Теория волноводов на основе низкоразмерных фотонных кристаллов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

4842937

На правах рукописи УДК 538.9

ГОЗМАН Михаил Игоревич

ТЕОРИЯ ВОЛНОВОДОВ НА ОСНОВЕ НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛОВ

Специальность: 01.04.07 - Физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2010

4842937

Работа выполнена в Российском научном центре «Курчатовский Институт»,

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор, ПОЛИ1ЦУК Илья Яковлевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, БАРАБАНОВ Александр Федорович,

доктор физико-математических наук, профессор, КРАЙНОВ Владимир Павлович

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт спектроскопии РАН

Защита состоится «_:» _ 20_г. в _ часов на заседании

диссертационного совета Д 520.009.01 в РНЦ «Курчатовский институт» (123182, г. Москва, пл. Академика Курчатова, д. 1).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ «Курчатовский институт».

Автореферат разослан «_»_20_г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А. В. Мерзляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Важное значение для развития интегральной оптики имеет исследование фотонных кристаллов [1, 2]. Фотонные кристаллы представляют собой искусственные материалы, диэлектрическая проницаемость которых периодически меняется в пространстве на масштабе порядка оптической длины волны |3]. Они представляют собой один из наиболее перспективных классов так называемых метаматериалов. Интерес к фотонным кристаллам обусловлен такими их свойствами, как формирование в их оптическом спектре зонной структуры [4-6], а также наличие так называемых "медленных" оптических мод, групповая скорость которых во много раз меньше скорости света в вакууме (7|. Кроме того, как и некоторые другие мета-материалы, фотонные кристаллы могут обладать отрицательным эффективным показателем преломления [8].

В настоящее время ведутся активные исследования волноводов на основе фотонных кристаллов, которые представляют собой периодические структуры, протяженные в одном направлении. Такие волноводы обладают рядом интересных свойств, определяющих их практическую значимость.

Прежде всего, волноводы на основе фотонных кристаллов могут обладать малыми поперечными размерами порядка или меньше оптической длины волны, а также способностью концентрировать электромагнитное поле в узкой области пространства вблизи волновода, где оно может достигать больших значений. Эти свойства позволяют создавать на базе таких волноводов оптические устройства чрезвычайно малых размеров, а также могут быть полезны, например, для создания микроскопов ближнего поля и микролазеров.

Другим важным свойством таких волноводов, связанным с их периодической структурой, является формирование в оптическом диапазоне частот запрещенных зон, в которых распространение света невозможно. Это свойство позволяет использовать волноводы на основе фотонных кристаллов в качестве спектральных фильтров.

Наконец, важной особенностью волноводов на основе фотонных кристаллов является формирование в их спектре так называемых "медленных" мод, т. е. мод с низкими групповыми скоростями. Это позволяет управлять скоростью передачи оптического импульса и может быть использовано для создания линий задержки и фазовращателей [9, 10].

В настоящее время создано множество видов волноводов на основе фотонных кристал-

лов: волноводы в виде линейных дефектов в структуре трехмерных фотонных кристаллов и двумерных периодических пластин, фотонно-кристаллические волокна, волноводы в виде цепочек частиц. Волноводы различных типов отличаются по свойствам и по принципу действия. Так, способность волновода в виде линейного дефекта в фотонном кристалле передавать энергию обусловлена формированием собственных оптических мод дефекта, частоты которых лежат в запрещенной зоне фотонного кристалла. Такие моды концентрируются в узкой области пространства в окрестности дефекта, который при этом играет роль волновода. На том же принципе основано действие фотонно-кристаллических волокон [12] и волноводов в виде линейных дефектов в пластинах с двумерной периодической структурой [13].

Другим важным примером волновода на основе фотонных кристаллов является цепочка частиц. Взаимодействие между частицами приводит к гибридизации резонансных мод (резонансов Ми) отдельных частиц и формированию в таких волноводах коллективных оптических мод, образующих разрешенные зоны. Времена жизни коллективных мод могут существенно превосходить времена жизни резонансных мод уединенной частицы. Аналогичная особенность коллективных мод в низкоразмерных периодических системах была предсказана и исследована в 1966 году в работе Ю. М. Кагана и А. М. Афанасьева [14], где рассматривались периодические системы возбужденных ядер. Похожие эффекты были обнаружены в работе В. М. Аграновича и О. А. Дубовского [15], где рассматривалась неустойчивость экситонного спектра в молекулярных кристаллах.

Резонансные моды сферических частиц характеризуются орбитальным числом п. С ростом орбитального числа падает ширина и растет время жизни резонанса Ми. Одно из направлений в создании волноводов связано с использованием резонансов Ми, обладающих большим орбитальным числом. Для создания таких волноводов используются частицы размером несколько микрон [16-18]. В них достигнуты большие длины распространения оптического возбуждения (порядка нескольких сотен микрон), но их поперечные размеры многократно превышают длину волны видимого света, что затрудняет их использование в области нано-оптики.

Другое важное направление в создании волноводов связано с цепочками металлических наночастиц [19-22], где разрешенная зона образуется при гибридизации резонансов Ми с малым орбитальным числом п ~ 1. Такие волноводы интересны тем, что позволяют передавать энергию в оптическом диапазоне частот при размере частиц не более ЮОнм. Однако сигнал в таких волноводах подвержен сильным омическим потерям, связанным с наличием в ме-

таллах свободных электронов. Сингал в таких волноводах затухает на расстоянии порядка нескольких микрон.

Этого можно избежать, если вместо металлических наночастиц использовать диэлектрические наночастицы размером порядка оптической длины волны. Долгоживущие оптические моды в таких волноводах представляют собой поляритоны. Преимущество волноводов из диэлектрических наночастиц перед металлическими волноводами заключается в том, что они почти не подвержены потерям на поглощение. К недостаткам следует отнести тот факт, что, по сравнению с металлическими волноводами, поперечные размеры диэлектрических волноводов в несколько раз превышают размеры металлических волноводов. Важной особенностью таких систем является возможность конверсии поляритона в свободный фотон — новый механизм, приводящий к потерям. Влиянию этой особенности энергетического спектра не резонансные и транспортные свойства рассматриваемых систем в диссертации уделено особое внимание.

Цель работы заключается в расчете зонной структуры волноводов, состоящих из диэлектрических наночастиц, в оценке времени жизни резонансных оптических мод различных цепочек таких частиц, в исследовании интерференционных эффектов, возникающих при распространении оптических возбуждений по волноводам различной геометрии, в исследовании явления "медленного света" и эволюции оптического сигнала в форме волнового пакета.

Научная новизна работы.

• Разработан эффективный численный алгоритм для вычисления зонной структуры оптических волноводов на основе низкоразмерных фотонных кристаллов, состоящих из наночастиц сферической формы;

• Получено условие существования неизлучающих мод в бесконечной линейной цепочке диэлектрических наночастиц;

• Исследована зонная структура линейных цепочек, состоящих из диэлектрических наночастиц, получены законы дисперсии оптических мод в таких цепочках, исследована зависимость зонной структуры от материала частиц и периода цепочки;

• Показано аналитически и подтверждено численным расчетом, что время жизни т резонансных оптических мод в линейных или кольцевых массивах диэлектрических на-

ночастиц, быстро растет с числом частиц N по законам т ~ N3 для линейного массива

к-Л/

и т ~ е для кольцевого массива;

• Предсказано и исследовано явление интерференции оптических возбуждений в волноводах различной геометрии;

• Исследовано явление "медленного света" в волноводах, состоящих из диэлектрических наночастиц. Показано, что волновой пакет может распространяться по волноводу со скоростью порядка v ~ 0.1с (здесь с — скорость света в вакууме).

Практическая ценность работы.

Расчеты, выполненные в диссертационной работе, могут быть использованы при проектировании иктегрально-оптических устройств, резонаторов высокой добротности, микролазеров, спектральных фильтров, линий задержки и фазовращателей. Результаты диссертационной работы можно использовать для конструирования интерферометров, а также микроскопов ближнего поля. Математические модели и численные алгоритмы, разработанные в диссертационной работе, являются универсальными и позволяют выполнять вычисления для любых структур диэлектрических и металлических наночастиц, представляющих интерес для практических приложений.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Математическая модель и численный алгоритм для вычисления резонансных частот системы сферических наночастиц, а также для расчета распределения электромагнитного поля в системе сферических наночастиц;

2. Условие существования неизлучающих мод в бесконечной цепочке диэлектрических наночастиц;

3. Закон дисперсии и особенности зонной структуры цепочки диэлектрических наночастиц и их зависимость от параметров цепочки;

4. Зависимость времени жизни резонансных мод линейных и кольцевых массивов частиц от их длины;

5. Явление интерференции оптических возбуждений в волноводах различной геометрии;

6. Анализ явления "медленного света" в волноводах, состоящих из диэлектрических нано-частиц, с учетом особенности зонной структуры, связанной с неустойчивостью поляри-тонного спектра.

Апробация работы.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на семинарах "Физика конденсированного состояния и наносистем" (руководитель семинара — академик Ю.М. Каган), на 5-ой Курчатовской Молодежной Научной Школе (19 - 21 ноября 2007, РНЦ "Курчатовский институт"), на Конференции по физике коггдегтсиронаггного состояния, сверхпроводимости и материаловедению (26 - 30 ноября 2007, РНЦ "Курчатовский институт"), на семинарах Ту-лейнского университета (Tulane University, Новый Орлеан, США), Института физики комплексных систем им. Макса Планка (Мах-Planck-Institut für Physik Komplexer Systeme, Дрезден, Германия) и Йенского университета им. Фридриха Шиллера (Friedrich-Schiller-Universität Jena, Германия), а также на международных конференциях: Electromagnetics Contractors Meeting (8 - 10 января 2008, Сан-Антонио, США), 9lh International Conference on Transparent Optical Networks, ICTON 2007 (1 - 5 июля 2007, Рим, Италия), 10th International Conference on Transparent Optical Networks, ICTON 2008 (22 - 26 июня 2008, Афины, Греция), llth International Conference on Transparent Optical Networks, ICTON 2009 (28 июня - 2 июля 2009, о. Сан-Мигель, Азорские острова, Португалия).

Цикл работ, положенный в основу диссертации, был удостоен премии им. И. В. Курчатова в области фундаментальных исследований, молодежный конкурс (2007 г.).

Публикации.

Основные результаты, полученные при работе над диссертацией, опубликованы в 10 работах, включая 5 статей в научных журналах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Диссертация содержит 195 машинописных страниц и 49 рисунков. В список литературы включены 89 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы, дается обзор современных исследований по теме работы, формулируются цели и задачи работы, отмечается новизна и практическая ценность работы, приводятся положения, выносимые на защиту, даны сведения об апробации работы, кратко изложена структура и содержание работы.

В первой главе излагается общий формализм, лежащий в основе математических и численных методов, развитых в диссертационной работе для решения поставленных задач. Этот формализм, называемый формализмом многоцентрового рассеяния Ми, был развит для вычисления распределения электромагнитного поля в пространстве, где произвольным образом распределены сферические частицы [23].

Суть формализма заключается в том, что волна, падающая на >ую частицу = 1,..., ТУ), расположенную в точке г^-, представляется в виде суммы векторных сферических гармоник

р(;)

(*, г) = г в'«* £ £ {ш, г - х}) + ?4„ М&К г - г,)),

п=1 т=-п +оо п

н&в г) = £ X] N<¿1 (и, г - г,) + Мй;к г - г,)),

п=1 тп=-п

а волна, рассеянная на ^-ой частице, представляется в виде суммы векторных сферических гармоник N£^(0;, г),

+оо п

Ей (4, г) = г в"4"' £ (<„ („, г - г,) + Ытп М»Ц г - г,)),

п=1 т=-п

+оо п 4 '

Н« (*, г) = е-^ X] Е г - + <п г - г,)).

п=1 т=-п

Коэффициенты р^, называются парциальными амплитудами падающей волны, а величины а}тп, Ытп называются парциальными амплитудами рассеянной волны.

Парциальные амплитуды падающей и рассеянной волн связаны между собой системой

линейных уравнений

] N + оо и

гкл+ Е ЕЕ«С+%,) = -У™.

N +оо ^ '

Цпп +

Е Е Е ь11Ш+в1[,щм = -я1п,

где а„(и), Ьп(ш) — коэффициенты Ми, , — векторные коэффициенты пе-

реноса.

Система уравнений (3) лежит в основе математических методов и численных алгоритмов, использованных в диссертационной работе. Количество неизвестных и уравнений в этой системе, строго говоря, бесконечно, но оно ограничивается выбором максимального значения Птах индекса п. Значение птах характеризует приближение (пгаах = 1 — дипольное приближение, птах = 2 — квадрупольное приближение и т. д.). В этой главе показано, что дипольное приближение позволяет с достаточной точностью описать оптическое возбуждение массива частиц.

Чтобы найти частоты собственных мод массива частиц, необходимо положить правую часть системы уравнений (3) равной нулю. При этом получается однородная система линейных уравнений на парциальные амплитуды а'тп, Эта система имеет нетривиальные решения лишь тогда, когда определитель ее матрицы равен нулю. Из этого условия можно найти частоты собственных мод массива. Для этого был разработан численный метод на основе алгоритма Ньютона. Описанная методика была использована для вычисления резонансов Ми, а также частот и времени жизни собственных оптических мод системы двух частиц. Показано, что собственные частоты массива частиц с достаточной точностью вычисляются в дипольном приближении.

Во второй главе выводится условие существования неизлучающих оптических мод (по-ляритонов) в бесконечной цепочке из диэлектрических наночастиц, вычисляется закон дисперсии лоляритонов в такой цепочке, находятся разрешенные и запрещенные зоны и условия их формирования.

Формализм вычисления закона дисперсии основан на системе уравнений (3) с равной нулю правой частью. В случае бесконечной периодической цепочки решение системы уравнений (3) можно искать в виде блоховской волны: а'тп = атпе?ка1, Ъ>тп = где к — квази-

волновой вектор моды, а — период волновода. Если цепочка расположена вдоль оси Ог, то векторные коэффициенты переноса отличны от нуля только при р. = т.

Поэтому система уравнений (3) с нулевой правой частью распадается на множество незави-

симых систем, каждая из которых характеризуется определенным значением т:

_ + А:) ат„ + Втпт„(ш, к) Ьт„) = О,

6 " (4) ^ + ^ £) Ьш„ + Вт11,пи(и), к) ат1/) = О,

где А™,™^) = Вт(и,к) = Е ^ • Т. о., каждая мода

¿/о #0

бесконечной цепочки характеризуется индексом то.

В диполъном приближении в систему уравнений (4) входят только парциальные амплитуды с индексом п = 1, при этом существуют только моды с т = 0 и с гп = ±1. А поскольку •Вош(ш) = 0, то система уравнений для мод т = 0 распадается на два независимых уравнения, одно из которых содержит только парциальные амплитуды ащ и имеет вид

(г-4-г + Айт{и, к) ) аи = 0, (5)

1

а другое содержит только парциальные амплитуды Ь01 и имеет вид

1

т, >+4)101 (ш,*0Но1 = 0. (6)

При наличии в цепочке моды, которая описывается уравнением (5), г-компонента магнитного поля равна нулю. Такие моды называются ТМ-модами. При наличии в цепочке моды, которая описывается уравнением (6), г-компонента электрического поля равна нулю. Такие моды называются ТЕ-модами.

Моды с т = ±1 описываются системой двух уравнений:

гут + (Аш±п(ьЛ к) а±п + В±11±ц((и, к) = 0, к) Ь±ц + В±п±п(", к) а±ц] =0,

При наличии в цепочке одной из таких мод все компоненты поля отличны от нуля. Такие моды называются смешанными модами.

Закон дисперсии каждого типа мод вычисляется из условия равенства нулю определителя матрицы соответствующей системы уравнений (5), (6) или (7). На основе полученного формализма был вычислен закон дисперсии для цепочки расположенных вплотную друг к другу частиц единичного радиуса из ОаАэ, пг = 3.5 (Рис. 1). Этот результат был получен в дипольном приближении, и было показано, что дипольное приближение позволяет получить закон дисперсии с точностью до 1%.

На основании законов дисперсии были найдены разрешенные зоны — области частот, где поляритоны не подвержены потерям на излучение. Было показано, что потери, связанные с излучением, полностью подавляются, если частота и оптической моды и ее квазиволновой вектор к удовлетворяют условию

ш < к (8)

(здесь и далее считаем скорость света в вакууме с = 1). Условие (8) позволяет определить нижнюю границу разрешенной зоны, тогда как верхняя граница совпадает с границей зоны Бриллюэна к = тт/а. Разрешенные зоны для цепочек из различных веществ приведены в Таблице I (радиус частиц полагаем равным 1).

Кроме того, была получена зависимость ширины разрешенных зон от показателя преломления пг вещества частиц в случае, когда частицы расположены вплотную друг к другу. Получено, что разрешенная зона для ТМ-моды существует при пг > 2.3, а для ТЕ-моды — при Пг > 2.0, тогда как для смешанной моды разрешенная зона существует при любом пг. Наконец, была исследована зависимость ширины разрешенных зон от периода волновода а. Показано, что с ростом периода цепочки разрешенные зоны всех мод сужаются. При определенном периоде разрешенные зоны для ТЕ- и ТМ-мод перестают существовать. Для цепочки частиц из СаАэ разрешенная зона для ТМ-моды существует, если а < 2.8, а для ТЕ-моды — если а < 3.7. Для смешанной моды разрешенная зона существует при любом а.

1.6

1.4

1.2

3 1,0 го

5 0,8 о

_го 0,6 0,4 0,2 0,0

0 л/8 а л/4 а Зп/8 а л/2а 5л/8 а Зг/4а 7л/8а л/а Квазиволновой вектор к

Рис. 1: Законы дисперсии для цепочки частиц из СаАэ (Пг = 3.5): ТМ-моды (квадраты), ТЕ-моды (кружки), смешанные моды (треугольники).

Таблица I: Разрешенные зоны цепочек частиц из различных веществ.

СаАэ (пт = 3.5) ТЮ2 (пг = 2.7) гпО (пг = 1.9)

ТМ-моды 1.174 <ш < 1.212 5.184 < А < 5.352 1.458 <и < 1.475 4.260 < А < 4.309 Нет зоны

ТЕ-моды 0.832 < и < 0.345 6.649 < А < 7.289 1.141 <и> < 1.204 5.218 < А < 5.507 Нет зоны

Смешанные моды ш < 0.843 А > 7.453 и < 1.068 А > 5.883 и < 1.371 А > 4.583

Третья глава диссертационной работы посвящена исследованию свойств цепочек частиц конечной длины.

Начало главы посвящено исследованию собственных мод таких цепочек. Эти моды, так же как и моды бесконечной цепочки, можно разделить на три типа — ТМ-, ТЕ- и смешанные моды. Однако, в отличие от случая бесконечной цепочки, моды цепочки конечной длины образуют дискретный спектр и обладают конечными временами жизни, даже если их частоты лежат в разрешенной зоне. В данной главе найдены собственные моды конечной цепочки и описаны их свойства. Особое внимание уделено вычислению зависимости добротности наиболее долгоживущих собственных мод от длины цепочки (добротность пропорциональна времени жизни т моды и определяется по формуле <3 = ыт/2). Была аналитически и численно получена зависимость 1) ~ ]У3, которая верна для мод всех трех типов при наличии разрешенной зоны (см. Рис. 2).

Кроме того, в данной главе рассмотрены оптические возбуждения, формирующиеся в волноводе в виде линейной цепочки частиц, около одного конца которого расположен точечный дипольный источник излучения. Если излучающий диполь ориентирован параллельно оси волновода, то в нем возбуждаются ТМ- или ТЕ-моды, в зависимости от того, электрический или магнитный диполь выбран в качестве источника. Если диполь ориентирован перпендикулярно оси волновода, то возбуждаются смешанные моды. Было установлено, что возбуждение может передаваться по волноводу только при условии, что частота излучения источника лежит в разрешенной зоне соответствующей моды, тогда как в противном случае интенсивность возбуждения затухает экспоненциально по мере удаления от источника. Показано

о

О(Ы) = сы'

-»-ТМ-мода: р = 2.86 —ТЕ-мода: р = 2.93 —а— Смешанная мода: р = 2.98

с

10

20 30 40 50

Число частиц N

Рис. 2: Зависимость добротности наиболее долгоживущей ТМ-моды (квадраты), ТЕ-моды (кружки) и смешанной моды (квадраты) в волноводе из ваАв от числа частиц.

также, что если частота источника лежит в разрешенной зоне, то интенсивность оптического возбуждения распределяется по волноводу приблизительно периодически (см. Рис. 3). Период Д распределения интенсивности определяется по формуле Д = 1/(1 — ка/тг), где к — квазиволновой вектор, соответствующий частоте излучения источника по закону дисперсии. Это было интерпретировано как результат интерференции двух поляритонных волн, одна из которых бежит от источника к противоположному концу волновода, а другая, отраженная от противоположного конца, бежит по направлению к источнику.

В четвертой главе диссертационной работы исследованы поляритоны в кольцевом массиве частиц (Рис. 4), а также в системе, состоящей из кольцевого массива и двух цепочек частиц, одна из которых играет роль входного, а другая — выходного канала (Рис. 5).

В данной главе исследованы собственные поляритонные моды кольцевого массива частиц. Показано, что все моды такого массива разделяются на два типа. Для мод одного типа отличными от нуля являются парциальные амплитуды о¿ц а парциальные амплитуды У01, а'±п равны нулю. При наличии в кольцевом массиве такой моды ^-компонента магнитного поля в плоскости кольца равна нулю (считается, что кольцо расположено в плоскости Оху). Такие моды можно условно назвать ТЕ-модами. Для других мод, напротив, отличны от нуля.

Номер частицы

Рис. 3: Зависимость интенсивности оптического возбуждения от номера частицы. Источник — магнитный диполь, ориентированный перпендикулярно оси волновода. Число частиц N = 200.

парциальные амплитуды Ь'01, тогда как а101> равны нулю. При наличии в кольце частиц такой моды ¿-компонента электрического поля в плоскости кольца равна нулю. Такие моды можно назвать ТМ-модами.

Каждая собственная оптическая мода кольцевого массива частиц характеризуется целочисленным параметром q. Значения параметра д лежат в интервале —N/2 +1 < д < N/2, где N — число частиц в волноводе (здесь предполагается, что N четно). Зависимость парциальных амплитуд от номера частицы определяется этим параметром и имеет вид

„3 — „ р"И*{<1-т)ЦН и _ г гйг(?-т);/Л? ("п1!

Моды с наибольшими значениями параметра д обладают наибольшей добротностью. Было показано аналитически и подтверждено численным расчетом, что с ростом числа частиц добротность наиболее долгоживущих мод растет по закону

1п<Э х = асоэЬ —— 1/1 — —(Ю)

иа V я-

В данной главе рассматривалось также распределение интенсивности оптического возбуждения по кольцу частиц, расположенному в поле монохроматического точечного источника.

Источник

Рис. 4: Кольцевой массив частиц.

Рис. 5: Кольцевой массив с двумя цепочками.

Источник представляет собой магнитный диполь, ориентированный перпендикулярно плоскости кольца. Было получено, что если частота излучения источника совпадает с частотой одной из ТМ-мод кольца частиц, то интенсивность оптического возбуждения распределяется по кольцу приблизительно периодическим образом (Рис. 4). Период определяется параметром q моды, на частоте которой излучает источник. Интенсивность оптического возбуждения на частицах кольца имеет вид

(здесь предполагается, что частица, рядом с которой расположен источник, имеет номер ] = 1). Периодический характер распределения интенсивности оптического возбуждения вдоль кольца был интерпретирован как результат интерференции двух поляритонных волн, распространяющихся по кольцу в противоположных направлениях. Если частота источника не совпадает с частотой какой-то ТМ-моды кольцевого массива частиц, то периодического распределения интенсивности не наблюдается. Стоит заметить, что в периодической картине распределения интенсивности по кольцевому массиву парциальные амплитуды могут достигать больших значений, на несколько порядков превышающих интенсивность излучения источника, что объясняется большими значениями добротности собственных поляритонных мод такого волновода.

Наконец, рассматривались также поляритонные возбуждения в волноводе в виде коль-

(П)

10 20 30 40 50 60 70 80 Номер частицы

Рис. 6: Распределение интенсивности оптического возбуждения вдоль кольца частиц из ваАв при частотах ы = 0.8397, ? = 36 (звездочки), и — 0.8413, <? = 37 (квадраты), и = 0.8424, д = 38 (треугольники), ш = 0.8431, д = 39 (кружки).

цевого массива, к которому примыкают две линейные цепочки частиц (Рис. 5). Точечный источник расположен у открытого конца одной из цепочек. Возбуждение, индуцированное излучением источника, распространяется по этой цепочке и достигает кольцевой части системы. В кольцевой части оно разделяется на две волны, бегущие по кольцу и интерферирующие между собой. Далее, возбуждение проходит во вторую цепочку. Таким образом, первая цепочка выполняет функцию входного канала, а вторая цепочка — функцию выходного канала.

Было показано, что зависимость интенсивности на конце выходного канала от угла а между каналами может быть приближенно аппроксимирована функцией

где К — число частиц в кольцевой части волновода, д — целочисленный параметр, характеризующий моду, на частоте которой излучает источник. Полученная зависимость показана на Рис. 7. При сравнении Рис. 7 и Рис. 6 видно, что видно, что функция (12) хорошо аппроксимирует распределение интенсивности возбуждения в кольце без цепочек при той же частоте источника (в этом случае угол а в формуле (12) характеризует положение частицы в кольце без цепочек). Этот результат говорит о том, что полученная зависимость определяется главным образом интерференционными явлениями в кольцевой части волновода.

(12)

Однако зависимость интенсивности на конце выходного канала довольно заметно отличается от аппроксимационной функции (12), что объясняется сложным влиянием присоединенных к кольцу цепочек на интерференционные явления в кольце.

Угол между цепочками

Рис. 7: Зависимость интенсивности волны, передаваемой по системе цепочка-кольцо-цепочка (Рис. 5), от угла между цепочками. Число частиц в кольце //д = 80, число частиц в цепочках Ис — 20.

Частота источника и = 0.8424 (д = 38).

Пятая глава диссертационной работы посвящена исследованию явления "медленного света" в волноводе, состоящем из диэлектрических наночастиц. Это явление было исследовано на примере распространяющегося по волноводу поляритонного возбуждения в виде гауссова волнового пакета.

В качестве волновода была выбрана цепочка из N = 200 частиц с показателем преломления пг = 3.5, расположенных вплотную друг к другу. У одного конца этого волновода расположен точечный источник, магнитный дипольный момент которого зависит от времени по закону М(4) = Мо е-"2'2-Под влиянием излучения такого источника в волноводе формируется поляритонный волновой пакет, постепенно расплывающийся и ослабевающий со временем. Если магнитный дипольный момент М(4) источника сонаправлен оси волновода, то в волноводе возникает волновой пакет, состоящий из ТЕ-мод, а если М(4) перпендикулярен оси волновода, то волновой пакет состоит из смешанных мод.

Для волновых пакетов, состоящих из этих двух типов мод, были выбраны три значения

несущей частоты и>о. Значение параметра а было выбрано одинаковым для всех несущих частот, а = 5 х 10~3.

Полученные волновые пакеты обладают достаточно большой длиной расплывания и затухания, составляющей порядка несколько сотен частиц,. Было доказано прямым численным расчетом, что скорость волнового пакета, состоящего из ТЕ- или из смешанных мод, совпадает с групповой скоростью соответственно ТЕ-моды или смешанной моды бесконечного волновода, частота которой равна несущей частоте и>0 волнового пакета. Таким образом, скорость волнового пакета может быть значительно меньше скорости света в вакууме, что и называется явлением "медленного света". При приближении несущей частоты волнового пакета и>0 к верхней границе разрешенной зоны мод соответствующего типа скорость волнового пакета уменьшается.

Подчеркнем, что анализ распространения волнового пакета требует решения ьеодр,оро&ной системы нелинейных уравнений, в то время как закон дисперсии получается путем решения однородной системы уравнений. В этих случаях применялись существенно различные алгоритмы расчетов. Совпадение результатов лишний раз указывает на достаточную точность проводимых вычислений и на устойчивость использованных алгоритмов.

Результаты расчетов приведены в Таблице II. Эволюция волнового пакета во времени представлена на Рис. 8, 9.

t=800

fi М200

f^ 1=1600

f\ MOOO

г \ Л

A A AA/U

25 50 75 100 125 150 175 200 Номер частицы

25 50 75 100 125 150 175 200 , Номер частицы

Рис, 8: Волновой пакет, состоящий из ТЕ-мод, ш0 = 0.9, а = 5 х 10~3.

Рис. 9: Волновой пакет, состоящий из смешанных мод, и>о = 0.82, а — 5 х 10_3.

Таблица II: Параметры волновых пакетов в волноводе из диэлектрических паиочастиц, состоящих из СаАя (пг = 3.5). а = 5 х 10"3.

Несущая частота Скорость пакета Начальная ширииа Длина распльшаиия

Волновые пакеты, состоящие из ТЕ-мод

0.88 0.21 30 частиц 430 частиц

0.9 0.17 23 частицы 320 частиц

0.93 0.1 15 частиц 90 частиц

Волновые пакеты, состоящие из смешанных мод

0.8 0.17 24 частицы 200 частиц

0.82 0.12 15 частиц 120 частиц

0.83 0.09 13 частиц 80 частиц

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. На основе формализма многоцентрового рассеяния разработан эффективный численный алгоритм для вычисления резонансных частот произвольного массива сферических наночастиц. Этот алгоритм использован для вычисления резонансных частот линейных и кольцевых массивов частиц. Численно показано, что дипольное приближение хорошо описывает оптические свойства таких систем на основе таких материалов как СаАэ,

тю2, гпо.

2. В дипольном приближении резонансные моды бесконечной цепочки разделяются на ТМ-моды, ТЕ-моды и смешанные моды. Эти моды образуют, соответственно, разрешенные ТМ-, ТЕ- и смешанные зоны, разделенные запрещенными зонами. Показано, что для ТЕ- и ТМ-мод разрешенные зоны существуют только при достаточно большом показателе преломления материала частиц и при достаточно малом периоде цепочки, в то время как для смешанных мод таких ограничений нет. Вычислены законы дисперсии и показано, что групповая скорость стремится к нулю вблизи границы зоны Бриллюэна.

3. Исследованы резонансные моды конечных линейных и кольцевых массивов. Показано аналитически и подтверждено численно, что добротность резонаторов на основе таких систем растет с числом частиц по закону С) ~ /V3 для линейных массивов и С3 ~ ехр{х7У} для кольцевых массивов.

4. Для конечной линейной цепочки исследованы свойства поляритонного возбуждения, индуцированного точечным монохроматическим источником. Продемонстрировано, что возникновение незатухающего по длине возбуждения имеет место только в том случае, если частота источника лежит в разрешенной зоне. Показано, что распределение интенсивности поляритона может иметь периодичность, равную нескольким десяткам частиц. Эта зависимость интерпретирована как результат интерференции падающей и отраженной от конца волновода волн.

5. Аналогичное явление обнаружено для кольцевого волновода, вблизи которого расположен источник излучения.

6. Рассмотрен волновод, образованный кольцом частиц и двумя примыкающими к нему линейными цепочками, выполняющими функцию входного и выходного каналов. Показано, что по такой системе эффективно передается возбуждение, отвечающее одной из резонансных мод изолированного кольца. Дана интерпретация обнаруженной периодической зависимости интенсивности передаваемого возбуждения от геометрии системы.

7. Исследовано распространение поляритонного волнового пакета по линейному волноводу. Рассчитана скорость движения пика этого пакета. Как и следовало ожидать, эта скорость совпадает с групповой скоростью, определяемой законом дисперсии, и вблизи границы зоны Бриллюэна достигает значений 0.1 -0.2с. Показано, что волновые пакеты слабо затухают и расплываются для волновода из нескольких сотен наночастиц.

Цитируемая литература

[1] А. Ярив, П. Юх. Оптические волны в кристаллах. Пер. с англ. — М.: Мир, 1987. — 616 с. ил.

¡2] J. Joannopulos, P. R. Villeneuve, S. Fan. Photonic crystals: putting a new twist on light. Nature 386, 143 (1997).

[3] В. А. Кособукин. Фотонные кристаллы. Окно в Микромир, No. 4, 2002.

[4] Е. Yablonovitch. Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics. Phys. Rev. Lett. 58, 2059 (1987).

[5] S. John. Strong Localization of Photons in Certain Disordered Dielectric Superlattices. Phys. Rev. Lett. 58, 2486 (1987).

[6J E. Yablonovitch, T. J. Gmitter, К. M. Leung. Photonic Band Structure: The Face-Centered-Cubic Case Imploying Nonspherical Atom. Phys. Rev. Lett, 67, 2295 (1991).

[7] J. P. Dowling, M. Scalora, M. J. Bloemer, С. M. Bowden. The photonic band edge laser: A new approach to gain enhancement. J. Appl. Phys. 75, 1896 (1994).

[8] Qi Wu, Gibbons J. M., Park Wounjhang. Graded negative index lens by photonic crystals. Optics Express 16, 16941 (2008).

[9j Z. S. Yang, N. H. Kwong, R. Binder, A. L. Smirl. Stopping, storing, and releasing light in quantumwell Bragg structures. J. Opt. Soc. Am. В 22, 2144 (2005).

[10] Yu. A. Vlasov, M. O'Boyle, H. F. Hamann, S. J. McNab. Active control of slow light on chip with photonic crystal waveguides. Nature 438, 65 (2005).

[11] S. Fan, P. R. Villeneuve, J. D. Joannopoulos H. A. Haus. Channel Drop Tunneling through Localized States. Phys. Rev. Lett. 80, 960 (1998).

[12] С. О. Коноров и др. Волноводное распространение электромагнитного излучения в полых микроструктурированных и фотонно-кристаллических волокнах. ЖЭТФ 123, 975 (2003).

[13] S. G. Johnson, P. R. Villeneuve, S. Fan, J. D. Jannopoulos. Linear waveguides in photonic crystal slabs. Phys. Rev. В 62, 8212 (2000).

[14] Ю. Каган, A. M. Афанасьев. Об изменении резонансных ядерных параметров при рассеянии на регулярных системах. ЖЭТФ 50, 271 (1966).

[15] В. М. Агранович, О. А. Дубовский. Влияние запаздывающего взаимодействия на спектр экси-

тонов в одномерных и двумерных кристаллах. Письма в ЖЭТФ 3, 345 (1966).

[16| Amnon Yariv, Yong Xu, Reginald К. Lee, Axel Scherer. Coupled-resonator optical waveguide: a proposal and analysis. Optics Letters 24, 711 (1999).

[17] L. I. Deych, 0. Roslyak. Photonic band mixing in linear chains of optically coupled microspheres. Phys. Rev. E 73, 036606 (2006).

[18] Seungmoo Yang, V. N. Astratov. Photonic nanojet-induced modes in chains of size-disordered microspheres with an attenuation of only 0.08 dB per sphere. Appl. Phys. Lett. 92, 261111 (2008).

[19] M. Quinten, A. Leitner, J. R. Krenn, F. R. Aussenegg. Electromagnetic energy transport via linear chains of silver nanoparticles. Optics Letters 23, 1331 (1998).

[20] M. L. Brongersma, J. W. Hartman, H. A. Atwater. Electromagnetic energy transfer and switching in nanoparticle chain arrays below the diffraction limit. Phys. Rev. B. 62, R16356 (2000).

[21] S. A. Maier, P. G. Kik, H. A. Atwater. Optical pulse propagation in metal nanoparticle chain waveguides. Phys. Rev. В 67, 205402 (2003).

[22] W. H. Weber, G. W. Ford. Propagation of optical excitations by dipolar interactions in metal nanoparticle chains. Phys. Rev. B. 70, 125429 (2004).

[23] Yu-lin Xu, Ru T. Wang. Electromagnetic scattering by an aggregate of spheres: Theoretical and experimental study of the amplitude scattering matrix. Phys. Rev. E 58, 3931 (1998).

Основные результаты диссертации представлены в работах:

1. G. S. Blaustein, М. I. Gozman, О. Samoylova, I. Ya. Polishchuk, A. L. Burin. Guiding optical modes in chains of dielectric particles. Optics Express 15, 17380 (2007).

2. Gail. S. Blaustein, А. Л. Бурин, M. И. Гозмаи, И. Я. Полищук. Долгоживугцие оптические моды в цепочках диэлектрических сферических частиц. Сборник аннотаций, 5-я Курчатовская молодежная научная школа, стр. 123 (2007).

3. Г. С. Влауштейн, А. Л. Бурин, М. И. Гозман, И. Я. Полищук. Долгоживущие оптические моды в цепочке диэлектрических наночастиц. Сборник аннотаций и докладов конференции по физике конденсированного состояния, сверхпроводимости и материаловедению, РНЦ "Курчатовский институт", стр. 37 (2007).

4. M.I. Gozman, I.Ya. Polishchuk, A.L. Burin. Optical Modes in Linear Arrays of Dielectric Spherical Particles: A Numerical Investigation. Proceedings of the 9th International Conference on Transparent. Optical Networks, v. 4, p. 136 - 139 (2007).

5. M. I. Gozman, I. Ya. Polishchuk, A. L. Burin. Light Propagation in Linear Arrays of Spherical Particles. Phys. Lett. A 372, 5250 (2008).

6. M. Gozman, I. Polishchuk, A. Burin. Features of Propagation of Light in the Linear Array of Dielectric Spheres. Proceedings of the 10th International Conference on Transparent Optical Networks, v. 4, p. 46 - 49 (2008).

7. I. Ya. Polishchuk, M. I. Gozman, О. M. Samoylova, A. L. Burin. Interference of guiding modes in "traffic" circle waveguides composed of dielectric spherical particles. Phys. Lett. A 373, 1396 (2009).

8. Полищук И. Я., Гозман М. И., Ломоносова Т. А. Оптические моды в линейных массивах диэлектрических сферических частиц. Численное исследование. Труды МФТИ 1 (2), 98

(2009).

9. М. Gozman, I. Polishchuk, Т. Lomonosova. Interference of Guiding Polariton Modes in "Traffic" Circle Waveguides. Proceedings of the 11th International Conference on Transparent Optical Networks, p. 1 - 4 (2009).

10. I. Ya. Polishchuk, M. I. Gozman, Gail S. Blaustein, A. L. Burin. Interference of guided modes in a two-port ring waveguide composed of dielectric nanoparticles. Phys. Rev. E 81, 026601

(2010).

11. Гозман М.И., Полищук И.Я., Полищук Ю.И. Распространение поляритонного волнового пакета по цепочке диэлектрических наночастиц. ЖЭТФ (отправлено в печать).

Подписано в печать 12.10.2010. Формат 60x90/16 Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,5 Тираж 65. Заказ 107

Отпечатано в РНЦ «Курчатовский институт» 123182, Москва, пл. Академика Курчатова, д. 1

Введение

1 Формализм многоцентрового рассеяния Ми.

1.1 Векторные сферические гармоники.

1.2 Поле в системе нескольких частиц.

1.3 Приближенные вычисления поля массива частиц.

1.4 Собственные оптические моды массива частиц.

1.5 Резонансы Ми.

1.6 Система двух частиц.

2 Зонная структура бесконечной линейной цепочки диэлектрических наночастиц.

2.1 Разрешенные зоны.

2.2 Общий формализм.

2.3 Вычисление зонной структуры в дипольном приближении.

2.4 Сравнение дипольного приближения с другими приближениями.

2.5 Зависимость зонной структуры от материала частиц цепочки.

2.6 Зависимость зонной структуры от периода цепочки.

3 Волновод конечной длины.

3.1 Собственные поляритонные моды цепочки конечной длины.

3.2 Время жизни собственных мод линейной цепочки конечной длины.

3.3 Распространение монохроматических оптических возбуждений вдоль волновода конечной длины.

4 Оптические возбуждения в кольцевом массиве частиц и в волноводах в виде комбинации кольцевого массива и двух цепочек частиц.

4.1 Собственные оптические моды кольцевого массива.

4.2 Математический формализм.

4.3 Время жизни собственных оптических мод кольцевого массива частиц.

4.4 Кольцевой массив частиц во внешнем поле. Интерференционные эффекты.

4.5 Волновод в виде комбинации кольцевого массива и двух линейных цепочек частиц.

5 Явление "медленного света" в линейном волноводе.

5.1 Математическая модель.

5.2 Свойства оптических возбуждений в виде волновых пакетов конечной ширины.

Актуальность работы.

Большое значение для развития интегральной оптики имеют исследования волноводов на основе фотонных кристаллов [1, 2, 3]. Эти волноводы представляют собой протяженные в одном направлении периодические структуры с периодом порядка оптической длины волны. Такие волноводы обладают рядом интересных свойств, определяющих их практическую значимость.

Прежде всего, эти волноводы могут обладать малыми поперечными размерами порядка или меньше оптической длины волны, что позволяет создавать на их базе оптические устройства чрезвычайно малых размеров. Электромагнитное поле концентрируется в узкой области пространства вблизи волновода и может достигать там больших значений, что может быть полезно, например, для создания микроскопов ближнего поля и микролазеров. Кроме того, в отличие от обычных оптоволокон, эти волноводы не подвержены потерям энергии на изгибах.

Другим важным свойством таких волноводов, связанным с их периодической структурой, является формирование в оптическом диапазоне частот запрещенных зон, в которых распространение света вдоль волновода невозможно. Это свойство позволяет использовать волноводы на основе фотонных кристаллов в качестве спектральных фильтров.

Наконец, важной особенностью волноводов на основе фотонных кристаллов является формирование в их спектре так называемых "медленных" мод, т. е. мод с низкими групповыми скоростями. Это позволяет управлять скоростью передачи оптического импульса из одной точки пространства в другую и может быть использовано для создания линий задержки и фазовращателей [4, 5].

Развитие интереса к фотонно-кристаллическим волноводам стало естественным следствием развития теории фотонных кристаллов — искусственных материалов, диэлектрическая проницаемость которых периодически меняется в пространстве [3, 6, 7] на масштабе порядка оптической длины волны. Различают фотонные кристаллы различной размерности: трехмерные, диэлектрическая проницаемость которых является периодической по всем трем направлениям; двумерные, диэлектрическая проницаемость которых периодически зависит от двух пространственных координат и не зависит от третьей; и одномерные — слоистые структуры, диэлектрическая проницаемость которых периодически зависит лишь от одной координаты и не зависит от двух других.

Интерес к фотонным кристаллам связан с их уникальными оптическими свойствами. Так, чрезвычайно интересным явлением, обусловленным периодической структурой фотонных кристаллов, является суперпреломление, называемое также эффектом суперпризмы [8, 9]. Но наиболее важным для технических приложений является формирование в оптическом спектре фотонного кристалла зонной структуры — возникновение стоп-зон и полных запрещенных зон. Стоп-зонами называются области частот, где невозможно распространение света в каком-то направлении фотонного кристалла. Если в спектре фотонного кристалла присутствует область частот, где невозможно распространение света в любом направлении, то такие области называются полными запрещенными зонами. Природа формирования зонной структуры фотонных кристаллов аналогична природе формирования зонной структуры в электронном спектре кристаллических твердых тел. В работах [10, 11] было показано, что формирование запрещенных зон позволяет замедлить процессы, связанные со спонтанным излучением, а также была предсказана локализация света в окрестности дефекта фотонного кристалла. Это и послужило стимулом к изучению фотонных кристаллов. В частности, рассматривается возможность использования фотонных кристаллов в качестве элементной базы для квантовых компьютеров, чтобы замедлить распад когерентности квантовых состояний. Впервые полная запрещенная зона была получена в 1991 г. в спектре фотонного кристалла с ГЦК-решеткой и атомами несферической формы (такие структуры были названы "яблоновитами") [12]. В настоящее время получены и другие трехмерные фотонные кристаллы с полной запрещенной зоной [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19]. В качестве материалов для создания трехмерного фотонного кристалла с полной запрещенной зоной часто используются искусственные опалы [20, 21, 22].

Так же, как и электронные моды в твердом теле, оптические моды в фотонных кристаллах представимы в виде плоских волн и характеризуются квазиволновым вектором. Связь частоты и и квазиволнового вектора к называется законом дисперсии, а групповая скорость моды определяется по формуле лгдг(ш) = ско/сИс. При приближении квазиволнового вектора к верхней границе зоны Бриллюэна групповая скорость моды стремится к нулю. Моды с малыми групповыми скоростями называются "медленными" модами [23, 24] и открывают возможность для использования фотонных кристаллов, например, для создания лазеров с низким порогом генерации [24]. Предлагались также различные варианты регулировки скорости оптического сигнала в фотонно-кристаллических средах [4].

В настоящее время создано множество видов волноводов на основе фотонных кристаллов. Частным случаем такого волновода является линейный дефект периодической структуры фотонного кристалла. Дефект обладает собственными оптическими модами, отличными от собственных мод фотонного кристалла (такие моды называются дефектными). Если частота дефектной моды лежит в запрещенной зоне фотонного кристалла, то эта мода концентрируется в узкой области пространства в окрестности дефекта, который в этом случае играет роль волновода.

Примером волноводов в виде линейных дефектов фотонного кристалла являются фотонно-кристаллические волокна. Они представляют собой тонкие нитевидные структуры с полой сердцевиной и стенками, обладающими двумерной периодической структурой [25, 26, 27, 28], или в виде системы коаксиальных цилиндрических слоев [29]. Сердцевина играет роль дефекта двумерного фотонного кристалла. Такие волокна способны передавать оптические возбуждения на расстояние порядка нескольких километров и потому представляют интерес для приложений в области телекоммуникаций. Однако диаметр таких волокон составляет до нескольких сотен микрон, поэтому они не годятся для производства нанооптических устройств.

Другим примером являются волноводы в виде линейных дефектов трехмерного фотонного кристалла [30, 31, 32, 33, 34]. Линейным называется дефект, протяженный в одном измерении и ограниченный в двух других. Такие волноводы обладают периодической структурой, и потому их собственные оптические моды представимы в виде блоховских волн и характеризуются квазиволновым вектором, значения которого ограничены интервалом —7г/а < к < 7г/а, где а — период дефекта. На границах этого интервала групповая скорость собственных мод такого волновода обращается в ноль, то есть такие волноводы обладают "медленными" модами.

Такие волноводы обладают рядом важных достоинств. Прежде всего, такие волноводы могут обладать довольно малыми поперечными размерами — порядка или меньше длины волны видимого света. Кроме того, энергию можно практически без потерь передавать по изогнутым линейным дефектам, например, по дефекту в виде прямого угла. В этом заключается существенное преимущество волноводов в виде линейных дефектов фотонных кристаллов над такими волноводами, как, например, оптоволокно, которое подвержено существенным потерям в области изгиба.

Однако, такие волноводы довольно трудны в производстве. Удобную альтернативу им представляют волноводы в виде линейных дефектов тонких (толщиной порядка нескольких сотен нанометров) пластин с двумерной периодической структурой в виде рельефа или отверстий [35, 36, 37, 5].

Как и в случае трехмерного фотонного кристалла, собственные моды пластины, обладающей двумерной периодической структурой, характеризуются квазиволновым вектором к. Если частота и и квазиволновой вектор к собственной моды пластины удовлетворяют условию |к| > ш/с (здесь с — скорость света в вакууме), то такая мода не подвержена потерям на излучение энергии в пространство и обладает большим временем жизни, причем электромагнитное поле такой моды локализовано вблизи пластины и экспоненциально убывает по мере удаления от нес. А поскольку пластина обладает периодической структурой, то в области частот, где выполняется условие |к| > и/с, могут формироваться запрещенные зоны. Это явление было исследовано теоретически [35, 38, 39] и экспериментально [40].

Если в периодической структуре пластины имеется линейный дефект, то в оптическом спектре пластины формируются дефектные моды. Если частота дефектной моды лежит в запрещенной зоне пластины, то эта мода локализуется в узкой области пространства вблизи дефекта, который в этом случае играет роль волновода. Существование мод, локализующихся вблизи дефекта пластины, было подтверждено экспериментально и широко исследовалось теоретически [41, 42]. Наиболее полное теоретическое исследование данного вопроса приведено в работе [36].

Одним из наиболее значительных достоинств волноводов в виде линейных дефектов пластин с двумерной периодической структурой является возможность передачи сигнала но изогнутому волноводу практически без потерь [43]. К тому же, в окрестности изгибов или областей изменения ширины линейного дефекта пластины могут формироваться так называемые связанные моды, локализованные в узкой области пространства и обладающие большими временами жизни [44]. Наконец, большое внимание уделялось формированию в спектре линейных дефектов периодических пластин медленных оптических мод, то есть мод с малыми собственными групповыми скоростями. Так, в работе [45] получены групповые скорости порядка с/50, а в [46] полученная на эксперименте груповая скорость оценена как vgr ~ 10~3с. Исследуются также методы активной регулировки групповой скорости медленных мод, которые представляют большой интерес для интегральных оптических схем [37, 5].

Другим примером волновода на основе фотонных кристаллов является цепочка частиц. Взаимодействие между частицами приводит к формированию в таких волноводах коллективных оптических мод, образующих зонную структуру. Времена жизни коллективных мод могут существенно превосходить времена жизни резонансных мод уединенной частицы. Эта особенность коллективных мод в низкоразмерных периодических системах была исследована в 1966 году в работе Ю. М. Кагана и А. М. Афанасьева [47], где рассматривались периодические системы возбужденных ядер, а также в работе В. М. Аграновича и О. А. Дубовского [48], где рассматривались возбуждения экситопов в кристалле.

Исследования таких волноводов сейчас ведутся в двух основных направлениях. Первое направление касается цепочек диэлектрических частиц размером порядка нескольких микрон [49, 50, 51, 52]. В оптическом диапазоне частот такие частицы обладают резонансными модами с большими временами жизни [53], которые называются также "шепчущими" модами. Таким образом, такие цепочки представляют собой волноводы, состоящие из слабо взаимодействующих между собой оптических резонаторов высокой добротности (coupled resonator optical waveguides — CROW). Идея таких волноводов была предложена в работе [55]. Если частицы выстроены в цепочку, то взаимодействие между ними приводит к формированию коллсктивных мод, образующих узкие зоны в окрестности частот резонансных мод уединенной частицы [54, 49, 55]. Таким образом, такие волноводы способны эффективно передавать лишь такие оптические возбуждения, частоты которых близки к резонансным частотам частиц, благодаря чему их можно использовать как оптические фильтры высокой точности. Кроме того, если собственные моды частиц обладают симметрией относительно поворота на угол 2тг/п (п — целое), то оптическое возбуждение может передаваться без потерь по волноводу, обладающему изгибом на такой угол. Однако, их поперечные размеры многократно превышают длину волны видимого света, что затрудняет их использование в области нанооптики.

Прямые экспериментальные исследования свойств волноводов в виде цепочек сферических диэлектрических микрочастиц проведены в работах [56, 57, 50, 51]. Так, в работе [56] было получено распространение вдоль волновода оптического возбуждения, затухающего в е раз на расстоянии порядка 1 — 1.5 частиц. Столь быстрое затухание возбуждения было объяснено как следствие дисперсии размеров частиц, которая составляла порядка 1%. В ходе последующих исследований полученные результаты удалось значительно улучшить. Так, в работе [57] было получено затухание оптического возбуждения в е раз на расстоянии порядка 8.7 периодов цепочки, а в работе [50] длина затухания в е раз составляла 54 периода цепочки, то есть порядка 270 мкм. Кроме того, в работе [51] было получено, что скорость распространения оптических возбуждений в волноводе из диэлектрических сферических микрочастиц может быть меньше скорости света в вакууме в 40 раз.

Кстати, в качестве резонаторов, составляющих волновод, можно использовать также тороидальные [58, 59, 60, 61], цилиндрические [62], диско-видныс частицы [63], а также дефекты пластин с двумерной периодической структурой [64, 65, 66, 67].

Другое направление касается цепочек металлических наночастиц размером много меньше длины волны видимого света [68, 69, 70]. Способность таких волноводов передавать энергию обусловлена не долгоживущими модами каждой отдельной частицы, а формированием разрешенной зоны — области частот, в которой оптические возбуждения могут распространяться по цепочке без потерь на излучение. Поскольку цепочка периодическая, то ее собственные оптические моды имеют вид блоховских волн и характеризуются квазиволповым вектором к, значения которого лежат в зоне Бриллюэна: —7т/а < к < тг/а, где а — период цепочки. Вообще говоря, оптические моды подвержены потерям на излучение свободного фотона в пространство, но если квазиволновой вектор и частота и моды удовлетворяют неравенству и> < к,то излучение фотона оказывается невозможным. При этом мода не подвержена потерям на излучение и способна распространяться вдоль цепочки на большие расстояния. Такие неизлучающие моды образуют так называемую разрешенную зону.

Интерес к волноводам из металлических частиц возник в связи с работой [71], в которой обсуждаются различия между свойствами диэлектрических и металлических волоноводов цилиндрической формы. Так, в этой работе показано, что волновод, состоящий из диэлектрического материала с показателем преломления пг, может передавать оптическое возбуждение частоты и лишь в том случае, если его диаметр по порядку величины равен или больше (I > = А/2пг, где А = 27гс/ал Величина (1*ш называется дифракционным пределом. Однако, если волновод металлический, то электромагнитное поле концентрируется в поверхностном слое этого волновода и не проникает в его середину, причем толщина поверхностного слоя много меньше й*. Благодаря этому цилиндрический волновод из металла может передавать оптические возбуждения частоты и даже тогда, когда его поперечный размер много меньше Л, и при этом электромагнитное поле концентрируется вблизи поверхности волновода и экспоненциально убывает по мере удаления от него, так что большая часть энергии концентрируется в узкой области пространства, поперечные размеры которой меньше Л. Таким образом, металлические волноводы позволяют концентрировать электромагнитное поле в узкой области пространства, что открывает перспективы и для создания сверхмалых и сверхъемких интегральных оптических устройств, и для микроскопии, поскольку позволяет оптически исследовать объекты размером меньше длины волны видимого света, чего не позволяют обычные оптические устройства. Кроме того, концентрация света вблизи волновода позволяет создать сильное поле в узкой области пространства, что может быть полезно, например, для производства микролазеров [70].

Идея, высказанная в работе [71], была использована в работе [72], где она была перенесена па цепочки металлических частиц сферической формы. В этой работе было показано посредством численных расчетов, что для переноса оптического возбуждения можно использовать волновод, состоящий из металлических частиц размером много меньше длины волны видимого света, в то время как разрешенная зона таких волноводов лежит в диапазоне видимого света. Это открывает широкие возможности для применения таких волноводов в нанооптике, в микроскопии ближнего поля, а также для получения сильных полей в узкой области пространства. Однако, длина распространения сигнала по таким волноводам ограничена значительными потерями на поглощение.

Оценки длины распространения сигнала, а также законы дисперсии и групповые скорости мод, проводились во многих работах в рамках различных приближений. Так, в работах [73, 74] были использованы ди-польиое приближение, квазистатическое приближение (иа <С 1) и приближение ближайших соседей. Для цепочки серебряных частиц диаметром в, = 50пм с периодом а — 75нм максимальные групповые скорости для продольных и поперечных мод были получены соответственно удгь — 0.056с, ЪдгТ = 0.019с, а расстояние, на котором мода затухает в е раз, соответственно Ьь = 2.7а, Ьт — 0.83а. Результаты, полученные в работах [73, 74], были уточнены в работе [75] путем выхода за пределы квазистатического приближения — были уточнены законы дисперсии для продольных и поперсчпАых мод и по-новому оценены расстояния затухания сигнала, которые были оценены как Ь^ = 9а для продольной моды и Ьт = 25а для поперечной моды.

Проводились также экспериментальные исследования. Так, в работах [76, 77] были экспериментально подтверждены законы дисперсии, полученные в работе [75], а измерение длины затухания сигнала было выполнено в работе [78]. Было получено, что сигнал затухает в е раз на расстоянии порядка 1.8а. Однако, этот результат не соответствует максимально возможной длине затухания, поскольку выбранная частота не лежит в разрешенной зоне цепочки [69]. Ожидаемая максимальная длина затухания составляет несколько микрон.

Формирование разрешенной зоны — явление, на котором основана способность волноводов из металлических наночастиц передавать энергию, — может обуславливать также передачу энергии по волноводам из диэлектрических наночастиц размером в несколько раз меньше длины волны видимого света. Впервые такие волноводы были рассмотрены в работах [79, 80]. Достоинство таких волноводов связано с тем, что они не подвержены затуханию, связанному с поглощением, поэтому оптические возбуждения могут распространяться по ним без затухания на расстояния, гораздо большие, чем по волноводам из металлических частиц. Кроме того, нижняя по частоте разрешеннпя зона таких волноводов формируется при длинах волн, превышающих размер частиц в несколько раз, что позволяет использовать их в качестве структурных элементов для панооптических интегральных схем и в микроскопии. Однако, недостаток волноводов из диэлектрических наночастиц перед волноводами из металлических частиц состоит в том, что размер диэлектрических частиц в них не может быть сделан столь мал, как размер металлических частиц. Размер диэлектрических наночастиц ограничен снизу диффракционным пределом, d > с/т[п = А/2пг, где пг — показатель преломления частиц. Так, в волноводе из металлических частиц разрешенная зона в оптическом диапазоне образуется при диаметре частиц d ~ 50нм, тогда как в волноводе из GaAs (пг — 3.5) разрешенная зона возникает при диаметре частиц d ~ 150 — 200нм.

Цель работы заключается в расчете зонной структуры волноводов на основе низкоразмерных фотонных кристаллов, в оценке времени жизни собственных оптических мод волноводов, в исследовании иитерференционных эффектов, возникающих при распространении оптических возбуждений по волноводам различной формы, а также в исследовании "медленных" оптических мод.

Научная новизна работы.

• Разработан эффективный численный алгоритм для вычисления зонной структуры оптических волноводов на основе низкоразмерных фотонных кристаллов, состоящих из наночастиц сферической формы;

• Получено условие существования неизлучающих мод в бесконечной линейной цепочке диэлектрических наночастиц;

• Исследована зонная структура линейных цепочек, состоящих из диэлектрических наночастиц, получены законы дисперсии оптических мод в таких цепочках, исследована зависимость зонной структуры от материала частиц и периода цепочки;

• Показано аналитически и подтверждено численным расчетом, что время жизни т резонансных оптических мод в линейных или кольцевых массивах диэлектрических наночастиц, быстро растет с числом частиц N по законам т ~ Лг3 для линейного массива иг~ енМ для кольцевого массива;

• Предсказано и исследовано явление интерференции оптических возбуждений в волноводах различной геометрии;

• Исследовано явление "медленного света" в волноводах, состоящих из диэлектрических наночастиц. Показано, что волновой пакет может распространяться по волноводу со скоростью порядка V ~ 0.1с (здесь с — скорость света в вакууме).

Практическая ценность работы.

Расчеты, выполненные в диссертационной работе, могут быть использованы при проектировании интегрально-оптических устройств, резонаторов высокой добротности, микролазеров, спектральных фильтров, линий задержки и фазовращателей. К тому же, результаты диссертационной работы можно использовать для конструирования интерферометров, а также микроскопов ближнего поля. Математические модели и численные алгоритмы, разработанные в диссертационной работе, являются универсальными и позволяют выполнять вычисления для любых структур диэлектрических и металлических наночастиц, представляющих интерес для практических приложений.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Математическая модель и численный алгоритм для вычисления резонансных частот системы сферических наночастиц, а также для расчета распределения электромагнитного поля в системе сферических наночастиц;

2. Условие существования неизлучающих мод в бесконечной цепочке диэлектрических наночастиц;

3. Закон дисперсии и особенности зонной структуры цепочки диэлектрических наночастиц и их зависимость от параметров цепочки;

4. Зависимость времени жизни резонансных мод линейных и кольцевых массивов частиц от их длины;

5. Явление интерференции оптических возбуждений в волноводах различной геометрии;

6. Анализ явления "медленного света" в волноводах, состоящих из диэлектрических наночастиц, с учетом особенности зонной структуры, связанной с неустойчивостью поляритонного спектра.

Апробация работы.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на семинарах "Физика конденсированного состояния и наносистем" (руководитель семинара — академик Ю.М. Каган), на 5-ой Курчатовской Молодежной Научной Школе (19 - 21 ноября 2007, РНЦ "Курчатовский институт"), на Конференции по физике конденсированного состояния, сверхпроводимости и материаловедению (26 - 30 ноября 2007, РНЦ "Курчатовский институт"), на семинарах Тулейнского университета (Tulane University, Новый Орлеан, США), Института физики комплексных систем им. Макса Планка (Max-Planck-Institut für Physik Komplexer Systeme, Дрезден, Германия) и Йенского университета им. Фридриха Шиллера (Friedrich-Scliiller-Universität Jena, Германия), а также на международных конференциях: Electromagnetics Contractors Meeting (8 - 10 января 2008, Сан-Антонио, США), 9th International Conference on Transparent Optical Networks, ICTON 2007 (1 - 5 июля 2007, Рим, Италия), 10th International Conference on Transparent Optical Networks, ICTON 2008 (22 - 26 июня 2008, Афины, Греция), 11th International Conference on Transparent Optical Networks, ICTON

2009 (28 июня - 2 июля 2009, о. Сан-Мигель, Азорские острова, Португалия) .

Цикл работ, положенный в основу диссертации, был удостоен премии им. И. В. Курчатова в области фундаментальных исследований, молодежный конкурс (2007 г.).

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Во введении обосновывается актуальность работы, дается краткий обзор исследований по теме работы, формулируются цели и задачи работы, отмечается новизна и практическая ценность работы, приводятся положения, выносимые на защиту, даны сведения об апробации работы, кратко изложена структура и содержание работы.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. На основе формализма многоцентрового рассеяния разработан эффективный численный алгоритм для вычисления резонансных частот произвольного массива сферических наночастиц. Этот алгоритм использован для вычисления резонансных частот линейных и кольцевых массивов частиц. Численно показано, что дипольное приближение хорошо описывает оптические свойства таких систем на основе таких материалов как СаАэ, ТЮг, ZnO.

2. В дипольном приближении резонансные моды бесконечной цепочки разделяются на ТМ-моды, ТЕ-моды и смешанные моды. Эти моды образуют, соответственно, разрешенные ТМ-, ТЕ- и смешанные зоны, разделенные запрещенными зонами. Показано, что для ТЕ- и ТМ-мод разрешенные зоны существуют только при достаточно большом показателе преломления материала частиц и при достаточно малом периоде цепочки, в то время как для смешанных мод таких ограничений нет. Вычислены законы дисперсии и показано, что групповая скорость стремится к нулю вблизи границы зоны Вриллюэна.

3. Исследованы резонансные моды конечных линейных и кольцевых массивов. Показано аналитически и подтверждено численно, что добротность резонаторов на основе таких систем растет с числом частиц по закону д ~ ДГ3 для линейных массивов и ~ ехр{>ггДг} для кольцевых массивов.

4. Для конечной линейной цепочки исследованы свойства поляритонно-го возбуждения, индуцированного точечным монохроматическим источником. Продемонстрировано, что возникновение незатухающего по длине возбуждения имеет место только в том случае, если частота источника лежит в разрешенной зоне. Показано, что распределение интенсивности поляритона может иметь периодичность, равную нескольким десяткам частиц. Эта зависимость интерпретирована как результат интерференции падающей и отраженной от конца волновода волн.

5. Аналогичное явление обнаружено для кольцевого волновода, вблизи которого расположен источник излучения.

6. Рассмотрен волновод, образованный кольцом частиц и двумя примыкающими к нему линейными цепочками, выполняющими функцию входного и выходного каналов. Показано, что по такой системе эффективно передается возбуждение, отвечающее одной из резонансных мод изолированного кольца. Дана интерпретация обнаруженной периодической зависимости интенсивности передаваемого возбуждения от геометрии системы.

7. Исследовано распространение поляритонного волнового пакета по линейному волноводу. Рассчитана скорость движения пика этого пакета. Как и следовало ожидать, эта скорость совпадает с групповой скоростью, определяемой законом дисперсии, и вблизи границы зоны Бриллюэна достигает значений 0.1 — 0.2с. Показано, что волновые пакеты слабо затухают и расплываются для волновода из нескольких сотен наночастиц.

1. А. Ярив, П. Юх. Оптические волны в кристаллах. Пер. с англ. — М.: Мир, 1987. - 616 с. ил.

2. J. Joannopoulos, P. R. Villcneuve, S. Fan. Photonic crystals: putting a new twist on light. Nature 386, 143 (1997).

3. K. Busch, S. Lolkes, R. B. Wehrspohn, H. Foil (Eds.) Photonic Crystals. Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 2004.

4. Z. S. Yang, N. H. Kwong, R. Binder, A. L. Smirl. Stopping, storing, and releasing light in quantumwell Bragg structures. J. Opt. Soc. Am. В 22, 2144 (2005).

5. Yu. A. Vlasov, M. O'Boyle, H. F. Hamann, S. J. McNab. Active control of slow light on chip with photonic crystal waveguides. Nature 438, 65 (2005).

6. В. Ф. Шабанов, С. Я. Ветров, А. В. Шабанов. Оптика реальных фотонных кристаллов. Жидкокристаллические дефекты, неоднородности. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2005.

7. В. А. Кособукин. Фотонные кристаллы. Окно в Микромир, No. 4, 2002.

8. Н. Kosaka, Т. Kawashima, A. Tomita et al. Superprism phenomena in photonic crystals. Phys. Rev. В 58, R10096 (1998).

9. H. Kosaka, T. Kawashima, A. Tomita et al. Photonic crystals for microlightwave circuits using wavelength-dependent angular beam steering. Appl. Phys. Lett 74, 1370 (1999).

10. E. Yablonovitch. Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics. Phys. Rev. Lett. 58, 2059 (1987).

11. S. John. Strong Localization of Photons in Certain Disordered Dielectric Superlattices. Phys. Rev. Lett. 58, 2486 (1987).

12. E. Yablonovitch, T. J. Ginitter, K. M. Leung. Photonic Band Structure: The Face-Centered-Cubic Case Imploying Nonspherical Atom. Phys. Rev. Lett. 67, 2295 (1991).

13. K. M. Ho, C. T. Chan, C. M. Soukoulis, R. Biswas, M. Sigalas. Photonic band gaps in three dimensions: New layer-by-laycr periodic structures. Solid State Commun. 89, 413 (1994).

14. S. Fan, P. R. Villeneuve, R. D. Meade, J. D. Joannopoulos. Design of three-dimensional photonic crystals at submicron lengthscales. Appl. Phys. Lett. 65, 1446 (1994).

15. C. C. Cheng, A. Scherer. Fabrication of photonic band-gap crystals. J. Vac. Sci. Technol. B 13, 2696 (1995).

16. Susumi Noda, Noritsugu Yamamoto, Akio Sasaki. New relization Method for Three-Dimensional Photonic Crystal in Optical Wavelength Region. Jpn. J. Appl. Phys. 35, L909 (1996).

17. G. Feiertag, W. Ehrfeld, H. Freimuth, H. Kolle, H. Lehr, M. Schmidt, M. M. Sigalas, C. M. Soukoulis, G. Kiriakidis, T. Pedersen, J. Kuhl, W. Koenig.

18. Fabrication of photonic crystals by deep x-ray lithography. Appl. Phys. Lett. 71, 1441 (1997).

19. S. Y. Lin, J. G. Fleming, D. L. Hetherington, В. K. Smith, R. Biswas, К. M. Ho, M. M. Sigalas, W. Zubrzycki, S. R. Kurtz, J. Bur. A three-dimensional photonic crystal operating at infrared wavelengths. Nature 394 (1998).

20. S. H. Park, B. Gates, Y. Xia. A Three-Dimensional Photonic Crystal Operating in the Visible Region. Advanced Materials 11, 466 (1999).

21. Zhi-Yuan Li, Zhao-Qing Zhang. Fragility of photonic band gaps in inverse-opal photonic crystals. Phys. Rev. В 62, 1516 (2000).

22. S. G. Romanov, N. P. Johnson, A. V. Fokin, V. Y. Butko, H. M. Yates, M. E. Pemble, С. M. Sotomayor Torres. Enhancement of the photonic gap of opal-based three-dimensional gratings. Appl. Phys. Lett. 70, 2091 (1997).

23. P. Lodahl, A. Floris van Driel, I. S. Nikolaev, A. Irman, K. Overgaag, D. Vanmaekelbergh, W. L. Vos. Controlling the dynamics of spontaneous emission from quantum dots by photonic crystals. Nature 430, 654 (2004).

24. J. P. Dowling, С. M. Bowden. Atomic emission rates in inhomogeneous media with applications to photonic band structures. Phys. Rev. A 46, 612 (1992).

25. J. P. Dowling, M. Scalora, M. J. Bloemer, С. M. Bowden. The photonic band edge laser: A new approach to gain enhancement. J. Appl. Phys. 75, 1896 (1994).

26. A. M. Желтиков. Дырчатые волноводы. УФН 170, 1203 (2000).

27. J. С. Knight. Photonic crystal fibres. Nature 424, 847 (2003).

28. Yong Xu, Amnon Yariv. Loss analysis of air-core photonic crystal fibers. Optics Letters 28, 1885 (2003).

29. B. Temelkuran, S. D. Hart, G. Benoit, J. Joannopoulos, Y. Fink. Wavelength-scalable hollow optical fibres with large photonic bandgaps for C02 laser transmission. Nature 420, 650 (2002).

30. S. Fan, P. R. Villeneuve, J. D. Joannopoulos H. A. Haus. Channel Drop Tunneling through Localized States. Phys. Rev. Lett. 80, 960 (1998).

31. S. Noda, A. Chutinan, M. Imada. Trapping and emission of photons by a single defcct in a photonic bandgapstructure. Nature 407, 608 (2000).

32. S. F. Mingaleev, Y. S. Kivshar. Effective equations for photonic-crystal waveguides and circuits. Optics Letters 27, 231 (2002).

33. S. F. Mingaleev, K. Busch. Scattering matrix approach to large-scale photonic crystal circuits. Optics Letters 28, 619 (2003).

34. K. Busch, S. F. Mingaleev, A. Garcia-Martin, M. Schillinger, D. Hermann. The Wannier function approach to photonic crystal circuits. Condens. Matter 15, R1233 (2003).

35. S. J. Johnson, S. Fan, P. R. Villeneuve, J. D. Joannopoulos, L. A. Kolodziejski. Guided modes in photonic crystal slabs. Phys. Rev. B 60, 5751 (1999).

36. S. G. Johnson, P. R. Villeneuve, S. Fan, J. D. Jannopoulos. Linear waveguides in photonic crystal slabs. Phys. Rev. B 62, 8212 (2000).

37. L. H. Frandsen, A. V. Lavrinenko, J. Fage-Pedersen, P. I. Borel. Photonic crystal waveguides with semi-slow light and tailored dispersion properties. Optics Express 14, 9444 (2006).

38. R. D. Meade, K. D. Brommer, A. M. Rappe, J. D. Joannopoulos. Existence of a photonic band gap in two dimensions. Appl. Phys. Lett. 61, 495 (1992).

39. J. N. Winn, R. D. Meade, J. D. Joannopoulos. Two-dimensional Photonic Band-gap Materials. J. Mod. Opt. 41, 257 (1994).

40. P. L. Gourley, G. A. Vawter, T. M. Brennan, B. E. Hammons. Optical properties of two-dimensional photonic lattices fabricated as honeycomb nanostructures in compound semiconductors. Appl. Phys. Lett. 64, 687 (1994).

41. R. D. Meade, A. Devenyi, J. D. Joannopoulos, O. L. Alerhand, D. A. Smith, K. Kash. Novel applications of photonic band gap materials: Low-less bends and high Q cavities. J. Appl. Phys. 75, 4753 (1994).

42. H. Benisty. Modal analysis of optical guides with two-dimensional photonic band-gap boundaries. J. Appl. Phys. 79, 7483 (1996).

43. A. Mekis, J. C. Chen, I. Kurland, S. Fan, P. R. Villeneuve, J. D.

44. Joannopoulos. High Transmission through Sharp Bends in Photonic Crystal Waveguides. Pliys. Rev. Lett. 77, 3787 (1996).

45. A. Mekis, S. Fan, J. D. Joannopoulos. Bound states in photonic crystal waveguides and waveguide bends. Phys. Rev. В 58, 4809 (1998).

46. M. Notomi, K. Yamada, A. Shinya, J. Takahashi, C. Takahashi, I. Yokohama. Extremely Large Group-Velocity Dispersion of Line-Defect Waveguides in Photonic Crystal Slabs. Phys. Rev. Lett. 87, 253902 (2001).

47. H. Gersen, T. J. Karle, R. J. P. Engelcn, W. Bogaerts, J. P. Korterik, N. F. van Hulst, T. F. Krauss, L. Kuipers. Real-Space Observation of Ultraslow Light in Photonic Crystal Waveguides. Phys. Rev. Lett. 94, 073903 (2005).

48. Ю. Каган, A. M. Афанасьев. Об изменении резонансных ядерных параметров при рассеянии на регулярных системах. ЖЭТФ 50, 271 (1996).

49. В. М. Агранович, О. А. Дубовский. Влияние запаздывающего взаимодействия на спектр экситонов в одномерных и двумерных кристаллах. Письма в ЖЭТФ 3, 345 (1966).

50. L. I. Deych, О. Roslyak. Photonic band mixing in linear chains of optically coupled microspheres. Phys. Rev. E 73, 036606 (2006).

51. Seungmoo Yang, V. N. Astratov. Photonic nanojet-induced modes in chains of size-disordered microspheres with an attenuation of only 0.08 dB per sphere. Appl. Phys. Lett. 92, 261111 (2008).

52. Yoshiko Hara, Takashi Mukaiyama, Kenji Takeda, Makoto Kuwata-Gonokami. Heavy Photon States in Photonic Chains of Resonantly Coupled

53. Cavities with Supermonodispersive Microspheres. Phys. Rev. Lett. 94, 203905 (2005).

54. Zhigang Chen, Allen Taflove, Vadim Backman. Highly efficient optical coupling and transport phenomena in chains of dielectric microspheres. Optics Letters 31, 389 (2006).

55. R. E. Benner, P. W. Barber, J. F. Owen, R. K. Chang. Observation of Structure Resonances in the Fluorescence Spectra from Microspheres. Phys. Rev. Lett. 44, 475 (1980).

56. Björn M. Möller, Ulrike Woggon, M. V. Artemyev. Coupled-resonator optical waveguides doped with nanocrystals. Optics Letters 30, 2116 (2005).

57. Amnon Yariv, Yong Xu, Reginald K. Lee, Axel Scherer. Coupled-resonator optical waveguide: a proposal and analysis. Optics Letters 24, 711 (1999).

58. V. N. Astratov, J. P. Franchak, S. P. Ashili. Optical coupling and transport phenomena in chains of spherical dielectric microresonators with size disorder. Appl. Phys. Lett. 85, 5508 (2004).

59. A. M. Kapitonov, V. N. Astratov. Observation of nanojet-induced modes with small propagation losses in chains of coupled spherical cavities. Opt. Lett. 32, 409 (2007).

60. J. K. S. Poon, J. Scheuer, S. Mookherjea, G. T. Paloczi, Y. Huang, A. Yariv. Matrix analysis of microring coupled-resonator optical waveguides. Optics Express 12, 90 (2004).

61. J. K. S. Poon, L. Zhu, G. A. DeRose, A. Yariv. Transmission and group delay of microring coupled-resonator optical waveguides. Optics Letters 31, 456 (2006).

62. J. Scheuer, A. Yariv. Two-dimensional optical ring resonators based on radial Bragg resonance. Optics Letters 28, 1528 (2003).

63. O. Weiss, J. Scheuer. Side coupled adjacent resonators CROW — formation of mid-band zero group velocity. Optics Express 17, 14817 (2009).

64. J. M. Gerard, B. Sermage, B. Gayral, B. Legrand, E. Costard, V. Thierry-Mieg. Enhanced Spontaneous Emission by Quantum Boxes in a Monolithic Optical Microcavity. Phys. Rev. Lett. 81, 1110 (1998).

65. S. L. McCall, A. F. Levi, R. E. Slusher, S. J. Pearton, R. L. Logan. Whispering-gallery mode microdisk lasers. Appl. Phys. Lett. 60, 289 (1992).

66. S. Olivier, C. Smith, M. Rattier, H. Benisty, C. Weisbuch, T. Krauss, R. Houdre, U. Oesterle. Miniband transmission in a photonic crystal coupledresonator optical waveguide. Optics Letters 26, 1019 (2001).

67. K. Srinivasan, P. Barclay, O. Painter, J. Chen, C. Cho, C. Gmachl. Experimental demonstration of a high quality factor photonic crystal microcavity. Appl. Phys. Lett. 83, 1915 (2003).

68. P.-T. Lee, T.-W. Lu, F.-M. Tsai, T.-C. Lu. Investigation of whispering gallery mode dependence on cavity geometry of quasiperiodic photonic crystal microcavity lasers. Appl. Phys. Lett. 89, 231111 (2006).

69. P.-T. Lee, T.-W. Lu, J.-H. Fan, F.-M. Tsai. High quality factor microcavitylasers realized by circular photonic crystal with isotropic photonic band gap effect. Appl. Phys. Lett. 90, 151125 (2007).

70. Zhiyong Tang, Nicholas A. Kotov. One-Dimensional Assemblies of Nanoparticles: Preparation, Properties, and Promise. Advanced Materials 17, 951 (2005).

71. S. I. Bozhevolnyi. Plasmonic Nano-Guides and Circuits. Optical Socicty of America, 2008.

72. В. В. Климов. Наноплазмоника. — M.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.

73. J. Takahara, S. Yamagishi, H. Taki, A. Morimoto, T. Kobayashi. Guiding of a one-dimensional optical beam with nanometer diameter. Optics Letters22, 475 (1997).

74. M. Quinten, A. Leitner, J. R. Krenn, F. R. Aussenegg. Electromagnetic energy transport via linear chains of silver nanoparticles. Optics Letters23, 1331 (1998).

75. M. L. Brongersma, J. W. Hartman, H. A. Atwater. Electromagnetic energy transfer and switching in nanoparticle chain arrays below the diffraction limit. Phys. Rev. B. 62, R16356 (2000).

76. S. A. Maier, P. G. Kik, H. A. Atwater. Optical pulse propagation in metal nanoparticle chain waveguides. Phys. Rev. В 67, 205402 (2003).

77. W. H. Weber, G. W. Ford. Propagation of optical excitations by dipolar interactions in metal nanoparticle chains. Phys. Rev. B. 70, 125429 (2004).

78. A. F. Koenderink, R. de Waele, J. C. Prangsma, A. Polman. Experimental evidence for large dynamic effrects on the plasmon dispersion of subwavelength metal nanoparticle waveguides, Phys. Rev. B. 76, R201403 (2007).

79. K. B. Crozier, E. Togan, E. Simsek, T. Yang. Experimental measurement of the dispersion relations of the surface plasmon modes of metal nanoparticle chains. Opt. Express. 15, 17482 (2007).

80. S. A. Maier, P. G. Kik, H. A. Atwater, S. Meltzer, E. Harel, B. E. Koel, A. A. G. Requicha. Local detection of electromagnetic energy transport below the diffraction limit in metal nanoparticle plasmon waveguides. Nat. Mat. 2, 229 (2003).

81. A. L. Burin, M. A. Ratner, H. Cao, R. P. H. Chang. Model for a Random Laser. Phys. Rev. Lett. 87, 215503 (2001).

82. A. L. Burin. Bound whispering gallery modes in circular arrays of dielectric spherical particles. Phys. Rev. E 73, 066614 (2006).

83. S. Stein. Addition theorems for spherical wave functions. Q. Appl. Math. 19, 15 (1961).

84. O. Cruzan. Translational addition theorems for spherical vector wave functions. Q. Appl. Math. 20, 33 (1962).

85. Yu-lin Xu. Electromagnetic scattering by an aggregate of spheres. Applied Optics 34, 4573 (1995).

86. Yu-lin Xu, Ru T. Wang. Electromagnetic scattering by an aggregate ofspheres: Theoretical and experimental study of the amplitude scattering matrix. Phys. Rev. E 58, 3931 (1998).

87. Yu-lin Xu. Efficient Evaluation of Vector Translation Coefficients in Multiparticle Light-Scattering Theories. J. Comp. Phys. 139, 137 (1998).

88. Van de Hülst. Light scattering by small particles. Dover Publications, Inc. New York, 1981.

89. T. Mukaiyama, K. Takeda, H. Miyazaki, Y. Jimba, M. Kuwata-Gonokami. Tight-Binding Photonic Molecule Modes of Resonant Bispheres. Phys. Rev. Lett. 82, 4623 (1999).

90. H. Miyazaki, Y. Jimba. Ab initio tight-binding description of morphology-dependent resonance in a biosphere Phys. Rev. B 62, 7976 (2000).

91. M. Abramowitz, I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. National Bureau of Standards Applied Mathematics, Series 55 Issued, June 1964, Tenth Printing, December 1972.1. Список публикаций

92. G. S. Blaustein, М. I. Gozman, О. Samoylova, I. Ya. Polishchuk, A. L. Burin. Guiding optical modes in chains of dielectric particles. Optics Express 15, 17380 (2007).

93. Gail. S. Blaustein, A. JI. Бурин, M. И. Гозман, И. Я. Полищук. Долго-живущие оптические моды в цепочках диэлектрических сферических частиц. Сборник аннотаций, 5-я Курчатовская молодежная научная школа, стр. 123 (2007).

94. M.I. Gozman, I.Ya. Polishchuk, A.L. Burin. Optical Modes in Linear Arrays of Dielectric Spherical Particles: A Numerical Investigation. Proceedings of the 9th International Conference on Transparent Optical Networks, v. 4, p. 136 139 (2007).

95. M. I. Gozman, I. Ya. Polishchuk, A. L. Burin. Light Propagation in Linear Arrays of Spherical Particles. Phys. Lett. A 372, 5250 (2008).

96. M. Gozman, I. Polishchuk, A. Burin. Features of Propagation of Lightin the Linear Array of Dielectric Spheres. Proceedings of the 10th International Conference on Transparent Optical Networks, v. 4, p. 46 49 (2008).

97. I. Ya. Polishchuk, M. I. Gozman, О. M. Samoylova, A. L. Burin. Interference of guiding modes in "traffic" circlc waveguides composed of dielectric spherical particles. Phys. Lett. A 373, 1396 (2009).

98. Полищук И. Я., Гозман М. И., Ломоносова Т. А. Оптические моды в линейных массивах диэлектрических сферических частиц. Численное исследование. Труды МФТИ 1 (2), 98 (2009).

99. М. Gozman, I. Polishchuk, Т. Lomonosova. Interference of Guiding Polariton Modes in "Traffic" Circle Waveguides. Proceedings of the 11th International Conference on Transparent Optical Networks, p. 1 4 (2009).

100. I. Ya. Polishchuk, M. I. Gozman, Gail S. Blaustein, A. L. Burin. Interference of guided modes in a two-port ring waveguide composed of dielectric nanoparticles. Phys. Rev. E 81, 026601 (2010).

101. Гозман М.И., Полищук И.Я., Полищук Ю.И. Распространение иоля-ритонного волнового пакета по цепочке диэлектрических наночастиц. ЖЭТФ (отправлено в печать).