики, выражаются через эйконалы и амплитуды поля на лучах теми-же формулами, что и в неподвижной среде. Это позволяет перенести на случай движущейся среды подробно исследованные [30, гл.2; 12 , §17] свойства звукового поля в окрестности каустики в неподвижной среде, а также результаты анализа условий регулярности асимптотики [30, гл. 2]. Дополнительное условие применимости, не возникающее при uso, состоит в отсутствии точек синхронизма звука с потоком в окрестности каустики, определяемой («равенством к2/3|т|<1.

Выражения (47), (50), (51) хорошо приспособлены для введения в окрестности каустики дифракционных поправок в лучевые расчеты. Эти формулы использовались в описанном в §4. 1 компьютерном алгоритме моделирования высокочастотных звуковых полей в движущейся плоско-слоистой среде. При этон величины tp, т и являющиеся гладкими функциями координат, определялись на «озвученной> стороне каустики и экстраполировались линейно для вычисления поля вблизи каустики на ее теневой стороне.

§4. 4. Теорема обращения потока для лучей [35*]

В приближении геометрической акустики теорему обращения потока, которая рассматривалась в §3. 1 применительно к плоско-слоистым средам, удается распространить на звуковые поля в

произвольной трехмерно-неоднородной жидкости, параметры которой не

*

зависят от времени и плавно изменяются в пространстве [35 ].

Заметим, что обращение потока не меняет зависимостей скорости звука и плотности от координат, поскольку замена u(r) на -u(r) не сказывается на уравнениях Эйлера, непрерывности и состояния, записанных для невозмушенной звуком стационарной среды. Дифференциальные уравнения луча (40) инварианты относительно преобразования г -» const -т, q -> -q, u(r) -> -u(r) . Следовательно, если некоторая кривая г=г(т) описывала луч в исходной среде без границ, а функция q=q(x) давала значение волновой нормали на нем, то в среде с обращенным потоком указанная кривая по-прежнему будет лучом, но из-за смены знаков волновой нормали и групповой скорости w=m-cq/q волна будет распространяться вдоль луча в направлении, противоположном исходному. Из (40), (41) вытекает, что набег фазы при распространении из точки rQ в точку г

в исходной среде совпадает с набегом фазы при распространении из г в г0 в среде с обращенным потоком.

Амппитуда поля е(г, го) в точке г от источника, помещенного в точку г0, и амплитуда е(го, г) в г0 ог источника в г выражаются через расходимости лучевых трубок, исходящих, соответственно, из го и г. Эти трубки образованы различными лучами, общим из них является лишь единственный (центральный) луч, соединяющий точки г и г. Поэтому пропорциональность е(г, го) и е(го, г) не является очевидным следствием обратимости лучей. При помощи исследования зависимости координат точки на луче и направления вектора я в ней

от начальных данных - направления выхода луча из начальной точки

*

и положения последней, ■ в [35 ] показано, что произведение 5=0сдгсоэ1г остается инвариантным относительно перестановки источника и приемника при условии одновременного обращения потока.

Инвариантность Б позволяет с помощью формулы (43) установить связь амплитуды поля, создаваемого монопольным излучателем, на луче в исходной среде е(г, г0) с амплитудой ё(г0, г)

[р(г)сг(г)ч2(г) ]"1е(г,го) = [р(го>о2(го)Ч2(г0)]"5(го,г) .

(Тильда выделяет величины, относящиеся к среде с обращенным потоком. 1 Для амплитуд А^ и Аг полей на луче, создаваемых источниками объемной снорости и силы, ТОП выражается равенствами [35*]

[а'1 ' с (г) д (г) ] " * А^1 ' (г,го) = [5'21с(го)д(го)]" А^2'(г0,г), (52) г121Ч(г) [р(г)с2(г)д2(г)]'1А^) (г,г0) = Г<1>Ч(г0) [р(го)с2(го> х

X Ч2(го)]-1 А^.21 (г0,г) . (53)

Соотношение (52) показывает, что в движущейся среде, в отличие от неподвижной, амплитуда поля точечного источника обьемной скорости не остается неизменной при перестановке излучателя и приемника. Инвариантной относительно такой перестановки, сопровождающейся обращением потока, оказывается отношение амплитуды акустического давления на луче к величине сд=с0-ид, взятой в точке приема.

В терминах колебательного смещения частиц жидкости Ь и введенной в §3. 1 величины Ф в рамках нулевого приближения геометрической акустики ТОП выражается равенствами (15) и (16). При этом под Ф и И можно понимать как полное звуковое поле, так и

А

вклад в наго, связанный с отдельным лучом [35 ]. Показано, что ТОП справедлива на только в безграничной жидкости, но и при наличии абсолютно жестких и абсолютно мягких границ, неподвижных в отсутствие волны. Использование результатов §4.3 позволяет распространить ТОП в трехмерно-неоднородных движущихся средах за пределы применимости геометрической акустики. Так, для поля точечного источника объемной скорости при наличии простых каустик остается справедливым соотношение I 15) [35 ].

Глава 5. ВОЛНОВОДНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ГОРИЗОНТАЛЬНО -НЕОДНОРОДНОЙ КИДКОСТИ

* *

§5.1. Моды в плавно-нерегулярном волноводе [31 ; 34 , §7.3;

3S ]

Наиболее сильные течения в океане приурочены, как правило, к мезомасштабнык вихрям, фронтальным зонам или изменениям глубины дна, т. е. к областям, где наиболее Еыранена горизонтальная неоднородность среды. Даже в этих условиях отношение с характерных пространственных масштабов изменчивости среды по вертикали н горизонтали остается обычно малой величиной. Поэтому для исследования влияния течений на акустические поля в океане задача о распространении звука в волноводе с медленно меняющимися параметрами имеет принципиальное значение.

К рассматриваемому 'случаю ка могут быть непосредственно приложены классические результаты Ф.Брезергона [31], основанные на гахильтоновском формализме описания волн, поскольку для звуна на

непотенциальном течении не известен гамильтониан как функция

* *

канонических переменных. В работах [31 ; 34 , §7.3] для отыскания главных членов асимптотического разложения поля по параметру с« 1 использован метод двухмасштабных разложений.

Предположим, что параметры среды зависят от горизонтальных координат X и У только через комбинации еХ, eY и не зависят от t. Под х и у в §5. 1 будем поникать «сжатые» координаты: х=еХ, yseV. На величину скорости течения U"=(ui(cu3) не будем накладывать никаких ограничений, но будем считать, что не происходит резонансного взаимодействия акустических мед с потоком. Из уравнений гидродинамики следует, что (и^, из) г и = O(l) при е -* О. Жидкость предполагатся заключенной в слое Н^ z í Н2 между двумя импедансными границами, возможно, удаленными на бесконечность. В отсутствие волны Н( = ^ г(х,у), т. е. границы неподвижны и

образуют с горизонтом малые углы порядка с.

Монохроматическое звуковое пол будем искать в виде суммы квазинормальных волн (мод), в каждой из которых акустическое давление

Р - ехр £ - 9(х,у) - з.ьуЬ | А, А « ^ (-1 с) 1 А

(34)

Анзацы для колебательной скорости и возмущения плотности отличаются от (34) заменой амплитудных функций А^ на В^ х, у, г) и 0^(х,у,г). Подстановка этих разложений в систему уравнений линейной акустики после приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях с и исключения неизвестных В( и ^ приводит к набору зацепляющихся дифференциальных уравнений:

агА]/Згг - (Э 1п рр2/дг) дА^/аг + (к2/32 - д2) AJ = QJ . (55)

Здесь ч = 78, 3 = 1- чи/и. Правая часть равна нулю при 1=0; при 3=1 она выражается через параметры среды и функции А^ с п * 3-1.

Уравнения (55) дополняются граничными условиями. В

движущейся среде на импедансных поверхностях для амплитуд Ао и А] они имеют вид [34 , §7.3.3] :

(-1)"1*1 ал/дг = 1ир/з2а /С , т = 1,2, ъ = Н (х,у) , (56)

о о га га

(-1)"41 5А 10А (-1)" (о) X р Ао Ао Ц7/31

ЫрЭ 32 < ЫрЭ

X г А А ОТ/З-,

Ь11"*™,, - - [2 («7) ^ * ^ -г]. (57)

Здесь С„,<х/У) ~ не зависящий от угла падения волн.: импеданс поверхности х, у).

При 3=0 уравнение (35) вместе с граничными условиями (56) определяет краевую задачу для волновода сравнения. Она имеет нетривиальное решение при условии

1г = С2(<4;х, у) , (58)

А0(х,у,2) = е(х,у) ^(г,<(ггх,у) , (59)

где ^ - значение постоянной распространения моды какого-либо

п

номера, £ - вертикальное распределение акустического давления в ней, |Д - угол, образуемый ч с осью Ох. Решение уравнения (58) и определение горизонтального эйконала 9(х,у] сводится к интегрированию уравнений для «горизонтальных лучей»

га = (Х,у) = г1(г)

аг ,знч , (ВН ч

-а? ■ Ы - « + Ыг) -«80,0), - - I - с „,

Г1 ^

(60)

где гамильтониан взят в виде Н(а,г ) = 0,5[чг - £2(г, ]•

1 п X

Используя соотношения (35), (36), (Дг^/йт можно выразить через

параметры моды волновода сравнения:

н

2

йг г йг, и, г,а£ -.г , ч

V

п

и

аг Г

р/з 1-1. аг

где V - групповая скорость моды. Здесь и далее ^ нормируется следующим образом

(рЭ )" /вг) (1 - г + К

Согласно (61), горизонтальный луч, соответствующий моде некоторого номера, является траекторией точки, движущейся на плоскости ху от источника с групповой скоростью этой коды.

Условие разрешимости краевой задачи (55), (57) для функции

после весьма громоздких выкладок удается представить в компактном *

виде [31 ]

сИу(ег йгуат) = 0 . • (62)

Отметим, что уравнения (60) - (62) остаются справедливыми в движущейся жидкости с внутренними границами раздела, которые имеют малые, порядка е, углы наклона к горизонту. Соотношение (62), используя (61), можно переписать как закон сохранения с(1лг(и ,1) = О некоторого адиабатического инварианта н

аг Г , 6 А ,2

[(—01 1 • <бз)

ры3!83 1-1 32 I " 0

1

Он представляет собой проинтегрированную по г плотность волнового действия [31 ].

В работе [5, §2.6] для случая жидкого полупространства с абсолютно мягкой траншей г=conзt в предположении и3"° было получено соотношение, имеющее в наших обозначениях вид (11у<е2аг1/(аг) = е2С(х,у), где

-1 г Э , 1 а ,

с = —- аг г' - —— — [рч(и7)и] } . 2и ■> аг 1 рг$1 аг >

Этот результат не противоречит более простым и широко применимым формулам (61), (62), поскольку (д/дг)р(иЯ)и я О при иззО в силу уравнения Эйлера для невозмущенного звуком состояния среды.

Уравнения (59), (62) позволяют найти в адиабатическом приближении амплитуду поля мояы на горизонтальном луче с точностью до множителя, определяемого типом и силой источника звука. Путь излучатель звука находится в точке го = (х^,уо,го) . Представление (54) акустического давления неприменимо в малой окрестности точечного источника. Можно показать, однако, что в области с2 « [ (х-хо)2 + (у-у )2] « с, где нерегулярностью волновода

можно пренебречь, формулы адиабатического приближения переходят в описанное в §§3. 3, 4 решение задачи о поле точечного источника в плоско-слоистой среде. Это позволяет отыскать коэффициенты возбуждения мод точечным источником. В адиабатическом приближении

итоговое выражение для поля моды, возбуждаемой точечным

*

монопольным источником единичной амплитуды, имеет вид [34 ,

§7. 3. 5]

[с/ВпР(V,ф )] р (Г,Р ) = -—— ехр

р(г0)/3 (г ,К-0)

( X , у )

1

с

Зтт1 4

(к , у )

о о

х £П(20^0;Х0,У0) . (64)

Здесь интегрирование по йг^ ведется вдоль горизонтального луча, соединяющего источник и приемник, а. Фй к ф задают направление вектора д в источнике и в точке наблюдения; О г а (х,у)/а(х,Фо) -якобиант перехода от декартовых к лучевым координатам. По известному полю монополя не составляет труда тыснать поля точечных источников других типов. В частности, акустическое давление в п-ой моде поля точечного источника объемной скорости с амплитудой а получается донножением правой части (64) на л.иар (г) ¡3 (гп,фп) .

Откатим, что зависимости от скорости течения и от направления вектора q входят в краевую задачу для волновода сравнения только через величину р. Поэтому 5 (0;х,у) и f (z,^;x,y) остаются

п п

неизменными при замене 0 на \/iin и u(r) на -u(r). Если дополнительно заменять т на const - т, то инвариантными относительно рассматриваемого преобразования будут и уравнения (60) горизонтального луча. Следовательно, горизонтальные лучи, как и обычные трехмерные лучи, являются обратимыми при условии одновременного обращения потока. Тем же способом, что был использован при доказательстве инвариантности величины S (§4.4),

можно показать, что входящий в (64) якобиан D остается неизменным

* *

при перестановке источника х приемника [34 , §7.3.6; 35 ]. Это позволяет доказать ТОП для источников звука разных типов [34*. §7.3.6]. В частности, для источника объемной скорости величина акустического давления в коде, деленная на амплитуду источника и значение /3 в точке наблюдения, инвариантна относительно перестановки источника и приемника при одновременном обращении потока. В отличие от полного акустического давления, для которого формулировка ТОП оказывается нелокальной даже в плоско-слоистой среде, применительно к отдельной квазинормальной волне удается получить локальную формулировку, поскольку в рассматриваемом случае оператор (d/dt)"1 сводится к умножению на число i/u|3.

§5.2. Лу«евой инвариант [зз*; 34*, §7.5.3]

Пусть в трехмерно-неоднородной стационарной движущейся жидкости существует акустический волновод, параметры которого плавно изменяются в горизонтальной плоскости, причем характерный пространственный масштаб L нерегулярности волновода велик по сравнению с длиной цикла луча S. Будем считать, что для различных характеристик Q волновода, например, его толщины, положения оси, отражающей границы или точки поворота z=z (х,у) рефрагированного луча, выполняется неравенство

ess Q"'[(3Q/3x)2 + (3Q/ay) 2]1/2 « 1 . (65)

В плоско-слоистой среде, согласно (40), q^ (qi,q2,0)=const на луче. Двигаясь вдоль него, за один полный цикл точка возвращается на исходный горизонт и смещается в горизонтальной плоскости на величину

S = f dr dr^/dT

(66)

где г "(x,yfO), f означает интеграл по полному циклу луча. Траектория луча осциллирует между горизонтами z,<z2• которые совпадают со стенками волновода, границами раздела в жидкости либо являются горизонтами поворота. В плавно-нерегулярном волноводе траектория перестает быть строго периодической; z¡ и S становится функциями х и у, которые меняются на расстояниях порядка L. Зависимости zj2(x, у) будем считать гладкими.

Рассмотрим величину

= S (с + й sine)"1 cose dz . (67)

Здесь интегрирование ведется по траектории луча, которую он имел бы в волноводе сравнения, в - острый угол, образуемый векторок q с осью Oz, q - значение q в волноводе сравнения, usuq^/^ -проекция скорости течения на направление вектора «^«(Ч^Ч^О) . При usО (67) переходит в лучевой инвариант Вестона [32]. Используя уравнение эйконала (39), I можно представить также в виде

I = с"1 / q3 dz , (68)

Z ( X ,у)

1 - 5-

c-uq -.2 -ii / 2

0 11 -г 1 dz . (69)

I X , y¡

Наглядный смысл величине I можно придать, выразив ее через 8 и время пробега Т сигнала по циклу луча. В силу (65) Э и Т можно считать равными их значениям в соответствующем волноводе сравнения. Поэтому из справедливых на луче в плоско-слоистой среде равенств ч^г /йт = Чс0/с ~ Ч3 и йг/дг = чз вытекает

X = Т - с"1 о в . (70)

о

Если течение не имеет компоненты, перпендикулярной к чА. го (70) принимает вид 1=Т-Э/ [с(х,у, г) + й(х,у,г1)] для луча, имеющего точку поворота.

Величина I является адиабатическим инвариантом, т. е. К х, у) =сог^ на луче в нерегулярном волноводе, если выполнено неравенство (65). Это утверждение может быть обосновано различными способами. Так, если параметры среды не зависят от одной из горизонтальных координат (скажем, у), то, исключая из дифференциальных уравнений луча (40) переменные у и т, для определения проекции луча на плоскость хг нетрудно получить

dz/dx • iôH/5q3j , dq^dx = - (зн/az ] , (71)

* ' X , Z * ' x , q

3

где H(Z,q3;x) = -(cW) • 1 (c[ (со-иД-иД)!-(с2-и|) (q^+ф -

'со"игЧ2~из'1з^и1)" Система . (71) совпадает с уравнениями одномерного движения материальной точки в случае, когда гамильтониан H адиабатически меняется с изменением переменной х, играющей роль времени. Поэтому сохранение I в форме ( 68) вытекает непосредственно из известного результата механики [33, §49]. Ранее сохранение лучевого инварианта I в двумерно-неоднородной движущейся жидкости было доказано [34] при дополнительном условии параксиальности лучей.

От предположения о двумерной неоднородности волновода можно избавиться, если воспользоваться результатами §S.1. Параметры среды будем считать гладкими функциями z. Тогда для определения постоянных распространения мод высоких номеров волновода сравнения можно воспользоваться приближением ВКБ и представить дисперсионное уравнение в виде [33 ] I = 2cQ(nn + nj/ы, где и - частота волны, п - номер моды, параметр зависит от типа горизонтов z=z в

п 1,2

(69). При таком подходе инвариантность I вытекает из доказанного в §5. 1 сохранения номера моды при распространении вдоль горизонтального луча.

Обосновать сохранение I при значительно более общих условиях, чек описанными выше способами, удается при помощи непосредственного исследования траектории луча в трехмерно-неоднородной движущейся среде с кусочно-гладкими параметрами на базе уравнений (40) [33 ]. Показано, что изменение х,у) от цикла к циклу, обусловленное объемными нерегулярностями, преломлением на внутренних поверхностях раздела в жидкости и (или) отражением от наклонных границ, в главном порядке по с компенсирует вдоль траектории луча изменения I, вызванные зависимостью с, и и z( от горизонтальных координат. В результате, при выполнении условия (65) относительная вариация I остается малой, когда вследствие изменения параметров волновода относительные вариации Т и S вдоль траектории луча являются величинами порядка единицы.

* * а *

§5. 3. Метод параболического уравнения [7 , 28 , 30 ; 34 ,

§7. 6]

Весьма удобным и широко распространенным' способом математического моделирования звуковых полей в океане является

метод параболического уравнения. В рамках этого подхода может быть описано и влияние течон«Г1 на распространение звука [33-37; 34 , §7.8), причем усложнение теории и компьютерных алгоритмов, связапноо с учоток движения среды, оказыэается значительно меньшим, чом в лучевой акустике или методе нормальных волн.

Будем считать, что параметры среды не зависят от времена, отношение с характерных кортикальных н горизонтальных масштабов я:с неоднородностей г! число Ка:са потока И малы (е«1, М«1). Кроме того, малым по сравнению с единицей предполагается параметр узкоуголыхостя к, который можно определить как наибольшее значение салвчины |1-Сп/к0|> где £ - постоянная распространения п-ой мота, к - некоторое характерное значение £ , нэ зависящее от координат. Отметим, что к>е.

Рассмотрим сначала двумерную задачу. Будем предполагать, что р, с, и-(ч ,и2,и ) я р нэ зависят от у, и подставим в волновое уравнение (9) звуковое давление в виде р=Ф ехр(1к х-л.ьЛ) . Отбрасывая в (Э) слагаемые, пропорциональные Мк, к2 и' более высоким степеням малых параметров получаем узкоугольное параболическое уравнение (ПУ)

а* а * ач а г а , ..,

21к — + —----1п р/32 + к2/32-к2-Ис — 1п р/32 Ф = 0,(72)

ах аг зг аг I- 00 ах1-

где £»1-ки/ш*0. При и=о, р=сопэЬ (72) сводится к стандартному ПУ Ф. Д. Тапперта [38]. 3 общем случае (72). содержит член с ЗЦ/дг, что препятствует применению ряда эффективных численных методов, используемых для решения ПУ в неподвижной среде [38, 39]. Преобразование ПУ к виду, не содержащему рассматриваемого

слагаемого, путем перехода в новую систему координат обсуждается в *

[7 ]■

Представление о погрешностях, связанных с переходом к параболическому приближению, можно получить, рассматривая случай

плоско-слоистой среды. Тогда как точное волновое уравнение, так и

*

ПУ допускают решения в виде нормальных волн. В [28 ] показано, что ПУ (72) описывает влияние течений на фазовые скорости и вертикальные зависимости полей отдельных мод с относительной погрешностью порядка к, а полная ошибка в фазе мода имеет оценку 0(/с2кох + кМкох) . Для типичных океанических условий к»М, и поэтому наличие течений практически не сказывается на зйачении максимального расстояния от источника, на котором еще мож^ использовать.решение ПУ для расчета звукового поля.

Перейден к трехмерной постановке задачи. Введем цилиндрическую систему координат (г, (р, z), ось Oz которой проходит через источник. Звуковое давление представим в виде p=r"1/2í х xexp(ikgr-iut). Считая (kor)~l еще одним малым параметром задачи и

сохраняя только главные члены в разложениях по нему, из (9)

*

получаем трехмерное узкоугольное ПУ [38 ]

Э* S* 8 г Г г г 2 а ( 211

2ik — + —----In pfi2 + kV-k*-ik — In pp2 * -

ar az2 az az L 1 1 jr I JJ

iu i ai i azi

--£ (k2 - 3k2p2)--+ — -- = О . (73)

<J|3 Г dip Г dip

Здесь u^ и u^ - компоненты u в цилиндрической системе координат. Отброшенные при выводе (73) члены допускают оценку 0(М^+Мк+к2), где М^ = ч^/с. В отличие от ПУ, предложенного в [11], для справедливости (73) не требуется, чтобы пространственной касштаб неоднородностей был велик по сравнению с длиной звуковой волны. Если в (73) пренебречь членами, содержащими производные по tp, и ось Ох направить от источника к приемнику, то ПУ перейдет в (72). В таком (квазидвумерном) приближении вместо (73) для каждого азимутального направления требуется решить соответствующее даумерное ПУ (72), что намного проще реализовать на ЭВМ. При

отбрасывании р (72) членов 0(М2) ото уравнение переходит в ПУ, *

полученное в [7 ], и вместе, с последним содержит своими частными случаями многочисленною ПУ, рассматривавшиеся в [36, 37].

В неподвижной среде допущение, принимаемое при переходе к квазидвумерному приближению, заключается в пренебрежении горизонтальной рефракцией. В движущейся жидкости, как показывает (73), производная 8i/a<p*0 даже при с=0. Сопоставление решения ПУ (73)в плоско-слоистой сраде с дискретным спектром точечного

источника звука (§3.4), .полученный на основе точного волнового

* *

уравнения, показывает [28 ], что, дополнительно к имеющимся в двумерной задаче погрешностям метода ПУ, квззидвумерное приближение приводит к пропорциональной М ошибке в амплитуде коэффициента возбуждения моды источником, а также к ошибке 0(M2kQr) в ее фазе. Обе ошибки обусловлены неучитываемой в квазидвумерном приближении непараллельностью фазовой и групповой скоростей моды.

При дальнем распространении звука основную роль играет, как правило, накапливающаяся с расстоянием фазовая погрешность. К тому

же рассматриваемая ошибка в амплитудах мод устраняется, если при решении ПУ стартовое поле рассчитывать методой нормальных волн. Поскольку в океана к»М, то дополнительная погрешность 0(Мгк г) в фазе мала по сравнению с ошибкой о(/с2ког+кМког) самого уэкоугольного параболического приближения, что делает целесообразным использование квазидвумерного приближения, широко применяемого при ч=0, и при исследовании распространения звука в движущейся жидкости [28 ]. На основе оценок величины различных

членов приближенного волнового уравнения аналогичный вывод был *

сделан в [7 ].

Соответствующие параболическим уравнениям (72) и (73) граничные условия на импедансных поверхностях и внутренних границах раздела в движущейся жидкости получены в [28*]. В частности, на локально-реагирующей поверхности с импедансом £(х,у), форма которой в отсутствие волны задается уравнением г=Н(х,у), в двумерной задаче или при использовании квазидвумерного приближения комплексная огибающая звукового давления удовлетворяет соотношению

д<И/аг = 1(ко ан/эх + ир02/О* • (74)

Согласно (74), местный наклон границы проявляется в изменении эффективного значения ее импеданса.

В рамках узкоугольного параболического приближения для звуковых волн справедливы важные тождества, выражающих закон

сохранения акустической энергии и симметрию поля относительно

* *

перестановки источника и приемника [28 ; 34 , §7.6.6]. Рассмотрим распространение звука в полупространствве -ю<г<Н(х,у) с локально-реагирующей поверхностью. Точным следствием ПУ (72) и граничного условия (74) является тождество

к —

0 д х

1*1 dz -

РЭ2

( J ) I*'1

Irak

dz - \t\Z - id Re | зг | | . (75)

P

В неподвижной среде подынтегральное выражение в левой части (75) пропорционально х-компоненте плотности потока акустической мощности и (75) представляет собой уравнение энергетического баланса звуковой волны. Ранее оно было известно [38] для неподвижной среды без границ или с плоскими идеальными границами. Согласно (75), поток акустической мощности сохраняется в неподвижной среде и при пересечении звуком области, занятой течением; этот поток монотонно уменьшается с дистанцией при

наличии диссипации или оттока энергии через границу. В общей области применимости (75) согласуется с законом сохранения адиабатического инварианта 3 (63). Аналогичные (75) соотношения имеют место в безграничной жидкости, а также при распространении звука в слое Н1(х,у) < г < Н2(х,у) между двумя импедансными границами.

Обозначим решение ПУ (72) с правой частью

(х-х^5 (г-г^) и Фг(х,г) - решение аналогичного ПУ, описывающего распространение звука в отрицательной направлении оси Ох в среде с обращенным потоком, с правой частью 026 (х-х^) 6 (г-г^) . В жидкости

без границ или с импедансными границами Ф и 5 связаны * 1 2

соотношением [28 ]

«Л/*»2 - ол/р*2 •

'11 ' 2 ' Р

(76)

Тождество (76) выражает ТОП для рассматриваемой задачи. При расчетах звуковых полей с изменяющимся положением источника (или распределенным источником) и неподвижным приемником использование ТОП позволяет многократно уменьшить объем расчетов при численном решении ПУ. Впервые эта теорема в рамках параболического приближения рассматривалась в [35], где предполагалось, что p=const и что жидкость занимает полупространство с горизонтальной свободной границей. Использовалось модельное ПУ. не содержащее производных от скорости течения. В результате вместо (76) в [35] было получено аналогичное соотношение, но без множителей 1/р/З2, что при u^Jconst противоречит точным формулировкам ТОП (§3. 1) в плоско-слоистой среде. Используя (76), нетрудно в рамках узкоугольного параболического приближения сформулировать ТОП для источников звука разных типов [28*; 34*. §7.3.6]. В частности, создаваемое источником объемной скорости акустическое давление, деленное на зависящую от скорости течения в точке приема величину 13, остается инвариантным относительно перестановки источника и приемника, если одноврекенно изменить на обратное направление течения. Отметим, что ТОП, доказанная при помощи двумерного ПУ, остается в силе для рассчитанных в квазидвумерном приближении полей точечных источников звука.

ПУ (72) отличается от рассматривавшегося в работе [40] уравнения для неподвижной среды с переменной плотностью только заменой р на р|32 и к на к /3. Сказанное дает возможность использовать для численного решения ПУ в движущейся среде предложенную в [40]неявную конечно-разностную схему. Показано, что

для разностного аналога ПУ (72) остаются справедливыми ТОП и уравнение энергетического баланса (в дискретной форме) [30 ]. И? последнего вытекает абсолютная устойчивость разностной схемь Точное выполнение принципа взаимности, который является частным случаем ТОП при и*0, позволяет использовать алгоритм для моделирования тонких, но имеющих ключевое значение при решении обратных задач эффектов акустической невзаимности, обусловленных течениями с малыми числами Маха.

Лля проверки правильности численных решений ПУ на ЭВМ, полученных методом конечных разностей, использовались контроль выполнения соотношения (75) и ТОП, сопоставление с численными результатами других авторов при uso, а также с точными аналитическими решениями ПУ в плоско-слоистой или горизонтально -неоднородной движущейся среде, которые удается отыскать в ряде специальных случаев.

Численное моделирование описанным выше методом распространения звука в гидрологических условиях, характерных для Гольфстрима, показало, что струйные течения в океане, несмотря на малость числа Наха потока, оказывают значительное влияние - на звуковое поле. Так, в плоско-слоистой среде с профилями c(z) и u(z), описанными в [5, с. 113], течение приводит к весьма сложной и ярко выраженной азимутальной анизотропии поля точечного источника. Вариации |р| на горизонте источника при фиксированном г и частоте f=50rц зачастую превышают 20дБразличие |р] при распространении звука по течению и против него превышают 7дЕ во всех точках в диапазоне расстояний 20км í г í 55км. С увеличением f азимутальная анизотропия поля при таких г становится еще более ярко выраженной.

В качестве еше одной иллюстрации приведем амплитудный разрез поля вдоль трассы У-У0=3"1/2(х-хо) , г=г0 (рис. 1). Точечный источник частотой f=200Tu находится в точке с координатами хо=0, уо=68км, 200м. Предполагается, что с и ц=( и, 0,0) не зависят от х, плотность воды PSPQ. pQ=const. Вертикальные зависимости сии при нескольких значениях у приведены на рис. 2. Поверхность океана моделируется свободной границей z=o, а дно - однородным жидким полупространством zMOOOm с параметрами с=153ь,./с, p=l,S3po. Модель среды построена в соответствии с описанными в [41] результатами гидрологической съемки одного из участков Гольфстрима. На рис. 1 отчетливо виден обусловленный движением среды сдвиг интерференционных максимумов поля. Пренебрежение наличием потока привело бы к ошибкам, доходящим до 40дБ. Как ясно из сравнения кривых 1 и 3, учет горизонтальной неоднородности и

Рис. 1. Амплитуда поля на горизонте источника при распространении звука под углом 30° к потоку. 1 - поле в горизонтально - неоднородной движущейся жидкости, 2 - поле в неподвижной среде, 3 - поле, рассчитанное при учете горизонтальной неоднородности скорости звука для не меняющейся по трассе скорости течения, соответствующей профилю и при у = 22 км.

1430 1503 1530

С, м/се«;

-2 -3-

1,000 2.000

и, м/се^

Рис. 2. Профили скуроста звука (а) и скорости течения (б) при различных значениях расстояния от оси Гольфстрима: у = 68 км (1), у = 45 км (2), у = 22 км (3).

Рис. 3. Зависимость величин N и N1 от направления пробного течения. "Экспериментальные" данные рассчитаны путем решения параболического уравнения при ф = 35° (1). ф = 55° (2) и ф = 70° (3).

столь жэ важен, как и самого факта движения жядкостя.

Разработашшй математический аппарат позволяет перенести на движущиеся среды ряд методов решения обратных задач, используемых при и=0. для определения неизвестного местояоложеняя сосредоточенного источника звука по результатам измерения поля на вертикальной антенне в неподвижной среде широко применяется метод обратного распространения [42], в основе которого лежит принцип взаимности. Возможность переноса этого метода на движущиеся среды опирается на справедливость обсуждавшейся вьаае ТОП. Численные эксперименты показали, что амплитуда распространяющегося от антенны в обратной направлении поля действительно имеет резко выраженный максимум, поззоляюдий с высокой точностью определить положение мощного источника звука в движущейся среде. Интересно отметить, что горизонтальная анизотропия поля точечного источника, обусловленная движением жидкости (а в горизонтально-неоднородной среде - и зависимостью р, с, и от х и у), дает, в принципе, возможность отыскать не только расстояние от вертикальной антенны до источника и глубину последнего, но и азимутальное направление на источник. В рассмотренных примерах в условиях, характерных для Гольфстрима, угловое положение источника может быть найдено при помощи вертикальной антенны с точностью 10°-15°.

рассмотрим кратко простейший пример репения обратной задачи восстановления скорости течения в плоско-слоистой среде методом согласованного поля. Пусть для некоторого точечного источника звука величина Г в рСг,!^) - Р(г](г) известна как функция г при фиксированных х, у я г . Р количественно характеризует невзаимность звукового поля, обусловленную течением. На практике величина Р может быть определена в экспериментах по встречному распространению звука, когда один приемоизлучатель неподвижен, а глубина второго изменяется. Пусть

N = Ь-1 | йг [|Ре - / (|Ре| + ^Щ2 . (77)

Здесь Р^ - экспериментально измеренное значение Р, а Р^ рассчитанное для некоторого пробного профиля ц(г). Интеграл в (77) берется по интервалу глубин (г , гв которой задана Р^. По определению, о а N а 1. В численных экспериментах Р^ рассчитывалось путем решения ПУ для ц(г) и с(2), описанных в [5, с. 113], и определенного значения азимутального угла <р. Р вычислялось для различных <р. Результаты расчетов при Ь = 500 м.

го - 250 м, г = 61 км представлены на рис.3. Минимальное значение N на каждой кривой соответствует направлению течения, найденному методом согласованного поля. Значение N быстро возрастает при отклонении <р от истинного направления и. Отметим, что в рассматриваемой задаче для восстановления ¡р вместо N можно использовать функционал М^ определение которого отличается от (77) заменой Е на величину Р «= \р(г ,г1) \ - |р(г ,г)|, т.е. ограничиться информацией об амплитудах полей. Как показывают численные эксперименты, использование величины Г (или Е ) приводит к значительно более устойчивому по отношению к ошибкам в задании скорости звука и положения приемоизлучателей решению обратной задачи, чем прямое согласование «экспериментального» и теоретического полей р^ и р4-

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. 1. Исследована область применимости приближения идеально-слоистой движущейся среды. Показано, что для последовательного учета акустических эффектов вертикальных движений в океане и атмосфере необходимо принимать во внимание нестационарность потока и (или) зависимость его скорости и от горизонтальных координат. Напротив, если (и7)и=0, то предположение об идеальной слоистости течения оказывается совместимым с весьма общими пространственно-временными неоднородностями скорости звука и плотности, причем замкнутое волновое уравнение удается получить без каких-либо дополнительных предположений.

1.2. Выведено приближенное акустическое волновое уравнение для трехмерно-неоднородной нестационарной жидкости, справедливое как для высокочастотных волн в движущейся среде общего вида, так и для звука любой частоты при хорошо выполняющихся в геофизических приложениях условиях слабой нестационарной среды и малости числа Маха потока. Показано, что наличие силы тяжести не препятствует использованию полученного уравнения для описания влияния течений на акустические поля в океане.

2. 1. Построено обобщение ряда асимптотических и итерационных методов решения одномерного волнового уравнения и вычисления коэффициента отражения, известных в акустике неподвижных сред, на случай квазиплоских волн в стратифицированной движущейся жидкости. При этом существенно используется переход в волновой уравнении к новой вертикальной координате, что позволяет придать ему вид уравнения Гельмгольца с коэффициентом, не содержащим производных

от параметров среды.

2. 2. Установлены свойства симметрии коэффициентов отражения и прозрачности плоских волн от произвольного слоя движущейся жидкости относительно обращения направления хода волны.

2.3. Рассмотрено поле квазиплоской звуковой волны в плавнослокстой среде в условиях, когда горизонт синхронизма волны и потока может сближаться с горизонтами поворота, что соответствует сближению точек поворота с полюсом коэффициента в волновом уравнении. Сформулирован локальный критерий усиления звука при резонансном взаимодействии с потоком и дана его наглядная интерпретация. Исследована роль двух механизмов: резонансного взаимодействия я излучения волн отрицательной теория - в усилении звука.

3.1. Для звукового поля в цилиндрической области с однородным потоком и импэдансными границами сформулирован акустический принцип взаимности. Принцип взаимности и теорема обращения потока (ТОП) в этой задаче справедливы одновременно.

3.2. Теорема обращения потока в координатном и спектральном представлениях доказана для акустико-гравитационных волн в плоско-слоистой движущейся среде. Показано, что за счет согласованного с типом источника выбора физической величины, характеризующей поле, ТОП для точечного излучателя в координатном представлении ножот быть придана локальная форма.

3.3. В терминах функций параболического цилиндра построена асимптотика поля, отраженного однородным движущимся жидким полупространством при падении сферической волны. Асимптотика справедлива на больших по сравнению с длиной волны расстояниях И от изображения источника. Проанализирована роль геометро акустической компоненты и дифракционных поправок в формировании полного поля в различных областях пространства. Исследовано поведение отраженной волны в окрестности поверхности некругового конуса, разделяющей лучи, испытавшие полное и частичное отражение.

3. 4. Вычислено поле, определена область наблюдения и изучены свойства боковой волны (БВ), возникающей при отражении сферической волны от плоской границы однородного движущегося полупространства Предположена лучевая интерпретация БВ. рассмотрено влияние сноса звука потоком на форму бокового луча. В случае отражения от слоистого движущегося полупространства характер стратификации параметров среды сказывается на поле БВ в пределе » через значение коэффициента возбуждения. Его удается выразить через поле квазиплоской волны, падающей под критическим углом полного

отражения.

3.5. В волноводе без поглощения кз точного интегрального представления поля точечного источника в плоско-слоистой движущейся среде выделена преобладающая на больших горизонтальных расстояниях часть - дискретный спектр поля, связанный с дискретными собственными значениями краевой задачи для поперечного волнового оператора (при фиксированной ориентации волнового вектора в горизонтальной плоскости). Проанализированы свойства компонент дискретного спектра на различных расстояниях от источника.. Определены условия применимости выражений для диси?*тн*го спектра поля, предложенных ранее другими авторами.

3.6. Разработан метод выделения из интегрального представления поля вкладов, связанных с комплексными полюсами функции Грнна поперечной краевой задачи. Отмечены качественные особенности дискретного спектра поля точечного источника в движущейся среде по сравнению с двумерной задачей и полем в слоистой неподвижной жидкости. Установлена ограниченная применимость представлений о нормальных волнах в трехмерной задаче в движущейся среде. обосновано использование подхода «горизонтальные лучи - вертикальные моды» при описании звукового поля в волноводе, заполненном движущейся жидкостью.

3. 7. Получено обобщенное соотношение ортогональности мод в движущихся 'лоистых средах. На его основе выведены.выражения для возмущений постоянной распространения моды, обусловленных малыми изменениями профилей плотности и скоростей звука к течения в среде либо частоты волны и направления ее волнового вектора. Предложено правило отбора распространяющихся мод, дающих вклад в поле сосредоточенного источника, которое позволяет избежать исследования дисперсионного уравнения при комплексных

3.8. Исследованы общие свойства геометрической дисперсии мод в стратифицированной движущейся среде при различных граничных условиях на стенках волновода.

4. 1. Двумя способами, непосредственно из системы уравнений линейнай акустики или при помощи приближенного волнового уравнения, найдена и проанализирована высокочастотная асимптотика звукового поля, справедливая в трехмерно-неоднородной движущейся жидкости в окрестности неособой точки каустики и переходящая при удалении от каустической поверхности на ее «озвученной» стороне в геометро-акустический результат. Будучи записан в терминах эйконалов и амплитуд поля на лучах, главный член равномерной асимптотики имеет один и тот же вид в движущейся и неподвижной

средах.

4.2. Разработан к реализован на ЭВМ лучевой алгоритм прогноза звукового поля точечного источника в плоско-слоистой движущейся среде. Быстродействие алгоритма обеспечивается использованием аналитических выражений для амплитуды и фазы поля на луче, а также для поля в окрестности простой каустики. Численно исследовано влияние мощных струйных течений в океане на геометрию лучей и каустик, время распространения и]амплитуду акустического сигнала и обусловленную движением среды их невзаимность. Изучены условия применимости приближения эффективной скорости звука.

4. 3. Предложены методы решения кинематической обратной задачи геометрической акустики идеально-слоистых сред в различных ее постановках, не используюшие предположений о слабости обусловленной потоком невзаимности распространяющихся во встречных направлениях лучей. Отмечена возможность использования предложенных методов инверсии для восстановления профилей скоростей звука и течения по измеренным по схеме встречного распространения временам пробега или фазам нормальных волн. Рассмотрены приложения к зондированию океана, атмосферы и газовых потоков, истекающих из реактивных двигателей.

4.4. В произвольной трехмерно-неоднородной движущейся среде с гладкими зависимостяки параметров от пространственных координат для высокочастотных звуковых полей, описываемых геометрической акустикой либо ее каустической модификацией, доказана теорема обращения потока.

3.1. Методом двухмасштабных разложений исследовано распространение звука в плавно-нерегулярном волноводе в движущейся среде. При весьма общих предположениях о волноводе найден адиабатический инвариант, определяющий изменение амплитуды моды при распространении. Выяснен физический смысл адиабатического инварианта. Вычислены коэффициенты возбуждения мод точечным источником. В рамках адиабатического приближения доказана теорема обращения потока.

5. 2. Несколькими различными способами доказано сохранение лучевого инварианта на луче в плавно-нерегулярном волноводе в трехмерно-неоднородной движущейся среде, которая может иметь криволинейные отражающие и преломляющие границы. Указана связь между лучевым инвариантом в движущейся среде, временем пробега сигнала по циклу и длиной цикла луча.

5. 3. Лля описания распространения звука в океане с течениями получены двух- и трехмерное узкоугольные параболические уравнения,

выведены соответствующие им граничные условия, предложены способы задания стартового поля. Исследованы границы применимости узкоугольного параболического приближения в движущейся среде и его квазидвумерного варианта. Доказаны тождества, выражающие симметрию поля относительно обращения направления хода волны и сохранение акустической энергии в параболическом приближении.

5. 4. Разработаны алгоритмы решения параболических уравнений для звукового поля в движущейся среде методом конечных разностей, пригодные для моделирования обусловленной течениями акустической невзаимности. Количественно исследовано влияние движения водных масс на низкочастотное звуковые поля в гидрологических условиях, характерных для Гольфстрима. Проиллюстрированы возможности использования развитого подхода к моделированию акустического поля в океане для решения ряда обратных задач в движущихся средах методами согласованного поля и обратного распространения.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. Годин O.A. О принципе взаимности в акустике движущейся среды // В кн. : Тезисы докладов IV всесоюзн. симп. по физике акусто-гидродинам. явлений и оптоакустике. Ашхабад, 1983. С. 56.

2. Годин O.A. Соотношения взаимности для акустико-гравитационных волн // В кн. : Волны и дифракция - 85. Т. 1 Тбилиси: ТГУ, 1985. С. 371-374.

3. Godin O.A. New forro of the vave equation for sound in a general layered fluid // In : 12 ICA Associated Symposium on Underwater Acoustics, Halifax, 1986. p.57-58.

4. Годин О. А. Модификация уравнения распространения звука в слоистой среде // В кн. : Акустические волны в океане. М. : Наука, 1987. С. 34-40.

5. Godin O.A. New form of the wave equation for sound in a general layered fluid // In: Progress in Underwater Acoustics. N.Y.: Plenum Press, 1987. P.337-349.

6. Годин O.A., Моисеев A.A. Влияние движения водных масс на распространение звука в горизонтально-неоднородном океане // В кн. : 3-й Съезд советских океанологов. Тезисы докладов. Акустика и оптика. Л. : Гидрометеоиздат, 1S87. С. 45-46.

7. Годин O.A. Волновое уравнение для звука в среде с медленными течениями // Докл. АН СССР. 1987. Т. 293. N 1. С. 63-67.

8. Годин О.А. Соотношение взаимности для волн в сжимаемой

жидкости п Докл. АН СССР. 1987. Т. 293. N 2. С. 322-325.

9. Годин О. А. Отражение сферической волны от движущейся среды // Акуст. журн. 1988. Т. 34. N 3. С. 445-452.

10. Гадин О. А. , Мохов А. В. Усиления волн при взаимодействии со стратифицированными течениями // В кн. : Тезисы докладов Всес. конф. «Проблемы стратифицированных течений». Т. 1. Саласпилс: Ин-т физики АН Латвийской ССР, 1388. С. 53-56.

11. Годин О. А. Сверхотражение высокочастотного звука при резонансном взаимодействии с потоком жидкости // Докл. АН СССР. 1S89. Т. 304. N 1. С. 79-83.

12- Бреховских Л. И. , Годин О. А. Акустика слоистых сред. М. •. Наука, 1989.

13. Годин 0. А. О волновом уравнении для звука в нестационарной движущейся среде // В. кн. ; Акустика океанской среды. М. : Наука, 1989. С. 217-220.

14. Brekhovskikh L.H., Godin о,A. Acoustics of Layered Media. I: Plane and Quasi-Plane Waves. B. etc: Springer-Verlag, 1990.

15. Годин О. А. Оценки фазовых и групповых скоростей нормальных волн в движущейся слоистой среде // Докл. АН СССР. 1990. Т.310. N5. С. 1084-1089.

16. Годин о. А. Дискретный спектр звукового поля в движущейся среде // Акуст. журн. 1990. Т. 36. N 4. С. 630-636.

17. Годин о. А. о свойствах дискретного спектра звукового поля точечного источника в движущейся среде // Акуст. журн. 1990. Т. 36. N 6. С. 999- 1006.

18. Годин О. А. Звуковое поле в окрестности каустики в движущейся среде // Докл. АН СССР. 1990. Т. 313. N 2. С. 346-349.

19. Godin О.A. Progress in the theory of sound propagation in layered and quasi-layered media // In: Proceedings of Intern. Workshop on Marine Acoustics, March 1990, Beijing. Beijing: China Ocean Press, 1990. P.37-38.

20. Godin O.A. Progress in the theory of sound propagation in layered and quasi-layered raedia // In: Proc. Intern. Workshop Marine Acoust., March 1990, Beijing. Suppl. 3. Beijing: China Ocean Press, 1990. P. 1-24.

21. Годин О. А. Равномерная асимптотика звукового поля в движущейся среде при наличии каустики // В кн. : Волны и дифракция-90. Т. 1. И.: Физич. общество, 1990. С. 219-222.

22. Годин О.А. , Иихин Д. Ю. , Молчанов С. Я. Прямая и обратная задача геометрической акустики движущейся цилиндрически симметричной среды // В кн. : Волны и дифракция-90. Т. 2. М. :

физич. общество, 19S0. С. 64-67.

23. Годин O.A., Иихин Д. Ю., Молчанов С. Я. Акустическая кодовая томография в движущейся среде // В кн. : Волны и дифракция-90. Т. 2. М. : физич. общество, 1990. С. 68-71.

24. Godin O.A. Sound amplification at resonance interaction with a flow // In: Aeroacoustique et hydroacoustique. 12-е colloque, 16-18 avril 1991. Chatillon: ONERA, 1991. P. 27.

25. Годин O.A., Мохов A.B. Усиление звука при резонансном взаимодействии с потоком жидкости // Акуст. журн. 1991. Т. 37. N 1. С. 58-64.

26. Godin O.A., Zakhlestin A.Yu., Klyachin B.I., Kurtepov V.M. Ocean acoustics // In: Report on Scientific Research in Oceanography. 1987-1990. Moscow: Sov. Geophysical Commitee, 1991. P. 58-81.

27. Годин O.A. О приближении слоистой движущейся среды в акустике // Докл. АН СССР. 1991. т. 316. N 6. с. 1378-1382.

28. Годик О. А. О параболическом приближении в акустике движущихся сред // Акуст. журн. 1991. Т. 37. N 4. С. 646-653.

29. Годин O.A., Михин Д. Ю. , Молчанов С. Я. Обратная задача геометрической акустики движущейся среды // Изв. АН СССР. «АО. 1991. Т. 27. N 2. С. 139-150.

30. Годин O.A., Мохов A.B. Моделирование распространения звука в океане с течениями методой параболического уравнения // В кн. : XI Всесоюзн. акуст.;- конф. Доклады. Секция Д. М. , 1991. С. 83-86. ^

31. Годин O.A., Михин Д.Ю. , Молчанов С. Я. О расчете высокочастотных звуковых полей в движущейся слоистой среде // В кн. : XI Всесоюзн. акуст. конф. Доклады. Секция Д. М. , 1991. С. 27-30.

32. Годин О. А. Адиабатический инвариант при волноводном распространении звука в движущейся среде // Докл. АН СССР. 1991. Т. 320. N 1. С. 204-208.

33. Годин О. А. Лучевой инвариант при волноводном распространении звука в движущейся среде // Докл. АН СССР. 1991. Т. 321. N 4. С. 832-836.

34. Brekhovskikh L.M., Godin O.A. Acoustics of Layered Media. II: Point Source and Bounded Beams. B. etc: Springer-Verlag, 1992.

35. Годин O.A. Соотношения взаимности для звуковых полей в трехмерно-неоднородной движущейся жидкости // Докл. АН СССР. 1992. Т. 322. N 1. С. 79-85.

Цитированная литература

1. Kunk W.U., Wunsch С. Observing the ocean in 1990's // Phyl. Trans. Roy. Soc. London. 1982. V. A307. P. 439-464.

2. Бреховских JI. M. Волны в слоистых средах. 2-е изд. М. : Наука, 1973.

3. Голдстейн М.Е. Азроакустика. М. : Машиностроение, 1981.

4. Блохинцев Л. И. Акустика неоднородной движущейся среды. М. : Наука, 1931.

5. Григорьева Н.С., Осташев В. Е. Распространение звука в неоднородных движущихся средах // в кн. Нестационарные задачи теории дифракции (Материалы IX Всесоюзн. школы по дифракции и распространению волн). Казань: КАИ, 1988. с. 63-142.

6. Осташев В.Е. Геометрическая акустика движущейся среды (обзор) // Изв. АН СССР. ФАО. 1989. Т. 25. N 9. С. 893-916.

7. Чибисов с.в. О оремени пробега звукового луча в атмосфере // Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1940. N 1. С. 33-118; N 4. С. 475-520.

В. Фридман А. А. Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости. М. : Гостехтеориздат, 1934.

9. Осташев В.Е. Уравнение для акустических и гравитационных волн в стратифицированной движущейся среде // Акуст. журн. 1987. Т. 33. N 1. С. 150-152.

10. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М. : Наука, 1967.

11. Абдуллзев С.С., Осташев В. Е. О распространении звуковых волн в трехмерно-неоднородной ( случайно-неоднородной) движущейся среде // Изв. АН СССР. ФА0. 1988. Т. 24. H 4. С. 417-426.

12. Pierce A.D. Wave equation for sound in fluids with unsteady inhomogeneous flow // J. Acoust. Soc. Amer. 1990. V. 87. N 6. P. 2292-2299.

13. Фабрикант A. Jl. 0 . возникновении автоколебаний в неравновесных системах с потоками. - Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. Горький: ГГУ, 1980.

14. Гавриленко В. Г. , Зелексон Л. А. Усиление звука в неоднородном потоке // Акуст. журн. 1977. Т. 23, N 6. С. 867-872.

15. Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Гидродинамика. 3-е изд. М. : Наука, 1986.

16. Троицкая Ю. И. , Фабрикант А. Л. Резонансное усиление внутренних гравитационных волн в сдвиговом потоке. Горький: ИПФ, 1987. 25с.

17. Лямшев Л. И. О некоторых интегральных соотношениях в акустике движущейся среды // Докл. АН СССР. 1951. Т. 138. Я 3. С. 575-578.

18. Чернов Л. А. О кривизне лучей и принципе взаимности в акустике движущейся среды JJ Тр. комиссии по акустике АН СССР. 1951. Сб. 6. С. 63-65.

19. Jones D.S., Morgan J.D. The instability of a vortex sheet on a subsonic stream under acoustic radiation // Proc. Cambr. Phil. Soc. 1972. V. 72. N 3. P. 465-491.

20. Миронов M. А. Воздействие гармонического источника объемной скорости на течение с плоским тангенциальным разрывом (плоская задача) // Акуст. журн. 1975. Т. 21. N 1. С. 79-85.

21. Войт С. С. Отражение и преломление сферических звуковых волн при переходе из неподвижной среды в движущуюся // ПММ. 1953. Т. 17. N 2. С. 157-164.

22. Зайцев а. А. Развитие звуковых волн. возбуждаемых в движущемся слое жидкости точечным источником // Акуст. журн. 1973. Т. 19. N 3. С. 359-365.

23. Pridmore-Brown D.C. Sound propagation in a temperature -and wind-stratified medium // J. Acoust. Soc. Amer. 1962. V.34. N 4. P. 438-443.

24. Вдовичева U.K., Окохелькова И. А., Шерешевский И. А. О звуковом поле гармонического источника в слоистой среде с течением // Акуст. журн. 1990. Т. 36. N 1. С. 5-11.

25. Григорьева Н. С. , Явор М. И. Влияние на акустическое поле крупномасштабного течения, качественно меняющего волноводный характер распространения звука в океане // Акуст. журн. 1986. Т. 32. N 6. С. 772-777.

26. Осташев В. Е. 0 дискретном спектре звукового поля точечного источника в стратифицированной движущейся среде // Акуст. журн. 1986. Т. 32. N 4. С. 486-491.

27. Chunchuzov I.P., Bush G.A., Kulichkov S.N. On acoustic impulse propagation in a moving inhomogeneous atmospheric layer // J. Acoust. Soc. Amer. 1990. V. 88. N 1. P. 455-461.

28. Исакович M. А. Общая акустика. M. : Наука. 1973.

29. Munk W.H., Wunsch С. Ocean acoustic tomography: rays and modes // Rev. Geophys. and Space Phys. 1983. V.21 N 4. P. 777-793.

30. Бабич В. M. , Булдырев B.C. Асимтотические методы в задачах дифракции коротких волн. н. : Наука, 1972.

31. Bretherton F.P. Propagation in slowly varying waveguides // Proc. Roy. Soc. London. 1968. V. A302. P. 555-576.

32. Weston D.E. Guided propagation in a slowly varying medium // Proc. Phys. Soc. London. 1959. V. 73. P.365-384.

33. Ландау л. Л., Лифшнц Е.М. Неханика. М. : Наука, 1988.

34. Абдулпаев С.С., Заславский Г.М. Классическая нелинейная динамика и хаос лучей в задачах распространения волн в неоднородных средах 1J УФН. 1991. Г. 161. N в. С. 1-43.

35. Nghiem-Phu L. , Tappert F.D. Parabolic equation modeling of the effects of ocean currents on sound transmission and reciprocity in the tine domain // J. Acoust. Soc. Amer. 1985. V. 78. N 2. P. 642-648.

36. Robertson J.S., Siegmann W.L., Jacobson M.J. Current and current shear effects in the parabolic approximation for underwater sound channels /J J. Acoust. Soc. Amer. 1985. V. 77. N 5. P. 1768-1788.

37. Robertson J.S., Siegmann W.L., Jacobson M.J. A treatment of three-dimensional underwater acoustic propagation through a steady shear flow // J. Acoust. Soc. Amer. 1989. V. 86. N 4. P. 1484-1489.

38. Тапперт ф. Д. Нетод параболического уравнения // Распространение волн и подводная акустика. М. -. Кир, 1980. С. 180-226.

39. Lee D. , McDaniel S.T. Ocean acoustic- propagation by finite difference methods // Сотр. Math. Appl. 1987. V. 14. N 5. P. 305-423.

40. Kriegsmann G.A. A multiscale derivation of a new parabolic equation which includes density variations // Сотр. Math. Appl. 1985. V. 11. N 7-8. P. 817-821.

41. Berezutskii A.V., Maximov S.E., Sklyarov V.E., Gordon R.L. Gulf Stream meander velocity measurements using ADCP data and real-time satellite imagery // J. Atmos. Oceanic Technol., in press.

42. Jackson D.R., Dowling D.R. Phase conjugation in underwateer acoustics // J. Acoust. Soc. Amer. 1991. V. 89. N 1. P. 171-181.

60x9o'/16 Подписано к печати 03. M. 1992 года.

Печ.л.1* ,0. Тираж 100. Зак. If ig.

Институт океанологии им.П.П.Ширшова РАН Москва, ул.Красикова, дом 23.